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高考大题标准练(二)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．函数f (x )＝3sin ( 2x⎭⎫＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. 2．(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，知q ≠－1， 所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1) ＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列． 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 3．(2015·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．4．(2016·四川卷如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解：取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明：由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD .5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165. 6．(2015·四川卷)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．(1)解：由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x .令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)．由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故0＝u (1)<a 0＝u (x 0)<u (e)＝e －2<1.即a 0∈(0,1)．当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，从而f (x )>f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0；又当x ∈(0,1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x >0.故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。
高考大题标准练(三)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos2x ) ＝3cos x sin x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝cos π6sin2x －sin π6cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12. 因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 2．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比为q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 3．(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确． 4.(2015·北京卷)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V －ABC 的体积．(1)解：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又因为OC ⊂面MOC .所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解：在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以S △VAB ＝3，又因为OC ⊥平面VAB ，所以V C －VAB ＝13OC ·S △VAB ＝33. 又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等， 所以三棱锥V －ABC 的体积为33. 5．(2016·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |， 即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3. 由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0， 解得y H ＝9－4k 212k. 因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1). 在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ， 化简得x M ＝1，即20k 2＋912(k 2＋1)＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 6．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.。
【师说系列】2021届高三数学二轮温习课时强化训练 文(九)（含解析）一、选择题1．(2021·东城检测)已知数列{an}为等差数列，其前n 项和为Sn ，假设a3＝6，S3＝12，那么公差d 等于( )A ．1 B.53C ．2D ．3 解析：依照已知，a1＋2d ＝6,3a1＋3d ＝12，解得d ＝2.答案：C2．(2021·武汉联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，数列{an}的前n 项和为Sn ，那么使得Sn 取得最大时，n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，那么数列{an}的公差d ＝33－35＝－2，a1＝a3－2d ＝39，Sn ＝－n2＋40n ，因此当Sn 取得最大值时，n ＝20.答案：C3．(2021·昆明检测)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，假设a3＋a4＋a5＝12，那么S7的值为( )A ．28B ．42C ．56D ．