08指数与指数函数-高考文科数学押题专题训练

第五节指数与指数函数A组基础题组1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( )A.1B.C.D.2.已知a=,b=,c=2,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.2,+∞)C.-2,+∞)D.(-∞,-2]4.函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( )A.f(-4)>f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1)D.不能确定5.定义区间x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为a,b],值域为1,9],则区间a,b]的长度的最大值为,最小值为.6.若指数函数y=a x在-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a= .7.(2016安徽江淮十校第一次联考)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.8.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.9.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈-3,0]上的值域;(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.B组提升题组10.已知奇函数y=如果f(x)=a x(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=( )A. B.- C.2-x D.-2x11.已知函数f(x)=e x,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,则下列关于f(x)的性质:①(x1-x2)f(x1)-f(x2)]>0;②y=f(x)不存在反函数;③f(x1)+f(x2)<2f;④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根,其中正确的是( )A.①②B.①④C.①③D.③④12.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系中一定成立的是( )A.3c>3aB.3c>3bC.3c+3a>2D.3c+3a<213.若函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是0,2],则实数a= .14.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)在-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,则a= .15.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.答案全解全析A组基础题组1.Da=(2+)-1=2-,b=(2-)-1=2+,∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2=+=. 2.A 因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a<c,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以<,即b<a,所以b<a<c,故选A.3.B 由f(1)=得a2=,又a>0,所以a=,因此f(x)=.根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是2,+∞).4.A 由题意知a>1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由y=a x(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).5.答案4;2解析由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域可以为-2,m](0≤m≤2)或n,2](-2≤n≤0),故区间a,b]的最大长度为4,最小长度为2.6.答案解析若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0,解得a=或a=(舍去).若a>1,则a-a-1=1,即a2-a-1=0,解得a=或a=(舍去).综上所述,a=.7.答案e解析由于f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;当x<1时,f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)=e.8.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以解得a2=4,又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为.所以m≤,即m的取值范围是.9.解析(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,则t∈.故y=2t2-t-1=2-,t∈,故y∈.即f(x)在x∈-3,0]上的值域为.(2)令m=2x,则m∈(0,+∞).关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.记g(m)=2am2-m-1,当a=0时,m=-1<0,不符合题意.当a<0时,g(m)图象的开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不符合题意.当a>0时,g(m)图象的开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.综上所述,a的取值范围是(0,+∞).B组提升题组10.D 由题图知f(1)=,∴a=,则f(x)=,由题意得g(x)=-f(-x)=-=-2x,故选D.11.B 因为e>1,所以f(x)=e x为定义域内的增函数,故①正确;函数f(x)=e x的反函数为y=lnx(x>0),故②错误;f(x 1)+f(x2)=+>2=2=2f,故③错误;作出函数f(x)=e x和y=x2的图象(图略)可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故④正确.选B.12.D 画出f(x)=|3x-1|的图象,如图所示,要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0,且a>0.∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,又f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2.13.答案解析当a>1时,f(x)=a x-1在0,2]上为增函数,则a2-1=2,∴a=±.又∵a>1,∴a=.当0<a<1时,f(x)=a x-1在0,2]上为减函数,又∵f(0)=0≠2,∴不满足条件.综上可知,a=.14.答案解析g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<.当a>1时,f(x)=a x为增函数,由题意知⇒m=,与m<矛盾.当0<a<1时,f(x)=a x为减函数,由题意知⇒m=,满足m<.故a=.15.解析(1)∵f(x)=e x-,∴f'(x)=e x+,∴f'(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,又≥0,∴=0,∴t=-,∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.。

