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中山大学岭南学院2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：经济学基础理论一、微观部分：（共75分）1.（15分）按照图1给出的总成本曲线，在图2中画出相应的平均成本)(Q f TC 曲线，平均可变成本曲线，和边际成本曲线。
这里，是产量。
AC AVC MC Q 提示：请在充分的草稿或腹稿准备以后，在答题纸上才画图作答。
其他各题也是这样。
2.（10分）从图3的消费者最优选择（点）出发，画出当商品2的价格变化的时候，最优选择（点）移动的轨迹。
要尽可能完整，反映商品2的价格下降到零和上升到无穷大这两端的情况。
3.（15分）假定面粉的供应是配给的，政府商店以每公斤一元的价格向消费者供应面粉，每人顶多可以买5公斤，不足部分，可以在自由市场购买，价格是每公斤5元。
请在图4画出一个货币购买力是30元的消费者的预算约束线。
假定现在面粉的供应放开，面粉的市场价格统一为每公斤2元钱。
请在图4上再画出这个消费者的新的预算约束线。
如果前后两种情况对于这个消费者是无差异的，你怎样把这个事实在图4上表现出来？4.（15分）假定某种商品的市场需求是Q=300-P ，市场供应是Q=60+2P ，P 为价格，请计算这种商品的市场均衡。
如果增加一个进口供应Q=80+4P ，请计算新的市场均衡，以及这种商品的国内供应量和进口供应量。
5.（10分）假定某种商品的需求的价格弹性（的绝对值）很小，请问当这种商品的市场供应量减少的时候，这种商品的销售收上升还是下降？请以必要的数学推理支持你的判断。
6.（10分）以产量Q 为横轴。
证明：如果平均销售收入AR 曲线是一条下降的直线，那么边际销售收入MR 曲线是从纵轴上同一点出发的，下降速度快一倍的一条直线。
二、宏观经济学：（共75分）1.（13分）在开放经济商品市场均衡的框架下，推出平衡预算乘数。
2003年高等代数（综合卷）6.(14)设P 是数域,n n P B A ⨯∈,,E 是n 阶单位矩阵.证明:P b a ∈∀,(1)当bB aA +是可逆矩阵时,bB aA B bB aA B b A bB aA A a -=+-+--1212)()(.(2)当bB aA +,bB aA -都是可逆矩阵时, E bB aA B bB aA B b bB aA A bB aA A a =+--+-----112112)()()()(7.(20)设Ax x '是秩为r 的n 元半正定二次型,(1)证明:存在秩为r 的r n ⨯实矩阵C ,使C C A '=. (2)证明:x E A x )(+'是n 元正定二次型.8.(20)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212221212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a A是数域P 上的n 阶非零矩阵)1(>n (1)求A 的行列式A 和A 的秩. (2)当022221≠=+++k a a a n 时,证明存在n 阶可逆矩阵T 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001 k AT T . 9.(21)设P 是数域,m n P A ⨯∈,如果m n P X ⨯∈∀规定AX X A :(1)证明A 是数域上线性空间n n P ⨯的线性变换.(2)令},{m n m n O AY P Y Y W ⨯⨯=∈=,证明W 是m n P ⨯的-A 子空间.(3)设秩n r A <=,求W 的维数W dim .2004年 高等代数1.(15)设n a a ,,1 是数域P 上n 个不同的数,解线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----11212111222221212211211n nn n n n n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x x x . 2.(15)设P 是数域,12)(,3++=∈⨯x x x m P A n n 是A 的最小多项式,求—A ,3.(20) 设P 是数域,n n n ij P a A ⨯∈==),,()(1αα ,nn a 的代数余子式0≠nn A ,(1)证明: n αα,,1 线性无关.(2)当0=A 时,求线性方程组O X A =*的基础解系,其中*A 是A 的伴随矩阵4.(30) 设P 是数域,}{1A A P A V n n ='∈=⨯, }{2是上三角矩阵B P B V n n ⨯∈=,(1)证明: 21V V ，都是n n P ⨯的子空间.