2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第六讲空间几何的体积【考点分析】1.掌握求空间几何的体积和表面积的各种方法。

2.利用线面垂直的性质求空间几何的高【知识运用】题型一直接法求体积【例1】（2018惠州模拟）如图，直角ABC∆中，90ACB∠=，24BC AC==，D E，分别是,AB BC边的中点，沿DE将BDE∆折起至FDE∆，且60CEF∠=.（1）求四棱锥F ACED-的体积；（2）求证：平面ADF⊥平面ACF．试题解析：（1）∵,D E分别是,AB BC边的中点，∴DE平行且等于AC的一半，,1DE BC DE⊥=依题意，,2DE EF BE EF⊥==.于是有,DE BCDE EFDEEF EC EEF EC CEF⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭平面平面CEF.∵DE⊥平面CEF∴平面ACED CEF⊥平面过F点作FM EC⊥于M，则,ACED CEF CEFM EC FM ACEDFM CEF⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭平面平面且交线为平面平面，∵60CEF∠=∴3FM=∴梯形ACED的面积()()11122322S AC ED EC=+⨯=⨯+⨯=∴四棱锥F ACED-的体积1133333V Sh==⨯=（2）（法一）如图．设线段,AF CF 的中点分别为,N Q ，连接,,DN NQ EQ ，则1//2NQ AC ，于是1//2////1//2DE AC DE NQ DEQN DN EQ NQ AC ⎫⎪⎪⇒⇒⇒⎬⎪⎪⎭是平行四边形.又60EC EF CEFCEF =⎫⇒∆⎬∠=⎭是等边三角形. ∴EQ⊥FC 由（1）知,DE CEF EQ CEF ⊥⊂平面平面. ∴DE EQ ⊥ ∴AC EQ ⊥于是,AC EQFC EQ EQ ACFAC FC C AC FC ACF ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭平面平面.∴DN ACF ⊥平面 又∵DN ADF ⊂平面∴平面ADF ⊥平面ACF. （法二）连接BF ，∵,60EC EF CEF =∠= ∴△CEF 是边长为2等边三角形 ∵BE EF =∴1302EBF CEF ∠=∠=∴90BFC ∠=， BF FC ⊥又∵,DE BCF DE ⊥平面∥AC ∴AC BCF ⊥平面∵BF BCF ⊂平面∴AC BF ⊥ 又∵FC AC C ⋂=，∴BF ACF ⊥平面又∵BF ADF ⊂平面，∴平面ADF ⊥平面ACF . 【变式】1.．如图，在三棱台中，，且面，，分别为的中点，为上两动点，且.（1）求证：； （2）求四面体的体积. 试题解析：（1）取的中点,连接,∵,为的中点,∴,又,∴,∵,且,∴四边形为平行四边形,∴,同理，四边形为平行四边形，∴.∴四边为平行四边形,∵面,∴面, ∴,又,∴面,∵面,∴.（2）令与交于，∵面,面,∴面面 , ∵面面,∵,∴,∴面,∴为点到面的距离，即,又,∴.题型二等体积（换顶点）【例2】．在四棱锥中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点在线段上，且，求三棱锥的体积.试题解析：（Ⅰ）证明：取，的中点分别为，，连接，.∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面，而，∴①又∵，，，∴四边形为正方形，且，∴，即②由①②及得：面，又∵面，∴， 又∵，，∴面，而面，∴.（Ⅱ）过点作于，则面且，（或由（Ⅰ）得面，）2．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形， PA ⊥平面ABCD ， PA AB =，M 是PC 上一点.（1）若BM PC ⊥，求证： PC ⊥平面MBD ；（2）若M 为PC 的中点，且2AB =，求三棱锥M BCD -的体积. （1）证明：连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ， BD 平面ABCD 得BD PA ⊥，又BD AC ⊥， PA AC A ⋂=， ∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥， 又PC BM ⊥， BD BC B ⋂=，∴PC ⊥平面MBD .（2）解：由M 为PC 的中点得111223M BCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⋅ 11122222323=⨯⨯⨯⨯⨯=. 3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 22AB AD ==，3PD BD AD ==，且PD ⊥底面ABCD .（1）证明： BC ⊥平面PBD ；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥A PBQ -的体积. 试题解析：（1）证明：∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，∵//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥. ∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD . （2）三棱锥A PBQ -的体积A PBQV -与三棱锥A QBC -的体积相等，而12A QBC Q ABC P ABC V V V ---== 11111334434P ABCD V -==⨯⨯=. 所以三棱锥A PBQ -的体积14A PBQ V -=.题型三利用等体积求高【例3】．在矩形中，，，为线段的中点，如图1，沿将折起至，使，如图2所示．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．（1）证明：在图1中连接，则，，．∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）取的中点，连接，∵，∴，，∵平面平面，∴平面，∴．设点到平面的距离为，由（1）平面，知，，∵，∴，，∴点到平面的距离为．【变式】1、．在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.试题解析：（1）因为，所以. 又，，所以在中，由勾股定理，得.因为，所以是的斜边上的中线.所以是的中点.又因为是的中点，所以直线是的中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，.又因为，.所以.又因为，所以.易知，且，所以.设点到平面的距离为，则由，得，即，解得.即点到平面的距离为.2、如图，在三棱锥中，平面⊥平面， AP PD ===，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）已知，求点到平面APB 的距离．试题解析：（Ⅰ）在Rt PAD 中，因为AP PD == 3AB， AP PD ⊥，所以623AD AP AB ==，在ABD 中， 222226333AD BD AB AB AB ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以BD AD ⊥， 1分又因为平面PAD ⊥平面ABD ，平面PAD ⋂平面ABD = AD ， BD ⊂平面ABD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 2分又∵AP ⊂平面PAD ，所以BD AP ⊥， 3分 因为AP PD ⊥， PD BD D ⋂=， 4分 所以AP ⊥平面PBD ， 因为AP ⊂平面PBA ，所以平面PBA ⊥平面PBD . 6分 （Ⅱ）如图，设AD 的中点为O ，连接OP ，，∵AP PD == 2BD =， AP DP ⊥，∴OP AD ⊥， 22AD = 2OP =， ∵平面PAD ⊥平面ABD ，平面PAD ⋂平面ABD = AD ， OP ⊂平面PAD ， ∴OP ⊥平面ABD ， 8分由（Ⅰ）知， BD ⊥平面PAD ，∴,AD BD BD PD ⊥⊥， ∴22PB = 3AB =∴222AB PB PA =+，∴AP BP ⊥，∴APB S = 12AP BP ⨯⨯=12222⨯=22 ∴P ABD V -三棱锥=13ABDS OP⨯=11222232⨯⨯43，……………………10分设点D 到平面PAB 的距离为d ，∵P ABD V -三棱锥=D ABP V -三棱锥=13ABPS d⨯，解得=，∴点D到平面PAB的距离为2.……………………12分立体几何中求点到平面的距离的方法：（1）由定义作出点到平面的距离，通过解三角形得出；（2）利用平行上的点到平面的距离相等的结论，进行转化为另一点到平面的距离；（3）利用等体积法转化（三棱锥的体积）；（4）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.题型四求空间的表面积【例4】．在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【试题解析】试题分析：（1）推导出，，从而，进而平面，由此能证明平面平面；（2）设，则四棱锥的体积，解得，可得所求侧面积.（1）∵在四棱锥中，，∴，，又，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）在平面内作，垂足为． 由（1）知，平面，故，可得平面．设，则由已知可得，．故四棱锥的体积．由题设得，故．从而，，．可得四棱锥的侧面积为．【变式】1、如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点， BE ABCD ⊥平面，（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若120ABC ∠=， ,AE EC ⊥三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED. 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED（Ⅱ）设AB= x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=2x.因为AE⊥EC，所以在Rt∆AEC中，可得EG=32x.由BE⊥平面ABCD，知∆EBG为直角三角形，可得BE=22x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积3116632243E ACDV AC GD BE x-=⨯⋅⋅==.