正方形性质及判定

正方形的性质

与判定

板块名称

中考考试要求层次

A

B

C

正方形

会识别正方形

掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

3．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系

2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。

3. 提高学生分析问题与解决问题的能力。

4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点

重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点：正方形知识的灵活应用

中考要求

知识点睛

重、难点

教学目标

一、正方形的性质

【铺垫】正方形有条对称轴．

【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形

⑵如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为

F

E

D C

B

A

⑶如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为．

基础知识

（一）正方形的定义

一组邻边相等的矩形叫做正方形。

（二）正方形的性质

1.正方形四个角都是900

，四条边相等；

2.正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

（三）正方形的判定

1.一组邻边相等的矩形是正方形；

2.有一个角是直角的菱形是正方形；

3.对角线互相垂直的矩形是正方形；

4.对角线相等的菱形是正方形。

正方形的性质与判定

二、正方形判定方法

① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理1—4，都是这种方法；

② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件；

③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。 三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较

四、例题与练习

【例】如图Z-01，Rt ABC 中，∠ACB=90o ，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ， DF ⊥AC 于F ，求证：四边形CFDE 是正方形。

〖思路分析〗要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本例可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。 证法一：先证矩形，再证一组邻边相等 证： ∵DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∠ACB=90o ，

∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o ， ∴有矩形CFDE

（三个角是直角的四边形是矩形） 又∵CD 平分∠ACB ，

DE ⊥BC ，DF ⊥AC

∴DE=DF （角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有正方形CFDE （一组邻边相等的矩形是正方形）

图Z-01

证法二：先证菱形，再证一个内角为90o 证：∵DE ⊥BC ∴∠DEB=90o ，

又∵∠ACB=90o ， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE ∥CF 同理DF ∥CE ∴有CFDE

又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC

正方形的性质与判定

1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3.面积：=S 正方形边长×边长＝12

×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）对角线相等的菱形是正方形；

（3）一组邻边相等的矩形是正方形

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形

随堂练习

1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）

A ．对角线相等

B ．对角线互相垂直

C ．对角线互相平分

D ．对角线平分一组对角

2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )

A ．选①②

B ．选②③

C ．选①③

D ．选②④

3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）

A ．BC ＝AC

B ．CF ⊥BF

C ．B

D ＝DF D ．AC ＝BF

第3题 第4题 第5题 第6题

4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）

正方形的性质与判定

正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。本文将

对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的定义和性质

正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。以下是正方形

的一些性质：

1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。

2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。

3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。

4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是

直角。

二、正方形的判定条件

如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：

1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对

角线相等，则这个四边形是正方形。

2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等

且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。

3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。

三、应用举例

1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判

断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形

是正方形。

2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四

边形是正方形。

3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个

四边形是否是正方形。

根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边

形是正方形。

正方形的性质与判定

正方形是一种特殊的四边形，具有独特的性质。在本文中，我将介绍正方形的定义、性质和判定方法。

首先，我们来定义正方形。正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。其中，相等边长称为边长，直角处的两个边称为邻边，相邻的两个直角称为相邻角，对角线的重合点称为中心。下面，我们将详细介绍正方形的性质。

正方形具有以下性质：

1. 边长相等：正方形的四条边长相等，可以用a表示。这意味着正方形的周长为4a。

2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（90度）。这是因为正方形的两条相邻边构成一条直角线段。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，可以用d表示。这是由于正方形的两个对角线是两条等边三角形的斜边。

