数学高考一轮复习经典试题总结 (51)

课时作业51 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x ＝π4的倾斜角等于( C ) A ．0 B ．π4 C ．π2 D ．π解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π2.2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝92D ．x ＝1解析：三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x ，－9)共线⇒PA →∥PB →，PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B ．4．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( A )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4， 依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2， ∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.5．(2020·湖南衡阳月考)已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin (θ－π2)＝12，则直线l 的方程为( B )A ．3x －y －2＝0B ．3x ＋y －4＝0C ．x －3y ＝0D ．3x ＋3y －6＝0解析：∵sin (θ－π2)＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B ．6．(2020·安徽四校联考)直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( A )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：解法1：设直线l 的斜率为k(k<0)，则直线l 的方程为y －3＝k(x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k)(1－3k )＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A ．解法2：依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a ＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A ．7．(2020·郑州质检)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A ．8．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )A ．13B ．－13C ．－32D ．23解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.9．已知点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A )A ．8B ．2 2C ． 2D ．16解析：∵点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x)2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.10．(2020·焦作检测)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ，把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13， 则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0. 综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B ．11．已知f(x)＝a sin x －b cos x(a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( C )A ．π4 B ．π3 C ．2π3D ．3π4解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f(x)的图象关于x ＝π3对称，所以f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以a ＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C ．二、填空题12．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.解析：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.14．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是[－2,2]．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．15．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 16．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为3.解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A(0,4)，B(3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P(x ，y)(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y 4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3.17．(2020·武汉市调研测试)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( A )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A(8,0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A ．18．(2020·河南郑州调研)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B(－1,0)，C(0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( D )A ．2x －4y －3＝0B ．2x ＋4y ＋3＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x ＋4y －3＝0解析：∵B(－1,0)，C(0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x ＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D ．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

高三数学第一轮复习知识点总结高三数学第一轮复习知识点总结第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六：解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七：押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

2025年高考数学一轮复习-数列中的最值、范围及奇偶项问题-专项训练一、基本技能练1.已知等差数列{a n }与数列{b n }满足a 2＝1，b 1＝a 3≠0，且数列{a n ·b n }的前n 项和S n ＝(n －2)·2n ＋1＋4，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)n 项和为T n ，若T n >20222023，求n 的最小值.2.已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .3.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.二、创新拓展练4.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋3(n ∈N *).(1){a n }的通项公式；(2)已知数列{b n }满足b n ＝n （3n －1）2na n .①求数列{b n }的前n 项和T n ；②若不等式(－1)n λ<T n ＋n 2n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案与解析一、基本技能练1.解(1)a 1·b 1＝S 1＝0，且b 1≠0，所以a 1＝0，又a 2＝1，所以{a n }的公差为1，所以a n ＝n －1(n ∈N *).n ≥2时，a n ·b n ＝S n －S n －1＝(n －1)×2n ，此时b n ＝2n (n ≥2)，又b 1＝a 3＝2，满足b n ＝2n ，所以b n ＝2n (n ∈N *).(2)b n a b n ·a b n ＋1＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n …1－12n ＋1－1>20222023，得2n ＋1－1>2023，所以n 的最小值为10.2.解(1)∵等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S n ＝na 1＋n (n －1)，(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)可得b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －当n 为偶数时，T n …1－12n ＋1＝2n 2n ＋1；当n 为奇数时，T n …1＋12n＋1＝2n＋2 2n＋1.∴T nn为偶数，n为奇数.3.解(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{a n}不是递减数列且a1＝3 2，所以q＝－1 2 .故等比数列{a n}的通项公式为a n＝32×－1＝(－1)n－1×32n(n∈N*).(2)由(1)得S n＝1＋12n，n为奇数，－12n，n为偶数.当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1＝3 2，故0＜S n－1S n≤S1－1S1＝32－23＝56.当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以34＝S2≤S n＜1，故0＞S n－1S n≥S2－1S2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤S n－1S n≤56.所以数列{T n}最大项的值为56，最小项的值为－712.二、创新拓展练4.(1)证明因为a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n＋2，所以1a n ＋1＋1＝又1a 1＋1＝3，3为首项，3为公比的等比数列，故1a n＋1＝3×3n －1＝3n ，则a n ＝13n －1(n ∈N *).(2)解①由(1)知b n ＝n 2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，所以12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，两式相减，得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝121n 1－12－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n.②由①得(－1)n λ<2－n ＋22n ＋n 2n ＝2－22n ，设c n ＝2－22n ，则数列{c n }是递增数列.当n 为偶数时，λ<2－22n 恒成立，又c2＝32，所以λ<32；当n为奇数时，－λ<2－22n恒成立，又c1＝1，所以－λ<1，所以λ>－1.综上所述，λ1。

