第15讲 函数与方程(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

专题二 二次函数、方程与不等式一、单选题1．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞2．（2021·山西高三一模（理））已知,,+∈a b c R ，且4,4a ab ac >+=，则2232a b c a b c+++++的最小值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．23．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<4．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2021·浙江高三专题练习）已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(-∞，2)∪(3，+∞) B ．(-∞，1)∪(2，+∞) C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)7．（2021·全国高二单元测试）设x y z >>，n N ∈，且11nx y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．49．（2020·河南高二月考（文））函数2y = ）A ．2B ．4C ．6D ．810．（2021·全国高三专题练习（理））已知正数,a b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B．C ．4D．二、多选题11．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）下列说法正确的是（ ） A ．1x x+的最小值为2 B ．21x +的最小值为1 C ．()32x x -的最大值为2D ．2272x x ++最小值为2 12．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ )A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->-13．（2021·河北张家口市·高三一模）已知0,0a b >>，且281a b +=，则（ ） A．433a b ->B1b C ．22log log 6a b +-D ．221168a b +<14．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）若0a b >>，则（ ） A ．11a b b a+>+ B ．11a b b b a a+<<+ C ．114a b a b +≥+ D ．144b a a ab ++的最小值为2 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题15．（2021·全国高三专题练习）已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)1()02x a x b x---⋅-≥恒成立，则3b a +的最小值是_____. 16．（2021·天津高三一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则+a b 的最小值为___________.17．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若()2f a =，则实数a 所有可能的取值组成的集合为______．18．（2021·射阳县第二中学高二开学考试）若命题x R ∃∈，2410mx mx ++≤为假命题，则实数m 的取值范围是__________．19．（2021·江苏苏州市·苏州中学高二月考）已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．20．（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数,a b 满足2a b ab ++=，则3711a b +--的最小值是________．21．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知1,0x y ，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________．22．（2021·江苏高三专题练习）设,a b 为正实数，且11410a b a b+++=，则4a b +的最大值与最小值之差为_______.23．（2020·上海高一专题练习）对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 24．（2020·上海高一专题练习）若1,(0,0,,a bx y a b x y+=>>为正常数且a b ，则实数x y +的取值范围_________.25．（2021·吴县中学高一月考）已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.26．（2021·苏州市第五中学校高一月考）正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =___________.27．（2021·浙江衢州市·高一月考）已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为___________.28．（2021·浙江高三月考）设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________.29．（2021·安徽滁州市·高一期末）已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________.四、解答题30．（2021·安徽高三二模（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=. （1）证明：1113ab bc ac++≥. （23≥.31．（2021·吉林吉林市·高二三模（文））已知函数()41,f x x x x R =-+-∈ （1）解不等式：()5f x ≤（2）记()f x 的最小值为M ，若正实数,a b 满足a b M +=，试求：1121a b +++的最小值32．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知0x >，0y >，4xy x y a =++． （1）当12a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求41x y x y+++的最小值． 33．（2020·泰州市第二中学高一期中）设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =，且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2，解不等式210bx cx ++>； （2）若0,1,1a b a c <=-=-，解关于x 的不等式()0f x >；（3）若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ，且(1)(3)f f ≤-，求22453||ab a u a-=-的取值范围. 34．（2020·泰州市第二中学高一期中）（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值；（2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 35．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知(),0a b ∈+∞,，1a b +=，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()1212233b ay a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =- 则12y a b=+的最小值为3+.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，求1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数123,,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=.求证：2222312122334112n n a a a a a a a a a a a a ++++≥++++. 36．（2020·上海高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2满足2212x x +＝11，求k 的值．37．（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<038．（2021·浙江高二期末）设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．39．（2021·全国高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．40．（2021·安徽芜湖市·高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.41．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x++=>；（2）2)y x R =∈；（3）226(1)1x x y x x ++=>-.42．（2020·上海高一专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1（1）求证：11(1)(1)9ab ++≥；（2）求证：4418a b +≥；（3）求证 (a +1a )(b +1b )≥254. 43．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数2()21f x kx kx =+-.（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数k 的值；（2）若方程()0f x =在[]12，有解，求实数k 的取值范围. 44．（2020·河南高二月考（文））已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 五、双空题45．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知a ，b R +∈，且2284a b +=，则2+a b的最大值为______；4122a b ++的最小值为______．。

