2020版高考数学一轮复习课后限时集训16导数与函数的综合问题理新人教版

课后限时集训(十五) 导数与函数的极值、最值(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·银川三模)已知函数f (x )＝cos x ＋a ln x 在x ＝π6处取得极值，则a ＝( )A.14 B.π4C.π12D ．－π12C [∵f ′(x )＝a x －sin x ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， ∴a π6－12＝0，即a ＝π12，故选C.] 2．(2019·东莞模拟)若x ＝1是函数f (x )＝ax ＋ln x 的极值点，则( ) A ．f (x )有极大值－1 B ．f (x )有极小值－1 C ．f (x )有极大值0D ．f (x )有极小值0A [∵f (x )＝ax ＋ln x ，x ＞0， ∴f ′(x )＝a ＋1x，由f ′(1)＝0得a ＝－1， ∴f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx.由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得x ＞1， ∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减． ∴f (x )极大值＝f (1)＝－1，无极小值，故选A.]3．已知函数f (x )＝ln x －ax 存在最大值0，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．eD.1eD [f ′(x )＝1x －a ，x ＞0.当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a ＞0恒成立，函数f (x )单调递增，不存在最大值；当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a .当0＜x ＜1a时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ＞1a时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．∴f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1e ，故选D.] 4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．3B ．4C ．6D ．5A [设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小． 由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R.∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小．故选A.]5．(2018·南宁一模)设函数f (x )＝－x 3＋3bx ，当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[0,1]，则b 的值是( ) A.12 B.22 C.322D.342C [∵f (x )＝－x 3＋3bx ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋3b .①当b ≤0时，x ∈[0,1]时，f (x )≤0，不合题意； ②当b ＞0时，由f ′(x )＝0得x ＝±b . 由f ′(x )＞0得0＜x ＜b ， 由f ′(x )＜0得x ＞b .∴f (x )在(0，b )上为增函数，在(b ，＋∞)上为减函数． 若b ≥1时，由f (1)＝－1＋3b ＝1得b ＝23＜1矛盾，故b ＜1.此时f (b )＝1，即－(b )3＋3b b ＝1，解得b ＝322，故选C.] 二、填空题6．函数y ＝－e x＋x 在R 上的最大值是________． －1 [由y ＝－e x＋x 得y ′＝－e x＋1， 由y ′＝0得x ＝0. 又当x ＜0时，y ′＞0， 当x ＞0时，y ′＜0.∴当x ＝0时，y 取得最大值－1.]7．设a ∈R，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是_____． (－∞，－1) [∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x＜－1.]8．(2019·武汉模拟)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 [因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32.]三、解答题9．(2018·北京高考)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x. (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x.f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x＝(ax －1)(x －2)e x.若a ＞12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2x ＜，a ln x x(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．[解] (1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝3.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a ＞0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a ＜2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.B 组 能力提升1．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )A BC DC [由题意可得f ′(－2)＝0，且当x ＜－2时，f ′(x )＜0，则y ＝xf ′(x )＞0，故排除B 和D ；当x ＞－2时，f ′(x )＞0，所以当x ∈(－2,0)时，y ＝xf ′(x )＜0，当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0，故排除A ，选C.]2．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3D ．0A [原命题等价于对于区间[－3,2]上的任意x ，都有f (x )ma x －f (x )min ≤t ， ∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ∈[－3，－1]时，f ′(x )＞0， 当x ∈[－1,1]时，f ′(x )＜0， 当x ∈[1,2]时，f ′(x )＞0.∴f (x )ma x ＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝－19.∴f (x )ma x －f (x )min ＝20，∴t ≥20.即t 的最小值为20.故选A.]3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时，t 的值为________．22[设函数y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x (x ＞0)， ∴y ′＝2x －1x ＝2x 2－1x(x ＞0)．∴y ′＜0得0＜x ＜22， y ′＞0得x ＞22. ∴当x ＝22时函数取得最小值12＋12ln 2. 即当t ＝22时，|MN |取得最小值．] 4．(2019·山西模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值． [解] (1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，又a ＝1，所以b ＝－3，则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x，令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)由(1)知f ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝ax －x －x(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值， 所以x 2＝12a≠x 1＝1，当12a＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2， 当a ＞0时，x 2＝12a＞0，若12a ＜1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，[1，e]上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，所以最大值可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－12a (2a ＋1)＝ln 12a －14a －1＜0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2， 若1＜12a ＜e 时，f (x )在区间(0,1)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a＜e 矛盾，当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，矛盾， 综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.。

课时分层训练(十六) 导数与函数的综合问题A 组 基础达标一、选择题1．方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0C [设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，极小值为f (3)＝－10＜0，所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数为1.]2．若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140088】A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)D [∵2x(x －a )＜1，∴a ＞x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－xln 2＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．]3．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．无数个 A [因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．]4．(·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，存在x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2D ．a ≥2A [由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.]5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．3B ．4C ．6D ．5A [设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小． 由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R.∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小．故选A.]二、填空题6．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________． ①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3； ④f (x )＝x 2＋2.①④ [设g (x )＝e xf (x )． 对于①，g (x )＝e x·2－x(x ∈R )，g ′(x )＝e x ·2－x －e x ·2－x ·ln 2＝(1－ln 2)·e x ·2－x >0，∴函数g (x )在R 上单调递增，故①中f (x )具有M 性质． 对于②，g (x )＝e x·3－x(x ∈R )，g ′(x )＝e x ·3－x －e x ·3－x ·ln 3＝(1－ln 3)·e x ·3－x <0，∴函数g (x )在R 上单调递减，故②中f (x )不具有M 性质． 对于③，g (x )＝e x·x 3(x ∈R )，g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝(x ＋3)·e x ·x 2，当x <－3时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，故③中f (x )不具有M 性质． 对于④，g (x )＝e x·(x 2＋2)(x ∈R )，g ′(x )＝e x ·(x 2＋2)＋e x ·2x ＝(x 2＋2x ＋2)·e x＝[(x ＋1)2＋1]·e x>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，故④中f (x )具有M 性质． 综上，具有M 性质的函数的序号为①④.]7．(·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140089】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.]8．若函数f (x )＝2x ＋sin x 对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －3)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值范围是________．(－3,1) [因为f (x )是R 上的奇函数，f ′(x )＝2＋cos x ＞0，则f (x )在定义域内为增函数，所以f (mx －3)＋f (x )＜0可变形为f (mx －3)＜f (－x )， 所以mx －3＜－x ，将其看作关于m 的一次函数， 则g (m )＝x ·m －3＋x ，m ∈[－2,2]， 可得若m ∈[－2,2]时，g (m )＜0恒成立． 则g (2)＜0，g (－2)＜0，解得－3＜x ＜1.]三、解答题9．已知函数f (x )＝e x＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2,1]上的最小值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)由f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1.易知f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当x ＝0时，f (x )在[－2,1]上取得最小值2. (2)f ′(x )＝e x＋a ，由于e x＞0. ①当a ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数， 当x ＞1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)＞0.当x ＜0时，取x ＝－1a，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＜1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－a ＜0.所以函数f (x )存在零点，不满足题意．②当a ＜0时，f ′(x )＝e x＋a ， 令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a )．在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 在(ln(－a )，＋∞)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值． 函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )＞0，解得－e 2＜a ＜0.综上所述，所求实数a 的取值范围是－e 2＜a ＜0. 10．(·合肥一检)已知函数f (x )＝2a －x2ex (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )＞－1恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝x 2－2x －2aex，当a ≤－12时，x 2－2x －2a ≥0，故f ′(x )≥0，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，∴当a ≤－12时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．当a ＞－12时，令x 2－2x －2a ＝0⇒x 1＝1－2a ＋1，x 2＝1＋2a ＋1，列表由表可知，当a ＞－2时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，1－2a ＋1)和(1＋2a ＋1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a ＋1，1＋2a ＋1)．(2)∵f (x )＞－1⇔2a －x 2e x ＞－1⇔2a ＞x 2－e x，∴由条件2a ＞x 2－e x，对任意x ≥1成立． 令g (x )＝x 2－e x ，h (x )＝g ′(x )＝2x －e x， ∴h ′(x )＝2－e x，当x ∈[1，＋∞)时，h ′(x )＝2－e x≤2－e ＜0，∴h (x )＝g ′(x )＝2x －e x在[1，＋∞)上单调递减， ∴h (x )＝2x －e x≤2－e ＜0，即g ′(x )＜0， ∴g (x )＝x 2－e x在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )＝x 2－e x≤g (1)＝1－e ，故f (x )＞－1在[1，＋∞)上恒成立，只需2a ＞g (x )max ＝1－e ， ∴a ＞1－e 2，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 2，＋∞. B 组 能力提升11．(·山东省实验中学诊断)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )＞0，则( )A ．3f (1)＜f (3)B ．3f (1)＞f (3)C ．3f (1)＝f (3)D ．f (1)＝f (3)B [由于f (x )＞xf ′(x )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， 所以f (3)3＜f (1)1，即3f (1)＞f (3)．]12．方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝ln x 的“新驻点”为a ，那么a 满足( ) A ．a ＝1 B ．0＜a ＜1 C ．2＜a ＜3D ．1＜a ＜2D [∵g ′(x )＝1x ，∴ln x ＝1x.设h (x )＝ln x －1x，则h (x )在(0，＋∞)上为增函数．又∵h (1)＝－1＜0，h (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0，∴h (x )在(1,2)上有零点，∴1＜a ＜2.]13．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是________.【导学号：79140090】(－∞，－2) [当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意． 当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a.当a ＞0时，2a＞0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f (0)＜0，即1＜0，不成立．当a ＜0时，2a＜0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1＞0，解得a ＞2或a ＜－2，又因为a ＜0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．]14．已知函数f (x )＝ex －m－x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)当m ＞1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． [解] (1)依题意，可知f ′(x )＝e x －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m＜1，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，ex －m＞1，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故当x ＝m 时，f (m )为极小值也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)f (x )在[0,2m ]上有两个零点，理由如下： 当m ＞1时，f (m )＝1－m ＜0.∵f (0)＝e －m＞0，f (0)·f (m )＜0，且f (x )在(0，m )上单调递减． ∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m－2m ，令g (m )＝e m－2m ，则g ′(m )＝e m－2，∵当m ＞1时，g ′(m )＝e m－2＞0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增．∴g (m )＞g (1)＝e －2＞0，即f (2m )＞0. ∴f (m )·f (2m )＜0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．。

