高中数学第一章坐标系第4节第2课时球坐标系教学案新人教A版选修4_42

四 柱坐标系与球坐标系简介1．借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法． 2．与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系．1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组________(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作________，其中________________________．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为__________ 【做一做1－1】 设点P 的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是__________． 【做一做1－2】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是________． 2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ.这样点P 的位置就可以用有序数组________表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作__________，其中______________________．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为______________在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P (r ，φ，θ)的方位角，π2－φ称为高低角．【做一做2】 已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______．答案：1．(1)(ρ，θ，z ) P (ρ，θ，z ) ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .【做一做1－1】 (2，π4，3) 【做一做1－2】 以Oz 轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面 2．(1)(r ，φ，θ) P (r ，φ，θ) r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.【做一做2】 (－2,2,22) (22，3π4，22)1．空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的． 在直角坐标中，我们需要三个长度x ，y ，z ，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z 或者r ，φ，θ.空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就惟一地确定了一个有序数组x ，y ，z .这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)．坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 面上的点，y ＝0；如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．2．建立空间坐标系的方法剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．题型一 直角坐标与柱坐标的互化【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2求ρ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ时，要特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．题型二 直角坐标与球坐标的互化【例2】 已知点M 的球坐标为(2，3π4，3π4)，求它的直角坐标．分析：利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求解，其中r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，tan θ＝yx. 反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x，cos φ＝zr来求．需要特别注意的是在求φ和θ时，要先弄清楚点M 所在的位置． 题型三 求空间一点的坐标【例3】 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．题型四 柱坐标系、球坐标系的应用【例4】 已知点P 1的球坐标是P 1(23，π3，π4)，P 2的柱坐标是P 2(6，π6，1)，求|P 1P 2|.分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离．反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决． 题型五 易错辨析【例5】 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 错解：点M 的球坐标为(2，2，2)．答案：【例1】 解：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为(2，π4，1)．【例2】 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin3π4cos 3π4＝2×22－22＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝2×22×22＝1，z ＝2cos 3π4＝－22＝－ 2.∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．【例3】 解：以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置．∴点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．【例4】 解：设P 1的直角坐标为P 1(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝23sin π3cos π4＝322，y 1＝23sin π3sin π4＝322，z 1＝23cos π3＝3，∴P 1的直角坐标为(322，322，3)．设P 2的直角坐标为P 2(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6cos π6＝322，y 2＝6sin π6＝62，z 2＝1，∴P 2的直角坐标为(322，62，1)．∴|P 1P 2|＝0＋322－622＋3－2＝30－102. 【例5】 错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .正解：∵r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2，z ＝r cos φ＝2，∴cos φ＝22.∴φ＝π4. 又∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4.∴点M 的球坐标为(2，π4，π4)．1在空间直角坐标系Oxyz 中，方程x ＝1表示( )．A ．点B ．直线C ．平面D ．以上都不对 2在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤2π，0≤θ＜2π)表示()． A ．圆 B ．半圆 C ．球面 D ．半球面 3点M 的直角坐标为1，－2)，则它的球坐标为( )．A．3,)46ππ B．,)46ππ C．,)43ππ D ．3,)43ππ4空间点P 的柱坐标为(6，3π，4)，则点P 关于z 轴的对称点为________． 5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来．(1)(2,0，－2)；(2)(π，π，π)6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来． (1)(2，,63ππ)；(2)(2，7,44ππ)．答案：1．C 由空间点的直角坐标的定义知，方程x ＝1表示与x 轴垂直且到原点的距离为1的平面．2．D 由空间点的球坐标的定义可知，方程r ＝2(0≤φ≤2π，0≤θ＜2π)表示半球面． 3．A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则sin cos ,1sin sin ,2cos ,r r r ϕθϕθϕ==⎨⎪-=⎩解得3,4.6r πϕπθ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．(6，43π，4) 5．解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝(2,0，－2)，∴2cos 02,sin 00,2,x y z ==⎧⎪==⎨⎪=-⎩∴(2,0，－2)为所求点的直角坐标． (2)∵(ρ，θ，z )＝(π，π，π)，∴cos ,sin 0,,x y z ππππππ==-⎧⎪==⎨⎪=⎩∴(－π，0，π)为所求点的直角坐标． 6．解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(r ，φ，θ)＝(2，,63ππ)，∴1sin cos 2sin cos ,632sin 2sin sin 63cos 2cos 6x r y r z r ππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪===⎪⎩∴1(2为所求点的直角坐标．(2)∵(r，φ，θ)＝(2，7,44ππ)，∴7sin cos2sin cos1,447sin sin2sin sin1,44cos2cos4x ry rz rππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===-⎨⎪⎪===⎪⎩∴(1，－1为所求点的直角坐标．。