故x=2从而可得AE=EC=ED=6.所以∆EAC的面积为3，∆EAD的面积与∆ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.题型五动点问题【例5】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA＝1，AB＝2，PD＝BC＝ 2.(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为2∶1.(1)证明∵AD⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴DC⊥PA.∵AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∵DC⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.(2)解作EF⊥AB于F点，∵在△ABP中，PA⊥AB，∴EF∥PA，∴EF⊥平面ABCD.设EF＝h，AD＝PD2－PA2＝1，S△ABC ＝12AB·AD＝1，则V 三棱锥E —ABC ＝13S △ABC ·h ＝13h .V 四棱锥P —ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PA ＝13×(1＋2)×12×1＝12. 由V PDCEA ∶V 三棱锥E —ACB ＝2∶1， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13h ∶13h ＝2∶1， 解得h ＝12.EF ＝12PA ，故E 为PB 的中点．【变式】1、(2018届武汉调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1—ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM AB的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 连接BE ，∵ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ， 又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，BE ⊂平面ABCE ， ∴BE ⊥平面D 1AE .(2)解 AM ＝14AB ，取D 1E 的中点L ，连接AL ，FL ，∵FL ∥EC ，EC ∥AB ，∴FL ∥AB 且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面， 若MF ∥平面AD 1E ，则MF ∥AL .∴AMFL 为平行四边形，∴AM ＝FL ＝14AB .故线段AB上存在满足题意的点M，且AMAB＝14.2、如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝AB＝2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．(1)求证：平面PAB∥平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．(1)证明∵在△PCD中，E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB，∵EF，EG是平面EFG内两条相交直线，∴平面PAB∥平面EFG.(2)解当Q为线段PB的中点时，PC⊥平面ADQ.取PB的中点Q，连接DE，EQ，AQ，DQ，∵EQ∥BC∥AD，且AD≠QE，∴四边形ADEQ为梯形，由PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，得AD⊥PD，∵AD⊥CD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，∴AD⊥平面PDC，又PC⊂平面PDC，∴AD⊥PC.∵△PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，∴DE⊥PC，∵AD，DE是平面ADQ内的两条相交直线，∴PC⊥平面ADQ.【强化练习】1．如图所示，四棱锥B-AEDC中，平面AEDC⊥平面ABC，F为BC的中点，P为BD的中点，且AE//DC，∠ACD=∠BAC=90°，DC=AC=AB=2AE（1）证明：EP⊥平面BCD；（2）若DC=2，求三棱锥E-BDF的体积.【试题解析】试题分析：（1）先根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质得平面.，即得，从而可由线面垂直判定定理得平面.最后根据平行四边形性质得即得结论，（2）因为平面，所以根据锥体体积公式求体积. 试题解析：（（Ⅰ）由题意知为等腰直角三角形，而为的中点，所以.又因为平面平面，且，所以平面.而平面，所以.而所以平面.连结,则而所以是平行四边形,因此平面.（Ⅱ）因为平面，所以平面是三棱锥的高.所以. 于是三棱锥的体积为2．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，在棱上，且.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【试题解析】试题分析：(1) 取的中点，连接，,由已知条件证得，，得平面，是的中点得证(2)利用等体积法，转化顶点和底面，求出和，由计算出结果解析：（1）取的中点，连接，.∵为的中点，∴.∵平面，∴平面，∴.又∵，，∴平面，∴.又∵是的中点， ∴.（2）由图可知，三棱锥体积与三棱锥体积相等.∵，，，∴平面. ∵，且，∴. 在中，， ∴. ∴ ，即三棱锥的体积为.3．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若,求三棱柱的高.试题解析：（1）连结1BC ，则O 为1B C与1BC 的交点.因为侧面11BB C C为菱形，所以11B C BC ⊥.又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO⊥，故1B C ⊥平面ABO.由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB⊥.（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H. 由于， BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥， 又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.因为160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得3OD =.由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==,由OH AD OD OA ⋅=⋅，且227AD OD OA =+=，得21OH =，又O 为1B C 的中点，所以点1B到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱111ABC A B C -的高为217.4．如图，四棱锥的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面.证明：若，求四边形的面积.（1）证明：因为BC ∥平面GEFH ， BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ⋂平面GEFH GH =，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .连接,AC BD 交于点O ， BD 交EF 于点K ，连接,OP GK .因为PA PC =， O 是AC 的中点，所以PO AC ⊥，同理可得PO BD ⊥.又BD AC O ⋂=，且,AC BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ⋂平面，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK EF ⊥.所以GK 是梯形GEFH 的高.由8,2AB EB ==得:EB AK = :1:4KB DB =，从而1142KB DB OB ==，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得12GK PO =，即G 是PB 的中点，且142GH BC ==.由已知可得2242,68326OB PO PB OB ==-=-=，所以3GK =，故四边形GEFH 的面积4831822GH EF S GK ++=⋅=⨯=.5．如图，四棱锥P ABCD -中， 90ABC BAD ∠=∠=， 2,BC AD = PAB PAD ∆∆与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明： ;PB CD ⊥（II ）求点A 到平面PCD 的距离.【试题解析】（Ⅰ）证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O. 连结OA ，OB,OD,OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD ， 所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥. 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE//CD.因此PB CD ⊥.（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF ，则OF//PB. 由（Ⅰ）知， PB CD ⊥，故OF CD ⊥.又122OD BD == 222OP PD OD =-=，故POD ∆为等腰三角形，因此OF PD ⊥. 又PD CD D ⋂=，所以OF ⊥平面PCD.因为AE//CD ， CD ⊂平面PCD ， AE ⊄平面PCD ，所以AE//平面PCD.因此O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==，所以A 至平面PCD 的距离为1.（1）解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题。