课时跟踪检测（十六） 函数与导数的综合问题1．已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a ∈R 且a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x＋x －m 的零点个数．解：(1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x ＞0)， 当a ＜0时，f ′(x )＞0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，由f ′(x )＝ax －1ax 2＞0，得x ＞1a， 由f ′(x )＝ax －1ax 2＜0，得0＜x ＜1a， ∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．综上所述，当a ＜0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，函数g (x )＝(ln x －1)e x＋x －m 的零点个数，等价于方程(ln x －1)e x＋x ＝m 的根的个数．令h (x )＝(ln x －1)e x＋x ，则h ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x －1e x＋1.由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0.∴1x ＋ln x －1≥0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立． ∴h ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x －1e x＋1≥0＋1＞0，∴h (x )＝(ln x －1)e x＋x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，∴h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2e 1e ＋1e ，h (x )max ＝h (e)＝e. ∴当m ＜－2e 1e＋1e 或 m ＞e 时，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e ≤m ≤e 时，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有一个零点． 2．已知函数f (x )＝x e x. (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在实数a 使得对于任意的x 1，x 2∈(a ，＋∞)，且x 1＜x 2，恒有f x 2－f ax 2－a＞f x 1－f ax 1－a成立？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：(1)因为f (x )＝x e x， 所以f ′(x )＝(x ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)，f (x )有极小值f (－1)＝－1e，无极大值．(2)存在满足题意的实数a .理由如下：令g (x )＝f x －f a x －a ＝x e x －a e ax －a(x ＞a )，则f x 2－f a x 2－a ＞f x 1－f a x 1－a等价于g (x )在(a ，＋∞)上单调递增．又g ′(x )＝x 2－ax －ax ＋a eax －a2，记h (x )＝(x 2－ax －a )e x＋a e a，则h ′(x )＝[x 2＋(2－a )x －2a ]e x ＝(x ＋2)·(x －a )e x，故当a ≥－2，且x ＞a 时，h ′(x )＞0，h (x )在(a ，＋∞)上单调递增．故h (x )＞h (a )＝0，从而g ′(x )＞0，g (x )在(a ，＋∞)上单调递增，满足题意； 另一方面，当a ＜－2，且a ＜x ＜－2时，h ′(x )＜0，h (x )在(a ，－2)上单调递减． 故h (x )＜h (a )＝0，从而g ′(x )＜0，g (x )在(a ，－2)上单调递减，不满足题意． 所以a 的取值范围为[－2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝e x＋ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝0处的导数值为0. (1)求实数a 的值；(2)若f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，(ⅰ)求实数b 的取值范围； (ⅱ)证明：x 1＋x 2＜0.解：(1)因为f ′(x )＝e x ＋a ，所以f ′(0)＝e 0＋a ＝1＋a ， 又f ′(0)＝0，所以a ＝－1.(2)(ⅰ)因为f (x )＝e x －x ＋b ，所以f ′(x )＝e x－1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝0处取得极小值，也是最小值，且f (0)＝1＋b . 因为f (x )有两个零点x 1，x 2， 所以f (0)＝1＋b ＜0，所以b ＜－1， 即实数b 的取值范围是(－∞，－1)． (ⅱ)证明：因为f (x 1)＝0，f (x 2)＝0， 所以e x 1－x 1＋b ＝0 ①，e x2－x 2＋b ＝0 ②，由②－①得e x 2－e x 1＝x 2－x 1，即e x 1 (e x 2－x1－1)＝x 2－x 1. 令x 2－x 1＝t ，t ＞0，则e x 1 (e t－1)＝t ， 所以e x1＝te t －1，e x2＝t e te t －1.要证x 1＋x 2＜0，只需证e x 1e x2＜1，即证t e t －1·t e te t －1＜1，即证t 2e t＜(e t －1)2，即证t 2e t －(e t )2＋2e t－1＜0. 令m (t )＝t 2e t－(e t )2＋2e t－1， 则m ′(t )＝e t (t 2＋2t ＋2－2e t)．令n (t )＝t 2＋2t ＋2－2e t ，则n ′(t )＝2t ＋2－2e t.设φ(t )＝2t ＋2－2e t，则当t ＞0时，φ′(t )＝2－2e t＜0， 所以当t ＞0时，φ(t )单调递减，因为φ(0)＝0，所以当t ＞0时，φ(t )＜0，则n ′(t )＜0， 所以当t ＞0时，n (t )单调递减，又n (0)＝0，所以当t ＞0时，n (t )＜0，则m ′(t )＜0， 所以当t ＞0时，m (t )单调递减， 因为m (0)＝0，所以当t ＞0时，m (t )＜0. 综上可知，原式得证．4．若对任意实数k ，b 都有函数y ＝f (x )＋kx ＋b 的图象与直线y ＝kx ＋b 相切，则称函数f (x )为“恒切函数”，设函数g (x )＝a e x－x －pa ，a ，p ∈R.(1)讨论函数g (x )的单调性；(2)已知函数g (x )为“恒切函数”． ①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数h (x )＝g (x )e x－m 为“恒切函数”，求证：0≤m ＜316.(参考数据：e 3≈20) 解：(1)g ′(x )＝a e x－1，当a ≤0时，g ′(x )＜0恒成立，函数g (x )在R 上单调递减；当a ＞0时，由g ′(x )＞0，得x ＞－ln a ；由g ′(x )＜0，得x ＜－ln a ， 所以函数g (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤0时，函数g (x )在R 上单调递减；当a ＞0时，函数g (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．(2)①若函数f (x )为“恒切函数”，则函数y ＝f (x )＋kx ＋b 的图象与直线y ＝kx ＋b 相切，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＋k ＝k 且f (x 0)＋kx 0＋b ＝kx 0＋b ，即f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝0.因为函数g (x )为“恒切函数”，所以存在x 0，使得g ′(x 0)＝0，g (x 0)＝0，即⎩⎨⎧a e 0x －x 0－pa ＝0，a e 0x－1＝0，解得a ＝e－x ＞0，p ＝ex (1－x 0)．设m (x )＝e x(1－x )，则m ′(x )＝－x e x，由m ′(x )＜0，得x ＞0；由m ′(x )＞0，得x ＜0，故函数m (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 从而m (x )max ＝m (0)＝1，故实数p 的取值范围为(－∞，1]．②证明：由①知当p 取最大值时，p ＝1，a ＝1， 故h (x )＝(e x－x －1)e x－m ， 则h ′(x )＝(2e x－x －2)e x. 因为函数h (x )为“恒切函数”， 故存在x 0，使得h ′(x 0)＝0，h (x 0)＝0， 由h ′(x 0)＝0，得(2ex －x 0－2)ex ＝0，即2ex －x 0－2＝0.设n (x )＝2e x－x －2，则n ′(x )＝2e x－1，由n ′(x )＞0，得x ＞－ln 2；由n ′(x )＜0，得x ＜－ln 2，故n (x )在(－∞，－ln 2)上单调递减，在(－ln 2，＋∞)上单调递增． 在单调递增区间(－ln 2，＋∞)上，n (0)＝0，故x 0＝0，则由h (x 0)＝0，得m ＝0.在单调递减区间(－∞，－ln 2)上，n (－2)＝2e －2＞0，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝2e -32－12≈2×(20)-12－12＝15－12＜0，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32上存在唯一的x 0，使得2e 0x －x 0－2＝0，即e 0x＝x 0＋22，此时由h (x 0)＝0，得m ＝(e 0x －x 0－1)ex ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋22－x 0－1·x 0＋22＝－14x 0(x 0＋2)＝－14(x 0＋1)2＋14，因为函数r (x )＝－14(x ＋1)2＋14在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32上单调递增，且r (－2)＝0，r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝316，所以0＜m ＜316.综上，0≤m ＜316.。

