a.s.p.函数

三角函数公‎式表物理量计算公式备注速度υ= S / t1m / s = 3.6 Km / h声速υ= 340m / s光速C = 3×108 m /s密度ρ= m / V 1 g / c m3 = 103 Kg / m3合力 F = F1 - F2F = F1 + F2 F1、F2在同一直线线上且方向相反F1、F2在同一直线线上且方向相同压强p = F / Sp =ρg h p = F / S适用于固、液、气p =ρg h适用于竖直固体柱p =ρg h可直接计算液体压强1标准大气压= 76 cmHg柱= 1.01×105 Pa = 10.3 m水柱浮力①F浮= G – F②漂浮、悬浮：F浮= G③F浮= G排=ρ液g V排④据浮沉条件判浮力大小（1）判断物体是否受浮力（2）根据物体浮沉条件判断物体处于什么状态（3）找出合适的公式计算浮力物体浮沉条件（前提：物体浸没在液体中且只受浮力和重力）：①F浮＞G（ρ液＞ρ物）上浮至漂浮②F浮=G（ρ液=ρ物）悬浮③F浮＜G（ρ液＜ρ物）下沉杠杆平衡条件F1 L1 = F2 L 2 杠杆平衡条件也叫杠杆原理滑轮组 F = G / nF =（G动+ G物）/ nSF = n SG 理想滑轮组忽略轮轴间的摩擦n：作用在动滑轮上绳子股数功W = F S = P t 1J = 1N•m = 1W•s功率P = W / t = Fυ1KW = 103 W，1MW = 103KW有用功W有用= G h（竖直提升）= F S（水平移动）= W总– W额=ηW总额外功W额= W总– W有= G动h（忽略轮轴间摩擦）= f L（斜面）总功W总= W有用+ W额= F S = W有用/ η机械效率η= W有用/ W总η=G /（n F）= G物/（G物+ G动）定义式适用于动滑轮、滑轮组中考物理所有的公式特点或原理串联电路并联电路时间：t t=t1=t2 t=t1=t2电流：I I = I 1= I 2 I = I 1+ I 2电压：U U = U 1+ U 2 U = U 1= U 2电荷量：Q电Q电= Q电1= Q电2 Q电= Q电1+ Q电2电阻：R R = R 1= R 2 1/R=1/R1+1/R2 [R=R1R2/(R1+R2)]电功：W W = W 1+ W 2 W = W 1+ W 2电功率：P P = P 1+ P 2 P = P 1+ P 2电热：Q热Q热= Q热1+ Q热 2 Q热= Q热1+ Q热 2物理量（单位）公式备注公式的变形速度V（m/S）v= S：路程/t：时间重力G（N）G=mg m：质量g：9.8N/kg或者10N/kg密度ρ（kg/m3）ρ=m：质量V：体积合力F合（N）方向相同：F合=F1+F2方向相反：F合=F1—F2 方向相反时，F1>F2浮力F浮(N) F浮=G物—G视G视：物体在液体的重力浮力F浮(N) F浮=G物此公式只适用物体漂浮或悬浮浮力F浮(N) F浮=G排=m排g=ρ液gV排G排：排开液体的重力m排：排开液体的质量ρ液：液体的密度V排：排开液体的体积(即浸入液体中的体积)杠杆的平衡条件F1L1= F2L2 F1：动力 L1：动力臂F2：阻力 L2：阻力臂定滑轮F=G物S=h F：绳子自由端受到的拉力G物：物体的重力S：绳子自由端移动的距离h：物体升高的距离动滑轮F= （G物+G轮）S=2 h G物：物体的重力G轮：动滑轮的重力滑轮组F= （G物+G轮）S=n h n：通过动滑轮绳子的段数机械功W（J）W=Fs F：力s：在力的方向上移动的距离有用功W有总功W总W有=G物hW总=Fs 适用滑轮组竖直放置时机械效率η= ×100%功率P（w）P=W：功t：时间压强p（Pa）P=F：压力S：受力面积液体压强p（Pa）P=ρgh ρ：液体的密度h：深度（从液面到所求点的竖直距离）热量Q（J）Q=cm△t c：物质的比热容 m：质量△t：温度的变化值燃料燃烧放出的热量Q（J）Q=mq m：质量q：热值常用的物理公式与重要知识点一．物理公式单位）公式备注公式的变形串联电路电流I（A）I=I1=I2=…… 电流处处相等串联电路电压U（V）U=U1+U2+…… 串联电路起分压作用串联电路电阻R（Ω）R=R1+R2+……并联电路电流I（A）I=I1+I2+…… 干路电流等于各支路电流之和（分流）并联电路电压U（V）U=U1=U2=……并联电路电阻R（Ω）= + +……欧姆定律I=电路中的电流与电压成正比，与电阻成反比电流定义式I=Q：电荷量（库仑）t：时间（S）电功W（J）W=UIt=Pt U：电压 I：电流t：时间 P：电功率电功率P=UI=I2R=U2/R U:电压 I：电流R：电阻电磁波波速与波长、频率的关系C=λν C：波速（电磁波的波速是不变的，等于3×108m/s）λ：波长ν：频率二．知识点1．需要记住的几个数值：a．声音在空气中的传播速度：340m/s b光在真空或空气中的传播速度：3×108m/sc．水的密度：1.0×103kg/m3 d．水的比热容：4.2×103J/（kg•℃）e．一节干电池的电压：1.5V f．家庭电路的电压：220Vg．安全电压：不高于36V2．密度、比热容、热值它们是物质的特性，同一种物质这三个物理量的值一般不改变。

第五节经济学中常用函数教学目的：了解经济中常用函数的概念。

结合经济现象理解盂求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念.教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解.教学内容：一.需求函数与价格函数一种商品的需求量0与该种商品的价格“密切相关，如杲不考虑其它因素的影响，则商品的蛊求量Q可看作价格P的函数。

称为需求函数，记作Q = /(卫)。

评注：(1)一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数Q = f(p) 是价格〃的减少函数。

如图(2)在企业管理和经济中常见的需求函数有线性需求函数：Q = a-bp,其中/?>0, a>0均为常数;二次需求函数：Q = a_bp_cp2,其中^>0, b>0, c>Q均为常数；指数需求函数：Q = A严,其中A>0, b>0均为常数；基函数需求函数：Q = AP-a ,其+ A>0, G>0均为常数。

二、供给函数“供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意11!售并且有可供出售的商品量，如果不考虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S是价格p的函数，记作S = S(p)0评注：(1) 一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数S = S(p)是价格〃的单调增加函数。

(2)常见的供给函数有线性函数，二次函数，幕函数，指数函数等。

(3)如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商品价格刁就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。

◎就是均衡数量。

2 4例1 :已知某商品的供给函数是S=-p-4,需求函数是Q = 50--p,试求该漓品处于市3 3场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。

解: 令S=Q,解方程组< e=|/^-44 Q= 50--p得均衡价格p = 27,均衡数量e = 14o2 4说明供给函数S=-p-4与需求函数2 = 50-一0的图彖交点的横坐标就是市场均衡价格。

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A一、任意角的三角函数的定义： 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot xyα=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0ry yα=≠。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线比较)2,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

四、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式． (1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四确定”.若α是第一象限，则2α是第一、三象限角；若α是第二象限，则2α是第一、三象限角；若α是第三象限角，则2α是第二、四象限；若α是第四象限角，则2α是第二、四象限。