1 【精品】2019届高三数学年复习专题--立体几何专题训练附参考答案一、解答题 1.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥B-EFC 的体积； （3）求二面角P-EC-D 的正切值．2.如图，三棱柱ABF-DCE 中，∠ABC=120°，BC=2CD ，AD=AF ，AF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：BD ⊥EC ；（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF 的体积．3.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AA 1=2，E 为棱CC 1的中点． （1）求证：B 1D 1⊥AE ；（2）求三棱锥A-BDE 的体积．4.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M 在PC 上，且PA ∥面MBD ． （1）求证：M 是PC 的中点； （2）求多面体PABMD 的体积．25.已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，△PAB 是等边三角形，AB=2，PC= ，AB 的中点为E.（1）证明：PE ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥D-PBC 的体积．6.一块边长为10cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）试把容器的容积V 表示为x 的函数.（2）若x =6，求图2的主视图的面积.7.如图，矩形ABCD 中，BC=2，AB=1，PA ⊥平面ABCD ，BE ∥PA ，BE=PA ，F 为PA 的中点．（1）求证：PC ∥平面BDF ．（2）记四棱锥C-PABE 的体积为V 1，三棱锥P-ACD 的体积为V 2，求的值．8.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=2，AB=2 ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（Ⅱ）求锐二面角D-A 1C-E 的余弦值．9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E、F分别为AB和PC的中点，连接EF、BF．（1）求证：直线EF∥平面PAD；（2）求三棱锥F-PBE的体积．10.如图，梯形FDCG，DC∥FG，过点D，C作DA⊥FG，CB⊥FG，垂足分别为A，B，且DA=AB=2．现将△DAF沿DA，△CBG沿CB翻折，使得点F，G重合，记为E，且点B在面AEC的射影在线段EC上．（Ⅰ）求证：AE⊥EB；（Ⅱ）设=λ，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB 上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．12.如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=．（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．3413.如图在三棱锥A-BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD= ，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角B-AC-D 的余弦值； （3）点E 在直线AC 上，当直线ED 与平面BCD 成30°角若时，求点C 到平面BDE 的距离．14.如图所示，在边长为 的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．15.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M 为PC 的中点，点N 在线段AD 上．（I ）点N 为线段AD 的中点时，求证：直线PA ∥BMN ； （II ）若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为，求平面PBC 与平面BMN 所成角θ的余弦值．16.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求证： （1）AC 1⊥BD ；（2）AC 1∥平面BDE ．17.如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， （1）求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ； （2）求三棱锥B-CD 1B 1的体积．18.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC（2）求证：PB⊥AC．19.如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1，B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1，A1C1=A1A，∠C1A1A=，M为棱A1C1的中点．（I）若N为线段DC1上的点，且直线MN∥平面ADB1A1，试确定点N的位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值．20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．21.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．5622.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B 1-A 1BE 的体积；（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥面A 1BE ？若存在，试确定点F 的位置，并证明你的结论．23.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC=CA=AA 1=2，∠CAA 1=60°．（1）求证：AC 1⊥A 1B ；（2）求直线A 1B 与平面BAC 1所成角的正弦值．24.在图所示的几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD=AD=2EC=2，N 为线段PB 的中点． （1）证明：NE ⊥平面PBD ； （2）求四棱锥B-CEPD 的体积．25.已知梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE=x ．沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．G 是BC 的中点．（1）当x =2时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D-BCF 体积的最大值．26.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E=D 1F=4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．727.在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，∠ABF 为直角， ，，平面ABCD ⊥平面ABFE ． （1）求证：DB ⊥EC ；（2）若AE=AB ，求二面角C-EF-B 的余弦值．28.如图，四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ； （2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ．29.如图所示，四棱锥P-ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点，PC= ．（Ⅰ）求证：PC ⊥AD ；（Ⅱ）求三棱锥M-PAB 的体积．30.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD 且PO=6，M 为BD的中点．（1）证明：AD ⊥平面PAC ； （2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．31.如图，多面体EF-ABCD 中，ABCD 是正方形，AC 、BD 相交于O ，EF ∥AC ，点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．32.如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，且BC=CA=2，PC=PA ．（1）求证：PA ⊥BC ；8 （2）当PC 的值为多少时，满足PA ⊥平面PBC ？并求出此时该三棱锥P-ABC 的体积．33.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=AB ，AB ⊥BC ，且N 是A 1B 的中点．（1）求证：直线AN ⊥平面A 1BC ；（2）若M 在线段BC 1上，且MN ∥平面A 1B 1C 1，求证：M 是BC 1的中点．34.．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点． （1）求证：直线BD 1∥平面PAC （2）求证：平面PAC ⊥平面BDD 1B 1．35.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= ． （1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ； （2）若二面角M-BQ-C 大小的为60°，求QM 的长．