(2)证明2121,V V P V V P n n n n ⊕≠+=⨯⨯.5.(30)设)(x p 是数域P 上的不可约多项式,α是)(x p 的复根,(1)证明:)(x p 的常数项不等于零.(2)证明:对任意正整数1)),((,=m x x p m (3)设22)(3+-=x x x p ,求51x. 6.(20)设n 元实二次型Ax x x x x f n '=),,,(21 经过正交替换Qy x =(其中Q 是正交矩阵)化为223222132n ny y y y ++++ ，证明: (1)A 的特征值是n ,,2,1 . (2)存在正定矩阵B ,使2B A =7.(20)设A 是数域P 上n 维线形空间V 的线性变换,0)(,0)(1=A ≠A ∈=αααn n V ，,证明:(1))(,),(),(,12αααα-A A A n 是V 的基.(2)设W 是A 的不变子空间,0,,,,121≠∈a P a a a n ,并且存在向量W a a a a n n ∈A ++A +A +=-)()()(12321ααααβ ,则V W =.2005年 高等代数1.(15)设A 是数域P 上的r r ⨯阶矩阵,D 是s s ⨯阶矩阵,A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,并且r A r M r ==)()(,证明:1D CA B -=.2.(15)设A 是数域P 上的m n ⨯矩阵,12,,,t ααα 是齐次方程组0Ax =的线形无关的解,0A β≠,证明12,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.3.(30)设P 是数域,1110{()|,0,1,2,,}n n n n i V f x a x a x a x a a P i n --==++++∈= .(1)证明V 关于多项式的加数乘多项式构成数域P 上的线性空间.(2)(),f x V ∀∈规定:()().'(),A f x f x x f x - 证明A 是V 的线性变换.(3)求线性变换A 在基21,,,,n x x x 上的矩阵.4.(20)设A 是n n ⨯阶复矩阵，0,k A =123,,,,r λλλλ 是A 的所有非零的特征值，(1)证明E A -是可逆矩阵，并求1()E A --. (2)求1()E A --的所有特征值.5.(20)设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，（1）证明1A -是n 阶正矩阵；（2）求实的可逆矩阵T ，使得1210000'()00n a a T A B T a -⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭ (0,1,2,,.ia i n >= )是对角矩阵，并说明主对角线上的元素6.(20)设()ij A a =是n 阶矩阵，1()nii i Tr A a ==∑是主对角线上的元素之和，22P ⨯表示数域P 上所有2阶构成的集合，22,A P ⨯∀∈规定:()f A Tr A ，(1)证明f 是线性空间22P ⨯线性函数.(2)1112212210000000,,,00011001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22P ⨯的一组基.求22P ⨯上的线性函数g ，使得11122122()2,()3,()4,() 1.g E g E g E g E ====-7.(20)设V 是数域P 上的线性变换，A 的最小多项式是2()23,m x x x KerA =--表示A 的核，Im A 表示A的值域，证明：(1)V 中存在一组基，使A 在这基下的矩阵是对角矩阵；(2)(3)Im()Ker A E A E -=+，其中E 是V 的恒等变换； (3)(3)()V Ker A E Ker A E =-⊕+2006年 高等代数1.(14)计算n 阶行列式:213141111222324221222331323334244142434421234n n n n n n n n n n na a a a a a x a a a a a a a a a a a x a a a a a a a x a a a D a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a +++=++,其中120n x x x ≠…. 2.(20)设11112122122212(,,),(,,),(,,),n n r r r rn a a a a a a a a a ααα===…………且12,,αααr …线性无关,12(,,,)n b b b β=….