第2课时 极坐标和直角坐标的互化学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．知识点 极坐标和直角坐标的互化思考1 平面内的一个点M 的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？ 答案 可以．思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？ 答案 ①直角坐标的原点为极点；②x 轴的正半轴为极轴；③单位长度相同． 梳理 互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位． (2)互化公式①极坐标化直角坐标：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.②直角坐标化极坐标：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).类型一 点的极坐标化直角坐标 例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4；(3)M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6.解 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得(1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，∴点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－322，∴点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.(3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π6＝3，∴点M 的直角坐标为(－33，3)．反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ惟一确定．跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．解 根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得A (－1，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C (0，－4)． 类型二 点的直角坐标化极坐标例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)． 由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.(3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x ＝1，θ∈[0,2π)． 由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.引申探究1．若规定θ∈R ，上述点的极坐标还惟一吗？解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3＋2k π(k ∈Z )．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6＋2k π(k ∈Z )． (3)⎝⎛⎭⎪⎫32π2，π4＋2k π(k ∈Z )． 极坐标不惟一．2．若点的直角坐标为(1)(0,23)，(2)(0，－2)，(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 结合坐标系及直角坐标的特点知， (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0.反思与感悟 (1)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532的距离为1且与原点距离最近的点N 的极坐标．解 把点M 的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532化为极坐标，得ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5322＝5，tan θ＝－53252＝－ 3. 因为点M 在第四象限，所以θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，则点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3＋2k π，k ∈Z .依题意知，M ，N ，O 三点共线，则点N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3＋2k π，k ∈Z .类型三 极坐标与直角坐标互化的应用例3 已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，求线段AB 中点的直角坐标．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)，同理可得B (－4，－43)．设线段AB 的中点为M (m ，n )，由线段中点的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4＋32＝－12，n ＝－43＋332＝－32，所以线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.引申探究1．若本例条件不变，求线段AB 中点的极坐标． 解 由例3知，AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ρ2＝x 2＋y 2＝1，∴ρ＝1.又tan θ＝y x ＝3，∴θ＝4π3，∴极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3. 2．若本例条件不变，求AB 的直线方程．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)．又因为直线AB 的倾斜角为π3，故斜率k ＝3，故直线AB 的方程为y －33＝3(x －3)，即3x －y ＝0. 反思与感悟 应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．跟踪训练3 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2.∴B (－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1或tan θ＝6－6＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)答案 A2．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4答案 B解析 设点P 的极坐标为(ρ，θ)， ∵ρ2＝x 2＋y 2＝4，∴ρ＝2，又tan θ＝y x ＝－1，且点P 在第二象限，∴θ＝3π4.3．若M 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，则M 点的直角坐标是( )A ．(－3，1)B ．(－3，－1)C ．(3，－1)D ．(3，1) 答案 A解析 由公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，∴M 点的直角坐标为(－3，1)．4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 答案 C解析 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝y x ＝－31＝－ 3.∵点P 在第四象限，结合选项知，θ可以是－π3，∴点P 的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 5．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3解析 ρ＝(－3)2＋(－33)2＝6， 由6cos θ＝－3，得cos θ＝－12，又0≤θ<2π，且M (－3，－33)在第三象限， ∴θ＝4π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sin θ＝y ρ，cos θ＝x ρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)．一、选择题1．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－5π3答案 A2．直角坐标为(－2,2)的点M 的极坐标可以为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4 答案 C解析 易知ρ＝(－2)2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，因为点M 在第二象限，所以可取θ＝3π4，则点M 的极坐标可以为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4.3．若点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－3,4) 答案 D4．点M 的直角坐标是(3，3)，则点M 的极坐标可能为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫23，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 答案 B解析 ρ＝x 2＋y 2＝23，tan θ＝yx ＝33， 又θ的终边过点(3，3)，所以θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以M 的极坐标可能为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 5．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A ．(32，42) B ．(－32，42) C ．(－32，－42) D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)． 二、填空题6．把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，π6化为直角坐标为________．答案 (－53，－5)7．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为________． 