课时作业51 圆锥曲线的综合问题一、选择题1．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离为( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10 答案：D2．(2019年内蒙古集宁一中高三上学期期末)设某曲线上一动点M 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝－3的距离相等，经过点P (2，1)的直线l 与该曲线相交于A ，B 两点，且点P 恰为等线段AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝( )A ．6B ．10C ．12D ．14解析：由曲线上一动点M 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝－3的距离相等知该曲线为抛物线，其方程为y 2＝12x ，分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，垂足分别为A 1，B 1，P 1，由梯形的中位线定理知|P 1P |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|F A |＋|FB |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选B. 答案：B3．(2019年新疆乌鲁木齐高三考试)AB 是过抛物线y 2＝2px 焦点F 的弦，其垂直平分线交x 轴于点G ，设|AB |＝λ|FG |，则λ的值是( )A.32 B ．2C ．4D ．与p 的值有关解析：如图1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，图1则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 222p －y 212p ＝2py 2＋y 1， 故线段AB 的垂直平分线的方程为 y －y 2＋y 12＝－y 2＋y 12p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋x 12， 令y ＝0，得x ＝p ＋x 2＋x 12，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋x 2＋x 12，0. ∴|FG |＝⎝⎛⎭⎪⎫p ＋x 2＋x 12－p 2＝x 2＋x 1＋p2， 又|AB |＝x 2＋x 1＋p ，∴|AB |＝2|FG |.选B. 答案：B4．(2019年湖北省武汉市高中毕业生调研)已知不过坐标原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若直线OA ，AB 的斜率分别为2和6，则直线OB 的斜率为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2A 2p ，y A ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2B 2p ，y B ， 那么k AB ＝y A －y B y 2A －y 2B 2p ＝2py A ＋y B ＝6，所以y A ＋y B ＝p 3，而k OA ＝y A y 2A2p＝2py A＝2，故y A ＝p ，y B ＝－23p ，所以x B ＝29p ，k OB ＝－3，选D. 答案：D5．(2019年重庆市高二上学期期末)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点，与y 轴交于A 点，若AF→＝FQ →，O 为坐标原点，则△OPQ 的面积为( ) A. 2 B.32 2 C ．2 2 D ．4解析：AF →＝FQ →⇒x Q ＝2⇒y Q ＝22， 从而可设直线FQ 为y ＝22(x －1)，联立方程有： ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x⇒y 2－2y －4＝0，由韦达定理： y p ×22＝－4⇒y P ＝－2， 所以S ＝12|OF ||y Q －y P |＝12×1×(22＋2) ＝322，答案：B6．(2019年河南省郑州市高三毕业年级第二次质量预测)如图2，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( )图2A ．23B ．42C ．12D ．52解析：由题意抛物线过定点(2，4)，得抛物线方程y 2＝8x ，焦点为F (2，0)．圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心为(2，0)，半径r ＝1.由于直线过焦点，所以有1|PF |＋1|QF |＝2P ＝12，又|PN |＋4|QM |＝(|PF |＋1)＋(4|QF |＋4)＝|PF |＋4|QF |＋5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝ ⎛⎭⎪⎫1|PF |＋1|QF |＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4|QF ||PF |＋|PF ||QF |＋5≥23, 当且仅当PF ＝2QF 时等号成立．选A.7．(2019年浙江省宁波市高三模拟)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若|BF |＝5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( )A.56B.2033 C.1531 D.2029解析：抛物线的准线方程为l ：x ＝－1， 分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ， 则|BN |＝|BF |＝5，图3∴B 点横坐标为4，不妨设B (4，－4)， 则直线AB 的方程为y ＝4x －20，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －20，y 2＝4x ，得4x 2－41x ＋100＝0，设A 横坐标为x 0，则x0＋4＝414，故而x 0＝254. ∴|AM |＝x 0＋1＝294，∴S △BCFS △ACF＝2029.答案：D8．(2019年湖南省邵阳市高三上学期期末)过圆P ：(x ＋1)2＋y 2＝14的圆心P 的直线与抛物线C ：y 2＝3x 相交于A ，B 两点，且PB →＝3P A →，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为( )A.116 B ．2 C.136 D.73解析：由题意可知：P (－1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 不妨设点A 位于第一象限，如图4所示，图4则：PB →＝(x 2＋1，y 2)，P A →＝(x 1＋1，y 1)，据此可得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3y 1，x 2＋1＝3（x 1＋1），y 21＝3x 1，y 22＝3x2解方程可得：x 1＝13，y 1＝1， 则|AP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＋12＝53，故点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为53＋12＝136. 本题选择C 选项. 答案：C9．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A, B 两点，设O 为坐标原点，则OA→·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－13或－3 D ．±13解析：由x 22＋y 2＝1 ，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1 ，焦点为(±1，0)．设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0，即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)·(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13.故选B. 答案：B10．(2019年河南省平顶山高二第一学期期末)过点M (1，1) 的直线与椭圆x 24＋y 23＝1 交于A, B 两点，且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为( )A ．4x ＋3y －7＝0B ．3x ＋4y －7＝0C ．3x －4y ＋1＝0D ．4x －3y －1＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－34，所以直线的斜率为－34，由点斜式得到直线方程为3x ＋4y －7＝0.答案：B11．(2019年湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时， △AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A.433 B. 3 C.233 D.33图5解析：如图5所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点，则AE ＝3＋p2，EH ＝p, ∴2p ＝3＋p2，解得p ＝2, ∴y 2＝4x ，A (3，23)，F (1，0)，∴k AF ＝3，直线AF 为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程为3(x －1)2＝4x ，解得x ＝3或x ＝13，∴y ＝23或y ＝－233，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫13，－233∴S △OAB ＝S △OFB ＋S △OF A＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫23＋233 ＝433，故选A. 答案：A12．(2019年普通高校全国卷一(A))已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过焦点F 的直线l 分别交抛物线于点A ，B ，过点A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，两切线l 1，l 2交于点M ，若过点M 且与y 轴垂直的直线恰为圆x 2＋y 2＝1的一条切线，则p 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4解析：由题可知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，且过焦点F 的直线斜率存在，所以可设直线l ：y ＝kx ＋p2，联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ∴x 2－2kpx －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－p 2，x 1＋x 2＝2kp .又由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，∴y ′＝xp ，所以过A 点的切线方程为l 1：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，∴y ＝y 1＋x 1p x －x 21p ＝x 1p x －x 212p .同理可知过点B 的切线方程为l 2：y ＝x 2p x －x 222p ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p ，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 22p ＝－p 2，因此点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－p 2，过点M 与y 轴垂直的直线为y ＝－p 2(p >0)，而圆x 2＋y 2＝1与y 轴负半轴交于点(0，－1)，所以－p2＝－1，∴p ＝2.故选C.答案：C 二、填空题13．(2019年高三数学训练题)F 是双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B.若2AF→＝FB →，则C 的离心率是________． 解析：双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±b a x ，由题意，得|AF |＝b ，|BF |＝2b ，在Rt △AOF 中， |OF |＝c ，则|OA |＝c 2－b 2＝a .设l 1的倾斜角为θ，即∠AOF ＝θ，则∠AOB ＝2θ，tan θ＝b a ，tan2θ＝3b a ，即3ba ＝2b a 1－b 2a 2，即a 2＝3b 2，则e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝233.答案：23314．(2019年高三数学训练题)设F 1，F 2为椭圆C 1: x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2的公共的左，右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且|MF 1|＝2，若椭圆C 1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则双曲线C 2的离心率的取值范围是________．解析：设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，由题意知|MF 1|＝2，|F 1F 2|＝|MF 2|＝2c ，其中c 2＝a 22＋b 22＝a 21－b 21，又根据椭圆与双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＋|MF 2|＝2a 1，|MF 1|－|MF 2|＝2a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋2c ＝2a 1，2－2c ＝2a 2即a 1－a 2＝2c ，其中2a 1，2a 2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．因为椭圆的离心率38≤e ≤49，所以38≤c a 1≤49，所以9c 4≤a 1≤8c 3，而a 2＝a 1－2c ，所以c4≤a 2≤2c 3，所以32≤ca 2≤4，即双曲线C 2的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，415．(2019年新疆兵团农二师华山中学期末)P 为抛物线y 2＝4x 上任意一点，点P 在y 轴上的射影为Q ，点M (4，5)，则PQ 与PM 长度之和的最小值为________．解析：抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点F (1，0)， 由抛物线的几何性质得|PQ |＝|PF |－1， |PQ |＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1 ≥|MF |－1＝34－1，当P ，M ，F 三点共线时等号成立． 答案：34－116．过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，作AC ，BD 垂直抛物线的准线l 于C ，D 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是________(填写序号)．①AC→＋CD →＝BD →－BA →；②存在λ∈R ，使得AD →＝λAO →成立；③FC→·FD →＝0；④准线l 上任意点M ，都使得AM →·BM →>0.图6解析：如图6，可见AC→＋CD →＝BD →－BA →＝AD →，所以①正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，“存在λ∈R ，使得AD →＝λAO →成立”等价于“D ，O ，A 三点共线”，等价于“y 2－p 2＝y 1x 1”，等价于“y 1y 2＝－p 2(*)”．又因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 可设为x ＝my ＋p 2，与y 2＝2px 联立，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，于是，y 1y 2＝－p 2，(*)成立，所以②正确；“FC →·FD →＝0”等价于“p 2＋y 1y 2＝0”，据y 1y 2＝－p 2，(*)成立，知③正确；据抛物线定义知|AB |＝|AC |＋|BD |，所以以AB 为直径的圆半径长与梯形ACDB 中位线长相等，所以该圆与CD 相切，设切点为M ，则AM ⊥BM ，所以AM→·BM →＝0，④不正确． 答案：①②③ 三、解答题17．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA→·OB →的值； (2)如果OA→·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2，0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2，0)．图718．(2019年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高二上学期期末)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2·x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22.19．(2019年百校联盟TOP20高三三月联考(全国Ⅱ卷))在平面直角坐标系xOy 中，与点M (－2，3)关于直线2x －y ＋2＝0对称的点N 位于抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点N 作两条倾斜角互补的直线交抛物线C 于A ，B 两点(非N 点)，若AB 过焦点F ，求|AF ||BF |的值．解：(1)设N (m ，n )，则⎩⎨⎧n －3m ＋2＝－12，m －22×2－n ＋32＋2＝0，解之得N (2，1)，代入x 2＝2py (p >0)得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)显然直线NA 的斜率是存在的， 设直线NA 的方程y －1＝k (x －2)， 设直线NB 的方程y －1＝－k (x －2)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝k （x －2）消元，得x 2－4kx ＋8k －4＝0， 所以2＋x 1＝4k ，∴x 1＝4k －2，∴y 1＝4k (k －1)＋1， 故A (4k －2，4k (k －1)＋1)， 同理，B (－4k －2，4k (k ＋1)＋1)，所以k AB ＝4k （k ＋1）＋1－4k （k －1）－1－4k －2－4k ＋2＝－1，若|AF ||BF |<1，因为cos45°＝|BF |－|AF ||BF |＋|AF |，∴|AF ||BF |＝2－22＋2＝3－22，若|AF ||BF |>1，同理可求|AF ||BF |＝2＋22－2＝3＋2 2.20．(2019年辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a ＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上．(1)求椭圆的离心率；(2)若过焦点F 2垂直x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3，斜率为12的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得P A ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．解：(1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0x 0－c＝－1且x 0＋c 2－y 02＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ，y 0＝a ＋c ，即M (－a ，a ＋c )∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12. (2)由(1)及题设得：c a ＝12且2b 2a ＝3， ∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2－3＝0.依题Δ>0，即t 2<4设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－3如果存在P (m ，n )使得k P A ＋k PB 为定值，那么k P A ＋k PB 的取值将与t 无关k P A ＋k PB＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m＝⎝⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3，令⎝⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3＝M则Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2M －3M －2mn ＋3＝0为关于t (t 2<4)的恒等式∴⎩⎨⎧M ＝0，n ＝32m ，2mn ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝32或⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－32综上可知，满足条件的定点P 是存在的，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32及⎝⎛⎭⎪⎫1，32.。