证明:12,,,αααβr …线性相关的充分必要条件是:线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩………的解都是方程11220n n b x b x b x +++=…的解.3.(24)R 是实数域,V 是线性方程组1234513451234512345242470224034440426340x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=⎧⎪+--=⎪⎨-++-=⎪⎪-++-=⎩的所有解构成的集合.(1)证明:V 是5R （列向量组成的空间）的子空间. (2)求V 的基个维数.(3)求V 的正交补V +的基与维数(5R 的内积(,)'αβαβ=).4.(32)设P 是数域,{()[]|()0()}.V f x P x f x f x n =∈=∂<或121210()n n n n f x a x a x a x a V ----∀=++++∈…，规定11:().n n A f x a x --(1)证明A 是V 的线性变换. (2)求A 在基12,,,,1n n x x x --…下的矩阵.(3)求A 在核10A -（）的基. (4)求A 的所有特征值和特征向量.5.(20)设P 是数域,,,.n n A B P C AB BA BC CB ⨯∈=-=，且 证明：(1)对大于1的自然数k,有1k k k A B B A kB C --=.(2)设()f λ是B 的特征多项式,'()f λ是()f λ的微商,则'()0f B C =.6.(20)R 实数域，n n A R ⨯∈,且A 是对称矩阵. (1)证明A 的伴随矩阵*A 也是实对称矩阵.(2)试问A 与*A 合同的充分必要条件是什么?并证明你的结论.7.(20)设V 是数域P 上的n 维线性空间,n r r εεεεε,,,121 +，，，是V 的基,),,(),(12211n r r V L V εεεεε +==，，，.(1)证明:V 是12,V V 的直和(即12V V V =⊕); (2)设A 是1V 的线性变换,B 是2V 的线性变换,求V 的线性变换C ,使得1V 与2V 的不变子空间，并且C 在1V 与2V 上的限制分别是 12|,|C V A C V B ==2007年 高等代数1.(20)设)(x f 是非零复多项式,用)(x f '记)(x f 的微分(导数)多项式;设)(x d 是)(x f 与)(x f '的最大公因式,设整数1>m .证明:复数c 为)(x f 的m 重根的必要充分条件是c 为)(x d 的1-m 重根.请说明这里为什么要假设1>m ?2.(30)设A 是n m ⨯矩阵,设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a 1是线性方程组0=AX 的非零解.证明:(1)如果A 的任何列向量非零,则n a a ,,1 中至少两个非零.(2)如果的A 任何两个列向量线性无关,则n a a ,,1 中至少三个非零.(3)推广(1),(2),你得到什么结论?请证明你的结论.3.(30)对n m ⨯矩阵A ,记A '是A 的转置矩阵.(1)设A 是实矩阵,证明:实线性方程组0=AX 与实线性方程组0)(='X A A 同解.(2)证明:实矩阵A 的秩与A A '矩阵的秩相等.(3)在复数域,上述结论成立吗?为什么?(4)对复数域，你认为应如何修改断言(2)得到一个正确的断言?为什么?4.(20)设A 是实方阵,证明:如果下面三条中的任意两条成立,则另外一条也成立:(1) A 是正交矩阵; (2)A 是对称矩阵; (3) E A =2,其中E 表示单位矩阵.5.(20)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a b a A 0000的特征根为3,2,1,其中b a ,是实数.求b a ,,并求正交矩阵T 使得AT T '是对角矩阵,其对角线元素依次为3,2,1.6.(30)用C 表示复数域.设A 是n m ⨯复矩阵,设A 的特征多项式)()()(λλλg f A =∆,其中)(λf 与)(λg 互素.在n 维向量空间n C 中,设F 是齐次线性方程组0)(=⋅X A f 的解子空间,G 是齐次线性方程组0)(=⋅X A g 的解子空间,证明: (1) ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n n n n C c c c c A f G C c c c c A g F 1111)(,)(; (2)G F C n ⊕=.2008年 高等代数1.(20)以下陈述是否正确?