2014年高考数学理科全国1卷

2014年安徽省高考理科数学试卷及参考答案(word版)2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z iz 1（ ） A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．34 B ．55 C ．78 D ．89 （4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A ．14B ．142C ．2D ．22（5）x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．21或-1B ．2或21C ．2或1D ．2或-1（6）设函数)(x f （R x ∈）满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．21 B ．23C ．0D ．21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）．A ．21+3B ．18+3C ．21D ．18 （8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）对．A ．24B ．30C ．48D ．60 （9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8（10）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量,1==b a ,0=⋅，点Q 满足)(2+=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a P C丨，区域Rr R PQ r P <≤≤<=Ω，丨0．若Ω⋂C 为两段分离的曲线，则（ ）A ．31<<<R rB ．R r ≤<<31C ．31<<≤R rD ．R r <<<31 第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ．第（13）题图OA 1A 212134y x（12）数列{}na 是等差数列，若11+a，33+a，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． （13）设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a++++ 22210．若点),(iia i A （2,1,0=i ）的位置如图所示，则a = ． （14）设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x （10<<b ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，若xAF BF AF⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ． (15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，minS 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列正确的命题的是 （写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值； ②若⊥b ，则minS 与a无关；③若∥，则minS 与b无关；④若b>a4，则minS >0； ⑤若b=a4,minS =28a ，则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． （I ）求a 的值：（II ）求)4sin(π+A 的值．（17）（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立．（I ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （II ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．（18）（本小题满分12分） 设函数32)1(1)(x xx a x f --++=，其中0>a ．（I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．第（20）题图αQ D A D 1C 1B 1如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p（02>p ），过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 于1B ,2B 两点．（I ）证明：2211B A B A ∥；（II ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △值．（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD BC2=．过DC A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q．（I ）证明：Q 为1BB 的中点；（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（III ）若41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；（II ）数列{}na 满足p nn n pa pc a p p a c a-++-=>11111,，证明：pn nca a11>>+．数学（理科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分．（11）83π（12）1 （13）3 （14）12322=+y x（15）②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：（I ）∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==． 由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a．（II ） 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ．∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．（17）（本小题满分12分）解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”，则32)(=k A P ，31)(=k B P ，5,4,3,2,1=k ．（I ）)()()()(432132121A AB A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A PB P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛（II ）X 的可能取值为2,3,4,5． 95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ，92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P∴X 的分布列为X 23 45P95 928110 818818158149392=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（18）（本小题满分12分）解：（I ）)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x<++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x<<时，0)(>'x f ．∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增．（II ）∵0>a ，∴0,021><x x．①当4≥a 时，12≥x．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412axx ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．（19）（本小题满分13分）（I ）证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==（0,21≠kk ），则由⎩⎨⎧==xp y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==xp y x k y 2212，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222222,2kp k p B ．∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ．故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥．（II ）解：由（I ）知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴2221121=B A B A S S ．又由（I ）中的222111B A p pB A =212211P P B A B A =．∴222121P P S S =．（20）（本小题满分13分）（I ）证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1．∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即数学（理科）试题 第11页第（20）题图1αEQD AB A 1D 1C 1B 1CDA QC 1∥．∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △ADA 1．∴2111===AD BC AA BQ BB BQ ，即Q 为1BB 的中点．（II ）解：如第（20）题图1，连接QA ,QD ．设hAA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a VADA Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， ahd h d a a VABCDQ 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-，∴ahd V V V ABCDQ AD A Q 1271=+=--下．又ahd VABCDD C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V VABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上VV．（III ）解法1如第（20）题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1．又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1．∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角．∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCAAD CS S△△2=．数学（理科）试题 第12页θ第（20）题图2αQD AB A 1D 1C 1B 1Cx zy又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADCS△，4=AE ．∴1tan 11==∠AEAA AEA ，41π=∠AEA ．故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DD 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设θ=∠CDA ∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0,sin 41θA ，∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ．设平面DC A 1的法向量)1,,(y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=， ∴22,cos =⋅>=<mn m n ，∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．数学（理科）试题 第13页（21）（本小题满分13分） （I ）证：用数学归纳法证明①当2=p 时，xx x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ②假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kxx k +>+1)1( 成立．当1+=k p 时，xk kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式pxx p +>+1)1(均成立．（II ）证法1：先用数学归纳法证明pnca1>．①当1=n 时，由题设pca11>知，pnca1>成立． ②假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk ca 1>成立．由pn n n a pc a p p a-++-=111易知*,0N n an∈>．当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k kk a cp a p c p p a a ．由01>>pkc a得0)1(111<-<-<-pka c pp ．由（I ）中的结论得p k p k pp k pk k a ca c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111．因此cap k >+1，即pk ca11>+．③∴1+=k n 时，不等式pkca1>也成数学（理科）试题 第14页立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pkca 1>均成立．再由)1(111-+=+p nnn a cp aa 可得11<+nn aa ，即nn a a<+1．综上所述，*11,N n c a apn n∈>>+．证法2：设pp c x x pcx p p x f 111)(≥+-=-，，则cxp≥，并且pp p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc上单调递增．因而，当pc x 1>时，ppcc f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>pc a，即cap>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pca f a 112)(>=，从而pca a 121>>．故当1=n 时，不等式pn nca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k ca a 11>>+成立，则当1+=k n 时，)()()(11pk kc f af a f >>+，即有pk k ca a121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk kca a 11>>+均成立．。

