2019届人教B版(文科数学) 函数的最大(小)值与导数 单元测试

第2课时导数与函数极值、最值时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.设函数f(x)=+ln x,则()A. x=为f(x)的极大值点B. x=为f(x)的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点2.如图K14-1是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像,则下面判断正确的是()图K14-1A. 在(-2,1)上f(x)是增函数B. 在(1,3)上f(x)是减函数C. 当x=2时,f(x)取得极大值D. 当x=4时,f(x)取得极大值3.[2017·重庆第八中学月考]已知直线y=a与函数f(x)=x3-x2-3x+1的图像相切,则实数a的值为()A. -26或B. -1或3C. 8或-D. -8或4.[2017·成都模拟]函数f(x)=x3-4x2+4x的极小值是.5.若y=a ln x+bx2+x在x=1和x=2处有极值,则b-a= .能力提升6.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是()A. y=x3B. y=ln(-x)C. y=x e-xD. y=x+7.函数f(x)=x2-ln x的最小值为()A. B. 1C. 0D. 不存在8.已知函数f(x)=(2x-x2)e x,则()A. f()是f(x)的极大值也是最大值B. f()是f(x)的极大值但不是最大值C. f(-)是f(x)的极小值也是最小值D. f(x)没有最大值也没有最小值9.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是()A. [1,+∞)B.C. [1,2)D.10.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=()A. 1B. 2C.D.11.函数f(x)=x sin x+cos x+1(x∈[0,π))的最大值为.12.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是.13.(15分)[2018·合肥八中月考]已知函数f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间与极值;(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.14.(15分)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·衡水中学三调]已知函数g(x)=a-x2与h(x)=2ln x的图像上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是()A. B. [1,e2-2]C. -D. [e2-2,+∞)16.(5分)已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若对任意x1∈[1,2],存在x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.第2课时导数与函数极值、最值1. D[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+=-.当x=2时,f'(x)=0;当x>2时,f'(x)>0,函数f(x)为增函数;当0<x<2时,f'(x)<0,函数f(x)为减函数.所以x=2为函数f(x)的极小值点.故选D.2. C[解析] 由图可知,f'(-1)=0,f'(2)=0,f'(4)=0.当x∈(-1,2)或(4,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)为增函数;当x∈(-∞,-1)或(2,4)时,f'(x)<0,函数f(x)为减函数.所以x=2为函数f(x)的极大值点,x=-1和x=4为函数f(x)的极小值点.故选C.3. D[解析] 因为直线y=a与x轴平行,所以只需求出函数f(x)的极值.f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)=0,得x=-1或x=3,则f(-1)=,f(3)=-8.故选D.4. 0[解析] f'(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2).令f'(x)>0得x∈-∪(2,+∞),则f(x)在-,(2,+∞)上单调递增;令f'(x)<0得x∈,则f(x)在上单调递减.所以f(x)的极小值为f(2)=23-4×22+8=0.5.[解析] y'=+2bx+1.由已知得a+2b+1=0,且+4b+1=0,解得a=-,b=-,所以b-a=.6. D[解析] 由题可知,B,C选项中的函数不是奇函数,A选项中,函数y=x3单调递增,不存在极值,D选项中的函数既为奇函数又存在极值.故选D.7. A[解析] f'(x)=x-=-,x>0.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1.所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,所以f(x)min=f(1)=-ln 1=.8. A[解析] 由题意得f'(x)=(2-2x)e x+(2x-x2)e x=(2-x2)e x.当-<x<时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<-或x>时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以f(x)在x=处取得极大值f()=2(-1)>0,在x=-处取得极小值f(-)=2(--1)-<0.当x<0或x>2时,f(x)=(2x-x2)e x<0,当0<x<2时,f(x)=(2x-x2)e x>0,所以f()是f(x)的极大值也是最大值,f(x)无最小值.故选A.9. B[解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-,由f'(x)=0,得x=(负值舍去).由题意可知--解得1≤k<.10. A[解析] 因为f(x)是奇函数,且当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x∈(0,2)时,f'(x)=-a,令f'(x)=0得x=,又a>,所以0<<2.所以当x<时,f'(x)>0,f(x)在上单调递增;当x>时,f'(x)<0,f(x)在上单调递减.所以f(x)max=f=ln-a·=-1,解得a=1.11.+1[解析] ∵f'(x)=x cos x,∴当x∈时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈时,f'(x)<0,f(x)为减函数.∴f(x)max=f=+1.12. [-6,-2][解析] 当x=0时,对任意实数a,已知不等式恒成立.当x≠0时,令t=,①当0<x≤1时,原不等式等价于a≥--+=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞).令g(t)=-3t3-4t2+t,则g'(x)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),由于t≥1,故g'(x)<0,即函数g(t)在[1,+∞)上单调递减,则函数g(t)的最大值为g(1)=-6,则a≥-6.②当-2≤x<0时,原不等式等价于a≤--+=-3t3-4t2+1,t∈--.令g(t)=-3t3-4t2+t,则g'(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1).易知g(t)在区间--上的极值点为t=-1,且为极小值点,故函数g(x)在--上有唯一的极小值点,也是最小值点,则a≤g(-1)=-2.综上所述a∈[-6,-2].13.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+a-2a2x=---=--.①当a=0时,f(x)=ln x,f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,得x1=-,x2=,且x1<0<x2,则当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故当x=时,函数f(x)有极大值f=ln.③当a<0时,令f'(x)=0,得x1=-,x2=,且x2<0<x1,则当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈-时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故当x=-时,函数f(x)有极大值f-=ln--.(2)由(1)知当a>0时,f(x)在上单调递减,所以≤1,得a≥1;当a<0时,f(x)在-上单调递减,所以-≤1,得a≤-.综上所述a的取值范围为--∪[1,+∞).14.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值.当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0.则当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).15. B[解析] 依题意得a-x2=-2ln x,即-a=2ln x-x2,在上有解.设f(x)=2ln x-x2,则f'(x)=-2x=.因为≤x≤e,所以f(x)在x=1处有唯一的极大值点,也是最大值点.因为f=-2-,f(e)=2-e2,f(x)max=f(1)=-1,又f(e)<f,所以方程-a=2ln x-x2在上有解等价于2-e2≤-a≤-1,所以a的取值范围是[1,e2-2].16.-[解析] f'(x)=2x-,因为x1∈[1,2],所以f'(x1)≥0,所以f(x)在[1,2]上单调递增.易知g(x)在所给区间上单调递减.因为对任意x1∈[1,2],存在x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),所以只需f(x)min≥g(x)min即可,即f(1)≥g(1),解得m≥-.。

导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。

通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。

本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。

即，3x^2 - 12x + 9= 0。

通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。

然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。

当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。

综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。

解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。

根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。

将导数g'(x)置为零，求得极值点。

即，e^x - 4 = 0。

通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。

接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。

g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。

因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。

课时跟踪检测（十九） 函数的最大(小)值与导数层级一 学业水平达标1．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．小于0 C ．等于1D ．不确定解析： 选A 因为M ＝m ，所以f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0，故选A. 2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12，－8 B ．1，－8 C ．12，－15D ．5，－16解析：选A y ′＝6x 2－6x －12， 由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时，y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A. 3．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 4．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x 2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时，f ′(x )＞0， ∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.5．函数y ＝ln xx的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2D ．10解析：选A 令y ′＝(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln xx 2＝0⇒x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________． 解析：y ′＝12x －1＝1－2x 2x，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：147．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x ＞0)， ∴f (1)＝1e ＞0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，所以f (x )的最小值为0. 答案：08．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)． ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ，∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案：209．设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1， 则g ′(x )＝e x －1，由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．(－1,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1，故选B.2．若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 因为f (x )的图象始终在g (x )的上方，所以|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，设h (x )＝x 2－ln x ，则h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝2x 2－1x ＝0，得x ＝22，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以当x ＝22时有最小值，故t ＝22.4．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3，∴a ≥－3.5．设函数f (x )＝12x 2e x ，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0.答案：(－∞，0)6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解之得a ＝－12⎝⎛⎭⎫a ＝－32舍去；若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知，a ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， ∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0. 解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.8．已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解：函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。

5.3.2函数的最大(小)值与导数课后同步检测（基础卷） 一、单选题1. 函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1【解析】y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π. 2. 函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值 C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值【解析】f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(－1，1)上单调递减， 无最大值和最小值，也无极值.3. 当0<x <1时，f ()x ＝ln xx ，则下列大小关系正确的是( ) A.f 2()x <f ()x 2<f ()x B.f ()x 2<f 2()x <f ()x C.f ()x <f ()x 2<f 2()x D.f ()x 2<f ()x <f 2()x【解析】根据0<x <1得到0<x 2<x <1，而f ′()x ＝1－ln xx 2，所以根据对数函数的单调性可知，当0<x <1时，1－ln x >0， 从而可得f ′()x >0，函数f ()x 单调递增， 所以f ()x 2<f ()x <f ()1＝0，而f 2()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2>0，所以有f ()x 2<f ()x <f 2()x .4. 已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的连续可导函数，且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )，因为f ′(x )<g ′(x )，所以F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，所以F (x )在[a ，b ]上单调递减，所以F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).故选A.5. 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－3【解析】因为f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，所以f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以当x ＝0时，f (0)＝m 最大，所以m ＝3.因为f (－2)＝－37，f (2)＝－5，所以最小值为－37.6. 函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0) C. ⎝⎛⎭⎪⎫－43，＋∞ D. ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43【解析】设h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－2x 2＋3x ＋a ，则h ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －3)(x －1)，所以当x ∈(1,3)时，h (x )单调递减；当x ∈(3，＋∞)时，h (x )单调递增.当x ＝3时，函数h (x )取得最小值。