《函数与方程》（二）考查内容：主要涉及函数零点个数的判断（方程法、数形结合法、图象法、零点存在定理与函数性质结合法）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数26,0()3ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，2()f x x =，则4()log ||y f x x =-的零点个数为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．25．函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数23(0),()1(0),x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩则方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）的不同的实数根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．(]{},01-∞9．已知函数23||,3()(3),3x x f x x x -⎧=⎨->⎩，()(3)6g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．4C ．3D ．210．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）11．已知函数()sin ,02224xx f x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x =根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题13．函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.14．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．已知函数32ln(2),2,()68,,x x m f x x x x x m +-<<⎧=⎨-+≥⎩若函数()f x 仅有2个零点，则实数m 的取值范围为______. 16．已知函数,0()(1),0xlnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是__.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数lg y x =和sin y x =的图像的交点个数．18．讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.19．已知函数()f x =，()3g x ax =-.（1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[]2,4上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m ； （3）讨论()f x 在区间[]3,3-上的零点个数.21．已知函数()22,182,1x a x f x ax x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，其中a R ∈.()1当1a =时，求()f x 的最小值； ()2当2a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.22．已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）《函数与方程》（二）解析1.【解析】若260x x --=．则2x =-或3x =．又∵0x ≤∴2x =- 若3ln 0x -+=，则3x e =满足0x >，综上，函数()f x 的零点个数为2． 故选:B2.【解析】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2.故选：B3.【解析】函数()ln 1f x x x =-+的零点个数等价于函数ln y x =与函数1y x =-的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数ln y x =与1y x =-的图象，如下图：因为1(ln )y x x ''==，曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为：11k x==， 所以曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以可知两函数图象有一个交点，故函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为1. 故选：B .4.【解析】因为()()y f x x R =∈为周期为2的函数,通过且(1,1]x ∈-时，2()f x x =,做出函数图象如图所示:4()log ||y f x x =-的零点个数即为()y f x =与4log ||y x =图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.5.【解析】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=． 故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A6.【解析】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C7.【解析】由|()1|2f x c -=-，得()1(2)f x c =±-．∵(1,0)c ∈-， ∴1(2)(3,4),1(2)(2,1)c c +-∈--∈--． 作出函数()f x 和1(2)y c =±-的图象如图所示，易知它们的图象共有4个不同的交点，即方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）有4个不同的实数根．故选：B8.【解析】(0)1100f =--=,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e a x e -=,令1(),()x x e a g x h x x e -==,21()x x xe e g x x '-+=，令()1x x u x xe e =-+, ()xu e x x '=，可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=.())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()xa h x e =， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去 .综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃，故选：D .9.【解析】由()6(3)g x f x =--，知()()()(3)6y f x g x f x f x =-=+--. 令()()(3)F x f x f x =+-，则(3)(3)()F x f x f x -=-+， 所以(3)()F x F x -=，即()F x 的图象关于直线32x =对称.当302x时，()()(3)33(3)3F x f x f x x x =+-=-+--=； 当0x <时，2221()()(3)3(33)32F x f x f x x x x x x ⎛⎫=+-=++--=++=++⎪⎝⎭114.作出()F x 的图象可知，函数()6F x =的解有2个，所以函数()()y f x g x =-的零点个数2个.故选：D10.【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1.故选：B11.【解析】当24x <≤时，y =，则0y ≤，等式两边平方得2268y x x =-+-，整理得()2231x y -+=，所以曲线)24y x =<≤表示圆()2231x y -+=的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点()0,1P ，当直线1y kx =+过点()4,0A 时，则410k +=，可得14k =-； 当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=相切，且切点位于第三象限时，k0<，1=，解得34k =-.由图象可知，当3144k -<≤-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点.因此，实数k 的取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：B.12.【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.故选：C. 13.【解析】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==， 在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点， 所以方程()24ln 122xxx -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.故答案为：2.14.【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，当01k <<时，函数()f x 与y k =的图象有两个不同的交点， 此时，方程有两个不同实根，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1) 15.【解析】对于函数3268y x x x =-+，23128y x x '=-+，令0y '=，解得23x =±，故当,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭时，0y '>；当22x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '>； 令ln(2)0x +=，解得1x =-；令32680x x x -+=，解得0x =，2x =或4x =. 作出ln(2)y x =+，3268y x x x =-+的大致图像：观察可知，若函数()f x 仅有2个零点，则24m <≤，故实数m 的取值范围为(]2,4. 16.【解析】当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x ≤时，()(1)xf x e x =+，则()(2)x f x e x '=+2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；当1x <-时，()(1)0xf x e x =+< 作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个交点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()20，e -- 17.【解析】由1y lgx ==解得10x =，又sin y x =的值域为[]1,1-， 且y lgx =在定义域上单调递增，作出函数sin y x =与y lgx =的图象如图： 由图象可知两个图象的交点个数为3个，18.【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x ，与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解； 当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解； 当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.19.【解析】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+ 作函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5； 当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦， 由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-； 综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.20.【解析】（1）由题意，函数2()()7f x x mx m m R =++-∈开口向上，对称轴的方程为2m x =-，若使得函数()f x 在[]2,4上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞.（2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为()()16g m f =-=-；②当1112m -<-<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减， 所以函数()y f x =的最小值为()()126g m g m ==-， 综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. （3）因为函数()y f x =的对称轴方程为12x m =-，且24280m m ∆=-+>恒成立， ①当()()133232203420m f m f m ⎧-<-<⎪⎪-=-≥⎨⎪=+≥⎪⎩，即112m -≤≤时， 函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点； ②当()1323220m f m ⎧-≤-⎪⎨⎪-=-≥⎩，此时m 不存在； ③当()1323420m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，此时m 不存在；④当()()330f f -⋅≤，即()()22420m m -+≤，解得m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 综上可得：当112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点， 当m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 21.【解析】()1当1a =时，()221,182,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则当1x ≤时，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1f x >-且无最小值；当1x >时，由二次函数()()2282414g x x x x =-+=--知，()f x 在(]1,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，故()()min 414f x f ==-.()2当0a ≤，1x ≤时，()f x 没有零点，当1x >时，()f x 没有零点；当02a <≤，1x ≤时，()f x 有一个零点，当1x >时，()f x 有一个零点.22.【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==， 解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增； 当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>， 又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.。

考向15 利用导数研究函数的单调性【2022年新高考全国Ⅰ卷】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【2022年新高考全国II 卷】已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值．【提醒】()f x 为增函数的充要条件是对任意的,()x a b ∈都有()0f x '≥且在(),a b 内的任意一个非空子区间上()0f x '≠.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知0.02e a =， 1.02b =，ln2.02c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．a c b >>D ．b a c >>2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()02,B ．[)0,1C ．()0,∞+D ．()2,+∞3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f xf x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（ ） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若函数()321f x x x ax =++-在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A ．13a ≥ B ．13a ≤C ．13a >D ．13a <1．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数()f x 的定义域为D ，如果[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则称函数()f x 在[],m n 上为“等域函数”，若定义域为21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数()xg x a =（0a >，1a ≠）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（ ） A ．221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 1,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．221e e e ,e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．221e ee ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知1333,e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））定义在R 上的可导函数()f x 满足()2f x '<，若()()1262f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立，则下列不等式成立的（ ） A ππ264f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ336f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ3243⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 2ππ334f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是 （ ） A ．ln()1a b +> B ．ln()0-<a b C ．122a b +<D ．3222a b +<8．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef > C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()t f x e f x t <+10．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()()1e x f x a x a =--∈R ，()ln e k x x =-，e 为自然对数的底数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当1x >时，不等式()()f x k x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ()221f x ax x a =-+- ( a 为实常数).(1)设 ()f x 在区间 []1,2 上的最小值为 ()g a ， 求 ()g a 的表达式; (2)设 ()()f x h x x=， 若函数 ()h x 在区间[]1,2上是增函数， 求实数a 的取值范围.13．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2ln f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； (2)若()()()e xg x f x ax -=+⋅在区间()01，内是单调函数，求实数a 的取值范围．14．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()ln 13f x a x x =+-． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a =时，方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解．15．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)当0a <时，求函数()f x 在区间[1,e] 上的最小值．16．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =，讨论函数()()e x g x f x =的单调性； (2)当0x ≤时，()()211g x x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.17．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数e ()axf x x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若对任意[)1,x ∈+∞，都有1()ef x >成立，求实数a 的取值范围.18．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.1．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<2．（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·北京·高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．4．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+++>++++．5．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.7．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．8．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．9．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.10．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1． （1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．11．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．。