课后限时集训(一) 集 合(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}C [由题意知，A ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝{1,2}．]2．(2019·惠州一调)已知集合U ＝{－1,0,1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．∅D ．{－1}D [∵A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0,1}，∴∁U A ＝{－1}，故选D.] 3．设集合A ＝{x ||x |＜1}，B ＝{x |x (x －3)＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1,3) D ．(1,3)C [由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}＝(－1,3)．故选C.]4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0B [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ＋1，得5x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝－35，故集合A ∩B 中有2个元素，故选B.]5．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆BB [集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.]6．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( ) A ．2个 B ．4个 C ．8个D ．16个B [∵A ∩B ＝{0}， ∴0∈B ，∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0,3}． ∴B 的子集有22＝4个．故选B.]7．已知集合A ＝{x |log 2 x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)D [∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .又A ＝{x |log 2 x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜c }，∴c ≥2，即c 的取值范围是[2，＋∞)．] 二、填空题8．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值是________． －32 [∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 即m ＝1或m ＝－32，又当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ，不合题意，故m ＝－32.]9．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，全集U ＝R ，则∁U (A ∩B )＝________.(－∞，－2)∪[1，＋∞) [∵4－x 2≥0， ∴－2≤x ≤2，∴A ＝[－2,2]． ∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1)， 因此A ∩B ＝[－2,1)，于是∁U (A ∩B )＝(－∞，－2)∪[1，＋∞)．]10．(2019·合肥质检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [要使A ∩B ≠∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1.]B 组 能力提升1.(2019·日照调研)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)， ∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．]2．(2018·广州一模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋3x －1＜0，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B )D [集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋3x －1＜0＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(∁R A )∩(∁R B )，选D.]3．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}．若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0， ∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)， ∴A －B ＝[－1,0)．]4．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“单一元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]课后限时集训(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．已知a ，b ∈R，命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是( ) A ．若ab ≠2，则a 2＋b 2≤4 B ．若ab ＝2，则a 2＋b 2≤4 C ．若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4 D ．若ab ＝2，则a 2＋b 2＜4C [因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是“若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4”，故选C.]2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数，”显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．] 3．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 C [“都是”的否定是“不都是”，故选C.]4．(2019·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．]5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3A [a ＞b ＋1⇒a ＞b ，但反之未必成立，故选A.]6．(2019·山师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件B [由a ＝2b 可知：a ，b 方向相同，a |a |，b |b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之不成立．故选B.]7．若x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]D [∵x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.] 二、填空题8．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是_______．k ∈(－1,3) [直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2＜2，解之得－1＜k ＜3.] 9．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误． ②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．] 10．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若p是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． (1,2] [因为p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 但pq ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ，又B ＝(2,3]，当a ＞0时，A ＝(a,3a )；当a ＜0时，A ＝(3a ，a )， 所以当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2；当a ＜0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．]B 组 能力提升1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]2．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R，均有x 2＋x ＋1＜0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D [A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，故D 正确，故选D.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若A ＝－B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1得A ＝－B ，故选B.]4．(2019·山西五校联考)已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.]课后限时集训(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．已知p ：∃x 0∈R,3x 0＜x 30，那么綈p 为( ) A ．∀x ∈R,3x ＜x 3B ．∃x 0∈R,3x 0＞x 30 C ．∀x ∈R,3x ≥x 3D ．∃x 0∈R,3x 0≥x 30C [因为特称命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ∈R,3x ≥x 3，故选C.]2．(2019·广西模拟)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p ∨q 表示( ) A ．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米 B ．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米 C ．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米 D ．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米D [∵命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p ∨q 表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”，故选D.] 3．(2019·武汉模拟)已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题 B ．命题p 是特称命题 C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题 C [该命题是全称命题且是真命题．故选C.]4．命题p ：∀x ∈R，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [因为命题p ：∀x ∈R，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.]5．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b，则下列为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧綈q C ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈qB [对于命题p ，当x 0＝0时，1≥0成立，所以命题p 为真命题，命题綈p 为假命题；对于命题q ，当a ＝－1，b ＝1时，1a ＜1b，所以命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q为真命题，故选B.] 6．给出下列四个命题： ①∃x 0∈R，ln(x 20＋1)＜0； ②∀x ＞2，x 2＞2x；③∀α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，则綈q 是p 成立的充分不必要条件． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由于∀x ∈R ，y ＝ln(x 2＋1)≥ln 1＝0，故①错；令x ＝4，则x 2＝2x＝16，故②错；③应为∀α，β∈R ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，故③错；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，则p 是綈q 成立的必要不充分条件，则綈q 是p 成立的充分不必要条件，故④正确．其中真命题的个数为1.故选A.]7．已知p ：∃x 0∈R，mx 20＋1≤0；q ：∀x ∈R，x 2＋mx ＋1＞0.若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0； 当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]二、填空题8．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.]9．已知命题“∀x ∈R，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ [由“∀x ∈R，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.] 10．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) [因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3， 所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]B 组 能力提升1．设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( ) A ．p 为假命题 B ．綈q 为真命题 C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题C [函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ∈R，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x，－x 2x ＜在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0y ＝－x2＋u 2，u2表示纵截距．结合题意知p 1，p 2正确．] 3．(2019·黄冈模拟)下列四个命题： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R，x 0－ln x 0＜0”． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，即当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，则当x ＞0时，x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R，x 0－ln x 0≤0”，故④错误． 综上，正确命题的个数为3，故选C.]4．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x(a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________．(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________．(1)[3，＋∞) (2)(1，3] [(1)∵f (x )＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1，∵x ≥2，∴x －1≥1， ∴f (x )≥2x －1x －1＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x －1＝1，x ＝2时等号成立． ∴m ∈[3，＋∞)．(2)∵g (x )＝a x(a ＞1，x ≥2)， ∴g (x )min ＝g (2)＝a 2.∵∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)， ∴g (x )min ≤f (x )min ， ∴a 2≤3，即a ∈(1，3]．]课后限时集训(四) 函数及其表示(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x －1，g (t )＝t －1C ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xB [∵x －2＝|x －1|，∴A 中f (x )≠g (x )；B 正确；C 、D 选项中两函数的定义域不同，故选B.] 2．函数f (x )＝3x －1log 2x ＋1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0.14C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D [由题意得log 2(2x )＋1＞0，解得x ＞14.所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.故选D.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞1，2＋36x ，x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．4C ．－3D ．38C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋3612＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (8)＝log 128＝－3.故选C.]4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1A [令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C [要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，所以－1≤a ＜12.故选C.]6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]7．(2019·济南模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为()A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.]二、填空题8．已知f (2x)＝x ＋3.若f (a )＝5，则a ＝________. 4 [令t ＝2x ，则t ＞0，且x ＝log 2 t ， ∴f (t )＝3＋log 2 t ， 即f (x )＝3＋log 2 x ，x ＞0. 则有log 2 a ＋3＝5，解之得a ＝4.]9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0－12x ，0≤x ≤2 [由题图可知，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－12x ，0≤x ≤2.]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，log 2x 2＋，x ＜0，若f (a )＝3，则实数a ＝________.