完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。

二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。

题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。

B。

C。

D。

5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。

B。

C。

D。

7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。

专题五导数与函数的最值基本知识点1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值：假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．例题分析一、求函数的最值例1(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36 C．12 D．0(2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－e B．－1 C．－e D．0(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．解析(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1．当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.(2)f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，得x＝1．当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1．当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x －3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2) 2∴当x ＝－3时，f (x )取最小值－60； 当x ＝－1或x ＝1时，f (x )取最大值4.答案 (1)D (2)B (3) 最小值－60；最大值4. 归纳总结：求函数最值的四个步骤： 第一步，求函数的定义域； 第二步，求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； 第三步，列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表；第四步，求极值、端点值，其中最大者便是最大值，最小者便是最小值． (对应训练一)求下列函数的最值．(1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－1,3]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．解析 (1)f (x )＝2x 3－12x ，∴f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)， 令f ′(x )＝0解得x ＝－2或x ＝ 2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因为f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82，所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值18.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]，解得x ＝23π或x ＝43π.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(对应训练二)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝__________.解析 f ′(x )＝－3x 2＋6x ，x ∈[－2,2]． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2， 当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )有极小值，也是最小值．∴f (0)＝m ＝1． 答案 1二、已知函数的最值求参数例2 已知函数f (x )＝ln x ＋a x ，若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解析 函数的定义域为[1，e]，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[1，e]上是增函数， f (x )min ＝f (1)＝ln 1＋a ＝32，∴a ＝32∉(－∞，1]，故舍去．②当1<a <e 时，令f ′(x )＝0得x ＝a ，函数f (x )在[1，a ]上是减函数，在[a ，e]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋a a ＝32.∴a ＝e ∈(1，e)，故符合题意．③当a ≥e 时，f ′(x )≤0，函数f (x )在[1，e]上是减函数，f (x )min ＝f (e)＝ln e ＋a e ＝32，∴a ＝12e ∉[e ，＋∞)，故舍去，综上所述a ＝ e.归纳总结：解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a 的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a 的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应的方程，从而得出参数的值．(对应训练一)若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b (a >0)，x ∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a 、b 的值．解析 f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3a (x 2－4x )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4，因为x ∈[－1，2]，所以x ＝0. 因为a >0，所以f (x )，f ′(x )随x 变化情况如下表：x(－(所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，所以当x＝2时，f(x)取最小值，则－16a＋3＝－29，所以a＝2，所以a＝2，b＝3.(对应训练二)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．解析h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表．当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.(对应训练三)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．解析依题意，显然a≠0.因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f′(x )＋－f(x ) －7a ＋b↗极大值↘－16a ＋b由上表知，当x ＝0时，f (x )取得最大值，所以f (0)＝b ＝3. 又f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，故f (－1)＞f (2)， 所以当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，a ＝2. (2)若a ＜0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1(－1,0)(0,2)2f′(x )－＋f (x )－7a ＋b↘极小值↗－16a ＋b所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，所以f (0)＝b ＝－29. 又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，故f (2)＞f (－1)． 所以当x ＝2时，f (x )取得最大值， 即－16a －29＝3，a ＝－2.综上所述，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.三、含参数的最值问题例3 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋2k ln x . (1)若k ＝－2，求函数的递减区间；(2)当k >0时，记函数g (x )＝f ′(x )，求函数g (x )在区间(0,2]上的最小值． 解析 (1)当k ＝－2时，f (x )＝(x ＋1)2－4ln x ，f ′(x )＝2x ＋2－4x (x >0)．由f ′(x )<0，得0<x <1.故函数的递减区间为(0,1)． (2)∵g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2k x ＋2∴g ′(x )＝2－2kx2.∵k >0，x ∈(0,2)，∴当k ≥4时，g ′(x )<0， g (x )在(0,2]上为减函数． 因此，g (x )有最小值g (2)＝k ＋6；当0<k <4时，在(0，k ]上g ′(x )<0，在[k ，2]上g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，k ]上为减函数，在[k ，2]上为增函数． 故g (x )有最小值g (k )＝4k ＋2.综上，当0<k <4时，g (x )在区间(0,2]上的最小值为4k ＋2；当k ≥4时，g (x )在(0,2]上的最小值为k ＋6.归纳总结：含参数的最值问题，由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性不同，从而导致最值的变化．因此，需要分类讨论.(对应训练)已知函数f (x )＝ln x x .(1)求f (x )在点(1，0)处的切线方程； (2)求函数f (x )在[1，t ]上的最大值．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1－ln xx 2. (1)f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －1. (2)令f ′(x )＝1－ln xx 2＝0，解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当1<t <e 时，f (x )在[1，t ]上单调递增，f (x )max ＝f (t )＝ln tt，当t ≥e 时，f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，t ]上单调递减，f (x )max ＝f (e)＝1e ，综上，f (x )max ＝⎩⎨⎧ln tt，1<t <e ，1e，t ≥e.四、导数的综合应用例4 设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解析 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． 即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0. ∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12.又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2，故a ＝2，b ＝－12，c ＝0. (2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． ∵f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，为－8 2.当x ＝3时，f (x )取得最大值，为18. (对应训练)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．解析 (1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由第一问知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1，2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.专题训练1．函数f (x )＝x 3－3x (－1<x <1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，但有最小值 解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．因为－1<x <1，所以x 2<1.所以3(x 2－1)<0，即f ′(x )<0. 所以f (x )是(－1，1)上的减函数，f (1)<f (x )<f (－1)， 故f (x )在－1<x <1时既无最大值，也无最小值，故选C.2．函数y ＝xex 在[0，2]上的最大值是( )A ．当x ＝1时，y ＝1eB ．当x ＝2时，y ＝2e 2C ．当x ＝0时，y ＝0D ．当x ＝12时，y ＝12e解析 因为y ′＝1－xe x，所以当y ′＝0时，x ＝1.又因为当0<x <1时，y ′>0， 当1<x <2时，y ′<0，所以x ＝1是y ＝x e x 的极大值点，所以在[0，2]上y max ＝1e .答案 A3．当函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为( ) A ．0 B ．π6 C ．π3 D ．π2解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x . 令x ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6. 答案 B4．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A ．2B ．1C ．233 D ．0解析 因为f (x )在x ＝π3处有最值，所以x ＝π3是函数f (x )的极值点．又因为f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x (x ∈R)，所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2. 答案 A5．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22解析 因为f (x )的图象始终在g (x )的上方，所以|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，设h (x )＝x 2－ln x ，则h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝2x 2－1x ＝0，得x ＝22，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以当x ＝22时有最小值，故t ＝22.6．函数f (x )＝x ·2x ，则下列结论正确的是( )A ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最大值B ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最小值C ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最大值D ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值解析 f ′(x )＝2x ＋x ·(2x )′＝2x ＋x ·2x ·ln 2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2.当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1ln 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－1ln 2，＋∞时，f ′(x )>0， 故函数在x ＝－1ln 2处取极小值，也是最小值． 答案 D7．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上取最大值时，x 的值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析 y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝12，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＝π6. 由y ′>0得sin x <12， ∴0≤x <π6；由y ′<0得sin x >12，∴π6<x ≤π2，∴原函数在⎣⎡⎭⎫0，π6上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π6，π2上单调递减．当x ＝0时，y ＝2，当x ＝π2时，y ＝π2，当x ＝π6时，y ＝π6＋3，∵π6＋3>2>π2，∴当x ＝π6时取最大值，故应选B. 答案 B8．若函数f (x )在区间[a ，b ]上满足f ′(x )>0，则f (a )是函数的最________值，f (b )是函数的最________值．解析 由f ′(x )>0知，函数f (x )在区间[a ，b ]上为增函数，所以f (a )为最小值，f (b )为最大值．答案 小 大9．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时的最大值，最小值分别是________． 解析 f ′(x )＝cos x －sin x ，令f ′(x )＝0，即tan x ＝1，而x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以x ＝π4.又f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， 所以x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，函数的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1. 答案 2，－110．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)．∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ，∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案 2011．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值． 解析 (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点， 代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4， ∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：11∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.答案 (1) a ＝2，b ＝－4 (2) 1312．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在[1e，e]上的最大值． 解析 (1)f ′(x )＝a x －2bx .由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0f （1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12. (2)由第一问，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x. 令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在(1e，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减， 所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为f (1)＝－12. 答案 (1) ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12(2) －12。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数——高一数学人教B 版(2019)必修第二册单元检测卷（A 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数为偶函数的是( ).A. B.D.2.设( )A. B. C.3.19世纪天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家法兰克·本福特重新发现了这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量b 进位制随机数据中，以n 开头的数出现的概率为律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，），则k 的值为( )A.2B.3C.4D.54.函数A. B.1y x-=y =2y x =3y x =a >=11a12a12130()log b bP n =2010()n kP n ==∑*∈N 20k ≤y =C.D.5.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为( ).6.设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点( )A. B. C.D.7.我们知道，比较适合生活的安静环境的声强级L （噪音级）为，声强I （单位：）与声强级L （单位：）的函数关系式为（a ，b 为常数）.某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为.若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为( )A. B. C. D.8.已知函数为R 上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数，其中且，则下列结论正确的是( )()y f x =(4,2)2(1)[()]f x f x --()y f x =1()y f x -=2()y x f x =-(2,3)1()y f x -=-(1,1)-(3,2)(1,0)(2,1)30~40dB 2/m W dB 10aL I b =⋅5.2210W /m -68dB 6.5210W /m -55dB 9210W /m -8210W /m -7210W /m -6210W /m -()f x 12(0,,)x x ∈-∞12x x ≠()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦a f =133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2log 5c f =-c b a<<b a c<<a b c<<a c b<<1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0a >1a ≠A.函数是奇函数B.方程在R 上有解C.函数的图象过定点D.当时，函数在其定义域上为增函数10.若（，）为函数图象上的一点，则下列选项正确的是( )A.为函数图象上的点B.为函数图象上的点C.为函数图象上的点D.为函数图象上的点11.已知幂函数的图象经过点，则( )A.函数为减函数B.函数为偶函数C.当时，D.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数为指数函数，则_________.13.已知函数若，则_________.14.已知幂函数的图象过点，则函数四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y （单位：微克）与时间t （单位：时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（，）图象的一部分.根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少()f x (9,3)()f x ()f x 4x ≥()2f x ≥21x x >>122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x ()0f x =()f x (0,1)1a >()f x (,)a b 0a >1a ≠2log y x =(,)b a 2x y =1,b a ⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =(,)b a -12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,2)a b 4log y x =()2()1(1)x f x a a a =+-+a =2ln 2ln 1,0,()3,0,x x x f x x ⎧+->⎪=-≤()2f a =a =()y f x =(4,2)y =[0,1.5)t ∈[1.5,6]t ∈log ( 2.5)5a y t =++0a >1a ≠于2微克时，治疗有效.（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y 与时间t 之间的函数关系式.（2）问服药多久之后开始有治疗效果，治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1，参考数据：）16.已知函数（1）若，，都有，求解关于a 的方程；（2）若函数的图象上存在关于直线对称的点，求实数a 的取值范围.17.已知幂函数的图象过点.（1）求实数n 的值；（2）设函数在上单调递减.18.已知函数.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）函数，若对任意满足的正数a ，b ，都有，求实数的取值范围.19.已知定义在R 上的函数.（1）当时，求的值域；（2）若函数在上单调递增，求实数m 的取值范围；()2()81m f x m x =-(,)m n -1.414≈142,0,()log ,0.xa x f x x x --⋅≤=>⎪⎪⎩1(,0]x ∀∈-∞2[1,)x ∈+∞()()12f x f x =((0))0f f =()f x y x =()()g x f x =()g x (0,1)(()ln f x x =()f x 2()42x x g x +=-1()f a fb ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()g a g b λ+≥λ1()42()x x f x m m m +=⋅--∈R 1m =()f x ()f x (1,)+∞（3）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是函数的局部对称点，求实数m 的取值范围.()y g x =0x ()()002g a x g a x b ++-=()g x (,)a b ()g x (1,0)()y f x =答案以及解析1.答案：C解析：A，D是奇函数，B是非奇非偶函数.2.答案：C3.答案：B解析：依题意，得，所以，故.4.答案：B解析：设的定义域为，且，故函数为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A，C；又当时，，，所以，排除D，故选B.5.答案：C解析：设幂函数，其图象过点，，.故，，，则，由，知，当6.答案：A解析：因为函数的图象过点，所以，解得，即的图象过点，所以的图象过点，的图象过点，所以11111155131533552222222a a a a a a a a⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=⋅⋅=⋅=⋅==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2010101010()()(1)(20)n kP n P k P k P==++++∑12211221lg lg lg lg120120k k k kk k k k++++⎛⎫=+++=⨯⨯⨯=⎪++⎝⎭22log7lg7log10==21lgk=lg73k=()f x=()f x{0}x x≠∣2ln||()()()2xf x f xx--==-+()f x(0,1)x∈ln||0x<220x+>()0f x<()af x x=(4,2)2422a a∴==12a∴=()0)f x x=≥2(1)[()]f x f x x--=t=0t≥21x t=+()21y t t=-+0t≥t=2()y x f x=-(2,3)22(2)3f-=(2)1f=()y f x= (2,1)1()y f x-=(1,2)1()y f x-=-(1,)2-的图象过点，故选A.7.答案：B解析：由题意可知解得所以，易得当L 越大时，I 越大，所以当时，达到安静环境要求下的I 取得最大值.故选B.8.答案：C解析：因为对任意，，均有成立，所以函数在上单调递减.因为函数为R 上的偶函数，所以，函数在上单调递增.因为，，所以所以，即.故选C.9.答案：ABD解析：的定义域为R ，且，故为奇函数，A 正确；，故方程在R 上有解，B 正确，C 错误；当时，函数在R 上单调递增，在R 上单调递减，故在R上单调递增，D 正确.故选ABD.10.答案：ABC解析：（，）为函数图象上的一点，()()22log 5log 5c f f =-=()f x (0,)+∞22log 5log 42>=313332833⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭132log 523>>>1()y f x -=-(1,1)-5.2686.5551010,1010,a ab b --⎧=⋅⎨=⋅⎩120.1,10,a b -=⎧⎨=⎩120.10.112101010L L I --=⋅=40L =()0.1401282max 1010 W /m I ⨯--==12,(,0)x x ∈-∞12x x ≠()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x (,0)-∞()f x ()132log 53f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭a b c <<1()x x f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11()()xxx x f x a a f x a a --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()f x 01(0)110f a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()0f x =1a >x y a =1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(,)a b 0a >1a ≠2log y x =，，则为函数图象上的点，故A 正确；，，则为函数图象上的点，故B 正确；，，则为函数图象上的点，故C 正确；，，故D 错误.故选ABC.11.答案：CD解析：设幂函数，则，解得，所以.，故在上为增函数，故A 错误；B 选项，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B 错误；C 选项，由A 可知，在上单调递增，故当时，，故C 正确；D 选项，当时，，又，D 正确.故选CD.12.答案：1解析：函数为指数函数，解得.13.答案：或e 或-25解析：若，则，即，即或，解得或；若，，即.2log a b ∴=2b a ∴=(,)b a 2x y =2log a b = 12211log log 1a b a -∴==-1,b a ⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =2ba = 122bba -⎛⎫∴== ⎪⎝⎭(,)b a -12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2log a b = 4211log log 222a ab b ∴==≠()f x x α=(9)93f α==12α=()f x =)+∞0>()f x [0,)+∞()f x ()f x ()f x [0,)+∞4x ≥12()(4)42f x f ≥==210x x >>()()22121222f x f x x x f +⎡⎤⎡+⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦122x x +=-0==<()f x ≥122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭()2()1(1)xf x a a a =+-+211,1011,a a a a ⎧+-=∴⎨+>+≠⎩且1a =3e -0a >()2f a =2ln 2ln 12a a +-=ln 3a =-ln 1a =3e a -=e a =0a ≤()32f a ==25a =-综上，或e 或-25.14.答案：解析：设幂函数.的图象过点，，，，即，的定义域为.15.答案：（1）（2）5.2小时解析：（1）当时，由题中图象可设，将点的坐标代入上述解析式，解得，即当时，.当时，将点的坐标代入，解得所以（2）令，解得或（舍去），故服药约0.3小时之后开始有治疗效果.令，即，解得.2124(1)4,0 1.5,log ( 2.5)5,1.56t ty t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩0 1.5t ≤<2(1)4y k t =-+(0,0)3e a -=1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()y f x x α==()f x (4,2)42α∴=α∴=()f x ∴=1(12)f x ∴=-20x ->12x <1(12)y f x ∴=-1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4k =-0 1.5t ≤<24(1)4y t =--+1.56t ≤≤(1.5,3)log ( 2.5)5a y t =++a =2124(1)4,0 1.5,log ( 2.5)5,1.5 6.t t y t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩24(1)42t --+=10.3t =-≈1 1.7t =≈12log ( 2.5)52t ++≥310 2.52t -⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2.5 5.5t -<≤又因为，所以.因为，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.16.答案：（1）（2）解析：（1）由题意知，因为为减函数，故.若，则时，，与矛盾，不符合题意，故.又，即，故，.，即，由在区间上单调递增，且，即所以方程的解集为.（2）因为曲线关于直线对称的曲线为，则函数的图象上若存在关于直线对称的点，即曲线与的图象在上有公共点，故，使，即在时成立.因为函数上单调递增，所以函数在上单调递增，当时，，当时，.1.56t ≤≤ 1.5 5.5t ≤≤5.50.3 5.2-={a a =-∣(1]-∞{()0}{()1}f x x f x x ≤=≥∣∣14log y x ={()1}(,0]f x x ≥=-∞∣0a ≤0x ≤0<≤20x a -⋅≥{()0}(,0]f x x ≤=-∞∣0a >(0)f =-0a ->0a <<14)log )0f a a -==1a -=1a =-0a -≤a ≥)0f a -=2x y a -=-⋅(,0]-∞{()0}(f x x ≤=-∞∣0a =a =((0))0f f ={a a =-∣14log y x =y x =14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x y x =14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y a -=-⋅(,0]-∞(,0]x ∃∈-∞124xxa -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2x a -=-(,0]x ∈-∞y =,0]-∞()2x g x -=-(,0]-∞x →-∞()g x →-∞0x =(0)1g =-所以，即a的取值范围为.17.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由函数是幂函数，得，解得当，显然此函数图象不可能过点，即符合题意；当时，函数，显然此函数图象可以过点，所以.（2）证明：由（1）知，函数.任取，且，则，由，得，且，则，即，所以函数在上单调递减.18.答案：（1）函数在R上单调递增.证明见解析（2）解析：（1）函数在R上单调递增.证明：对，则，则函数的定义域为R.又，即，故函数为奇函数.m=()f xx=121122f-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x x=1122()g x x x-=+=+12,(0,1)x x∈12x x<()()121g x g x⎛-==-⎝1201x x<<<01<<<0<<0<10< 1a≤-(1]-∞-n=()2()81mf x m x=-2811m-=m=±m=y=)+∞1,2n⎛⎫- ⎪⎝⎭m=12m=-y x=)+∞1,2n⎛⎫⎪⎝⎭10⎛>⎝()()12g x g x>()g x(0,1)()f x(,2]-∞-()f xx∀∈||x x>≥-0x+>()f x)(()()ln ln0f x f x x x-+=-++=()()f x f x-=-()f x任取，则，，因此，所以函数在区间上单调递增.又函数为R 上的奇函数，所以函数在R 上单调递增.（2）因为，在R 上单调递增，所以，即故，因为，当且仅当时等号成立，所以，因此，所以的取值范围为.19.答案：（1）（2）（3）解析：（1）当时，，令，则可转化为，即，的值域为.（2）令，，，则可转化为（）.在上单调递增，要使在上单调递增，120x x >≥((()1212x x x x +-=-+()()121210x x x x ⎛ =-+=-> ⎝1>()()120f x f x ->()f x [0,)+∞()f x ()f x 1()f a f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 10a b =>b =11221()()()4422a a a ag a g b g a g a ++⎛⎫+=+=+-- ⎪⎝⎭221112242222226a a a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1224aa+≥≥=1a =()()2g a g b +≥-2λ≤-λ(,2]-∞-[2,)-+∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦1m =1()421x x f x +=--20x t =>1()421x x f x +=--221(0)y t t t =-->2(1)22y t =--≥-()f x ∴[2,)-+∞2x t =1x > 2t ∴>()f x 22y mt t m =--2t >2x t = (1,)+∞∴()f x (1,)+∞只需在上单调递增即可.①当时，在上单调递减，不符合题意；②当时，的图象开口向下，不符合题意；③当时，要满足解得综上，实数m 的取值范围是.（3）由是函数的局部对称点，得，，代入整理得.①令，则，当且仅当时取等号，则，，实数m 的取值范围为.22y mt t m =--(2,)+∞0m =2y t =-(2,)+∞0m <22y mt t m =--0m >0,12,m m>⎧⎪⎨≤⎪⎩m ≥1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(1,0)()y f x =x ∃∈R (1)(1)0f x f x ++-=()()2442220x x x x m m --+-+-=22x x t -=+2t ≥0x =()22442222x x x x t --+=+-=-2t -y =+∞52t t ∴-≥240,532t t⎛⎤∈ ⎥⎝⎦-∴40,3⎛⎤⎥⎝⎦。