])3,[+∞，所以[2,A B =--，集合B ，求A B .2(1i)2i(1i)i)2i1i ++=---=.则(4,P F =-，0(FQ x =-，根据抛物线定义得||3x QF ==【解析】由题易知点AC与AB的夹角为【提示】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论【考点】数量积表示两个向量的夹角16.【答案】3【解析】根据正弦定理和因为+10n a ≠，所以+2n n a a λ-=.（2）由题设11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由（1）知31a λ=+，若{}n a 为等差数列，则2132a a a =+，解得4λ=，故+24n n a a -=.由此可得21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n n a -=-；2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，2=41n a n -.所以21n a n =-，+1n n a a -=2.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列. 【提示】根据等差数列知识完成证明，求出使得{}n a 为等差数列的参数λ 【考点】等差数列18.【答案】（1）200=平均数2150s =（2）（i ）0.6826 （ii ）68.26【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差2s 分别为：平均数1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(30)(20)(10)0020090220033102420008300025010s ---=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．.（2）（i ）由（1）知(200,150)ZN ，从而187821222001222001220.682()6)(P Z P Z <<=-<<+=．．．．. （ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间1878,2(212)．．的概率为06826．，依题意知100,0682 ()6X B ～．，所以100068266826EX =⨯=．．.【提示】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率. 【考点】平均数和方差及正态分布19.【答案】（1）证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C ⊥1BC ， 且O 为1B C 及1BC 的中点.又AB ⊥1B C ，所以1B C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ，故1B C ⊥AO .又1B O CO =，故1AC AB =. （2）因为AC ⊥1AB ，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =.又因为AB BC =，所以BOA BOC △△≌.故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两垂直.以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，||OB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 因为∠160CBB ︒=，所以1CBB △为等边三角形，10,B A ⎛= ⎝，1,0,AB ⎛= ⎝，1,BC ⎛-- ⎝设(,n x y =1B 的法向量，则即333333y x z --=1|||7n m n m =.所以结合图形知二面角221431k k -+.22||44341k d k PQ -=+，即72k =±时等号成立，满足72k =±，知，∠D=∠E，所以△ADE为等边三角形.。

