3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质

（来自《点拨》）
知1－讲
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ABC中，
AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝90°，
AC 2 BC 2 32 42 ＝5(cm)． 1 1 又∵S△ABC＝ 2 AB· CD＝ 2 AC· BC，
∴AB＝
∴CD＝2.4 cm. ∴r≥2.4 cm.
B．130°
C．50°
D．100°
（来自《典中点》）
1.直线与圆的三种位置关系可以用两种方式刻画： 一是用直线与圆的公共点的个数来确定，
二是用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来
确定，两种方式本质上是一致的． 2.直线与圆的三种位置关系中“相切”最具有特殊性，由此 我们得到了圆的切线的定义和性质，在应用切线的性质 时，一定要抓住“垂直”这一特征，综合直角三角形的有 关知识灵活解决问题．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 〈永州〉如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC 上，∠A＝30°，D为 BC 中点．求证：
(1)AB＝BC；
(2)四边形BOCD是菱形． (1)要证AB＝BC，可证∠A＝∠ACB＝30°.由AB切⊙O于 导引： B，可得AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝60°＝ ∠ACB＋∠OBC.再由OB＝OC得∠OCB＝∠OBC＝30°. (2)连接OD，由D为 BC中点，可得OD垂直平分BC，再证 BC平分OD即可得出四边形BOCD为菱形．
（来自《典中点》）
)
知1－练
3 如图，∠O＝30°，P为边OA上的一点，且OP＝5，
若以P为圆心，r为半径的圆与射线OB只有一个公共 点，则半径r满足的条件是( A．r＝5
5 B．r＝ 2 5 C. ≤r<5 2 5 D．r＝ 或r>5 2
（来自《典中点》）
)
知2－导
知识点
议一议
2 切线的性质
(1)请举出生活中直线与圆相交、相切、相离的 实例.
AC 1 ∴cosA= AB 2
∴ ∠ A = 60°. ∴ CD = ACsinA = 4 sin 60° = 2 3 (cm). 因此，当半径长为 2 3 cm时，AB与⊙ C相切. (2)由(1)可知，圆心C到AB的距离 d = 2 3 cm,所以
当r = 2cm时，d>r, ⊙ C与AB相离；
知1－讲
知识点
1
直线和圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系： (1)相交： 如图①，直线和圆有两个公共点，这时我们 说这条直线和圆相交，公共点叫做交点，这条直线 叫做圆的割线．
知1－讲
(2)相切：如图②，直线和圆有唯一的公共点，这时我们说这 条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公
共点叫做切点.
D．40°
（来自《典中点》）
知2－练
2 (2016· 湖州)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB ＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的 延长线于点D，则∠D的度数是( A．25° B．40° C．50° )
D．65°
（来自《典中点》）
知2－练
3 (2015· 泸州)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两 点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( A．65° )
当r = 4cm时，d<r， ⊙ C与AB相交.
（来自教材）
知1－讲
例2 在Rt△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝
90°.若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相 离，求r的取值范围． ⊙C与直线AB不相离，即⊙C与直线AB相交或相切， 导引： 因此只需点C到直线AB的距离小于或等于r.
AB的延长线上，AC切⊙O于点C.求：
(1)⊙O的半径； (2)∠A的度数．
连接OC，易得Rt△OAC，运用勾股定理求⊙O的 导引：
半径．在Rt△OAC中，利用锐角三角函数求∠A 的度数．
知2－讲
(1)连接OC. 解： ∵AC切⊙O于点C，∴OC⊥AC， 设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r. ∴OA＝OB＋AB＝1＋r.