更上一层楼基础·巩固1下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到.其中正确命题的序号是（ ）A.①④B.②④C.①②D.③④思路分析：一个函数的极值有可能有多个，极大值不一定小于极小值，但函数存在最大值和最小值时，最大值一定大于或等于极大值.答案：B2下列结论正确的是（ ）A.在区间［a,b ］上,函数的极大值就是最大值B.在区间［a,b ］上,函数的极小值就是最大值C.在区间［a,b ］上,函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 时达到D.一般地,在［a,b ］上连续的函数f(x)在［a,b ］上必有最大值和最小值思路分析：利用函数极值与最值的定义.答案：D3函数y=|x-1|,下列结论中正确的是（ ）A.y 有极小值0,且0也是最小值B.y 有最小值0,但0不是极小值C.y 有极小值0,但0不是最小值D.因为y 在x=1处不可导,所以0既非最小值也非极值思路分析：由下图可知：0既是极小值,也是最小值.答案：A4已知f(x)=2x 3-6x 2+m(m 为常数)在［-2,2］上有最大值3,那么此函数在［-2,2］上的最小值为（ ）A.-37B.-29C.-5D.-11思路分析：f′(x)=6x 2-12x=0,∴x=0或x=2.∴f(0)=m ；f(-2)=-40+m ；f(2)=m-8,∴m=3,即f(x)min =-37.答案：A5函数y=xe x 的最小值为________.思路分析：y′=e x +xe x =(1+x)e x =0,∴x=-1.当x ＜-1时,y′＜0,当x>-1时,y′>0,∴x=-1时,函数取最小值f(-1)=e 1-. 答案：e1-6函数f(x)=sinx+cosx 在x ∈［2,2ππ-］时,函数的最大、最小值分别是_________. 思路分析：f′(x)=cosx -sinx=0,即tanx=1,x=kπ+4π(k ∈Z ). 而x ∈［2π-，2π］,当2π-＜x ＜4π时,f′(x)>0, 当4π＜x ＜2π时,f′(x)＜0,∴f(4π)是极小值.又f(4π)=2,f(2π-)=-1, ∴f(2π)=1.∴函数的最大值为2,最小值为-1. 答案：2，-1综合·应用7函数f(x)=x 2-4x+1在［1,5］上的最大值和最小值是（ ）A.f(1),f(3)B.f(3),f(5)C.f(1),f(5)D.f(5),f(2)思路分析：f′(x)=2x -4=0,x=2.当x ＜2时,f′(x)＜0；当x>2时,f′(x)>0.∴x=2时,函数取得极小值f(2)=-3,而x ∈［1,5］,f(1)=-2,f(5)=6,∴函数的最大值为f(5),最小值为f(2).答案：D8函数f(x)=2x-cosx 在(-∞,+∞)上（ ）A.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值思路分析：f′(x)=2+sinx>0,函数f(x)在R 上为增函数.答案：A9函数f(x)=x 3-3x(|x|＜1)（ ）A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,也无最小值D.无最大值,但有最小值思路分析：f′(x)=3x 2-3,∵|x|＜1,∴f′(x)＜0.∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减,无最大值也无最小值.答案：C10给出下面四个命题：①函数y=x 2-5x+4,x ∈［-1,1］的最大值为10,最小值为49-； ②函数y=2x 2-4x+1(2＜x ＜4)的最大值为17,最小值为1；③函数y=x 3-12x(-3＜x ＜3)的最大值为16,最小值为-16；④函数y=x 3-12x(-2＜x ＜2)无最大值,也无最小值.其中正确的命题有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个思路分析：①③④正确.答案：C11函数f(x)=3x 4-2x 3-3x 2的最小值为__________.思路分析：f′(x)=12x 3-6x 2-6x=6x(x+21)(x-1)=0, ∴x=0,x=21-,x=1. 当x ＜21-或0＜x ＜1时,函数单调递减；当x>1或21-＜x ＜0时,函数单调递增.函数有极大值f(0)=0,但无最大值；函数有最小值f(1)=-2.答案：-212函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值为__________,最小值为__________. 思路分析：y′=4x 3-4x=0,∴x=0或x=±1.又f(0)=5,f(1)=4,f(-1)=4,f(2)=13,f(-2)=13,∴f(x)的最大值为13,最小值为4.答案：13 413函数y=4x 2(x-2)在x ∈［-2,2］上的最小值为__________,最大值为__________. 思路分析：y′=12x 2-16x=0,∴x=0或x=34, ∴f(0)=0,f(-2)=-64,f(2)=0,f(34)=27128-. 答案：-64 014求函数f(x)=x 3-3x 2+6x-2,x ∈［-1,1］的最大值和最小值.思路分析：按照求函数最值的方法步骤求出最值.解：f′(x)=3x 2-6x+6=3(x 2-2x+2)=3(x-1)2+3,当x ∈［-1,1］时,f′(x)>0,∴f(x)在［-1,1］上为增函数.∴f(x)max =f(1)=2,f(x)min =f(-1)=-1215已知函数f(x)=xa x x ++22,x ∈［1,+∞）. (1)当a=21时,求函数f(x)的最小值； (2)若对于任意x ∈［1,+∞）,f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围.思路分析：（1）按照求函数最值的方法步骤求出最值.（2）将恒成立问题转化成为利用函数的单调性求函数最值的问题.解：(1)当a=21时,f(x)= xx x a x x 2122+=+++2,x ∈［1,+∞). 由f′(x)=1-22221221xx x -=,当x ∈［1,+∞)时,f′(x)>0, ∴函数f(x)是增函数.∴当x=1时,f(x)的最小值为27. (2)对任意x ∈［1,+∞］,f(x)>0恒成立, 即xa x x ++22>0对任意x ∈［1,+∞］恒成立, ∴x 2+2x+a>0对任意x ∈［1,+∞)恒成立.设g(x)=x 2+2x+a,则g′(x)=2x+2.当x ∈［1,+∞)时,g′(x)>0,∴函数g(x)是增函数.∴当x=1时,g(x)取得最小值3+a,由题意3+a>0,∴a>-3.16设f(x)=x 3-21x 2-2x+5. (1)求函数f(x)的单调递增、递减区间；(2)当x ∈［-1,2］时,f(x)＜m 恒成立,求实数m 的取值范围.思路分析：（1）按照求函数单调区间的方法步骤求即可.（2）将恒成立问题转化成为求函数最值的问题.解：(1)f′(x)=3x 2-x-2,令f′(x)=0,即3x 2-x-2=0⇒x=1或x=32-.所以当x ∈(-∞,32-)时f′(x)>0,f(x)为增函数；当x ∈(32-,1)时f′(x)＜0,f(x)为减函数；当x ∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(x)的递增区间为(-∞,32-)和(1,+∞),f(x)的递减区间为(32-,1). (2)当x ∈［-1,2］时,f(x)＜m 恒成立,只需使f(x)在［-1,2］上的最大值小于m 即可.由(1)知f(x)极大值=f(32-)=5+2738,f(x)极小值=f(1)=27.又f(-1)=211,f(2)=7,所以f(x)在［-1,2］上的最大值为f(2)=7.所以m>7.回顾·展望17(2006浙江高考，文6) f(x)=x 3-3x 2+2在区间［-1,1］上的最大值是（ ）A.-2B.0C.2D.4思路分析：f′(x)=3x 2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0可得x=0或2（2舍去），当-1≤x ＜0时，f′(x)＞0,当0＜x≤1时，f′(x)＜0，所以当x=0时，f （x ）取得最大值为2.选C答案：C18(2006福建高考，文21) 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+x37=0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.思路分析：将二次函数的图象（抛物线）与相应的一元二次方程、一元二次不等式联系起来分析是问题(1)得以解决的法宝；从题设的二次函数的图象（抛物线）的几何特征，可知抛物线的对称轴为x=25，且通过(-1,12)点，进而求出该函数的表示式；是否存在唯一的自然数m=3，使得方程h （x ）=2x 3-10x 2+37=0在区间（m ，m+1）内有且只有两个不同的实数根. 解：（1）f （x ）=-x 2+8x=-（x-4）2+16.当t+1＜4即t ＜3时，f （x ）在［t ，t+1］上单调递增，h （t ）=f （t+1）=-（t+1）2+8（t+1）=-t 2+6t+7；当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h （t ）=f （4）=16；当t ＞4时，f （x ）在［t ，t+1］上单调递减，h （t ）=f （t ）=-t 2+8t.综上，h （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤<++-.4,8,43,16,3,7622t t t t t t t（2）函数y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象有且只有三个不同的交点，即函数 φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点.Qφ(x)=x 2-8x+6lnx+m,∴φ′(x)=2x -8+xx x x x x x )3)(1(268262--=+-=（x ＞0）. 当x ∈（0，1）时，φ′(x)＞0,φ(x)是增函数；当x ∈(0,3)时，φ′(x)＜0,φ(x)是减函数；当x ∈(3,+∞)时，φ′(x)＞0,φ(x)是增函数；当x=1或x=3时，φ′(x)=0.φ(x)最大值=φ(1)=m -7，φ(x)最小值=φ(3)=m+6ln3-15.Q 当x 充分接近0时，φ(x)＜0，当x 充分大时，φ(x)＞0要使φ(x)的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须⎩⎨⎧<-+=>-=.0153ln 6)(,07)(m x m x 最小值最大值ϕϕ 即7＜m ＜15-6ln3.所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15-6ln3)。

