2019高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文

第4章三角函数与解三角形章末总结二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修4 P 146A 组T 6(3)改编)已知sin 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A ．49B.59C ．23 D.79解析：选D.因为sin 2θ＝23，所以sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×49＝79.故选D.2．(必修4 P 147A 组T 12改编)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 的最大值为1，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＋sin x cos π6－cos x sin π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋π6)＋a ，所以f (x )max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A. 3．(必修4 P 69A 组T 8改编)已知tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．210B ．－210C ．7210D ．－7210解析：选B.因为tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×31＋32＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－321＋32＝－45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210.选B. 4．(必修4 P 58A 组T 2(3)改编)如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象，则其解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D.由题图知T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4.所以T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.当x ＝－π12时，y ＝0，当x ＝0时，y ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0A sin φ＝1，所以φ＝π6，A ＝2.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.5．(必修5 P 18练习T 1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S △ABC ＝22，则c ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.17解析：选B.由已知得12×2×3×sin C ＝22，所以sin C ＝223.由于C ＜90°，所以cos C ＝1－sin 2C ＝13.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×13＝9，所以c ＝3，故选B.6．(必修5 P 18练习T 3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3a cos A＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则a sin B ＝( )A ．43B.232 C ．423D ．6 2解析：选C.因为3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，即3a cos A ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a ，所以cos A ＝1，又0＜A ＜π.所以sin A ＝22.．a ，b ，c .A ＝120°，a ＝7，S △ABC ＝1543，则b ＋c ＝________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12bc sin 120°＝1543b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72，即⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝15b 2＋c 2＋bc ＝49，所以b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8. 答案：89．(必修4 P 56练习T 3改编)关于函数f (x )＝23sin(12x －π4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π； ②f (x )的图象关于x ＝π2对称；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增；⑤f (x )的图象可由g (x )＝23cos 12x 向右平移π8个单位得到．其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．解析：f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.所以f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故②错误．③正确． 由2k π－π2＜12x －π4＜2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－π2＜x ＜4k π＋32π.令k ＝0得，－π2＜x ＜32π.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2.故④正确．g (x )＝23cos 12x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12()x ＋π， f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，所以g (x )的图象向右平移π2－(－π)＝32π即可得到f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．答案：①③④ 三、解答题10．(必修4 P 147A 组T 10改编)已知函数f (x )＝4sin(ωx －π4)·cos ωx 在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0，2)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若α为锐角，g (α)＝43－2，求cos α.解：(1)f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4·cos ωx ＝22sin ωx ·cos ωx －22cos 2ωx ＝2(sin2ωx －cos 2ωx )－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4－2， 由于f (x )在x ＝π4处取得最值，因此2ω·π4－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝2k ＋32，因为ω∈(0，2)，所以ω＝32，因此，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－2，所以T ＝2π3. (2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，得到h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π36－π4－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6－2的图象，再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－2的图象，故g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2＝43－2，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝23，因为α为锐角，所以－π6＜α因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝53×32－23ABC 的边BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. S △ACE . 1. AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .即1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，①1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②①＋②得m 2＝32，所以m ＝62，即BC ＝ 6. (2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AEsin ∠ACE＝EC sin ∠EAC ，BE sin ∠BCE ＝ECsin ∠CBE，由于∠ACE ＝∠BCE ， 且BCsin ∠BAC ＝AC sin ∠CBA ，所以AE BE ＝AC BC ＝66.所以BE ＝6AE ，所以AE ＝25(6－1)．又cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋12－（6）22×2×1＝－14，所以sin ∠BAC ＝154，所以S △ACE ＝12AC ·AE ·sin ∠BAC＝12×1×25(6－1)×154＝310－1520.。

2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【知识拓展】 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( )A ．[－32，32]B ．[－32，3]C ．[－332，332]D ．[－332，3]答案 B解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－32，3]，即f (x )的值域为[－32，3]．3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 4．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin(π3－2x )，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．[－712π，－π12]B ．[－π，－π2]C ．[－π，－712π]，[－π12，0]D ．[－π，－512π]，[－π12，0]答案 C解析 f (x )＝4sin(π3－2x )＝－4sin(2x －π3)．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的递减区间是[－π12＋k π，512π＋k π](k ∈Z )．因为x ∈[－π，0]，所以函数f (x )的递减区间是[－π，－712π]，[－π12，0]．5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________． 答案 2或－2解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是____________．(2)(2017·郑州月考)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z } (2)[π3，π]解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z }． (2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π6]，∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－12，1]，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .(2)函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)2－ 3解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴－32≤sin(πx 6－π3)≤1， 故－3≤2sin(πx 6－π3)≤2.即函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π， k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[12，54]．引申探究本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 [32，74]解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π， k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．3答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32.题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例3 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 (1)A (2)2或3解析 (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. (2)由题意得，1<πk<2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3.命题点2 对称性例4 (2016·西安模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．命题点3 对称性的应用例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 (1)－π6 (2)B解析 (1)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ， 故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ，∴k ＝0，则x 0＝－π6.(2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)(2016·朝阳模拟)已知函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)，若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．πD ．2π(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)A (2)A解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即T 2＝πω＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.5．三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )恒成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3D ．－3(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析 (1)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 (1)D (2)C (3)321．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π8)等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π2＝1.2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π 答案 C解析 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π3)上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π3)＝0，∴(π6，0)为其图象的一个对称中心，故选C.4．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5 B.6π5 C.9π5D.12π5答案 B解析 由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1 (x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析 由f (π8)＝－2，得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.6．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f (π4)等于( )A.12B.22C.32D ．1答案 C解析 由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π6)＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1 (|φ|<π2)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin(2x ＋π6)，于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝32.7．函数y ＝2sin x －1的定义域为______________． 答案 [2k π＋π6，2k π＋56π]，k ∈Z解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .8．函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案1－22解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为______________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π (k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．10．(2016·威海模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1 (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________． 答案 (0，34]解析 方法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，k ∈Z .因为f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]．所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]．方法二 因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0.所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，又f (x )在区间[－π2，2π3]上是增函数，所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π2]，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<2π3)的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点(π6，32)时，sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z .12．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.*13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