第十三讲 反比例函数第一部分 知识梳理一、反比例函数的解析式1．反比例函数的概念一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质1．反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质3．反比例函数中反比例系数的几何意义(如图)面积为k 。

连接该点和原点，所得三三角形（如图）的面积m 的值D ．21-〖选题意图〗对于反比例函数)0(≠=k xky 。

由于11-=x x ，所以反比例函数也可以写成1-=x y （k 是常数，k ≠0）的形式，有时也以xy=k （k 是常数，k ≠0）的形式出现。

（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。

〖解题思路〗根据反比例函数的定义m 2﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．〖参考答案〗解：∵函数()521-+=m xm y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，∴⎩⎨⎧+-=-01152＜m m ，解得m =±2且m ＜﹣1，∴m =﹣2．故选B ．【课堂训练题】1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x =1时，y =﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式． 〖难度分级〗A 类〖参考答案〗解：设y 1=k 1x （k 1≠0），y 2=错误！未找到引用源。

2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左则，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；2．已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝14x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知:如图，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点，（1）求这个二次函数的解析式（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6.求点B的坐标。

4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝12x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC△x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）求ΔDAC的面积；（3）在抛物线上是否存在一点P，使它到x轴的距离为4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，则说明理由．6．已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣45x+c与直线y＝25x+25交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝25x+25与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线y＝25x+25下方，求△PAC的最大面积；（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．8．二次函数y=ax2+2x-1与直线y=2x-3交于点P（1，b）。

第二十二章《二次函数》解答题专题复习(55)一、解答题1.如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+l相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2,连结AM、BM.(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 判断AABM的形状，并说明理由.2.如图①已知抛物线y= -x2 +bx+c与x轴交于点A、研3,0)与y轴交于点C(0,3)直线/经过B、C两点.抛物线的顶点为D.(1) 求抛物线和直线/的解析式；(2) 判断ABCD的形状并说明理由.(3) 如图②若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点过E点作EF±x轴于点FEF交线段BC于点G当AECG是直角三角形时求点E的坐标.图①3.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A ( - 1, 0) , B (3, 0),于y轴交于C.（1）求该抛物线的解析式；（2）若M是抛物线的对称轴与直线BC的交点，N是抛物线的顶点，求MN的长; （3）若点P是抛物线上点，当S APAB =8时，求点P的坐标.4.在平面直角坐标系xQy中抛物线y = ax1 2-4ax+4a—3（a。

0）的顶点为A .（1）求顶点A的坐标；（2）过点（05）且平行于X轴的直线/与抛物线y = ax2-4ax+4a-3（a^0）交于3,C 两点.①当a = 2时求线段BC的长；②当线段的长不小于6时直接写出。

的取值范围.为卜765-321Illi| | | | |)5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5x-1-2-3-45.如图甲，抛物线y=ax2+bx - 1经过A（-l, 0）, B（2, 0）两点，交y轴于点C （0,-1 求抛物线的表达式和直线BC的表达式.2 如图乙，点P为在第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D.-3 -4 -3 -2 -1 □(1)求b的值;①在点P运动过程中，四边形ACPB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.②是否存在点P使得以点。

反比例函数小题例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ；(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x =>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -=例2(陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy 6=的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 .一、选择题1.如图，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是 —2. 如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数 1y x=（0x >）的图DC B A o xyF ECB Aoxy象上，则点E 的坐标是（ ， ）.*3.如图，双曲线)0(＞k xky =经过矩形OABC 的边BC 的中点E ， 交AB 于点D 。

若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为A ．x y 1=B ．xy 2= C ． x y 3= D ．xy 6=4.如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．5.如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，A B 3y x=A B x y ￥AB1S若则 ．?6.如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．．·7.如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．1S =阴影，12S S +=yxOP 1 P 2P 3 P4P 5：A 2 A 3 A 4 A 5yO xAC BO ABCDxyyBAo;8.如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线xy 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为9.如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x=交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值A ．等于2B ．等于34C ．等于245D ．无法确定10.如图，A 、B 是双曲线 y = k x(k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= ．|11.已知点（1，3）在函数)0(>=x xky 的图像上。

2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合一、综合题1．如图，正比例函数 y x = 的图象与反比例函数 ky x=（ 0x > ）的图象交于点 ()1A a ， ，在 ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， CA CB = ，点C 坐标为 ()20-，．（1）求 k 的值；（2）求 AB 所在直线的解析式．2．如图所示，直线 1y k x b =+ 与双曲线 2k y x=交于A 、B 两点，已知点B 的纵坐标为 3- ，直线AB 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点 ()02D -，， 5OA =， 1tan 2AOC ∠= ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点， OCP 的面积是 ODB 的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式 21k k x b x+≤的解集． 3．反比例函数 2m y x-=的图象的一支位于第一象限.（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；（2）如图，若直线 AB 与该函数图象交于 ()61A ， 、 B 两点，求此反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下， AOB 的面积为8，动点 P 在 y 轴上运动，当线段 PA 与 PB 之差最大时，求点 P 坐标.4．如图， Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， AC BC = ，点 ()20C ，，点 ()04B ， ，反比例函数 ()0kyxx=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线 OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点 ()1n ， ，求m ，n 的值． 5．如图，直线y=2x 与反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象交于点A(m ，8)，AB⊥x 轴，垂足为B 。

（1）求k 的值；（2）点C 在AB 上，若OC=AC ，求AC 的长；（3）点D 为x 轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S ⊥OCD =S ⊥ACD ，求点D 的坐标。

3.4 函数的应用(一)课后训练巩固提升1.从装满20 L 纯酒精的容器中倒出1 L 酒精,然后用水加满,再倒出1 L 酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k 次时前k 次共倒出纯酒精x L,倒第(k+1)次时前(k+1)次共倒出纯酒精f(x) L,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=1920x+1 B.f(x)=120x+1 C.f(x)=1920(x+1) D.f(x)=120xk 次时共倒出纯酒精xL,所以第k 次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是20-x 20L,故f(x)=x+20-x 20=1920x+1.2.某商品的进货价为40元/件,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,该商品的单价每提高1元,该商品一个月的销售量就会减少10件,为使销售该商品的月利润最高,商店应将每件商品定价为( )A.45元B.55元C.65元D.70元50元的基础上提高x元,x∈N,每月的月利润为y元,则y与x 的函数解析式为y=(500-10x)·(50+x-40)=-10x2+400x+5000,x∈N,其图象的对称轴为直线x=20,故每件商品的定价为70元时,月利润最高.3.(多选题)甲、乙两人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,表示甲、乙两人运动的函数关系的图象对应正确的是( )A.甲对应图①B.甲对应图③C.乙对应图②D.乙对应图④,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的直线的斜率大于后半程直线的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的直线的斜率小于后半程直线的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,则甲前半程的直线的斜率大于乙后半程直线的斜率,所以甲是①,乙是④.4.一批商品按期望获得50%的利润定价,结果只销售出70%的商品,为了尽早销售完剩下的商品,商场决定按定价打折出售,这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%,则应打( )A.六折B.七折C.八折D.九折a,商品打x折,-a)×30%=0.5a×82%-0.5a×70%,解得x=8.即商品由题意,得(1.5a·x10应打八折.5.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为( )0≤t≤1时,f(t)=12t·2t=t2;当1<t≤2时,f(t)=12×1×2+(t-1)×2=2t-1,故当t∈[0,1]时,函数的图象是抛物线的一部分,当t∈(1,2]时,函数的图象是一条线段,故选C.6.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,设S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小值是.,根据题意,得S(x)=√3·(3-x)21-x2(0<x<1),令3-x=t,则t∈(2,3),1t ∈(13,12),则S=√3·t2-t2+6t-8=√3·1-8t2+6t-1,故当1t =38,即x=13时,S有最小值,最小值是32√33.7.有一种新型的洗衣液,去污效果特别好.已知在装有一定量水的洗衣机中投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液时,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:分钟)变化的函数解析式近似为y=kf(x),其中f(x)={248-x-1(0≤x≤4),7-12x(4<x≤14).若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,第2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.由题意知,k(248-2-1)=3,解得k=1.(2)因为k=4,所以y={968-x -4,0≤x≤4,28-2x,4<x≤14.当0≤x≤4时,由968-x-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4;当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上,当y≥4时,0≤x≤12.故只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能.理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×(7-12×12)+1×[248-(12-10)-1]=5(克/升),因为5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.8.在经济学中,函数f(f(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x>0)报警系统装置的收益函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元).(1)求生产P(P(P(x)取得最大值时的实际意义是什么?由题意,得P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,其中P(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=248 0-40x,其中x∈[1,99],且x∈N*.(2)由(1)知P(x)=-20x2+2500x-4000=-20(x-1252)2+74125.由x∈N*,知当x=62或x=63时,P(a P(x)=2480-40x,该函数是减函数,即随着产量的增加,每台报警系统装置与前一台相比较,利润在减小,故当x=1时,MP(P(x)取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统装置与生产第1台的总利润差最大.。