36.如 图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、G 分别为 AB 、BB 1、B 1C 1 的中点． （1）求证：A 1D ⊥FG ；（2）求二面角 A 1-DE-A 的正切值．37.四棱锥P-ABCD 的直观图与三视图如图，PC ⊥面ABCD（1）画出四棱锥P-ABCD 的侧视图（标注长度） （2）求三棱锥A-PBD的9 体积．38.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为棱DD 1上一点．（1）求证：平面PAC ⊥平面BDD 1B 1；（2）若P 是棱DD 1的中点，求CP 与平面BDD 1B 1所成的角大小．39.如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°，M 是线段PD 上的一点（不包括端点）．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角D-PC-A 的正切值； （Ⅲ）试确定点M 的位置，使直线MA 与平面PCD 所成角θ的正弦值为．40.已知四棱锥P-ABCD 中，AD=2BC ，且AD ∥BC ，点M ，N 分别是PB ，PD 中点，平面MNC 交PA 于Q ． （1）证明：NC ∥平面PAB（2）试确定Q 点的位置，并证明你的结论．41.一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体10 积．42.如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）证明：BD ⊥CE ．43.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、G 、H 分别是BC 、C 1D 1、AA 1、的中点．（Ⅰ）求异面直线D 1H 与A 1B 所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG ∥平面BB 1D 1D ．44.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB=AD=AP=2CD=2，M 是棱PB 上一点． （Ⅰ）若BM=2MP ，求证：PD ∥平面MAC ； （Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B-AC-M 的余弦值为，求 的值．45.如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA 1=4点D 是AB 的中点． （1）求证：AC 1∥平面B 1DC ；11 （2）求三棱锥A 1-B 1CD 的体积．46.如图，以正四棱锥V-ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos ＜， ＞=-． （1）求的值；（2）求二面角B-VC-D 的余弦值．47.如图1，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=1，BC=2，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且DE=1，EC=2，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥ABED ．（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在边AB 上找到一点P （端点除外）使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．48.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，∠B 1A 1A=∠C 1A 1A=60°，AA 1=AC=4，AB=1． （Ⅰ）求证：A 1B 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）求三棱锥ABC-A 1B 1C 1的侧面积．49.在四棱锥中P-ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=AD 、E 、F ，分别为PC 、BD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若AB=2，求三棱锥E-DFC 的体积．1250.如图，四棱锥P-ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点 （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（Ⅱ）若直线PC 与平面PAD 所成角为45°，求二面角A-DE-C 的余弦值．51.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P ．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； （Ⅱ）求四棱锥P-BFDE 的体积．【答案】1.（1）证明：取PD 中点G ，连结GF 、AG ，∵GF 为△PDC 的中位线，∴GF ∥CD 且， 又AE ∥CD 且，∴GF ∥AE 且GF=AE ，13 ∴EFGA 是平行四边形，则EF ∥AG ， 又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ， ∴EF ∥面PAD ；（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，∵面PAD ⊥面ABCD ，△PAD 为正三角形，∴PO ⊥面ABCD ，且 ， 又PC 为面ABCD 斜线，F 为PC 中点，∴F 到面ABCD 距离，故；（3）解：连OB 交CE 于M ，可得R t △EBC ≌R t △OAB ， ∴∠MEB=∠AOB ，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM ⊥EC ．连PM ，又由（2）知PO ⊥EC ，可得EC ⊥平面POM ，则PM ⊥EC ， 即∠PMO 是二面角P-EC-D 的平面角，在R t △EBC 中，，∴， ∴，即二面角P-EC-D的正切值为．2.（Ⅰ）证明：三棱柱ABF-DCE 中，AF ⊥平面ABCD ．∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥BD ， 又ABCD 是平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°． ∵BC=2CD ，故∠BDC=90°．故BD ⊥CD ． ∵ED∩CD=D ，∴BD ⊥平面ECD ． ∵EC ⊂平面ECD ， ∴BD ⊥EC ；（Ⅱ）解：由BC=2CD ，可得AD=2AB ，∵AB=1，∴AD=2，作BH ⊥AD于H ，∵AF ⊥平面ABCD ，∴BH ⊥平面ADEF ，又∠ABC=120°， ∴BH=，∴．3.解：（1）证明：连接BD ，则BD ∥B 1D 1， ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ． ∵CE ⊥面ABCD ， ∴CE ⊥BD ． 又AC∩CE=C ， ∴BD ⊥面ACE ． ∵AE ⊂面ACE ， ∴BD ⊥AE ，∴B 1D 1⊥AE ．-----------（6分）（2）S △ABD =2 △．-----------（12分） 4.证明：（1）连AC 交BD 于E ，连ME ．14∵ABCD 是矩形，∴E 是AC 中点．又PA ∥面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线， ∴PA ∥ME ，∴M 是PC 的中点． 解：（2）取AD 中点O ，连OC ．则PO ⊥AD ， 由平面PAD ⊥底面ABCD ，得PO ⊥面ABCD ，∴ ， ，∴ ， ∴ ， ，∴．5.证明：（1）由题可知PE ⊥AB ，CE ⊥AB ． ∵AB=2，∴PE=CE= ．又∵PC= ，∴PE 2+EC 2=PC 2， ∴∠PEC=90°，即PE ⊥CE ． 又∵AB ，CE ⊂平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ；解：（2）S △BCD =×22×sin 120°= ，PE= ． 由（1）知：PE ⊥平面ABCD ，V P-BCD =•S △BCD •PE=1．∵V D-PBC =V P-BCD ，∴三棱锥D-PBC 的体积为1． 6.解：（1）设所截等腰三角形的底边边长为x cm ． 在R t △EOF 中，EF=5cm ，OF=x cm ，所以EO=． 于是V=x 2（cm 3）．依题意函数的定义域为{x |0＜x ＜10}．（2）主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，底边上的高为四棱锥的高=EO==4，S==12（cm 2）7.（1）证明：连结BF ，连接BD 交AC 与点O ，连OF ， 依题得O 为AC 中点，又F 为PA 的中点， 所以OF 为△PAC 中位线，所以OF ∥PC因为OF ⊂平面BDF ，PC ⊄平面BDF 所以PC ∥平面BDF ． ∴V 1=梯形 =（2）解：设BE=a ，则PA=2BE=2a ， V 2=△ =（a +2a ）×1×2=a ． =． ∴．8.解：（Ⅰ）连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结DO ，则O 为AC 1的中点，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥BC 1，又因为OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD…（4分） （Ⅱ）由 ， ，可知AC ⊥BC ，以C 为坐标原点，方向为x 轴正方向， 方向为y轴正。