答案5π6解析 点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎪⎫332，32，故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6.8．将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________． 答案 (－1，－3)解析 由于M (－1，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3)．9．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是________．答案125解析 点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23，即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10．在极轴上与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为________． 答案 (1,0)或(7,0)解析 设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)． 三、解答题11．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)解 (1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y <0，∴ρ＝15，θ＝3π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 12．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，7π6.(1)求|AB |的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点)． 解 如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB |2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB |＝93.(2)S △AOB ＝12OA ·OB sin∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3.13．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解 将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3)．方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线． 方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →， 所以M ，N ，P 三点共线．四、探究与拓展14．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π 解析 ∵点P (x ，y )在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2. 又tan θ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π. 因此，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，54π. 15．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解 如图所示．设M 在直角坐标系x ′O ′y ′中的坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ′＝ρsin θ＝4sin π6＝2， 又M 在原坐标系中的坐标为(x ，y )，则x ＝x ′＋2＝23＋2，y ＝y ′＋3＝5，∴点M 的直角坐标是(23＋2,5)．。

高中数学目录必修一第一章1.1 会合与会合的表示方法1.1.1 会合的观点1.1.2 会合的表示方法第二章2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单一性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质与图像2.2.2 二次函数的性质与图像2.3 函数的应用（ 1）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1 指数与指数函数3.1.1 实数指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.4 函数的应用（ 2）必修二第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 组成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱棱锥棱台的构造特点1.1.3 圆柱圆锥圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7 柱锥台和球的体积1.2 点线面之间的地点关系1.2.1 平面的基天性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面分析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的观点与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的地点关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的地点关系2.3.4 圆与圆的地点关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的观点1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑构造和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值输入输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法事例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单的随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的采集2.2 用样本预计整体2.2.1 用样本的频次散布预计整体的散布2.2.2 用样本的数字特点预计整体的数字特点2.3 变量的有关性2.3.1 变量间的互相关系2.3.2 两个变量的线性有关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本领件空间3.1.3 频次与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1 随意角的观点与弧度制1.1.1 角的观点的推行1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 随意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 引诱公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的观点2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 数乘向量2.1.5 向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2 向量的分解和向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数目积2.3.1 向量数目积的物理背景与定义2.3.2 向量数目积的运算律2.3.3 向量数目积的坐标运算与胸怀公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n 项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实质应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面地区3.5.2 简单线性规划选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑联络词1.2.1 且与或1.2.2 非（否认）1.3 充足条件必需条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充足条件必需条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1 曲线方程2.1.1 曲线与方程的观点2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 两个向量的数目积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其胸怀3.2.5 距离（选学）选修 2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的均匀变化率1.1.2 刹时速度与导数1.1.3 导数的几何1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法例1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单一性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实质应用1.4 定积分与微积分的基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与剖析法2.2.2 反证法2.3 数学概括法2.3.1 数学概括法2.3.2 数学概括法应用举例第三章数系的扩大与复数3.1 数系的扩大与复数的观点3.1.1 实数系3.1.2 复数的观点3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法选修 2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 摆列与组合1.2.1 摆列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 失散型随机变量及其散布列2.1.1 失散型随机变量2.1.2 失散型随机变量的散布列2.1.3 超几何散布2.2 条件概率与实践的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项散布2.3 随机变量的数字特点2.3.1 失散型随机变量的数学希望2.3.2 失散型随机变量的方差2.4 正态散布第三章统计事例3.1 独立性查验3.2 回归剖析选修 4-4第一章坐标系1.1 直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1 直角坐标系1.1.2 平面上的伸缩变换1.2 极坐标系1.2.1 平面上点的极坐标1.2.2 极坐标与直角坐标的关系1.3 曲线的极坐标方程1.4 圆的极坐标方程1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2 圆心在点（ a，∏ /2 ）处且过极点的圆1.5 柱坐标系和球坐标系1.5.1 柱坐标系1.5.2 球坐标系第二章参数方程2.1 曲线的参数方程2.1.1 抛射体的运动2.1.2 曲线的参数方程2.2 直线与圆的参数方程2.2.1 直线的参数方程2.2.2 圆的参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程2.3.1 椭圆的参数方程2.3.2 双曲线的参数方程2.3.3 抛物线的参数方程2.4 一些常有曲线的参数方程2.4.1 摆线的参数方程2.4.2 圆的渐开线的参数方程。