D.-2X _4. 函数f(x)=1-e |x|的图象大致是(5. 若函数y=a x -b(a>0,且a 鬥)的图象经过第二、第三、第四象限A.(1, + 叼B. (0, +旳基础巩固i •化简 (x<O,y< 0)得(A.2xB.2xC.(0,1)D.无法确定 6.已知 a=20.2,b= O.40.2,C =O.40.6,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a 7.若函数f(x)=a |2x-4|(a>0,a 为)满足f(1)=~,则f(x)的单调递减区间是(A.(-s ,2]B.[2, +旳C.-2xJ Lk1D3.已知f(x)=3x-b (2<x w 4,b 为常数)的图象经过点 (2,1),则f(x)的值域为(A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1, + 乡 a b 的取值范围为()2.函数f(x)=2|x-11的大致图象是 ),则C. [-2,+ 旳D. (a,-2]8. 函数 y= 2-2 x 是( )A. 奇函数，在区间(0, +乡内单调递增B. 奇函数，在区间(0,+旳内单调递减C. 偶函数，在区间(-x ,0)内单调递增D. 偶函数，在区间(-x ,0)内单调递减9. 曲线 y=2a |x-1|-1(a>0,a 鬥)过定点 __________10.函数f(x)= ____________ - 的值域为 .15.已知函数f(x)=|2x -1|,且当a<b<c 时有f(a)>f(c)>f(b),则下列结论一定成立的是 (A. a< 0,b< 0,c<0B.a< 0,b > 0,c>0 — -a cC. 2 <2 a c小D.2 +2 <216. _______________ 记X 2-X 1为区间［x 1,x 2］的长度,已知函数y=2|x|,x € ［-2,a ］(a > 0),其值域为［m,n ］,则区间［m,n ］的长度的 最小值是.三、高考预测11.函数y= -+ 1在x € ［-3,2］上的值域是_X、,12.已知函数 f(x)= (a-2)a (a>0,且 a 为),若对任意 x 1,x 2€ R ,>0,则a 的取值范围二、能力提升13.当x € (-a ,-1］时,若不等式(m 2-m) 4x -2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-1,2)D.(-3,4)14.若存在正数 x 使2x (x-a)< 1成立，则a 的取值范围是 A. (a,+汨 B.(-2,+ 叼C. (0,+ a ) D. (-1,+a )17.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6，则a,b,c 的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a考点规范练8指数与指数函数1. D2. B 解析因为f(x)=2|x-1|= -所以f(x)在［1,+ x)内为增函数，在(-円1)内为减函数•3. C 解析由f(x)的图象经过点(2,1)可知b=2.因为f(x)=3x-2在区间［2,4］上是增函数，所以f(x)min =f (2) = 1,f(x)max=f (4) = 9.故f(X)的值域为［1,9］•4. A 解析因为函数f(x)= 1 -e|x|是偶函数，且值域是(-x,0］,只有A满足上述两个性质.故选A.5. C 解析因为函数图象经过第二、第三、第四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在y轴负半轴上•令x=0，得y=a°-b= 1-b,由题意得解得故a b€ (0,1),故选C.6. A 解析由0.2<0.6,0<0.4<1,可知0.40.2>0.40",即b>c.又因为a=20.2>1,b=O.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.7. B 解析由f(1) = 一得a2=-,故a=- -- 舍去，即f(x)= - .由于y=|2x-4|在(-x,2］上单调递减，在［2, + x)上单调递增，故f(x)在(-x,2］上单调递增，在［2, + X上单调递减■故选B.8. A 解析令f(x)=2x-2-x，则f(x)的定义域为R，且f(-x) = 2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，排除C,D. 又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数，所以y= 2x-2-x在R上为增函数.9. (1,1) 解析由|x-1|=0,即x= 1,此时y=1 故函数恒过定点(1,1).10. ［0,1)解析由1-e x>0,可知e x w 1.又0<e x,所以-K -e x<0,即0W 1 -e x< 1.故函数f(x)的值域为［0,1).11•- 解析令匸-，由x€ [-3,2],得t €_.则y=t2-t+ 1=-一 - - .当t= -时,y min = -；当t=8 时,y max= 57.故所求函数的值域为一12. (0,1) U (2,+旳解析由题意知f(x)在R上是增函数•当0<a< 1时,a-2<0,y=a x单调递减，所以f(x)单调递增；当1<a< 2时,a-2<0,y=a x单调递增，所以f(x)单调递减；当a=2时,f(x)=0;当a>2时,a-2>0,y=a x 单调递增所以f(x)单调递增•故a的取值范围是(0,1) U (2,+旳.213. C 解析原不等式可变形为m -m< - •函数y= -在(-8,-1]上是减函数，当x€ (-8,-1］时,m2-m< -恒成立等价于m2-m<2，解得-1<m< 2.14. D 解析不等式2x(x-a)< 1可变形为x-a< - •在同一平面直角坐标系中作出直线y=x-a与y= 一的图象.由题意知，在(0,+ 8内，直线有一部分在y= -图象的下方.由图可知，-a< 1所以a>-1.15. D 解析作出函数f(x)=|2x-1|的图象，如图.T当a<b<c 时,有f(a)>f (c)>f (b),•••结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0.•••0<2a<l.•••f(a)=|2a-i|=i-2a<1.•••f(c)< 1, /.0<c< 1.• 1<2c<2,•f(c)=|2c-1|=2c-1,又f(a)>f (c), • 1-2a>2c-1,•2a+2c<2,故选D.16.3 解析令f(x)=y= 2|x|，则f(x)= _(1)当a=0时,f(x)=2-x在［-2,0］上为减函数值域为［1,4］.⑵当a>0时,f(x)在［-2,0)上为减函数，在［0,a］上为增函数①当0<a < 2 时,f(x)max=f(-2)=4，值域为［1,4］;②当a>2 时,f(x)max=f(a)=2a>4，值域为［1,2a］.综上(1)(2),可知［m,n］的长度的最小值为 3.17. C解析函数y=0.6x在定义域R上为减函数，0 0.6 1.5•1=0.60>0.60.6>0.61.5.而函数y=1.5x为增函数，• 1.50.6> 1.5°= 1, • b<a<c.。

