线性代数与空间解析几何3-5.

第一章 矩阵及其初等变换重难点学习指南1、矩阵的乘法运算是重要的、基本的，也是一些学生不重视常出错的地方。

首先要学会乘法运算。

其次，还要注意：(1) 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA ≠；(2) 矩阵乘法消去律一般不成立，即由0AB =不能得到00A B ==或、由AB AC =一般不能推出B C =，大家可以思考由AB AC =推出B C =的条件。

例题1 已知2461234812A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算n A 。

分析：做本题的关键是把矩阵A 变为列矩阵()211234⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭和行矩阵的乘积，即()211234A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；并且运用矩阵乘法的结合律。

所以()()()()122221123112311231611234444nn A AA A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L例题2已知123013001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算n A 。

分析：本题可把矩阵A 分解成两个矩阵之和，即100023010003001000A I B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且注意到2023023006003003000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭30060230000000030000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么2(1)()2n n n n A I B I nB B -=+=++2．矩阵的行初等变换源自线性方程组求解的高斯消元法. 给定一个线性方程组, 对应方程组的增广矩阵, 对方程组的方程进行消元变换(两方程互换位置, 某方程乘以非零的常数, 某方程的倍数加到另一方程上)相当于对增广矩阵施行对应的初等行变换. 将增广矩阵通过行变换化为阶梯型矩阵后, 根据阶梯型的形状可以判断原方程组无解, 有惟一解或者无穷多解. 初等矩阵对单位矩阵任作一次初等变换所得到的矩阵称为该初等变换对应的初等矩阵，要注意同一初等矩阵所对应的初等行变换与初等列变换往往是不同的,比如: ()ij E k 对应的初等行变换: i k j 矩阵的第行乘以加到第行上；()ij E k 对应的初等列变换: 矩阵的第j 列的乘以k 加到第i 列.矩阵的初等变换是线性代数课程中矩阵的基础，因此，掌握初等线性变换，避免出错尤其显得重要：(1) 从定义上来说，行变换与列变换是对称而具有完全相同的重要性，但在实际应用当中，除了一些特殊情况外(初等变换化矩阵为标准形，将矩阵写成初等矩阵的乘积)，一般只要用初等行变换即可，为方便记忆，只要记住什么时候可以使用初等列变换，而在其他计算时统一使用初等行变换即可; (2) 切忌进行循环变换：典型错误 第一行加到第二行，第二行加到第三行，第三行再加到第一行. (3) 初等行变换化矩阵为标准阶梯形时，行变换的次序通常是从上面的行到下面的行，依次进行;(4) 两行互换或者某行乘以非零倍数的变换，常可避免分数的出现，减少计算出错的可能.例题1 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=323132332221222312111213a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000100112P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0010101003P ，则B =( ).(A) 32AP P (B) 31P AP (C) 13P AP (D) 32P AP分析： 矩阵B 可以视为A 经由两次初等列变换而得：将A 的第二列加到第一列得A 1, 然后将A 1的第一、三列互换即可得到B , 对矩阵作一次初等列变换相当于右乘对应的初等矩阵，应选(B).例题2 计算20102011100123001010234010021345100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.分析：因为123001321234010432345100543⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2123001123234010234345100345⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以 2011123123001321234010432345100543ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为 11223321003211000104320100215430212ααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221122332210032110001043201002154302122αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此2010201112321001230013210102340104320213451002010(2)16085120648043αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．矩阵A 可逆的要求：(1) A 是方阵；(2) AB BA I ==. 由此可知，按定义判断一个矩阵A 是否可逆，一方面应检查A 是否方阵，另一方面，需要找出一个与A 同型的方阵B 使得AB I =或者BA I =.例题1 设n 阶方阵A 满足方程O I A A =++232，证明：I A -是可逆矩阵，并求1)(--I A .分析： 由232()()A A I A I A kI lI ++⇒-+=，用待定系数法求出k l 和，有 I I A I A 6)4)((-=+-,即 I I A I A =+--)]4(61)[(，所以I A -是可逆矩阵，且)4(61)(1I A I A +-=--.例题 2 设n 阶矩阵A 和B 满足条件AB B A =+, 证明I A -是可逆矩阵，其中I 是n 阶单位矩阵.分析：对已知矩阵等式进行变形，凑出()()A I kI -待定矩阵＝，其中待定矩阵与k 的计算可以用待定系数法求得.⇒=+AB B AO AB A B =--首先变形成0=矩阵关系式的形状 ()()?I A -= 问号部分用待定系数法来计算()()I I B I A ---= ()()I I B I A =--⇒()()()I B I A I A -=--⇒-1可逆并且.逆矩阵的计算方法: 初等行变换法.例题3 设矩阵100110101A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.求()()12 24A I A I -+-.分析： 当遇到较复杂的矩阵计算时, 通常采用先化简后计算的方法, 观察()1发现, ()()()()()112242222A I AI A I A I A I A I --+-=++-=-,比直接计算省力!所以 ()()()()()112242222A I A I A I A I A I A I --+-=++-=-=300130101-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例题4 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A ，且矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA I +=++.I 是三阶单位矩阵，求X .分析：已知矩阵满足的等式求解某矩阵时，通常对矩阵等式先化简，后计算.()()AXA BXB AXB BXA I AXA AXB BXB BXA I +=++⇒-+-=()()AX A B BX B A I ⇒-+-=()()AX A B BX A B I ⇒---= ()(),A B X A B I ⇒--=因此当B A -可逆时，()21X A B -⎡⎤=-⎣⎦, 又100011111110101011,111110001A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭经计算可得()1112011001A B ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭－＝ 因而，()()21125012001X A B -⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.第二章 行列式 重难点学习指南1．注意行列式与矩阵的区别与联系，学会用行列式的定义计算行列式; 2. 通过举例让学生掌握行列式的计算方法：三角化法、递推法、归纳法、加边法等;3. 注意子式、余子式、代数余子式三个概念的关系;4. 矩阵秩的概念很容易理解不清,要结合适当例子能熟练掌握矩阵的秩的概念及其计算.行列式的计算方法很多，下面介绍拆开法和递推法： 1. 拆开法：此方法是利用行列式的性质：11121111211122121212 n n i i i i in in i i in n n nnn n nna a a a a abc b c b c b b b a a a a a a +++=+LL M M M MM M LLM M M M M M LL 111211212n i i in n n nna a a c c c a a a L MM M LM M M L将一个行列式拆成两个或多个行列式之和, 再进行计算.2. 递推法：对n 阶行列式n D , 找出n D 与1n D -，或n D 与1n D -、2n D -之间的一种关系，即递推公式（其中n D 、1n D -、2n D -等结构相似）. 再由此递推公式求出n D 的方法称为递推法.例题1. 设1abcd =，计算行列式22222222111111111111a a a ab b bb Dc b c bd ddd++=++分析： 将D 按第一列拆开: 2222222211111111111111111111a a a a a ab b b b b b Dc c c c c cd dddd d=+222232222111111111111(1)111111111111a a a a a ab b b bb b abcdc c c c c cd d d d d d=+-= 例题2 计算 123()n nx a a a bx a a D a b bb x a bbbx =≠L L L M M M M L.