中考数学《反比例函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．已知：如图1，函数y1=kx 和y2=xk(k>1)的图象相交于点A和点B .（1）求点A和点B的坐标（用含k的式子表示）；（2）如图2，点C的坐标为(1，k)，点D是第一象限内函数y1的图象上的动点，且在点A的右侧，直线AC、BC、AD、BD分别与x轴相交于点E、F、G、H .①判定△CEF的形状，并说明理由；②点D在运动的过程中，∠CAD和∠CBD的度数和是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，求出∠CAD和∠CBD的度数和.2．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（－2，－2），（√2，√2），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个.（1）若点P（2，m）是反比例函数y=nx（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx＋s－1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由.3．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y=6x(x>0)图象上一点，点B在x轴上，AD=BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y=6x(x>0)图象于点E.（1）平行四边形BCD 的面积等于 ；（2）设D 点横坐标为m ，试用m 表示点E 的坐标；（要有推理和计算过程） （3）求 CE:EB 的值； （4）求 EB 的最小值.4．如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y= mx 的图象交于点A （﹣3，m+8），B （n ，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．5．已知双曲线y=1x （x ＞0），直线l 1：y ﹣√2=k （x ﹣√2）（k ＜0）过定点F 且与双曲线交于A ，B 两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2），直线l 2：y=﹣x+√2． （1）若k=﹣1，求△OAB 的面积S ； （2）若AB=52√2，求k 的值；（3）设N （0，2√2），P 在双曲线上，M 在直线l 2上且PM ∥x 轴，求PM+PN 最小值，并求PM+PN 取得最小值时P 的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则A ，B 两点间的距离为AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2）6．已知反比例函数y=1−2mx( m为常数)的图象在一、三象限.（1）求m的取值范围.（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ ABCD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0).①求出反比例函数表达式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为▲ .若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为▲ .7．绘制函数y=x+1x的图象，我们经历了如下过程：确定自变量x的取值范围是x≠0；列表﹣﹣描点﹣﹣连线，得到该函数的图象如图所示．x …-4 -3 -2 -1 −12−13−141413121 2 3 4 …y …−414−313−212−2−212−313−4144143132122 212313414…观察函数图象，回答下列问题：（1）函数图象在第象限；（2）函数图象的对称性是A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形（3）在x＞0时，当x＝时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；在x＜0时，当x＝时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；=−2x+1是否有实数解？说明理由．（4）方程x+1x8．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：（1）求点D的坐标；（k≠0）的图象经过点H，则k= ；（2）若反比例函数y= kx（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．设P(x,0)是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．（2）若反比例函数y2=kx①求k的值；②结合图象，当y1>y2时，写出x的取值范围．10．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式．（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？11．（如图，四边形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，其四个顶点分别在反比例函数y1＝nx 与y2＝4nx的图象上，对角线AC⊥BD于点P，AC⊥x轴于点N（2，0）（1）若CN＝12，试求n的值；（2）当n＝2，点P是线段AC的中点时，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）直线AB与y轴相交于E点．当四边形ABCD为正方形时，请求出OE的长度．12．如图点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA= √5，反比例函数y= kx（k＞0）的图象过CD的中点E．（1）求证：△AOB≌△DCA；（2）求k的值；（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．13．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，且与反比例函数y=m的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为点D.若OB=2OA=3OD= x12 .（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若两函数图象的另一个交点为E，连结DE，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤m的解集.x与y2= 14．某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数y1=k1xk2(k2>k1>0)在第一象限图象的性质，经历了如下探究过程：x操作猜想：（1）如图①，当k1=2，k2=6时，在y轴的正方向上取一点A作x轴的平行线交y1于点B，交y2于点C .当OA=1时，AB=，BC=，BC AB =；当OA=3时，AB=，BC=，BCAB=；当OA=a时，猜想BCAB=（2）在y轴的正方向上任意取点A作x轴的平行线，交y1于点B、交y2于点C，请用含k1、k2的式子表示BCAB的值，并利用图②加以证明.（3）如图③，若k2=12，BCAB =12，在y轴的正方向上分别取点A、D(OD>OA)作x轴的平行线，交y1于点B、E，交y2于点C、F，是否存在四边形ADFB是正方形？如果存在，求OA的长和点B的坐标；如果不存在，请说明理由.15．如图，直线y＝2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2．（1）求H点的坐标及k的值；（2）点P在y轴上，使△AMP是以AM为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的P 点坐标；（3）点N（a，1）是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上的点，点Q（m，0）是x轴上的动点，当△MNQ的面积为3时，请求出所有满足条件的m的值．16．如图，双曲线y1＝k1x与直线y2＝xk2的图象交于A、B两点．已知点A的坐标为（4，1），点P（a，b）是双曲线y1＝k1x上的任意一点，且0＜a＜4．（1）分别求出y1、y2的函数表达式；（2）连接PA、PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面积；（3）当点P在双曲线y1＝k1x上运动时，设PB交x轴于点E，延长PA交x轴于点F，判断PE与PF的大小关系，并说明理由．参考答案与解析1．