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第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．已知点P（tan α,cos α)在第三象限，则角α的终边在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为点P(tan α,cos α）在第三象限，所以错误!,所以α为第二象限角．2．已知α是第二象限角，P（x，错误!）为其终边上一点，且cos α＝错误!x，则x等于（）A．错误!B．±错误!C．－错误!D．－错误!解析：选D。

依题意得cos α＝错误!＝错误!x＜0，由此解得x＝－错误!，故选D。

3．集合｛α|kπ＋错误!≤α≤kπ＋错误!，k∈Z}中的角的终边所在的范围(阴影部分)是（）解析：选C.当k＝2n（n∈Z)时,2nπ＋错误!≤α≤2nπ＋错误!；当k＝2n＋1（n∈Z)时，2nπ＋π＋错误!≤α≤2nπ＋π＋错误!。

故选C。

4．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为（）A．{α｜α＝k·360°－45°，k∈Z｝B．{α｜α＝k·2π＋错误!π,k∈Z｝C．｛α|α＝k·π＋错误!π，k∈Z｝D．{α|α＝k·π－错误!，k∈Z｝解析：选D.由图知，角α的取值集合为｛α|α＝2nπ＋错误!π，n∈Z}∪｛α｜α＝2nπ－错误!，n∈Z｝＝｛α|α＝（2n＋1）π－错误!，n∈Z}∪{α｜α＝2nπ－错误!，n∈Z｝＝{α|α＝kπ－错误!,k∈Z}．5．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为( ）A．（错误!，错误!）∪（π，错误!) B．(错误!，π)C．(错误!,π）∪(错误!，错误!) D．（错误!，错误!）解析：选D.如图所示，找出在(0，2π）内,使sin x＝cos x的x值，sin 错误!＝cos 错误!＝错误!，sin 错误!＝cos 错误!＝－错误!.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈（错误!，错误!）．6．（2018·安徽省江淮十校协作体联考)已知锐角α，且5α的终边上有一点P（sin（－50°)，cos 130°），则α的值为( ）A．8°B．44°C．26°D．40°解析：选B。

❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x＝tan x . ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝－2，2⎭内的单调性..A.－ B ．－ 9 9章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数同角三角函 数的基本关 系式与诱导公式和与差的三 角函数公式简单的三角 恒等变换三角函数的 图象与性质函数 y ＝ A sin(ω x ＋φ) 的图象及三 角函数模型 的简单应用正弦定理和 余弦定理解三角形应 用举例❶ 了解任意角的概念．❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.cos xπ2导公式.❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍 角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式， 但对这三组公式不要求记忆).❶ 能画出 y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最⎛ π π⎫❶ 了解函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响．❷ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一 些简单实际问题.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题.一、点在纲上，源在本里 考点考题4(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 4，5 分)已知 sin α－cos α＝3，则 sin 2α＝考源三角函数的基本关系( )7 2 9 92 7 C. D.必修 4 P 146A 组T 6(2)(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 3，5 分)函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋3⎭的最小正周期A.4π B ．2π C ．πD. A. B ．1 C. D. sin ⎝2x ＋ 3 ⎭，则下面结论正确的是( 分别为 a ，b ，c 已知△. ABC 的面积为 .1．(必修 4 P 146A 组 T 6(3)改编)已知 sin 2θ＝ ，则 sin 4θ＋cos 4θ 的值为()3A ． 9C ． 9三角函数 的周期三角函数 值域三角函数 图象正余弦定理与面积公式 的应用⎛ π⎫为( )π 21 π π(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 6，5 分)函数 f (x )＝5sin(x ＋3)＋cos(x －6)的最大值为( )6 3 15 5 5(2017·高考全国卷Ⅰ，T 9，5 分)已知曲线 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝⎛ 2π⎫ )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把π得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 π得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 21C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 21D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 2(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 16，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分 别为 a ，b ，c ，若 2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则 B ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 15，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分 别为 a ，b ，c .已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅰ，T 17，12 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边 a 23sin A(1)求 sin B sin C ；必修 4 P 35 例2(2)必修 4 P 143A 组T 5必修 4 P 55 练习T 2(2)必修 5 P 18 练习T 3 必修 5 P 10A 组 T 2(1)必修 5 P 20B 组T 1(2)若 6cos B cos C ＝1，a ＝△3，求 ABC 的周长.二、根置教材，考在变中 一、选择题24 92 35 B.7 D.解析：选D.因为sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4P147A组T12改编)已知函数f(x)＝sin⎝x＋6⎭＋sin⎝x－6⎭＋cos x＋a的最大值为解析：选A.f(x)＝sin x cos＋cos x sin＋sin x cos－cos x sin＋cos x＋a＝3sin x＋cos x3．(必修4P69A组T8改编)已知tanα＝3，则sin⎝2α＋4⎭的值为(10B．－2A．2C．D．－sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋32522⎛34⎫π⎫cos2α－sin2α1－tan2α1－324＝－，所以sin⎝2α＋4⎭＝－＝－⎛52⎝55⎭sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋322.选B.4．(必修4P58A组T2(3)改编)如图是y＝A sin(ωx＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象，则A．y＝2sin⎝x＋6⎭B．y＝2sin⎝2x－6⎭C．y＝2sin⎝x＋3⎭D．y＝2sin⎝2x＋6⎭解析：选D.由题图知＝－⎝－12⎭＝.所以T＝π，所以ω＝＝2.当x＝－时，y＝0，⎧⎪A sin⎛－π＋φ⎫＝0，所以φ＝，A＝2.所以y＝2sin⎝2x＋6⎭.故选D.⎝6⎭π⎛π⎫当x＝0时，y＝1.所以⎨⎪⎩A sinφ＝12132 147299⎛π⎫⎛π⎫1，则a的值为()A．－1C．1B．0D．2ππππ6666π＋a＝2sin(x＋6)＋a，所以f(x)max＝2＋a＝1.所以a＝－1.选A.⎛π⎫10)721072102sinαcosα2tanα2×33解析：选B.因为tanα＝3，所以sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝(sin2α＋cos2α)＝210⎛ππ⎫其解析式为()⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫Tπ⎛π⎫π2ππ464T1265．(必修5P18练习T1(1)改编△)在锐角ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝22，则c＝() A．2B．3解析：选 B.由已知得 ×2×3×sin C ＝2 2，所以 sin C ＝ .由于 C ＜90°，所以 cos C＝ 1－sin 2C ＝ .