课时作业(八)B [第8讲 指数与指数函数][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＞0且a ≠12．设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知实数a 、b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．给出下列结论：①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 能力提升5．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]6．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图像大致为( )－37．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )，b (a >b )，如1]( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)8．若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.52 B ．3 C.72 D ．49．计算：(log 25)2－4log 25＋4＋log 215＝________.10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．11．函数y ＝⎝⎛⎭⎫126＋x －2x 2的单调增区间为________．12．(13分)已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a ＞0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．13．(12分)[2011·江阴调研] 已知函数f(x)＝2|x－m|和函数g(x)＝x|x－m|＋2m－8.(1)若m＝2，求函数g(x)的单调区间；(2)若方程f(x)＝2|m|在x∈[－4，＋∞)恒有唯一解，求实数m的取值范围；(3)若对任意x1∈(－∞，4]，均存在x2∈[4，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m 的取值范围．课时作业(八)B【基础热身】1．C [解析] 由已知得⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1，得a ＝2.2．B [解析]由1<x <2，可知1<x 3<8；－1<x －2<0,1<⎝⎛⎭⎫12x －2<2.3．B [解析] 当a <b <0，a ＝b ＝0，a >b >0时，都存在a 、b 使⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 成立，故①②⑤正确，③④不正确，因此选B.4．B [解析] ∵a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，∴①错；②显然正确；解⎩⎨⎧x －2≥0，3x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确；∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127＝3－3，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确． 【能力提升】5．D [解析] y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝⎝⎛⎭⎫2x －322＋34∈[1,7]，∴⎝⎛⎭⎫2x－322∈⎣⎡⎦⎤14，254. ∴2x －32∈⎣⎡⎦⎤－52，－12∪⎣⎡⎦⎤12，52.∴2x ∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．6．A [解析] 要使函数有意义，需e x －e －x ≠0，所以其定义域为{x |x ≠0}，又因为y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，所以当x >0时函数为减函数，故选A. 7．C [解析] 由定义知f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≥0，2x ，x <0，而x ≥0时，2－x ∈(0,1]；x <0时，2x ∈(0,1)，∴函数f (x )的值域为(0,1]．8．C [解析] 依题意：2x 1－1＝52－x 1，log 2(x 2－1)＝52－x 2，∴2x 1－1＝32－(x 1－1)，log 2(x 2－1)＝32－(x 2－1)．又函数y 1＝2x 与y 2＝log 2x 互为反函数，∴x 1－1＋x 2－1＝32，即x 1＋x 2＝32＋2＝72.故选C.9．－2 [解析] 原式＝(log 25－2)2－log 25＝log 25－2－log 25＝－2.10.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 数形结合．当a >1时，如图①，只有一个公共点，不符合题意．当0<a <1时，如图②，由图像知0<2a <1，∴0＜a ＜12.11.14，＋∞ [解析] 设u ＝6＋x －2x 2，则u ＝－2x －142＋498，在⎝⎛⎭⎫－∞，14上为增函数，在⎝⎛⎭⎫14，＋∞上为减函数，又0<12<1，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫126＋x －2x 2的单调增区间为⎝⎛⎭⎫14，＋∞.12．[解答] (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，∴f (x )为增函数． 当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，∴f (x )为增函数．故当a ＞0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]． 【难点突破】13．[解答] (1)m ＝2时，g (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x －4(x ≥2)，－x 2＋2x －4(x <2).函数g (x )的单调增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，单调减区间为(1,2)． (2)由f (x )＝2|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有唯一解， 得|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有唯一解． 当x －m ＝－m 时，得x ＝0∈[－4，＋∞)；当x －m ＝m 时，得x ＝2m ，则2m ＝0或2m <－4， 即m <－2或m ＝0.综上，m 的取值范围是m <－2或m ＝0.(3)f (x )＝⎩⎨⎧2x －m(x ≥m )，2m －x (x <m ).则f (x )的值域应是g (x )的值域的子集．①当4≤m ≤8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在[4，m ]上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4≥2m －8，解得4≤m ≤5或8≥m ≥6.②当m >8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在⎣⎡⎦⎤4，m2上单调递增，⎣⎡⎦⎤m2，m 上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，g (4)＝6m －24>g (m )＝2m －8，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4≥2m －8，解得m >8.③0<m <4时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即72≤m <4.④m ≤0时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即m ≥72(舍去)．综上，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，5∪[6，＋∞)．。

高考数学专题:指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1.根式(1)概念:式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念:函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质R1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错. (2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x2＋1≥a .故y ＝a x2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A.－9B.7C.－10D.9解析 原式＝(26)12－1＝8－1＝7. 答案 B3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案 D4.（·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析 由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)考点一 指数幂的运算【例1】 化简:(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意:①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称， 又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]， 因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知:如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【训练2】 (1)（·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1. 则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三 指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练3】 (1)（·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.c <b <a(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0， 所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27； 当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.（·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.a <c <b解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .答案 A2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.（·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.（·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1 B.a C.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.（·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.（·江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________. 解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}8.（·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________. 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析 因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1， 所以a >－1.答案 D12.（·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析 ∵x ∈(0，4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号.∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确.答案 A13.（·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案 －2x (x <0)14.（·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

考点0８指数与指数函数１、不等式(错误!未定义书签。

）ｘ2-8>３－２x的解集是__＿_＿___．【答案】{ｘ|-2〈ｘ〈４}【解析】原不等式为（错误!未定义书签。

)x2－８〉(错误!)２x，∴ｘ２-8<2x，解之得-２〈x<4.２、设a＝4０.９,b＝80。

48，c=(错误!)-１。

5，则ａ、ｂ、c从大到小排列的顺序为_＿_____＿.【答案】a>ｃ>b【解析】∵ａ＝４０．9＝２1。

８,ｂ=８0.48=21．4４,ｃ＝(错误!）－１。

5=２1.5，∴２1。

8>21。

５〉２１。

44，即a〉c>b。

3、已知f(x）=2ｘ＋2－x，若f(ａ）＝3，则ｆ(2a）等于__＿_____．【答案】7【解析】由f（a）=3得２a＋2－a＝3,∴(2a+2-a)2＝9,即2２a＋２-2ａ+２=9。

所以22a+2－2a＝7，故f(2a)＝22a+2－2a＝７．４、若a〉1，ｂ〈0，且a b+a－b=2错误!,则a b-a-b的值等于___＿＿__＿.【答案】－２【解析】∵ａ〉1,b〈0，∴0〈a b〈1,a-b〉1.又∵(a b+a-b)2=a2b＋ａ－2b＋2=８，∴ａ2b＋a-2b＝６,∴(ａb-a－b)２=ａ2b＋a-２b－２=4，∴aｂ-a－ｂ＝-2。