第三章 导数及其应用3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是 A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+D ．1-【答案】A2．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的取值范围为 A ．2[,)e+∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞D ．2(,)e+∞【答案】B【解析】由题意得()()0f x g x ->在[1,e]上有解，即min 2ln 2ln 0,()xax x a x->>， 设2ln x y x =，则22(1ln )0x y x -'=≥，因此当1x =时，min 2ln ()0xx=，则0a >．故选B ． 3．若函数32231(0)e (0())ax x x x x x f ++≤>⎧⎪=⎨⎪⎩在[2,3]-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是A ．1[ln2,)3+∞ B ．10,ln23[] C ．(,0]-∞D ．1(,ln2]3-∞【答案】D 【解析】依题意，时，，函数()f x 在上单调递增，在上单调递减，最大值为，故当时，，即，故选D ．4．若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．(5,1)-B ．[5,1)-C ．[2,1)-D ．(5,2]--【答案】C5．若存在正实数,,x y z ，使得e 2z xy z =，且2e x z x ≤≤，则ln y x 的取值范围是A ．1[1ln2,]2-B ．[1ln2,e 1ln2]---C ．[ln2,e 1ln2]---D ．1[,1]2【答案】B【解析】易得e ln ln ln ln ln ln2ln2z xy y x x x x x z z z z z=-=-=--，由2e x z x ≤≤可得1e 2x z ≤≤，设x t z=，则1[,e]2t ∈，令l (n )n2l f t t t --=，1[,e]2t ∈，则11()1t f t t t -=-='．易得函数()f t 在1[,1)2上单调递减，在(1,e]上单调递增，所以min ()(1)1ln2f t f ==-，因为1111()ln ln22222f =--=，1(e)e 1ln 22f =-->，所以max (e e 1n 2()l )f f t =--=，所以[1ln2,e 1ln2]()f t ---∈，即ln [1ln2,e 1ln2]yx∈---．故选B ．6．已知函数e ()e xx x f x a=+，0a >，若函数()f x 的最小值为1-，则a =A ．21e B ．1eC ．eD ．2e【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上． 7．若函数31()3f x x x =-在2(,10)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】(3,1)-【解析】2()1f x x =-'，则由()0f x '>，得1x >或1x <-；由()0f x '<，得11x -<<，所以1x =是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以21(,10)a a ∈-，即2110a a <<-，解得31a -<<．8．已知函数23((4)2)ln 2f x x a x x =++-，若函数()f x 在区间(1,2)上存在最值，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】(9,5)--【解析】由题可得22(3(43)2)()4x a x x x a x f 'x++-=++-=，因为函数()f x 在区间(1,2)上存在最值，所以()(120)f 'f '⋅<，即9)50()(a a ++<，解得95a -<<-，故实数a 的取值范围是(9,5)--． 9．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为________________． 【答案】37-【解析】由题意知2()612f x x x '=-，由()0f x '=得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x '>；当02x <<时，0()f 'x <，则()f x 在[]2,0-上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知(0)3f m ==，故(2)5f =-，(2)37f -=-，从而最小值为37-．10．抛物线22y x =-与x 轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为________________．【答案】86911．已知函数e ,1()e ,1x x x f x x -⎧≤-⎪=⎨≥⎪⎩，2()g x mx =，若函数)())((f x F g x x +=有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为________________．【答案】2e [e,)4--【解析】显然函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞ ，函数()g x 的定义域为(,)-∞+∞，且()f x -=()f x ，()()g x g x -=，所以函数()f x ，()g x 都是偶函数．要使函数()F x 有四个不同的零点，则当1x ≥时2e 0xmx +=有两个不同的实数根，由2e 0xmx +=可得2e xm x=-，则直线y m =与曲线2e ()x h x x =-在[1,)+∞上有两个不同的交点．因为3(()e 2)x x h'x x -=，所以当12x ≤<时，()0h'x >；当2x >时，()0h 'x<，所以2max e ()(2)4h x h ==-，又22e 4(e )e e (1)h h -=-<-=，所以当e m -≤<2e 4-时直线y m =与曲线2e ()x h x x =-在[1,)+∞上有两个不同的交点，即当2ee 4m -≤<-时函数()F x 有四个不同的零点，故实数m 的取值范围为2e[e,)4--．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知函数3()3f x x x =-，求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值．。