由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3× ＝9，所以 c ＝3，A ． 3 C ． 即 3a cos A ＝b · ＋c · ＝a ，所以 cos A ＝ ，又 0＜A ＜π.所以 sin A ＝ .又 b ＝2，所以 a sin B ＝b sin A ＝2× ＝ .故选 C.cos 80° sin 80° cos 80°sin 80°cos 80°cos 80°－ sin 80°⎭ 4sin （60°－80°） 2⎝ 2 1 sin 160° sin 160° ＝－4sin 20°＝－4.( c 4解析：由题意得⎨2 ⎪ C ．4D. 171 2 22 31 13 3故选 B.6．(必修 5 P 18 练习 T 3 改编△)已知 ABC 三内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则 a sin B ＝()434 2 32 B. 2D ．6 2解析：选 C.因为 3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，a 2＋b 2－c 2 a 2＋c 2－b 22ab 2ac1 2 23 32 2 4 23 3二、填空题3 17．(必修 4 P 146A 组 T 5(1)改编)sin 80°－ ＝______．解析：⎛ 3 1 ⎫ 2＝ ＝2sin 20°答案：－4 8． 必修 5 P 20A 组 T 11(3)改编△) ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， .A ＝120°，a ＝7，△S ABC ＝ 153，则 b ＋c ＝________．⎧⎪1bc sin 120°＝15 34，⎪⎩b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72⎧bc ＝15即⎨ ，所以 b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以 b ＋c ＝8.⎪⎩b 2＋c 2＋bc ＝49答案：82 1 π9．(必修 4 P 56 练习 T 3 改编)关于函数 f (x )＝3sin(2x －4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π；②f (x )的图象关于 x ＝ 对称；③f (x )的图象关于点⎝2，0⎭对称；－ ，上单调递增；④f (x )在⎝2 2⎭⑤f (x )的图象可由 g (x )＝ cos x 向右平移 个单位得到．解析：f (x )的最小正周期 T ＝ ＝4π.所以 f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝2⎭＝0，故②错误．③正确．由 2k π－ ＜ x － ＜2k π＋ ，k ∈Z ，得4k π－ ＜x ＜4k π＋ π. － ， － ， .故④正确．令 k ＝0 得，－ ＜x ＜ π.⎝ 2 2⎭ ⎝ 2 2 ⎭x ＋g (x )＝ cos x ＝ sin ⎝2 2⎭x ＋π) ，(＝sin⎦⎣2 x － ＝ sin x －，f (x )＝ sin ⎝2 4⎭ ⎣2⎝ 2⎭⎦所以 g (x )的图象向右平移 －(－π)＝ π 即可得到 f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．(2)将函数 f (x )的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y ＝g (x )的图象，若 α 为锐角，g (α)＝ － 2，求 cos α.ωx － ·解：(1)f (x )＝4sin cos ωx －2 2cos 2ωx ＝ 2(sin 2ωx －cos 4⎭ cos ωx ＝2 2sin ωx ·⎝ 2ωx － － 2，2ωx )－ 2＝2sin4⎭⎝由于 f (x )在 x ＝ 处取得最值，因此 2ω· － ＝k π＋ ，k ∈Z ，所以 ω＝2k ＋ ，π2⎛π ⎫⎛ π π⎫2 1 π3 2 8其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．2π1 2⎛π⎫π 1 π π2 2 4 2π 3 2 2π 3 ⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫2 22 1 2 ⎛1 π⎫3 2 3 2 ⎡1 ⎤ 3 2 ⎛1 π⎫ 2 ⎡1⎛ π⎫⎤ 3 3 π 32 2答案：①③④三、解答题π π10．(必修 4 P 147A 组 T 10 改编)已知函数 f (x )＝4sin(ωx －4)·cos ωx 在 x ＝4处取得最值，其中 ω∈(0，2)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；π3643⎛ π⎫⎛ π⎫ π π π π 34 4 4 2 2因为 ω∈(0，2)，所以 ω＝ ，因此，f (x )＝2sin ⎝3x －4⎭－ 2，所以 T ＝ .个 单 位 ， 得 到h (x ) ＝ 2sin ⎣3⎝x ＋36⎭－4⎦ － 2 ＝ 2sin ⎝3x －6⎭－ 2的图象，再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 g (x )＝2sin ⎝x －6⎭－⎛ 故 g (α)＝2sin ⎝α－6⎭－ 2＝ － 2，可得 sin ⎝α－6⎭＝ ，因为 α 为锐角，所以－ ＜α－ ＜ ，因此 cos ⎝α－6⎭＝⎛2⎫2＝ 5， π π⎫ π⎫ π⎫ π π 5 3 2 1 15－2 故 cos α＝cos ⎝α－6＋6⎭＝cos ⎝α－6⎭cos －sin ⎝α－6⎭sin ＝ ⎛ ⎛ ⎛ 6 6 3 2 3 2 6①＋②得 m 2＝ ，所以 m ＝ 6，即 BC ＝ 6.sin ∠ACE sin ∠EAC sin ∠BCE sin ∠CBE 且 BC ＝ ，所以 ＝ ＝ .所以 BE ＝ 6AE ，所以 AE ＝ ( 6－1)．32⎛ π⎫ 2π 3(2) 将 函 数 f (x ) 的 图 象 向 左 平 移 π 36 ⎡ ⎛ π ⎫ π⎤⎛ π⎫⎛ π⎫2的图象，π⎫ 4 3⎛ π⎫ 2 3π π π6 6 3⎛ π⎫ 1－⎝3⎭ 3× － × ＝ .11．(必修 5 P 20A 组 T 13 改编)D 为△ABC 的边 BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求 BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于 E ，求 △S ACE . 解：(1)由题意知 AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设 BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中， 由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD · B D cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD · D C cos ∠ADC . 即 1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②3 22(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE EC BE EC＝ ， ＝ ，由于∠ACE ＝∠BCE ，AC AE AC 6sin ∠BAC sin ∠CBABE BC 6252AB ·AC 2×2×1＝－ ，所以 sin ∠BAC ＝ ，＝ ×1× ( 6－1)× ＝ .AB 2＋AC 2－BC 2 22＋12－（ 6）2又 cos ∠BAC ＝ ＝1 154 41所以 △S ACE ＝2AC · AE ·sin ∠BAC1 2 15 3 10－ 15 2 5 4 20。

