寒假新时空人教版高二答案解析1
20120205
P10 的11：已知两定点A （2，5），B （-2，1），M 和N 是过原点的直线l 上两个动点，且，，如果直线和的交点在轴上，求，及点的
M N l AB AM BN C y M N C =22//坐标。
解： A B k AB （，），（，），25-∴=211
又，l AB k k l AB //∴==1由过原点得的方程为l l y x = ∵M ，N 在l 上，∴可设M （a ，a ），N （b ，b ） ()()22222
2
=-+-=b a b a MN 得：由
()∴-=-=
---a b A M y a a x 2552
2，直线的方程为
A M y a a 在轴上的截距为
32
- ∴-⎛
⎝
⎫
⎭
⎪C a a 032，
()又直线的方程为B N y b b x -=
-++112
2
∴+B N y b b 在轴上截距为
32
∴+⎛⎝
⎫
⎭
⎪C b b 032，
这样便有，即32
32
a a
b b a b -=
+=-
于是，即或a b a b a b a b -==-⎧⎨⎩
==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩2111
1
()()()()()()∴-----M N C M N C 111103111101，，，，，或，，，，，
P10 的12题直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的角平分线所在的直线，若A 、B 的坐标分别为A (－
4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．
解：设A (－4,2)关于直线y ＝2x 对称的点A ′的坐标是(m ，n )
由⎩
⎨⎧
2＋n 2＝－4＋m
2·2，2－n －4－m
·2＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝4，
n ＝－2，
即A ′的坐标是(4，
－2)，
由B 、A ′得BC 所在的直线方程，3x ＋y －10＝0，由
⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，
解得C 的坐标是(2,4)， 又∵k AC ′＝1
3
，k BC ′＝－3，
∴AC ′⊥BC ′，即△ABC ′是直角三角形．
P17 、4题
设F1（-c ，0）、F2（c ，0）是椭圆
12
22
2
=+y
x
（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是以F1F2为直径
的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，则椭圆的离心率为（ ）
A.
2
3 B.
3
6 C.
2
2 D.
3
2
P17、 6题 椭圆
19
25
2
2
=+
y
x
上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON|等于
A. 4
B.2
C.
2
3 D.8
故选A
P26 的11（1）
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；
（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π
.
1
A
（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E
（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=
2，
故.2
12
1,2
32
1522
11
=
⋅⋅=
=
-⋅⋅=
∆∆BC AE S S ACE C AD 而
.
31,2
3121,
3
13
1111=
∴⨯=
⨯∴⋅=
⋅=∴∆∆-h h h S DD S V C AD AEC AEC D
（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x
,
,,1,.
1,4
,2
1
1x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =∆∴+=
∆=∴=
∠∆中在中在中在 π
.
4
,32.
32543.
54,312
2
π
的大小为
二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---
=∴-
=⇒+-=
+
∴+-=
∆=∆
解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）
（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ， )1,0,1(1-=AD ，
设平面ACD 1的法向量为),,(c b a n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0,01AD n AC n
1
A
也即⎩⎨
⎧=+-=+-0
02c a b a ，得⎩⎨
⎧==c
a b a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为
.3
13
2
12||=
-+=
⋅=
n E D h
（3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE
由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,
0,
01x b a c b CE n C D n 令b=1, ∴c=2,a =2－x ，
∴).2,1,2(x n -= 依题意.2
25
)2(22
24
cos
2
11=
+-⇒
=
=
x π
∴321+=x （不合，舍去）
，322-=x .
∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4
π
.
P26 的12（2）
在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD
为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，
PA=2，E 为PD 的中点.
（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离. 【解析】解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、
B （3，0，0）、
C （3，1，0）、
D （0，1，0）、 P （0，0，2）、
E （0，
2
1，1），
从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则,14
737
23|
cos =
=
=
θ
∴AC 与PB 所成角的余弦值为14
73.
（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则
)1,2
1,
(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021
3,01.0)0,1,3()1,2
1,(,
0)2,0,0()1,21
,(.
0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧
==
163
z x
即N 点的坐标为)1,0,6
3(
，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，
6
3.。