专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。

[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。

[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。

［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。

［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。

第讲空间几何体的表面积和体积
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．
考点圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
考点柱、锥、台和球的表面积和体积
[必会结论]
．与体积有关的几个结论
()一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
()底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
．几个与球有关的切、接常用结论
()正方体的棱长为，球的半径为，
①若球为正方体的外接球，则＝；
②若球为正方体的内切球，则＝；
③若球与正方体的各棱相切，则＝.
()若长方体的同一顶点的三条棱长分别为，，，外接球的半径为，则＝.。

2019年高考数学命题热点解析理科专题20【空间几何体的表面积和体积解题方法】一．【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．二．【知识要点】1.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．3.有关斜二测画法的常用结论与方法S. (1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝24 (2)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.4.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.5..特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.三．高考题型典例及训练（一）空间几何体例1．如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是____．练习1．已知四面体P ABC-中，4PA=，AC=，，PA⊥平面PBC，则四面体P ABC-的内切球半径为__________．【答案】3 4【解析】由题意，已知PA⊥平面PBC ，，所以，由勾股定理得到，即PBC∆为等边三角形，ABC∆为等腰三角形，可求得四面体的体积为根据等体积法有：，几何体的表面积为所以，可解得34r =.点睛：本题考查了组合体问题，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征，三棱锥锥的体积计算与体积的分割等知识点的应用，其中充分认识空间组合体的结构特征，以及等体积的转化是解答此类问题的关键.练习2．如图，在棱长为4的正方体中，E ，F 分别为AB 、1DD 的中点，点P 是1DD 上一点，且PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的体积为____________.【答案】6【解析】连接BD 交CE 于O ，则，连接OF ，则当BP OF 时，PB 平面CEF ，则12PF FD =，∵F 是1DD 的中点，14DD =，∴3DP =，又四棱锥P ABCD -外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，∴三棱锥P ABC -外接球的直径为，则所求体积为41416.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.（三）旋转体问题例3．已知等腰三角形的周长为2p，问绕这个三角形的底边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积最大时，这个三角形的底边长为_________________．【答案】p2【详解】如图，设AB=AC=x，则底边长为，绕底边所在直线旋转一周所形成的几何体可以看成两个相同圆锥的组合体，圆锥的高BD=p−x，底面半径，则圆锥的体积为，所求几何体的体积为，所以，令V'(x)=0，解得x=3p4，易得x=3p4是函数V(x)的定义域内的唯一极值点，也是最大值点，因此当腰长为3p4，底边长为p时，旋转体的体积最大．故这个三角形的底边长为p．【点睛】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，利用导数解决最值问题是常用的方法，属于中等题．练习1．圆(x-l)2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为________.【答案】8π【解析】∵圆∴圆心为() 1,0∵直线恒过圆心() 1,0∴旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径∴故答案为8π.点睛：本题考查几何体的表面积的求法及圆、球等基础知识，解答本题的关键是直线恒过已知圆的圆心，从而可知圆绕直线旋转一周后所得的几何体是球，进而求出球的半径．练习2．下列结论不正确的是________（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.【答案】①②③【解析】①错误，如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.②错误，如图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体不是圆锥.③错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.④正确，符合圆锥曲线母线的定义，故错误的是①②③.考点:旋转体的结构特征.（四）投影问题例4．如图所示，棱长为1的正方体中，若E，F分别为AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的投影的面积的最大值为______．【答案】14【解析】看出空间四边形AEFG在该正方体的各个面上的投影，看出投影的形状和大小，有两个能够直接做出面积，不能直接作出面积的用正方形面积减去去掉的面积，比较得到结果．【详解】空间四边形AEFG在该正方体的上、下面上的投影是一个等腰三角形，腰长是52，底边长是22，故这个投影的面积是．空间四边形AEFG在该班方体的前、后面上的投影是一个四边形，它的面积是；空间四边形AEFG 在该正方体的左、右面上的投影是一个三角形，它的面积是1×1×1=1．故答案为：14练习1．半径为R 的球O 放置在水平平面α上，点P 位于球O 的正上方，且到球O 表面的最小距离为R ，则从点P 发出的光线在平面α上形成的球O 的中心投影的面积等于__________．【答案】23πR 【解析】轴截面如图1所示，，中心投影的面积为23πR．故答案为：23Rπ练习2．如图，在棱长为1的正方体中，,M N 分别是1,BB BC 的中点，则图中阴影部分在平面11ADA D 上的投影的面积为_______．【答案】18【解析】图中点M 在平面的投影是1AA 的中点，点N 在平面的投影是AD 的中点，点D 的投影还是点D ,连接三点的三角形的面积是，故填：18.（五）直观图例1．已知水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，则原△ABC 的面积为______．【答案】8【解析】根据“斜二测画法”原理还原出△ABC，利用边长对应关系计算原△ABC的面积即可．【详解】根据“斜二测画法”原理，还原出△ABC，如图所示；由B′O′＝C′O′＝2，∠B'A'C'＝90°，∴O′A′=12B′C′＝2，∴原△ABC的面积为S=12BC×OA=12×4×4＝8．故答案为：8练习1．如图所示，ΔA'O'B'表示水平放置的ΔAOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'=2，则ΔAOB的OB边上的高为______．【答案】42【点睛】本题考查了平面图形的直观图，画水平放置的平面图形的直观图时，在原系下在坐标轴上或平行于坐标轴的线段，在新系下仍在坐标轴上或平行于坐标轴，横轴的长度不变，纵轴的减半．练习2．如下图所示,梯形A1B1C1D1是水平放置的平面图形ABCD的直观图(斜二测画法),若A1D1//O1y',A1B1//C1D1,,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是__________.【答案】5【解析】根据斜二测画法知，四边形ABCD是上底为2下底为3，高A1D1=2的直角梯形，利用梯形公式即可求解.【详解】由直观图知，四边形ABCD中，AB//CD,,因为A1D1//O1y'，所以AD⊥CD，且AD=2,根据梯形面积公式，故填5.格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为__________．【答案】【解析】首先还原几何体，然后计算表面积．【详解】由三视图得到几何体如图：是正方体的一部分，四棱锥P-ABCD，所以几何体的表面积为故答案为：．练习2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．【答案】16+213π【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.（七）柱、锥、台的体积例7．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_________．【答案】2+π2【解析】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为14个圆柱，中间为一个长方体，分别利用圆柱和长方体的体积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为14个圆柱，中间为一个长方体，由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积，圆柱的底面半径为1，高为1，则14圆柱体的体积，则该几何体的体积.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.练习1．四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是__________cm3．【答案】12【解析】首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积．【详解】由三视图得到几何体如图：体积为12；故答案为：12【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.练习2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝12，则下列结论中正确的序号是_____．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值【答案】①②④【解析】利用线面垂直的性质判断①正确，利用线面平行的判定定理判断②正确，利用同底不同高判断③错误，利用等底等高证明④正确.【详解】由于，故AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，所以①正确.由于EF//BD，所以EF//平面ABCD，故②正确.由于三角形AEF和三角形BEF的底边都是EF，而高前者是A到EF 的距离，后者是B到EF的距离，这两个距离不相等，故③错误.由于三棱锥A−BEF的底面三角形ΔBEF的面积为定值.高是A点到平面BEF也即A点到平面BDD1B1的距离也是定值，故三棱锥A−BEF的体积为定值.故④正确.综上所述，正确的时①②④.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.（八）组合体的表面积例8．如图,用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为_______．【答案】32+12【解析】先求得球的半径，画出组合体截面的图像，通过构造直角三角形来求得蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离.【详解】根据球的体积公式，有.题目所给图中，虚线的小正方形的边长为1，其一半为r=12，四个等腰直角三角形斜边上的高为12.画出截面图形如下图所示，其中，故.所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为.【点睛】本小题主要考查球体和其它几何体组合的问题，解题的策略是通过截面图，构造直角三角形来求解.属于中档题.练习1．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B−A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC−A1B1C1的外接球的体积为________．【答案】82π3【解析】由AC⊥BC，A A1＝AB＝2，得到“阳马”B﹣A1ACC1体积V，AC2+BC2＝4，从而BC×AC4，当且仅当BC＝AC=2时取等号，从而当“阳马”B﹣A1ACC1体积最大时，BC＝AC=2，由此能求出“堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的半径，进而求得体积．【详解】∵“堑堵”ABC−A1B1C1，AC⊥BC，A A1＝AB＝2，∴“阳马”B﹣A1ACC1体积V，∵AC⊥BC，A A1＝AB＝2，∴AC2+BC2＝4，∴BC×AC4，当且仅当BC＝AC=2时取等号，∴当“阳马”B﹣A1ACC1体积最大时，BC＝AC=2，∴堑堵的底面是直角三角形，∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的球心在面A1ABB1的中心处，∴外接球的半径设为R，则R=2∴V＝43πR3=82π3．故答案为82π3．【点睛】本题考查棱柱外接球体积的求法，考查“阳马”的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．练习2．如图所示的几何体是一个五面体，四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=2，且MN//AB，MN=3，ΔADM与ΔBCN都是正三角形，则此五面体的体积为_______．【答案】11116【解析】将五面体补全为直三棱柱ADE−BCF，根据五面体的几何特征，求三棱柱底面积，再用割补法求五面体体积【详解】如图，将五面体补全为直三棱柱ADE−BCF，因为AB=4，BC=2，且MN//AB，MN=3，ΔADM 与ΔBCN都是正三角形，所以NF⊥BF，BN=2，NF=12，所以，取BC中点O，则，所以，故五面体的体积为：【点睛】不规则几何体体积的求法，关键是将几何体看作是多个规则几何体如柱、锥、台、球的组合体，利用割补法求解，注意运算的准确性。