【答案】（1）解：由题意，联立{y=kxy=xk，解得{x=ky=1或{x=−ky=−1，∵点A在第一象限，点B在第二象限，且k>1，∴A(k，1)，B(−k，−1)（2）解：①△CEF是等腰直角三角形，理由如下：设直线BC的解析式为y=k0x+b0，将点B(−k，−1)，C(1，k)代入得：{−kk0+b0=−1k0+b0=k，解得{k0=1b0=k−1，则直线BC的解析式为y=x+k−1，当y=0时，x+k−1=0，解得x=1−k，即F(1−k，0)，同理可得：点E的坐标为E(1+k，0)，∴CF=√(1−k−1)2+(0−k)2=√2k，CE=√(1+k−1)2+(0−k)2=√2k，EF=1+k−(1−k)=2k，∴CE=CF，CE2+CF2=4k2=EF2，∴△CEF是等腰直角三角形；②由题意，设点D的坐标为D(m，km)，则m>k>1，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠BFH=∠AEG=135°，设直线BD的解析式为y=k1x+b1，将点B(−k，−1)，D(m，km )代入得：{−kk1+b1=−1mk1+b1=km，解得{k1=1mb1=k−mm，则直线BD的解析式为y=1m x+k−mm，当y=0时，1m x+k−mm=0，解得x=m−k，即H(m−k，0)，同理可得：点G的坐标为G(k+m，0)，∴DH=√(m−k−m)2+(0−km )2=km√1+m2，DG=√(k+m−m)2+(0−km )2=km√1+m2，∴DH=DG，∴∠DHG=∠DGH，∵∠DHG=∠BHF，∴∠DGH=∠BHF，∴∠CAD+∠CBD=∠AEG+∠DGH+∠CBD，=∠BFH+∠BHF+∠CBD，=180°，即∠CAD与∠CBD的度数和不变，度数和为180°2．【答案】（1）解：根据题意，“梦之点”就是有关函数图象与直线y=x的交点，其坐标就是对应的方程组的解.由题意可得：m=2由点P(2， 2)在反比例函数y=nx图象上，可得n=2×2=4故所求的反比例函数的解析式为y=4x（2）解：由题意可得：（Ⅰ）当k=0时，y=s−1，此时“梦之点”的坐标为(s−1， s−1 ) . （Ⅱ）当k≠0 时， (3k−1)x=1−s显然，此方程的解的情况决定函数y=3kx+s−1的图象上“梦之点”的存在情况，当k=13， s≠1时，方程无解，不存在“梦之点”；当k=13， s=1时，方程有无数个解，此时存在无数个“梦之点”，“梦之点”的坐标可表示为(ℎ，ℎ)（ℎ为任意实数）；当k≠13时，得{x=1−s3k−1y=1−s3k−1，即“梦之点”的坐标为(1−s3k−1， 1−s3k−1)3．【答案】（1）12（2）解：由题意D(m,6m)，由（1）可知AB=2m，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=2m，∴C(3m,6m) .∵B(2m,0)，C(3m,6m)，∴直线BC的解析式为y=6m2x−12m，由{y=6xy=6m2x−12m，解得{x=(√2+1)my=6√2−6m或{x=(1−√2)my=6(1+√2)m（舍弃），∴E((√2+1)m,6√2−6m)；（3）解：作EF⊥x轴于F，CG⊥x轴于G . ∵EF//CG，∴CE BE=FG BF=√2+1)m (√2+1)m−2m =√2√2−1=√2 ；（4）解：∵CEBE =√2 ∴BE =√2+1 ，要使得 BE 最小，只要 AD 最小， ∵AD =√m 2+36m 2=√(m −6m )2+12 ，∴AD 的最小值为 2√3 ， ∴BE 的最小值为√3√2+1=2√6−2√3 .4．【答案】（1）解：将A （﹣3，m+8）代入反比例函数y= mx 得，m −3=m+8，解得m=﹣6， m+8=﹣6+8=2，所以，点A 的坐标为（﹣3，2）， 反比例函数解析式为y=﹣ 6x ，将点B （n ，﹣6）代入y=﹣ 6x 得，﹣ 6n =﹣6， 解得n=1，所以，点B 的坐标为（1，﹣6），将点A （﹣3，2），B （1，﹣6）代入y=kx+b 得， {−3k +b =2k +b =−6 ， 解得 {k =−2b =−4，所以，一次函数解析式为y=﹣2x ﹣4； （2）解：设AB 与x 轴相交于点C ， 令﹣2x ﹣4=0解得x=﹣2， 所以，点C 的坐标为（﹣2，0）， 所以，OC=2， S △AOB =S △AOC +S △BOC ， = 12 ×2×3+ 12 ×2×1，=3+1， =4．5．【答案】（1）解：当k=-1时，l 1：y=﹣x+2√2， 联立得，{y =−x +2√2y =1x ，化简得x 2﹣2√2x+1=0， 解得：x 1=√2﹣1，x 2=√2+1，设直线l 1与y 轴交于点C ，则C （0，2√2）． S △OAB =S △AOC ﹣S △BOC =12•2√2•（x 2﹣x 1）=2√2；（2）解：根据题意得：{y −√2=k(x −√2)y =1x 整理得：kx 2+√2（1﹣k ）x ﹣1=0（k ＜0）， ∵△=[√2（1﹣k ）]2﹣4×k ×（﹣1）=2（1+k 2）＞0， ∴x 1、x 2 是方程的两根， ∴{x 1+x 2=√2(k−1)k x 1·x 2=−1k①， ∴AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(x 1−x 2)2+(1x 1−1x 2)2=√(x 1−x 2)2(1+1x 12·x 22)=√[(x 1+x 2)2−4x 1x 2](1+1x 12·x 22)，将①代入得，AB=√2(k 2+1)2k 2=√2(k 2+1)−k （k ＜0），∴√2(k 2+1)−k =5√22，整理得：2k2+5k+2=0，解得：k=﹣2，或 k=12；（3）解：∵直线l1：y﹣√2=k（x﹣√2）（k＜0）过定点F, ∴ F（√2，√2）.如图：设P（x，1x ），则M（﹣1x+√2，1x），则PM=x+1x ﹣√2=√(x+1x−√2)2=√x2+1x2−2√2(x+1x)+4，∵PF=√(x−√2)2+(1x −√2)2=√x2+1x2−2√2(x+1x)+4，∴PM=PF．∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2√2，由（1）知P（√2﹣1，√2+1），∴当P（√2﹣1，√2+1）时，PM+PN最小值是2．6．【答案】（1）解：根据题意，得1−2m>0，解得m<12，∴m的取值范围是m<12.（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，A(0，3)，B(−2，0)，∴D(2，3) .把D(2，3)代入y=1−2mx ，得3=1−2m2，∴1−2m=6 .∴反比例函数表达式为y=6x；②(3，2)或(-2，-3)或(-3，-2)；4 7．【答案】（1）一、三（2）C（3）1；小；2；−1；大；−2（4）解：方程x ＋ 1x ＝﹣2x ＋1没有实数解，理由为：y ＝x ＋ 1x 与y ＝﹣2x ＋1在同一直角坐标系中无交点．8．【答案】（1）解：x 2﹣9x+18=0， （x ﹣3）（x ﹣6）=0， x=3或6， ∵CD ＞DE ， ∴CD=6，DE=3， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AE=EC= √62−32 =3 √3 ， ∴∠DCA=30°，∠EDC=60°， Rt △DEM 中，∠DEM=30°， ∴DM= 12 DE= 32 ， ∵OM ⊥AB ，∴S 菱形ABCD = 12 AC •BD=CD •OM ， ∴12×6√3×6 =6OM ，OM=3 √3 ， ∴D （﹣ 32 ，3 √3 ） （2）解：（3）解：如图1，①∵DC=BC ，∠DCB=60°， ∴△DCB 是等边三角形， ∵H 是BC 的中点，∴DH⊥BC，∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，∵FC=FB，∴∠FCB=∠FBC=30°，∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，∴AB⊥BF，CP⊥AB，Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，∴FB=2 √3 =CP，，√3）；∴P（92②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，∴CQ∥PH，由①知：PH⊥BC，∴CQ⊥BC，Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，∴∠BQC=30°，∴CQ=6 √3，连接QA，∵AE=EC，QE⊥AC，∴QA=QC=6 √3，∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，∴∠QAB=90°，∴Q（﹣92，6 √3），由①知：F（32，2 √3），由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣92﹣3，6 √3﹣√3），即P（﹣152，5 √3）；③如图3，四边形CQFP是平行四边形，同理知：Q（﹣92，6 √3），F（32，2 √3），C（92，3 √3），∴P（212，﹣√3）；综上所述，点P的坐标为：（92，√3）或（﹣152，5 √3）或（212，﹣√3）．9．【答案】（1）解：由题意y1=|x|．函数图象如图所示：（2）解：①当点A在第一象限时，由题意A(2,2)，∴2=k2，∴k=4．同法当点A在第二象限时，k=−4，②观察图象可知：当k>0时，x>2时，y1>y2或x<0时，y1>y2．当k<0时，x<−2时，y1>y2或x>0时，y1>y2．10．