－5 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 2a 2＋＝3，解得a ＝－ 5.]B 组 能力提升1．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数fx ＋log 2x ＋的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 D ．(－1,0)D [因为函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，所以－1≤2x －1≤1，要使函数f x ＋log 2x ＋有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0，故选D.]2．(2018·厦门二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2－1，x ≤1，ln x ，x ＞1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)A [由题意可知，函数f (x )的最小值为f (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1－a 2－1≤ln 1，解得1≤a ≤2，选A.]3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. －x x ＋2[当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－xx ＋2.]4．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．①③ [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]课后限时集训(五) 函数的单调性与最值(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)A [f (x )＝1x在(0，＋∞)上是单调递减函数，故选A.]2．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2，6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上的增函数．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.]3．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，40]B ．(40,64)C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)C [由题意可知k 8≤5或k8≥8，即k ≤40或k ≥64，故选C.] 4．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( ) A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)A [∵f (x )关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，∴f (x )在(2，＋∞)上是减函数， 又f (－1)＝f (5)，且f (3)＞f (5)， ∴f (3)＞f (－1)，选A.]5．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)C [由函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，得函数f (x )在[－2,2]上单调递增． 由f (a 2－a )＞f (2a －2)得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a ＞2a －2，－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2.∴0≤a ＜1，故选C.] 二、填空题6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．(2019·甘肃调研)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是________．(－5，－2)∪(2，5) [因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得，f (x 2－4)＜f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.]8．(2019·广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1]∪[4，＋∞)[作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值． [解] f (x )＝ax ＋1a(1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a －1a＜0，即0＜a ＜1时，g (a )＝f (1)＝a ；当a －1a≥0，即a ≥1时，g (a )＝f (0)＝1a .故g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a，a ≥1.所以g (a )的最大值为1. 10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 组 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]2．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝x )x －x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12C [由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1＜x ≤2.∵f (x )＝x －2在[－2,1]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1；又f (x )＝x 3－2在(1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6. ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )max ＝6.]3．函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.课后限时集训(六) 函数的奇偶性与周期性(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝ln x 2D [y ＝e x 不是偶函数，所以A 不正确；y ＝sin x 是奇函数，所以B 不正确；y ＝cos x 是偶函数，在(0，＋∞)上不是单调递增函数，所以C 不正确；y ＝ln x 2是偶函数，在(0，＋∞)上是单调递增函数，所以D 正确．故选D.]2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.]3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1B [由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f ＋g ＝2，f＋g＝4，解得g (1)＝3.]4．(2019·江西六校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2A [∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 3 9＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 3 3＝－1.故选A.]5．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 019)＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．－2B [由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1，故选B.]6．(2019·皖南八校联考)偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (1)＝－1，则满足f (2x－3)＞－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(－1,1)A [因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 由f (1)＝－1且满足f (2x－3)＞－1＝f (1)， 等价于f (|2x－3|)＞f (1)，|2x－3|＜1，可得－1＜2x－3＜1,2＜2x＜4,1＜x ＜2， 所以实数x 的取值范围是(1,2)，故选A.]7．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45 C ．－1D ．－45C [由于x ∈R，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，由于f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4，log 216＜log 220＜log 232，即4＜log 220＜5,0＜log 220－4＜1， ∴0＜log 254＜1，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.]二、填空题8．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 52 [∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.] 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)， 又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴2|a －1|＜2＝212， ∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32.]10．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题：①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是________．①②③ [∵f (x )＋f (x ＋2)＝0，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )的周期为4，故①正确；又f (4－x )＝f (x )，所以f (2＋x )＝f (2－x )，即f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故②正确；由f (x )＝f (4－x )得f (－x )＝f (4＋x )＝f (x )，故③正确．]B 组 能力提升1．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A.13 B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.] 2．(2019·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [由函数图象可知f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]3．(2018·洛阳一模)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]4．(2019·沧州模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________． ①②④ [∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得，f (－3)＝0，又f (x )为偶函数，∴f (3)＝0，即①正确；由f (3)＝0得f (x ＋6)＝f (x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (6－x )＝f (6＋x )，故f (x )关于直线x ＝6对称，又f (x )的周期为6，故②正确；当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确．]课后限时集训(七) 二次函数与幂函数(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2019·西安质检)函数y ＝3x 2的图象大致是( )A BC DC [∵y ＝x 23，∴该函数是偶函数，且在第一象限内是上凸的，故选C.]2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6A [因为幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，所以α＞0.又幂函数y ＝x α为奇函数，可知α≠2.当α＝12时，其定义域关于原点不对称，应排除．当α＝13，1,3时，其定义域关于原点对称，且满足f (－x )＝－f (x )．故α＝13，1,3时，满足条件．故满足条件的α的值的个数为3.故选A.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，则函数g (x )＝(2x －1)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值是( ) A ．－1 B ．0 C ．－2D.32B [由已知得3α＝13，解得α＝－1，∴f (x )＝x －1，∴g (x )＝2x －1x ＝2－1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.]4．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)C [由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，则抛物线开口向下，且f (x )在[2,4]上是减函数， 所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.]5．若f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )＜0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜－4 C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0D [①当a ＝0时，得到－1＜0，显然不等式的解集为R ；②当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向下，由不等式的解集为R ，得二次函数的图象与x 轴没有交点，即Δ＝a 2＋4a ＜0，即a (a ＋4)＜0，解得－4＜a ＜0；③当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向上，函数值y 不恒小于0，故解集为R 不可能．] 二、填空题6．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.32 [设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m得m ＝－1，由14＝(－2)n，得n ＝－2， 所以f (2)＋g (－1)＝2－1＋(－1)－2＝32.]7．已知二次函数y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为________．y ＝x 2－2x ＋5 [y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以图象的顶点坐标为(－k ，－k 2－2k ＋3)．因为－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋5.]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1，∴m －n 的最小值是1.] 三、解答题9．若函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．[解] 作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图．由图象可知，要使函数在[0，m ]上取得最小值2，则1∈[0，m ]，从而m ≥1， 当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3， 所以要使函数取得最大值3，则m ≤2， 故所求m 的取值范围为[1,2]．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， 由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1＞2x ＋m 恒成立， 即x 2－3x ＋1＞m 在区间[－1,1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1， 所以m ＜－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．B 组 能力提升1．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()ABC DD [由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误．故选D.] 2．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B [法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关． 故选B.法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关． 故选B.]3．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．(1,5] [Δ＝4(a －2)2－4a ＝4a 2－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．(1)若Δ＜0，即1＜a ＜4时，x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在R 上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，方程x 2－2(a －2)x ＋a ＞0的解为x ≠a －2， 显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；(3)当Δ＞0，即a ＜1或a ＞4时，因为x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a －＋a ≥0，25－a －＋a ≥0，1＜a －2＜5，解得3＜a ≤5，又a ＜1或a ＞4，所以4＜a ≤5. 综上，a 的取值范围是(1,5]．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全函数f (x )的图象并根据图象写出函数f (x )(x ∈R)的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． [解] (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ＞，x 2＋2x x(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ，－a 2－2a ＋＜a，2－4a a ＞课后限时集训(八) 指数与指数函数(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题 1．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32C [a2a ·3a 2＝a2a ·a23＝a 2a53＝a2a56＝a 2－56＝a 76.故选C.] 2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .]3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )A B。