课时规范练51随机抽样、用样本估计总体基础巩固组1.(2020天津耀华中学高一期末)已知一组数据为4,5,6,7,8,8,40%分位数是()A.8B.7C.6D.52.(多选)(2020江苏泗洪质检)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有()A.应该采用分层随机抽样法B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人C.乙被抽到的可能性比甲大D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力3.(多选)(2020江苏启东高一期末)某人射箭9次,射中的环数依次为7,8,9,7,6,9,8,10,8,关于这组数据,下列说法正确的是()A.这组数据的众数是8B.这组数据的平均数是8C.这组数据的中位数是6D.这组数据的方差是434.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知()A.甲队得分的众数是3B.甲、乙两队得分在[30,39)内的频率相等C.甲、乙两队得分的极差相等D.乙队得分的中位数是38.55.(2020陕西榆林高三四模)港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内,是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短.为了解实际通行所需时间,随机抽取了n台车辆进行统计,结果显示这些车辆的通行时间(单位:分钟)都在[35,50]内,按通行时间分为[35,38),[38,41),[41,44),[44,47),[47,50]五组,其中通行时间在[38,47)内的车辆有182台,频率分布直方图如图所示,则n=()A.280B.260C.250D.2006.(2020天津一中高三月考)某社区组织“学习强国”的知识竞赛,从参加竞赛的市民中抽出40人,将其成绩分成以下6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层随机抽样的方法,从第2,3,4组中抽取8人,则第2,3,4组抽取的人数依次为()A.1,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,67.(2020山东泰安高一期末)某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本,数据从小到大排序如下(单位:cm):152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,x ,174,175,若样本数据的90%分位数是173,则x 的值为.8.(2020北京密云高三质检)某校高一年级三个班共有学生120名,这三个班的男生、女生人数如下表所示,已知在全年级中随机抽取1名学生,抽到二班女生的概率是0.2,则x=.现用分层随机抽样的方法在全年级抽取30名学生,则应在三班抽取的学生人数为.班级一班二班三班女生人数20x y 男生人数2020z 综合提升组9.(多选)(2020山东淄博高三质检)某学校为了调查学生一周内在生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)内的学生有60人,则下列说法正确的是()A.样本中支出在[50,60)内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200D.若该校有2000名学生,则定有600人支出在[50,60)内10.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付5141109钱B.乙应付3224109钱C.丙应付1656109钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少11.(多选)(2020山东嘉祥一中高三月考)在某次高中学科知识竞赛中,对4000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点值作代表,则下列说法中正确的是()A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分12.(2020江西九江高三模拟)一组数据中的每一个数据都乘以3,再减去50,得到一组新数据,若求得新的数据的平均数是1.6,方差是3.6,则原来数据的平均数和方差分别是()A.17.2,3.6B.54.8,3.6C.17.2,0.4D.54.8,0.413.(2020福建福州高二期中)为让学生适应新高考的赋分模式,某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分,具体方案如下:A等级,排名等级占比7%,分数区间是83—100;B等级,排名等级占比33%,分数区间是71—82;C等级,排名等级占比40%,分数区间是59—70;D等级,排名等级占比15%,分数区间是41—58;E等级,排名等级占比5%,分数区间是30—40.现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析,其频率分布直方图如图所示:(1)求图中a的值;(2)以样本估计总体的办法,估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级);(3)若采用分层抽样的方法,从原始成绩在[40,50)和[50,60)内的学生中共抽取5人,查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏,再从中选取2人进行调查分析,求这2人中至少一人原始成绩在[40,50)内的概率.创新应用组14.(多选)(2020重庆巴蜀中学高三月考)气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天每天日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数,单位:℃)满足以下条件:甲地:5个数据的中位数是24,众数是22;乙地:5个数据的中位数是27,平均数是24;丙地:5个数据有1个是32,平均数是26,方差是10.2,则下列说法正确的是()A.进入夏季的地区至少有2个B.丙地区肯定进入了夏季C.不能肯定乙地区进入夏季D.不能肯定甲地区进入夏季15.如图是某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)的频率分布直方图.(1)求频率分布求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?参考答案课时规范练51随机抽样、用样本估计总体1.C因为有6位数,所以6×40%=2.4,所以40%分位数是第三个数6.2.ABD由于各年级的年龄段不一样,因此应采用分层随机抽样法.由于比例为23520×50+30×45=110,因此高一年级1000人中应抽取100人,高二年级1350人中应抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是110,因此只有C不正确,故选ABD.3.ABD数据从小到大排列为6,7,7,8,8,8,9,9,10,所以众数为8,故A正确;中位数为8,故C错误;平均数为6+7+7+8+8+8+9+9+109=8,故B正确;方差为19×[(6-8)2+(7-8)2×2+(8-8)2×3+(9-8)2×2+(10-8)2]=43,故D正确.4.D甲队得分的众数是33和35,故A错误;甲、乙两队得分在[30,39)内的频率分别为25和310,所以甲、乙两队得分在[30,39)内的频率不相等,故B错误;甲队得分的极差为51-24=27,乙队得分的极差为52-22=30,所以甲、乙两队得分的极差不相等,故C错误;乙队得分的中位数是34+432=38.5,故D正确.故选D.5.D由题意可知,通行时间在[38,47)内的频率为1-(0.01+0.02)×3=0.91,所以182=0.91,所以n=200.6.C由图可知第2,3,4组的频率之比为0.15∶0.15∶0.3,所以频数之比为1∶1∶2,现采用分层随机抽样的方法,从第2,3,4组中抽取8人,所以第2,3,4组抽取的人数依次为2,2,4.7.17290%分位数是173,所以r1742=173,x=172.8.249由题意可得120=0.2,解得x=24.三班总人数为120-20-20-24-20=36,用分层随机抽样的方法在全年级抽取30名学生,每个学生被抽到的概率为30120=14,故应从三班抽取的人数为36×14=9.9.BC样本中支出在[50,60)内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;样本中支出不少于40元的人数为0.0360.03×60+60=132,故B正确;n=600.3=200,故n的值为200,故C正确;若该校有2000名学生,则可能有0.3×2000=600(人)支出在[50,60)内,故D错误.10.B依题意由分层随机抽样可知,100÷(560+350+180)=10109,则甲应付10109×560=5141109(钱);乙应付10109×350=3212109(钱);丙应付10109×180=1656109(钱).11.ABC由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;成绩在[40,60)内的频率为0.01×10+0.015×10=0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,故B 正确;考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以考生竞赛成绩的中位数为70+10×0.050.3≈71.67(分),故D错误.12.C设一组数据为x i(i=1,2,3,…,n),平均数为,方差为12,所得一组新数据为y i(i=1,2,3,…,n),平均数为,方差为22,则y i=3x i-50(i=1,2,3,…,n),=1+2+…+=1.6,即31-50+32-50+…+3-50=1.6,所以3-50=1.6,所以=51.63=17.2.22=1[(y1-)2+(y2-)2+…+(y n-)2]=1[(3x1-50-1.6)2+(3x2-50-1.6)2+…+(3x n-50-1.6)2]=1×9[(x1-17.2)2+(x2-17.2)2+…+(x n-17.2)2]=1×9[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2]=3.6,所以912=3.6,所以12=0.4.故选C.13.解(1)由题意(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,所以a=0.030.(2)由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%=80%,假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上,则有(0.005+0.025+0.030+0.015)×10+(60-x)×0.015=0.8,所以x≈57.估计原始分不少于57分才能达到赋分后的C等级及以上.(3)由题知评分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15,则抽取的5人中,评分在[40,50)内的有2人,评分在[50,60)内的有3人,记评分在[50,60)内的3位学生为a,b,c,评分在[40,50)内的2位学生为D,E,则从5人中任选2人的所有可能结果为:(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(b,c),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共10种,其中,这2人中至少一人评分在[40,50)内的可能结果为(a,D),(a,E),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共7种.所以这2人中至少一人评分在[40,50)内的概率为710.14.ABC甲地:5个数据由小到大排,则22,22,24,a,b,其中24<a<b,满足进入夏季的标志;乙地:将5个数据由小到大排,则a,b,27,c,d,其中a≤b≤27≤c≤d,则27+c+d≥81,而a+b+27+c+d=120,故a+b≤39,其中必有一个小于22,故不满足进入夏季的标志;丙地:设5个数据为a,b,c,d,32,且a,b,c,d∈N*,由方差公式可知:(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2+(32-26)2=10.2×5=51,则(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2=15=9+4+1+1,不妨设|a-26|=3,|b-26|=2,|c-26|=|d-26|=1,则a,b,c,d均大于22,满足进入夏季标准.综上,ABC正确.15.解(1)由频率分布直方图得20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,解得x=0.0075.(2)由频率分布直方图知众数为230,用电量在[160,220)的频率是20×(0.002+0.0095+0.011)=0.45,用电量在[220,240)的频率为0.0125×20=0.25,设中位数为m,则-22020=0.5-0.450.25,解得m=224,即中位数是224.(3)由频率分布直方图知月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户的频率依次为0.25,0.15,0.1,0.05,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取户数为0.250.25+0.15+0.1+0.05×11=5,应抽取5户.。