【2019-2020年度】人教B 版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系（Word ）[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M0，连接OM 和OM0，设z 轴的正向与向量的夹角为φ，x 轴的正向与0的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.OM OM2．直角坐标与球坐标的转化空间点M 的直角坐标(x ，y ，z)与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝rsin φ·cos θ，y ＝rsin φ·sin θ，z ＝rcos φ. [小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.[例1][思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析] ∵M 的球坐标为，∴r ＝5，φ＝，θ＝.由变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5sin 5π6cos 4π3＝－54，y ＝5sin 5π6sin 4π3＝－534，z ＝5cos 5π6＝－532.故它的直角坐标为. 已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x ＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2，y ＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2，z ＝rcos φ＝4cos ＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2).[例[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．[精解详析] 由坐标变换公式，可得r ＝＝＝2.由rcos φ＝z ＝，得cos φ＝＝，φ＝.又tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．解：由变换公式得r＝＝＝1.由rcos φ＝z＝－得cos φ＝－，φ＝.又tan θ＝＝(r>0，y>0)，得θ＝，∴M的球坐标为.[例3] O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析] 如图所示，因为A，B，可知∠AOO1＝∠O1OB＝，∴∠O1AO＝∠O1BO＝.又∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝.∴在△AOO1中，OO1＝4.在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8.即两个截面间的距离O1O2为8.一、选择题1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为( )OPA．－ B.3π4C.D.π3解析：选A ∵φ＝，∴OP 与OP0之间的夹角为＝. 2．点M 的球坐标为(r ，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )A ．(－r ，－φ，－θ)B ．(r ，π－φ，π－θ)C ．(r ，π＋φ，θ)D ．(r ，π－φ，π＋θ)解析：选D 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，则点M 关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(－x ，－y ，－z)，设M′的球坐标为(r′，φ′，θ′)，因为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，所以⎩⎨⎧ r′sin φ′cos θ′＝－rsin φcos θ，r′sin φ′sin θ′＝－rsin φsin θ，r′cos φ′＝－rcos φ，可得⎩⎨⎧ r′＝r ，φ′＝π－φ，θ′＝π＋θ，即M′的球坐标为(r ，π－φ，π＋θ)．3．点P 的球坐标为，则它的直角坐标为( )A ．(1,0,0)B ．(－1，－1,0)C ．(0，－1,0)D ．(－1,0,0)解析：选D x ＝rsin φcos θ＝1·sin ·cos π＝－1， y ＝rsin φsin θ＝1·sinsin π＝0，z ＝rcos φ＝1·cos＝0，∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．已知点P 的柱坐标为，点B 的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A ．P(5,1,1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 B ．P(1,1,5)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 C ．P ，B(1,1,5)D ．P(1,1,5)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析：选B 球坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，柱坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.设P 点的直角坐标为(x ，y ，z)，则x ＝cos ＝×＝1， y ＝sin ＝1，z ＝5.设B 点的直角坐标为(x′，y′，z′)，则x′＝sin cos ＝××＝，y′＝sin sin ＝××＝，z′＝cos ＝×＝.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为.二、填空题5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R ，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R ，，.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，5π3，3π4 6．已知点M 的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 7．设点M 的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为________． 解析：由坐标变换公式，得r ＝＝＝2，cos φ＝＝，∴φ＝.∵tan θ＝＝＝1，又∵x<0，y<0，∴θ＝.∴M 的球坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 8．在球坐标系中，方程r ＝1表示________，方程φ＝表示空间的________．解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面三、解答题9．如图，请你说出点M 的球坐标．解：由球坐标的定义，记|OM|＝R ，OM 与z 轴正向所夹的角为φ.设M 在xOy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点M 的位置就可以用有序数组(R ，θ，φ)表示．∴M 点的球坐标为M(R ，θ，φ)．10．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：根据坐标变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2sin 3π4cos 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－62，y ＝2sin 3π4sin 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－22，z ＝2·cos 3π4＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，∴点P 的直角坐标为. 11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标．(其中O 是△BCD 的中心)解：O 是△BCD 的中心，则OC ＝OD ＝OB ＝，AO ＝.∴C ，D ，B，A.[对应学生用书P19][对应学生用书P19]1的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 线段AB 与CD 互相垂直且平分于点O ，|AB|＝2a ，|CD|＝2b ，动点P 满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图所示．设P(x ，y)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，由题设，知|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.∴ ·错误!＝ ·.化简得x2－y2＝，∴动点P 的轨迹方程为x2－y2＝.