专题55 立体几何 空间几何体的表面积和体积【考点讲解】一、具本目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 二、知识概述： 1.体积公式：柱体：h S V ⋅=，圆柱体：h r V ⋅=2π。

斜棱柱体积：l S V ⋅'=（其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；锥体：h S V ⋅=31， 圆锥体：, 台体：圆台体：, 球体：334r V π=。

正方体的体积 3a V = ；正方体的体积 abc V =. 2.侧面积：直棱柱侧面积：h c S ⋅=，斜棱柱侧面积：l c S ⋅'=；正棱锥侧面积：h c S '⋅=21，正棱台侧面积：；圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，圆台侧面积：，球的表面积：24r S π=。

3.几个基本公式：弧长公式：r l ⋅=α（α是圆心角的弧度数，α>0）；扇形面积公式：r l S ⋅=21； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：πθ2⋅=lr； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：；球面上两点间的距离公式：r l θ=。

4.几何体的表面积：圆柱的表面积 ；圆锥的表面积；圆台的表面积球体的表面积 24R S π=.柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．4.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【真题分析】1.【2015高考课标2】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=900,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π-【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时，R=，则球O的表面积为，故选C．故6【答案】C2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.【答案】C3.【2016高考新课标3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18+B.54+【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：，故选B ． 【答案】B4.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π【解析】本题的考点是根据三视图还原立体图形后求体积的问题，由三视图可知，原立体图形是一个组合体，是圆锥的一半与一个三棱锥的组合，圆锥的底面半径是1，三棱锥的底面是以2为底边的等腰直角三角形，两锥体的高是3.体积为.【答案】A5.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【解析】由三视图可知长方体的长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径是，高也为1.长方体的体积为，圆柱一半的体积为：.几体的体积为：【答案】22π+6.【2018年天津卷】已知正方体的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.【解析】根据题中给出的条件，要求四棱锥的体积，首先要求出四棱锥的底面积，然后求出四棱锥的高.观察图形可得底面四边形EFGH 的正方形，面积为.顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =，所以四棱锥M EFGH -的体积为.【答案】1127．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【解析】先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，所以该多面体的体积为.【答案】438．【2018年全国卷II 】已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【解析】本题先要根据三角形的面积公式求出母线的长，再根据母线与底面所成角求出圆锥的底面半径，最后求出圆锥的侧面积.由母线,SA SB 所成角的余弦值为78，可求得母线,SA SB 由SAB ∆的面积为l ，可知l SA SB ==，由三角形的面积公式可得，所以可得2=80l ，又因为SA 与圆锥底面所成角为45°，底面半径为，圆锥的侧面积为.【答案】【模拟考场】1. 【2015高考新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 【答案】D2.，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【解析】因底面边长为3,故底面中心到顶点的距离是1,即球的截面圆的半径为1,所以,其表面积为,故应选B.【答案】B3.【2015高考课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）A.1B.2C.4D.8【解析】由正视图与俯视图可以看出，此几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱与球的半径都是r，圆柱的高为2r，表面积为.可得=2r.【答案】B4.【原题】（必修2第28页习题1.3第3题）如图将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。

高中数学立体几何中求体积技巧分享在高中数学中，立体几何是一个重要的章节，其中求解体积是一个常见的问题。

本文将分享一些求解体积的技巧，帮助高中学生更好地应对这类题型。

一、立体几何中的体积公式在求解体积问题时，我们首先需要掌握各种几何体的体积公式。

下面是一些常见几何体的体积公式：1. 直角三棱锥的体积公式：V = 1/3 * 底面积 * 高2. 直角四棱锥的体积公式：V = 1/3 * 底面积 * 高3. 圆柱的体积公式：V = 底面积 * 高4. 圆锥的体积公式：V = 1/3 * 底面积 * 高5. 球的体积公式：V = 4/3 * π * 半径³6. 圆环的体积公式：V = π * (外圆半径² - 内圆半径²) * 高二、应用体积公式解题在实际解题中，我们需要根据题目的要求，选择合适的体积公式进行计算。