第51课时：第六章 不等式——含绝对值的不等式课题：含绝对值的不等式一．复习目标：1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二．知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 时，左边等号成立；当 时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法：①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三．课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 （ ）()A (0,)+∞ ()B (0,1) ()C (1,)+∞ ()D (1,10)2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 （ ）()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22x x -<≤≤<且 3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << （ ）()A (3,1) ()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0)4．已知集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，则a 的取值范围是 ．5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)xf x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 ．四．例题分析：例1．已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++．例3．设,,a b c R ∈，已知二次函数2()f x ax bx c =++，2()g x cx bx a =++，且当||1x ≤时，|()|2f x ≤，（1）求证：|(1)|2g ≤；（2）求证：||1x ≤时，|()|4g x ≤．例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2a b x x +<．五．课后作业：1．若,a b R ∈，且||||a c b -<，则 （ ） ()A ||||||a b c <+ ()B ||||||a b c >- ()C a b c <+ ()D a b c >-2．若0m >，则||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)a >的解集是N ，则集合M 、N 的关系是 （ ）()A N M ≠⊂ ()B M N = ()C M N ⊆ ()D M N ≠⊂4．不等式||22x x x x≥++的解集是 ． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ．6．若实数,a b 满足0ab >，则①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的是 ．7．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）．8．解不等式：（1）2|1121|x x x -+>；（2）|3||21|12x x x +-->+． 9．设有关于x 的不等式lg(|3||7|)x x a ++->，（1）当1a =时，解这个不等式；（2）当a 为何值时，这个不等式的解集为R ．10．设二次函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤， 求证：（1）||1a c +≤；（2）对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．。

题组层级快练(五十一)1．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案 B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．2．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a.∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．3．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案 B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条．4．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)．设AB＝1，则BE＝2，BA1＝5，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝5＋2－125·2＝31010，选C.5．(2015·浙江金丽衢十二校二联)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N ＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.6．ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与( ) A．AC，BD之一垂直B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直答案 B解析∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AN＝CN.在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.7.如图所示，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④B．①③④C ．①②④D ．①②③答案 C解析 将过点M 的平面CDD 1C 1绕直线DD 1旋转任意不等于k π2(k ∈Z )的角度，所得的平面与直线AB ，B 1C 1都相交，故③错误，排除A ，B ，D ，选C.8.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 D解析 由AC ⊥平面DBB 1D 1，可知AC ⊥BE ，故A 正确． 由EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确．A 到平面BEF 的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22，且S △BEF ＝12BB 1×EF ＝定值， 故V A －BEF 为定值，即C 正确．9.如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角； ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ③④解析 如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM 与ED 为异面直线，故命题①不成立；而CN 与BE 平行，故命题②不成立．∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM，∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN.∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.10．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②，④中GH与MN异面．11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．答案③④解析AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．12.如图所示，在正四面体S －ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是________．答案36解析 取AC 中点E ，连接DE ，BE ，则BD 与DE 所成的角即为BD 与SA 所成的角． 设SA ＝a ，则BD ＝BE ＝32a ，DE ＝a 2. 由余弦定理知cos ∠BDE ＝36. 13．有下列四个命题：①若△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P ，Q ，R ，则P ，Q ，R 三点共线； ②若三条直线a ，b ，c 互相平行且分别交直线l 于A ，B ，C 三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；④若a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①②解析 在①中，因为P ，Q ，R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与平面α的交线上，既P ，Q ，R 三点共线，所以①正确．在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A ，B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a ，b ，l 三线共面于α；同理a ，c ，l 三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a ，l ，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确．在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错．在④中，由题设知，a 与α相交，设a ∩α＝P ，如图，在α内过点P 的直线l 与a 共面，所以④错． 14.(2015·上海徐汇二模)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．答案66解析 由于AC ∥A 1C 1，所以∠BA 1C 1(或其补角)就是所求异面直线所成的角．在△BA 1C 1中，A 1B ＝6，A 1C 1＝1，BC 1＝5，cos ∠BA 1C 1＝6＋1－526×1＝66.15．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 答案 (1)略 (2)共面，证明略解析 (1)证明：∵G ，H 分别为FA ，FD 的中点，∴GH 綊12AD .又∵BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点，得BE 綊GF .所以EF 綊BG .由(1)知，BG 綊CH ，所以EF 綊CH .所以EC ∥FH . 所以C ，D ，F ，E 四点共面．16.(2014·上海黄浦一模)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心，如图所示．(1)连接BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)连接A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1－BCA 1的体积． 答案 (1)π4 (2)223解析 (1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ，则D 是BC 边上的中点． ∵点O 是正△ABC 的中心，且A 1O ⊥平面ABC ，∴BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O .∵AD ∩A 1O ＝O ，∴BC ⊥平面ADA 1. ∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，∴异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C . ∵CC 1⊥BC ，即四边形BCC 1B 1为正方形， ∴异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2，∴可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233，A 1O ＝AA 21－AO 2＝263.∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，VA 1－B 1C 1CB ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－ABC ＝423. ∴VC 1－BCA 1＝VA 1－BCC 1＝12VA 1－BCC 1B 1＝223.1．下面三条直线一定共面的是( ) A ．a ，b ，c 两两平行 B ．a ，b ，c 两两相交 C ．a ∥b ，c 与a ，b 均相交 D ．a ，b ，c 两两垂直答案 C2．如图所示是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .。