5、若f（x)=a-x与ｇ(x）=a x－ａ(ａ>0且ａ≠１)的图象关于直线x=1对称，则a=__＿_＿_＿_。

【答案】2【解析】函数ｆ(x)＝a-x上任意一点(ｘ0，ｙ0）关于直线x=1对称的点为（2－x0，y0）,即有g(2－x0)＝a2－x0-a＝f（ｘ0)=a-x0，故a＝２。

6、若直线ａx－by＋2＝0(a＞0，b>0）和函数f(x)=a x+1+１（a＞０且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

取最小值时，函数f(ｘ）的解析式是_＿＿___＿＿．【答案】(22-2)x＋１+1【解析】函数f（x)＝a x＋1＋1(a＞0且ａ≠1)的图象恒过点(-１，２）,故12ａ+b=１，错误!未定义书签。

课时过关检测(九)指数与指数函数【原卷版】1．已知a＞0，则a2a3a2＝()A．a 65B．a56C．a 56 D．a532．已知函数f(x)＝2e xe x＋1＋x(其中e为自然对数的底数，e＝2．71828…)，若实数m满足f(m)＝－1，则f(－m)＝()A．4B．3C．2D．13．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A．3．6小时B．3．8小时C．4小时D．4．2小时6．(多选)已知f(x)＝1－2x1＋2x，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)在R上单调递增D．f(x)在R上单调递减7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．8．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．9．已知函数f(x)＝b·a x(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．10．已知f(x)＝a－23x＋1(a为常数)为奇函数，则满足f(ax)＞f(1)的实数x的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)11．(多选)关于函数f(x)＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形12．当x∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x＋4x a≥0恒成立，则a的取值范围是________．13．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|．(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．14．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x．若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为()A．35B．－35C．1D．－115．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f (x )为理想函数，假定∃x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]，且f [f (x 0)]＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0．课时过关检测(九)指数与指数函数【解析版】1．已知a ＞0，则a 2a 3a 2＝()A ．a 65B ．a 56C ．a56-D ．a53解析：Ba 2a 3a 2＝a 2a 12·a23＝a 1-2223＝a 56．故选B ．2．已知函数f (x )＝2e xe x ＋1＋x (其中e 为自然对数的底数，e ＝2．71828…)，若实数m 满足f (m )＝－1，则f (－m )＝()A ．4B ．3C ．2D ．1解析：B由题意，函数f (x )＝2e x e x ＋1＋x ，可得f (－x )＝2e －xe －x ＋1－x ＝2e x 1e x＋1－x ＝2e x ＋1－x ，可得f (x )＋f (－x )＝2e x e x ＋1＋x ＋2e x ＋1－x ＝2，即f (m )＋f (－m )＝2，因为f (m )＝－1，所以f (－m )＝3．故选B ．3．函数y ＝16－4x 的值域是()A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：C要使函数有意义，须满足16－4x ≥0，则x ∈(－∞，2]，所以4x ∈(0,16]，则0≤16－4x ＜16，即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．故选C ．4．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是()解析：Af 0)＜0，f 1)＞0，f －1)＜0ab ＜0，①(－a )(1－b )＞0，②(1－a )(－1－b )＜0，③因为a ＞b ，所以由①可得：a ＞0＞b ，由③可得：－1－b ＞0⇒b ＜－1，由②可得：1－a ＞0⇒a ＜1，因此有1＞a ＞0＞－1＞b ，所以函数g (x )＝a x ＋b 是减函数，g (0)＝1＋b ＜0，所以选项A 符合，故选A ．5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N (mg/L)与时间t 的关系为N ＝N 0e －kt (N 0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A ．3．6小时B ．3．8小时C ．4小时D ．4．2小时解析：C由题意可得N 0e－4k＝45N 0，可得e －4k ＝45，设N 0e －kt＝0．64N 045N 0，可得e －kt＝(e －4k )2＝e －8k ，解得t ＝8．因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选C ．6．(多选)已知f (x )＝1－2x1＋2x ，则()A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )在R 上单调递增D ．f (x )在R 上单调递减解析：ADf (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x1＋2x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除B ；因为f (x )＝1－2x 1＋2x ＝21＋2x －1，且y ＝2x在R 上单调递增，所以y ＝1＋2x 在R 上单调递增，所以y ＝21＋2x－1在R 上单调递减，即f (x )在R 上单调递减，排除C ．故选A 、D ．7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x 1x 2≥0时，f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x )为偶函数．解析：若满足①对任意的x 1x 2≥0有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，则对应的函数为指数函数y ＝a x 的形式；若满足②f (x )为偶函数，只需要将x 加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足f (x )＝a |x |(a ＞0，a ≠1)即可．答案：f (x )＝2|x |(答案不唯一)8．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1．由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．答案：(1，＋∞)f (－4)＞f (1)9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )的图象经过点A (1,6)，B (3,24)·a ＝6，·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3．所以f (x )＝3·2x ．(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]－m ≥0恒成立，即m ＋在x ∈(－∞，1]上恒成立．又因为y 与y 均为减函数，所以y 也是减函数，所以当x ＝1时，y 有最小值56．则m ≤56，故m ∞，56．10．已知f (x )＝a －23x ＋1(a 为常数)为奇函数，则满足f (ax )＞f (1)的实数x 的取值范围是()A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：A因为函数f (x )＝a －23x ＋1为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝2a －23x ＋1－23－x ＋1＝2a －23x ＋1－2·3x 3x (3－x ＋1)＝2a －2(1＋3x )3x ＋1＝2a －2＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝1－23x ＋1，任取x 1＞x 2，则3x 1＞3x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1－3x 2)(3x 1＋1)(3x 2＋1)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，则函数f (x )为R 上的增函数，由f (x )＞f (1)，解得x ＞1．故选A ．11．(多选)关于函数f (x )＝14x ＋2的性质，下列说法中正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形解析：ACD函数f (x )＝14x ＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )D 正确．12．当x ∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x ＋4x a ≥0恒成立，则a 的取值范围是________．解析：不等式1＋2x ＋4x a ≥0恒成立，转化为－a ≤1＋2x4x ＝，易知函数y是R 上的减函数，因此x ∈(－∞，－1]时，y min 11＝6，所以－a ≤6，即a ≥－6．答案：[－6，＋∞)13．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |．(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对任意t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1．(2)当t ∈[1,2]时，22t t0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)，又y ＝－22t －1，t ∈[1,2]为减函数，所以y max ＝－22－1＝－5，故m ≥－5．即m 的取值范围是[－5，＋∞)．14．已知g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且满足g (x )－h (x )＝2x ．若存在x ∈[－1,1]，使得不等式m ·g (x )＋h (x )≤0有解，则实数m 的最大值为()A ．35B ．－35C ．1D ．－1解析：A∵g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且g (x )－h (x )＝2x ①，∴g (－x )－h (－x )＝g (x )＋h (x )＝2－x②，①②两式联立可得g (x )＝2x ＋2－x 2，h (x )＝2－x －2x2．由m ·g (x )＋h (x )≤0得m ≤2x －2－x 2x ＋2－x ＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1，∵y ＝1－24x ＋1在x ∈[－1,1]上为增函数，＝35，故选A ．15．对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f (x )为理想函数，假定∃x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]，且f [f (x 0)]＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0．解：(1)若函数f (x )为理想函数，取x 1＝x 2＝0，由条件③可得f (0)≥f (0)＋f (0)，即f (0)≤0．由条件①对任意的x ∈[0,1]，总有f (0)≥0．综上所述，f (0)＝0．(2)函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])为理想函数，证明如下：函数g (x )＝2x －1在[0,1]上满足g (x )≥0，即满足条件①．∵g (1)＝21－1＝1，∴g (x )满足条件②．若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③．综上所述，g(x)同时满足理想函数的三个条件，故g(x)为理想函数．(3)证明：由条件③知，任给m，n∈[0,1]，当m＜n时，n－m∈[0,1]，∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾；若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾．综上所述，x0＝f(x0)．。