2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题1．下列函数中，最小正周期为 π且图象关于原点对称的函数是 ()A ． y ＝ cos 2x ＋ πB ．y ＝ sin 2x ＋ π22C ．y ＝ sin 2x ＋ cos 2xD ． y ＝ sin x ＋ cos xπ2π解析： 选 A. y ＝cos 2x ＋ 2 ＝－ sin 2x ，最小正周期 T ＝ 2 ＝ π，且为奇函数 ，其图象关于π原点对称 ，故 A 正确； y ＝sin 2x ＋2 ＝ cos 2 x ，最小正周期为π，且为偶函数 ，其图象关于y 轴对称 ，故 B 不正确； C 、 D 均为非奇非偶函数 ，其图象不关于原点对称 ，故 C 、 D 不正确．2．函数 f(x)＝ 3sin 2x － π在区间 0， π上的值域为 ( )6 2A ． －3，3B. － 3， 3222 C ． －3 3，3 3D. －3 3， 3222解析：选 B. 当 x ∈ 0， π ππ 5π ，sin 2x － π 1，故 3sin 2x －π2 时，2x － ∈ － ， 6 ∈ － ，166 6 62 ∈ － 3， 3 ，即此时函数 f(x) 的值域是－3， 3 .22ππ3．若函数 y ＝cos ωx＋ 6 (ω∈ N * ) 图象的一个对称中心是 6， 0 ，则 ω的最小值为 () A ． 1 B ．2 C ．4D ． 8πωπ π ω＝ 6k ＋ 2(k ∈ Z )，又 ω∈ N * ，所以 ωmin ＝ 2，解析：选 B. 由题意知＋ ＝ k π＋ (k ∈ Z )?662故选 B.π4．函数 y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|在区间 ，3π内的图象是 ()2 2解析： 选 D. y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|π2tan x ， x ∈， π，2＝结合选项图形知 ， D 正确．3π2sin x ， x ∈ π， 2 .5． (2018 ·州第三次调研惠 )函数 y ＝cos 2x ＋ 2sin x 的最大值为 ( )12019 高考数学文一轮复习含答案3A ． 4B ．13C ．2D ． 2解析： 选 C. y ＝ cos 2x ＋ 2sin x ＝－ 2sin 2x ＋ 2sin x ＋ 1.2213法一： 设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为 y ＝－ 2t ＋ 2t ＋ 1＝－ 2 t －＋ ，所以当 t ＝1时，函数取得最大值322.法二：设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为y ＝－ 2t 2＋ 2t ＋ 1，y ′＝－ 4t ＋ 2.当 1≤ t ≤ 12 时， y ′≤ 0；当－ 1≤ t ≤1时， y ′≥ 0.2当 t ＝ 1时 y 取得最小值 ， y min ＝－ 2×1 2 ＋ 2×1＋ 1＝ 3，选 C.2 2 2 26． (2018 ·州综合测试广 (一 )) 已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋ φ)(ω＞ 0， 0＜φ＜ π)是π奇函数，直线 y ＝ 2与函数 f( x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2，则 ()πA ． f(x)在 0， 4 上单调递减π 3πB ．f(x)在 8， 8上单调递减πC ．f(x)在 0， 4 上单调递增π 3πD ． f(x)在，上单调递增88解析：选 D.f(x)＝ sin( ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋φ)＝ 2sin(ωx＋ φ＋ π 0＜ φ＜ π且 f(x)为奇4 )，因为函数 ，所以 φ＝ 3πωx ，又直线 y ＝2与函数 f(x)的图象的两个相邻交点4 ，即 f(x)＝－ 2sinππ2π π的横坐标之差的绝对值为 2，所以函数 f(x)的最小正周期为 2，由ω＝2，可得 ω＝ 4，故 f( x) ＝－ 2sin 4 x ，由 π 3π k π π k π 3π π2k π＋ ≤ 4x ≤ 2k π＋ ，k ∈ Z ，即 ＋ ≤ x ≤ ＋ ，k ∈ Z ，令 k ＝0，得8 2 2 2 8 28 ≤x ≤ 3π π 3π8，，此时 f(x)在 8 8 上单调递增 ，故选 D.二、填空题π7．已知函数f(x)＝－ 2sin(2x ＋ φ)(|φ|＜ π)，若 f 8 ＝－ 2 ，则 f(x)的单调递减区间是________．π解析： 当 x ＝ 8时， f(x)有最小值－ 2，π π所以 2× ＋ φ＝－ ＋ 2k π，8222019 高考数学文一轮复习含答案即 φ＝－ 34π＋ 2k π，k ∈ Z ，又因为 |φ|＜ π，所以 φ＝－ 34π.所以 f(x)＝－ 2sin(2x －34π)．ππ由－ ＋ 2k π≤ 2x －3π≤ ＋ 2k π，242π5 π＋ k π，k ∈ Z ，得 ＋ k π≤x ≤8 8π5所以函数 f(x)的单调递减区间为 ＋ k π，8π＋ k π，k ∈ Z .8答案： π 5＋ k π， π＋ k π， k ∈ Z8 8π8．若函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)(ω＞ 0 且 |φ|＜ 2)在区间π等于 ________．1 减少到－ 1，则 f 4π πω＋φ＝ ＋ 2k π解析： 由题意知6 2， k ∈ Z ，2π3πω＋ φ＝＋ 2k π32π解之得 ω＝ 2， φ＝6＋ 2k π，ππ又因为 |φ|＜ ，所以 φ＝ .2 6所以 f(x)＝ sin 2x ＋ π6 .所以 f π π π π3＝sin ＋ ＝ cos ＝42×4 662.π 2π6， 3 上是单调减函数，且函数值从答案：32π9．已知函数 f(x) ＝3sin ωx－6 (ω>0)和 g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若 x ∈ 0， π，则 f(x)的取值范围是 ________． 2解析： 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同 ，故 ω＝ 2，所π以 f(x)＝ 3sin 2x － 6 ，π ππ 5π当 x ∈ 0， 2 时，－ 6≤ 2x －6≤ 6 ，所以－ 1≤ sin π≤ 1，故 f(x)∈ － 3， 3 .22x － 6232019 高考数学文一轮复习含答案答案： － 3， 3210． (2018 ·家庄质量检测石 (一 ))若函数 f(x)＝ 3sin(2 x ＋θ)＋ cos(2x ＋ θ)(0＜ θ＜ π)的图象π π π关于2， 0 对称，则函数 f( x)在 －4， 6 上的最小值是 ________．解析： f(x)＝ 3sin(2x ＋ θ)＋ cos(2x ＋θ)＝ 2sin 2x ＋ θ＋π，则由题意 ，知 fπ＝ 2sin( π＋ θ 62 π 5π π π上是减函数 ，所以 ＋ )＝ 0，又 0＜ θ＜ π， 所以 θ＝ ，所以 f( x)＝－ 2sin 2x ， f(x)在 － ，4 6 6 4π π π π函数 f( x)在 －4， 6 上的最小值为 f 6 ＝－ 2sin 3＝－ 3.答案： － 3三、解答题π11． (2017 ·考北京卷高 )已知函数 f( x)＝3cos(2x － 3)－ 2sin xcos x.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求证：当 x ∈ π π1 .－ ， 时， f(x)≥－4 4 2 解： (1)f(x)＝332 cos 2x ＋ 2sin 2x － sin 2x1 3cos 2x＝ sin 2x ＋22π＝ sin(2x ＋ 3)．2π 所以 f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2ππ(2)证明： 因为－ 4≤ x ≤4，π π 5π所以－ ≤ 2x ＋ ≤6.63ππ 1 .所以 sin(2x ＋ )≥ sin(－)＝－236所以当 x ∈ π π1 .[－ ， ]时， f(x)≥ －4 4 212．(2016 ·高考北京卷 )已知函数 f(x)＝ 2sin ωxcos ω x ＋ cos 2ωx( ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求 ω的值；(2)求 f(x)的单调递增区间．解： (1)因为 f(x)＝ 2sin ωxcos ωx ＋ cos 2ωxπ＝ sin 2ωx ＋ cos 2ωx ＝ 2sin(2 ωx＋ 4)，2ππ所以 f(x)的最小正周期T ＝2ω＝ ω.42019 高考数学文一轮复习含答案π依题意，ω＝π，解得ω＝1.π(2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin(2 x＋4)．函数 y＝sin x 的单调递增区间为ππ[2kπ－， 2kπ＋ ](k∈Z )．22πππ由 2kπ－≤ 2x＋≤ 2kπ＋ (k∈Z )，242得 kπ－3ππ≤ x≤ kπ＋(k∈Z )．88所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－3ππ， kπ＋](k∈Z )．885。