考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。

层级快练(五十一)1．(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是( )A．①②③B．②③④C．①③D．②④答案 D解析①中l与m可能相交、平行或异面；②中结论正确；③中两平面α，β可能平行，也可能相交；④中结论正确．2．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是( )A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α答案 C解析对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.3．(2018·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A. 4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对答案 D解析过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β与α垂直，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线，此垂线与b确定的平面β与α垂直．故选D.5．(2018·保定模拟)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案 D解析因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．6.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是( )A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案 C解析AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.故选C.7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE答案 C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.8.(2017·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD答案 D解析A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.9．(2018·重庆秀山高级中学期中)如图，点E为矩形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有( )①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA.A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析①若直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面SEC，又平面SEC∩平面SBC＝SC，∴点S，E，B，C共面，与已知矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA＝S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③在平面ABCD内作CF∥AE，交AB于点F，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面SAE，故③正确；④若SE⊥BA，过点S作SF⊥AE于点F，∵平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE＝AE，∴SF⊥平面ABCE，∴SF⊥AB，又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEC，∴AB⊥AE，与∠BAE是锐角矛盾，故④错误．10．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)．答案②③④解析对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确． 由平面与平面平行的定义知命题③正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．11.(2017·泉州模拟)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DB ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，VA －D 1PC ＝VP －AD 1C 点P 到面AD 1C 的距离，即为线BC 1与面AD 1C 的距离，为定值故①正确，对于②，因为面A 1C 1B ∥面AD 1C ，所以线A 1P ∥面AD 1C ，故②正确，对于③，DB 与BC 1就成60°角，故③错．对于④，由于B 1D ⊥面ACD 1，所以面B 1DP ⊥面ACD 1，故④正确．12．(2018·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D －ABC ，当三棱锥D －ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为________． 答案 43π解析 当平面DAC⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC ，∴BC ⊥AD ，又AD⊥DC，∴AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，取AB 的中点O ，易得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π.13．(2018·辽宁大连双基测试)如图所示，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为________． 答案26解析 因为DA⊥平面ABC ，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA ∩AC ＝A ，所以BC⊥平面ADC ，所以BC⊥AF，又AF⊥CD，BC ∩CD ＝C ，所以AF⊥平面DCB ，所以AF⊥EF，AF ⊥DB ，又DB⊥AE，AE ∩AF ＝A ，所以DB⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D －AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF 的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D －AEF 的体积V≤13×12×2＝26(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立)．14.(2018·湖北宜昌模拟)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝2BB 1，E ，F ，M 分别为A 1C 1，AB 1，BC 的中点． (1)求证：EF∥平面BB 1C 1C ； (2)求证：EF⊥平面AB 1M. 答案 (1)略 (2)略 证明 (1)连接A 1B ，BC 1.因为E ，F 分别为A 1C 1，AB 1的中点， 所以F 为A 1B 的中点．所以EF∥BC 1. 因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，EF ⊄平面BB 1C 1C ， 所以EF∥平面BB 1C 1C.(2)在矩形BCC 1B 1，BC ＝2BB 1， 所以tan ∠CBC 1＝22，tan ∠B 1MB ＝ 2. 所以tan ∠CBC 1·tan ∠B 1MB ＝1. 所以∠CBC 1＋∠B 1MB ＝π2.所以BC 1⊥B 1M.因为EF∥BC 1，所以EF⊥B 1M.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC⊥平面BB 1C 1C. 因为M 为BC 的中点，AB ＝AC ，所以AM⊥BC. 因为平面ABC∩平面BB 1C 1C ＝BC ， 所以AM⊥平面BB 1C 1C.因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AM⊥BC 1 因为EF∥BC 1，所以EF⊥AM.又因为AM∩B 1M ＝M ，AM ⊂平面AB 1M ，B 1M ⊂平面AB 1M ，所以EF⊥平面AB 1M.15．(2018·广东惠州模拟)如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2，N 为线段PB 的中点． (1)证明：NE⊥PD；(2)求三棱锥E －PBC 的体积． 答案 (1)略 (2)23解析 (1)证明：连接AC ，与BD 交于点F ，连接NF ，则F 为BD 的中点． ∴NF ∥PD ，且NF ＝12PD.又EC∥PD 且EC ＝12PD ，∴NF ∥EC 且NF ＝EC.∴四边形NFCE 为平行四边形， ∴NE ∥FC ，即NE∥AC.又∵PD⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PD.∵NE ∥AC ，∴NE ⊥PD.(2)解：∵PD⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE⊥平面ABCD.∵BC ⊥CD ，平面PDCE∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PDCE.∴三棱锥E －PBC 的体积V E －PBC ＝V B －PEC ＝13S △PEC ·BC ＝13×(12×1×2)×2＝23.16．(2018·安徽马鞍山一模)如图①，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，BC ∥AD ，AD ＝2AB ＝4，BC ＝3，E 为AD 的中点，EF ⊥BC ，垂足为F.沿EF 将四边形ABFE 折起，连接AD ，AC ，BC ，得到如图②所示的六面体ABCDEF.若折起后AB 的中点M 到点D 的距离为3.(1)求证：平面ABFE⊥平面CDEF ； (2)求六面体ABCDEF 的体积． 答案 (1)略 (2)83解析 (1)如图，取EF 的中点N ，连接MN ，DN ，MD. 根据题意可知，四边形ABFE 是边长为2的正方形， ∴MN ⊥EF.由题意，得DN ＝DE 2＋EN 2＝5，MD ＝3， ∴MN 2＋DN 2＝22＋(5)2＝9＝MD 2， ∴MN ⊥DN ，∵EF ∩DN ＝N ， ∴MN ⊥平面CDEF.又MN ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE⊥平面CDEF. (2)连接CE ，则V 六面体ABCDEF ＝V 四棱锥C －ABFE ＋V 三棱锥A －CDE .由(1)的结论及CF⊥EF，AE ⊥EF 得， CF ⊥平面ABFE ，AE ⊥平面CDEF ， ∴V 四棱锥C －ABFE ＝13·S 正方形ABFE ·CF ＝43，V 三棱锥A －CDE ＝13·S △CDE ·AE ＝43，∴V 六面体ABCDEF ＝43＋43＝83.17.(2018·潍坊质检)直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2. (1)求证：AC⊥平面BB 1C 1C ；(2)在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行？证明你的结论． 答案 (1)略(2)P 为A 1B 1的中点时，DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行．解析 (1)∵直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC. 又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2， ∴AC ＝2，∠CAB ＝45°.∴BC ＝ 2.∵BC 2＋AC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC. 又BB 1∩BC ＝B ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ， BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C. (2)存在点P ，P 为A 1B 1的中点．由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB.又∵DC∥AB，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝PB 1.∴DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP. 又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1， ∴DP ∥平面ACB 1.同理，DP ∥平面BCB 1.1．(2017·温州模拟)正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 为A ′C ′的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．A ′C ′ B ．BD C ．A ′D ′ D ．AA ′答案 B解析 连接B ′D ′，∵B ′D ′⊥A ′C ′，B ′D ′⊥CC ′， 且A ′C ′∩CC ′＝C ′， ∴B ′D ′⊥平面CC ′E. 而CE ⊂平面CC ′E ， ∴B ′D ′⊥CE.又∵BD∥B′D ′，∴BD ⊥CE.2．(2018·四川成都检测)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点，现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD 内过点D 作DK⊥AB，K 为垂足，设AK ＝t ，则t 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(12，1)C ．(32，2) D ．(32，1) 答案 B解析 当点F 与点E 无限接近时，不妨令二者重合，可得t ＝1， 当点C 与点F 无限接近时，不妨令二者重合，此时有CD ＝2， ∵CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB⊥平面ADB ，即有CB⊥BD，对于CD ＝2，BC ＝1，在直角三角形CBD 中，得BD ＝3， 又AD ＝1，AB ＝2，由勾股定理可得∠BDA 是直角，∴AD ⊥BD. 由DK⊥AB，可得△ADB∽△AKD，可得t ＝12，∴t 的取值范围是(12，1)，故选B.3.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)连接AC ，∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点．∴AN ＝12PC.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC. 又BC⊥AB，PA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB.从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC.∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形．又M 为底边的中点，∴MN ⊥AB ，又AB∥CD，∴MN ⊥CD. (2)∵∠PDA＝45°，PA ⊥AD ，∴AP ＝AD. ∵ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC. 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM. 而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC. 由(1)知MN⊥CD，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD.4．(2018·四川成都一诊)如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ，HB 上，且DG GH ＝BRRH .将△AED，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图②所示．(1)求证：GR⊥平面PEF ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径． 答案 (1)略 (2)12解析 (1)依题意，得在三棱锥P －DEF 中，PE ，PF ，PD 两两垂直． ∴PD ⊥平面PEF.∵DG GH ＝BR RH ，即DG GH ＝PRRH ，∴在△PDH 中，GR ∥PD. ∴GR ⊥平面PEF.(2)由题意知，PE ＝PF ＝2，PD ＝4，EF ＝22，DF ＝2 5. ∴S △PEF ＝2，S △DPF ＝S △DPE ＝4，S △DEF ＝12×22×（25）2－（2）2＝6.设三棱锥P －DEF 的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V P －DEF ＝V D －PEF ＝13×12×2×2×4＝13(S △PEF ＋2S △DPF ＋S △DEF )·r，解得r ＝12.∴三棱锥P －DEF 的内切球的半径为12.5.(2018·河南郑州一中月考)如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点． (1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D. 答案 (1)略 (2)略 (3)略解析 (1)由ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，得BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形，所以B 1D 1∥BD.又BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，所以B 1D 1∥平面A 1BD. (2)因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC.因为BD⊥AC，且BD∩BB 1＝B ，所以AC⊥平面BB 1D 1D. 而MD ⊂平面BB 1D 1D ，所以MD⊥AC.(2)当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D. 证明如下：取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1， 连接NN 1交DC 1于点O ，连接BN ，OM ，如图． 因为N 是DC 的中点，BD ＝BC ，所以BN⊥DC. 因为DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线， 而平面ABCD⊥平面DCC 1D 1，所以BN⊥平面DCC 1D 1. 易得O 是NN 1的中点， 所以BM∥ON 且BM ＝ON ，所以四边形BMON 是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC 1D 1D. 因为OM ⊂平面DMC 1，所以平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.。

第1页共13页2023年高考数学一轮总复习第51讲：二项分布、超几何分布、正态分布【教材回扣】1．二项分布：(1)概念：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝________________，k ＝0,1,2，…，n .如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从____________________，记作______________．(2)均值与方差：如果X ～B (n ，p )，那么E (X )＝________，D (X )＝________．2．超几何分布(1)概念：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝____________，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．(2)均值：E (X )＝np .3．正态分布：(1)有关概念：对任意的x ∈R ，f (x )＝1σ2πe －(x －μ)22σ2>0(μ∈R ，σ＞0为参数)，我们称f (x )为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X 的概率分布密度函数为f (x )，则称随机变量X 服从正态分布，记作__________________．特别地，当μ＝__________，σ＝________时称随机变量X 服从标准正态分布．(2)正态曲线的特点：①它的图象在□10________上方；②x 轴和曲线之间的区域的面积为□11________；③曲线是单峰的，它关于直线□12________对称；④曲线在x ＝μ处，达到峰值1σ2π；⑤当|x |无限增大时，曲线无限接近□13________.(3)均值与方差：若x ～N (μ，σ2)，则E (X )＝□14________，D (X )＝□15________.【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．()2．二项分布和超几何分布都是放回抽样．()3．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()4．一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()题组二教材改编。