分析： 将n D 中的第1列中的元素b 写成0b +，1x 写成1()b x b +-，依第1列将行列式拆成两个行列式之和，于是有1223000n nnx b a a a b a a a x a a b x a aD b x a bbb x bbx -=+L L L L L M M M M M M M M LL211000000()0n n b a a a x a b ax b D b a b ax a--=-+----L L L M M M M L即 2311()()()()n n n D b x a x a x a x b D -=---+-L （1）因Tnn D D =（把a b 与互换, 行列式的值不变）, 故 2311()()()().n n n D a x b x b x b x a D -=---+-L （2） 由a b ≠, 11(1)()(2)()x a x b ⨯--⨯-，得 11()()nni i i i n a x b b x a D a b==∏--∏-=- .例题3 试证明 sin 2sin()sin()sin()sin 2sin()0sin()sin()sin 2ααβαγβαββγγαγβγ++++=++ 分析：利用矩阵的乘积将所求行列式拆成两个行列式的乘积.左边sin cos 0cos cos cos sin cos 0sin sin sin sin cos 00αααβαββαβαγγ=⋅=0 例题4 计算n 阶行列式12211000010000000001n n n n x x x D x a a a a x a ----=+L L L M M M M M L L分析： 直接按第1列展开, 可得递推公式111000100(1)001n n n nx D xD a x +---=+--L LM M M M L1n n a xD -=+ ， 即 1()n n n D a xD -=+（递推公式） 12()n n n a x a xD --=++212n n n a a x x D --=++ 2123()n n n n a a x x a xD ---=+++32132n n n n a a x a x x D ---=++++L L L LL111n n n n a a x a x x --=++++L例题5. 计算n 阶行列式3200013200013000003200013n D =L L L M M M M M L L分析： 这是一个三对角线型的n 阶行列式. 三对角线型的行列式是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为零而其余元素为零的行列式.一般采用降阶法、拆开法或递推法计算. 按第1行展开得1232 , (1)n n n D D D --=-设 112() , (2)n n n n D xD y D xD ----=- 比较（1）式与（2）的系数得:3,2,x y xy +=⎧⎨=⎩则:111,2,x y =⎧⎨=⎩或222,1,x y =⎧⎨=⎩ 分别代入（2）式得21122112212()2(1)2,(3)2(2)(2)1,n nn n n n nn n n D D D D D D D D D D D -------⎧-=-==-=⎪⎨-=-==-=⎪⎩L L 其中123,D 7D ==，消去（3）式中的1n D -得：121n n D +=-2．1) 秩的若干等价定义. 设A 是,m n ⨯矩阵 则如下条件等价:(1) A 的秩为k , 记()R A k =;(2) (), 10A k k +有一个阶非零子式且全部阶若存在子式均为; (3) 矩阵A 行向量组的秩为k ; (4) 矩阵A 列向量组的秩为k ;(5) ,, m P n Q 存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵使得k I O PAQ O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭;2) 矩阵秩的一些基本性质, 设A 是m n ⨯矩阵, 则: (1) ()()R min ,A m n ≤; (2) ()R 0A A O =⇔=;(3) 初等变换不改变矩阵的秩. 当,P Q 是可逆矩阵时:()()()()R R R R PA A AQ PAQ ===;(3) ()R k I O A k P Q PAQ O O ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭存在可逆矩阵、使得;(4) ()()()()R ,0R R , R 0 ,0T A k A A kA k ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩;(5) ()()R R R A O A B O B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(6) 子矩阵的秩不超过原矩阵之秩, 设A 是m n ⨯矩阵, 从A 选取u其中行与v 列, 由这些行与列所得A 的子矩阵记为B , 则: ()()R R A B ≥, 特别的, 若1234AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则()()()R R 1,2,3,4i A A i =≥;(7) (AX =0基础解系中的解数)+()()R A n AX ==0中的变量数.3) 矩阵的秩是线性代数课程中的难点之一. 学习时要多注重矩阵秩与其他概念之间的联系, 如向量组的相关性, 极大无关组的性质, 齐次方程组系数矩阵秩与基础解系中解数的关系, 分块矩阵的秩等. 下面是一些常用的关于矩阵秩的一些不等式.(1) 设A 是m k ⨯矩阵,B 是m l ⨯矩阵, 则:()()()()()()()max R ,R R ,R R A B A B A B ≤≤+.(2) 设A , B 是m n ⨯矩阵, 则: ()()()R R R A B A B ±≤+. (3) 设A 是m k ⨯矩阵,B 是k n ⨯矩阵, 则:● ()()()()R min R ,R AB A B ≤.● ()()()R R R AB A B k +-≥, 特别的, 若()(),R R AB O A B k =+则≤.(4) 设A 是n 阶方阵, 则: ()()()()* , R ,R 1 , R 1,0 , R 1.n A n A A n A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩例题1 设A 为n 阶方阵, 证明:1) ()()2, : R R A I A I A I n =++-=若则;2) 若2A A =, 则()()R R A A I n +-=.分析：1) ()()22A I A I O A I A I O =⇒-=⇒+-=, 由定理3知:()()R R A I A I n ++-≤.又由定理2知:()()()()()() R R R R 2A I A I A I A I I n ++-+--==≥.综合如上两个不等式即得()()2, : R R A I A I A I n =++-=若则. 2) 类似于1), 这里考虑用分块矩阵的证明思路.()()()()R R R R ,R A O AO I A A I I I I nO A I O A I I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥又()2A A A A I O =⇒-=, 由定理3知:()() R R A A I n +-≤.综合如上两个不等式即得()()2, : A A r A r A I n =+-=若则.例题2 设B 为r 阶方阵，C 为n r ⨯型矩阵，且秩()R C r =，证明：（1）若BC O =，则B O =;（2）若C BC =，则I B =，其中I 为n 阶单位矩阵.分析：齐次线性方程组AX O =的基础解系含有()R n A -个解，它仅与秩()R A 有关，因此一些关于秩的问题常可转化为齐次线性方程组解的问题来讨论. （1）把C 按列分块得),,,(21n C αααΛ=，由题设1212(,,,)(,,,) (1,2,,)n n i BC B B B B O B O i n ααααααα===⇒==L L L ，即),,2,1( n i i Λ=α为线性方程组BX O =的解. 由()R C r =知r 个变量的齐次方程组BX O =的基础解系含有r 个解向量，故()R 0B =从而B O =.（2）若C BC =，可得0)(=-C I B .显然I B -为r 阶方阵，由（1）得B I O -=，即I B =.第三章 几何空间 重难点学习指南空间直角坐标是平面直角坐标的推广和发展，空间直角坐标系的概念与平面直角坐标系的概念类似，但它们之间又有区别，学习时一定要注意将相关概念进行对比，分清异同，理解向量的概念与空间直角坐标系.向量积注意掌握它们的运算规律.要能能灵活地应用平面,直线的相互关系解决有关问题.例题1 设向量,,αβγ满足0αβγ++=，||||3,||||5,||||7αβγ===，求向量,αβ的夹角.分析：因为0αβγ++=，所以()αβγ-+=，从而22||||||||αβγ+=. 又因为222||||||||||||2αβαβαβ+=++g , 得222115[||||(||||||||)]22αβγαβ=-+=g . 由1cos ,||||||||2αβαβαβ==g 得到,3παβ=.例题2 一平面过点0(2,1,1),M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1,求平面方程.分析: 本题主要需要对平面方程的截距式、一般式、点向式等熟悉和应用. 如由截距式121x y zc++=及平面过点0(2,1,1)M -可求出1c =, 进而求得平面方程; 由平面的一般式方程0Ax By Cz D +++=及平面过点(2,1,1)-、(2,0,0)、(0,1,0)得20200A B C D A D B D +-+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得12A D B D C D ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩. 故平面方程为 222x y z ++=; 因为点0(2,1,1)M -、(2,0,0)A 、(0,1,0)B 在平面上, 所以平面法向量0(1,2,2)n AB AM =⨯=---r u u u r u u u u u r, 于是由平面方程的点向式可得222x y z ++=.例题3 矩阵111222333a b c A a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为满秩矩阵, 证明直线 1111232323:x a y b z c l a a b b c c ---==---与直线2222313131:x a y b z c l a a b b c c ---==---相交.