【答案】（1）解：由题意得，设前5个月中y= kx，把x=1，y=100代入得，k=100，∴y与x之间的函数关系式为y= 100x（0<x<5，且x为整数），把x=5代入，得y=20，由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y=10x+b，把x=5，y=20代入得，20=10×5+b，解得：b=-30，∴y与x之间的函数关系式为y=10x-30（x>5且x为整数）；（2）解：在函数y=10x−30中，令y=100，得10x−30=100解得：x=13答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．（3）解：在函数y=100x中，当y=50时，x=2，∵100>0，y随x的增大而减小，∴当y<50时，x>2在函数y=10x−30中，当y<50时，得10x−30<50解得：x<8∴2<x<8且x为整数；∴x可取3，4，5，6，7；共5个月．答：该化工厂资金紧张期共有5个月．11．【答案】（1）解：∵点N的坐标为（2，0），CN⊥x轴，且CN＝12，∴点C的坐标为（2，12）．∵点C在反比例函数y1＝nx的图象上，∴n＝2×12＝1．（2）解：四边形ABCD为菱形，理由如下：当n＝2时，y1＝nx＝2x，y2＝4nx＝8x．当x＝2时，y1＝2x＝1，y2＝8x＝4，∴点C的坐标为（2，1），点A的坐标为（2，4）．∵点P是线段AC的中点，∴点P 的坐标为（2， 52 ）． 当y ＝ 52 时， 2x ＝ 52 ， 8x ＝ 52 ， 解得：x ＝ 45 ，x ＝ 165 ，∴点B 的坐标为（ 45 ， 52 ），点D 的坐标为（ 165 ， 52 ）， ∴BP ＝2﹣ 45 ＝ 65 ，DP ＝ 165 ﹣2＝ 65 ， ∴BP ＝DP ．又∵AP ＝CP ，AC ⊥BD ， ∴四边形ABCD 为菱形．（3）解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ＝BD ，且点P 为线段AC 及BD 的中点． 当x ＝2时，y 1＝ 12 n ，y 2＝2n ，∴点A 的坐标为（2，2n ），点C 的坐标为（2， 12 n ），AC ＝ 32 n ， ∴点P 的坐标为（2， 54 n ）．同理，点B 的坐标为（ 45 ， 54 n ），点D 的坐标为（ 165 ， 54 n ），BD ＝ 125 ． ∵AC ＝BD ， ∴32 n ＝ 125 ， ∴n ＝ 85 ，∴点A 的坐标为（2， 165 ），点B 的坐标为（ 45 ，2）． 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b （k ≠0），将A （2， 165 ），B （ 45 ，2）代入y ＝kx+b ，得： {2k +b =16545k +b =2 ，解得： {b =65k =1 ，∴直线AB 的解析式为y ＝x+ 65 ． 当x ＝0时，y ＝x+ 65 ＝ 65 ， ∴点E 的坐标为（0， 65 ），∴当四边形ABCD为正方形时，OE的长度为6．512．【答案】（1）证明：∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴，∴∠AOB=∠DCA=90°，在Rt△AOB和Rt△DCA中，AO=CD，AB=DA∴Rt△AOB≌Rt△DCA（HL）（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD= √5，∴AC= =1，∴OC=OA+AC=2+1=3，∴D点坐标为（3，2），∵点E为CD的中点，∴点E的坐标为（3，1），k=3×1=3（3）解：点G在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，∴△BFG≌△DCA，∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，而OB=AC=1，∴OF=OB+BF=1+2=3，∴G点坐标为（1，3），∵1×3=3，∴G（1，3）在反比例函数y= 的图象上13．【答案】（1）解：∵OB =2OA =3OD =12 ∴OA =6,OD =4 ∴A(6,0),B(0,12)把 A(6,0),B(0,12) 分别代入 y =kx +b 得： {6k +b =0b =12 ，解之得： m =−4×20=−80 ∴一次函数的解析式为 y =−2x +12 令 x =−4 ，则 y =20 ∴C(−4,20)把 C(−4,20) 代入 y =mx 得：m =−4×20=−80∴反比例函数的解析式为 y =−80x ； （2）解：解方程组 {y =−2x +12y =−80x 得： {x 1=−4y 1=20,{x 2=10y 2=−8∴E(10,−8)∴S ΔCDE =S ΔADC +S ΔADE=12AD ⋅(CD +|y E |)=12×(4+6)×(20+8) =140（3）解：如图：当x ＜-4时， y =mx 的图象在 y =kx +b 的下方，即 kx +b ＞ mx ； 当 −4 ≤ x <0 时， y =mx 的图象在 y =kx +b 的上方，即 kx +b ≤ mx ； 当0＜x ＜10时， y =mx 的图象在 y =kx +b 的下方，即 kx +b ＞ mx ； 当 x ≥10时， y =mx 的图象在 y =kx +b 的上方，即 kx +b ≤ mx ； 综上可得，不等式 kx +b ≤ mx 的解集为 −4 ≤ x <0 或 x ≥10. 14．【答案】（1）2；4；2；23；43；2；2 数学思考： （2）BCAB =k 2−k 1k 1证明：∵AB ·OA =k 1 ， AC ·OA =k 2 ， ∴AC ·OA −AB ·OA =BC ·OA =k 2−k 1 ，∴BCAB =BC·OAAB·OA=k2−k1k1.推广应用：（3）解：若四边形ADFB是正方形，设点B的坐标为(a,b)（a>0，b>0），则有DF=DA=AB=a，OA=b，OD=a+b，∴点F的坐标为(a,a+b) .∵k2=12，BCAB =k2−k1k1=12，∴12−k1k1=12，解得：k1=8 .∵点B在y=8x 图象上，点F在y=12x图象上，∴ab=8，a (a+b)=12，∴a2=12−8=4，∴a=2，∴b=4，∴OA=4，点B的坐标为(2,4) .15．【答案】（1）解：由y＝2x+2可知A（0，2），即OA＝2，∵tan∠AHO＝2，∴OH＝1，∴H（1，0），∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1，∵点M在直线y＝2x+2上，∴点M的纵坐标为4，即M（1，4），∵点M在y＝kx上，∴k＝1×4＝4；（2）解：①当AM＝AP时，∵A（0，2），M（1，4），∴AM＝√5，则AP＝AM＝√5，∴此时点P的坐标为（0，2﹣√5）或（0，2+ √5）；②若AM＝PM时，设P（0，y），则PM＝√(1−0)2+(4−y)2，∴√(1−0)2+(4−y)2＝√5，解得y＝2（舍）或y＝6，此时点P的坐标为（0，6），综上所述，点P的坐标为（0，6）或（0，2+ √5），或（0，2﹣√5）；（3）解：∵点N（a，1）在反比例函数y＝4x（x＞0）图象上，∴a＝4，∴点N（4，1），延长MN交x轴于点C，设直线MN的解析式为y＝mx+n，则有{m+n＝44m+n＝1,，解得{m＝−1n＝5，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+5．∵点C是直线y＝﹣x+5与x轴的交点，∴点C的坐标为（5，0），OC＝5，∵S△MNQ＝3，∴S△MNQ ＝S△MQC﹣S△NQC＝12×QC×4﹣12×QC×1＝32QC＝3，∴QC＝2，∵C（5，0），Q（m，0），∴|m﹣5|＝2，∴m＝7或3，故答案为7或3．16．【答案】（1）解：把点A（4，1）代入双曲线y1=k1x得k1=4，∴双曲线的解析式为y1=4x；把点A（4，1）代入直线y2=x k2得k2=4，∴直线的解析式为y2=14x（2）解：∵点P（a，b）在y1=4x的图象上，∴ab=4，∵4a=b，∴4a2=4，则a=±1，∵0<a<4，∴a=1，∴点P的坐标为（1，4），又∵双曲线y1=4x 与直线y2=14x的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（4，1），∴点B的坐标为（−4，−1），过点P作PG∥y轴交AB于点G，如图所示，把x=1代入y2=14x，得到y=14，∴点G的坐标为（1，14），∴PG =4−14=154 ， ∴S △ABP =12 PG （ x A −x B )=12×154×8=15 （3）解：PE=PF ．理由如下：∵点P （ a ， b ）在 y 1=4x 的图象上，∴b =4a ，∵点B 的坐标为（ −4 ， −1 ）， 设直线PB 的表达式为 y =mx +n ， ∴{am +n =4a −4m +n =−1， ∴{m =1a n =4a −1， ∴直线PB 的表达式为 y =1a x +4a −1 ， 当 y =0 时， x =a −4 ，∴E 点的坐标为（ a −4 ，0）， 同理：直线PA 的表达式为 y =−1a x +4a +1 ， 当 y =0 时， x =a +4 ，∴F 点的坐标为（ a +4 ，0），过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图所示，∵P 点坐标为（，∴H 点的坐标为（ a ，0），∴EH =x H −x E =a −(a −4)=4 ， FH =x F −x H =a +4−a =4 ， ∴EH=FH ，∴PE=PF ．。