考点51 双曲线1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，所以2p c =,由224y px cx ==，22221x y a b-=得2222222()4()0c a x a cx a c a ----=解得12()(),a c a a c a x x c a c a +--==-+，所以(),A a c a x c a+=- 不妨设c,0F（）,则222343()()A A AF A A A A y y k cx x c x c x c ==⇒=⇒=---, 因此222222()()43()4()3(2)a c a a c a cc ca c a a ac c c a c a++=-∴-=+---，2224324(1)3(12),31661630e e e e e e e e ∴-=+--+++=，222(341)(43)013e e e e e e +∴----=>∴=或2e =， 因为点A 在x 轴上方，所以2()20,112A a c a x c e e e e c a+=>∴+-<>∴<<-因此23e +=，选B. 2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线22:14y x C m -=(0)m >的0y ±=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C D ．2【答案】B 【解析】已知双曲线C y 0±=，且0m >=，得12m =.4c ==，所以双曲线C 的离心率为c e a ===故选：B3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C D【答案】B 【解析】解：由双曲线的定义得：|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，（不妨设该点在右支上） 又|PF 1|+|PF 2|＝3b ，所以()()1211233222PF a b PF b a =+=-，，两式相乘得()22199444b a ab -=．结合c 2＝a 2+b 2得53c a =． 故e 53=． 故选：B ．5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C 【解析】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C 【解析】连接12,BF AF ,由双曲线的定义可得:212AF AF a -=, 122BF BF a -=,由112BF AF c ==,可得2222,22AF a c BF c a =+=-,在12AF F ∆中,可得()2222212244222cos 2?2?22c c a c c ac a AF F c cc +-+--∠==,在12BF F ∆中,可得()()222214224cos 2?2?222c c a c c aBF F c c a c+---∠==-,由12//F A F B ，可得2112BF F AF F π∠+∠=,即有2112cos cos 0BF F AF F ∠+∠=,可得22222c ac a c --+02c ac -=,化为22230c ac a --=,得22310e e --=,解得e =34+ ,负值舍去,故选C. 7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．3y x =± B ．y = C ．7y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】22243c b c =⇒=，即223bb a a=⇒=B 。

高考数学一轮复习知识点(精选5篇)高考数学一轮复习知识点篇11、基础不牢，地动山摇。

数学想考高分，基础是最重要的，这也是很多学生数学成绩一直不好的核心原因，牢记基本公式和基本定理，根据课本目录，能熟练回忆出课本上所有知识点，真正打牢基础，你才有学好数学的可能。

2、从基础题由浅入深进行练习。

不少人对数学学习彻底失去了信心，甚至感觉自己就不是学习数学的料，其实都是平时不会选题，基础差还总爱做难题，最后被打击的自信心全无。

正确的做法是从最基础的题目开始做，先完成老师布置的作业，然后再每天给自己准备一定数量的题目，题目的选择应该从浅入深，基础不好就先做简单的题目，一点一点加深难度。

3、不要怕问。

数学想考满分，你的知识体系必须非常完美，知识没有任何漏洞才行。

遇到问题千万不要放弃，一定要多问多想，遇到不会的难题，不要硬靠自己，要敢于走出去找老师解答，在这个过程中，你可以体会老师的解题方法和老师的解题思想，更有效地利用做题时间。