设点点P(X ，Y)对应点P′(x′，y′)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C 变为曲线(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将代入(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝. 该曲线是以为圆心，为半径的圆.1F(ρ，θ)＝0.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解] 如图，令A(ρ，θ)．△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，又|BC|＝10，|AB|＝ρ，所以由正弦定理，得＝.化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.1x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[解] (1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为2＋2＝.它是以为圆心，以为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.它是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5.它是一条直线.1M0，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点M的柱坐标．2．球坐标：建立空间直角坐标系O ­xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为φ，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为θ，则M(r，θ，φ)为M点的球坐标．[例5] 在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V＝Sh ＝πr2h ＝2π.[例6] 如图，长方体OABC —D′A′B′C′中，OA ＝OC ＝a ，BB′＝OA ，对角线OB′与BD′相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．[解] r ＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，而|OP|＝a ，∠D′OP＝∠OB′B，tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，θ＝∠AOB＝.∴点P 的球坐标为.[对应学生用书P21]一、选择题1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.，k∈Z解析：选C ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.又∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－12，sin θ＝32.∴θ＝π＋2k π，k ∈Z.即点M 的极坐标为，k∈Z.2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：选 C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x ＝1.3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.4．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )A.－1B.－1C．1 D.2解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.二、填空题5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．解析：原方程化为直角坐标方程为－＝1，∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．答案：(，0)，(，π)6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．解析：x＝6·sin·cos ＝3，y＝6sinsin＝3，z＝6cos＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．答案：(3,3，0)7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.答案：238．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为＝＝2.答案：23三、解答题9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．解：设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，得a2x2＋b2y2＝1.又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，∴又∵a>0，b>0，∴a＝，b＝.∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝13x ，Y ＝12y.10．已知A ，B 两点的极坐标分别是，，求A ，B 两点间的距离和△AOB 的面积．解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝＝＝2.S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝2×4×sin＝×2×4＝4.11．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足＝，求动点P 的轨迹方程．解：(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C 上任意一点．在△OCM 中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM ＝.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos .化简整理，得ρ2－6·ρcos ＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos ＋8＝0.①设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝ρ， 又θ1＝θ，所以⎩⎨⎧ ρ1＝25ρ，θ1＝θ.代入①得ρ2－6·ρcos ＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ＋50＝0为P 点的轨迹方程．。

高中数学第一章坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A 版选修4教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。

空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos变式训练标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度.思考: 在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则；2．柱坐标系的作用与规则。

[核心必知]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)点的极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）Ｗ. [问题思考]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2n π)或(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(其中n ∈Z )．2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M (ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M 的极坐标为(ρ，θ)，则M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．已知定点P ⎝⎛⎭⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23， |OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O ′P |＝2.∴|OP |2＝|OO ′|2＋|O ′P |2，∠OO ′P ＝π2.∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3.∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝∴P 点的新坐标为(4，π2)．—————————————建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．边长为a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标．解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐标分别为：(0，0)、(a ，0)、(3a ，π6)、(2a ，π3)、(3a ，π2)、(a ，23π)或(0，0)、(a ，0)、(3a ，－π6)、(2a ，－π3)、(3a ，－π2)、(a ，－23π)．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)[精讲详析] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．(1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋（－2）2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为(22，7π4)．又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15， ∴点C 的极坐标为(15，3π2)．