一、选择题1、(2018·石家庄质量检测(二))若sin (π－α)＝13,且π2≤α≤π,则cos α＝( )A 、223B 、－223C 、－429D 、429解析:选B.因为sin (π－α)＝sin α＝13,且π2≤α≤π,所以cos α＝－223,故选B.2、已知tan(α－π)＝34,且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2,则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B 、－45C.35D 、－35解析:选B.由tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2,所以α为第三象限的角,sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3、已知sin θ＋cos θ＝43,θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4,则sin θ－cos θ的值为 ( ) A.23B 、－23 C.13 D 、－13解析:选B.因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169,所以2sinθcos θ＝79,则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4,所以sin θ＜cos θ,即sin θ－cos θ＜0,所以sin θ－cos θ＝－23. 4、已知f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)＋4,若f (2 018)＝5,则f (2 019)的值是( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 解析:选B.因为f (2 018)＝5,所以a sin (2 018π＋α)＋b cos (2 018π＋β)＋4＝5,即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 019)＝a sin (2 019π＋α)＋b cos (2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.5、当θ为第二象限角,且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时,1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A 、1B 、－1C 、±1D 、0解析:选B.因为sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13,所以cos θ2＝13, 所以θ2在第一象限,且cos θ2＜sin θ2,所以1－sin θcos θ2－sin θ2＝－（cos θ2－sin θ2）cos θ2－sin θ2＝－1.6、若sin θcos θ＝12,则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A 、－2B 、2C 、±2D 、12解析:选B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.二、填空题7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －18，x ＞2 000，则f (f (2 018))＝________、解析:f (2 018)＝2 018－18＝2 000,f (f (2 018))＝f (2 000)＝2cos 2 0003π＝2cos 23π＝－1.答案:－18、已知sin (3π－α)＝－2sin(π2＋α),则sin αcos α＝________、解析:因为sin (3π－α)＝sin (π－α)＝－2sin(π2＋α),所以sin α＝－2cos α,所以tan α＝－2,则sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2（－2）2＋1＝－25. 答案:－259、若f (α)＝sin[（k ＋1）π＋α]·cos[（k ＋1）π－α]sin （k π－α）·cos （k π＋α）(k ∈Z ),则f (2 018)＝________、解析:①当k 为偶数时,设k ＝2n (n ∈Z ), 原式＝sin （2n π＋π＋α）·cos （2n π＋π－α）sin （－α）·cos α＝sin （π＋α）·cos （π－α）－sin α·cos α＝－1；②当k 为奇数时,设k ＝2n ＋1(n ∈Z ),原式＝sin[（2n ＋2）π＋α]·cos[（2n ＋2）π－α]sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin α·cos （－α）sin （π－α）·cos （π＋α）＝－1. 综上所述,当k ∈Z 时,f (α)＝－1,故f (2 018)＝－1. 答案:－110、已知sin α＋2cos α＝3,则tan α＝________、解析:因为sin α＋2cos α＝3,所以(sin α＋2cos α)2＝3,所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3,所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3,所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3,所以2tan 2α－22tan α＋1＝0,所以tan α＝22. 答案:22三、解答题11、已知sin α＝255,求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值、解:因为sin α＝255＞0,所以α为第一或第二象限角、tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时,cos α＝1－sin 2α＝55, 原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时,cos α＝－1－sin 2α＝－55, 原式＝1sin αcos α＝－52.12、已知x ∈(－π,0),sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值、解:(1)由sin x ＋cos x ＝15,平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125,整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由x ∈(－π,0),知sin x <0, 又sin x ＋cos x >0,所以cos x >0,sin x －cos x <0, 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.。