4. 对角线互相垂直：正方形的两条对角线相互垂直。这是由于正方形的对角线是两个相交的垂直直角三角形的斜边。

5. 中心对称：正方形的中心是对称中心，即以中心为对称中心将正方形折叠，两边能完全重合。

6. 内切圆：正方形有一个内接圆，即一个与正方形的四条边相切的圆。

7. 外接圆：正方形有一个外接圆，即一个与正方形的四个顶点相切的圆。

接下来，我们来讨论如何判定一个四边形是否为正方形。

判定一个四边形是否为正方形通常有以下几种方法：

1. 判断边长是否相等：一个四边形的四条边长都相等时，可以判定为正方形。

2. 判断内角是否为直角：一个四边形的四个内角都是直角时，可以判定为正方形。

3. 判断对角线是否相等：一个四边形的对角线相等时，可以判定为正方形。

4. 判断对角线是否垂直：一个四边形的对角线互相垂直时，可以判定为正方形。

正方形的判定与性质

引言

正方形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特征。本

文将介绍如何判定一个四边形是否是正方形以及正方形的性质。

判定正方形

判定一个四边形是否是正方形可以从不同角度进行考虑。以下

是几种常见的判定方法：

1.边长相等

一个四边形的四条边长度相等是判定其是否为正方形的一个重

要条件。如果一个四边形的4条边都相等，则可以认为它是正方形。

2.角度相等

正方形的特征之一是它的四个角都是直角（90度）。因此，如果一个四边形的四个角都是90度，则可以判定它是正方形。

3.对角线相等

正方形的两条对角线相等且互相平分对方，也是判定一个四边

形为正方形的条件之一。如果一个四边形的对角线相等且平分对方，则可以认为它是正方形。

正方形的性质

除了以上的判定条件外，正方形还具有许多独特的性质和特征。以下是一些常见的正方形性质：

1.对称性

正方形具有4个对称轴，分别为水平轴、垂直轴和两条对角线。这意味着正方形可以通过沿着这些轴进行翻转而保持不变。

2.面积和周长

正方形的面积等于边长的平方，周长等于4倍边长。这是正方形最基本的面积和周长公式。

3.相似性

正方形与自身全等且相似。这意味着可以通过变换、旋转和缩放等操作得到无数个相似的正方形。

4.内角和外角

正方形的内角都是90度，外角则是270度。这是正方形内角和外角之间的关系。

结论

正方形的判定和性质是数学中的基础知识，对于理解几何形状和解决实际问题都非常重要。通过判定其边长、角度和对角线是否满足特定条件，我们可以判断一个四边形是否是正方形。正方形具

有对称性、特定的面积和周长公式，以及内角和外角的特征。通过

正方形的性质与判定

正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的性质

1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。

2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。

4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD = 45°。

5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD = DA = AC = BD。

二、判定一个四边形是否为正方形

判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。

1.几何性质判定

若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：

（1）四边相等且四个角都是直角；

（2）对角线相等且相互垂直。

2.长度关系判定

若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：

（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；

（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。

三、应用案例

案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A = ∠B = 90°。

解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。因此，四边形ABCD是一个正方形。

正方形的性质和判定

正方形是几何学中的一种特殊形状，它具有许多独特的性质和判定方法。本文将详细介绍正方形的性质以及如何准确地判定一个形状是否为正方形。

一、正方形的性质

正方形是一种具有四条相等边且四个内角均为90度的四边形。以下是正方形的主要性质：

1. 边长性质：正方形的四条边长度相等，记为a。

2. 内角性质：正方形的每个内角均为90度。

3. 对角线性质：正方形的对角线相等且垂直平分对方顶点的内角。

4. 对称性质：正方形具有对称性，笛卡尔坐标系中以正方形的中心为原点，可以将正方形分为四个相等的象限。

5. 封闭性质：正方形的四条边围成一个封闭的区域。

二、如何判定一个形状是否为正方形

判定一个形状是否为正方形的关键在于验证其是否满足正方形的定义和性质。以下是两种常见的判定方法：

1. 边长相等判定：通过测量四条边的长度，如果它们相等，则可以初步判断该形状为正方形。但该方法仅适用于已知各边长度的情况。

2. 内角度数判定：通过测量四个内角的度数，如果它们均为90度，则可以确定该形状为正方形。注意，只有测量到了90度的误差范围内，才能断定该形状为正方形。

三、案例分析

下面通过一个具体的案例演示如何判定一个形状是否为正方形：

假设有一个形状ABCD，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，同时角ABC=90度，我们需要判定该形状是否为正方形。