正确的请予以证明,不正确的请举反例(例子的正确性要求论证).(1)有理系数多项式)(x f ,如果在有理数域上不可约,则在任何数域上不可约.(2)两个有理系数多项式)(x f 与)(x g ,如果在有理数域上互素,则在任何数域上互素.{定义1 数域F 上的多项式)(x f 称为在上不可约.如果)(x f 次数大于0而且只要F 上的多项式)(x g 是)(x f 的因式,那么,)(x g 要么与)(x f 相伴,要么与1相伴.定义2 数域F 上的多项式)(x f 与)(x g 称为在F 上互素,如果它们在F 上的最大公因式与1相伴. }2.(20) (1)设B A ,都是n 阶方阵，且O AB =.证明:BA 的秩]2/[n ≤.其中]2/[n 表示不超过2/n 的最大整数(2)对于任意正整数n ,都存在n 阶方阵B A ,满足O AB =而BA 的秩]2/[n =.3.(30)令R 表示实数域,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001000100A .(1)求实矩阵A 的实特征值和实特向量.(2)求3R 中所有的-A 不变子空间(实向量空间3R 的子空间U 称为不变的,如果U Au ∈，U u ∈∀,其中u 写为列向量).4.(30)(1)请叙述什么是实二次型?什么是化实二次型为平方和定理?什么是实二次型的惯性定理?(2)证明实二次型的惯性定理.5.(20)设n 维复向量空间V 的线性变换P 满足P P =2,证明:(1)KerP P V ⊕=Im ,其中P Im 表示P 的像子空间, KerP 表示P 核子空间.(2)像子空间维数trP P =Im dim ,其中trP 表示线性变换P 的迹,即P 的所有特征根(计重数)之和.6. (30)设n 2阶方阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=E E E E A ,其中E 是n 阶单位矩阵, (1)求A 的特征多项式. (2)求A 的极小多项式. (3) 求A 的约尔当标准形.2009年 高等代数1.(20)设n a a ,,1 是n 个复数,x 是复变元.求x 取哪些复数值时下述等式(等式左边是1+n 阶行列式)成立:011112122221221=n n n n n n n a a a x a a a x a a a x2.(20) 设)(x f 是n 次实系数多项式,设)(x f '是)(x f 的导数多项式,证明:(1)如果r 是)(x f 的m 重根,0>m ,则r 是)(x f '的1-m 重根(若r 是)(x f '的零重根,则表示r 不是)(x f '的根).(2)如果)(x f 的根都是实数,则)(x f '的根也都是实数.3.(20)设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵,B 是非零的1⨯m 阶矩阵,考虑线性方程组B AX =,其中X 是变元n x x ,,1 的列向量.证明:(1)线性方程组B AX =的任意有限个解向量n X X ,,1 的向量组的秩1+-≤r n .(2)若线性方程组B AX =有解,则它有1+-r n 个解向量是线性无关的.4.(30)设C B A ,,都是n 阶方阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O C B A 是分块构成的n 2阶方阵,其中右下块O 表示n 阶零方阵.(1)证明:)()(C rank B rank O C B A rank +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,这里)(B rank 表示B 矩阵的秩. (2)举例说明:(1)中的等号和不等号都可能成立.5.(30)设V 是有限维向量空间,设W U ,是V 两个字空间.(1)什么是U 与W 的和子空间W U +,请叙述关于W U +的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6. (30)设A 是阶实矩阵,si r t +=λ是A 的特征根,其中s r ,是实数,i 是虚数单位.(1)证明:)(21A A '+的特征根都是实数,令n μμ≤≤ 1是)(21A A '+的全部特征根. (2)证明: n r μμ≤≤1.(3)你有类似估计s 的办法吗?2010年 高等代数1.(20)设F 是任意数域,][)(x F x p ∈.证明：)(x p 是不可约多项式当且仅当是)(x p 素多项式.2.(20) (1)设A 是n 阶方阵,E 是单位矩阵,0≠k .证明kA A =2当且仅当n kE A rank A rank =-+)()(.