值与导数3.3.3函数的最大(小)会求闭区间上函数的最大值、最.2.课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念．小值(其中多项式函数一般不超过三次)，______________，使得对任意的x∈I，总有1．最大值：如果在函数定义域I内存在x0的最大值．(x)为函数在______________则称f0ba的曲线，______________f(x2．一般地，如果在区间[)，的图象是一条]上的函数y＝；(1)x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：给定函数的区间是____________那么f(的(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________ 函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．ba]，上的最大值与最小值的步骤如下：3．一般地，求f(x)在[b)内的________；(1)求f(x)在(a，的一个是最大值，)的各极值与________________________比较，其中________(2)将f(x ________的一个是最小值．一、选择题)1．下列结论正确的是(baba在[]，，]上有极大值，则极大值一定是[上的最大值A．若f(x)baba在[]，，]上有极小值，则极小值一定是[上的最小值B．若f(x)ba x＝b，时取得]上有极大值，则极小值一定是x＝a C．若f(x)在[和baab上存在最大值和最小值f(x)在[D．若f(x)在[]，，]上连续，则2) (4x＋1在[1,5])2．函数f(x＝x上的最大值和最小值是－(5) ，f B．f(3) A．f(1)，f(3)(2)，f D．f(5) C．f(1)，f(5)x)y＝在[0,2]上的最大值是(3．函数x e21 ＝．当x＝2时，y B A．当x＝1时，y＝2ee11 x＝，y＝D．当0C．当x＝时，y＝0 2e2．函数y＝x＋1－x4在(0,1)上的最大值为()A.2 B．1 C．0 D．不存在3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，5．已知函数f(x)＝ax则c的值为()A．1 B．4 C．－1 D．0152a,2]上的最大值为，则a等于[()6．已知函数y＝－x－2x＋3在431113A．－ B. C．－D．－或－22222二、填空题7．函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为________．π1??x，0在区间)cos x)＝e＋(sin x( 上的值域为__________________．8．函数fx??223－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N＝xf9．若函数()x，则M－N的值为________．三、解答题．10．求下列各函数的最值．1(1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]；232＋6x－2，x3x∈[－1,1]．(2)f(x)＝x－32－x＋3，x∈[－1,2]，f＝x(－xx)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．11．已知f(x)能力提升1x2.e f(x)＝x12．设函数 2 x)的单调区间；(1)求f( m的取值范围．(x)>m恒成立，求实数(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f23的值．a、b29[－1,2]的最大值为3，最小值是－，求13．若f(x)＝ax－6axx＋b，∈1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．3.3函数的最大(小)值与导数答案知识梳理1．f(x)≤f(x)定义域上02．连续不断(1)闭区间(2)连续不间断定义域极值点附近3．(1)极值(2)端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小作业设计fxab上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会]，[在)(函数[D．1．ba]，上一定存在最大值和最小值．在端点处取得，而在[]2. ，得x＝x－4，令f′(x)＝0f2．D[′(x)＝26. f(5)＝∵f(1)＝－2，f(2)＝－3，]f(2)．∴最大值为f(5)，最小值为xx x1e－－x·e1.x＝，令[y′＝＝y′＝0得3．A x2x e?e?21 ＝，时，y＝，x＝2时，y1∵x＝0时，y＝0，x＝2ee1])．∴最大值为(x＝1时取得e111.x＝＝－.由y′＝04．A[y′，得2x2x－2111 ，′<0′>0，<x<1时，y又0<x<时，y22112.] 1－＝所以y＝＋max222，3a＝6＝3ax，∴f′(1)＝5．B[∵f′(x)2.＝∴a32，20＋cf(2)＝2×2＝x>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f()＝)当x∈[1,2]时，f′(x＝6x max4.]＝∴c faxyxy，不合题4－1)≤－1，令－2时，最大值为′＝0，得＝＝－1.当6．C[(′＝－21152a,afxa＝－或2a＋3[＝2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a意．当－1<，解得<2时，－()在243] 舍去)．a＝－(217．－x1－1(0,1])在，∴f(x′(x)<0得x<0或x>1x′(x)＝－1＝，令f′()>0得0<x<1，令f解析f xx e]上是减函数．上是增函数，在(1，1. (1)＝－x)有最大值f∴当x＝1时，f(π11??e，8.??222π??x，0∈解析∵e x cos x≥0，，∴f′(x)＝??2π??. )≤f∴f(0)≤f(x??2π11. e x)≤即≤f(222209．2＝0，f′(x)f′(x)＝3x－3，令解析)．(x＝－1舍去1得x＝，. －af(3)＝18f＝－a，(1)＝－2－a，∵f(0)20.＝∴M－Na，N＝－2－a.＝∴M18－1.x＝＋cos (1)f′(x)10．解 2 ≤2π，0，又∵0≤x)令f′(x＝4π2π.＝或x∴x＝334π2π2ππ33????＝＋，f＝f∴－，????332332又∵f(0)＝0，f(2π)＝π.，0＝(0)f有最小值)x(f时，0＝x∴当．当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.22－2x＋6＝3(x)＝3x2) －6x＋(2)f′(x2＋3，3(x－1)＝∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)＝－12；最小值x＝1时，f(x)＝2.f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.最大值即11．解由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，知m>f(x)，max2－2x－1，令f′(x)＝0，f′(x)＝3x1解得x＝－或x＝1.3186因为f(－)＝，327f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.所以f(x)的最大值为5，故m的取值范围为(5，＋∞)．x e1x2x12．解(1)f′(x)＝x e＋x e＝x(x＋2)．22x e由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，2∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，x e由x(x＋2)<0，得－2<x<0，2∴(－2,0)为f(x)的减区间．∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－2,0)．(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，22，f(0)＝0，2)＝，f(2)＝2e∵f(－2e2]，)∈[0,2e∴f(x又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.故m的取值范围为(－∞，0)．32＋bax，)＝ax－613．解∵f(x2－12ax.＝(x)3ax∴f′令f′(x)＝0，解得x＝0或4.? [－1,2]∵4，故舍去，∴f(x)取最大值，最小值的点在x＝－1、0、2上取得，f(－1)＝－7a＋b，f(0)＝b，f(2)＝－16a＋b.当a>0时，最大值为b＝3，，2a＝??，解得＝－29最小值为－16a＋b?，＝3b??，b，＝－29时，最大值为－<016a＋b ＝3当a2a＝－??解得，?29b＝－??22a＝－a＝????.综上所述：或??29＝－3b＝b????。

3.3.3 函数的最大(小)值与导数一、基础过关1.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A.f (2)，f (3)B.f (3)，f (5)C.f (2)，f (5)D.f (5)，f (3)2.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A.－2B.0C.2D.4 3.函数y ＝ln xx 的最大值为( )A.e －1 B.e C.e 2D.103 4.函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A.有最大值2，无最小值B.无最大值，有最小值－2C.有最大值2，最小值－2D.无最值5.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A.－32B.12C.－12D.12或－326.函数f (x )＝x e x 的最小值为________.7.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________. 二、能力提升8.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A.1B.12C.52D.229.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.10.已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值.11.已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ).(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围. 12.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行. (1)求a ，b ；(2)求函数f (x )在[0，t ] (t >0)内的最大值和最小值. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.答案1.B2.C3.A4.C5.C6.－1e7.[－4，－2] 8.D 9.(－∞，2ln 2－2]10.解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3. 当x ＝0时，f (x )最大值为3. 11.解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根.∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围. 12.解(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0f ′(1)＝－3 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).f′(x)与↗由f(x)＝f因此根据f(x)图象，当0<t≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(t)＝t3－3t2＋2；当2<t≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2；当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2.13.解(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：↘所以f(x)).(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）2015.10函数的最大（小）值与导数微型试卷（B ）1．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.222．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.3．已知a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值．4．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0，求k 的最大值．参考答案1、解析：选D.由题意，设|MN |＝F (t )＝t 2－ln t (t ＞0)，令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)． F (t )在(0，22)上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增， 故t ＝22时，F (t )＝t 2－ln t (t ＞0)有极小值，也为最小值．即|MN |达到最小值，故选D. 2、解析：①当－1≤x ＜0时，a ≤3x －1x 3＝3x 2－1x3对x ∈[－1,0)恒成立，而当－1≤x ＜0时，⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 3′＝3－6x x 4＞0，则y ＝3x 2－1x 3为[－1,0)上的增函数，从而3x 2－1x3的最小值为4.于是a ≤4.②当x ＝0时，f (x )≥0总成立．③当0＜x ≤1时，a ≥3x －1x 3＝3x 2－1x3对x ∈(0,1]总成立，而y ＝3x 2－1x 3的导数为y ′＝3－6x x 4，令y ′＝0⇒x ＝12，不难判断y ＝3x 2－1x3在(0,1]的最大值为4，∴a ≥4.于是a ＝4.答案：43、解：f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时，有最大值f (0)＝0； 若a ＞0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .由x ∈[0,1]，则只考虑x ＝a 的情况．①0＜a ＜1，即0＜a ＜1时，当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)x (0，a ) a (a ，1) f ′(x ) ＋ 0 －f (x ) ↗ 2a a↘ ②a ≥1，即a ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[0,1]上单调递增，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝3a －1.综上，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0；当0＜a ＜1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ；当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1.4、解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0等价于k ＜x ＋1e x －1＋x (x ＞0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ， 则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)(e x －1)2. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)＜0，h (2)＞0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )＜0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k ＜g (α)，故整数k 的最大值为2.。