2014年普通高等学校招生全国统一测试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 测试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 和C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A 62B .42C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）2. 32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x m y m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B .3 C .3m D .3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线O A ，终边为射线O P ，过点P 作直线O A 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线O P 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1s in ta n c o s βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x yD x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x yD x y ∃∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P10. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4F P F Q =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11. 已知函数()f x =3231a x x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1）12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i ·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足OQ =2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =A .72 B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A B .C .6 D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=【A 】A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=【D 】A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是【B 】A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F是双曲线C：223(0)x my m m-=>的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为【A】AB.3 CD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率【D】A.18B.38C.58D.786.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()f x，则y=()f x在[0,π]上的图像大致为【B】7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M=【D】A.203B.165C.72D.1588.设(0,)2πα∈，(0,2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则【B 】 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是【C 】A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =【C 】A .72B .52 C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为【C 】A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C 】A. B. C .6 D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若1i z =+则i izz +⋅=（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i 【测量目标】复数的基本运算.【考查方式】复数和共轭复数的综合运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】1i i i (1i)(i 1)(i 1)2i iz z ++⋅=+⋅-=--++=,故选C. 2．“0x <”是“ln(1)0x +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】充分必要条件与对数函数相结合. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，所以“0x <”是“ln(1)0x +<” 的必要而不充分条件，故选B3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）第3题图 A ．34 B ．55 C ．78 D ．89 【测量目标】程序框图得出程序运算. 【考查方式】利用程序框图计算结果. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题分析】5550>，故运算7次后输出的结果为55，故选B.4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．22【测量目标】极坐标，参数方程，直线与圆相交.【考查方式】通过将极坐标方程和参数方程转化为普通方程后求直线被圆截得的弦长. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】将直线l 方程化为一般式为：40x y --=，圆C 的标准方程为：22(2)4x y -+=，圆C 到直线l 的距离为：|24|22d -==，所以弦长22222L R d =-=，故选D. 5．y x ,满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-=≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A ．121-或B ．212或C ．2或1D ．12-或 【测量目标】线性规划中最大值的求解. 【考查方式】线性规划中取得最值时的条件. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】画出约束条件表示的平面区域如图，第5题图z y ax =-取得最大值表示直线z y ax =-向上平移移动最大，a 表示直线斜率，有两种情况：1a =-或2a =，故选D.6．设函数()()f x x R ∈满足(π)()sin f x f x x +=+，当0πx ≤<时，0)(=x f ，则23π()6f =（ ） A ．12 B ．32C ．0D ．12-【测量目标】三角函数的基本运算.【考查方式】通过简单的递推求三角函数的值. 【难易程度】容易 【参考答案】Ax1 123 5 8 13 21 y1 2 3 5 8 13 21 34 z235813213455【试题分析】23π17π17π()()sin 66611π11π17π()sin sin6665π5π11π17π()sin sin sin6666111102222f f f f =+=++=+++=+-+=故选A.7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）第7题图1A ．213+B ．183+C ．21D ．18 【测量目标】多面体的表面积.【考查方式】被截去一部分后正方体的表面积的计算. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题分析】第7题图2如图，将边长为2的正方体截去两个角， ∴11622611622213222S =⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+表，故选A.8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有（ ） A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对【测量目标】排列组合及简单的计数问题，异面直线及其所成的角. 【考查方式】利用正方体中异面直线的夹角问题考查排列组合的知识. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题分析】第8题图解析：正方体的面对角线共有12条，两条作为一对，共有212C 66=对，同一面上的对角线不满足题意，对面的对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意；共有3618⨯=对，故满足题意的共有66-18=48对. 故选C.9．若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．1-或5 C ．1-或4- D ．4-或8 【测量目标】求分段函数的最值.【考查方式】利用分类讨论求分段函数有最值时的条件. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题分析】（1）当2a <时，12a-<-，此时,31,11,1()2312x a x a x a x f x ax a x ---<-⎧⎪⎪--+-≤≤-=⎨⎪⎪++>-⎩（2）当2a >时，12a->-，此时31,2()1,12311a x a x f x ax a x x a x ⎧---<-⎪⎪=⎨+--≤≤-⎪⎪++>-⎩ 在两种情况下，min ()()|1|322a af x f =-=-+=，解得4a =-或8a =，故选D. 注：此题也可以由绝对值的几何意义得min ()|1|32af x =-+=，从而得4a =-或8a =.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,==⋅=a b a b a b 点Q 满2()OQ =a +b .曲线{|cos sin ,C P OP θθ==+ a b 0≤θ≤2π}，区域{|0P Ω=<r ≤||PQ≤,}R r R <. 若C Ω 为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r <<≤RC ．r ≤13R <<D ．13r R <<<【测量目标】向量的坐标运算，圆与圆环的位置关系.【考查方式】通过计算曲线的普通方程，找出两曲线相离时满足的条件. 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题分析】第10题图设(1,0),(0,1)==a b 则(cos ,sin )OP θθ= ，(2,2)OQ =所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如图）∵||2OQ =，∴13r R <<<，故选A.