4、错题本必须要有。

有人经常说，数学学霸们的学习方法并不适合所有人，但错题本学习法确实是人人都应该掌握的一个高效学习法。

如果不想错题一错再错，错题本是必须要有的。

最重要的是经常出错的题要多看，也可以的错题进行归类，不然你整理再多错题作用也不大。

高考数学一轮复习知识点篇2越是容易的题要越小心，因为这样的题很可能有陷阱。

出现怪异的答案的题要小心，因为很有可能计算错误。

任何带有数字的题要多问一下自己，有没有遗漏答案，如出现2的答案，就要考虑-2有没有可能也是答案。

最后一道填空题很有可能是难题，如果不能马上解出，应迅速放在一边进行下面答题，毕竟这道题再难也分数也有限，不应恋战。

高考数学一轮复习知识点篇3三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础。

是高考数学必考题型。

高考对其的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。

近几年来，高考关于数列方面的命题有以下三个方面。

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第01练集合（精练）1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn 图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A ．{}0,2,4,6,8B ．{}0,1,4,6,8C ．{}1,2,4,6,8D ．U2．（2023·全国·高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．-3．（2023·全国·高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A ．2B ．1C ．23D ．1-4．（2023·全国·高考真题）设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z ð．故选：A ．5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．126．（2022·全国·高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉【答案】A【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A7．（2022·全国·高考真题）若集合{4},{31}M x N x x ==≥∣，则M N ⋂=（）8．（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【A 级基础巩固练】一、单选题1．（2024·北京丰台·一模）已知集合{}220A x x x =-≤，{}10B x x =->，则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≥B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >D ．{}12x x <≤2．（2024·北京顺义·二模）设集合24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U A =ð（）A ．[]2,0-B ．{}0C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】DA ．(]0,2B ．31,2⎛⎤ ⎥C ．()0,2D ．30,2⎛⎤4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合{}{}1,2,2,3A B ==，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．85．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合{}{}3N 0log 2,21,Z A x x B x x k k =∈<<==+∈∣∣，则A B = （）A ．{}1,3,5,7B ．{}5,6,7C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】D【分析】先求出集合A ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}{}3N0log 2N192,3,4,5,6,7,8A x x x x =∈<<=∈<<=∣∣，所以{}3,5,7A B = .故选：D.6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合{}2,1,4,8A =-，{}2,B x y x A y A =-∈∈∣，则B 中元素的最大值为（）A ．4B ．5C ．7D ．10【答案】C【分析】根据B 中元素的特征，只需满足()2max minx y-即可得解.【详解】由题意，()()222max maxmin817x y x y -=-=-=.故选：C7．（2024·四川成都·三模）设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M ⊆ð，则（）A ．4M ÎB ．1M ∉C ．2M ∈D ．3M∉8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个9．（2024·全国·模拟预测）若集合{}()(){}28,158A x x B x x x =∈<=+->-Z ，则()A B ⋂=R ð（）A ．{}0,1,2B ．{0x x ≤<C ．{1x x ≤≤D ．{}1,210．（2024·四川泸州·三模）已知集合2230A x x x =--<，{}0,B a =，若A B ⋂中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,3-B ．(][),13,-∞-+∞C ．()3,1-D ．(][),31,-∞-⋃+∞11．（2024·北京东城·一模）如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．AB ⋂B ．A B⋃C ．()U A B ⋂ðD ．()U A B ⋃ð【答案】D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð.二、多选题12．（2024·甘肃定西·一模）设集合{}{}26,,A x x x B xy x A y A =-≤=∈∈∣∣，则（）A ．AB B= B ．Z B ⋂的元素个数为16C ．A B B⋃=D ．A Z I 的子集个数为64取值可能是（）A ．3-B ．1C ．1-D ．014．（2024·广西·二模）若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则,M N 可能是（）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣C ．{}{}lg ,e 5x M xy x N y y ====+∣∣D ．(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣三、填空题15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合{}22,4,10A a a a =-+，且3A -∈，则=a .【答案】3-【分析】根据题意，列出方程，求得a 的值，结合集合元素的互异性，即可求解.【详解】因为3A -∈，所以23a -=-或243a a +=-，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，23a -=，243a a +=-，集合A 不满足元素的互异性，所以1a =-舍去；当3a =-时，经检验，符合题意，所以3a =-．故答案为：3-．16．（2024高三下·全国·专题练习）集合(){}22,2,,x y x y x y +<∈∈Z Z 的真子集的个数是.17．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为.18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A x x B x a x a =≤=-≤≤+∣∣，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是.【答案】()(),33,-∞-+∞ 【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由24x ≤，得()()220x x -+≤,解得22x -≤≤，所以{}22A xx =-≤≤∣.因为A B ⋂=∅，所以12a +<-或12a ->，解得3a <-或3a >，所以a 的取值范围是()(),33,-∞-+∞ .故答案为：()(),33,-∞-+∞ .19．（2024高三·全国·专题练习）设集合(){}2|1A x x a =-<，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围为．【答案】(]1,2【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据2A ∈且3A ∉得到不等式组，解得即可.【详解】由()21x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，即(){}{}2|11|1A x x a x a x a =-<=-<<+，因为2A ∈且3A ∉，所以121213a a a -<⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得12a <≤，即实数a 的取值范围为(]1,2.故答案为：(]1,2四、解答题20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．(1)当1a =时，求A B -与B A -；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．21．（2024高三·全国·专题练习）设M 是由直线0Ax By C ++=上所有点构成的集合,即{}(,)0M x y Ax By C =++=,在点集M 上定义运算“⊗”：对任意()11,,x y M ∈()22,,x y M ∈则()()11221212,,x y x y x x y y ⊗=+．(1)若M 是直线230x y -+=上所有点的集合,计算()()1,52,1⊗--的值．(2)对（1）中的点集M ,能否确定(3,)(,5)a b ⊗（其中,a b ∈R ）的值？(3)对（1）中的点集M ,若(3,)(,)0a b c ⊗<,请你写出实数a ,b ,c 可能的值．【B 级能力提升练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合{}{}2210,2log 10M x x P x x =->=-<，则M P ⋂=（）A ．12x x ⎧<<⎨⎩B ．142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}4x <<D ．{}24x x <<2．（2024·宁夏银川·一模）设全集{0,1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,5},{Z 2}U A B x ===∈<，则集合{4,5}=（）A ．()U AB ⋂ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U A B ∩ðD ．()()U U A B ⋂痧所以{}{}Z |041,2,3B x x =∈<<=，所以{}0,4,5,6U B =ð，所以(){}4,5U A B Ç=ð，故ABD 错误，故C 正确；故选：C3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合{}24xA x =>，集合{}B x x a =<∣，若A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，然后根据A B ⋃=R ，即可求解.【详解】由24x >，得2x >，所以()2,A =+∞，因为(),B a =-∞，A B ⋃=R ，所以2a >，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·全国·期末）已知m ∈R ，n ∈R ，若集合{}2,,1,,0n m m m n m ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023m n +的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集{}N |010U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，则集合B 的元素个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．不确定【答案】B【分析】由已知求出全集，再由(){}U 1,3,5,7A B ⋂=ð可知A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，从而可求出B 中的元素.【详解】因为全集{}{}N |0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x x =⋃=∈≤≤=，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，所以A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，A 和B 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，A 中有的其他数字，B 中也一定会有，A 中没有的数字，B 中也一定会有，所以{}0,2,4,6,8,9,10B =，故选：B6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且满足12k A A A U =U U L U ，那么称子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．若集合I 中含有4个元素，则集合I 的所有划分的个数为（）A ．7个B ．9个C ．10个D ．14个二、多选题7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意,A B ⊆R ，记{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B⊕≠⊕R R痧三、填空题8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合{}20A x x mx =+≤，1,13B m ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂有4个子集，则实数m 的最小值是.9．（2024·湖南·二模）对于非空集合P ，定义函数()1,,P f x x P ⎧=⎨∈⎩已知集合{01},{2}A x x B x t x t=<<=<<∣∣，若存在x ∈R ，使得()()0A B f x f x +>，则实数t 的取值范围为.【C 级拓广探索练】一、单选题1．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.二、多选题2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元素个数有限，对于U 的任意一个子集S ，定义集合S 的指示函数()()U 1,1,10,S S x Sx x x S∈⎧=⎨∈⎩ð若,,A B C U ⊆，则（）注：()x Mf x ∈∑表示M 中所有元素x 所对应的函数值()f x 之和（其中M 是()f x 定义域的子集）.A ．1()1()A A x Ax Ux x ∈∈<∑∑B ．1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤C ．()1()1()1()1()1()A B A B A B x Ux Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑D ．()()()11()11()11()1()1()A B C U A B C x Ux Ux Ux x x x x ⋃⋃∈∈∈---=-∑∑∑【答案】BCD【分析】根据()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，由于A U ⊆,所以1()1()1()1(),uA A A A x U x A x A x Ax x x x ∈∈∈∈=+=∑∑∑∑ð故1()1()A A x Ax Ux x ∈∈=∑∑，故A 错误，对于B ，若x A B ∈ ,则1()1,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，此时满足1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，若x A ∈且x B ∉时，1()0,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x B ∈且x A ∉时，1()0,1()0,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x A ∉且x B ∉时，1()0,1()0,1()0A B A A B x x x ⋂⋃===，综上可得1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，故B 正确，对于C ，()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()U UAB A B AB A B AB A B x Ux A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈∈⋂∈⋂+-=+-++-∑∑∑痧()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()U ABABABABx A B x A Bx x x x x x x x ∈⋂∈⋃++-++-∑∑ð()()()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()0U U U ABABABABABABx A B x A B x A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈⋂∈⋃∈⋂∈⋂=+-++-++-+∑∑∑∑ð痧()()1()1()1()1()ABABx A B x x x x ∈⋃=+-∑而()1()1()1()1()U A B A BA B A Bx Ux A Bx A Bx A Bx x x x ⋃⋃⋃⋃∈∈⋃∈⋃∈⋃=+=∑∑∑∑ð，由于()()()U 1,10,A B x A Bx x A B ⋃∈⋃⎧=⎨∈⋃⎩ð，所以1()1()1()1()1()A B A B A B x x x x x ⋃+-=故()1()1()1()1()1()A B AB A B x U x Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑,C 正确，()1()1()1()U UA B C U x Ux Ux A B C x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃-=∑∑∑ð,当x A B C ∈⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 中至少一个为1，所以()()()11()11()11()0A B C x x x ---=，当()x A B C ∉⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 均为0，所以()()()11()11()11()1A B C x x x ---=，故()()()()()()()()11()11()11()11()11()11()1()UU A B C A B C A B C U x U x x A B C x x x x x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃---=---=∑∑∑痧,故D 正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：充分利用()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð以及()x M f x ∈∑的定义，由此可得()x A B C ∉⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 均为0，x A B C ∈⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 中至少一个为1，结合()1S x 的定义化简求解.三、填空题3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合{}++,,N ,N i A x x a i n i n ==≤∈∈，12n S a a a =+++ 则称S 为集合A 的“元素和”，记为A .若集合(){}+12,,N ,N i P x x i i n i n +==+≤∈∈，集合P 的所有非空子集分别为1P ，2P ，…，k P ，则12k P P P +++=.四、解答题4．（2024·浙江台州·二模）设A ，B 是两个非空集合，如果对于集合A 中的任意一个元素x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，并且不同的x 对应不同的y ；同时B 中的每一个元素y ，都有一个A 中的元素x 与它对应，则称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一一对应，并称集合A 与B 等势，记作A B =.若集合A 与B 之间不存在一一对应关系，则称A 与B 不等势，记作A B ≠.例如：对于集合*N A =，{}*2N B n n =∈，存在一一对应关系()2,y x x A y B =∈∈，因此A B =.(1)已知集合(){}22,1C x y x y =+=，()22,|143x y D x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，试判断C D =是否成立?请说明理由；(2)证明：①()()0,1,=-∞+∞；②{}**N N x x ≠⊆.【答案】(1)成立，理由见解析(2)①证明见解析；②证明见解析5．（2024·北京延庆·一模）已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.(1)若数列{}n a 为1,2,3，写出集合T ；(2)若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),512S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；(3)若n a n =，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12,,...,,...m b b b ，若2024m b ≤，求m 的最大值．若正整数()221t h k =+，其中*N,N t k ∈∈，则当1221t k +>+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()22122...2221...21221...212t t t t t t t t t t t h k k k k k =+=+++=-+-+++-++++++-++，此时结论成立，当1221t k +<+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()()2121...2121...112...2t t h k k k k k k k k k =++++++=-+++-++++++++，此时结论成立，对于数列n a n =，此问题等价于数列1,2,3,...n 其相应集合T 中满足2024m b ≤有多少项，由前面证明可知正整数1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024不是T 中的项，所以m 的最大值为2013.。