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20)设R 表示实数域,)(3R M V =表示所有33⨯实矩阵构成的向量空间.对给定的)(3R M A =定义在V 上的线性替换V V T A →：为BA AB B T A -=)(,对任意的)(3R M B =.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000A ,求A T 的特征值和相应的特征子空间;并求此时A T 的极小多项式.4.(30)设有三元实二次型xz z y x z y x f 43),,(222+++=,并设z y x ,,满足1222=++z y x .试求f 的最大值和最小值,并求当z y x ,,取什么值时,f 分别达到最大值和最小值.5.(30)设R 是实数域,])1,0([1C V =是闭区间]1,0[上的连续可微函数的集合. V 在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数x e x h x x g x x f ===)(,2)(,cos )(在V 中线性无关.(2)任意给定0>n ,在V 中找出1+n 个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m ,是否有V 和m R 同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6. (30)(1)设A 和B 均为n 阶复方阵,证明:A 与B 相似当且仅当作为-λ矩阵有A E -λ等价于B E -λ.(2)设B A ，都是3阶幂零矩阵,证明: A 相似于B 当且仅当A 与B 有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论(2)对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。
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中山大学2004年《高等代数》试题及解答及评注（本解答由“博士家园”之硕博之路版主hfg1964提供）1．（10分）计算下列n 阶行列式：210001210001200012n D =解 行列式按第1行展开，然后接着对其中一个1n -阶行列式再次展开，得122n n n D D D --=-，因此11223n n n n n n D D D D D D ------=-=-211D D ==-= ，11n n D D -=+1n =+．注 对一般二阶线性递推数列12n n n D aD bD --=+，可考虑特征方程2x ax b =+的两个根,αβ，则递推数列12n n n D aD bD --=+化为12()n n n D D D αβαβ--=+-，就能求出n D 的通项，更一般的结论参考《组合数学》中方法．2．（10分）设12,,,n ααα 是数域P 上线性空间V 中一线性无关向量组，讨论向量组1223,,αααα++1,n αα+ 的线性相关性．解 设1122231()()()0n n k k k αααααα++++++= ，即111221()()()0n n n n k k k k k k ααα-++++++= ，由于12,,,n ααα 线性无关，上式系数必为零，即1121000n n n k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，该线性方程组系数行列式按第一行展开，即得11(1)n A +=+-． 当n 为奇数时0A ≠，齐次线性方程组仅有零解，则向量组1223,,αααα++1,n αα+ 线性无关；当n 为偶数时0A =，齐次线性方程组有非零解，则向量组1223,,αααα++1,n αα+ 线性相关．注1 记112223,,βααβαα=+=+1,n n βαα=+ ，则可以把向量组形式的记为：1212(,,,)(,,,)n n A βββααα= ，则向量组12,,,n βββ 的秩与矩阵A 的秩相等，对矩阵A 作初等变换，求出其秩即得结论；注2 可以先猜后证，通过1,2,3n =这几个常见的结论能猜想其结果．而且当n 为偶数时，可以直接由1230n ββββ-+--= 得到12,,,n βββ 线性相关的结论；注3 由同构的观点，无妨把12,,,n ααα 视为n 维向量空间n P 中的列向量，考察行列式A 12231,,,n αααααα+++ ，把它展开成2n 个行列式后，仅有两个行列式不为0，而且当n 为偶数时，这两个行列式反号，即得0A =；n 为奇数时，122,,,0n A ααα=≠ ．