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二．选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效．．．,在答题卷．．．．、草稿纸上．．．．答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式：如果事件A 与B 互斥,那么 ()()()P A B P A B +=+如果事件A 与B 相互独立,那么()()()P AB P A B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数.若1i z =+,则i =izz +( ) A .2- B .2i - C .2D .2i2.“0x ＜”是“ln(1)0x +＜”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是 ( )A .34B .55C .78D .894.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )AB. CD.5.x ,y 满足约束条件20220,220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤≥.若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A .12或1- B .2或12C .2或1D .2或1-6.设函数()()f x x ∈R 满足(π)()sin f x f x x +=+.当0πx ≤＜时,()0f x =,则23π()6f = ( ) A .12 BC .0D .12- 7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面 积为 ( ) A.21+B.18+ C .21 D .18 8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有 ( )A .24对B .30对C .48对D .60对9.若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3,则实数a 的值为( )A .5或8B .1-或5C .1-或4-D .4-或810.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a ,b ,||||1==a b ,0=a b ,点Q 满足2()OQ =+a b .曲线{|cos sin ,02π}C P OP θθθ==+a b ≤＜,区域{|0,}P r PQ R r R Ω=＜≤||≤＜,若C Ω为两段分离的曲线,则( )A .3r R 1＜＜＜B .3r R 1＜＜≤C .3r R ≤1＜＜D .3r R 1＜＜＜姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在．答题卡上．．．．作答,在试．．题．卷上答题无效．．．．．．. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡的相应位置. 11.若将函数π()sin(2)4f x x =+的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 .12.数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q = .13.设0a ≠,n 是大于1的自然数,(1)n xa+的展开式为2012n n a a x a x a x ++++.若点(,)(0,1,2)i i A i a i =的位置如图所示,则a = .14.设1F ,2F 分别是椭圆E ：2221(01)y x b b+=＜＜的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若11||3||AF F B =,2AF x ⊥轴,则椭圆E 的方程为 .15.已知两个不相等的非零向量a ,b ,两组向量1x ,2x ,3x ,4x ,5x 和1y ,2y ,3y ,4y ,5y 均由2个a 和3个b 排列而成.记1122334455S =++++x y x y x y x y x y ,min S 表示S 所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值；②若a b ⊥,则min S 与||a 无关； ③若a b ∥,则min S 与||b 无关； ④若||||b a ＞4,则min 0S ＞；⑤若||=2||b a ,2min =8||S a ,则a 与b 的夹角为π4.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且3b =,1c =,2A B =. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求πsin()4A +的值.17.（本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数,求X 的分布列和均值（数学期望）. 18.（本小题满分12分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--,其中0a ＞.（Ⅰ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当[0,1]x ∈时,求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 19.（本小题满分13分）如图,已知两条抛物线1E ：2112(0)y p x p =＞和2E ：2222(0)y p x p =＞,过原点O 的两条直线1l 和2l ,1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点,2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点.（Ⅰ）证明：1122A B A B ∥；（Ⅱ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点.记111A B C △与222A B C △的面积分别为1S 与2S ,求12S S 的值. 20.（本小题满分13分）如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 为梯形,AD BC ∥,且2AD BC =.过1A ,C ,D 三点的平面记为α,1BB 与α的交点为Q . （Ⅰ）证明：Q 为1BB 的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （Ⅲ）若14AA =,2CD =,梯形ABCD 的面积为6,求平面α与底面ABCD 所成二面角大小.21.（本小题满分13分）设实数0c ＞,整数p ＞1,*n ∈N .（Ⅰ）证明：当1x -＞且0x ≠时,(1+)+px px ＞1；（Ⅱ）数列{}n a 满足11pa c ＞,111p n n n p ca a a p p-+-=+.证明：11p n n a a c +＞＞.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）1i i i (1i)(i 1)iz +=+-=--及z 代入i izz +，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解析】画出约束条件表示的平面区域如图，17πsin 6数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）222所以共有3618⨯=对不满足题意，故满足题意的共有66-18=48对.故选：C.【答案】A【解析】设(1,0)a =，(0,1)b =.则(cos ,sin OP θθ=，(2,OQ =Ω为圆环（如图）.||2OQ =，13r R ∴<<<令(1,0)a =，(0,1)b =，则||,PQ R r ≤CΩ为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答【解析】{113n a =，214nCa⎛⎫=⎪⎝⎭，【提示】求出1n x⎛⎫+的展开式的通项为3⎪⎩51c⎛⎫【解析】S有下列三种情况：22222a ab b b=++++，222S a a b a b b b=++++，2S a b a b a b a b b=++++，222212232()||0S S S S a b a b a b a b-=-=+-=-=-≥，∴若a b⊥，则2min3S S b==，与||a无关，②正确；若a b∥，则2min34S S a b b==+，与||b有关，③错误；||4||b a>，则222234||||cos||4||||||||||0 S S a b b a b b b bθ=+≥-+>-+=，④正确；||2||b a=，2||S a=，则222248||cos4||8||S S a b b a a aθ==+=+=，cos2θ=，3θ∴=，⑤错误.】依题意，可求得S种结果22222a ab b b=++++，2222S a a b a b b b=++++，2a b a b a b a b b=++++可判断①错误.进一步分析有222212232()||0S S S S a b a b a b a b-=-=+-=-=-≥，即再对②③④⑤逐一分析即可得答案【考点】向量的基本运算，向量的新定义数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）数学试卷 第12页（共16页）2A B =222a c b bac +-3b =，1c =，∴（Ⅱ）222a c b b ac+-π⎫10)81=（Ⅱ）0a >，∴（ⅰ）当4a ≥时，在0x =和3 2数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）⎝所以2p A B ⎛= 22p A B ⎛=- 1p A B A B =，所11A B ∥，同理可得112B C B C ∥211||||A B A B ⎫⎪⎪⎭.又1p A B A B =知111||||A B p p A B =【提示】（Ⅰ）由题意设出直线得到A B ，A B 的坐标，然后由向量共线得答（Ⅰ）证明：1 //BQ AA =BC BQ B ，1AD AA A =.AD ，从而平面与这两个平面的交线相互平行，即QC 的对应边相互平行，于是1A AD ∽△1112323a h d ahd =12113224a a d h +⎛⎫= ⎪⎝⎭1712A AD Q ABCD V -+=221212下1AEAA A =.平面1AEA 1为平面α BC AD ∥又梯形于是tan ∠数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）1112323a h d ahd =12113224a a d h +⎛⎫= ⎪⎝⎭32ahd =棱柱，即可求出此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比11p k cp p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，不等式1p n a c >也成立。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。