2021届高三数学一轮复习——函数与方程专题训练1．已知2是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋m )，x ≥2，2x ，x <2的一个零点，则f (f (4))的值是( ) A ．3B ．2C ．1D ．log 232．函数f (x )＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正B ．等于0C ．恒为负D ．不大于04．(2020·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，|x 2＋2x |，x <0，若函数g (x )＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1 5．设f (x )是区间[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在区间[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)7．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( )A ．ln x ＝1－xB ．e x ＝1xC ．2－x 2＝lg |x |D ．cos x ＝|x |＋18．(多选)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |log 2x |，0<x ≤2，12log ⎝⎛⎭⎫x －32，x >2，若实数a ，b ，c 满足0<a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )．下列结论恒成立的是( )A ．ab ＝1B ．c －a ＝32C ．b 2－4ac <0D ．a ＋c <2b9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ＋1x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，若函数g (x )＝f (x )－mx 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．10．已知常数θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若函数 f (x )在R 上恒有f ⎝⎛⎭⎫－12＋3x ＝f ⎝⎛⎭⎫72＋3x ，且 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin πx ，－1≤x ≤1，log 2x 4，1<x <3，则函数y ＝f (x )－cos θ－1在区间[－5,14]上零点的个数是________．11．已知f ′(x )是函数f (x )(x ∈R )的导数，满足f ′(x )＝f (x )，且f (0)＝2，设函数g (x )＝f (x )－ln f 3(x )的一个零点为x 0，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)12．(2019·黑龙江牡丹江一中期末)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，函数g (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g (x )＝lg x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．1213．(2020·重庆一中期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，|log 2 020x |，x >0，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )。

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法 由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。

2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。

3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。

【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。

2021年高三理科第一轮复习阶段测试数学卷（第15周）含答案【测试范围】：xx年全国高考函数题型：选择，填空，解答【测试目的】：明确高考考点，掌握高考考试题型函数模型及其应用1. [xx·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p＋q2B.（p＋1）（q＋1）－12C.pqD.（p＋1）（q＋1）－12. [xx·陕西卷] 如图1­2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1­2A．y＝1125x3－35x B．y＝2125x3－45x C．y＝3125x3－x D．y＝－3125x3＋1 5 x导数及其运算3. [xx·安徽卷]设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．4.[实验班] [xx·安徽卷]设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{a n}满足a1＞c 1p，a n＋1＝p－1pan＋cpa1－pn，证明：a n＞a n＋1＞c1p.5. [xx·福建卷] 已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.6. [xx·广东卷]曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．7. [xx·江西卷] 若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．8．[xx·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．9. [xx·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．110. [xx·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．311. [xx·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．12.[xx·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .导数的应用13. [xx·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．14. [xx·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．答案提示：【导数部分习题难度较高，普通班可以选择：选择题、填空完成】函数模型及其应用1.[解析] 8．D 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x ＝（1＋p）（1＋q）－1.2. [xx·陕西卷] 9. 如图1­2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1­2 A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x导数及其运算3. [xx·安徽卷] 18． 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0， ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．4. [xx·安徽卷] 21． 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c pa －pk ＝ 1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1.由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1p >1＋p · 1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1＝c a p k .因此apk ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n＝k＋1时，不等式a n>c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n>c 1p均成立．再由an＋1an＝1＋1p⎝⎛⎭⎪⎫ca pn－1可得an＋1an<1，即a n＋1<a n.综上所述，a n>a n＋1>c 1p，n∈N*.方法二：设f(x)＝p－1px＋cpx1－p，x≥c1p，则x p≥c，所以f′(x)＝p－1p＋cp(1－p)x－p＝p－1p⎝⎛⎭⎪⎫1－cx p>0.由此可得，f(x)在[c 1p，＋∞)上单调递增，因而，当x>c1p时，f(x)>f(c1p)＝c 1p.①当n＝1时，由a1>c1p>0，即a p1>c可知a2＝p－1pa1＋cpa1－p1＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p⎝⎛⎭⎪⎫ca p1－1<a1，并且a2＝f(a1)>c1p，从而可得a1>a2>c1p，故当n＝1时，不等式a n>a n＋1>c1p成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式a k>a k＋1>c1p成立，则当n＝k＋1时，f(ak )>f(a k＋1)>f(c1p)，即有a k＋1>a k＋2>c 1p ，所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n>a n＋1>c 1p均成立．5. [xx·福建卷] 20．已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.20．解：方法一：(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<e x.(3)证明：①若c≥1，则e x≤c e x.又由(2)知，当x>0时，x2<e x.故当x>0时，x2<c e x.取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.②若0<c<1，令k＝1c>1，要使不等式x2<c e x成立，只要e x>kx2成立．而要使e x>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－2x＝x－2x.所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0.即存在x0＝16c，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.方法二：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c，由(2)知，当x >0时，e x >x 2，所以e x＝e x2·e x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22>4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 6. [xx·广东卷] 10．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.7. [xx·江西卷] 13． 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．8.解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19.所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. 9. C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.10. D [解析] y′＝a－1x＋1，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.11. 解：由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g 3(x)＝x1＋3x，…，可得g n(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即g k(x)＝x1＋kx.那么，当n＝k＋1时，g k＋1(x)＝g(g k(x))＝gk（x）1＋g k（x）＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋（k＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥0)，则φ′(x)＝11＋x－a（1＋x）2＝x＋1－a（1＋x）2，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(仅当x＝0时等号成立)．当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋nn＋1，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n＋1<ln(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>x1＋x，x>0.令x＝1n，n∈N＋，则1n＋1<lnn＋1n.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋lnk ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证． 12.解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，其在x轴上的截距为a2－1ln 2.由题意有a2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.从而a n＝n，b n＝2n，所以数列{anbn}的通项公式为anbn＝n2n，所以T n＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，2T n＝11＋22＋322＋…＋n2n－1，因此，2T n－T n＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝2－12n－1－n2n＝2n＋1－n－22n.所以，T n＝2n＋1－n－22n.导数的应用13. [xx·四川卷] 21．解：(1)由f(x)＝e x－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝e x－2ax－b.所以g′(x)＝e x－2a.当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12<a<e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12<a<e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a<e2.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，解得e－2<a<1.当e－2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))．若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点． 综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．14. [xx·安徽卷] 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0， ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，所以f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．33118 815E 腞 $40709 9F05 鼅24719 608F 悏32672 7FA0 羠30439 76E7 盧25697 6461 摡37221 9165 酥=d37137 9111 鄑28822 7096 炖29100 71AC 熬。