3．（10分）设100101010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）证明：22n n A A A I -=+-； （2）求100A ．解 （1）当3n =可以直接验证，对n 作归纳，用数学归纳法即得（略）；（2）1009829622()A A A I A A I =+-=+-2249()A A I ==+- 10050105001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 注 由于矩阵A 的特征多项式32()1f λλλλ=--+，由凯莱-哈密尔顿定理，得到()0f A =，即320A A A I --+=，故知3n =时成立；另外注意到2()(1)(1)f λλλ=-+，作带余除法：10022(1)(1)()()g a b c λλλλλλ=-++++在上式中分别令1λ=，1λ=-，以及对上式求导并令1λ=，得到 112100a b c a b c a b ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，解之得，50,0,49a b c ===-，故10025049A A I =-．4．（20分）设3R 的线性变换σ在标准基下的矩阵为211121112A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求3R 的一组标准正交基，使σ在此基下的矩阵为对角矩阵．解 2(4)(1)I A λλλ-=--，所以A 的特征值14λ=，231λλ==．对14λ=，齐次线性方程组(4)0I A x -=的基础解系为1(1,1,1)'ξ=，故对应的特征向量1k ξ，（0k R ≠∈）；对231λλ==，齐次线性方程组()0I A x -=的基础解系为2(1,1,0)'ξ=-，3(1,0,1)'ξ=-故对应的特征向量为1223k k ξξ+，（1k 、2k R ∈且不全为0）．（2）用施密特方法将123,,ξξξ标准正交化后即为所求基（略）．5．（20分）设β为n 维欧氏空间V 中一个单位向量，定义V 的线性变换σ如下：()2(,)σααβαβ=-，V α∀∈．证明：（1）σ为第二类的正交变换（称为镜面反射）；（2）V 的正交变换τ是镜面反射的充要条件为1是τ的特征值，且对应的特征子空间的维数为1n -．证明 （1）由(,)σξση(2(,),2(,))ξβξβηβηβ=--(,)4(,)(,)4(,)(,)(,)ξηβηβξβηβξββ=-+ (,)ξη=此即σ为正交变换．再把β扩充成V 的一组标准正交基2,,,n βεε ，由于2(,)σββββββ=-=-， 2(,)i i i i σεεβεβε=-=，则22(,,,)(,,,)n n A σβσεσεβεε= ，其中1100n A I --⎛⎫=⎪⎝⎭．因1A =-， 故知σ为第二类的正交变换；（2）（必要性）若τ是V 的镜面反射，由（1）所证即知1必是矩阵A 的特征值，也是τ的特征值，且rank()1I A -=，因此齐次线性方程组()0I A x -=的解空间是1n -维的，即得1的特征子空间的维数为1n -；（充分性）τ的特征值有n 个，其中有1n -个为1，设另一个为实数0λ，则存在一组基12,,,nεεε 使0121210(,,,)(,,,)0n n n I λσεεεεεε-⎛⎫=⎪⎝⎭，因为τ为正交变换，21212012(,)(,)(,)εεσεσελεε==，所以201λ=，但1dim 1V n =-，得01λ=-，于是11σεε=-，i i σεε=，且1(,)0i εε=（2,,i n = ）现令111βεε=，则2,,,n βεε 组成一组正交基，对V α∀∈，122n n k k k αβεε=+++ ，不难验证()2(,)σααβαβ=-，即证得τ是镜面反射．注 对（2）中充分性的证明，也可考虑特征子空间1V 及其正交补1V ⊥，各取标准正交基凑成V 的一组基，其余仿上面证明．。
中山大学高代部分０３年５.（２０）设A 为n 阶实阵矩（3≥n ），证明：（１） 若A 的每个元素都等于它的代数余子式，且至少有一个元素不为零，则A A '＝I ； （２） 若,0≠A 则存在正交阵P 与正定阵B ，使A=PB０４年部分１（１０）计算：21...000.. 00...2100..12100...012=n D２（１０）设n αα,...1是数域P 上的线性空间V 中一线性无关向量组，讨论向量组13221,...,αααααα+++n 的线性相关性。
３（１０）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010101001A ，（１）证明：I A A A n n -+=-22；（２）求100A 。