高考大题专项一冲破1利用导数求极值、最值、参数范围1.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.2.(2018福建龙岩4月质检,21改编)已知函数f(x)=(x-2)e x-a(x+2)2.求函数g(x)=f(x)+3e x的极值点.3.(2018山东师大附中一模,21)已知函数f(x)=(x-a)e x(a∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.4.(2018陕西咸阳一模,21改编)已知f(x)=e x-a ln x(a∈R).当a=-1时,假设不等式f(x)>e+m(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数m的取值范围.5.设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).假设曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.6.(2018河北江西南昌一模,21)已知函数f(x)=ln(ax)+bx在点(1,f(1))处的切线是y=0.(1)求函数f(x)的极值;(2)当mx 2e x ≥f(x)+1-eex(m<0)恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).冲破2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018全国3,文21)已知函数f(x)=ax 2+x-1 e x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.2.(2018河北保定一模,21改编)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.3.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求a的取值范围.4.(2018安徽芜湖期末,21改编)已知函数f(x)=x3-a ln x(a∈R).假设函数y=f(x)在区间(1,e]上存在两个不同零点,求实数a的取值范围.5.(2018河南郑州一模,21)已知函数f(x)=ln x+1ax −1a,a∈R且a≠0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x∈[1e,e]时,试判定函数g(x)=(ln x-1)e x+x-m的零点个数.6.(2018河北衡水中学押题三,21)已知函数f(x)=e x-x2+a,x∈R,曲线y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.高考大题专项一函数与导数的综合冲破1利用导数求极值、最值、参数范围1.解(1)由题意知f'(x)=(x-k+1)e x.令f'(x)=0,得x=k-1.当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)<0,当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,因此f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,f(x)在[0,k-1]上单调递减,在[k-1,1]上单调递增,因此f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1,即k≥2时,f(x)在[0,1]上单调递减,因此f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上,当k≤1时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当1<k<2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.2.解由g(x)=(x+1)e x-a(x+2)2,得g'(x)=(x+2)e x-2a(x+2)=(x+2)(e x-2a),(ⅰ)当a≤0时,在(-∞,-2)上,g'(x)<0,在(-2,+∞)上,g'(x)>0.(ⅱ)当a>0时,令g'(x)=0,解得x=-2或x=ln(2a).①若a=12e2,ln(2a)=-2,g'(x)≥0恒成立;②若a>12e2,ln(2a)>-2,在(-2,ln(2a))上,g'(x)<0;在(-∞,-2)与(ln(2a),+∞)上,g'(x)>0.③若a<12e2,ln(2a)<-2,在(ln(2a),-2)上,g'(x)<0;在(-∞,ln(2a))与(-2,+∞)上,g'(x)>0.综上,当a≤0时,g(x)极小值点为-2,无极大值点;当0<a<12时,g(x)极小值点为-2,极大值点为ln(2a);当a=12e2时,g(x)无极值点;当a>12e2时,g(x)极小值点为ln(2a),极大值点为-2.3.解(1)设切线的斜率为k.因为a=2,因此f(x)=(x-2)e x,f'(x)=e x(x-1).因此f(0)=-2,k=f'(0)=e0(0-1)=-1.因此所求的切线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)由题意得f'(x)=e x(x-a+1),令f'(x)=0,可得x=a-1.①若a-1≤1,则a≤2,当x∈[1,2]时,f'(x)≥0,则f(x)在[1,2]上单调递增.因此f(x)min=f(1)=(1-a)e.②若a-1≥2,则a≥3,当x∈[1,2]时,f'(x)≤0,则f(x)在[1,2]上单调递减.因此f(x)min=f(2)=(2-a)e2.③若1<a-1<2,则2<a<3,因此f'(x),f(x)随xf (x ) 单调递减极小值 单调递增因此f (x )的单调递减区间为[1,a-1],单调递增区间为[a-1,2].因此f (x )在[1,2]上的最小值为f (a-1)=-e a-1.综上所述:当a ≤2时,f (x )min =f (1)=(1-a )e;当a ≥3时,f (x )min =f (2)=(2-a )e 2;当2<a<3时,f (x )min =f (a-1)=-e a-1.4.解 由f (x )=e x -a ln x ,原不等式即为e x +ln x-e -m (x-1)>0,记F (x )=e x +ln x-e -m (x-1),F (1)=0,依题意有F (x )>0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,求导得F'(x )=e x +1x -m ,F'(1)=e x +1-m ,F ″(x )=e x -1x 2, 当x>1时,F ″(x )>0,则F'(x )在(1,+∞)上单调递增,有F'(x )>F'(1)=e x +1-m ,若m ≤e +1,则F'(x )>0,则F (x )在(1,+∞)上单调递增,且F (x )>F (1)=0,适合题意;若m>e +1,则F'(1)<0, 又F'(ln m )=1lnm >0, 故存在x 1∈(1,ln m ),使F'(x )=0,当1<x<x 1时,F'(x )<0,得F (x )在(1,x 1)上单调递减,F (x )<F (1)=0,舍去,综上,实数m 的取值范围是m ≤e +1.5.解 (1)由已知得f (0)=2,g (0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x )=2x+a ,g'(x )=e x (cx+d+c ),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f (x )=x 2+4x+2,g (x )=2e x (x+1).设函数F (x )=kg (x )-f (x )=2k e x (x+1)-x 2-4x-2,则F'(x )=2k e x (x+2)-2x-4=2(x+2)(k e x -1).由题设可得F (0)≥0,即k ≥1.令F'(x )=0得x 1=-ln k ,x 2=-2.①若1≤k<e 2,则-2<x 1≤0.从而当x ∈(-2,x 1)时,F'(x )<0;当x ∈(x 1,+∞)时,F'(x )>0.即F (x )在(-2,x 1)单调递减,在(x 1,+∞)单调递增.故F (x )在[-2,+∞)的最小值为F (x 1).而F (x 1)=2x 1+2-x 12-4x 1-2=-x 1(x 1+2)≥0.故当x ≥-2时,F (x )≥0,即f (x )≤kg (x )恒成立.②若k=e 2,则F'(x )=2e 2(x+2)(e x -e -2).从而当x>-2时,F'(x )>0,即F (x )在(-2,+∞)单调递增.而F (-2)=0,故当x ≥-2时,F (x )≥0,即f (x )≤kg (x )恒成立.③若k>e 2,则F (-2)=-2k e -2+2=-2e -2(k-e 2)<0.从而当x ≥-2时,f (x )≤kg (x )不可能恒成立.综上,k 的取值范围是[1,e 2].6.解 (1)∵f (x )=ln(ax )+bx ,∴f'(x )=a ax +b=1x +b ,∵点(1,f (1))处的切线是y=0,∴f'(1)=1+b=0,且f (1)=ln a+b=0,∴a=e,b=-1,即f (x )=ln x-x+1(x>0),∴f'(x )=1-1=1-x ,∴f (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减.