高三数学第一轮复习高考试题大盘点——反函数的反函数是函数2e y .1x x e --= C A.是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数.B.是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.C.是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.D.是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.2.(99年全国理农医)若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 AA.aB.1-aC.bD.1-b3.函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是 AA ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２] 4,（01年春招理农医）函数)1(1≤--=x x y 的反函数是CA.)01(12≤≤--=x x yB.)10(12≤≤-=x x yC.)0(12≤-=x x yD.)10(12≤≤-=x x y5.(04年全国理)函数)(2R x e y x ∈=的反函数为（ C ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x yD ．)0(2ln 21>=x x y 6.（04年北京理）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A.a ∈-∞(,]1B.a ∈+∞[,)2C.a ∈[,]12D.a ∈-∞⋃+∞(,][,)127.( 04年湖南理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 28.(04年湖南文史)设)(1x f -是函数f(x)=x 的反函数，则下列不等式中恒成立的是（ C ）A.12)(1-≤-x x fB.12)(1+≤-x x fC.12)(1-≥-x x fD.12)(1+≥-x x f9．(04年天津文史)函数13+=x y )01(<≤-x 的反函数是（ D ）A.)0(log 13>+=x x yB.)0(log 13>+-=x x yC.)31(log 13<≤+=x x yD.)31(log 13<≤+-=x x y 10（ 04年江苏）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A.3 B ．32 C ．43 D ．6511.(04年上海理)若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则f(x)=（ A ） A ．10－x －1 B ．10x －1 C ．1－10－x D ．1－10x .12.(04年全国文史)记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ B ）A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-13.(04年全国理 )函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ B ）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)14.(04年全国文)函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ A ） A.)0(51≠-=x x y B.)(5R x x y ∈+=C.)0(51≠+=x x yD.)(5R x x y ∈-= 15.(02年天津理农医)函数)),1((12+∞-∈+=x xx y 图象与其反函数图象的交点坐标为_（0,0）,（1,1）__16.(00年上海理农医)已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 117.(04年理农医)已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g 218.(04年广东) 函数10)f x In x =>（））（的反函数_________)(1=-x f )(22R x e e x x ∈+。

高二数学测试题2021届高考数学第一轮章节复习考试题（附答案和解释）第6章第4节一、选择题1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于()A.12B.18C.24D.42[答案] C[解析] 由题意设Sn=An2+Bn，又∵S2=2，S4=10，∴4A+2B=2,16A+4B=10，解得A=34，B=-12，∴S6=36×34-3=24.2.数列{an}的前n项和为Sn，若an=1?n+1??n+2?，则S8等于()A.25B.130C.730D.56[答案] A[解析] ∵an=1?n+1??n+2?=1n+1-1n+2，而Sn=a1+a2+…+an=12-13+13-14+…+1n-1n+1+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2?n+2?，∴S8=82×?8+2?=25.3.数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n项和为()A.2-12n-n2n+1B.2-12n-1-n2nC.12(n2+n+2)-12nD.12n(n+1)+1-12n-1[答案] B[解析]S=1×12+2×14+3×18+4×116+…+n×12n=1×121+2×122+ 3×123+…+n×12n，①则12S=1×122+2×123+3×124+…+(n-1)×12n+n×12n+1，②①-②得12S=12+122+123+…+12n-n×12n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1.∴S=2-12n-1-n2n.4.122-1+132-1+142-1+…+1?n+1?2-1的值为()A.n+12?n+2?B.34-n+12?n+2?C.34-121n+1+1n+2D.32-1n+1+1n+2[答案] C[解析] ∵1?n+1?2-1=1n2+2n=1n?n+2?=121n-1n+2.∴Sn=121-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2=1232-1n+1-1n+2=3 4-121n+1+1n+2.5.(2021?汕头模拟)已知an=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，若称使乘积a1?a2?a3?…?an为整数的数n为劣数，则在区间(1,2021)内所有的劣数的和为()A.2026B.2046C.1024D.1022[答案] A[解析]∵a1?a2?a2?…?an=lg3lg2?lg4lg3?…?lg?n+2?lg?n+1?=lg ?n+2?lg2=log2(n+2)=k，则n=2k-2(k∈Z).令12021，得k=2,3,4， (10)∴所有劣数的和为4?1-29?1-2-18=211-22=2026.6.(2021?威海模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2，则|a1|+|a2|+…+|a10|=()A.66B.65C.61D.56[答案] A[解析] 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5;当n=1时，a1=S1=-1，不符合上式，∴an=-1，n=1，2n-5，n≥2，∴{|an|}从第3项起构成等差数列，首项|a3|=1，末项|a10|=15.∴|a1|+|a2|+…+|a10|=1+1+?1+15?×82=66.7.(文)(20XX?江西)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于()A.18B.24C.60D.90[答案] C[解析] 由题意可知a42=a3×a7S8=32，∴?a1+3d?2=?a1+2d??a1+6d?8a1+8×72×d=32，∴a1=-3d=2，∴S10=10×(-3)+10×92×2=60，选C.(理)(20XX?重庆)设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=()A.n24+7n4B.n23+5n3C.n22+3n4D.n2+n[答案] A[解析] 设等差数列公差为d，∵a1=2，∴a3=2+2d，a6=2+5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a32=a1a6，即(2+2d)2=2(2+5d)，整理得2d2-d=0.∵d≠0，∴d=12，∴Sn=na1+n?n-1?2d=n24+74n.故选A. 8.在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于()A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1[答案] C[解析] 解法1：由{an}为等比数列可得an+1=an?q，an+2=an?q2由{an+1}为等比数列可得(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)，故(an?q+1)2=(an+1)(an?q2+1)，化简上式可得q2-2q+1=0，解得q=1，故an为常数列，且an=a1=2，故Sn=n?a1=2n，故选C.解法2：设等比数列{an}的公比为q，则有a2=2q且a3=2q2，由题设知(2q+1)2=3?(2q2+1)，解得q=1，以下同解法1.二、填空题9.设f(x)=12x+2，则f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)的值为________.[答案] 52[解析]∵f(-n)+f(n+1)=12-n+2+12n+1+2=2n1+2n?2+12n+1+2=2n?2 +12n+1+2=22，∴f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)=52.10.(2021?启东模拟)对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn=________.[答案] 2n+1-2[解析] ∵an+1-an=2n，∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=2-2n1-2+2=2n-2+2=2n，∴Sn=2-2n+11-2=2n+1-2.11.(2021?江门模拟)有限数列A={a1，a2，…，an}，Sn为其前n项的和，定义S1+S2+…+Snn为A的“凯森和”;如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}的“凯森和”为1000，则有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为________.[答案] 991[解析] ∵{a1，a2，…，a99}的“凯森和”为S1+S2+…+S9999=1000，∴S1+S2+…S99=1000×99，数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为：1+?S1+1?+?S2+1?+…+?S99+1?100=100+S1+S2+…+S99100=991.三、解答题12.(2021?重庆文)已知{an }是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.(1)求通项an及Sn;(2)设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力.(1)因为{an}为首项a1=19，公差d=-2的等差数列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21，Sn=19n+n?n-1?2(-2)=-n2+20n.(2)由题意知bn-an=3n-1，所以bn=3n-1-2n+21Tn=b1+b2+…+bn=(1+3+…+3n-1)+Sn=-n2+20n+3n-12.13.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n.(1)求证：数列{an}是等差数列;(2)若bn=an?2n，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] (1)证明：a1=S1=-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5. 又a1适合上式，故an=4n-5(n∈N*).当n≥2时，an-an-1=4n-5-4(n-1)+5=4，所以{an}是等差数列且d=4，a1=-1.(2)bn=(4n-5)?2n，∴Tn=-21+3?22+…+(4n-5)?2n，①2Tn=-22+…+(4n-9)?2n+(4n-5)?2n+1，②①-②得-Tn=-21+4?22+…+4?2n-(4n-5)?2n+1=-2+4?4?1-2n-1?1-2-(4n-5)?2n+1=-18-(4n-9)?2n+1，∴Tn=18+(4n-9)?2n+1.14.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且an+2SnSn-1=0(n≥2)，(1)求数列{Sn}的通项公式;(2)设Sn=1f?n?，bn=f(12n)+1.记Pn=S1S2+S2S3+…+SnSn+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，试求Tn，并证明Pn12.[解析] (1)解：∵an+2SnSn-1=0(n≥2)，∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.∴1Sn-1Sn-1=2.又∵a=1，∴Sn=12n-1(n∈N+).(2)证明：∵Sn=1f?n?，∴f(n)=2n-1.∴bn=2(12n)-1+1=(12)n-1.Tn=(12)0?(12)1+(12)1?(12)2+…+(12)n-1?(12)n=(12)1+( 12)3+(12)5+…+(12)2n-1=23[1-(14)n].∵Sn=12n-1(n∈N+)∴Pn=11×3+13×5+…+1?2n-1??2n+1?=121-12n+112.15.(2021?山东理)已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=1an2-1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.对(1)可直接根据定义求解，(2)问采用裂项求和即可解决.(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有a1+2d=72a1+10d=26，解得a1=3，d=2，所以an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+n?n-1?2×2=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1，所以bn=1an2-1=1?2n+1?2-1=14?1n?n+1?=14?1n-1n+1，所以Tn=14?1-12+12-13+…+1n-1n+1=14?1-1n+1=n4?n+1?，即数列{bn}的前n项和Tn=n4?n+1?.[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积.本题应用了裂项求和.。