满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式：x 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =（ ）.1A .2B C D 2.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D4. 已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ）1.4A 1.2B .1C .2D 5.在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若3a=2b ，则2222sin sin sin B AA -的值为（ ） 1.9A -1.3B .1C 7.2D6.下列叙述中正确的是（ ）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤.B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” .D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量7. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A.7B.9C.10D.119.过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 表2表3表410.在同一直角坐标系中，函数)(222322R a a x ax x a y ax ax y ∈++-=+-=与的图像不可能的是（ ）第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。

数学（理科）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则=⋅+z iz 1（ ） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 894.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立学科网极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A.14 B.142 C.2 D.225.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 6.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21- 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或810.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.12.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成学科网公比为q 的等比数列，则q =________.（13）设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210.若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a（14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=， min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,⊥则min S .③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .学科网,min S ==则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明学科网过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值.17（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）18（本小题满分12分） 设函数其中. （1） 讨论在其定义域上的单调性； （2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.(19)(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.(1)证明：;//2211B A B A (2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z iz1（ ）A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．34 B ．55 C ．78 D ．89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．22（5）x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．21或-1 B ．2或21C ．2或1D ．2或-1 （6）设函数)(x f （R x ∈）满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）． A ．21+3 B ．18+3 C ．21 D ．18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）对．A ．24B ．30C ．48D ．60（9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8（10）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量,，1==,0=⋅，点Q 满足)(2+=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a P C丨，区域R r R r P <≤≤<=Ω，丨0．若Ω⋂C 为两段分离的曲第（13）题图第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． （12）数列{}n a 是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． （13）设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 22210．点),(i i a i A （2,1,0=i ）的位置如图所示，则a = ．（14）设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x （10<<b ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ．(15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列正确的命题的是（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值； ②若⊥，则min S 与a无关； ③若∥，则min S 与b 无关； ④若b >a 4，则min S >0； ⑤若b =a 4,min S =28a ，则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． （I ）求a 的值： （II ）求)4sin(π+A 的值．（17）（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立． （I ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（II ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．第（20）题图D A D 1（18）（本小题满分12分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（19）（本小题满分13分）如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p ）和2E ：x p y 222=1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点．（I ）证明：2211B A B A ∥；（II ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △的面积分别为1S 与2S ，求21S S的值．（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形为梯形，∥，且．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．（I ）证明：Q 为1BB 的中点；（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（III ）若41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．（21）（本小题满分13分）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；（II ）数列{}n a 满足p n n n pa pc a p p a c a -++-=>11111,，证明：p n n c a a 11>>+．数学（理科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）83π （12）1 （13）3 （14）12322=+y x （15）②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：（I ）∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a ．（II ） 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ． ∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．（17）（本小题满分12分）解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， 则32)(=k A P ，31)(=k B P ，5,4,3,2,1=k ． （I ）)()()()(432132121A A B A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A P B P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛ （ ）X 的可能取值为2,3,4,5．95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ， 92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P 818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P ∴X 的分布列为8181581493952=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（18）（本小题满分12分）解：（I ）)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值；（19）（本小题满分13分）（I ）证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==（0,21≠k k ），则 由⎩⎨⎧==x p y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==x p y xk y 2212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222,2kp k p B ． ∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ． 故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥． （II ）解：由（I ）知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴221=S S ．又由（I ）中的222111B A p p B A =21P P =． ∴222121P PS S =．（20）（本小题满分13分）（I ）证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1． ∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即D A QC 1∥． ∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △AD A 1．第（20）题图1αEQ D AB A 1D 1C 1B 1C（II ）解：如第（20）题图1，连接QA ,QD ．设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a V AD A Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， a h dh d a a V A B C D Q 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-， ∴ahd V V V ABCD Q AD A Q 1271=+=--下．又ahd V ABCD D C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V V ABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上V V ． （III ）解法1如第（20）题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1． 又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1． ∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． ∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCA ADC S S △△2=．又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADC S △，4=AE ． ∴1tan 11==∠AE AA AEA ，41π=∠AEA ． 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DD DA 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系． 设θ=∠CDA∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫⎝⎛4,0,sin 41θA ， ∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=n ．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=，∴22,cos =>=<m n ， ∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．（21）（本小题满分13分） （I ）证：用数学归纳法证明① 当2=p 时，x x x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ② 假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kx x k+>+1)1( 成立． 当1+=k p 时，x k kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式px x p+>+1)1(均成立．（II ）证法1：先用数学归纳法证明pn c a 1>．① 当1=n 时，由题设p c a 11>知，pn c a 1>成立． ② 假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk c a 1>成立． 由pn n n a pc a p p a -++-=111易知*,0N n a n ∈>． 当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k k k a cp a p c p p a a ． 由01>>pk ca 得0)1(111<-<-<-p ka cp p ． 由（I ）中的结论得p k p k pp k pk k a c a c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111． 因此c a pk >+1，即pk c a 11>+．1综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk c a 1>均成立． 再由)1(111-+=+p nn n a cp a a 可得11<+n n a a ，即n n a a <+1．综上所述，*11,N n c a a pn n ∈>>+．证法2：设p p c x x p cx p p x f 111)(≥+-=-，，则c x p ≥，并且p p p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc 上单调递增．因而，当p c x 1>时，pp c c f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>p ca ，即c a p>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pc a f a 112)(>=，从而p c a a 121>>．故当1=n 时，不等式pn n ca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k c a a 11>>+成立，则 当1+=k n 时，)()()(11pk k c f a f a f >>+，即有pk k c a a 121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk k c a a 11>>+均成立．。