因此f (x )的极大值为f (1)=ln e -1=0,无极小值.(2)由(1)f (x )=ln x-x+1,当mx 2e x ≥f (x )+1-e e x (m<0)恒成立时, 即mx 2e x ≥ln x-x+1+1-e e x (m<0)在x ∈(0,+∞)恒成立,同除以x 得mx e x ≥lnx+1x -2+1e . 设g (x )=mx e x ,h (x )=lnx+1x +1e -2,则g'(x )=m (1-x )e x ,h'(x )=-lnx x 2, 又∵m<0,因此当0<x<1时,g'(x )<0,h'(x )>0;当x>1时,g'(x )>0,h'(x )<0. ∴g (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,g (x )min =g (1)=m e ,h (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,h (x )max =h (1)=1e -1.∴g (x ),h (x )均在x=1处取得最值,因此要使g (x )≥h (x )恒成立,只需g (x )min ≥h (x )max ,即m e ≥1e -1,解得m ≥1-e,又m<0,∴实数m 的取值范围是[1-e,0). 冲破2 利用导数证明问题及讨论零点个数1.(1)解 f'(x )=-ax 2+(2a -1)x+2e x ,f'(0)=2.因此曲线y=f (x )在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明 当a ≥1时,f (x )+e ≥(x 2+x-1+e x+1)e -x .令g (x )=x 2+x-1+e x+1,则g'(x )=2x+1+e x+1.当x<-1时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x>-1时,g'(x )>0,g (x )单调递增;因此g (x )≥g (-1)=0. 因此f (x )+e ≥0.2.证明 f'(x )=1x −a (x+1)-ax (x+1)2=x 2+(2-a )x+1x (x+1)2(x>0),令p (x )=x 2+(2-a )x+1,由f (x )在(0,+∞)有两个极值点x 1,x 2,那么方程p (x )=0在(0,+∞)有两个实根x 1,x 2,∴{Δ=(2-a )2-4>0,x 1+x 2=a -2>0,x 1x 2=1>0,得a>4,∴f (x 1)+f (x 2)=ln x 1-ax 1x 1+1+ln x 2-ax 2x 2+1=ln x 1x 2-ax 1(x 2+1)+ax 2(x 1+1)(x 1+1)(x 2+1)=-a ,f (x 1+x 22)=f (a -22)=ln a -22−a ·a -22a -22+1=ln a -22-(a-2), ∴f (x 1+x 22)−f (x 1)+f (x 2)2=ln a -22-a-2+a 2=ln a -22−a 2+2.设h (a )=ln a -22−a 2+2(a>4),则h'(a )=2a -2·12−12=4-a 2(a -2)<0, ∴h (a )在(4,+∞)上为减函数,又h (4)=0,∴h (a )<0,∴f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.3.解法1 函数f (x )的概念域为R ,当a=0时,f (x )=-3x 2+1,有两个零点±√33,原函数草图∴a=0不合题意;当a>0时,当x →-∞时,f (x )→-∞,f (0)=1,f (x )存在小于0的零点x 0,不合题意;当a<0时,f'(x )=3ax 2-6x ,由f'(x )=3ax 2-6x=0,得x 1=0,x 2=2a <0,∴在区间(-∞,2a )内f'(x )<0;在区间(2a ,0)内f'(x )>0;在区间(0,+∞)内f'(x )<0. ∴f (x )在区间(-∞,2a )为减函数,在区间(2a ,0)为增函数,在区间(0,+∞)为减函数.∴若f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0⇔f (x )min =f (2a )>0⇔8a 2−12a 2+1>0⇔4a 2<1⇔a 2>4.∵a<0,∴a<-2.解法2 曲线y=ax 3与曲线y=3x 2-1仅在y 轴右边有一个公共点,当a ≥0时,由图象知不符合题意;当a<0时,设曲线y=ax 3与曲线y=3x 2-1相切于点(x 0,y 0),则{ax 03=3x 02-1,3ax 02=6x 0,得a=-2,由图象知a<-2时符合题意. 解法3 分离成a=-(1x )3+3(1x )=-t 3+3t ,令y=a ,g (t )=-t 3+3t , g'(t )=-3t 2+3=3(1-t 2),当t ∈(-1,1)时,g'(t )>0,当t>1或t<-1时,g'(x )<0.因此g (t )在(-∞,-1)递减,在区间(-1,1)递增,在(1,+∞)递减,因此当t=-1时,g (t )min =-2,由g (t )=-t 3+3t 的图象可知,t=1时,g (t )max =2.x →+∞时,g (t )→+∞,当a<-2时,直线y=a 与g (t )=-t 3+3t 的图象只有一个交点,交点在第四象限,因此知足题意.4.解 由f (x )=0,得a=x 3lnx 在区间(1,e]上有两个不同实数解,即函数y=a 的图象与函数g (x )=x 3lnx 的图象有两个不同的交点.因为g'(x )=x 2(3lnx -1)(lnx )2, 令g'(x )=0得x=√e 3,因此当x ∈(1,√e 3)时,g'(x )<0,函数在(1,√e 3)上单调递减,当x ∈(√e 3,e]时,g'(x )>0,函数在(√e 3,e]上单调递增;则g (x )min =g (√e 3)=3e,而g (e 127)=e 327ln e 127=27e19>27,且g (e)=e 3<27,要使函数y=a 的图象与函数g (x )=x 3lnx 的图象有两个不同的交点, ∴a 的取值范围为(3e,e 3]. 5.解 (1)f'(x )=ax -1ax 2(x>0),当a<0时,f'(x )>0恒成立,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,由f'(x )>0,得x>1a ,由f'(x )<0,得0<x<1a ,函数单调递增区间为(1a ,+∞),单调递减区间为(0,1a). 综上所述,当a<0时,函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,函数f (x )的单调递增区间为(1a ,+∞),单调递减区间为(0,1a ).(2)∵x ∈[1e ,e]时,函数g (x )=(ln x-1)e x +x-m 的零点,即方程(ln x-1)e x +x=m 的根.令h (x )=(ln x-1)e x +x ,h'(x )=(1x +lnx -1)e x +1, 由(1)知当a=1时,f (x )=ln x+1x -1在[1e ,1)递减,在[1,e]上递增,∴f (x )≥f (1)=0,∴1x +ln x-1≥0在x ∈[1e ,e]上恒成立,∴h'(x )=(1x +lnx -1)e x +1≥0+1>0,∴h (x )=(ln x-1)e x +x 在x ∈[1e ,e]上单调递增, ∴h (x )min =h (1e )=-2e 1e +1e ,h (x )max =e .∴当m<-2e 1e +1e 或m>e 时,没有零点,当-2e 1e +1e ≤m ≤e 时有一个零点.6.(1)解 依照题意,得f'(x )=e x -2x ,则f'(0)=1=b.由切线方程可得切点坐标为(0,0),将其代入y=f (x ),得a=-1,故f (x )=e x -x 2-1.(2)证明 令g (x )=f (x )+x 2-x=e x -x-1.由g'(x )=e x -1=0,得x=0,当x ∈(-∞,0)时,g'(x )<0,y=g (x )单调递减;当x ∈(0,+∞)时,g'(x )>0,y=g (x )单调递增.因此g (x )min =g (0)=0,因此f (x )≥-x 2+x.(3)解 f (x )>kx 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立等价于f (x )x >k 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立.令φ(x )=f (x )x,x>0,得 φ'(x )=xf '(x )-f (x )x 2=x (e x -2x )-(e x -x 2-1)x 2=(x -1)(e x -x -1)x 2. 由(2)可知,当x ∈(0,+∞)时,e x -x-1>0恒成立,令φ'(x )>0,得x>1;令φ'(x )<0,得0<x<1.因此y=φ(x )的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1), 故φ(x )min =φ(1)=e -2,因此k<φ(x )min =e -2.因此实数k 的取值范围为(-∞,e -2).。