2.1 函数及其表示核心考点·精准研析考点一函数的定义域1.函数y=的定义域是( )A.(-1,3)B.(-1,3]C.(-1,0)∪(0,3)D.(-1,0)∪(0,3]2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是( )A.[-1,2 019]B.[-1,1)∪(1,2 019]C.[0,2 020]D.[-1,1)∪(1,2 020]3.(2020·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6],则函数的定义域为( ) A.(0,3) B.[1,3)∪(3,8]C.[1,3)D.[0,3)4.函数f(x)=lg+(4-x)0的定义域为____________.【解析】1.选D.由题意得解得-1<x≤3且x≠0,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].2.选B.由0≤x+1≤2 020,得-1≤x≤2 019,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-1,1)∪(1,2 019].3.选D.因为函数f(x)的定义域为[0,6],所以0≤2x≤6,解得0≤x≤3.又因为x-3≠0,所以函数的定义域为[0,3).4.由已知得解得x>2且x≠3且x≠4,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞).答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是[0,2 020]”改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2 020]”,则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________.【解析】由0≤x≤2 020,得-1≤x-1≤2 019,再由-1≤x+1≤2 019,解得-2≤x≤2 018,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2 018].答案:[-2,1)∪(1,2 018]1.具体函数y=f(x)的定义域序号f(x)解析式定义域1 整式R2 分式分母≠03 偶次根式被开方数≥04 奇次根式被开方数∈R5 指数式幂指数∈R6 对数式真数>0;底数>0且≠17 y=x0底数x≠02.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x,还是求整体的取值范围.(1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域.(2)已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.【秒杀绝招】1.排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证.2.转化法解T4,将二次函数的定义域转化为二次不等式的解集,利用三个二次的关系解题. 考点二求函数解析式【典例】1.已知f=ln x,则f(x)=________.2.已知f=x2+x-2,则f(x)=________.3.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,则f(x)=________.【解题导思】序号联想解题1由f,想到换元法2由f,想到配凑法3 由f(x)是二次函数,想到待定系数法4由f,想到消去(也称解方程组)法【解析】1.设t=+1(t>1),则x=,代入f=ln x得f(t)=ln,所以f(x)=ln (x>1).答案:ln(x>1)2.因为f=x2+x-2=-2,又因为x+≤-2或x+≥2,所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).答案:x2-2(x≤-2或x≥2)3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+2.答案:x2-x+24.在f(x)=2f·-1中,将x换成,则换成x,得f=2f(x)·-1,由解得f(x)=+.答案:+函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去(方程组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).1.已知f(+1)=x+2,则f(x)=________.【解析】令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立,所以解得所以f(x)=2x+7.答案:2x+7考点三分段函数及其应用命题精解读考什么:(1)考查求函数值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.怎么考:基本初等函数、函数的单调性、不等式交汇考查函数的概念、图象等知识.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.学霸好方法1.求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:依据题设条件,在各段上得出关于自变量的方程,然后求出相应自变量的值.2.交汇问题:与方程、不等式交汇时,要依据“分段问题,分段解决”进行讨论,最后将结果并起来.分段函数的求值问题【典例】已知f(x)=则f+f的值为( )A. B.- C.-1 D.1【解析】选D.f+f=f+1+f=cos+1+cos=1.如何求分段函数的函数值?提示:分段函数求函数值时,要根据自变量选取函数解析式,然后再代入.分段函数与方程问题【典例】已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-B.-C.-D.-【解析】选A.当a≤1时不符合题意,所以a>1,即-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.求分段函数含有参数的函数值,如何列方程?提示:列方程时,若自变量的范围确定时,则直接代入;若不确定,则需要分类讨论.分段函数与不等式问题【典例】设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________.【解析】令g(x)=f(x)+f,当x≤0时,g(x)=f(x)+f=2x+;当0<x≤时,g(x)=f(x)+f=2x+x+;当x>时,g(x)=f(x)+f=2x-1,写成分段函数的形式:g(x)=f(x)+f=函数g(x)在区间(-∞,0],,三段区间内均连续单调递增,且g=1,20+0+>1,(+2)×20-1>1,可知x的取值范围是.答案:如何求解由分段函数构成的不等式?提示:求解分段函数构成的不等式,关键是确定自变量在分段函数的哪一段,用对解析式.1.设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)= ( )A.3B.6C.9D.12【解析】选C.因为函数f(x)=所以f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3,f(log212)==×=12×=6,则有f(-2)+f(log212)=3+6=9.2.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f(g(1))=1,则a= ( )A.1B.2C.3D.-1【解析】选A.因为g(x)=ax2-x,所以g(1)=a-1.因为f(x)=5|x|,所以f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1,所以|a-1|=0,所以a=1.1.已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),如果f(x+2 020)=那么f·f= ( )A.2 020B.C.4D.【解析】选C.当x≥0时,有f=sin x,所以f=sin =1,当x<0时,f=lg(-x),所以f(-7 980)=f(-10 000+2 020)=lg10 000=4,f·f=1×4=4.2.在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y.那么你认为y是n的函数吗?如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系.如果不是,请说明理由.【解析】y是n的函数.理由如下:n任取一个数字,就有0到9之间的一个数字与之对应,符合函数的定义,所以函数的定义域是{1,2,3,4,…,n}(其中n是圆周率小数点后面的位数);值域是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};对应关系是y与π的小数点后第n位上的数字对应.。