分析: 在1l 上取点1111(,,)M a b c 和在2l 上取点2222(,,)M a b c , 得21121212(,,)M M a a b b c c =---u u u u u u u r直线1l 的方向向量为1232323(,,)S a a b b c c =---, 直线2l 的方向向量为2313131(,,)S a a b b c c =---.因为直线1l 的方向向量为1212122112232323313131[,,]0a a b b c c M M S S a a b b c c a a b b c c ---=---=---u u u u u u u r u u r u u r故两直线共面.由于111222333a b c A a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为满秩矩阵, 故 111111222232323333313131||0a b c a b c A a b c a a b b c c a b c a a b b c c ==---≠--- 从而知1l 与2l 不平行, 所以1l 与2l 相交.例题4 求异面直线:41263x y z --==--和322254x y z -+-==-之间的距离. 分析: 先求出过直线41263x y z --==--且平行于直线322254x y z -+-==-的平面方程的法向量: (2,6,3)(2,5,4)(9,2,2)n =--⨯-=-r, 故所求平面方程为922340x y z +--=. 在直线322254x y z -+-==-上取点(3,2,2)M -, 则(3,2,2)M -到平面+--=的距离为x y z922340d==.第四章 n 维向量空间 重难点学习指南1. 在向量的线性相关的定义中,要求存在一组不全为零的数12,,,m k k k L ,能将“不全为零”改为“全不为零”吗？分析：不能. 二者含义是不同的. “不全为零”的反面是“全为零”；而“全为零”的反面是“至少有一个为零”. “不全为零”的要求宽:允许一些数为零; “全不为零”的要求严:每一个都不为零; “不全为零”中包括了“全不为零”. 在线性相关的定义中, 只能是不全为零.例如：设向量12(0,0,0),(1,1,1)T T αα==,则可找到(存在)一组数121,0k k ==,使得11220k k αα+=,则1α与2α是线性相关的.其中1k 与2k “不全为零”, 而“全不为零”的数12,k k 是不存在的.2. 12,,,m αααL 是一组线性相关的n 维向量,是否对任意不全为零的数12,,,m k k k L ,都有11220m m k k k ααα+++=L 成立？分析：不是.向量组12,,,m αααL 线性相关是指存在不全为零的数12,,,m k k k L ,使11220m m k k k ααα+++=L 成立. 3.线性相关与线性无关有哪些不同？ 分析:它们的不同之处有三点. (1) 定义不同.线性相关的向量组是,存在不全为零的一组数12,,,m k k k L ,使得11220m m k k k ααα+++=L .而线性无关的向量组是,只有120m k k k ====L 时才有11220m m k k k ααα+++=L 成立.(2) 线性表示问题.线性相关的向量组中至少有一个向量能有其余向量线性表出,而线性无关的向量中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. (3) 与方程组的关系.若12,,,m αααL 线性相关,由定义知存在不全为零的数组12,,,m x x x L ,使得11220m m x x x ααα+++=L即1212(,,,)0m m x x x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M或0Ax =有非零解,而线性无关则是0Ax =只有有零解.由此可看出研究向量的线性相关性与方程组有着直接的关系. 4. 下列命题是否正确？为什么？(1) 若120000m ααα+++=L ,则12,,,m αααL 线性无关.(2)若12,,,m αααL 线性无关,则11220m m k k k k αααβ++++=L 中的12,,,m k k k L 必全为零.(3)若β不能由12,,,m αααL 线性表出,则12,,,,m αααβL 线性无关. (4)两个等价的向量组,一个线性无关,另一个也必线性无关. (5)两个等价的向量组,必含有的向量个数相同. 分析：(1)不一定.因为不论12,,,m αααL 是线性相关还是线性无关,恒有120000m ααα+++=L 成立.(2)不一定. 当12,,,,m αααβL 线性无关时, 12,,,m k k k L 必全为零. 当12,,,,m αααβL 线性相关时, 12,,,m k k k L 可以不全为零.(3)不一定.例如,设123(1,0,0),(0,0,1),(0,0,2)T T T ααα===,此时1α不能由2α与3α线性表出,但可以看出123,,ααα是线性相关的. (4) 不一定.例如,设12(1,1,1),(3,4,2)T Tββ=-=-,1234(2,4,0),(0,1,1),(1,1,1),(3,4,2)T T T T αααα===-=- ‘可以证明,向量组12,ββ与1234,,,αααα等价,但此时12,ββ线性无关,而1234,,,αααα线性相关.(5)不一定.(4)中的例子即为反例.5. 如果向量组12,,,m αααL 的秩为r ,则其中任意r 个向量是否可以构成它的一个最大无关组?分析：不一定.根据向量组秩的定义, 若12,,,m αααL 的秩为r ,则只能得到存在r 个向量构成它的一个最大无关组,并不是任意.例如,设123(1,2,3),(3,4,5),(4,8,12)T T T ααα===,易知向量组的秩为2,其中12,αα;23,αα均为最大无关组,但1α与3α不能构成组大无关组. 6. 若向量组12,,,m αααL 的秩为r ,问:(1)该向量组中的任意r 个线性无关的向量都可为其最大无关组. (2)该向量组中的任意r 个向量是否都可为其最大无关组？ (3)多于r 个的向量组一定线性相关？ (4)少于r 个的向量组一定线性无关. 分析:(1)是.由定义知正确. (2)不一定, 同5.(3) 多于r 个的向量组一定线性相关.否则,若无关,则与秩为r 矛盾. (4)少于r 个的向量组未必线性无关.例如:1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(4,2,6,2),(4,3,11,1)T T T T αααα=-=-=-=-,易知秩为3,但1α与3α线性相关.7. 等价向量组的秩相同,反之,有相同秩的两个向量组是否等价? 分析:有相同秩的两个向量组未必等价.例如:1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T T T εεεε====.可以看出12,εε的秩为2; 34,εε的秩为2,但12,εε与34,εε两组向量不能相互线性表出,因而也不等价. 8. 若对矩阵()ij m n A a ⨯=施以行初等变换,得到矩阵()ij m n B b ⨯=,问A 的行向量组12,,,m αααL 与B 的行向量组12,,,m βββL 是否等价？分析: A 的行向量组与B 的行向量组等价. 同理, 对矩阵A 施以列初等变换,得到矩阵B ,则A 的列向量组与B 的列向量组等价.注：对矩阵A 只施行初等变换,或对矩阵A 只施列初等变换才有上述结论.但若对矩阵A 同时施以行和列的初等变换,这时A 与B 的行向量组(A 与B 的列向量组)未必等价. 例如:21122111110220000r r c c A B -++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然A 的行向量组不能由B 的行向量组线性表出,从而A 与B 的行向量组不等价. 9. 怎样求解非齐次线性方程组？ 分析:n n n n r x x x D D x D D R A R B n R A R B n Ax b R A R B r n 1111,,/,,/()()()(),,()()-=====→==ξξ=→=<⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩L L L L u u u u u u u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u u u u ur u u u r 方程组有唯一解行初等变换方程组有唯一解Grammer 法则基础解系齐次方程组方程组有非齐次无穷多解方程组n r n r Ax b x k k 0011--=η=η+ξ++ξ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩L u u u u u u u r 的特解通解10. 线性相关与线性表出这两个概念有什么区别和联系？分析:向量组A : 12,,,m αααL 线性相关是指齐次线性方程组12(,,,)0m x ααα=L 有非零解,向量b 能由向量组A 线性表出是指非齐次线性方程组12(,,,)m x b ααα=L 有解.齐次方程0Ax =是否有非零解与非齐次方程组Ax b =是否有解,显然是两个不同的问题,由此可知线性相关与线性表出这两个概念的区别.但是, 又有向量组A : 12,,,(2)m m ααα≥L 线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量能由其余1m -个向量线性表出.这个充要条件把线性相关与线性表出这两个概念联系起来,经常把这个充要条件作为向量组线性相关的等价定义.向量组中至少有一个向量能有其余向量线性表出,也就是A 的m 个向量之间至少有一个线性关系式,这就是向量组A 线性相关的涵义. 按此等价条件即可得, 向量组A :线性无关的充要条件是向量组A 任意一个向量均不能由其余向量线性表出,即向量组A 的m 个向量之间没有有线性关系式.形象地说，“谁也表示不了谁”,这种“独立”性正是向量组A 线性无关的涵义.11. 两个矩阵等价与向量组的等价有什么区别和联系?分析:矩阵A 与B 等价是指A 可以通过有限次初等变换变成B ,因此,两个不同型的矩阵是不可能等价的;两个向量组等价是指它们能够相互线性表出,于是,它们各自所含向量的个数可能不一样多.例如:二维向量组A :11α⎛⎫= ⎪⎝⎭与二维向量组B :}1,1k k R ββ⎧⎛⎫⎪=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩是等价的.但前者只含一个向量;而后者含有无穷多个向量.两个矩阵等价与两个向量组等价的联系在于:(1)若矩阵A 经过行初等变换变成矩阵B ,即A 与B 行等价,则A 与B 的行向量组等价；若矩阵A 经过列初等变换变成矩阵C ,即A 与B 列等价,则A 与C 的列向量组等价；若矩阵A 经过行初等变换, 又经列初等变换变成矩阵D ,那么A 与D 等价, 但A 与D 的行向量组、列向量组未必等价.