3.3.3 函数的最大（小）值与导数A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区别知选D. 答案：D2．函数f (x )＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．10解析：令f ′(x )＝1－ln x x2＝0(x >0)，解得x ＝e.当x >e 时，f ′(x )<0；当0<x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以f (x )max ＝e －1.答案：A3．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．不存在D ．0解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1. 所以f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12.答案：A4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[0，1) B ．(0，1)C ．(－1，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：因为f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2， 又因为x ∈(0，1)，所以 0＜a ＜1.答案：B5．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )＜g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )解析：令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＜0， 所以 u (x )在[a ，b ]上为减函数，所以 u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )． 答案：A 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e)上的最大值为________．解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx(x >0)，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0(舍去)或x >1，所以f (x )在(0，1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．所以当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.答案：－17．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝ ±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝ －1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案：328．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1，1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1，1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ， 令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1. 因为f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ，所以 f (x )max ＝a ＝2.所以 f (x )min ＝－52＋a ＝－12.答案：－12三、解答题9．已知函数f (x )＝ax2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围．解：由f (x )＝a x 2＋2ln x ，得f ′(x )＝2（x 2－a ）x 3.又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.所以实数a 的取值范围是[e ，＋∞)．10．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x )－2x . (1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .(1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x.设函数g (x )＝f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x ，则g ′(x )＝x（1＋x ）2.当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0.所以f (x )在(－1，＋∞)单调递增．又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0. (2)解：(ⅰ)若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)， 这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． (ⅱ)若a <0，设函数h (x )＝f （x ）2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax2.由于当|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2>0， 故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点， 当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点．h ′(x )＝11＋x －2（2＋x ＋ax 2）－2x （1＋2ax ）（2＋x ＋ax 2）2＝x 2（a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1）（x ＋1）（ax 2＋x ＋2）2.若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a ，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )>0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1，0)，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )<0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3（x －24）（x ＋1）（x 2－6x －12）2，则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )>0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点． 综上，a ＝－16.B 级 能力提升1．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t ＞0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2（t ＋22）（t －22）t.当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减； 当t ＞22时，y ′＞0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 答案：D2．已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e ，所以当x ＝1e 时f (x )取得最小值－1e.(2)依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞]上恒成立， 即不等式a ≤ln x ＋1x对于x ∈[1，＋∞]恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )的最小值是g (1)＝1. 因此a ≤g (x )min ＝g (1)＝1， 故a 的取值范围为(－∞，1]．3．设函数f (x )＝x －x 2＋3ln x ．证明：f (x )≤2x －2. 证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)， 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x.令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－32(舍去)．当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝0，所以f(x)－(2x－2)≤0.所以f(x)≤2x－2.。

函数的最大(小)值与导数课时操练·促提高A组1.函数f( x)=x3-2x2在区间[ -1,5]上()A. 有最大值0,无最小值B.有最大值0,最小值 -C.有最小值 -,无最大值D.既无最大值也无最小值分析 :f'(x)=x 2-4x=x ( x-4).令 f' (x)= 0,得 x= 0 或 x=4,∴f(0)= 0,f(4) =- ,f(-1)=- ,f(5)=- ,∴f(x)max=f (0)= 0,f(x)min =f (4)=-.答案 :B-x,x∈ [0,4] 的最大值是 ()2.函数y=x eA.0B.C.D.分析 :y'= e-x-x·e-x= e-x(1- x),令 y'= 0,∴x= 1,∴f(0)= 0,f(4) =,f(1) = e-1= ,∴f(1) 为最大值 .答案 :Bx3.函数f( x)=x·2 ,则以下结论正确的选项是()B.当 x= 时 ,f(x)取最小值C.当 x=- 时,f(x)取最大值D.当 x=- 时 ,f(x)取最小值分析 :f'(x)= 2x+x ·(2x)'= 2x+x ·2x·ln 2.令 f' (x)= 0,得 x=-.当 x∈时 ,f' (x)< 0;当 x∈时 ,f' (x)> 0,故函数在 x=- 处取极小值 ,也是最小值 .答案 :D4.对于 R 上可导的随意函数f(x),若知足x≠1时(x-1)·f'(x)> 0,则必有()A. f(0)+f (2)> 2f(1)B. f(0 )+f (2)< 2f(1)C.f(0)+f (2)≥ 2f(1)D. f(0)+f ( 2)≤ 2f(1)分析 :当 x> 1 时 ,f'( x)>0,函数 f(x) 在(1,+∞)上是增函数 ;当 x< 1 时 ,f'( x)< 0,f(x)在 (-∞,1)上是减函数 ,故 f(x) 在 x= 1 处获得最小值 ,即有 f(0)>f (1), f(2)>f (1),得 f(0)+f (2) > 2f(1) .答案 :A5.若对随意的x> 0,恒有 ln x≤ px-1(p> 0),则 p 的取值范围是()A.(0,1]B.(1 ,+∞)C.(0,1)D.[1, +∞)分析 :原不等式可化为ln x-px+ 1≤0,令 f(x)= ln x-px+ 1,故只要 f(x)max≤ 0,由 f'(x)=-p 知 f(x)在上单一递增; 在上单一递减 .故 f(x)max=f=- ln p,即-ln p≤ 0,解得 p≥1.答案 :D6.函数f( x)= e x(x2-4x+3)在[0,1]上的最小值是.x2x分析 :f'(x)= e(x -4x+3)+ e (2x-4)=e x( x2-2x-1)= e x[(x-1)2-2], 当 x∈ [0,1] 时 ,f'(x)< 0,f(x)在[0,1]上是减函数,f(x)min=f (1)= 0.答案 :07.已知函数f(x)=e x-2x+a有零点,则a 的取值范围是.x x x x 分析 :函数 f(x)= e -2x+a有零点 ,即方程 e -2x+a=0 有实根 ,即函数 g(x)= 2x-e ,y=a 有交点 ,而 g'(x) =2-e ,易知函数 g(x)= 2x-e x在( -∞,ln 2) 上递加 ,在 (ln 2, +∞)上递减 ,因此 g(x) = 2x-e x的值域为 (-∞,2ln 2 -2], 因此x要使函数g(x)= 2x-e ,y=a 有交点 ,只要 a≤ 2ln 2-2 即可 .8.试求函数y= 4x2+ 在 (0,+∞)上的最值 .解:y'= 8x-,令 y'= 0,解得 x=.当 x 变化时 ,y',y 的变化状况以下表:x0<x< x=x>y'-0+极小y↘↗值因此由上表可知,函数在 x= 处获得最小值 ,最小值为3,无最大值 .32(1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单一区间 ;(2)若对 x∈ [- 1,2],不等式 f(x)<c 2恒建立 ,求 c 的取值范围 .解:(1) f( x)=x 3+ax 2+bx+c ,f'(x)= 3x2+ 2ax+b ,由 f'a+b= 0,f'(1)= 3+ 2a+b= 0,得 a=- ,b=- 2.2f'(x)= 3x -x-2= (3x+ 2)(x-1),令 f' (x)> 0,得 x<- 或 x>1,令 f' (x)< 0,得-<x< 1.∴函数 f(x)的递加区间是和(1,+∞), 递减区间是 .(2)f(x)=x 3-x2- 2x+c ,x∈ [ -1,2],由 (1)知 ,当 x=- 时,f+c 为极大值 ,而 f(2) = 2+c ,则 f(2)= 2+c 为最大值 ,要使 f(x)<c 2,x∈ [ -1,2]恒建立 ,则只要要 c2>f (2) = 2+c ,得 c<- 1 或 c> 2.∴c的取值范围为 (-∞,-1) ∪(2,+∞).B 组1.设直线A.1x=t与函数B.f(x)=x 2 ,g(x)= ln x 的图象分别交于点C. D.M,N,则当 |MN| 达到最小时t 的值为()分析 :|MN| 的最小值 ,即函数 h(t)=t 2-ln t 的最小值 ,h'(t)= 2t-,明显 t= 是函数 h(t)在其定义域内独一的极小值点,也是最小值点,故t=.答案 :D2.已知函数f(x)=+ 2ln x,若当a> 0 时,f(x)≥ 2 恒建立,则实数 a 的取值范围是.分析 :由 f(x)=+ 2ln x 得 f' (x)= ,又函数 f(x)的定义域为 (0,+∞),且 a> 0,令 f' (x)= 0,得 x=- ( 舍去 )或 x=. 当 0<x< 时 ,f'(x )< 0;当 x> 时 ,f' (x)> 0.故 x= 是函数 f(x) 的极小值点 ,也是最小值点 ,且 f()= ln a+ 1.要使 f( x)≥ 2 恒建立 ,需 ln a+ 1≥ 2 恒建立 ,则 a≥e.答案 :[e,+∞)3.函数f( x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为.分析 :∵f' (x)= 3(x2-a),f(x) 在 (0,1)内有最小值 ,∴f' (0)< 0 且 f'(1) > 0.∴∴0<a< 1.答案 :0<a< 14.若对于x的方程kx+ 1= ln x有解,则实数分析 :由题意 ,x∈ (0,+∞), 方程化为k=,方程 kx+ 1= ln x 有解 ? 实数 k 在函数k 的取值范围是f(x)= 的值域范围内有解..f'(x)= ,2令 f' (x)= 0 得 x= e ,当 x∈ (0,e2)时 ,f'(x)> 0,f(x)递加 , 当x∈ (e2,+∞)时 ,f'(x)< 0,f(x)递减 ,∴f(x)max=f (e2)= ,即 k≤ .答案 :5.设函数f(x)= e x sin x.(1)求函数 f(x)的单一递加区间 ;(2)当 x∈ [0, π]时,求函数 f(x)的最大值和最小值 .解:(1) f' (x)= e x(sin x+ cos x)=e x sin,f'(x) ≥ 0,∴sin≥ 0.∴2kπ≤ x+ ≤ 2kπ+π,即 2kπ-≤ x≤2kπ+ π,k∈Z .f(x)的单一增区间为,k∈Z .(2)由 (1) 知当 x∈ [0, π]时,是单一增区间 ,是单一减区间.f(0) = 0,f( π)=0,f,∴f(x)max=f ,f(x)min=f (0)=f ( π)=0.2(1)若 a= 1,证明 f(x)没有零点 ;(2)若 f(x)≥恒建立 ,求 a 的取值范围 .(1)证明 :a= 1 时 ,f(x)=x 2-ln x(x> 0),f' (x)=x- ,由 f' (x)= 0 ,得 x= 1,可得 f(x)在 (0,1)上单一递减 ,在 (1,+∞)上单一递加 ,故 f(x) 的最小值 f(x)min=f (1)=> 0,因此 f(x)没有零点 .(2)解 :f' (x)=ax-.①若 a> 0,令 f'( x)≥ 0,则 x≥ ,故 f(x)在上单一递减,在上单一递加,故 f( x)在 (0,+∞)上的最小值为fln a,要使 f(x)≥恒建立 ,只要 ln a≥ ,得 a≥ 1.②若 a≤ 0,f'(x)< 0 恒建立 ,f(x)在 (0,+∞)单一递减 ,f(1)= ≤ 0,故不行能f(x) ≥恒建立 .综上所述 ,a≥ 1.7.设函数f(x)= 2a x-+ ln x,若f(x)在x= 1,x=处获得极值,(1)求 a,b 的值 ;(2)在上存在 x0使得不等式 f(x0)-c≤ 0 建立 ,求 c 的取值范围 .解:(1) ∵f(x) = 2ax-+ ln x,∴f'(x)= 2a+.∵f(x)在 x= 1,x= 处获得极值 ,∴f'(1)= 0,f'= 0.即解得∴所求 a,b 的值分别为 -,-.(2)在上存在 x0使得不等式 f(x0)-c≤ 0 建立 ,只要 c≥ f(x)min,由 f' (x)=-=-=- ,∴当 x∈时 ,f' (x)< 0,f(x)是减函数 ;当 x∈时 ,f' (x)> 0,f(x)是增函数 ;∴f 是 f(x)在上的最小值 .而 f+ ln-ln 2, ∴ c≥ -ln 2.∴c 的取值范围为 .。