高考数学函数专题训练 指数函数一、选择题1．设0n >，且1n n b a <<，则（ ） A ．01b a <<< B ．01a b <<< C ．1b a << D ．1a b <<【答案】C【解析】因为100n n>⇒>，所以当1n n a b >>时，11()()1n n n n a b >>，即 1a b >>，故选C.2.函数(21)xy x e =-的图象是（ ）【答案】A【解析】因为函数只有1个零点,所以排除C,D 两项,由()21e xy x '=+,可知函数在12x =-处取得极小值,所以不是定义域上的单调增函数,所以B 不对,只能选A ．3.已知函数()2x xe ef x --=， 1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>， 230x x +>， 310x x +>，则()()()123f x f x f x ++的值（______）A.一定等于零．B.一定大于零．C.一定小于零．D.正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得()f x 为奇函数，且()f x 在R 上是增函数，由12120x x x x +>⇒>-⇒()()()122f x f x f x >-=-，同理可得()()23f x f x >-， ()()()()3112f x f x f x f x >-⇒+()()()()()()()()32311230f x f x f x f x f x f x f x +>-++⇒++>.4.已知函数()93xxf x m =⋅-,若存在非零实数0x ,使得()()00f x f x -=成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m ≥B ．2m ≥C ．02m <<D ．102m << 【答案】D【解析】函数()93xxf x m =⋅-关于y 轴的对称函数为()()()93xx g x m g x f x --=-∴=g 有解,即33119393332099332x x xxxxx xx x x x m m m m --------=⋅-∴==+≥∴<<-+g Q5.已知点n A （n ,n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上,则46a a +与52a 的大小关系是（ ） A ．46a a +＞52a B ．46a a +＜52aC ．46a a +＝52aD ．46a a +与52a 的大小与a 有关 【答案】A【解析】点代入函数式得nn a a =,数列{}n a 为等比数列2464655222a a a a a a ∴+>==6.已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】依题意， 23log 31,0log 21a b =><=<，令()0f x =， x a x b =-+， xy a =为增函数，y x b =-+为减函数，故有1个零点.7.已知则之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法比较【答案】A 【解析】设，则，.∴，，∵，∴，即.故选A.8.设平行于x 轴的直线l 分别与函数和的图象相交于点A ，B ，若在函数的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l （ ）A ．至少一条B ．至多一条C ．有且只有一条D ．无数条 【答案】C【解析】设直线l 的方程为，由，得，所以点．由，得，所以点，从而|AB|＝1.如图，取AB 的中点D ，连接CD ，因为△ABC 为等边三角形，则CD ⊥AB ， 且|AD|＝，|CD|＝，所以点.因为点C 在函数的图象上，则，解得，所以直线l 有且只有一条，故选C.9．已知函数()2x f x m =-的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称，若函数()y f x =与函数()y g x =在区间[]1,2上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是A ．[)1,4,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ B ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,4D ．[)4,+∞ 【答案】B【解析】因为函数()y g x =与()2x f x m =-的图象关于y 轴对称，所以()2x g x m -=-，函数()y f x =与函数()y g x =在区间[]1,2上同时单调递增或同时单调递减，所以函数()2x f x m =-和函数()2x g x m -=-在[]1,2上单调性相同，因为2x y m =-和函数2x y m -=-的单调性相反，所以()()220xx m m ---≤在[]1,2上恒成立，即()21220x x m m --++≤在[]1,2上恒成立，即22x x m -≤≤在[]1,2上恒成立，得122m ≤≤，即实数m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B.10.已知0a b >>，b a a b =，有如下四个结论：①e b <；②b e >；③a b ∃，满足2a b e ⋅<；④2a b e ⋅>． 则正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C 【解析】0,,b a a b a b >>=Q 则ln ln ln ln a bb a a b a b=⇒=，设函数ln ,0xy x x =>， 1ln ,0x y x x ='->，可知函数ln ,0x y x x=>在()0,e 单调递增，在(),e +∞上单调递减，如图所示，可知0b e << ，显然2ln ln 1ln ln 22a ba b a b e +>⇒+>⇒⋅> ，故选C 11．设0,0a b >>,则下列不等式成立的是（ ）A. 若2223a b a b +=+,则a b >B. 若2223a b a b +=+,则a b <C. 若2223a b a b -=-,则a b >D. 若2223a b a b -=-,则a b < 【答案】A【解析】设()22x f x x =+,则()f x 在R 上单调递增,且()()222322a b b f a a b b f b =+=+>+=则a＞b,因此A正确.12.已知函数，，则下列四个结论中正确的是（）①图象可由图象平移得到；②函数的图象关于直线对称；③函数的图象关于点对称；④不等式的解集是.A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【答案】C【解析】对于①，若的图象向左平移个单位后得到的图象，若的图象向右平移个单位后得到的图象，所以①正确；对于②，设，则，，，关于对称，所以②正确；对于③，设，，，，关于对称，所以③正确；对于④，由得，化为，，若，若，所以④错误，故选C.二、填空题13.若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_____． 【答案】1(0,)2【解析】（1）当01a <<时，作出函数1xy a =-的图象，如图所示， 若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点， 由图象可知021a <<，解得102a <<； （2）当1a >时，作出函数1xy a =-的图象，如图所示，若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点， 由图象可知021a <<，此时无解， 综上所述，实数a 的取值范围是1(0,)2．14.若111,52=+==ba mb a 且,则m = ． 【答案】10．【解析】m b a ==52Θ,m b m a 52log ,log ==∴,即5log 1,2log 1m m b a ==,则110log 11==+m ba ,即10=m ．15. 已知函数()()01x f x a b a a =+>≠，的定义域和值域都是[]10-，,则a b += . 【答案】32-【解析】 分情况讨论：①当1a >时,()=+xf x a b 在[]1,0-上递增．又()[]1,0∈-f x ,所以()()1100f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩,无解；②当01a <<时,()=+xf x a b 在[]1,0-上递减．又()[]1,0∈-f x ,所以()()1001f f -=⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,所以32a b +=-． 16.已知，又（），若满足的有三个，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】 由题意得， ，当时，当时，设，则要使得有三个不同的零点，则方程有两个不同的根， 其中一个根在之间，一个根在之前，即且设，则，即实数的取值范围是.。