反过来,设两列向量组等价.若它们所含向量个数不相同,则它们对应的两个矩阵不是同型的,因而不等价; 若它们所含向量个数相同(例如都含有m 个)，那么它们对应的两个n m ⨯矩阵(其中n 为向量的维数)列等价,从而一定等价,但不一定行等价.例如:向量组A :12,24⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组B :10,20⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价,它们对应的矩阵1224A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与矩阵1020B ⎛⎫= ⎪⎝⎭列等价,从而A 与B 等价,但非行等价.12. 矩阵的行初等变换对矩阵的列向量组和行向量组各有什么作用? 分析: 矩阵A 经过行初等变换变成矩阵B ,那么(1)矩阵A 与B 的行向量组等价,也即它们能相互线性表出.于是齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解,这是用行初等变换求解线性方程组的理论基础.(2)矩阵A 与B 的列向量组有相同的线性关系,这是用行初等变换求出A 的列向量组的最大无关组,并将其余向量用该最大无关组(唯一地)线性表出问题的理论基础.进一步,从解方程组的角度看,它可以用来求非齐次线性方程组Ax b =的特解. 13. 如何从向量组线性表出的观点认识两个矩阵的乘积? 分析: 设矩阵()ij m n A a ⨯=()ij n l B b ⨯=,()ij m l C C ⨯=,且C AB =.(1)把A 与C 用其列向量表示为12(,,,)n A ααα=L ,12(,,,)l C c c c =L ,有1112121222121212(,,,)(,,,)n n l n n n nn b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L, 由分块矩阵的乘法规则，可知1122(1,,)j j j nj n c b b b j l ααα=+++=L L这表明C 的列向量组都是A 的列向量组的线性组合,也即C 的列向量组能由A 的列向量组线性表出,而矩阵B 是这一线性表出的系数矩阵.这一事实反过来也成立,即如果C 的列向量组能由A 的列向量组线性表出,那么一定存在矩阵B ,使得C AB =.(2)当C AB =时,有T T T C B A =,故由(1)可知T C 的列向量组可由T B 的列向量组线性表出,从而有C 的行向量组能由B 的行向量组线性表出.(3)从方程组求解的角度看1122(1,,)j j j nj n c b b b j l ααα=+++=L L b 表明非齐次线性方程组j Ax c =有解,1,2,,j x b j l ==L ;整体看,即为AX C =有解X B =. 14. 向量组的最大无关组有什么重要意义?分析:设0A 是n 维向量组A 的一个最大无关组,那么0A 具有以下性质: (1) 0A A ⊂,且所含向量个数0()r R A n =≤; (2)0A 与A 等价,从而有0()()R A R A r ==;(3)在所有与A 等价的向量组中, 0A 所含向量的个数最少.这样,0A 可以看作A 的最佳“代表”.这具有以下优点:当向量组A 为无限向量组时,就能用有限向量组来“代表”,而有限向量组的问题可以进一步化为矩阵的问题;凡是对有限向量组成立的结论,用最大无关组作过度,立即可推广到无限向量组的情形中去.这正是最大无关组的意义所在.15. 向量组的最大无关组与向量空间的基由什么区别于联系? 分析:(1)由定义,除零空间外,任一向量空间作为一个向量的集合必定是无穷集.但向量组所含向量的个数可以是有限多个.(2)反过来,设V 是向量空间,把V 看做一个无限向量组, 则V 中向量组0A :12,,,r αααL 是V 的一个基的充要条件是0A 是一个最大无关组.向量空间V 的维数就等于向量组V 的秩.(3)如果向量空间V 是由s 个向量的向量组A : 12,,,s αααL 生成,即12(,,,)s V L ααα=L .则向量空间V 与向量组A 的关系如下: 1) A V ⊂,且向量组V 与向量组A 等价; 2) 向量组A 的任一最大无关组是V 的一个基; 3) V 的维数等于向量组A 的秩.16. 向量空间的基有什么重要意义？分析: n 维向量空间V (除零空间外),必定含有无限多个向量.但V 的任一基所含向量的个数小于等于n ;V 中的任一向量都是这个基的线性组合,即可以由该基线性表出.于是把握住基就把握了整个向量空间;把握住有限个(个数n ≤)向量,也就把握了无限多个向量.这与用最大无关组来“代表”向量组的意义是相同的. 17.“向量个数<向量维数”时,向量组是否必然线性相关或无关? 分析：不一定.即可能线性相关,也可能线性无关.例如:12(1,2,0),(3,1,1)α=α=显然是线性无关的,而12(1,2,0),(-2,-4,0)α=α=显然是线性相关的.总结:除了“向量个数>向量维数”时,向量组必然线性相关外,其它情况不确定,需要具体问题具体分析.18.两两线性无关的向量组必然线性无关吗？ 分析:不一定.例如1231201,0,15122⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪α=α=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭两两线性无关,但由2010151221=0可知, 123,,ααα线性相关.又如：1231201,0,15112⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪α=α=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭两两线性无关,但由201015112≠1=20可知, 123,,ααα线性无关.若两两线性无关的向量组满足“向量个数>向量维数”,则必然线性相关.19. 若“有不全为零的数1,...,m k k ,使得110α++α≠m m k k L ,则1ααm L ，，线性无关”这一说法是否正确？为什么？分析：错误.例如:12(2,1,3),(0,0,0)α=α=,显然12120α+α≠,但易知12αα,线性相关.总结: 向量组线性无关是指“110α++α=m m k k L 时,必然有12...0====m k k k ”换言之“对任意不全为零的数1,...,m k k ,都有110α++α≠m m k k L ”.20. 若12(1,0,2),(0,1,1)ξ=ξ=-T T 都是0=Ax 的解向量,问()R A 满足什么条件? 分析：因为312,ξξ∈R 线性无关,且都是0=Ax 的解向量, 故可知未知量的个数3n =,且12,ξξ为0=Ax 的某个基础解系的一个部分组,而0=Ax 的基础解系含向量的个数为()3()=-n R A R A -所以()3()2=-≥n R A R A -,从而有()1≤R A .总结：0=Ax 的基础解系含向量的个数为()n R A -,任意()n R A -个线性无关的0=Ax 的解向量均为其基础解系.例题1. 已知向量123,,ααα线性无关,证明:122331,,+++αααααα线性无关. 证: 令()()112223331()0k k k +++++=αααααα,则有()131122233()()0k k k k k k +++++=ααα由123,,ααα线性无关可知,()131223()()0k k k k k k +=+=+=.即131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩而该方程组的系数行列式为20=≠101110011故该方程组只有零解1230k k k ===,因而122331,,+++αααααα线性无关. 例题2. 已知向量12,,,m L ααα, 1122231,,,m m =+=+=+L .βααβααβαα证明: (1)证明:当m 为偶数时, 12,,,m L βββ线性相关.(2)证明: :当m 为奇数时, 若12,,,m L ααα线性无关,则12,,,m L βββ线性无关 证明:令1122,+0m m k k k ++=L βββ,则有()111221()()0m m m m k k k k k k -++++++=L ααα （*）为找到不全为零的数12,,,m k k k L ,使得(*)式成立,令（*）左端诸系数为零,得齐次线性方程组1121000m m m k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩L (**),它的系数行列式为110011101(1)01100011m m D +==+-L O O O M M O O L, (1)当m 为偶数时, 0m D =,方程组(**)有非零解, 故12,,,m L βββ线性无关.. (2)当m 为奇数时, 20m D =≠. 若12,,,m L ααα线性无关, （*）成立当且仅当(**), 而0m D ≠,所以方程组(**)只有零解, 即120m k k k ====L ,故12,,,m L βββ线性相关.小结: 12,,,m L βββ线性相关与无关的问题就是12(,,,)0=m x L βββ有非零解与只有零解的问题.例题3.证明: r 维向量组的每个向量添加上 n r -个分量，成为n 维向量组，若r 维向量组线性无关，则n 维向量组也线性无关.证：r 维向量组()121,2,i i i ri a a i m a ⎛⎫⎪ ⎪α== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M ,n 维向量组()11,2,i ri i ni a a i m a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪β== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M L M ,反证法，假设 12,,m βββL 线性相关，则有不全为0 数12,,,m k k k L ，使得11220m m k k k β+β++β=L即 111212111221122000m m r r m rm n n m nm k a k a k a k a k a k a k a k a k a +++=⎧⎪⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ,方程组的前面 r 个等式就表示11220m m k k k α+α++α=L .这与12,,,m αααL 线性无关矛盾!故, 12,,m βββL 线性无关.例题4. 求向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7T T T T====αααα的秩与一个最大无关组, 并用所求最大无关组表示其余向量。