2019人教版精品教学资料·高中选修数学高中数学 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课后知能检测 新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2013·杭州高二检测)函数y ＝x ＋2cos x 在[0，π2]上取最大值时，x 的值为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2【解析】 y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0得x ＝π6.又f (0)＝2，f (π6)＝π6＋2×32＝3＋π6，f (π2)＝π2.∴当x ＝π6时，f (x )有最大值，故选B.【答案】 B2．函数y ＝x ·e －x在x ∈[2,4]上的最小值为( ) A ．0 B.1e C.4e4 D.2e2 【解析】 y ′＝e x－x e xx 2＝1－x e x ，当x ∈[2,4]时，y ′<0，即函数y ＝x ·e －x在x ∈[2,4]上单调递减，故当x ＝4时，函数有最小值4e4.【答案】 C3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11【解析】 由f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)＝0，解得x ＝0或x ＝2，又f (0)＝m ，f (2)＝m －8，f (－2)＝m －40，所以f (x )max ＝m ＝3，f (x )min ＝m －40＝3－40＝－37.【答案】 A4．已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋a ，若∃x 0∈[－1,4]，使f (x 0)＝2a 成立，则实数a的取值范围是( )A ．2≤a ≤52B ．－232≤a ≤52C ．2≤a ≤16D ．－232≤a ≤16【解析】 f (x 0)＝2a ，即x 30－92x 20＋6x 0＋a ＝2a ，可化为x 30－92x 20＋6x 0＝a ，设g (x )＝x 3－92x 2＋6x ，则g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)＝0，得x ＝1或x ＝2.∴g (1)＝52，g (2)＝2，g (－1)＝－232，g (4)＝16.由题意，g min (x )≤a ≤g max (x )，∴－232≤a ≤16.【答案】 D5．(2013·长沙高二检测)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22【解析】 由题意，设|MN |＝F (t )＝t 2－ln t (t >0)， 令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)．F (t )在(0，22)上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增， 故t ＝22时，F (t )＝t 2－ln t (t >0)有极小值，也为最小值．即|MN |达到最小值，故选D.【答案】 D 二、填空题6．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 【解析】 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.【答案】3－17．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .若x ＝3是f (x )的极值点，则f (x )在x ∈[1，a ]上最小值和最大值分别为________．【解析】 由题意知f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＝0的一个根为x ＝3，可得a ＝5， 所以f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0的根为x ＝3或x ＝13(舍去)，又f (1)＝－1，f (3)＝－9，f (5)＝15，∴f (x )在x ∈[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.【答案】 －9,158．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]．都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为x ∈(0,1]， 所以f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. 所以g (x )在(0,1]上有极大值g (12)＝4，它也是最大值，故a ≥4.【答案】 a ≥4 三、解答题9．(2013·山东高考改编)设函数f (x )＝xe 2x ＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R )．求f (x )的单调区间、最大值．【解】 f ′(x )＝(1－2x )e－2x，由f ′(x )＝0，解得x ＝12.当x ＜12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －1＋c . 10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥2 010对于∀x ∈[－2,2]恒成立，求a 的取值范围． 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.由f ′(x )<0，得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)由f ′(x )＝0，－2≤x ≤2，得x ＝－1.因为f (－2)＝2＋a ，f (2)＝22＋a ，f (－1)＝－5＋a ， 故当－2≤x ≤2时，f (x )min ＝－5＋a .要使f (x )≥2 010对于∀x ∈[－2,2]恒成立，只需f (x )min ＝－5＋a ≥2 010，解得a ≥2 015.11．已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋b (x ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝6x －8，求a 、b 的值； (2)若a >0，b ＝2，当x ∈[－1,1]时，求f (x )的最小值． 【解】 (1)f ′(x )＝3ax 2－3x ，f ′(2)＝6得a ＝1.由切线方程为y ＝6x －8得f (2)＝4；又f (2)＝8a －6＋b ＝b ＋2，所以b ＝2，所以a ＝1，b ＝2.(2)f (x )＝ax 3－32x 2＋2.f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a分以下两种情况讨论：①若1a>1即0<a <1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝－a －2＋2，f (1)＝a －2＋2，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .②若0<1a<1即a >1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝2－a ，f (a )＝2－2a2.而f (1a )－f (－1)＝2－12a 2－(12－a )＝32＋a －12a2>0， 所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .综合①和②，f (x )min ＝f (－1)＝12－a .。