§4.4解三角形考纲解读分析解读解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·=a·+c·,即b·=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0°<B<180°,所以B=60°.五年高考考点一用正、余弦定理解三角形1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c=,则C=( )A. B. C. D.答案 B2.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=( )A. B. C. D.答案 C3.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=( )A.3B.2C.2D.答案 C4.(2014江西,5,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对边的分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为( )A.-B.C.1D.答案 D5.(2013安徽,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( )A. B. C. D.答案 B6.(2017课标全国Ⅲ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.答案75°7.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=,a=c,则=.答案 18.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=. 答案 49.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=得sin B=,cos 2B=2cos2B-1=-,。

第6讲 正弦定理与余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )A ．π6B.π4 C ．π3D.π2解析：选C.易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－（7）22×3×2＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，故选C.2．(2018·宝鸡质量检测(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( )A ．23 B.14 C ．34D.16解析：选B.因为a sin A ＝c sin C ，即3sin A ＝4sin C，又sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A＋B )＝13，所以sin A ＝14，故选B.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B ·cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，所以A ＝π2，故选B.4．(2018·南昌第一次模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．12B ．14C ．1D ．2解析：选A.由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.故选A.5．(2018·云南第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2 B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S △ABC ＝( )A ．32 B ．3 C ． 6D ．6解析：选B.由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ①，又B ＝π2，所以a 2＋c2＝b 2②，联立①②解得a ＝c ＝6，所以S △ABC ＝12×6×6＝3，故选B.6．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( ) A ．32B.332C ．34D. 3 解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，因为AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，所以7＝AB 2＋4－4×AB ×12，所以AB 2－2AB －3＝0，所以AB ＝3，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则在Rt △ADB 中，AD ＝AB ×sin 60°＝332，即BC 边上的高为332.二、填空题7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：48．(2018·贵阳检测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________．解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7b 2，所以c ＝7b ，cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝27，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝37，所以tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：329．(2018·广西三市第一次联考)设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，所以cos B ＝74，则sin B ＝34，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32. 答案：3210．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________．解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4，AD sin ∠ACD ＝CD sin A ，sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC中，AC sin B ＝BC sin A ，BC ＝AC ·sin Asin B＝4.答案：4 三、解答题11．(2018·兰州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0， 所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， 即20＝c 2＋4－4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22， 解得c ＝－42(舍去)或c ＝22， 所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22×22＝2.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知2a cos 2C2＋2c cos2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则 a cos C ＋c cos A ＝b .所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.因为S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，所以ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，所以b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14.所以b ＝4.1．(2018·河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 解：(1)因为a sin B ＝－b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，所以由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3， 即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝5π6. (2)因为A ＝5π6，所以sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 2．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)根据a sin A ＝csin C ，可得c sin A ＝a sin C ，又因为c sin A ＝3a cos C ，所以a sin C ＝3a cos C ，所以sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝sin Ccos C ＝3，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin(A ＋B )， 所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝5sin 2A ， 所以2sin B cos A ＝5×2sin A cos A . 因为△ABC 为斜三角形，所以cos A ≠0， 所以sin B ＝5sin A .由正弦定理可知b ＝5a ， ①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ， ②由①②解得a ＝1，b ＝5，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.。

一、选择题1．(2018·福州综合质量检测)要得到函数f (x )＝cos 2x 的图象，只需将函数g (x )＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移12个周期B ．向右平移12个周期C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期解析：选C.因为f (x )＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数g (x )的周期为2π2＝π，所以将函数g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，即向左平移14个周期，可得函数f (x )＝cos 2x 的图象，故选C.2．(2018·安徽两校阶段性测试)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝π2B ．x ＝π8C ．x ＝π9D ．x ＝π解析：选A.将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象；再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的图象．该函数图象的对称轴为x 2－π4＝k π(k ∈Z )，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．结合选项，只有A 符合，故选A.3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k ，1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k ，1＋8k )，k ∈Z解析：选D.由题图，知T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.把(1，1)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3，8k ＋1)(k ∈Z )，故选D.4．(2018·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则∑n ＝12 018f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＝()A ．－1B ．32C ．12D ．1解析：选B.由已知易得ω＝2，由五点法作图可知2×π6＋φ＝π2，得φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π6＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π6＝12，故∑n ＝12 018f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＝336×(1＋12－12－1－12＋12)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π6＝32.故选B.5．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：选 A.将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|＜π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin(2x －π3)，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A. 6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A ．5π12 B.π3C ．π4 D.π6解析：选D.由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D. 二、填空题7．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________．解析：由题图可知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π4.又f (0)＝1，所以A tan π4＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 38．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，则ω的最小值是________． 解析：依题意得，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(ω＞0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin[ω(2π3＋π3)]＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1.答案：19．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________． 解析：依题意得 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，因此sin (π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.答案：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π610．(2018·南宁模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析：y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.答案：22三、解答题 11．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值． 解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知 f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z,令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合．解：(1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)当x ＝π6时，f (x )取最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4， 所以a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1可得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.1．(2017·高考山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.2．(2018·青岛调研) 某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道(单位：米)曲线段是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，x ∈[－4，0]的图象且最高点为B (－1，4)，在y 轴右侧的观光道曲线段是以CO 为直径的半圆弧．(1)试确定A ，ω和φ的值；(2)现要在y 轴右侧的半圆中修建一条步行道CDO ，点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段(造价为2万元/米)．点D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米)．设∠DCO ＝θ(弧度)，试用θ来表示修建步行道CDO 的造价预算，并求该造价预算的最大值？(注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度)解：(1)因为最高点为B (－1，4)，所以A ＝4.由图可得T4＝－1－(－4)＝3，所以T ＝12，因为T ＝2πω＝12，所以ω＝π6，所以4＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6×（－1）＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝1，又0<φ<π，所以φ＝2π3.(2)由(1)知y ＝4sin(π6x ＋2π3)，x ∈[－4，0]，得点C (0，23)，即CO ＝23，取CO 的中点F ，连接DF ，DO ，因为弧CO ︵为半圆弧，所以∠DFO ＝2θ，∠CDO ＝90°， 即DO ︵＝2θ×3＝23θ，则圆弧段DO ︵的造价预算为23θ万元， 在Rt △CDO 中，CD ＝23cos θ，则直线段CD 的造价预算为43cos θ万元，所以步行道CDO 的造价预算g (θ)＝43cos θ＋23θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由g ′(θ)＝43(－sin θ)＋23＝23(1－2sin θ)，得当θ＝π6时，g ′(θ)＝0，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，g ′(θ)>0，即g (θ)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递增；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，g ′(θ)<0， 即g (θ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减． 所以g (θ)在θ＝π6时取得极大值也是最大值为6＋33π，即修建步行道CDO 的造价预算的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋33π万元．。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第7讲正余弦定理的应用举例分层演练文一、选择题1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )A．10 km B．10 kmC．10 km D．10 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，所以AC＝10(km)．3. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( ) A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选B.依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )A．8 km/h B．6 km/hC．2 km/h D．10 km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：选A.设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.6．(2018·江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )A．20m B．20(1＋)mC．10(＋)m D．20(＋)m解析：选B.如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20 m，CE＝20m.所以CD＝20(1＋)m.故选B.二、填空题7.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．答案：638.(2018·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，所以AB＝1 000，所以BC＝＝1 000.答案：1 0009．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝＝10(m)．答案：10310．(2018·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.解析：设塔高为h m，依题意得，tan α＝，tan β＝，tan γ＝.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝＝＝1，所以·tan γ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高为80 m.答案：80三、解答题11.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝.12.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B 的海拔高度分别为AM＝100 米和BN＝200 米，一测量车在小山M的正南方向的点P 处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100，连接QM，在△PQM 中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，所以BQ＝100，cos θ＝.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，所以BA＝100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100米．。