14解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d ，由a3＋a4＋a5＝12得a1＋2d ＋a1＋3d ＋a1＋4d ＝12，即3a1＋9d ＝12，化简得a1＋3d ＝4，故S7＝7a1＋7×62d ＝7(a1＋3d)＝7×4＝28. 答案：A4．(2021·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an －1anan ＋1＝324，那么n ＝( )A ．11B ．12C ．14D ．16解析：设数列{an}的公比为q ，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12可得q9＝3，an －1anan ＋1＝a31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q36，因此n ＝14，应选C.答案：C5．(2021·山西诊断)正项等比数列{an}中，假设a2a18＝16，那么log2a10＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：依题意得，a2a18＝a210＝16，又a10＞0，因此a10＝4，log2a10＝log24＝2，选A.答案：A6．(2021·辽宁联考)公比为q 的等比数列{an}的各项均为正数，且a2a12＝16，logqa10＝7，那么公比q ＝( ) A.12 B. 2 C ．2 D.22解析：∵a10＝a4q6＝q7，∴a4＝q ，又a2a12＝a4a10＝16，∴q8＝16，q2＝2，q ＝2，选B. 答案：B二、填空题7．(2021·广州调研)在数列{an}中，a1＝2,2an ＋1＝2an ＋1，那么a101＝__________.解析：由2an ＋1＝2an ＋1，得an ＋1－an ＝12，故数列{an}是首项为2，公差为12的等差数列，因此a101＝2＋100×12＝52. 答案：528．(2021·陕西检测)在等差数列{an}中，假设a13＝20，a20＝13，那么a2 013＝__________.解析：由题意知，等差数列{an}的公差d ＝13－2020－13＝－1，∴a2 013＝a20＋(2 013－20)d ＝13－1 993＝－1 980. 答案：－1 9809．(2021·惠州调研)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q ＝2，假设{an}前n 项和Sn ＝127，那么n 的值为__________．解析：由题意知Sn ＝1－2n 1－2＝2n －1＝127，解得n ＝7. 答案：7三、解答题10．(2021·昆明检测)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝23，且S2＋12a2＝1. (1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn ＝log3a2n 4，求数列{1bn·bn＋2}的前n 项和Tn. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q ，由题意得23＋23q ＋12·23q ＝1，即q ＝13， 因此an ＝a1·qn－1＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n. (2)由(1)知bn ＝log3a2n 4＝log33－2n ＝－2n ， 因此1bn·bn＋2＝12n·2n ＋2＝14·1n n ＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， Tn ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2. 11．(2021·长对联考)已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x ＋45＝0的两根，数列{bn}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝1－bn 2(n ∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn ＝an ＋bn ，求数列{cn}的前n 项和Tn.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a3，a5是方程x2－14x ＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d ＞0，∴a3＝5，a5＝9，d ＝a5－a35－3＝2. ∴an ＝a5＋(n －5)d ＝2n －1.又当n ＝1时，有b1＝S1＝1－b12， ∴b1＝13. 当n≥2时，有bn ＝Sn －Sn －1＝12(bn －1－bn)， ∴bnbn －1＝13(n≥2)． ∴数列{bn}是以13为首项，13为公比的等比数列， ∴bn ＝13n. (2)由(1)知，cn ＝2n －1＋13n， ∵Tn ＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ，∴Tn ＝n 1＋2n －12＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝n2＋1－13n 2＝n2－12·3n ＋12. 12．(2021·开封模拟)已知等差数列{an}，公差d ＞0，前n 项和为Sn ，且知足a2a3＝45，a1＋a4＝14.(1)求数列{an}的通项公式及前n 项和Sn ；(2)设bn ＝Sn n ＋c ，假设{bn}也是等差数列，试确信非零常数c ，并求数列{1bn·bn＋1}的前n 项和Tn. 解析：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a2a3＝45，a1＋a4＝a2＋a3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝5，a3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a2＝9，a3＝5(舍去)， ∴an ＝4n －3，Sn ＝2n2－n.(2)由(1)知bn ＝2n2－n n ＋c. 数列{bn}是等差数列，那么2b2＝b1＋b3，即2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12， ∴bn ＝2n.则1bn·bn＋1＝12n·2n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴Tn ＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4n ＋1.。