⎩→∞ 2 绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）考生注意（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．1. 函数 y = 1- 2 cos 2 (2x ) 的最小正周期是.2. 若复数z=1+2i ，其中 i 是虚数单位，则(z + 1) ⋅ z = .z3. 若抛物线 y 2=2px 的焦点与椭圆x + y 9 5.= 1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为⎧x , x ∈(-∞, a ),4. 设 f (x ) = ⎨x 2 , x ∈[a ,+∞], 若 f (2) = 4 ，则a 的取值范围为.5. 若实数 x,y 满足 xy=1,则 x 2 + 2 y 2 的最小值为.6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 p (3cos θ - 4 sin θ ) = 1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{ a n }的公比为 q ，若a 1 = lim(a 3 + a 4 + ) ，则q=.n211 2 19.若f (x) =x 3 -x 2 ，则满足f (x) < 0 的x 取值范围是.10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练，则选择的3 天恰好为连续3 天的概率是（结构用最简分数表示）.11.已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={ a 2, b2},则a +b = .12.设常数 a 使方程sin x + x +x2+x3=. 3 cos x =a 在闭区间[0,2 π] 上恰有三个解x , x2, x3，则13.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若E(ξ) =4.2，则小白得5 分的概率至少为.14.已知曲线C：x =- l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP +AQ = 0 ，则m 的取值范围为.二、选择题：本大题共4 个小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.设a, b ∈R ,则“a +b > 4 ”是“a > 2,且b > 2 ”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件16.如图，四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i =1,2,...) 是上→→底面上其余的八个点，则AB⋅AP i (i =1,2...) 的不同值的个数为（）（A）1 (B)2 (C)4 (D)84 -y2⎨ 1 17. 已知 P 1 (a 1 , b 1 ) 与 P 2 (a 2 , b 2 ) 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y⎧a 1x + b 1 y = 1的方程组⎨a x + b y = 1 的解的情况是（）⎩ 2 2（A ）无论 k ， P 1 , P 2 如何，总是无解 （B)无论k ， P 1 , P 2 如何，总有唯一解 （C ）存在 k ， P 1 , P 2 ，使之恰有两解（D ）存在 k ， P 1 , P 2 ，使之有无穷多解18.⎧(x - a )2, x ≤ 0, f (x ) = ⎪x + + a , x > 0, 若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则a 的取值范围为（）.⎪⎩x(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D) [0, 2]三．解答题（本大题共 5 题，满分 74 分） 19、（本题满分 12 分）底面边长为 2 的正三棱锥 P - ABC ,其表面学科网展开图是三角形 p 1 p 2 p 3 ，如图，求△p 1 p 2 p 3 的各边长及此三棱锥的体积V .zxxk20.（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 1 分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A.∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5. 在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106. 已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10. 设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值二、解答题：本大题共5小题，共72分18.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b ≠，c =22cos cos cos cos A B A A B B -=（1）求角C 的大小 （2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积 19.（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==（1）求n a 与n b ； （2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷)数 学(理科)一．选择题：共12小题,每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1。