课后限时集训（十三) 导数的概念及运算(建议用时：60分钟）A 组 基础达标一、选择题1．函数y ＝ln(2x 2＋1）的导数是( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误! B [y ′＝错误!·4x ＝错误!,故选B.］ 2．f （x ）＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1）＝4，则a 的值等于( ）A.错误!B.错误! C 。

错误! D.错误!D [因为f ′(x ）＝3ax 2＋6x ，所以f ′（－1）＝3a －6＝4，解得a ＝103.故选D.］ 3．（2018·广州一模）已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ）A ．ln 2B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2D ［由y ＝x ln x 知y ′＝ln x ＋1，设切点为（x 0，x 0ln x 0），则切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1）(x －x 0)，因为切线y ＝kx －2过定点（0，－2),所以－2－x 0ln x 0＝（ln x 0＋1）（0－x 0),解得x 0＝2，故k ＝1＋ln 2，选D 。

]4．设函数f （x ）＝x 3＋ax 2,若曲线y ＝f (x ）在点P （x 0,f （x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．（0，0)B ．（1,－1）C ．(－1，1）D ．（1，－1)或（－1，1） D ［由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x ）在点P (x 0，f （x 0)）处的切线斜率为f ′（x 0)＝3x 错误!＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0,所以x 0≠0，且错误!，解得a ＝±2，x 0＝－错误!。

所以当错误!时,点P 的坐标为(1,－1）；当错误!时，点P 的坐标为(－1，1)，故选D.]5．已知曲线y ＝错误!，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0A [y ′＝错误!＝错误!，因为e x ＞0，所以e x ＋错误!≥2错误!＝2(当且仅当e x＝错误!,即x ＝0时取等号），则e x ＋错误!＋2≥4，故y ′＝错误!≤－错误!(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值,此时切点的坐标为错误!，切线的方程为y－错误!＝－错误!(x－0)，即x＋4y－2＝0。

课时作业16 导数的综合应用1．(2019·天津调研)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c 等于( A )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1解析：∵y ′＝3x 2－3，∴当y ′＝0时，x ＝±1. 则当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：或c －2＝0，∴c ＝－2或c ＝2.2．已知函数f (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( B )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2e B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)解析：由题意，不等式f (x )＜g (x )在[1，e]上有解，∴mx ＜2ln x 在[1，e]上有解，即m 2＜ln x x 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln xx 2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0， ∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ， ∴m 2＜1e ，∴m ＜2e ，∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e ，故选B ．3．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式e x f(x)＞e x＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为(A) A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)解析：设g(x)＝e x f(x)－e x(x∈R)，则g′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)－1]，因为f(x)＋f′(x)＞1，所以f(x)＋f′(x)－1＞0，所以g′(x)＞0，所以g(x)＝e x f(x)－e x在定义域上单调递增，因为e x f(x)＞e x＋3，所以g(x)＞3.又因为g(0)＝e0f(0)－e0＝4－1＝3，所以g(x)＞g(0)，所以x＞0.4．(2019·福建六校模拟)已知函数f(x)＝(x－a)3－3x＋a(a＞0)在[－1，b]上的值域为[－2－2a,0]，则b的取值范围是(A) A．[0,3] B．[0,2]C．[2,3] D．(－1,3]解析：由f(x)＝(x－a)3－3x＋a，得f′(x)＝3(x－a)2－3，令f′(x)＝0，得x1＝a－1，x2＝a＋1.当x∈(－∞，a－1)∪(a＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(a－1，a＋1)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－∞，a－1)，(a＋1，＋∞)上为增函数，在(a－1，a＋1)上为减函数．又f(a＋1)＝－2－2a，∴要使f(x)＝(x－a)3－3x＋a(a＞0)在[－1，b]上的值域为[－2－2a,0]，则f(－1＋a)＝2－2a≤0，若2－2a＝0，即a＝1，此时f(－1)＝－4，f(0)＝0，－2－2a＝－4，f(3)＝0，f(2)＝－4.∴b ∈[0,3]；若2－2a ＜0，即a ＞1，此时f (－1)＝(－1－a )3＋3＋a ＝－a 3－3a 2－2a ＋2，而f (－1)－(－2a －2)＝－a 3－3a 2－2a ＋2＋2a ＋2＝－a 3－3a 2＋4＝(1－a )·(a ＋2)2＜0，∴不合题意，∴b 的取值范围是[0,3]．故选A ．5．(2019·广东韶关六校联考)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－3x 2＋12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝( D ) A ．100 B ．50 C ．992D ．0解析：∵g (x )＝2x 3－3x 2＋12，∴g ′(x )＝6x 2－6x ，g ″(x )＝12x －6， 由g ″(x )＝0，得x ＝12，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝0， ∴函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫12，0对称，∴g (x )＋g (1－x )＝0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝49×0＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫50100＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故选D ．6．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为144__cm 3.解析：设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，x ∈(0,5)．则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x ， ∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或x ＝203(舍去)， ∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．7．直线x ＝t 分别与函数f (x )＝e x ＋1的图象及g (x )＝2x －1的图象相交于点A 和点B ，则|AB |的最小值为4－2ln2__.解析：由题意得，|AB |＝|e t ＋1－(2t －1)|＝|e t －2t ＋2|， 令h (t )＝e t －2t ＋2，则h ′(t )＝e t －2，所以h (t )在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，所以h (t )min ＝h (ln2)＝4－2ln2＞0， 即|AB |的最小值是4－2ln2.8．(2019·佛山质检)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且不等式f (x )＞－xf ′(x )在(0，＋∞)上恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点个数为3__.解析：定义在R 上的奇函数f (x )满足： f (0)＝0＝f (3)＝f (－3)，f (－x )＝－f (x )， 当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )， 即f (x )＋xf ′(x )＞0， ∴[xf (x )]′＞0，即h (x )＝xf (x )在x ＞0时是增函数， 又h (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )， ∴h (x )＝xf (x )是偶函数，∴当x ＜0时，h (x )是减函数，结合函数的定义域为R ， 且f (0)＝f (3)＝f (－3)＝0，可得函数y 1＝xf (x )与y 2＝－lg|x ＋1|的大致图象如图．由图象可知，函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3.9．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝2e x－(x－a)2＋3，a∈R.(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若x≥0，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2(e x－x＋a)，∵函数f(x)的图象在x＝0处的切线与x轴平行，即在x＝0处的切线的斜率为0，∴f′(0)＝2(a＋1)＝0，∴a＝－1.(2)由(1)知f′(x)＝2(e x－x＋a)，令h(x)＝2(e x－x＋a)(x≥0)，则h′(x)＝2(e x－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)．①当a≥－1时，f′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝5－a2≥0，解得－5≤a≤5，又a≥－1，∴－1≤a≤ 5.②当a＜－1时，则存在x0＞0，使h(x0)＝0且当x∈[0，x0)时，h(x)＜0，即f′(x)＜0，则f(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0，则f′(x)＞0，即f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(x0)＝2e x0－(x0－a)2＋3≥0，又h(x0)＝2(e x0－x0＋a)＝0，∴2e x0－(e x0)2＋3≥0，解得0＜x0≤ln3.由e x 0＝x 0－a ⇒a ＝x 0－e x 0， 令M (x )＝x －e x,0＜x ≤ln3， 则M ′(x )＝1－e x ＜0， ∴M (x )在(0，ln3]上单调递减，则M (x )≥M (ln3)＝ln3－3，M (x )＜M (0)＝－1， ∴ln3－3≤a ＜－1. 综上，ln3－3≤a ≤ 5.故a 的取值范围是[ln3－3，5]．10．(2019·山西康杰中学等四校联考)已知函数f (x )＝x －ln x . (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：当x ≥1时，(x e x ＋1)f (x )e ＋1≥e x －1；(3)若f (x )≥(1－m )x ＋m 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数m 的值．解：(1)f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ，x ∈(0，＋∞)，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，有极小值f (1)＝1，无极大值．(2)证明：原不等式可化为f (x )e ＋1≥e x －1x e x ＋1，记g (x )＝e x －1x e x ＋1，则g ′(x )＝e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，当x ≥1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递减，有g (x )≤g (1)＝1e ＋1，又由(1)知，f (x )e ＋1≥f (1)e ＋1＝1e ＋1，得证．(3)f (x )≥(1－m )x ＋m ， 即ln x －m (x －1)≤0， 记h (x )＝ln x －m (x －1)，则h (x )≤0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 求导得h ′(x )＝1x －m (x ＞0)， 若m ≤0，则h ′(x )＞0， 得h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝0，故当x ＞1时，h (x )＞0，不合题意；若m ＞0，则易得h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞上单调递减，则h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝－ln m －1＋m .依题意有－ln m －1＋m ≤0，故f (m )≤1， 由(1)知f (m )≥1，则m 只能等于1.11．(2019·厦门调研)已知f (x )＝12x 2＋b x ＋c (b ，c 是常数)和g (x )＝14x ＋1x 是定义在M ＝{x |1≤x ≤4}上的函数，对于任意的x ∈M ，存在x 0∈M 使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)，则f (x )在M 上的最大值为( B )A ．72B ．5C ．6D ．8解析：因为当x ∈[1,4]时，g (x )＝14x ＋1x ≥214＝1(当且仅当x ＝2时等号成立)，所以f (2)＝2＋b2＋c ＝g (2)＝1， 所以c ＝－1－b2， 所以f (x )＝12x 2＋b x －1－b2，所以f ′(x )＝x －b x 2＝x 3－bx 2.因为f (x )在x ＝2处有最小值，且x ∈[1,4]， 所以f ′(2)＝0，即b ＝8，所以c ＝－5， 经检验，b ＝8，c ＝－5符合题意． 所以f (x )＝12x 2＋8x －5，f ′(x )＝x 3－8x 2，所以f (x )在[1,2)上单调递减，在(2,4]上单调递增，而f (1)＝12＋8－5＝72，f (4)＝8＋2－5＝5，所以函数f (x )在M 上的最大值为5，故选B ．12．已知f (x )＝|x |e x (x ∈R )，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( C )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，2∪(2，e)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1C ．⎝⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析：依题意，由f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝m －1.当x ＜0时，f (x )＝－x e －x ，f ′(x )＝(x －1)e －x ＜0， 此时f (x )是减函数．当x ＞0时，f (x )＝x e －x ，f ′(x )＝－(x －1)e －x ， 若0＜x ＜1，则f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 若x ＞1，则f ′(x )＜0，f (x )是减函数．因此，要使关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰好有4个不相等的实数根，只要求直线y ＝1，直线y ＝m －1与函数y ＝f (x )的图象共有四个不同的交点．函数f (x )的图象如图．注意到直线y ＝1与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，因此要求直线y ＝m －1与函数y ＝f (x )的图象共有三个不同的交点，结合图象可知，0＜m －1＜1e ，即1＜m ＜1＋1e ，则实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e .13．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1. ∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0， 即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .令h (x )＝－ln x －1，∴a ≥h (x )max ， 当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)， ∴h (x )∈(－∞，－3]，∴a ≥－3， 即实数a 的取值范围是[－3，＋∞)． (2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3， 即mx ≤2x ln x ＋x 2＋3，又x ＞0，∴m ≤2x ln x ＋x 2＋3x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立． 记t (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x ＝2ln x ＋x ＋3x . ∴m ≤t (x )min .∵t ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2， 令t ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－3(舍去)．当x ∈(0,1)时，t ′(x )＜0，函数t (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )＞0，函数t (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴t (x )min ＝t (1)＝4.∴m ≤t (x )min ＝4，即m 的最大值为4.14．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝(x －1)e x －12ax 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －ax ＝x (e x －a )． (ⅰ)若a ≤0，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (ⅱ)若a ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝ln A ． ①若a ＝1，则f ′(x )＝x (e x －1)≥0， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若0＜a ＜1，则ln a ＜0，故当x ∈(－∞，ln a )∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(ln a,0)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减．③若a ＞1，则ln a ＞0，故当x ∈(－∞，0)∪(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，ln a )时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减．(2)(ⅰ)若a ≤0，则由(1)知，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又f (0)＝－1，x 趋近负无穷时，f (x )值趋近正无穷．x 趋近正无穷时，f (x )值趋近正无穷．所以f (x )有两个零点．(ⅱ)若a ＝1，则由(1)知f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )至多有一个零点．(ⅲ)若0＜a ＜1，则由(1)知，f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，设b ＝ln a ，当x ＝b 时，f (x )有极大值f (b )＝a (b －1)－12ab 2＝－12a (b 2－2b ＋2)＜0，故f (x )不存在两个零点．(ⅳ)若a ＞1，则由(1)知，f (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减，当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝－1＜0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为a ≤0.。