专题04 利用一次函数比较大小与求范围知识对接考点一、一次函数的性质性质：k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。

一次函数表达式的确定：求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.专项训练一、单选题1．已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定【答案】B【分析】一次函数图象上点的坐标特征，把点（-2，y1）和（3，y2）代入y=-x-5中计算出y1与y2的值，然后比较它们的大小．【详解】解：∵点（﹣2，y1）和（3，y2）都在直线y＝-x-5上，∵y1＝-（-2）-5＝-3，y2＝-3-5＝-8，∵y1＞y2．故选B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．2．若点()1,A m y ，点()221,B m a y ++都在一次函数54y x =+的图象上，则（ ） A ．12y y <B ．12y y =-C ．12y y >D ．12y y =【答案】A【分析】 由偶次方的非负性可得出20a ，进而可得出2+1m a m +>，由50k =>，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，进而可得出12y y <．【详解】解：20a ，210a ∴+>，21m m a ∴<++．50k =>，∵y 随x 的增大而增大，12y y ∴<．故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的非负数，一次函数的增减性，灵活运用不等式比较自变量的大小，根据一次函数的增减性判断是解题的关键．3．下列有关一次函数42y x =--的说法中，正确的是（ ）A ．y 的值随着x 值的增大而增大B ．函数图象与y 轴的交点坐标为()0,2C ．当0x >时，2y >-D ．函数图象经过第二、三、四象限【答案】D【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：一次函数42y x =--的函数图像如图，A 、∵k =-4＜0，∵当x 值增大时，y 的值随着x 增大而减小，故选项A 不正确；B 、当x =0时，y =-2，函数图象与y 轴的交点坐标为（0，-2），故选项B 不正确；C 、当x ＞0时，2y <-，故选项C 不正确；D 、∵k ＜0，b ＜0，图象经过第二、三、四象限，故选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 4．在平面直角坐标系中，点(),P x y 在第一象限内，且8x y +=，点A 的坐标为()6,0．设OPA 的面积为S ，S 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．()64808S x x =-+<<B ．()31208S x x =-+<<C ．()32408S x x =-+<<D ．()18083S x x =-+<< 【答案】C【分析】表示出OA 和PB 的长，建立关于x 的三角形面积的表达式，即为一次函数表达式．【详解】解：如选图所示：由x +y =8得，y =−x +8，即点P (x ,y )在y =−x +8的函数图象上，且在第一象限，过点P 做PB ∵x 轴，垂足为B则12OPA S OA PB ∆=•=()1683242x x =⨯⨯-+=-+ ∵点P (x ,y )在第一象限内∵x >0,y =−x +8>0，∵0<x <8∵S =−3x +24(0<x <8) ．故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的关系式，根据三角形面积公式得出函数关系式是关键． 5．若一次函数2y x b =+的图象经过点()2,3，则b 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．5D ．7 【答案】A【分析】直接把点（2，3）代入一次函数y =2x +b ，求出b 的值即可．【详解】解：∵一次函数y =2x +b 的图象经过点（2，3），∵3=4+b ，解得b =-1．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （﹣1，1），B （4，0）两点，若点M （2，y 1）和点N （3，y 2）恰好也是该函数图象上的两点，则y 1，y 2的关系是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．无法确定【答案】C【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y =kx +b 的图象经过A （-1，1），B （4，0）两点，∵104k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得1545k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵一次函数的解析式为y =15-x +45， ∵k =15-＜0， ∵y 随x 的增大而减小，∵2＜3，∵y 1＞y 2．故选C ．【点睛】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象的性质．7．在平面直角坐标系中，无论a 取任何实数，点P (2a ，a +1)，Q (m ，n )都是直线l 上的点，则(m －2n +4)2的值为（ ）A ．1B ．4C ．9D ．16【答案】B【分析】设直线l 的解析式为y =kx +b ，根据不管a 取何值，P 点都在l 上，即可令a =0，令a =1得到2个点的坐标，求出l 的解析式，然后求解即可.【详解】解： 设直线l 的解析式为y =kx +b∵不管a 取何值，P （2a ，a +1）点都在l 上∵令a =1时，a +1=2，令a =0时，a +1=1∵（2，2）和（0，1）均在l 上 ∵221k b b +=⎧⎨=⎩解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∵直线l 的解析式为112y x =+ ∵Q (m ，n )在直线上 ∵112n m =+ ∵22m n -=- ∵()()2224244m n -+=-+=故选B.【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．已知在一次函数y ＝﹣3x +2的图象上有三个点A (﹣3，y 1)，B (3，y 2)，C (﹣4，y 3)，则下列各式中正确的是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1 【答案】B【分析】根据一次函数图象的增减性来比较A 、B 、C 三点的纵坐标的大小．【详解】解：∵一次函数y ＝﹣3x +2中的﹣3＜0，∵该函数的y 随x 的增大而减小．又∵3＞﹣3＞﹣4，∵y 2＜y 1＜y 3．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点坐标特征．解答该题的关键是熟练掌握一次函数的增减性． 9．一次函数21y x =-+上有两点()12,y -和()21,y ，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法比较【答案】A【分析】根据一次函数的增减性直接判断即可；或求出1y 、2y 的值，进行比较．【详解】解：方法一：因为一次函数21y x =-+中的比例系数20-<，所以y 随着x 的增大而减小，∵-2＜1，∵12y y >；方法二：把x=-2或1分别代入21y x =-+得，15y =、21y =-， ∵12y y >；故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是知道一次函数的增减性由比例系数k 决定，根据k 值可直接判断．10．若直线l 经过不同的三点(),A m n ，(),B n m ，(),C m n n m --，则直线l 经过的象限是（ ）A ．第二，四象限B ．第一，二象限C ．第二，三，四象限D ．第一，三，四象限【答案】A【分析】由点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式，再利用正比例函数的性质可得出该函数图象经过的象限．【详解】解：设一次函数的解析式为(0)y kx b k =+≠， 将(),A m n ，(),B n m ，(),C m n n m --代入，得：()mk b n nk b m m n k n m +=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩，解得10k b =-⎧⎨=⎩， ∵一次函数的解析式为y x =-，∵该函数图象经过第二、四象限．故选：A ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及正比例函数的性质，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．二、填空题11．已知一次函数的图象经过点0,5，且与直线y x =平行，则一次函数的表达式为______．【答案】5y x =+【分析】根据两直线平行的条件可知1k =，再把(0,5)代入y x b =+中，可求b ，进而可得一次函数解析式．【详解】解：设一次函数的表达式为y kx b =+，y kx b =+与直线y x =平行，y x b ∴=+，把(0,5)代入y x b =+中，得5b =，∴一次函数解析式是5y x =+，故答案为：5y x =+．【点睛】本题考查了两条直线平行的问题，解题的关键是知道两条直线平行的条件是k相等．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，5）．将∵BOA绕点A顺时针方向旋转得∵B′O′A，若点B在B′O′的延长线上，则直线BB′的解析式为__．【答案】y＝﹣940x+5【分析】首先证明OO′∵AB，求出直线OO′解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出O′坐标，设直线B′O′解析式为y＝mx+n，把B与O′坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式．【详解】解：连接OO′交AB于M，∵∵BOA绕点A按顺时针方向旋转得∵B′O′A，∵∵BOA∵∵B′O′A，∵AB＝AB′，OA＝AO′，∵点B在B′O′的延长线上，AO′∵B B′，∵BO′＝B′O′＝OB，∵OA＝AO′，BO＝BO′，∵OO′∵AB，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A与B坐标代入得：405k bb+=⎧⎨=⎩，解得：545kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∵直线AB解析式为y＝﹣54x+5，∵直线OO′解析式为y＝45 x，联立得：55445y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：100418041x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 10080(,)4141， ∵M 为线段OO ′的中点，∵O ′200160(,)4141， 设直线B ′O ′解析式为y ＝mx +n ，把B 与O ′坐标代入得：20016041415m n n ⎧+=⎪⎨⎪=⎩， 解得：m ＝940-，n ＝5， 则直线BB′解析式为y ＝940-x +5． 故答案为：y ＝﹣940x +5．【点睛】此题考查坐标与图形变化-旋转、待定系数法求一次函数解析式，正确理解各直线之间的关系，确定点坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．13．已知一次函数1y x =和()()220220x x y x x ⎧--⎪=⎨-≥⎪⎩＜，当12y y >时，x 的取值范围是 _________ 【答案】12x -<<【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可；【详解】∵当0x <，12y y >时，20x x x --⎧⎨⎩＞＜，解得：10x -<<；∵当0x ≥时，12y y >，220x x x -⎧⎨≥⎩＞，解得 02x ≤<； 综上12x -<<；故答案是：12x -<<．