下面通过一些具体的例题，来说明如何应用体积公式解题。

例题1：一个圆锥的底面半径为3cm，高为5cm，求其体积。

解析：根据圆锥的体积公式，我们可以直接代入底面半径和高进行计算。

V = 1/3 * π * 3² * 5≈ 47.1 cm³例题2：一个直角三棱锥的底面边长为4cm，高为6cm，求其体积。

解析：根据直角三棱锥的体积公式，我们可以直接代入底面积和高进行计算。

V = 1/3 * 4² * 6= 32 cm³例题3：一个圆柱的底面半径为2cm，高为8cm，求其体积。

解析：根据圆柱的体积公式，我们可以直接代入底面积和高进行计算。

V = π * 2² * 8≈ 100.5 cm³通过以上例题，我们可以看到，在解题过程中，首先要明确所给几何体的类型，然后选择合适的体积公式进行计算。

同时，注意单位的转换，确保最终的答案是符合题目要求的。

三、举一反三，应用解题技巧除了直接应用体积公式进行计算外，我们还可以通过一些解题技巧，更加灵活地解决立体几何中的体积问题。

姓名，年级：时间：9.6 空间几何的体积表面积平行垂直综合运用求体积常见方法①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积;③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法:通过补形化归为基本几何体的体积；考向一直接法【例1】如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形,侧面ACC1A1为正方形，侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；(2)若AB＝2,∠ABB1＝60°，求三棱锥C1－COB1的体积．【答案】（1)详见解析；（2 【解析】(1）因为侧面11ABB A ⊥侧面11ACC A ,侧面11ACC A 为正方形,所以AC ⊥平面11ABB A ，1A B AC ⊥, 又侧面11ABB A 为菱形,所以11A B AB ⊥，所以1A B ⊥平面1ABC 。

（2）因为11//AC AC ,所以,11//AC 平面1ABC ,所以，三棱锥11C COB -的体积等于三棱锥11A COB -的体积； 1A B ⊥平面1ABC ，所以1AO 为三棱锥11ACOB -的高， 因为12,60AB ABB =∠=︒，111112122COB S OB CA ∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以111111133C COB COB V AO S -∆=⨯⨯== 【举一反三】1。

．如图，在三棱台ABC −A 1B 1C 1中,AB =BC =BB 1=4,A 1B 1=B 1C 1=2，且B 1B ⊥面ABC ，∠ABC =90°，D,G 分别为AC,BC 的中点,E,F 为A 1C 1上两动点，且EF =2.（1）求证：BD ⊥GE ;（2）求四面体B −GEF 的体积。

【答案】见解析【解析】（1）取AB 的中点O ,连接OG,OA 1,C 1G ,∵AB =BC ,D 为AC 的中点， ∴BD ⊥AC ,又AC//A 1C 1,∴BD ⊥A 1C 1，∵BG//B 1C 1，且BG =B 1C 1，∴四边形BGC 1B 1为平行四边形，∴GC 1//BB 1，同理，四边形OBB1A1为平行四边形,∴GC1//OA1。