线性代数与空间解析几何总结线性代数和空间解析几何是非数学专业的一门基础课程，可以看做是高等代数和解析几何的简化版。

其内容大概分为八章，以线性代数内容为主，穿插少量解析几何知识。

全书逻辑严谨，内容关联性强，但是缺乏直观性，对于没有基础的大一新生，不免显得生硬。

第一章主要讲述行列式相关内容，直接给出了行列式的定义。

这一章的重点内容是根据行列式的定义推出一些性质，利用定义推导出行列式运算的一些性质，并且根据这些性质灵活的化简计算具体的行列式。

其实行列式的计算相当繁琐，我们只需要掌握最基本的一些方法，如构造三角行列式（这种方法很重要，矩阵初等变换也要用）、加边法、递推法等等，还有一个重要的范德蒙行列式需要掌握。

在章末，给出了克莱姆法则及其在解方程组时的应用，这本来是线性方程组理论内容，为了强化行列式的应用，放在了第一章介绍。

第二章讲述矩阵的基本内容，这是全书的核心，而矩阵理论也是整个线性代数体系的核心内容之一。

这一章内容很多，而且联系复杂，但以矩阵的逆和秩为中心内容。

首先，介绍的是矩阵的基本概念，基本分类和基本运算，对于矩阵的运算，比较重要的是矩阵与矩阵之间的乘法，这是个新运算，要多加练习，在此基础上，还引出了方阵的幂的概念。

然后就开始通过单位矩阵和1的类比，引出矩阵的逆的概念，给出了矩阵逆的性质，给出了判别矩阵是否可逆的充要条件（以后还有很多补充）和求逆矩阵的伴随矩阵法。

接着通过解线性方程组的一般解法，引出矩阵的初等变换，给出了行阶梯型矩阵、行最简型矩阵和标准型矩阵的概念。

给出了矩阵秩的定义（显然，一个方阵是否可逆与其是否满秩是等价的），指出初等行变换不会改变矩阵的秩，并给出了求矩阵秩的方法——化矩阵为行阶梯型矩阵。

接着，又给出了初等矩阵的定义，并且将矩阵初等变换和矩阵与一个初等矩阵相乘建立起一一对应的关系，用初等变换将矩阵化为标准型，显然，根据初等变换不该变矩阵的秩，则初等变换不改变矩阵可逆性，由于我们可以很容易地观察出标准型矩阵的秩和行列式，所以若一个方阵可逆，它的标准型必然是一个单位阵。

《线性代数与空间解析几何》课程教学大纲课程编号：11100340适用专业：理、工、经、管各专业学时数：54 学分数： 4 开课学期：第一学期先修课程：执笔者：蒲和平编写日期：2010.1 审核人（教学副院长）：高建一、课程性质和目标授课对象：本科一年级学生课程类别：公共基础课教学目标：《线性代数与空间解析几何》是理工科大学的基础理论课，是我校培养方案中各专业必修的公共基础课程。

由于线性问題广泛存在于科学技术的各个领域, 其些非线性问題在一定条件下可以转化为线性问題, 尤其是计算机飞速发展的今天, 解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等问题已经成为科学技术人员经常遇到的问題, 因此，本课程所介绍的内容和方法，广泛应用于各个学科，这就要求学生具备有关本课程的基本理论知识，并熟练地掌握它的方法。