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，分类讨论，解不等式组，准确计算是解题的关键．14．已知()111,P y -，()222,P y 是一次函数y x b =-+的图像上的两点，则1y ______2y （填“＞”或“＜”或“=”）．【答案】>【分析】先根据一次函数y x b =-+中k =-1判断出函数的增减性，再根据-1<2进行解答即可．【详解】解：∵一次函数y x b =-+中k =-1＜0，∵y 随x 的增大而减小，∵-1<2，∵y 1>y 2．故答案为>．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．15．如图，一次函数y ax b =+与y cx d =+的图象交于点P ．下列结论中，所有正确结论的序号是_________．∵0b <；∵0ac <；∵当1x >时，ax b cx d +>+；∵a b c d +=+；∵c d >．【答案】∵∵∵【分析】仔细观察图象：∵根据一次函数y ＝ax ＋b 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点即可判断a 、b 的正负；∵根据一次函数y ＝cx ＋d 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点可判断c 、d 的正负，即可得出结论；∵以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；∵由两个一次函数图象的交点坐标的横坐标为1可得出结论；∵由一次函数y ＝cx ＋d 图象与x 轴的交点坐标为（d c -，0），可得d c -＞-1，解此不等式即可作出判断． 【详解】解：∵由图象可得：一次函数y ＝ax ＋b 图象经过一、二、四象限，∵a ＜0，b ＞0，故∵错误；∵由图象可得：一次函数y ＝cx ＋d 图象经过一、二、三象限，∵c ＞0，d ＞0，∵ac ＜0，故∵正确；∵由图象可得：当x ＞1时，一次函数y ＝ax ＋b 图象在y ＝cx ＋d 的图象下方，∵ax ＋b ＜cx ＋d ，故∵错误；∵∵一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝cx ＋d 的图象的交点P 的横坐标为1，∵a ＋b ＝c ＋d ，故∵正确；∵∵一次函数y ＝cx ＋d 图象与x 轴的交点坐标为（d c -，0），且d c-＞-1，c ＞0， ∵c ＞d ．故∵正确．故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象与性质并利用数形结合的思想是解题的关键．三、解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(0,1)-．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1y x =-；（2）1m ≤【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（0，-1）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式； （2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，0），即可得出当1x >时，y x m=-+都小于1y x =-，根据1x >，可得m 可取值1，可得出m 的取值范围．【详解】解：（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，∵1k =．∵一次函数y x b =+的图象过点(01)-，， ∵1b =-．∵这个一次函数的表达式为1y x =-．（2）由（1）得y=x -1，解不等式-x+m ＜x -1得12m x +>由题意得11,2m +≤ 故m 的取值范围1m ≤【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． 17．已知一次函数()()30y k x k =-≠．（1）求证：点()3,0在该函数图象上．（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点()4,2-，求k 的值．（3）若0k <，点()11,A x y ，()22,B x y 在函数图象上，且12y y <，判断120x x -<是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）-4；（3）不成立，理由见解析【分析】（1）令x =3，得y =0即可得证；（2）一次函数y =k （x -3）图象向上平移2个单位得y =k （x -3）+2，将（4，-2）代入可得k ； （3）由y 1＜y 2列出x 1、x 2的不等式，根据k ＜0可得答案．【详解】解：（1）在y =k （x -3）中令x =3，得y =0，∵点（3，0）在y =k （x -3）图象上；（2）一次函数y =k （x -3）图象向上平移2个单位得y =k （x -3）+2，将（4，-2）代入得：-2=k （4-3）+2，解得k =-4；（3）x 1-x 2＜0不成立，理由如下：∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在y =k （x -3）图象上，∵y 1=k （x 1-3），y 2=k （x 2-3），∵y 1-y 2=k （x 1-x 2），∵y 1＜y 2，∵y 1-y 2＜0，即k （x 1-x 2）＜0，而k ＜0，∵x1-x2＞0，∵x1-x2＜0不成立．【点睛】本题考查一次函数图象上的点，解题的关键是将点坐标代入变形．18．已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）y1≥y2，理由见解析【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据一次函数y＝﹣x+1的性质即可判断．【详解】解：（1）根据题意，设一次函数解析式为：y＝kx+b(0)k≠，将（﹣1，2）和（3，﹣2）代入得：232k bk b⎧-+=⎨+=-⎩，解得：11kb=-⎧⎨=⎩，∵一次函数解析式为：y＝﹣x+1；（2）∵k＝﹣1＜0，∵y随x的增大而减小，∵当x1≤x2时，y1≥y2．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的过程，根据一次函数的性质比较函数值的大小．19．已知一次函数图象经过(0，-1)和(2，3)两点．（1）求此一次函数的解析式；（2）若点(m，-3)在函数图象上，求m的值．【答案】（1）y=2x-1；（2）-1【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），再把点(0，-1)和(2，3)代入即可求出k，b的值，进而得出一次函数的解析式；（2）把点（m，-3）代入一次函数的解析式，求出m的值即可．【详解】解：（1）设一次函数的解析式为y =kx +b ，则有123b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：21k b =⎧⎨=-⎩， ∵一次函数的解析式为y =2x -1；（2）∵点（m ，-3）在一次函数y =2x -1图象上，∵2m -1=-3，∵m =-1．【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．20．已知一次函数y kx b =+，当2x =时，5y =；当2x =-时，11y =-．求k 和b 的值．【答案】43k b =⎧⎨=-⎩ 【分析】根据题意列出关系k 、b 的二元一次方程组，求解即可.【详解】解：由题意，得25211k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得43k b =⎧⎨=-⎩∵k 和b 的值分别为4和-3.【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A -，点()10B ,． （1）求一次函数解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数2y x n =+的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）1y x =-（2）2n ≥【分析】（1）通过待定系数法将点()0,1A -，点()10B ,代入解析式求解； （2）根据题意得出21x n x +-＞，求出x 得取值范围，结合1x >即可得出n 的取值范围．【详解】解：（1）∵一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A -，点()10B ,， ∵10b k b-=⎧⎨=+⎩， 解得：11k b =⎧⎨=-⎩， ∵一次函数的解析式为：1y x =-，（2）由（1）得：1y x =-，根据题意：21x n x +-＞，解得：1x n --＞，由题意得：11n --≤，即2n ≥．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，根据数形结合的思想解题是关键．22．已知：y 与x +2成正比例，且x ＝﹣4时，y ＝﹣2；（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）点P 1（m ，y 1），P 2（m ﹣2，y 2）在（1）中所得函数图像上，比较y 1与y 2的大小．【答案】（1）2y x =+；（2）12y y ＞【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据一次函数的增减性解答即可．【详解】解：（1）∵y +与x +2成正比例，设y ＝k （x +2），把x ＝﹣4，y ＝﹣2代入得：﹣2＝k （﹣4+2），解得：k ＝1，∵y ＝x +2；（2）∵k ＝1＞0，∵y 随x 的增大而增大，又∵m ＞m -2，∵y 1＞y 2．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键．23．如图，直线1l 的解析表达式为：33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标．（2）求直线2l 的解析表达式．（3）求ADC 的面积．（4）在直线2l 上存在异于点C 的另—点P ，使得ADP △与ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）(1,0)D ；（2）362y x =-；（3）92；（4）(6,3)P 【分析】（1）已知1l 的解析式，令0y =求出x 的值即可；（2）设2l 的解析式为y kx b =+，由图联立方程组求出k ，b 的值；（3）联立方程组，求出交点C 的坐标，继而可求出ADC S ∆； （4）ADP ∆与ADC ∆底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC ∆高就是点C 到AD 的距离． 【详解】解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=，1x ∴=，(1,0)D ∴；（2）设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：4x =，0y =；3x =，32y =-，代入表达式y kx b =+， ∴40332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩， ∴326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为362y x =-； （3）由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩， (2,3)C ∴-，3AD =，193|3|22ADC S ∆∴=⨯⨯-=； （4）ADP ∆与ADC ∆底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC ∆高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值|3|3=-=，则P 到AD 距离3=，P ∴纵坐标的绝对值3=，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，1.56y x =-，3y =，1.563x ∴-=6x =，所以(6,3)P ．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答．。