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.一、柱体、锥体、台体的表面积 1．旋转体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体、锥体、台体的体积公式3．必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 三、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R . 2．球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是2a ；与正方体所有棱相切的球的半径是2a ．（2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h（3）若正四面体的棱长为a ；正四面体的外接球半径；与正四面体所有棱相切的球的半径是4a ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．考向一 柱体、锥体、台体的表面积1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例1 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．32πD ．28π【答案】D【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．典例2 若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，1AC 与底面ABCD 成45°角，则三棱锥1B ACC -的表面积为A ．6+B ．4+C ．8D ．10【答案】A【解析】由1AC 与底面ABCD 成45°角，且正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，可知棱柱的高为1B ACC -的表面积为11112232222 3.2222⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+故答案为A.1．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为A．992B．61C．62 D．732．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为A．192 B．186C．180 D．198考向二柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面求几何体体积的一种方法，多用解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例3 如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为A BC D【答案】A典例4 如图，几何体中，平面，是正方形，为直角梯形，，，△ACB是腰长为的等腰直角三角形．（1）求证：；（2）求几何体的体积.【解析】（1）因为△ACB 是腰长为的等腰直角三角形，所以. 因为平面，所以.又，所以. 又，所以平面. 所以. （2）因为△ABC 是腰长为的等腰直角三角形，所以，所以.所以，由勾股定理得，因为平面， 所以.又， 所以平面.所以13△几何体几何体几何体四边形=ABC EF ABCD A CDEF F ACB CDEF V V V S AD S CF CD DE AD ---=+⋅+⋅⋅⋅=+11111162222323323AC BC CF ⨯⋅⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=.3．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则A ．122V V >B ．122V V =C ．12163V V -=D ．12173V V -=4．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中点，13BB =，1AB =160CBB ∠=︒. （1）求证：AM ⊥平面11BCC B ； （2）求斜三棱柱111ABC A B C -的体积.考向三 球的表面积和体积1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：d =典例5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．8π B ．12π C ．20πD ．24π【答案】C【解析】如图，由题可知，底面△ABC 为直角三角形，且则BC ==，则球O的直径25,5B C R=∴=O 的表面积24π20πS R ==.故选C.典例6 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．500π3cm 3B ．866π3cm 3C ．1372π3cm 3D ．2048π3cm 3【答案】A5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π6．三棱锥A −BCD 的所有顶点都在球的表面上，平面，2BC BD ==，2AB CD ==，则球O 的体积为A ．64πB ．128π3 C ．64π3D ．256π3考向四 空间几何体表面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.典例7 如图,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,A 1A =AB =2.（1）求证：BC ⊥平面A 1AC ;（2）求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.【解析】（1）因为C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,且AB 是圆柱底面圆的直径, 所以BC ⊥AC .因为AA 1⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 所以AA 1⊥BC . 又AA 1∩AC =A , 所以BC ⊥平面AA 1C .（2）方法一：设AC =(0<<2), 在Rt △ABC 中,BC =, 故S △ABC ×AA 1=×AC ×BC ×AA 1=13.因为0<<2,0<2<4, 所以当2=2,即=时,三棱锥A 1-ABC 的体积取得最大值23. 方法二：在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2=4, 从而S △ABC ×AA 1=×AC ×BC ×AA 1=13AC ×BC ≤,当且仅当 AC =BC =时等号成立.所以三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为23.7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为A ．17π4B ．21π4C ．4πD ．5π1．这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A．12πB．18πC．36πD．6π2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．1 B．2C．3 D．63．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．60 B．72C．81 D．1144．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺） A ．24642 B ．26011 C ．52022D ．780336．某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．60πB ．75πC ．90πD ．93π7．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是10+A ．3 B ．3C ．3D ．838．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，∥AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．9．将若干毫升水倒入底面半径为4cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是__________cm.10．正三棱锥的高为1，底面边长为的表面积是 ．11．如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，平面QD ABCD ⊥，∥PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===.（1）求证：平面平面PAB QBC ⊥； （2）求该组合体QPABCD 的体积.1．（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是俯视图正视图A ．2B ．4C ．6D ．82．（2018年高考新课标Ⅲ理科）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A．B． C．D．3．（2017新课标全国Ⅱ理科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π4．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π45．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 6．（2016新课标全国Ⅰ理科）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．（2016山东理科）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为A ．12+π33B ．1+π33C ．1+π36D ．1+π68．（2016四川理科）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .9．（2016浙江理科）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.10．（2017山东理科）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.11．（2017天津理科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．12．（2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是.13．（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．14．（2018天津卷理）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .15．（2018新课标II 理科）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．1．【答案】C2．【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为263，，，下部分为长方体，棱长分别为663，，，其表面积为()4632662623192S =⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=. 故选A.【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算. 3．【答案】D【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4．【解析】（1）如图，连接1B M ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，所以AM BC ⊥，且AM = 因为13BB =，160CBB ∠=，1BM =，【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得AM BC ⊥；由各边长度，结合余弦定理，可求得1B M 的值，再根据勾股定理逆定理可得1AM B M ⊥，从而可证AM ⊥平面11BCC B ；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解. 5．【答案】A【解析】由三视图知：几何体是球体切去14后余下的部分，球的半径为2，∴几何体的表面积S =（1﹣14）×4π×22+π×22=16π．故答案为A. 【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法. 6．【答案】D【解析】因为2BC BD ==，CD =，所以(2222212πcos ,22223CBD CBD +-∠==-∴∠=⨯⨯，因此三角形BCD 的外接圆半径为122sin CD CBD⋅=∠, 设外接球O 的半径为R ，则32224256=2+41216,=ππ.233AB R S R =+=∴=（）故选D. 【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD 外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果. 7．【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，故选B ．【名师点睛】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的表面积后可求出最小值．（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球研究三棱锥的外接球的问题．1．【答案】A【解析】=，所以该球的表面积是24π12πS ==，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果. 2．【答案】B【解析】由题意可知该几何体的形状如图：1AC =，2CD =，3BC =，AC CD ⊥，四边形BCDE 是矩形，AC BC ⊥，所以该几何体的体积为：123123⨯⨯⨯=．故选B ．【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键． 3．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为12，底面周长为16，棱柱的高为3，故柱体的表面积S =2×12+16×3=72.6．【答案】B【解析】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，其面积分别为：圆柱侧面积：16π742πS =⨯=，圆锥侧面积：216π15π2S =⨯=， 半个球面的面积：2314π318π2S =⨯⨯=，所以表面积为75π.故选B. 【名师点睛】本题主要考查表面积的计算，通过三视图确定表面积，注意熟练掌握面积公式，还原时注意部分面已经不存在，不要多求面积.根据题意可知该图形的表面积应包含圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，共三部分，分别根据相应的面积公式即可求出结果.7．【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ABCD -，其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以该几何体的表面积为211222221022S x =+⨯⨯+⨯⨯=+，解得x =所以该几何体的体积21233V =⨯=，故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关应用几何体的三视图求其体积的问题，解题的思路就是根据三视图还原几何体，利用其表面积公式求得对应的高，之后借助于椎体的体积公式求得结果.8【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，9．【答案】4【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为h tan30°=3h ,则由π×42×8=×)2× πh ,解得h =4.10．【答案】(85π-【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 求出R ，以球心的位置特点抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法． 11．【解析】（1）∵平面QD ABCD ⊥，∥PA QD ， ∴平面PA ABCD ⊥， 又∵平面BC ABCD ⊂， ∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，平面PA PAB ⊂，平面AB PAB ⊂，PA AB A =，∴平面BC PAB ⊥， 又∵平面BC QBC ⊂， ∴平面平面PAB QBC ⊥.（2）连接BD ，过B 作BO AD ⊥于O ， ∵PA ⊥平面ABCD ，平面BO ABCD ⊂， ∴PA BO ⊥，又BO AD ⊥，平面AD PADQ ⊂，平面PA PADQ ⊂，PA AD A =，∴平面BO PADQ ⊥，∵2AD AB ==，60DAB ∠=︒， ∴△ABD 是等边三角形，1．【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()112226,2⨯+⨯⨯=选C. 【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等. 2．【答案】B【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点D 在平面ABC 上的射影为三角形ABC 的重心时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到23BM BE ==再由勾股定理得到OM ，进而得到结果，属于较难题型. 3．【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 4．【答案】B【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.5．【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为21113(21)13222Vπ⨯π=⨯⨯+⨯⨯=+，选A．【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．6．【答案】A【解析】该几何体的直观图如图所示.该几何体是一个球被切掉左上角的18后剩余的部分,设球的半径为R ,则37428ππ833V R =⨯=,解得2R =,所以它的表面积是78的球面面积与三个扇形面积之和,即2271=4π2+3π2=17π84S ⨯⨯⨯⨯表面积．故选A ．7．【答案】C，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为3114111π323236⨯⨯+⨯=+，选C.8．【答案】3【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，所以，该三棱锥的体积为1122132V =⨯⨯⨯=. 【名师点睛】本题考查三视图和几何体的体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．9．【答案】72，32【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．10．【答案】π22+ 【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+. 【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11．【答案】92π 【解析】设正方体的边长为a，则2618a a =⇒=23R ==，故这个球的体积34π3V R ==4279ππ382⨯=． 【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．12．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．13．【答案】43【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常。

2019高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积 1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh 体积：πR&sup2;h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR&sup2;+πR[(h&sup2;+R&sup2;)的平方根] 体积：πR&sup2;h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a&sup2; ,V=a&sup3;4、长方体a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc5、棱柱S-底面积 h-高 V=Sh6、棱锥S-底面积 h-高 V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积 ,S2-下底面积 ,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径 ,h-高 ,C—底面周长S底—底面积 ,S侧—侧面积 ,S表—表面积 C=2πrS底=πr&sup2;,S侧=Ch ,S表=Ch+2S底 ,V=S底h=πr&sup2;h10、空心圆柱R-外圆半径 ,r-内圆半径 h-高 V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径 h-高 V=πr^2h/312、圆台r-上底半径 ,R-下底半径 ,h-高 V=πh(R&sup2;+Rr+r&sup2;)/313、球r-半径 d-直径 V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径 V=πh(3a&sup2;+h&sup2;)/6 =πh&sup2;(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径 h-高V=πh[3(r1&sup2;+r2&sup2;)+h&sup2;]/616、圆环体R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径V=2π2Rr&sup2; =π2Dd&sup2;/417、桶状体D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D&sup2;+d&sup2;)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D&sup2;+Dd+3d&sup2;/4)/15 (母线是抛物线形)。