第1节零点的概念【基础知识】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.（２）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.（３）函数的零点与方程根的关系函数的零点就是方程的根，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标．（４）三个等价关系(三者相互转化)提醒：函数的零点不是点，是方程的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．２．二次函数的零点：１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.３．零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示．所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件．注意：①如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间上是一个单调函数，那么当·时，函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使.②如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有·，那么，函数在区间内不一定没有零点．③如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间内有零点时不一定有·，也可能有·.４.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤．注：函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点.注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.（５）用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题：①第一步中要使：(1)区间长度尽量小；(2)，的值比较容易计算且·.②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．③求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算即告结束，此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解．５．二次方程的实根分布及条件.①方程的两根中一根比大，另一根比小；②二次方程的两根都大于③二次方程在区间内有两根④二次方程在区间内只有一根，或(检验)或(检验)检验另一根若在内成立．注意：二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程．二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑．６．有关函数零点的重要结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点．(2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(4)函数至多有个零点【规律技巧】1．函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.２．确定函数的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数在区间上的图象是否连续,再看是否有·.若有,则函数在区间内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.３．确定方程在区间上根的个数的方法(1)解方程法:当对应方程易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断.(2)数形结合法:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断.４．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且·，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令；(2)构造，；(3)作出图像；(4)由图像交点个数得出结论．５．应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．６．与方程根有关的计算和大小比较问题的解法数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.７．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数，，即把方程写成的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．【典例讲解】例1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【解析】(1)方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．【探究提高】求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．【变式探究】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)【答案】B例2、若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．【答案】4【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．【探究提高】对函数零点个数的判断方法：(1)结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；(2)利用函数图象交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．【变式探究】函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】因为f′(x)＝2x ln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．【针对训练】1、已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，＋∞）【答案】C2、已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．【答案】【练习巩固】1、方程的解的个数为（）(A)1(B)3(C)4(D)5【答案】B2、下列说法，正确的是（）A.对于函数，因为，所以函数在区间内必有零点B.对于函数，因为，所以函数在区间内没有零点C.对于函数，因为，所以函数在区间内必有零点D.对于函数，因为，所以函数在区间内有唯一零点【答案】C3、关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有零点得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在内的零点；C．应用“二分法”求方程的近似解，在内有可能无零点；D．“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解；【答案】D综合点评：函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.4、方程的解所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】A5、已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是()（A）（B）（C）（D）【答案】D6、定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．【答案】B7、设a为常数，试讨论方程的实根的个数.。