已知集合A={x ｜2230x x --≥｝,B=｛x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A 。

［-2,—1] B 。

［-1，2) C 。

[—1,1］ D .［1，2） 2。

32(1)(1)i i +-=A 。

1i +B .1i -C .1i -+D 。

1i --3。

设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B 。

｜()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x |()g x ｜是奇函数D .｜()f x ()g x ｜是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A 。

3B .3C 。

3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D 。

786.如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0，π]上的图像大致为7。

执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2，3，则输出的M =A 。

203 B 。

165 C 。

72D .158 8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C 。

32παβ+=D 。

22παβ+=9。

不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2. 设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则MN =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 3. 设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 4. 若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1D ．25. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 7. 曲线1x y xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 9. 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13C．4 D．310. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311. 已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 B．4 C．4 D ．1212. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.8-的展开式中22x y 的系数为 . 14. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16. 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B. 18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程. 22. （本小题满分12分）函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.参考答案一、选择题：1. D2.B3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.A10.C11.B12.D二、填空题：13. 70 14. 5 15.4316.(,2]-∞三、解答题：17.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A =故3tan cos 2sin A C C =因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C =即1tan 2C =……………………………6分 所以tan tan[180()]B A C =-+tan()A C =-+tan tan tan tan 1A CA C +=-……………8分1=-即135B =………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数又4n S S ≤，故450,0a a ≥≤ 即 1030,1040d d +≥+≤解得 10532d -≤≤- 因此3d =-数列{}n a 的通项公式为133n a n =-…………………………………6分（Ⅱ）1111()(133)(103)3103133n b n n n n==⋅-----………………………8分于是12...n n T b b b =+++1111111[()()...()]371047103133n n=-+-++--- 111()310310n =-- 10(103)nn =-……………….12分19.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为1A D ⊥平面1,ABC A D ⊂平面11AAC C ，故平面11AA C C ⊥平面ABC ， 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C ，……………3分连结1A C ，因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC A C ⊥由三垂线定理得11AC A B ⊥………5分（Ⅱ）BC ⊥平面11,AAC C BC ⊂平面11BCC B ，故平面11AA C C ⊥平面11BCC B作11,A E CC E ⊥为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B又直线1//AA 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，13A E =因为1A C 为1ACC ∠的平分线，故113A D A E ==………………8分 作,DF AB F ⊥为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ⊥， 故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角 由22111AD AA A D =-=得D 为AC 中点，1525AC BC DF AB ⨯=⨯=，11tan 15A DA FD DF∠==所以二面角1A AB C --的大小为arctan 15………………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题设知1A D 与z 轴平行，x 轴在平面11AAC C 内（Ⅰ）设1(,0,)A a c ，由题设有2a ≤，(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，则 (2,1,0)AB =-， (2,0,0)AC =-，1(2,0,)AA a c =-，11(4,0,)AC AC AA a c =+=-， 1(,1,)BA a c =-………………2分由1||2AA =得22(2)2a c -+=，即2240a a c -+= ①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以11AC A B ⊥………………………5分 （Ⅱ）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，即0m CB ⋅=，10m BB ⋅=因为(0,1,0)CB =，11(2,0,)BB AA a c ==-，故0y =，且(2)0a x cz -+= 令x c =，则2z a =-，(,0,2)m c a =-，点A 到平面11BCC B 的距离为22|||||cos ,|||(2)CA m CA m CA c m c a ⋅⋅<>===+-又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c =代入①解得3a =（舍去）或1a = ………………………………………8分 于是1(1,0,3)AA =- 设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥，即10n AA ⋅=，0n AB ⋅=，30p r -+=且20p q -+=，令3p =，则23q =，1r =，(3,23,1)n =，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,||||4n p n p n p ⋅<>==⋅所以二面角1A AB C --的大小为1arccos4……………………12分 20.