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课时作业15 导数与函数的极值、最值一、选择题1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝（ B )A.错误!B．－错误!C．－ln2 D．ln2解析：y′＝2x＋x·2x ln2＝0，∴x＝－1ln2.2．函数f（x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( C ）A．－2 B．0C．2 D．4解析:f′（x)＝3x2－6x，令f′（x)＝0，得x＝0或2.∴f(x)在［－1，0)上是增函数，f（x)在(0，1]上是减函数．∴f（x)max＝f（x)极大值＝f(0)＝2.3．若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则导函数f′(x)的图象不可能是（ D )解析:若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数f′(x）在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x轴，观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的，即f′（x）的图象不可能是D.4．（2019·贵州黔东南州联考)已知函数f(x）＝ln x－ax,若函数f(x）在［1，e］上的最小值为错误!,则a的值为（ A ）A．－ e B．－错误!C．－错误!D．e错误!解析：由题意,f′(x）＝错误!＋错误!，若a≥0,则f′（x）>0,函数单调递增，所以f(1）＝－a＝32，矛盾;若－e<a〈－1，函数f(x)在［1，－a］上递减,在[－a，e]上递增，所以f(－a）＝错误!，解得a＝－错误!；若－1≤a<0，函数f（x）是递增函数,所以f(1)＝－a＝错误!,矛盾；若a≤－e，函数f(x）单调递减，所以f（e)＝错误!，解得a＝－错误!，矛盾．综上，a＝－错误!,故选A.5．（2019·河北邢台质检）若函数f(x）＝错误!x2＋(a－1）x－a ln x存在唯一的极值,且此极值不小于1，则a的取值范围为（ B )A。

第二课时导数与函数的极值、最值A组基础巩固一、选择题1．（2021·成都市高三摸底测试)已知函数y＝f（x)的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f(x）在区间(a,b）内的极小值点的个数为（A)A．1B．2C．3 D．4[解析]如图，在区间（a,b）内,f′（c）＝0，且在x＝c附近的左侧f′(x）〈0,右侧f′（x)〉0，所以在区间（a,b）内只有1个极小值点，故选A.2．下列四个函数，在x＝0处取得极值的函数有(C）A．y＝x3B．y＝x5＋1C．y＝｜x｜D．y＝2x［解析]对于A、B，y＝x3和y＝x5＋1在x＝0处无极值．对于D，y＝2x，y′＝0无解，C符合．故选C。

3．设函数f（x）＝错误!＋ln x，则（D)A．x＝错误!为f(x）的极大值点B．x＝错误!为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点[解析］f（x)＝错误!＋ln x（x〉0），f′(x）＝－错误!＋错误!＝错误!,令f′（x）＝0，得x＝2.当x〉2时，f′(x）〉0，这时f（x）为增函数；当0〈x〈2时，f′(x）〈0，这时f（x)为减函数,据此知x＝2为f（x）的极小值点．故选D。

4．（2021·杭州学军中学模拟）函数f(x）＝x e－x，x∈［0,4］的最小值为（A）A．0B．错误!C.错误!D．错误!［解析]f′(x）＝错误!当x∈[0,1）时，f′(x）〉0，f(x）单调递增，当x∈（1，4]时，f′（x）〈0,f(x）单调递减，因为f（0）＝0，f（4）＝错误!〉0，所以当x＝0时，f （x）有最小值，且最小值为0。

5．已知f(x）＝2x3－6x2＋m(m为常数）在[－2,2］上有最大值3,那么此函数在[－2，2］上的最小值是（A）A．－37B．－29C．－5 D．－13[解析］f′（x)＝6x2－12x,由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x∈(－2,0）时,f′（x)〉0，f（x）单调递增；当x∈(0,2）时，f′（x）<0，f（x）单调递减,所以f（x）max＝f(0）＝m＝3,从而f（－2）＝－37，f（2）＝－5，所以f（x）min＝f(－2）＝－37。