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练22 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练22 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时跟踪训练（二十二）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用[基础巩固］一、选择题1．(2018·湖南张家界一中月考)为了得到f（x)＝2sin错误!的图象，只需将g（x）＝2sin x的图象( ）A．纵坐标不变,横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移错误!个单位长度B．纵坐标不变,横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移π3个单位长度C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的错误!,再将所得图象向右平移错误!个单位长度D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的错误!，再将所得图象向右平移错误!个单位长度[解析]将g（x）＝2sin x的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，得y＝2sin3x的图象；再将所得图象向右平移错误!个单位长度，得f(x)＝2sin3错误!＝2sin错误!的图象．故选D。

［答案］D2．若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ),x∈R错误!的最小正周期是π，且f （0)＝3，则（）A．ω＝12，φ＝错误!B．ω＝错误!，φ＝错误!C．ω＝2，φ＝错误!D．ω＝2,φ＝错误![解析]由T＝错误!＝π，∴ω＝2。

[学生用书P225(单独成册)]一、选择题 1.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A ． 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C.原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)＝( )A ．118B.1718 C ．89D.29解析：选B.由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos （π2－2α）2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 5．已知cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( )A ．14B ．78C ．±14D ．±78解析：选C.因为cos [π－(π3－2x )]＝cos(2x ＋2π3)＝78，所以有sin 2(x ＋π3)＝12(1－78)＝116，从而求得sin(x ＋π3)的值为±14，故选C.6.3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析：选D.3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin （10°－30°）12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D. 二、填空题7．已知cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 解析：由cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2得sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－1213×32－⎝⎛⎭⎫－513×12＝5－12326.答案：5－123268．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________． 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33 ＝－1. 答案：－1 9.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案： 310．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 答案：17250三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.。

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§4。

4 函数y＝A sin(ωx＋φ）的图像及应用最新考纲考情考向分析1。

了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin（ωx＋φ）的图象．2。

了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．3。

会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.以考查函数y＝A sin(ωx＋φ）的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度。

1．y＝A sin（ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A〉0,ω>0),x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝错误!f＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)（A〉0，ω>0,x∈R）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示:x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!2π3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝A sin(ωx＋φ）(A〉0，ω〉0）的图像的两种途径知识拓展1．函数y＝A sin（ωx＋φ）＋k图像平移的规律：“左加右减,上加下减”．2．由y＝sin ωx到y＝sin（ωx＋φ）(ω〉0，φ〉0）的变换：向左平移错误!个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y＝A sin(ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋错误!,k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)(1)y＝sin错误!的图像是由y＝sin错误!的图像向右平移错误!个单位长度得到的．( √)（2)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ（φ〉0）个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图像．（×）(3)函数y＝A cos（ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）（4)由图像求函数解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的．( √)题组二教材改编2．为了得到函数y＝2sin错误!的图像，可以将函数y＝2sin 2x的图像( ) A．向右平移错误!个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向左平移错误!个单位长度答案A3．函数y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( ）A．2,4π,错误!B．2,错误!，错误!C．2,错误!，－错误!D．2,4π，－错误!答案C解析由题意知A＝2，f＝错误!＝错误!＝错误!，初相为－错误!。