2023届高考数学---指数与指数函数综合练习题（含答案解析）1、已知a ，b ∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜bC [∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1.∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，(ab )x ＞1. ∴ab ＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.]2、设f (x )＝e x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝f （a ）f （b ），则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qC [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f (a ＋b2)＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f （a ）f （b ）＝e a e b ＝e a ＋b2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.]3、已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．12或32 [当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2， ∴a ＝12或a ＝0(舍去)． 当a ＞1时，a 2－a ＝a2， ∴a ＝32或a ＝0(舍去)． 综上所述，a ＝12或32.]4、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． [解] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0， 从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为(－∞，－13)．5、设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1D [根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.]6、已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解] (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)． 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)．所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3 ＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞14，不符合，舍去； ②当14＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)；③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32＜2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为 2.一、选择题1．设a＞0，将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是()A．a 12B．a 5 6C．a 76D．a32C[a2a·3a2＝a2a·a23＝a2a53＝a2a56＝a2－56＝a76.故选C.]2．已知函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1，6) B．(1，5)C．(0，5) D．(5，0)A[由于函数y＝a x的图像过定点(0，1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P(1，6)．]3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜aC[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，∴0.60.6＞0.61.5.又y＝x0.6为R上的增函数，∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b.]4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎨⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数y ＝a x ，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数y ＝－a x 的图像与指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图像关于x 轴对称，所以函数递增，所以应选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减C [易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时，－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.]二、填空题1、若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 2、不等式2－x 2＋2x＞(12)x ＋4的解集为________．(－1，4) [原不等式等价为2－x 2＋2x＞2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]3、若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．(0，12) [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图像，由图像可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12；同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜12，与a ＞1矛盾． 综上，a 的取值范围是(0，12)．] 三、解答题4、已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)u 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，函数y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 5、已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)因为f (x )的图像过A (1，6)，B (3，24)， 所以⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24. 所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，(12)x ＋(13)x －m ≥0恒成立，即m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝(12)x 与y ＝(13)x 均为减函数，所以y ＝(12)x ＋(13)x也是减函数，所以当x＝1时，y＝(12)x＋(13)x有最小值56.所以m≤56.即m的取值范围是(－∞，56]．本课结束。