通过本课程的学习使学生获得本课程的基本理论和基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、熟练运算能力、空间想象能力、创造性思维能力和自学能力，以及综合运用所学知识解决一些实际问题的能力，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

二、课程内容安排和要求（一）教学内容、要求及教学方法第一章矩阵及其初等变换1.教学内容：（1）矩阵及其运算（2）高斯消元法与矩阵的初等变换（3）逆矩阵（4）分块矩阵2. 教学要求：（1）理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。

（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解矩阵多项式的概念。

（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质。

（4）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。

（5）了解分块矩阵及其运算。

第二章行列式1. 教学内容：（1）n阶行列式的定义（2）行列式的性质与计算（3）Laplace展开定理（4）克拉默法则（5）矩阵的秩2. 教学要求：(1) 了解行列式的概念。

2024数学三考研大纲第一部分：基本概念数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的科学。

它涉及到形式逻辑、抽象代数、几何、拓扑、数论、分析、概率论、数理统计等多个领域。

考研数学三科的大纲主要包括以下内容：1.数论2.代数3.几何4.分析5.概率统计第二部分：数论数论是研究整数性质的数学分支，其重要性不言而喻。

数论包括以下几个方面的内容：1.整数性质2.素数3.同余4.数论函数5.数论定理6.数论方法第三部分：代数代数是数学的一个重要分支，研究数、符号和它们的代数结构及代数方程。

代数包括以下内容：1.群、环、域2.线性代数3.线性空间4.向量空间5.矩阵6.线性变换7.代数方程第四部分：几何几何是研究空间和形状的数学分支，包括以下内容：1.解析几何2.向量解析几何3.立体几何4.三角学5.概率统计第五部分：分析分析是研究极限、微积分和级数等概念的数学分支，包括以下内容：1.极限2.微积分3.泛函4.序列5.级数6.偏微分方程7.多元函数第六部分：概率统计概率统计是研究随机现象的概率和统计规律的数学分支，包括以下内容：1.概率2.随机变量3.概率分布4.统计推断5.方差分析6.回归分析7.抽样调查第七部分：考试范围数学三科的考试范围主要包括上述各个分支的知识点，考生需熟练掌握这些知识，并具备一定的解题能力和应用能力。

考试的形式包括选择题、填空题、解答题和证明题等。

考试内容主要测试考生的数学思维能力和解决问题的能力。

第八部分：备考建议备考数学三科需要考生具备扎实的数学基础知识，需要通过大量的练习来提高解题能力，并且需要阅读相关的数学教材和参考书籍来拓展自己的数学知识面。

此外，考生还需要针对性地进行一些重点知识的复习和强化训练，以及针对性地进行一些题型的练习和模拟考试，来提高解题能力和应试能力。

第九部分：总结数学三科的考试大纲内容涉及面广，难度较大，要想在考试中取得好成绩需要付出大量的努力和时间。

考生需要在备考过程中切记不要死记硬背，而应以理解和灵活运用为主，同时要注重知识点之间的联系和整体把握。

线性代数在空间解析几何中的应用研究概述：线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换和线性方程组。

而解析几何是数学中研究几何图形的方法之一，它将代数的方法应用于几何问题的解析研究中。

线性代数在空间解析几何中扮演着重要的角色，本文将介绍线性代数在空间解析几何中的应用。

一、向量与直线的关系向量是线性代数的重要概念，它在解析几何中被广泛应用。

在二维平面中，可以用向量来表示直线的方向，通过向量的内积可以得到直线的夹角关系。

而在三维空间中，直线可以用两个向量来表示。

通过线性代数中向量的加减和数量积等运算，可以得到直线的表示式、方向向量以及点到直线的最短距离等重要信息。

二、平面与三角形的性质平面是解析几何中的一个核心概念，可以用方程或向量来表示。

线性代数中的矩阵和行列式运算可以帮助解析几何中平面的求解。

通过行列式的性质，可以判断平面是否相交，也可以求解出平面的法向量和点到平面的最短距离等。

在三角形的研究中，线性代数中向量的内积和叉积等运算可以计算出三角形的面积、重心、外心等重要性质。

三、空间曲线与曲面的方程在空间解析几何中，曲线和曲面的方程是重要的研究内容。

线性代数中的矩阵和矩阵变换可以用来描述曲线和曲面的方程。

通过变换矩阵的运算，可以将曲线和曲面的方程转化为简化形式，从而更好地研究其性质。

此外，线性代数中的特征值和特征向量可以用来研究曲线和曲面的特性，如曲线的曲率和曲面的法向量等。

四、几何变换与坐标系转换几何变换是解析几何中常见的操作，包括平移、旋转、缩放等。

这些变换可以通过线性代数中的矩阵运算来表示。

通过矩阵的乘法运算，可以实现不同坐标系之间的转换。

线性代数中的坐标变换矩阵可以用来描述物体在不同坐标系下的表示和操作，为解析几何提供了强大的工具。

总结：线性代数在空间解析几何中具有广泛的应用，它通过向量的加减、数量积和叉积等运算，帮助我们理解和分析直线、平面、曲线和曲面的性质。

此外，通过矩阵和行列式的运算，我们可以计算出几何图形的各种特性，并进行几何变换和坐标系转换。

线性代数与空间解析几何学习指导——典型例题精解线性代数与空间解析几何学习是高中数学课程中重要的一部分，学习者需要通过不断探究、实践才能掌握。

于是，典型例题精解就成为了线性代数与空间解析几何学习的重要手册。

今天，这本手册将为高中学生介绍如何学习线性代数与空间解析几何，从而帮助他们通过深入理解来完成学习任务。

典型例题精解涉及以下内容：1.性代数：典型例题精解中，我们将研究如何利用类似行列式的方法，计算向量、矩阵、多项式和向量空间等问题。

我们还会学习如何解方程组、利用特殊矩阵解决特定问题等知识。

2.间解析几何学习：在典型例题精解中，我们将研究如何绘制空间几何图形，如直线、平面、面的基本形状，如平行四边形、梯形和三角形等，以及如何解决相关空间几何问题。

为了让大家更好地了解典型例题精解，让我们来看看以下实例。

第一个例题：求解 X= 2A+3B，其中A=（3，4，5），B=（5，7，8），X=（x1，x2，x3）。

解法：由题意，X= 2A+3B，其中A=（3，4，5），B=（5，7，8），X=（x1，x2，x3）。

等式可以表示为：X1 = 2*3 + 3*5 = 21X2 = 2*4 + 3*7 = 30X3 = 2*5 + 3*8 = 39即X1=21，X2=30，X3=39第二个例题：求出平面ABCD中，AB=4，AD=3，∠BAC=90°，AC 的长度。

解法：由∠BAC=90°，可知AC是一条直角线，又因为AB=4，AD=3，AC 为直角三角形的斜边，所以AC的长度可以用勾股定理求得：AC=√（4 + 3）=（16 + 9）=25 = 5因此，AC的长度为5。

以上就是线性代数与空间解析几何学习指导典型例题精解的简介，由此可见，典型例题精解对于学习者来说，有助于理解和掌握线性代数与空间解析几何学科的基础知识，解决学习中遇到的问题，在有效的控制学习时间和学习成本的基础上，进行高效学习。