专题01 选择基础典型题（一）1．（2023•安徽）下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是( )A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =+D ．21y x =-+2．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE 内接于O e ，连接OC ，OD ，则(BAE COD Ð-Ð= )A ．60°B ．54°C ．48°D ．36°3．（2023•安徽）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为( )A ．59B ．12C ．13D ．294．（2022•安徽）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若1a Ð=，则2(Ð= )A ．90a -°B ．45a -°C ．180a °-D ．270a°-6．（2022•安徽）已知O e 的半径为7，AB 是O e 的弦，点P 在弦AB 上．若4PA =，6PB =，则(OP = )A B ．4C D ．57．（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF Ð=Ð=°，45E Ð=°，30C Ð=°，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD Ð的大小为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．82.5°8．（2021•安徽）某品牌鞋子的长度y cm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm ，44码鞋子的长度为27cm ，则38码鞋子的长度为( )A ．23cmB ．24cmC ．25cmD ．26cm9．（2021•安徽）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b a c =+，则下列结论正确的是( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．4()a b b c -=-D ．5()a c ab -=-10．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是( )A ．223x x -=B ．210x +=C ．212x x +=D ．220x x -=11．（2020•安徽）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是( )A ．众数是11B ．平均数是12C ．方差是187D ．中位数是1312．（2020•安徽）已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是( )A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(2,3)D ．(3,4)13．（2019•安徽）已知点(1,3)A -关于x 轴的对称点A ¢在反比例函数k y x =的图象上，则实数k 的值为( )A ．3B ．13C ．3-D ．13-14．（2019•安徽）在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：/)km h 为( )A．60B．50C．40D．1515．（2019•安徽）如图，在Rt ABCD中，90ACBÐ=°，6AC=，12BC=，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF AC^于点F，EG EF^交AB于点G．若EF EG=，则CD的长为( )A．3.6B．4C．4.8D．516．（2023•蜀山区校级一模）一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有( )A．40人B．30人C．20人D．10人17．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰ABCD，AÐ的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为( ) A．65°或80°B．80°C．50°或80°D．50°18．（2023•蜀山区校级一模）某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是( )A．35%B．30%C．40%D．50%19．（2023•瑶海区一模）将两块含45°角的直角三角板ABC，DEF按如图方式放置，其中点E在BC上，点A在DE上，若30FECÐ=°，则EACÐ的度数为( )A．60°B．65°C．70°D．75°20．（2023•瑶海区一模）研究表明，生物的遗传性状是由成对基因决定的，豌豆基因A，a，其中A为显性基因，a为隐性基因．成对基因AA决定的豌豆是纯种黄色，基因aa决定的豌豆是纯种绿色，两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，若将子一代自交后豌豆显黄色的概率是( )A．14B．25C．34D．3521．（2023•瑶海区一模）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：)cmHg与其离水面的深度h （单位：)m 的函数解析式为0P kh P =+，其图象如图2所示，其中0P 为湖水面大气压强，k 为常数且0k >，点M 的坐标为(34.5,312)，根据图中信息分析，下列结论正确的是( )A ．湖水面大气压强为76.0cmHgB ．湖水深23m 处的压强为230cmHgC ．函数解析式0P kh P =+中自变量h 的取值范围是0h >D ．P 与h 的函数解析式为766P h =+22．（2023•合肥一模）计算111x x --的结果为( )A ．21x x -B ．1x x -C ．11x -D ．2xx x-23．（2023•合肥一模）随着“二胎政策”出生的孩子越来越多，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x ，则x 满足的方程是( )A ．28.5%9.6%x =+B ．2(1)(18.5%)(19.6%)x +=++C ．22(1)(18.5%9.6%)x +=++D ．2(1)(18.5%)(19.6%)x +=++24．（2023•合肥一模）如图，已知：平行四边形ABCD 中，BE CD ^于E ，BE AB =，60DAB Ð=°，DAB Ð的平分线交BC 于F ，连接EF ．则EFA Ð的度数等于( )A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°25．（2023•庐阳区校级一模）圆柱切除部分之后及其俯视图如图所示，则其主视图为( )A ．B ．C ．D ．26．（2023•庐阳区校级一模）关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k --+-=的根的情况，以下说法正确的是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关27．（2023•庐阳区校级一模）在疫情防控期间，某校门口设置了A ，B ，C 三条入校测温通道，甲乙两同学从同一条通道进入校园的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．1528．（2023•1+最接近的整数是( )A ．4B ．5C ．6D ．729．（2023•合肥三模）将多项式214x -因式分解，正确的是( )A ．(21)(21)x x +-B ．(12)(12)x x -+C ．(12)(21)x x +-D ．(14)(14)x x +-30．（2023•合肥三模）如图，已知动点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上，动点P 在反比例函数5(0)y x x =>图象上，PA x ^轴．当点A 的横坐标逐渐增大时，ABP D 的面积将会( )A ．不变B ．越来越大C ．越来越小D ．先变大后变小31．（2023•庐阳区一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m 1.414» )» 1.732» 2.236)(A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m32．（2023•庐阳区一模）如图，O=，则下列说法错误的是( )e的直径AB与弦CD交于点E，CE DEA．=B．OE BECB BD^=D．AB CD=C．CA DA33．（2023•庐阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为(0,3)，tan ABOÐ=，则菱形ABCD的周长为( )A．6B．C．D．Ð的度数是34．（2023•合肥模拟）一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点E在AB上，//BC EF，则1（　）A．60°B．65°C．70°D．75°35．（2023•合肥模拟）下列定理中，没有逆定理的是( )A．同旁内角互补，两直线平行B ．直角三角形的两锐角互余C ．互为相反数的两个数的绝对值相等D ．同位角相等，两直线平行36．（2023•合肥模拟）已知：ABC D 中，45C Ð=°，D 为BC 边上一点，AD AB =，2BD =，BH AD ^于H ，BH 延长线交AC 于E ，则CE 的长为( )A B ．45C D ．137．（2023•蜀山区二模）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，左图中构件的突出部分叫榫头，右图凹进部分叫卯眼，则带卯眼的木构件的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．38．（2023•蜀山区二模）一元二次方程2230x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限39．（2023•蜀山区二模）如图，某停车场内有序号为1，2，3，4的四个车位顺次排成一排，现有甲，乙，丙，丁四辆车需要随机停放到这四个车位上，则甲和乙两车恰好都停放在两边车位的概率是( )A ．16B ．112C ．12D ．2340．（2023•蜀山区校级一模）如图，直线//a b ，等边ABC D 的顶点C 在直线b 上，若142Ð=°，则2Ð的度数为( )A ．92°B ．102°C ．112°D ．114°41．（2023•蜀山区校级一模）若直线y kx b =+经过一、二、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图中的( )A ．B ．C ．D ．42．（2023•蜀山区校级一模）如图，正方形ABCD 和等边三角形AEF 均内接于O e ，则AB AE 的值为( )A B C D。

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第07节函数与方程【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测函数与方程理解函数零点的概念2013•浙江文11;2014•浙江文理15;2018•浙江15.1。

分段函数与函数方程结合；2。

二次函数、指数函数、对数函数与方程结合。

3。

常常以基本初等函数为载体,结合函数的图象,判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查4。

备考重点:(1)函数方程个概念（2)基本初等函数的图象和性质;【知识清单】1.函数的零点（1）函数零点的概念对于函数y＝f(x),把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点。

(2）函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x）有零点。

2。

零点存在性定理如果函数y＝f(x）满足：①在区间[a,b］上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a）·f（b）〈0；则函数y＝f（x)在（a，b)上存在零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f（x)＝0的根。

【重点难点突破】考点1 方程根所在区间和根的个数问题【1—1】【2018浙江卷】已知λ∈R，函数f（x)=，当λ=2时，不等式f（x）<0的解集是___________．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】（1）. （1，4) (2)。