根据判定方法，首先我们测量四条边的长度，已知

AB=BC=CD=DA=4厘米，满足正方形的边长性质。

接下来，我们需要测量四个内角的度数，已知角ABC=90度。如果

我们测量到剩余三个角的度数也均为90度，那么可以确定该形状为正

正方形的性质与判定

正方形是几何学中常见的一个形状，具有许多独特的性质和特点。本文将探讨正方形的性质与判定方法。

一、正方形的定义

正方形是一种四边相等且四个角均为直角的特殊四边形。它既是矩形，也是菱形，同时也是正多边形。正方形的特点使其在几何学中具有重要的地位。

二、正方形的性质

1. 边长性质

正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。

2. 角度性质

正方形的四个内角均为直角，即

∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。

3. 对称性质

正方形具有各种对称性质。其中包括中心对称、对角线对称和轴对称。正方形可绕其中心旋转180°得到一模一样的图形。

4. 对角线性质

正方形的对角线相等且垂直平分对方的角。即AC=BD=2r，且AC⊥BD。

5. 对应边平行性质

正方形的对边是平行的，即AB∥CD，BC∥AD。

三、正方形的判定方法

确定一个四边形是否是正方形可以根据以下几种常见的判定方法。

1. 边长判定

如果一个四边形的四条边长度均相等，则可以判定为正方形。

2. 角度判定

如果一个四边形的四个内角均为直角，则可以判定为正方形。

3. 对角线判定

如果一个四边形的对角线相等且垂直平分对方的角，则可以判定为正方形。

4. 组合判定

可以结合使用边长、角度和对角线的性质来判定一个四边形是否是正方形。例如，如果一个四边形的对边平行且相等，并且对角线垂直且相等，则可以判定为正方形。

四、应用举例

正方形的性质和判定方法在几何学中有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景。

1. 建筑设计

在建筑设计中，正方形的对称性和稳定性使其成为设计方案中常见的形状之一。例如，一些公共广场的地面铺装常采用正方形的铺砖方式。

正方形的性质与判定

正方形的性质：1.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质

2.正方形的四个角都____________；四条边都____________且

____________；正方形的两条对角线____________，并且互相____________，每条对角线平分____________对角，它有____________条对称轴.

正方形的判定：________________________的平行四边形是正方形

________________________的矩形是正方形

________________________的矩形是正方形

________________________的菱形是正方形

________________________的菱形是正方形

1．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；

（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．

2．已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE是正方形．

3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．

4．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？

5.如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

3．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

一、正方形的性质

【例1】 正方形有 条对称轴．

【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形

【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且

20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为

F

E D C

B

A

【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，

2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．

正方形的性质

及判定

正

方形

菱形

矩形平行四边形

【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正

方形重叠形成的重叠部分的面积和为

【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于

E F ，，若43AE CF ==，，则EF =

正方形的性质和判定

正方形是我们学习数学时经常接触到的一个几何图形，它具有独特的性质和判

定方法。在本文中，我将为大家详细介绍正方形的性质和判定，并通过具体的例子来说明。

一、正方形的性质

正方形是一种特殊的四边形，它具有以下几个重要的性质：

1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的性质之一。例如，如果一条边的长度是5cm，那么其他三条边的长度也都是5cm。

2. 内角相等：正方形的四个内角都是90度，也就是直角。这是正方形与其他

四边形的明显区别之一。无论正方形的边长是多少，它的内角都是直角。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线长度相等。对角线是连接正方形两个相对

顶点的线段，它们的长度相等。例如，如果一条对角线的长度是8cm，那么另一条对角线的长度也是8cm。

4. 对角线垂直：正方形的两条对角线相互垂直，也就是说它们的夹角是90度。这个性质与正方形的内角都是直角相呼应，使得正方形具有更多的特殊性。

二、正方形的判定

在生活中，我们经常需要判断一个图形是否是正方形。下面，我将介绍两种判

定正方形的方法。

1. 边长相等判定法：如果一个四边形的四条边长度相等，那么它就是一个正方形。这是最简单也是最直观的判定方法。例如，如果一个四边形的四条边长度都是

6cm，那么它就是一个正方形。

2. 对角线相等判定法：如果一个四边形的两条对角线长度相等，那么它就是一个正方形。这个方法相对来说稍微复杂一些，但在某些情况下更加实用。例如，如果一个四边形的一条对角线长度是10cm，而另一条对角线长度是10cm，那么它就是一个正方形。

正方形的性质与判定条件

正方形是几何学中一个重要的形状，具有独特的性质和判定条件。

正方形是指具有四条相等边和四个直角的四边形。本文将探讨正方形

的性质与判定条件，以及其在几何学中的重要应用。

一、正方形的性质

1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。

2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（即90度），即

∠BAD=∠CDA=∠DCB=∠ABC=90°。

3. 对角线相等：正方形的对角线相等，即AC=BD。

4. 对角线互相平分：正方形的对角线互相平分，即AC和BD分别

平分对方的两个内角，即∠BAD=∠CDA和∠ABC=∠BCD。

5. 对边互相平行：正方形的对边互相平行，即AB∥CD且BC∥DA。

二、正方形的判定条件

1. 边长相等的四边形：若一个四边形的四条边长度相等，则它是一

个正方形。

2. 直角四边形：若一个四边形的四个内角都是直角，则它是一个正

方形。

3. 对角线相等且互相平分：若一个四边形的对角线相等且互相平分

对方的两个内角，则它是一个正方形。

三、正方形的应用

1. 建筑设计：正方形具有稳定的结构，常被应用于建筑设计中，如

平面布局、房间设计等。

2. 四边形研究：正方形是四边形的一种特殊情况，通过了解正方形

的性质，有助于深入理解其他类型的四边形。

3. 数学证明：正方形是许多几何学问题的理论基础，通过研究正方

形的性质，可以推导出其他几何形状的性质和定理。

总结：正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形，具有边

长相等、内角为直角、对角线相等、对角线互相平分以及对边互相平

正方形性质与判定

1）定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

2）性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴。正方形也是中心对称图形。）

3）判定：

① 有一个内角是直角的菱形是正方形； ② 邻边相等的矩形是正方形； ③ 对角线相等的菱形是正方形；

④ 对角线互相垂直的矩形是正方形。 4）正方形的周长和面积： 正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长

例题讲解

1. 如图，正方形ABCD 中，△EBC 是正三角形，求∠EAD 的度数。

2. 如图，正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，以CG 为边做正方形GFEC ， 求证：BG=DE

3. 如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BG ⊥CE 于G 交AD

于F ， 求证：CE=BF 。

4. 分别以三角形ABC 两边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，

求证：BG=CE 。

5. 如图，平行四边形ABCD 中，△ABE 、△BCF 是以

AB 、BC 为边的等边三角形，

求证：△DEF 是等边三角形。

6. 如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ， 求证：EF ∥DC 。

7. 如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于O ，DE 平分

∠ADB ，CN ⊥DE 于N ，

求证：OF=2

1

AG 。

8. 如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF. （1） AE 与BF 相等吗？为什么？

（2） AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。