《线性代数与解析几何》课程教学大纲课程编号：20811824总学时数：64（理论64）总学分数：4课程性质：学科基础课程适用专业：工程力学一、课程的任务和基本要求：本课程的主要任务是介绍行列式和矩阵的基础概念、基本性质及其运算，并以行列式和矩阵为工具，介绍齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件及如何求解线性方程；介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求矩阵的特征值与特征向量的方法，并利用矩阵特征值与特征向量研究二次型的性质和如何将二次型化为标准形，简单介绍线性空间与线性变换的基本概念。

为其它课程打下一定的代数基础。

空间解析几何是一门理工科学生必须掌握的基础理论课程，本课程主要以向量为工具，讨论空间的平面、直线、曲面与曲线的特性，介绍并求平面、直线、曲面与曲线的方程。

二、基本内容和要求：（一）行列式基本内容：1、行列式的定义与性质2、行列式的计算3、Cramer法则基本要求：理解n阶行列式的基本概念，熟悉n阶行列式基本性质，掌握行列式的基本计算方法，会计算简单的n阶行列式。

掌握Cramer法则及其应用。

（二）矩阵基本内容：1、矩阵的定义与运算、逆矩阵的概念与计算、分块矩阵2、矩阵的初等变换与初等矩阵、矩阵的秩基本要求：了解矩阵的概念，掌握矩阵的加法、数乘矩阵及矩阵的乘法运算。

并掌握矩阵运算与实数运算的区别。

理解逆矩阵的概念并会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵。

理解分块矩阵的概念，会分块矩阵的运算。

理解矩阵的初等变换的概念，掌握矩阵的初等变换，并会用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。

理解矩阵秩的概念，并会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。

（三）向量空间基本内容：1、n维向量的概念，n维向量的概念的线性相关与线性无关的概念2、向量组的极大线性无关组与向量组的秩3、n维向量的空间及向量空间的基、维数、向量的坐标基本要求：理解n维向量的概念，理解向量组的线性相关与线性无关及向量组的极大线性无关组的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的秩和向量组的极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组表示。

线性代数与空间解析几何(Linear Algebra and Analytic Geometry)课程教学大纲一、课程编号：040429二、课程类型：必修课课程学时：48适用专业：理工科（除信息与计算科学外）各专业先修课程：中学数学三、课程性质与任务线性代数与空间解析几何是高等工科院校的一门重要的基础理论课，也是代数学中应用最广泛的部分。

实际上它广泛应用于数学的其他分支以及物理化工、工程技术、社会科学等各个领域，特别是近若干年来，随着各种科学量化研究的深入以及计算机的普遍应用，对于线性代数知识的应用需求日益增长，这就要求学生必须具备线性代数和解析几何的各种方法。

四、教学主要内容及学时分配1、向量代数与空间解析几何（6学时）；2、行列式（5学时）；3、矩阵；4、n维向量（9学时）；5、线性方程组（5学时）；6、矩阵的特征值与特征向量（7学时）；7、二次型（6学时）；8、线性空间和线性变换（3学时）。

五、基本要求和基本内容1、向量代数与空间解析几何理解向量概念以及向量的加法、减法和向量与数的乘法（线性运算），了解向量在空间有向线段上的投影、空间直角坐标系、两点间的距离公式与线段的定比分点公式、向量的分解、基本单位向量、向量的坐标、方向余弦与方向数、夹角。

理解两向量的数量积和两向量的向量积，了解两向量垂直的条件和两向量平行的条件，了解曲面方程的概念、球面方程、旋转面（包括旋转轴为坐标轴的圆锥面）方程、母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线方程的概念、空间曲线的参数方程和空间曲线在坐标平面上的投影曲线及其方程，掌握平面的点法式、一般式和截距式方程以及空间直线的参数式、一般式和对称式方程，了解两平面的夹角和平行、垂直的条件、两直线的夹角和平行、垂直的条件、直线与平面的夹角、交点和互相平行、垂直的条件。