第15讲：函数与方程一、课程标准1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．二、基础知识回顾1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系4、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝12x－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A . 0B . 1C . 2D . 3 【答案】B【解析】 f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝12，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点．故选B . 2、已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5)【答案】B【解析】B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.3、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)【答案】B【解析】B ∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1，2)．4、(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( )A ．ln x ＝1－xB ．e x＝1xC ．2－x 2＝lg|x |D ．cos x ＝|x |＋1【答案】ABD【解析】 对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合；对于B ，设g (x )＝e x－1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝⎛⎭⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x＝1x 有唯一解，符合；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又H (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时cos x ＝x －1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合．5、若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________． 【答案】4【解析】因函数f (x )在区间(2，3)内递增，则f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )·(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5.因为k ∈Z ，所以k ＝4.6、 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】a≥94.【解析】 函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，等价于函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上有一个零点，或两个零点(包括两个相等的零点)．①当函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上有一个零点时，由于f(0)＝2>0， ∴只需f(4)＝16－8a ＋2≤0，解得a≥94.7、(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________． 【答案】－1 (0，1)【解析】解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．四、例题选讲考点一 判断零点所在的区间例1、（1）若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)（2）已知函数f(x)＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点为x 0，则x 0所在的区间是(C )A . (0，1)B . (1，2)C . (2，3)D . (3，4) （3）若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13【答案】（1） A （2）C. （3） C【解析】（1） ∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.(2)∵f (x )＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭在(0，＋∞)为增函数，又f (1)＝ln1－112⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ln1－2<0， f (2)＝ln2－012⎛⎫ ⎪⎝⎭<0，f (3)＝ln3－112⎛⎫ ⎪⎝⎭>0， ∴x 0∈(2，3)．（3）令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13，则g (0)＝1＞f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＜f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213＞f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，结合图象可得13＜x 0＜12.变式： (1)已知函数f (x )＝1x －a 为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)（2）已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．（3）设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________.【答案】（1） C. （2）[5，10)（3） (1，2).【解析】（1）由函数f (x )＝1x －a 为奇函数，可得a ＝0， 则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x .又g (2)＝ln 2－1<0，g (3)＝ln 3－23>0， 所以g (2)·g (3)<0.故函数g (x )的零点所在区间为(2，3). （2）令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5，10)．（3）设f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象如图所示.因为f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－1＝－1<0， f (2)＝8－⎝⎛⎭⎫120＝7>0，所以f (1)·f (2)<0，所以x 0∈(1，2).方法总结：确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考点二 判断零点的个数1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为【答案】 5【解析】：因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．变式1、（1）(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3（2）(2020·惠州质检)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0B.1C.2D.3【答案】（1）C （2）C【解析】（1） 当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.（2）由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示.由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.变式2、（1）(2019·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．（2）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是__2__； （3）若函数f (x )＝x －1x ，则函数g (x )＝f (4x )－x 的零点是__12__． 【答案】（1）3（2）2（3）12【解析】（1）如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3.(2)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，∴在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又∵f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.(3)∵f (x )＝x －1x ，∴f (4x )－x ＝4x －14x －x ＝－4x 2－4x ＋14x. 令f (4x )－x ＝0，得4x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝12，这是方程g (x )＝0的根，即是函数g (x )的零点，∴函数g (x )＝f (4x )－x 的零点是12.方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考点三 与零点有关的参数的范围例3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，因为f ′(x )＝3x 2－3m ，令f ′(x )＝0，则x 2－m ＝0，若m ≤0，则函数f (x )为增函数，不合题意，故m >0，所以函数f (x )在(－∞，－m )上为增函数，在(－m ，0]上为减函数，即f (x )max ＝f (－m )＝－m m ＋3m m －2＝2m m －2，f (0)＝－2<0，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f (x )max ＝2m m －2>0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，即x 3－3mx －2＝0，显然x ＝0不是它的根，所以3m ＝x 2－2x ，令y ＝x 2－2x (x <0)，则y ′＝2x ＋2x 2＝2（x 3＋1）x 2，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(－1，0)时，y ′>0，此时函数单调递增，故y min ＝3，因此，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m >3，即m >1.变式1、（1）、(2019·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]（2）、(2019·河北省九校第二次联考)若函数f (x )＝kx －|x －e －x |有两个正实数零点，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，1eC ．(0，1)D ．(0，e)【答案】（1）D （2）C【解析】（1）令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得e x (x ＋2)＜0，即x ＜－2，此时f (x )为减函数， 由f ′(x )＞0得e x (x ＋2)＞0，即－2＜x ＜0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1，故选D.（2）令f (x )＝kx －|x －e －x |＝0，得kx ＝|x －e －x|，当x >0时，k ＝⎪⎪⎪⎪x －e －xx ＝⎪⎪⎪⎪1－1x e x ， 令g (x )＝1－1x e x ，x >0，则g ′(x )＝1＋x x 2e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g ⎝⎛⎭⎫12＝1－2e <0，g (1)＝1－1e >0，所以在⎝⎛⎭⎫12，1上存在一个a ，使得g (a )＝0，所以y ＝|g (x )|的图象如图所示．由题意知，直线y ＝k 与y ＝|g (x )|的图象有两个交点，所以0<k <1，故选C.