４（２０）设3R 的线性变换A 在标准正交基下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A ，（１）求A 的特征值和特征向量；（２）求3R 的一组标准正交基，使A 在这组基下的矩阵为对角阵。
５（２０）设β为n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义A 的线性变换A 如下： A α＝V ∈∀-αβαβα),(2证明：（１）A 是第二类正交变换（称为镜面反射）；（２）V 的正交变换B 是镜面反射⇔1是B 的特征根，且对应的特征子空间的维数为n-1０５年部分 １．（１５）由三个函数１，t t sin ,cos 生成的实线性空间记为V ，求线性变换T :V V →：)3/()(π+t f t f 的迹、行列式和特征多项式。
２．（１５）设A 是秩为n 的n m ⨯的实矩阵，b 是m 维向量。
若n 维向量x 满足：b A Ax A TT=，证明：对一切不等于x 的n 维向量y ，有：） 注：),((x x x Ayb Ax b =-- ３．（１５）设=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A ，复阵０。
００１１。
０００。
０。
１０００。
０１０＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---021201110...............a a a a a a a a a n n n ，（1）A 是否相似于对角阵；（2）求B 的行列式。
2003年广东中山大学心理学考研真题研究方法部分：一、选择题（请选一个最适合的）20×2=40分，请将正确答案的字母写在答题纸上，注明题号。
1．如果两个变量是相关的，那么：a．我们可推断变量间的因果关系b．它们都是间断变量c．一个是间断变量，另一个是连续变量d．一个变更的值可预测另一个变量的值2．韦伯定律（Weber’slaw）可被用来预测：a．再认和回忆成绩间的差别b．反应时和准确性成绩间的差别c．智商和学业成绩之间的关系d．最小可觉差3．下列哪位学者创立了心理物理学方法a．Edward Boringb．Hermann Ebbinghausc．Gustav Fechnerd．S.S. Stevens4．在一个实验室实验中，心理学家更关心________是否相同，而不太关心物理刺激是否相同。
a．主试b．被试c．加工过程d．自变量5．在计算Pearson相关系数前，一般建议先用散点图对数据进行描述，因为a．我们必须确定两个变量间的关系是线性的。
b．针对因果关系来讲，散点图比相关系数能提供更多的信息。
c．我们必须保证数据中不包含极端值。
d．两者的比较可使变量间的因果关系更加清晰。
6．_________是相关性研究的固有问题，因而在对问题做解释时，容易出现困难。
a．参与性观察b．反应偏向c．限制性观察d．变量混淆7．自然观察是一项很有价值的研究方法，因为a．它允许进行广泛的实验控制b．研究容易重复c．它主要是描述性的d．它可定义一个问题领域并提出进一步的问题8．假定接受心理治疗的次数与犯罪次数成负相关，说明：a．接受心理治疗使你少犯罪b．接受心理治疗影响一个人是否犯罪，但不能确定犯罪率是否上升或下降c．两个变量间存在关系d．均不正确9．在信号检测论中，把报告标准向左（靠近噪声+信号分布一侧）移将：a．提高击中率b．提高正确拒斥率c．降低虚惊率d．提高漏报率10．询问被试汤里是否有盐味。
增加汤里盐的含量将：a．增加d’b．减少d’c．对d’无影响d．对d’的影响无法预测11．为了设计一个真实验，必需包含一个因变量和a．一个自变量且包含至少一个水平b．一个自变量且包含至少两个水平c．两个自变量且每一自变量包含至少一个水平d．两个自变量且每一自变量包含至少两个水平12．下面哪种情况是随机化的一个实例：a．号码为奇数的被试参加自变量的一个水平，号码为偶数的参加另一个水平b．被试上午接受自变量中的一种处理，下午接受另一种处理c．两组被试在各个特征上完全匹配d．被试能加入哪一组是抛硬币决定的13．准实验不同于真实验表现为准实验涉及：a．自然发生的自变量b．自然发生的因变量c．变量控制不严密d．实验研究与相关研究如调查等相结合的方法14．被试正在参加一项研究时，根据美国心理学会的伦理要求：a．只有在主试同意的情况下才可退出b．如果被试签署了同意参加完研究的协议，就不能退出c．如果主试已经支付了费用而且被试也事先同意参加研究，则被试不宜退出d．可以在任何时候自由退出15．“三角几何共八角，三角三角几何几何？这样一道题出现在数学试卷中，结果许多中学生都不知道试题的结果。