2、行列式知道n阶排列和它的逆序数，理解n阶行列式的定义。

掌握行列式的性质，以及行列式的基本计算方法，知道拉普拉斯展开定理。

高考数学中的线性代数与解析几何高中数学是一个复杂而又深奥的学科，而线性代数与解析几何则是其中的一部分。

这两门学科是现代数学中的重要组成部分。

在高考中，这两门学科也占有非常重要的比例，因此它们的掌握程度将会直接影响到高中数学的学习成果和考试成绩。

接下来，我们将对线性代数和解析几何的内容和考试中的应用做一些简单的介绍和分析。

一、线性代数线性代数是一门研究线性方程组、矩阵、向量和线性变换等的基础性学科。

在高中数学中，线性代数主要包括矩阵、行列式、向量的内积与外积等知识点。

在高考中，矩阵与行列式是必考内容之一，它们在高考中所占比例也十分重要。

1、矩阵矩阵是一个矩形的数字或符号的集合，它是线性代数最基本的概念之一。

矩阵在高考中有很多应用，比如解线性方程组、表示向量的坐标、表示线性变换。

高考中对矩阵的考查主要包括矩阵的运算、矩阵的初等变换，矩阵求逆和矩阵的秩等方面。

2、行列式行列式也是线性代数中的一种重要的数学工具。

行列式不仅仅是一种数学工具，更是一种抽象的数学概念。

行列式在高考中的应用也十分广泛。

高考中对行列式的考查主要包括行列式的概念、性质和计算方法等方面。

二、解析几何解析几何是一门研究空间中几何对象及其性质的学科，它是高中数学中的一种重要的分支。

解析几何以解析方法研究空间中的几何问题，并使用代数语言将几何问题转化为代数问题进行研究。

在高考中，解析几何也占据着非常重要的地位，它是高考数学中的难点之一。

1、空间直角坐标系空间直角坐标系是解析几何中的一个重要概念。

空间直角坐标系是三维空间中的一个直角坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴组成。

在高考中，空间直角坐标系是解析几何的基础，许多解析几何的概念和解题方法都是建立在空间直角坐标系的基础之上的。

2、直线与平面解析几何研究的是空间中的几何对象，其中直线和平面是重要的研究对象。

在高考中，解析几何也主要考查直线和平面的方程以及它们的性质和应用。

同时，在解析几何中，直线与平面的交点也是重要的考察点之一。

线性代数与空间解析几何
从解析几何和线性代数的观点来看，《线性代数与空间解析几何》是一门重要的学科，它可以帮助学生们更深入地了解几何学和线性代数学的概念。

本文将对线性代数和空间解析几何的基本概念进行简要介绍，并讨论这两个学科之间的联系。

线性代数是一门数学学科，主要研究线性方程组和其解的性质，以及线性变换之间的关系。

它研究向量空间中变换矩阵的性质，以及矩阵之间的乘法性质、特征值和特征向量等。

线性代数可以用来解决各种数学问题，包括统计分析、优化问题、概率论、数值分析、信号处理等。

空间解析几何是一门涉及几何形状和空间构造的学科。

它主要研究点、线段、平面和曲线的性质，以及空间中的特殊物体的构造。

它也研究几何形状的相关属性，比如各种角度、距离、面积和体积等。

线性代数和空间解析几何之间有着密切联系。

比如，当涉及到几何中的投影和变化时，就可以使用矩阵乘法，实现几何上的变换。

同样，空间解析几何中的投影也可以被表达为一个矩阵，通过矩阵乘法可以表达出投影的效果。

此外，解析几何中的空间变换也可以被表达为一个矩阵，并通过线性代数的思想来求解。

线性代数和空间解析几何的应用也很广泛。

比如，在工程设计中，人们需要进行精确的几何变换，而线性代数和空间解析几何就可以提供帮助。

此外，空间解析几何在视觉里程计中也得到了广泛的应用，它可以用来分析和处理机器在空间中的位置和行为。

《线性代数与空间解析几何》是一门重要的学科，它为学生们提供了深入了解几何学和线性代数学概念的机会。

它可以帮助学生们更好地掌握线性代数和空间解析几何的基本概念，并能在实际运用中体现出价值。

线性代数与空间解析几何线性代数和空间解析几何是数学中重要的两个分支学科，它们的研究领域可以追溯到古希腊时代。

它们的知识不仅重要，而且非常有用，可以帮助我们解决复杂的问题。

它们经常被应用到其他数学领域，尤其是计算机科学。

线性代数的研究重点是研究和处理线性方程组等线性方程。

它涉及向量空间、矩阵、行列式、向量空间线性变换、特征值、特征向量和其他主题。

在机器学习、深度学习和其他领域，线性代数是重要的理论基础。

空间解析几何是一种几何学，它研究和描述特定空间中点，线段，平面和曲面的关系和结构。

它主要研究直线、圆、椭圆、抛物线、曲线等，以及它们的交点、切线、曲率等。

在计算机图形学中，空间解析几何是一种基础，可以用来计算和绘制场景中几何图形。

线性代数和空间解析几何具有高度的应用价值，它们经常被用来解决实际生活中出现的复杂问题，及计算机科学和数学中的技术问题。

研究它们的历史也是重要的，古希腊人就开始研究这两个学科，曾有像欧几里得和费马这样的著名数学家。

从古至今，线性代数和空间解析几何在数学中的地位没有任何改变，这是数学家们发现其中的魅力所在。

在未来，它们都将在各个数学领域中发挥重要作用，并取得更大的发展。

在线性代数和空间解析几何方面，学习和掌握基本概念，定义，定理，证明，概率，建模等是很重要的。

要想从中受益，就必须了解基本概念，了解它们的应用。

另外，一定要花费足够的时间去研究它们，这样才能让自己更好地掌握这两个学科。

总之，线性代数和空间解析几何是十分重要的学科，它们在数学领域有着深远的影响。

在未来，它们将持续发挥重要作用，并取得新的进展。

要想学好它们，就必须具备基本知识，且要不断练习。

线性代数与空间解析几何现代数学自古以来一直深受赞誉，它有着无与伦比的智慧，深刻地理解了许多自然界的秩序。

在经典的几何学中，线性代数和空间解析几何是一种重要的数学理论。

它们不但有助于我们深入理解数学，还可以应用到许多实际问题中。

线性代数是一种数学理论，有着十分丰富的内容，它着眼于研究向量空间，研究线性变换及其线性组合，并将这些结果应用到其他向量空间中。

它的主要内容有：多维向量的基础概念，线性方程组和矩阵的计算，线性变换的性质，特征值分解，矩阵运算，矩阵行列式，矩阵特征和Eigenvalue decomposition等。

这些内容都有助于研究者们用数学统一分析和处理各种复杂的实际问题。

空间解析几何是一种数学理论，主要涉及几何体的形状、大小、位置、形变，空间向量的表示、数量计算及构造，三维图形的建模等，它更加强调呈现几何对象的形状，揭示几何对象的实质，把抽象几何学转化为实际的几何问题求解。

同时它也是其他几何理论的基础，可以在研究立体几何、分析几何、微分几何、代数几何、拓扑学、曲面几何等领域发挥作用。

线性代数和空间解析几何有着密切的关系，它们之间的协同作用可以帮助研究者更深入地了解数学，并将它们用于解决实际问题。

如空间解析几何的结果可以用来解决线性代数的线性方程，反之亦然，两者的应用实例很多。

比如，空间解析几何可以应用于三维建模和图像处理，线性代数可以用来求解函数和拟合曲线。

在经济管理学中，线性代数和几何解析学可以用来研究金融机构的可操作性和有效性，研究多维数据的分析等。

在工程和物理学方面，线性代数和空间解析几何可以用于求解大量复杂的物理问题和工程设计，它们也可以应用于预测和控制方面，如控制系统设计、航空航天应用，甚至是自然灾害和资源量化分析等。

综上所述，线性代数和空间解析几何在现代社会生活中起着越来越重要的作用，它们不仅可以用于解决科学上的复杂问题，也可以用于经济、工程和物理等不同领域的科学研究，我们可以用它们来解决实际问题，从而实现社会的发展。

解密线性代数与空间解析几何
学习线性代数与空间解析几何是很多学生的噩梦，因为它们充斥
着大量的公式、概念和定理。

不过，只要你掌握了一些方法和技巧，
你也能轻松应对这门课程！
首先，要充分理解矩阵和向量的概念及其相互转化的关系。

在学
习矩阵乘法时，可以先简单处理一下矩阵的行列式，检查矩阵是否可逆。

对于向量，可以学习向量的加、减、点积和叉积等基本运算，帮
助理解向量的性质和变换规律。

其次，在学习空间解析几何时，可以先从二维空间出发，再逐步
延伸到三维空间。

可以了解线段、直线、平面和圆的基本方程，并掌
握它们在空间中的表达方式以及相互之间的转换关系。

此外，重点掌
握向量叉积的性质和应用，它在很多场景中都是非常有用的。

最后，多练习，多思考。

掌握理论知识只是第一步，更重要的是
能够应用到实际问题中。

多做一些例题和思考一些实际问题，可以帮
助你更好的理解与掌握知识。

总之，线性代数与空间解析几何是一门枯燥但又十分重要的学科。

只要你掌握了一些基本的方法和技巧，你也能在学习中事半功倍。

加
油吧，同学们！。

线性代数与解析几何
线性代数与解析几何是一门重要的数学课程，它给出了对抽象数学对象的抽象描述，以及它们的关系的数学分析。

它的主要内容包括线性空间，矩阵分析，线性变换，内积，线性方程组，范数，秩，特征值，基变换等。

解析几何是一种几何学的分支，它研究几何图形在空间中的形状和运动。

它也给出了对几何对象的抽象描述，以及它们之间的关系。

其主要内容包括几何体，几何图形，向量和矢量，空间变换，曲面，曲线，参数方程，正交变换，正切变换，积分变换等。

线性代数与解析几何的内容之间存在一定的关联，它们都是对抽象数学对象的抽象描述，以及它们之间的关系进行数学分析。

从线性代数的角度来看，解析几何可以用矩阵分析和线性变换来表示；从解析几何的角度来看，线性代数可以用参数方程，正交变换，正切变换，积分变换等来表示。

线性代数与解析几何对于现代科学技术的发展有着重要的作用，它们可以用来解决各种复杂的数学问题，如机器研究，数据挖掘，机器人技术，计算机图形学等。

线性代数与解析几何的研究也可以用于解决物理学和工程学中的实际问题，比如热传导，结构力学，电磁学，电子学等。