专练8 指数与指数函数命题范围：指数的意义与运算、指数函数的定义图象与性质．[基础强化]一、选择题1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠12．已知函数g (x )＝3x ＋t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)3．若a 2x ＝2－1，则a 3x ＋a －3x a x ＋a －x等于( ) A ．22－1 B ．2－2 2C ．22＋1 D.2＋1 4．[2020·山东临沂高三测试]函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝( ) A.12 B ．2C ．4 D.145．[2020·郑州一中高三测试]函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <06．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a7．函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)8．[2020·浙江杭州一中高三测试]函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x －的单调减区间为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－1,1)9．[2020·安庆一中高三测试]已知函数f (x )＝e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2) 二、填空题10.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2782-3＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0的值为________．11．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.12．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．[能力提升] 13．[2019·天津卷]已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b14．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型： I (t )＝K 1＋e －0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．6915．已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.。

专题08 指数与指数函数1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )【解析】 y ＝a|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx ，a－xx ＜当x ≥0时，与指数函数y ＝a x(a >1)的图像相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确．【答案】 B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x2xx ，则f (9)＋f (0)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 D3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 【解析】 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.【答案】 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x的值域为( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)【解析】 f (x )＝2x*2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，2－x，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1. 【答案】 C5．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b－a －b的值为( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2【答案】 D6．若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的( )．【答案】 A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，a －x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．【解析】 对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 8．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．【解析】 函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ，∵函数的图象不经过第一象限， ∴(12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 【答案】(－∞，－2]9．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 令a x－x －a ＝0即a x＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点； 若a >1，y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象如图所示．【答案】 (1，＋∞)10．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 11．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－x＋2x＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使(12)x ＋(13)x≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝(12)x ＋(13)x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．∴m 的取值范围(－∞，56]13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．。

1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B2．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1, 1)C ．(2,0)D ．(2,2)答案 D解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)．3．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c答案 D解析 a >20＝1，b ＝1，c <(12)0＝1，∴a >b >c .4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是() A ．(－∞，2] B ．答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19， 所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？。

课时作业8 指数与指数函数[基础达标]一、选择题1．[2020·河北八所重点中学模拟]设a >0，将a2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a322．[2020·福建漳州模拟]已知函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝c x的图象如图所示，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c3．[2020·山东德州模拟]已知a ＝3525，b ＝2535，c ＝2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．[2019·四川宜宾第二次诊断性考试]若函数f (x )＝2×a x ＋m－n (a >0，a ≠1，m ，n ∈R )的图象恒过点(－1,4)，则m ＋n ＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－25．[2020·辽宁模拟]若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]6．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412-－(0.01)0.5＝________.7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221x x －＋＋的单调减区间为________．8．不等式222x x－＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 三、解答题 9．化简下列各式：10．[2020·广东深圳三校联考]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．[能力挑战]11．[2020·河南濮阳检测]若“m >a ”是“函数f (x )＝13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( )A ．－2B ．－112．[2020·河南八市第一次测评]设函数f (x )＝x2－a与g (x )＝a x在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，其中a >1且a ≠2，则M ＝(a －1)0.2与N ＝1a0.1的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N13．[2020·河南郑州开发区模拟]已知函数y ＝9x＋m ·3x－3在区间[－2,2]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．课时作业82．解析：由题中图象可知a >1，b ＝12，c <12，故选B.答案：B3．解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，∴b <c ，又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，∴a >c ，∴b <c <a ，故选D.答案：D4．解析：由题意，函数f (x )＝2×a x ＋m－n (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－1,4)，所以m－1＝0，且2·am －1－n ＝4，解得m ＝1，n ＝－2，所以m ＋n ＝－1.故选C 项．答案：C5．解析：由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝13|2x －4|.因为y ＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B 项．答案：B6．解析：原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.答案：16157．解析：设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221x x －＋＋的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 8．解析：不等式222x x－＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1222x x － >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4.答案：{x |－1<x <4}9．解析：(1)原式＝25912＋10.12＋642723-－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.10．解析：(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.11．解析：因为f (0)＝m ＋23，且函数f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23，所以“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，所以a <－23，则实数a 能取的最大整数为－1.故选B 项．答案：B12．解析：由题意，因为f (x )＝x2－a与g (x )＝a x在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以易知a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝1a0.1<1，所以M >N .故选D 项．答案：D13．解析：设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈[－2,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2,2]上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上单调递减，所以－m2≥9，解得m ≤－18.所以实数m 的取值范围为(－∞，－18]．答案：(－∞，－18]赠送：初中英语代词Ⅰ.词汇运用。