(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；(2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π) 解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4， y ＝8sin2π3＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4，43)． (2)ρ＝（6）2＋（－2）2＝22， tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝116π.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫3，－π3，B ⎝⎛⎭⎫1，23π，求A 、B 两点之间的距离． [精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．法一：由A (3，－π3)、B (1，2π3)在过极点O 的一条直线上，这时A 、B 两点的距离为|AB |＝3＋1＝4，所以，A 、B 两点间的距离为4.法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝2π3，由两点间的距离公式得|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）＝32＋12－2×3×1×cos （－π3－23π）＝10－6cos π ＝10＋6 ＝16 ＝4.法三：将A (3，－π3)，B (1，2π3)由极坐标化为直角坐标，对于A (3，－π3)有x ＝3cos (－π3)＝32，y ＝3sin(－π3)＝－332，∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)有x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin2π3＝32， ∴B (－12，32)．∴|AB |＝（32＋12）2＋（－332－32）2＝4＋12＝4. ∴AB 两点间的距离为4.对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）求得；也可以把A 、B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2求得；极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，54π，则求第三个顶点C 的坐标．解：由题设知，A 、B 两点关于极点O 对称，又|AB |＝4，由正三角形的性质知，|CO |＝23，∠AOC ＝π2，从而C 的极坐标为(23，34π)或(23，－π4)．极坐标与直角坐标的互化在高考模拟中经常出现．本考题将极坐标与直角坐标的互化同极坐标系中两点间的距离和简单的三角恒等变换相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证]已知极坐标系中，极点为O ，将点A (4，π6)绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标与极坐标的转化． [解析] 依题意，点B 的极坐标为(4，5π12)，∵cos 5π12＝cos (π4＋π6)＝cos π4cos π6－sin π4·sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin (π4＋π6)＝sin π4cos π6＋cos π4·sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝6＋ 2.∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． [答案] (6－2，6＋2)一、选择题1．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫－2，π6的位置，可按如下规则确定( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2解析：选B 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．2．在极坐标平面内，点M ⎝⎛⎭⎫π3，200π，N ⎝⎛⎭⎫－π3，201π，G ⎝⎛⎭⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H 解析：选A 由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点 (ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称． 4．已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A.⎝⎛⎭⎫2，π3，(1，3)B.⎝⎛⎭⎫2，－π3，(1，－3)C.⎝⎛⎭⎫2，2π3，(－1，3)D.⎝⎛⎭⎫2，－2π3，(－1，－3)解析：选D 点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3＋π)，即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin (－2π3)＝－2sin π3＝－ 3.二、填空题5．限定ρ>0，0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ， 即x 2＋y 2＝x 2. ∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)． 答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：(7，π3)或(1，4π3)7．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________．解析：∵tan θ＝－43，π2<θ<π，∴cos θ＝－35，sin θ＝45.∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4. ∴点M 的直角坐标为(－3，4)． 答案：(－3，4) 三、解答题9．设点A ⎝⎛⎭⎫1，π3，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)解：如图所示：关于极轴的对称点为 B (1，－π3)关于直线L 的对称点为C (1，2π3)．关于极点O 的对称点为D (1，－2π3)．10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0，0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x －3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋（－3）2＝23，tan θ＝－33，∵0≤θ<2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 11．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r ，0)，因为A (42，π4)， 所以 （42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5. 即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1，0)或(7，0)．。

1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π． （2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。

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第２节极坐标系[核心必知]1．极坐标系的概念（1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点O引一条射线Ｏx，叫做极轴；再选定一个长度单位,一个角度单位（通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2）点的极坐标设Ｍ是平面内一点,极点O与点Ｍ的距离|OM｜叫做点M的极径，记为ρ;以极轴Ｏx为始边,射线OM为终边的角xOＭ叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M（ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2.极坐标与直角坐标的互化（１）互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度单位．（2）互化公式错误!错误![问题思考]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么?提示：不是．在极坐标系中,与给定的极坐标(ρ,θ）相对应的点是唯一确定的;反过来,同一个点的极坐标却可以有无穷多个.如一点的极坐标是(ρ，θ)（ρ≠0）,那么这一点也可以表示为(ρ，θ+２nπ)或(-ρ，θ＋(2n+１)π)（其中n∈Ｚ)．2.若ρ>０，0≤θ〈2π,则除极点外,点M(ρ,θ）与平面内的点之间是否是一一对应的?提示:如果我们规定ρ>0,０≤θ＜２π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)来表示，这时,极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M的极坐标为(ρ,θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则Ｍ点关于极点的对称点的极坐标是（－ρ,θ）或（ρ，θ+π）；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ,－θ);M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ,π-θ)或（-ρ，-θ）．已知定点P错误!．(1)将极点移至Ｏ′错误!处极轴方向不变,求Ｐ点的新坐标；(２）极点不变，将极轴顺时针转动＼ｆ（π,６)角,求Ｐ点的新坐标.[精讲详析］本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系,然后求相应的点的极坐标．（１）设P点新坐标为(ρ，θ），如图所示，由题意可知|OO′|=2错误!，|OＰ|＝4,∠POx=＼f(π,３)，∠O′Ox=错误!，∴∠POO′=错误!.在△PＯO′中，ρ２=42+(２错误!)２-2·4·2错误!·cｏs 错误!=16+１２－２4＝4,∴ρ=2．即|Ｏ′Ｐ｜=2。