郑州市第七中学数学一元二次方程单元试卷（word 版含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两
点,OA=5,∠OAB=60°.
(1)如图1,求直线AB 的解析式；
(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.
【答案】(1)直线解析式为353y x =-+(2)S=53253
22
m +
；(3)203S =. 【解析】 【分析】
(1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；
(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得CH=)3
52
m +，再由S=
1
2
AB •CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上
截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=
172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=5
2
m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.
【详解】
(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°， ∴∠OBA=30°，AB=10 ， 由勾股定理可得OB=53，
∴B(0，53)，
设AB解析式为y kx b
=+，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得
05
53
k b
b
=+
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
，∴
3
53
k
b
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线解析式为353
y x
=-+；
(2)∵CP//OD，OP//CD，
∴四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，
∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，
过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=
5
2
m
+
，由勾股定理得CH=()
3
5m
+，∴S=
1
2
AB•CH=
1353253
10(5)
2
m m
⨯⨯+=+；
(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，
∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，
∴∠PEC=∠ADC，
设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，
在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE，
∵∠DAK=60°，
∴△ADK是等边三角形，
∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，
∵PC=OD，
∴△PEC≌△DKO，
∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α，∠AKD= ∠APC=60°，
∴∠OPK= ∠OKB，
∴OP=OK=CE=CD，
又∵∠ECD=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD=DE ，
连接OE ，∵ ∠ADE=∠APO ，DE=CD=OP ， ∴△OPE ≌△EDA ， ∴AE=OE ， ∠OAE=60°， ∴△OAE 是等边三角形， ∴OA=AE=5 ，
∵四边形ADCE 的周长等于22， ∴AD+2DE=17， ∴ED=
172
m
-， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=
5
2
m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=， 即222
53517(
)()()22
m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)， ∴S=
153253
+
=203.
【点睛】
本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长． 【答案】（1）k ＞
3
4
；（215