知2－讲
(1)∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA＝90°. 证明：
∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. 又∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB＝60°， ∴∠OCB＝30°＝∠A.∴AB＝BC. (2)如图，连接OD，交BC于点M.∵D为 BC 中点， ∴OD垂直平分BC.在Rt△OCM中，∠OCM＝30°， 1 1 ∴OM＝ OC＝ OD.∴OM＝DM. 2 2 ∴四边形BOCD为菱形．
3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径 画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( A．相交 C．相离 B．相切 D．不能确定 )
（来自《典中点》）
知1－练
2
(2015· 嘉兴)如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3， AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半 径为( A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
(2)切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理
是在未知相切而要证明相切的情况下使用，切线的性 质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用；它 们是一个互逆的过程，不要混淆．
知2－讲
2．切线的性质： 温故：(1)切线和圆只有一个公共点； (2)圆心到切线的距离等于半径； (3)圆的切线垂直于过切点的半径． 知新：(推论) (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用)． (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用)． 以上(3)(4)(5)可归纳为： 已知直线满足：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线中的任意 两个，就可得到第三个．
1.必做: 完成教材P91随堂练习T1、2，习题
3.7T1-3
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
第三章 圆
3.6
直线和圆的位置关系
第 1 课时
直线和圆的位置关系
及切线的性质
1
课堂讲解
直线和圆的位置关系 切线的性质堂 小结 作业 提升
（1）观察下面的三幅图片，地平线与太阳的位置关系是 怎样的？
（2）作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平
移直尺，直线和 圆有几种位置关系？
(3)相离：如图③，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直 线和圆相离．
（来自《点拨》）
知1－讲
2.直线和圆的位置关系的性质及判定： (1)直线和圆的公共点个数与位置间的关系： ①两公共点⇔直线和圆相交；
②一公共点⇔直线和圆相切；
③无公共点⇔直线和圆相离．
（来自《点拨》）
知1－讲
(2)如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： ①直线l和⊙O相交⇔d＜r； ②直线l和⊙O相切⇔d＝r； ③直线l和⊙O相离⇔d＞r. 说明：这两种方法各具特点：第一种方法直观明了，但直 线和圆相切，有时仅凭观察是不准确的；第二种方法准确
知2－讲
拓展： (1)弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相交(弦)，另 一边与圆相切(切线)的角叫弦切角． (2)弦切角的性质：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆
周角的度数；亦等于它所夹弧的度数的一半；也等于
它所夹弧所的圆心角度数的一半．
知2－讲
例3 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝
3 ，点O在
知2－讲
总 结
有弧的中点的条件时，也要连半径，这类辅助线
的作法对于证角的相等或倍分关系以及证线段的垂直 平分起到桥梁作用．
（来自《点拨》）
知2－练
1
(2016· 无锡)如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于
点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD 的度数为( A．70° B．35° )
C．20°
(2)图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画
出它们的对称轴吗？
知2－导
(3)如图,直线CD与⊙O相切于点A，直 径AB与直线CD有 怎样的位置关系？说一说你的理由.
知2－导
归 纳
圆的切线垂直于过切点的半径.
（来自教材）
知2－讲
1．性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 要点精析： (1)性质定理的题设有两个条件： ①圆的切线；②半径过切点，应用时缺一不可．
（来自教材）
知1－讲
总 结
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数形结
合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心到直线的
距离与圆的半径大小，与“形”：直线和圆的位置关 系之间的相互转化． (2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等法求 出．
（来自《点拨》）
知1－练
1
(2016· 湘西州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
知1－讲
例1 已知 Rt△ABC的斜边 AB= 8 cm, AC= 4 cm. (1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时， AB与⊙O相 切？ (2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两
个圆，这两个 圆与AB分别有怎样的位置关系？
（来自教材）
知1－讲
(1)如图,过点C作AB的垂线，垂足为D. 解： ∵AC = 4cm,AB = 8 cm,
在Rt△OAC中，OA2＝OC2＋AC2，
即(1＋r)2＝r2＋(
3 )2，解得r＝1.故⊙O的半径为1.
(2)由(1)得OC＝1，OA＝2.
OC 1 = ，∴∠A＝30°. 在Rt△OAC中，sin A＝ OA 2
知2－讲
总 结
当圆中有切线和切点时，通常连接过切点的半径， 则这条半径必与切线垂直，本例中作辅助线的方法， 适用于同类条件下与圆有关的求值或证明题．
但不直观．
（来自《点拨》）
知1－讲
3. 易错警示： (1)理解切线定义时，要抓住关键字眼“只有一个”，避免 出现“有一个公共点时，直线和圆相切”的错误，用动 态的观点及数形结合思想来准确理解切线的定义． (2)射线、线段和圆的位置关系不能像直线一样依据交点 个数判定，要具体情况具体分析．
（来自《点拨》）