变式2、若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是____________．【答案】⎝⎛⎭⎫14，12【解析】依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m <12.方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象．考点四 零点的综合运用例4、设函数f(x)＝||x x ＋2－ax 2(a ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数y ＝f (x )的零点；(2)当a >0时，求证：函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点； (3)若函数y ＝f (x )有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝||x x ＋2－2x 2，由f (x )＝0，得||x x ＋2－2x 2＝0.当x ≥0时，得xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x －1)＝0，解得x ＝0，或x ＝－2＋62(x ＝－2－62<0舍去)； 当x <0时，得－x x ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x ＋1)＝0(x ≠－2)，解得x ＝－2＋22，或x ＝－2－22. 综上所述，函数y ＝f (x )的零点为0，－2＋62，－2＋22，－2－22. (2)证明：当a >0，且x ∈(0，＋∞)时，由f (x )＝0，得x x ＋2－ax 2＝0，即1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax －1＝0.记g (x )＝ax 2＋2ax －1，则函数y ＝g (x )的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，又g (0)＝－1<0，∴函数y ＝g (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，即函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点． (3)易知x ＝0是函数f (x )的一个零点．当x >0时，由f (x )＝0得，x x ＋2－ax 2＝0，即1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax －1＝0，记g (x )＝ax 2＋2ax －1，由a >0知函数g (x )的图像是开口向上的抛物线，又g (0)＝－1<0，∴函数f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．于是，问题等价于f (x )＝||x x ＋2－ax 2(a >0)在(－∞，0)上有且只有两个不同的零点． 当x <0时，由f (x )＝0得，－xx ＋2－ax 2＝0， 即－1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax ＋1＝0(x ≠－2)，由a >0，得x 2＋2x ＋1a ＝0(x ≠－2)，即x 2＋2x ＝－1a (x ≠－2)．作出函数h (x )＝x 2＋2x (x <0)图像，由图像易得：正数a 必须满足－1<－1a <0，从而有a >1.变式：(2018镇江期末）已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x≤0，|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．【答案】： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)【解析】作函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y ＝f(x)(x>1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2x 0，解得x 0＝e 3，此时k ＝1e 3，当k<0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1相切于点(0，2)时，函数y ＝f(x)和y ＝kx＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k ＝－1，当－1<k<0时，函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线y ＝kx ＋2与y ＝f(x)(0<x<1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x 0，－ln x 0)，则切线的斜率k ＝－1x 0，又k ＝－ln x 0－2x 0，则－1x 0＝－ln x 0－2x 0，解得x 0＝e －1，此时k ＝－e 不符合题意，当k<－e 时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当－e <k<－1时，两图像有4个公共点，符合题意，所以实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)．解后反思 方程解的个数的判断，常转化为函数图像公共点个数的判断，在转化的过程中，一般将它转化为一个确定的函数与一个不确定的函数，这样，只需要研究不确定的函数的图像的变化情况就可以得到问题的解．转化时有时也会做一些“技术”上的处理，比如本题可以知方程f(x)＝kx ＋2一定有一个零解，在x≠0时，可以转化为直线y ＝k 与曲线y ＝f （x ）－2x 有三个公共点来处理，这样做的好处是在画出两图像后很容易得到k 的取值范围，但曲线画起来难度增加了．方法总结：函数零点与二次函数的综合问题，主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识和基本方法，考查推理论证和运算求解的能力．解决这类问题，一是用零点的定义转化为方程问题，二是利用零点存在定理转化为函数问题，三是利用数形结合的思想转化为图形问题．五、优化提升与真题演练1、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0【答案】： B【解析】法一：(直接法)由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法)函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．2、(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13 C.12D.1【答案】：C【解析】(1)f (x )＝(x －1)2－1＋a (e x －1＋e 1－x )，则f (2－x )＝(2－x －1)2－1＋a [e 2－x －1＋e 1－(2－x )]＝(1－x )2－1＋a (e x－1＋e 1－x )＝f (x )，即f (x )的图象关于直线x ＝1对称.若f (x )有唯一的零点，则只有f (1)＝0，∴a ＝12. 3、【2019年浙江09】设a ，b ∈R ，函数f （x ）若函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点，则（ ） A ．a ＜﹣1，b ＜0B ．a ＜﹣1，b ＞0C ．a ＞﹣1，b ＜0D ．a ＞﹣1，b ＞0【解答】解：当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ；y ＝f （x ）﹣ax﹣b 最多一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，y ′＝x 2﹣（a +1）x ，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上递增，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多一个零点．不合题意；当a +1＞0，即a ＜﹣1时，令y ′＞0得x ∈[a +1，+∞），函数递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如右图： ∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3．故选：C ．4、【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．5、若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.【答案】：1【解析】令x＋log2(a－2x)＋2＝0，则a－2x＝2－(x＋2).依题意，关于x的方程a＝2x＋2－(x＋2)有解.又2x ＋2－(x ＋2)≥22－2＝1.当且仅当x ＝－1时，等号成立. ∴a ≥1，故a 的最小值为1.6、【2018年浙江15】已知λ∈R ，函数f （x ），当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【解答】解：当λ＝2时函数f （x ），显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．7、(2017南通期末） 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥2，则函数y＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________． 【答案】11【解析】解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，1≤x ≤32，4－2x ， 32<x <2.设x ∈[2n －1,2n)(n ∈N *)，则x2n －1∈[1,2)，又f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ， ①当x2n －1∈⎣⎡⎦⎤1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2.由于x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以x ＝3·2n －2；②当x2n －1∈⎝⎛⎭⎫32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n )，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n)，所以无解． 综上所述，x ＝3·2n －2.由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x ∈[2n －1,2n)时，因为f (x )＝12n －1·f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1.令g (x )＝32x .当x ＝32·2n －1时，g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1，所以当x ∈[2n －1,2n )时，x ＝32·2n －1为y ＝2xf (x )－3的一个零点．下面证明：当x ∈[2n －1,2n )时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．当x ∈[2n －1,3·2n －2]时，y ＝f (x )单调递增，y ＝g (x )单调递减，f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以x ∈[2n －1,3·2n －2]时，有一零点x ＝3·2n －2；当x ∈(3·2n －2,2n)时，y ＝f (x )＝12n －1－12n －1⎝⎛⎭⎫x 2n －2－3，k 1＝f ′(x )＝－122n －3，g (x )＝32x ，k 2＝g ′(x )＝－32x 2∈⎝⎛⎭⎫－13·22n －3，－322n ＋1，所以k 1<k 2.又因为f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以当x ∈[2n －1,2n )时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 解法3 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝32x 的图像，如图，交点在x 1＝32，x 2＝3，x 3＝6，…，x n ＝3·2n －2处取得．由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.。