课时同步练5.3.3 函数的最大（小）值与导数一、单选题1．函数()3213f x x x =-在[]1,3上的最小值为（ ）A ．-2B ．0C ．23-D ．43-【答案】D【解析】由题意，函数()3213f x x x =-，则()22f x x x ¢=-，当[1,2)x Î时，()0f x ¢<，函数()f x 单调递减；当(2,3]x Î时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 在区间[]1,3上的最小值为()321224323f =´-=-，故选D ．2．函数()sin f x x x =-，[,]22x p pÎ-的最大值是（ ）A ．12p-B ．pC ．p-D ．12p-【答案】A【解析】因为()sin f x x x =-，所以()cos 1f x x ¢=-，易得当,22x p p éùÎ-êúëû时，()0f x ¢£恒成立，所以()f x 在闭区间,22p p éù-êúëû内单调递减，故当2x p =-时，()f x 取最大值，即()max sin 12222f x f p p p pæöæöæö=-=---=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，故选A ．3．已知函数21()ln 2f x x x =+，函数()f x 在[1,]e 上的最大值为（ ）A ．12B ．2e C ．13D ．212e +【答案】D【解析】因为函数21()ln 2f x x x =+，则1()f x x x¢=+，显然在[1,]e 上()0f x ¢>，故函数()f x 单调递增，故22max 1()()ln 122e f x f e e e ==+=+故选D4．若不等式210x ax ++³对于一切10,2x æùÎçúèû恒成立，则a 的最小值是（）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】C【解析】因为不等式210x ax ++³对于一切10,2x æùÎçúèû恒成立，所以1a x x æö³-+ç÷èø对一切10,2x æùÎçúèû恒成立，所以max 110,2a x x x éùæöæöæù³-+Îç÷çç÷êúúèøèûëûèø，又因为()1f x x x =+在10,2æùçúèû上单调递减，所以()min 1522f x f æö==ç÷èø，所以52a ³-，所以a 的最小值为52-，故选C.5．若关于x 的方程ln 0kx x -=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．(,)e -¥B ．1,e æö-¥ç÷èøC ．10,e æöç÷èøD ．(0,)e 【答案】C【解析】由题意得ln x k x =，设ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -¢=.当0x e <<时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x ¢<，()f x 为减函数,且()0f x >.所以()f x 有最大值1()f e e=，简图如下，由图可知，1k e<<0时符合题意.故选C.6．已知函数()2()xf x x a e =+有最小值，则函数()y f x ¢=的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】C【解析】由题意，()2()2xf x x a e x +¢=+，因为函数()f x 有最小值，且0x e >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x ¢<有解，所以220x x a ++=有两个不等实根，所以函数()y f x ¢=的零点个数为2.故选C.7．若存在1,x e eéùÎêúëû，使得不等式22ln 30x x x mx +-+³成立，则实数m 的最大值为（）A ．132e e+-B ．32e e++C ．4D ．2e 1-【答案】A【解析】2230xlnx x mx Q +-+³32m lnx x x\£++设()32h x lnx x x =++，则()()()2231231x x h x x x x +=¢-=+-当11x e£<时，()0h x ¢<，()h x 单调递减当1x e <£时，()0h x ¢>，()h x 单调递增Q 存在1x e e éùÎêúëû，，32m lnx x x £++成立()max m h x \£，1123h e e e æö=-++ç÷èøQ ，()32h e e e =-++()1h h e e æö\>ç÷èø132m e e\£+-故选A8．若定义域为R 的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且当01x ……时，()1f x x =-，则函数()()x g x f x e =在[2,2]-上的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．2eD ．－1e【答案】A【解析】根据(2)()f x f x -=-,得函数()f x 关于点(1,0)对称,且当01x ……时, ()1f x x =-,则12x <£时，()1f x x =-，所以当[02]x Î，时，()1f x x =-;又函数()f x 为偶函数,所以当[2,0)x Î-时，()1f x x ，=+ (1)e [0,2]()(1)e ,[2,0)x xx x g x x x ì-×Î\=í+Î-î则e ,[0,2]()(2)e ,[2,0)x xx x g x x x ì-Î=í+Î-¢î,可知当[2,0)x Î-，()'0g x >故()g x 在[-2，0)上单调递增, [02]x Î，时()'0g x <，()g x 在[0,2]上单调递减,故max ()(0)1g x g ==.故选A9．已知存在正实数x ，y 满足2222()(ln ln )0ax x y y x +--=，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-¥B ．[0，1]C ．[0，)+¥D ．[1，)+¥【答案】C【解析】已知存在正实数x ，y 满足()()2222ln ln 0ax x yy x +--=，则2221ln y y a x xæö=-ç÷èø有解，令2y t x æö=ç÷èø，则0t >，()()11ln 2f t t t =-，()0t >，则()1ln 1f x t t¢=+-，又易得()f t ¢为增函数，又()10f ¢=，当01x <<时，()0f x ¢<，当1x >时，()0f x ¢>，所以()y f x =在(0,1)为减函数，在(1,)+¥为增函数，所以()()10min f x f ==，即()f x 的值域为[)0,+¥，即[)20,a Î+¥，即实数a 的取值范围是[)0,+¥，故选C ．10．已知点A 为曲线()40y x x x=+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是（）A ．3B ．4C ．D ．【答案】A【解析】（方法一）设4,A x x x æö+ç÷èø，并设点A 到圆22(2)1x y -+=的圆心C 距离的平方为()g x ，则2222416()(2)2412(0)g x x x x x x x x æö=-++=+-+>ç÷èø，求导，得433388()414x x g x x x x --æö¢=--=ç÷èø，令()0g x ¢=，得2x =.由02x <<时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当2x >时，()0g x ¢>，()g x 单调递增.从而()g x 在2x =时取得最小值为(2)16g =，从而点A 到圆心C 4==，所以||AB 的最小值为413-=.故选A（方法二）由对勾函数的性质，可知44y x x=+³，当且仅当2x =时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4（）时能使点A 到圆心的距离最小，最小为4，从而AB 的最小值为413-=.故选A11．已如函数()1ln ,132,1x x f x x x +³ì=í-<î，若12x x ¹，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ）A ．[)2,+¥B ．(],2-¥C ．()2,+¥D ．(),2-¥【答案】C【解析】根据题意，画出分段函数()f x 图象如下：由两个函数图象及题意，可知：12,x x 不可能同时大于1，也不可能同时小于1．否则不满足()()122f x f x +=∴121x x <<，∴()()121212321ln 3ln 1f x f x x x x x +=-++=+-，∵()()122f x f x +=，∴123ln 12x x +-=，∴1211ln 3x x =-，122222111ln 1ln 33x x x x x x +=-+=+-，()21x >．构造函数()11ln 3g x x x =+-，()1x >．则()113g x x=¢-．∵1x >，∴33x >，∴11033x <<，∴11033x-<-<，∴211133x<-<．∴()0g x ¢>．∴()g x 在()1,+¥上是单调递增函数．∴()()min 12g x g ==．∴()2g x >．∴122x x +>．故选C ．12．已知对于任意的0x >，总有22x b ax xe e -£成立，其中e 为自然对数的底数，则2ba -的最小值为（ ）A ．12-B ．2e -C ．1e-D ．2e-【答案】A【解析】由题得(2)21a xb xe --£，设(2)2(2)2()(0),()[1(2)]a x b a x b f x xe x f x e x a ----¢=>\=+-，由()0f x ¢>得1(2)0,(2)1x a a x +->\-<，当2a >时，12x a <-，所以函数f(x)在1(0,2a -上单调递增，在1(+)2a ¥-上单调递减，所以12max 11()(1,22bf x f e a a --==£--所以121ln(2)2,12ln(2),2ba e ab a b -----£-\--£-\³，所以1ln(2)22(2)b a a a ---³--，设1lnt2(0),()2a t t g t t---=>\=，所以22ln ()4tg t t¢=，所以函数()g t 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增，所以min 1()(1)2g t g ==-.所以此时2b a -的最小值为12-.当2a <时，函数f(x)单调递增，不符合题意(2)21a x b xe --£.故选A二、填空题13．已知函数()f x lnx x =-，则()f x 的最大值为____________．【答案】1-【解析】11()1,0x f x x x x-¢=-=>()001,()01f x x f x x ¢¢>Þ<<<Þ>则函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+¥上单调递减即max ()(1)ln111f x f ==-=-故填1-14．已知函数()ln f x ax x =-，当(0,]x e Î（e 为自然常数），函数()f x 的最小值为3，则a 的值为_____________.【答案】2e 【解析】1'()f x a x=-，(0,]x e Î，当1a e£时，则'()0f x £，()f x 在(0,]e 上是减函数，()()()13f x f x f e ae ===-=最小值极小值，4a e=（舍去）．当1a e >时，当10x a<<时，'()0f x <，()f x 递减，当1x e a <£时，'()0f x >，()f x 递增．∴11()()(1ln 3f x f x f a a===-=最小值极小值，2a e =，符合题意．故填2e ．15．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为_________.【答案】43.【解析】Q 32()26f x x x m =-++，2()6126(2)f x x x x x ¢\=-+=--,令 ()0f x ¢=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x ¢<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x ¢>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x ¢<单调递减，所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值，即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得，3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-´-+´-+==-´+´+=Q ，\函数在[]22-,上的最大值为43.故填4316．函数()ln f x x ax =-，2()1g x ax =+，当0a £时，对任意1x 、[]21,e x Î，都有12()()f x g x >成立，则a 的取值范围是__________．【答案】12a <-【解析】求出函数的导数，通过题中所给的大的范围，可以确定函数在相应区间上的单调性，求出函数的最值，得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围.详解：'()2g x ax =，依题意，[1,e]x Î时，min max ()()f x g x >成立，已知0a £，则)'(0g x <，所以()g x 在[1,]e 上单调递减，而()f x 在[1,]e 上单调递增，所以min ()(1)f x f a ==-，max ()(1)1g x g a ==+，所以有1a a ->+，得12a <-，故a 的取值范围是12a <-.故填12a <-17．已知函数2e 2(1)()23(1)x x x x x f x x x ì--=í->î…，当(,]x m Î-¥时，()f x 的取值范围为1,1x e æùÎ-¥-çúèû，则实数m 的取值范围是________.【答案】11,22e éù--êúëû【解析】当1x …时，()()()12xf x x e =+-¢，令()0f x ¢>，则ln21x <<或x<-1；()0f x ¢<，则1ln2x -<<，\函数()f x 在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-¥-单调递增，\函数()f x 在1x =-处取得极大值为()111f e-=-，在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln2,3f f x e =-=-.当1x >时，()11231,12e 2ef x x x =--\<-……，综上所述，m 的取值范围为11,22e éù--êúëû故填11,22e éù--êúëû18．设直线x t =与函数()2f x x =，()2lng x x =的图象分别交于点,M N ，则当MN 达到最小值时，t 的值为________．【答案】1【解析】设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-，则22(1)(1)()2t t h t t t t-+¢=-=，当01t <<时，()0h t ¢<，当1t >时，()0h t ¢>，即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+¥为增函数，即()()1min h t h =，即当||MN 达到最小值时，t 的值为1，故填1.三、解答题19．已知函数()()32133f x x x x b b R =--+Î有极小值7-.（1）求实数b 的值；（2）求f （x ）在区间[]3,4-上的最大值和最小值.【解析】（1）()223f x x x ¢=--，由()0f x ¢=得：11x =-或23x =，则：(),1x Î-¥-时：()0f x ¢>，f （x ）递增；()1,3x Î-时：()0f x ¢<，f （x ）递减；()3,x Î+¥时：()0f x ¢>，f （x ）递增；函数f （x ）在3x =取得极小值7-，即()3213333373f b =´--´+=-，解得所求2b =；（2）由以上可知函数f （x ）在1x =-取得极大值()()31111113233f -=´--++=又()37f -=-Q ，()1411433f =-<故所求最小值为7-，最大值为113.20．已知函数()()ln 11f x x x ax ax =×++-+（1）若()f x 在[)1,+¥上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的最大值为2，求实数a 的值.【解析】（1）若()f x 在[)1,+¥上是减函数，则()0f x ¢£在[)1,+¥恒成立，()ln 220f x x ax a =+¢+-£，∴ln 221x a x +£--，设()ln 221x g x x +=--，则()()2122ln 21x x g x x ++-¢=，∵1x ³，∴()()0,g x g x ¢³递增，又()12g =-，故2a £-.（2）由()12f =，要使()max 2f x =，故()f x 的递减区间是[)1,+¥，递增区间是()0,1，∴()10f ¢=，即ln1220a a ++-=，∴2a =-.21．已知函数()21cos 2f x x m x =+，()'f x 是()f x 的导函数，()()'1g x f x =+.（1）当2m =时，判断函数()g x 在()0,p 上是否存在零点，并说明理由；（2）若()f x 在()0,p 上存在最小值，求m 的取值范围.【解析】（1）2m =时，()2sin 1g x x x =-+.令()'0g x =，即1cos 2x =，()0,x p Î，得3x p =，当x 变化时，()'g x ，()g x 变化如下：x 0,3p æöç÷èø3p,3p p æöç÷èø()'f x -0+()f x 减最小值增∴函数()g x 的单调递减区间为0,3p æöç÷èø，单调递增区间为,3p p æöç÷èø.∴()g x 的极小值为1033g p p æö=+->ç÷èø.∴函数()g x 在()0,p 上不存在零点.（2）因为()21cos 2f x x m x =+，所以()'sin f x x m x =-，令()()'sin h x f x x m x ==-，则()'1cos h x m x =-.①当1m <时，1cos 0m x ->，即()'0h x >，∴()()'sin h x f x x m x ==-在()0,p 单调递增，∴()0,x p Î时，()()00h x h >=，∴()f x 在()0,p 单调递增，∴()f x 在()0,p 不存在最小值，②当1m >时，()10,1mÎ，所以()'1cos 0h x m x =-=，即1cos x m=在()0,p 内有唯一解0x ，当()00,x x Î时，()'0h x <，当()0,x x p Î时，()'0h x >，所以()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x p 上单调递增.所以()()000h x h <=，又因为()0h p p =>，所以()sin h x x m x =-在()()0,0,x p p Í内有唯一零点1x ，当()10,x x Î时，()0h x <即()'0f x <，当()1,x x p Î时，()0h x >即()'0f x >，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,p x 上单调递增.所以函数()f x 在1x x =处取得最小值，即1m >时，函数()f x 在()0,p 上存在最小值.综上所述，()f x 在()0,p 上存在最小值时，m 的取值范围为()1,+¥.22．已知函数1()ln x f x e x -=+．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()1f x ax a --…对任意[1,)x Î+¥恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）依题意，0(1)ln11f e =+=，11()x f x e x-¢=+，0(1)12f e ¢=+=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-．（2）令()()(1)1(1)g x f x a x x =---³，则11()()x g x f x a e a x -¢¢=-=+-．令11()(1)x h x e x x -=+³，则121()x h x e x-¢=-，当1³x 时，11x e -³，2101x <£，所以()0h x ¢³，函数()h x 在[1,)+¥上是增函数．所以()(1)2h x h ³=，所以()2g x a ¢³-．①当2a £时，()0g x ¢³，所以函数()g x 在[1,)+¥上是增函数，所以()(1)0g x g ³=，即对任意[1,)x Î+¥不等式()1f x ax a -³-恒成立．②当2a >时，11a ->，由1³x ，得101x<£．111()1x x g x e a e a x --¢=+-£+-．当(1,1ln(1))x a Î+-时，110x e a -+-<，即()0g x ¢<，函数()g x 在(1,1ln(1))a +-上是减函数，所以()(1)0g x g <=，即()1f x ax a -<-，不合题意．综上，所以实数a 的取值范围是(,2]-¥．。