课时规范练8指数与指数函数一、选择题1.若函数f(x)=则f(log43)等于()A. B.3 C. D.4答案:B解析:∵0<log43<1,∴f(log43)==3.2.函数f(x)=3·4x-2x在x∈[0,+∞)上的最小值是()A.-B.0C.2D.10答案:C解析:设t=2x,∵x∈[0,+∞),∴t≥1.∵y=3t2-t(t≥1)的最小值为2,∴函数f(x)的最小值为2.3.函数y=(0<a<1)的图象的大致形状是()答案:D解析:函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y=当x>0时,函数是一个指数函数,其底数0<a<1,所以函数递减;当x<0时,函数图象与指数函数y=a x(x<0)的图象关于x轴对称,函数递增,所以应选D.4.设a=40.8,b=80.46,c=,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a答案:A解析:∵a=40.8=21.6,b=80.46=21.38,c==21.2,1.6>1.38>1.2,y=2x为R上的增函数,∴a>b>c.5.(2014届福建福州八县市高三联考)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有3个不同的实根,则实数k的取值范围为()A.(0,+∞)B.[1,+∞)C.(0,2)D.(1,2]答案:D6.已知f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0时,f(x)=2x.若n∈N*,a n=f(n),则a2 014等于()A.2 014B.4C. D.-4答案:C解析:设2+x=t,∴x=t-2.∴f(t)=f[2-(t-2)]=f(4-t)=f(t-4).∴f(x)的周期为4.∴a2 014=f(2 014)=f(4×503+2)=f(2)=f(-2)=2-2=.二、填空题7.已知f(x)=a x+a-x(a>0且a≠1),且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是.答案:12解析:f(1)=a+a-1=3,∴f(0)+f(1)+f(2)=a0+a0+a1+a-1+a2+a-2=2+3+(a+a-1)2-2=12.8.=.答案:2解析:原式=×1+=2.9.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是.答案:[2,+∞)解析:由f(1)=得a2=.于是a=,因此f(x)=.又因为g(x)=|2x-4|的单调递增区间为[2,+∞),所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).10.设函数f(x)=,[x]表示不超过x的最大整数,则函数y=[f(x)]的值域为.答案:{-1,0}解析:∵f(x)=1-,又2x>0,∴-<f(x)<.∴y=[f(x)]的值域为{-1,0}.11.若x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是.答案:-1<m<2解析:原不等式变形为m2-m<,∵函数y=在(-∞,-1]上是减函数,∴=2,∴x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2.三、解答题12.已知函数f(x)=3x+为偶函数.(1)求a的值;(2)利用函数单调性的定义证明f(x)在(0,+∞)上单调递增.(1)解:f(-x)=3-x+=a·3x+,∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).∴a·3x+=3x+对任意x∈R恒成立,∴a=1.(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则f(x1)-f(x2)==()+=(,∵x1>x2>0,∴x1+x2>0,>1,则<1.∴>0,1->0,∴(>0,∴f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.13.已知函数f(x)=9x-m·3x+m+1在x∈(0,+∞)上的图象恒在x轴上方,求m的取值范围.解:(方法一)令t=3x,因为x∈(0,+∞),所以t∈(1,+∞).故问题转化为函数g(t)=t2-mt+m+1在t∈(1,+∞)时g(t)恒大于0,即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或解得m<2+2.(方法二)令t=3x,因为x∈(0,+∞),所以t∈(1,+∞).故问题转化为m<,t∈(1,+∞)恒成立,即m比函数y=,t∈(1,+∞)的最小值还小,又y==t-1++2≥2+2=2+2,所以m<2+2.14.已知函数f(x)=2x-,(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)当x<0时,f(x)= 0;当x≥0时,f(x)=2x-.由条件可知2x-=2,即22x-2×2x-1=0,解得2x=1±.∵2x>0,∴x=log2(1+).(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5].故m的取值范围是[-5,+∞).15.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.解:(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1.从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.(2)由(1)知f(x)==-,由上式易知f(x)在R上为减函数,又因f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0⇔f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,从而Δ=4+12k<0,解得k<-.四、选做题1.已知y=f(x+1)是定义在R上的偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=2x,设a=f,b=f,c=f(1),则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b答案:B解析:f(x+1)是R上的偶函数⇒f(x)关于x=1对称,而f(x)=2x在区间[1,2]上单调递增,则有a=f=f>b=f>c=f(1),故选B.2.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x)>0的解集为.答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)解析:∵x≥0时,f(x)=2x-4,若f(x)>0,则由2x-4>0得x>2,又∵f(x)为偶函数,∴图象关于y轴对称,∴x<-2时,f(x)> 0,∴f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).3.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=4x-m·2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.解:当f(x)=4x-m·2x+1+m2-3时,f(x)+f(-x)=0可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.设t=2x+2-x∈[2,+∞),则4x+4-x=t2-2,从而t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.令F(t)=t2-2mt+2m2-8,1°当F(2)≤0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解,由F(2)≤0,即2m2-4m-4≤0,解得1-≤m≤1+.2°当F(2)>0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解等价于解得1+<m≤2.综上,所求实数m的取值范围为1-≤m≤2.。

2０1９年高考数学一轮复习课时分层训练8 指数与指数函数理北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019年高考数学一轮复习课时分层训练８指数与指数函数理北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层训练(八) 指数与指数函数A组基础达标一、选择题1．函数f(x)＝2｜x－1|的大致图像是（）【导学号：７9１４０04５】B［f（x)=错误!所以f（x)的图像在[1，＋∞）上为增函数，在(－∞，1）上为减函数．］2.已知ａ＝20。

2,b=０．４0.2,ｃ＝０。

4０.6,则（)A．a＞b＞cﻩB．a＞c>ｂC．c＞a＞bﻩ D.ｂ>c＞ａA [由0.2＜０。

6,0。

4＜１,并结合指数函数的图像可知０。

40.２＞0.40。

6，即b＞ｃ。

因为ａ=２0。

2>1,b＝0.40。

2<1，所以a＞b.综上，ａ>b＞ｃ。

]３.（２01７·河北八所重点中学一模)设ａ＞0，将＼ｆ(ａ２，＼r(a·3ａ２)）表示成分数指数幂的形式，其结果是（)Ａ．a错误!ﻩ B.a错误!C．a错误! D.a错误!C［。

故选C。

］4.已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4,ｂ为常数)的图像经过点（2,1),则f(x)的值域为（)A.[9，81] Ｂ.［3,9］C.［１，9]ﻩＤ．[1，+∞)C［由f（x）过定点(2，1)可知ｂ=2，因为f(x)＝3x－２在[２,4］上是增函数,所以ｆ（ｘ)ｍｉn=f(２)=1,f(x)ｍaｘ＝ｆ（4)=9．故选C。