（本小题满分12分）解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 （Ⅰ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2ii P B P C P A C i ===⨯=………3分所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =⋅⋅+⋅+⋅⋅0.31=……………………………………6分（Ⅱ）χ的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为0(0)()P P B A C χ==⋅⋅0()()()P B P A P C =⋅⋅2(10.6)0.5(10.4)=-⨯⨯-0.06=001(1)()P P B A C B A C B A C χ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅001()()()()()()()()()P B P A P C P B P A P C P B P A P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅2220.60.5(10.4)(10.6)0.50.4(10.6)0.5(10.4)=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯-0.25=222(4)()()()()0.50.60.40.06P P A B C P A P B P C χ==⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=(3)()(4)0.25P P D P χχ==-==(2)1(0)(1)(3)(4)P P P P P χχχχχ==-=-=-=-=10.060.250.250.06=----0.38=…………………………………………………………………10分数学期望0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P P P P P χχχχχ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=……………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=所以088||,||22p p PQ QF x p p==+=+ 由题设得85824p p p+=⨯，解得2p =-（舍去）或2p = 所以C 的方程为24y x =……………………………………………5分 （Ⅱ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1(0)x my m =+≠代入24y x =得 2440y my --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-故AB 的中点为2212(2 1.2),|||4(1)D m m AB y y m +=-=+又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++ 将上式代入24y x =，并整理得2244(23)0y y m m+-+= 设3344(,),(,)M x y N x y ，则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+ 故MN 的中点为2222(23,)E m m m ++-，23424(|||m MN y y m+=-=…10分 由于MN 垂直平分AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于1||||||2AE BE MN ==， 从而22211||||||44AB DE MN += 即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=化简得210m -=，解得1m =或1m =-所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=……………………………12分22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为222[(2)](1,),()(1)()x a a f x x x a --'-+∞=++………………….2分（ⅰ）当12a <<时，若2(1,2)x a a ∈--，则()0f x '>，()f x 在2(1,2)a a --是增函数；若2(2,0)x a a ∈-，则()0f x '<，()f x 在2(2,0)a a -是减函数；若(0,)x ∈+∞，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞是增函数；……………………4分（ⅱ）当2a =时，()0f x '≥，()0f x '=成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞是增函数； （ⅲ）当2a >时，若(1,0)x ∈-，则()0f x '>，()f x 在(1,0)-是增函数；若2(0,2)x a a ∈-，则()0f x '<，()f x 在2(0,2)a a -是减函数；若2(2,)x a a ∈-+∞，则()0f x '>，()f x 在2(2,)a a -+∞是增函数；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2a =时，()f x 在(1,)-+∞是增函数，当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=，即2ln(1)(0)2xx x x +>>+ 又由（Ⅰ）知，当3a =时，()f x 在[0,3)是减函数， 当(0,3)x ∈时，()(0)0f x f <=，即3ln(1)(03)3xx x x +<<<+…………………9分 下面用数学归纳法证明2322n a n n <≤++ （ⅰ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立； （ⅱ）设当n k =时结论成立，即2322k a k k <≤++ 当1n k =+时，122222ln(1)ln(1)22322k k k a a k k k +⨯+=+>+>=++++ 133332ln(1)ln(1)32332k k k a a k k k +⨯+=+≤+>=++++即当1n k =+时有12333k a k k +<≤++，结论成立。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz+i 〃z = （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i （2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1（6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为 （A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a 〃b = 0,点Q 满足OQ =2( a + b ).曲线C={ P |OP =acos θ + bsin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P| 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则 （A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R （C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。