需求函数公式需求函数是描述一种现象、商品或服务对某一特定问题的需求程度的数学模型。

它通常用数学公式形式化表示，以定量的方式测量需求的程度。

需求函数的一般形式可以表示为：Q = f(P, I, A, T, O, S)其中，Q是需求的数量，P是商品或服务的价格，I是消费者的收入水平，A是替代品的价格或可用性，T是与商品或服务有关的个体偏好或市场环境的趋势因素，O是其他市场因素，S是特定的经济、社会或文化因素。

这些因素在不同的需求函数中起着不同的作用。

下面是一些常见的需求函数及其相关参考内容：1. 单变量线性需求函数：Q = a - bP这是最简单的需求函数形式之一，其中a和b是常数。

a表示需求量的最大值，b表示价格弹性。

相关参考内容可以包括市场调查、历史数据分析和价格弹性的文献研究。

2. 多变量线性需求函数：Q = a - b1P - b2I - b3A这个需求函数考虑了价格、收入和替代品的影响。

b1、b2和b3是价格弹性、收入弹性和替代品价格弹性的系数。

相关参考内容可以包括调查数据、经济统计和市场报告。

3. Cobb-Douglas需求函数：Q = a * P^b * I^c * A^d这个函数是一种经典的生产函数形式，常用于描述多个因素对需求的影响。

指数b、c和d表示价格弹性、收入弹性和替代品价格弹性的影响。

相关参考内容可以包括经济学文献、市场研究和市场调查。

4. 拉格朗日乘数法需求函数：Q = f(P, I, A, T) + λ(g(P, I, A, T) - O)这个需求函数结合了约束条件的优化问题。

拉格朗日乘数λ表示了约束条件与目标函数的关系。

相关参考内容可以包括微积分教材、最优化理论和经济学优化模型的文献。

这些需求函数形式只是其中的一部分，实际上还存在许多其他的需求函数形式，因为需求函数往往是根据具体问题和背景来选择的。

建立需求函数需要结合特定的市场、行业和产品特征，并且需要基于可靠的数据和经济理论加以推导和验证。