高考大题标准练(一 )满分 75 分，实战模拟， 60 分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级： ________11．(2015 ·重庆卷 )已知函数 f(x)＝2sin2x－ 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到本来的两倍，纵坐标不变，获得π函数 g(x)的图象．当 x∈2，π时，求 g(x)的值域．1 2解： (1)f(x)＝2sin2x－3cos x1 3＝2sin2x－2 (1＋cos2x)1 3 3＝2sin2x－2 cos2x－2π3＝sin 2x－3－2，2＋ 3所以 f(x)的最小正周期为π，最小值为－.2π3(2)由条件可知： g(x)＝sin x－3－2 .πππ 2π当 x∈2，π时，有 x－3∈6，3，π1进而 sin x－3∈2，1 ，那么 sin x－π 3 1－ 3 2－ 3. 3－2∈2，2故 g(x)在区间π1－32－3 ，π上的值域是2，.2 22．(2016 ·新课标全国卷Ⅱ )等差数列 { a n} 中， a3＋ a4＝4，a5＋ a7＝6.(1)求{a n} 的通项公式；(2)设 b n＝ [a n] ，求数列 { b n} 的前 10 项和，此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数，如[0.9] ＝0，[2.6] ＝2.解： (1)设数列 { a n } 的首项为 a1，公差为 d，a1＝，1 12a ＋5d＝ 4，由题意有解得 2a1＋5d＝3，d＝5. 所以n}的通项公式为a n＝2n＋3 .{a 52n＋ 3.(2)由(1)知， b n＝52n＋3当 n＝ 1,2,3 时， 1≤5 <2，b n＝ 1；2n＋3当 n＝ 4,5 时， 2≤5 <3，b n＝ 2；2n＋3当 n＝ 6,7,8 时， 3≤5 <4，b n＝ 3；2n＋3当 n＝ 9,10 时， 4≤<5，b n＝4.5所以数列 { b n} 的前 10 项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.3．(2016 ·新课标全国卷Ⅱ )某险种的基本保费为 a(单位：元 )，持续购置该险种的投保人称为续保人，续保人今年度的保费与其上年度出险次数的关系以下：上年度出险次0 1 2 3 4 ≥5数保费 a 2a随机检查了该险种的200 名续保人在一年内的出险状况，获得以下统计表：出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10(1)记 A 为事件：“一续保人今年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的预计值；(2)记 B 为事件：“一续保人今年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求 P(B)的预计值；(3)求续保人今年度均匀保费的预计值．解：(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频次为60＋50＝，故200P(A)的预计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频次为30＋ 30200＝，故P(B)的预计值为0.3.(3)由所给数据得保费a2a频次检查的 200 名续保人的均匀保费为×＋a×＋×＋×＋×＋ 2a×＝ 1.192 5a.所以，续保人今年度均匀保费的预计值为 1.192 5a.4．(2016 ·新课标全国卷Ⅲ )如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA ＝BC＝ 4， M 为线段 AD 上一点， AM＝2MD ，N 为 PC 的中点．(1)证明 MN∥平面 PAB；(2)求四周体 N-BCM 的体积．2(1)证明：由已知得 AM ＝3AD ＝2.如图，取 BP 的中点 T ，连结 AT ， TN ， 由 N 为 PC 中点知 TN ∥BC ，1TN ＝2BC ＝ 2.又 AD ∥BC ，故 TN 綊 AM ，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN ∥AT.由于 AT? 平面 PAB ，MN?平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB.(2)解：由于 PA ⊥平面 ABCD ， N 为 PC 的中点，1所以 N 到平面 ABCD 的距离为 2PA.如图，取 BC 的中点 E ，连结 AE.由 AB ＝ AC ＝ 3 得 AE ⊥BC ，AE ＝ AB 2－ BE 2＝ 5.由 AM ∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，△ 1×4× 5＝2 5.故 S BCM ＝2所以四周体的体积1 ×S △ × PA ＝ 4 5 N-BCM N-BCM ＝323 . V BCM25．(2015 ·新课标全国卷Ⅰ )已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C ： (x －2) ＋ (y －3)2＝1 交于 M ，N 两点．(1)求 k 的取值范围；→ →(2)若OM ·ON ＝ 12，此中 O 为坐标原点，求 |MN|. 解： (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y ＝kx ＋ 1.|2k －3＋1|由于 l 与 C 交于两点，所以<1.21＋ k4－7 4＋7解得3 <k< 3 .所以 k 的取值范围为4－74＋7. 3 ， 3(2)设 M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将 y ＝ kx ＋1 代入方程 (x － 2)2＋(y － 3)2＝ 1，2 2整理得 (1＋k )x －4(1＋k)x ＋7＝0.4 1＋ k7所以x1＋x2＝1＋k2，x1x2＝1＋k2.→→OM·ON＝ x1x2＋y1y2＝(1＋ k2)x1x2＋ k(x1＋x2)＋1 4k 1＋k＝1＋k2＋8.4k 1＋k由题设可得1＋k2＋8＝12，解得k＝1，所以 l 的方程为 y＝x＋1.故圆心 C 在 l 上，所以 |MN|＝2.6．(2016 ·新课标全国卷Ⅲ )设函数 f(x)＝ln x－ x＋ 1.(1)议论 f(x)的单一性；x－1(2)证明当 x∈ (1，＋∞ )时， 1< ln x <x；(3)设 c>1，证明当 x∈ (0,1)时， 1＋ (c－1)x>c x.1(1)解：由题设， f(x)的定义域为 (0，＋∞)， f′(x)＝x－1，令 f′(x)＝0，解得 x ＝1.当 0＜ x＜ 1 时， f′(x)＞ 0， f(x)单一递加；当 x＞ 1 时， f′(x)＜ 0， f(x)单一递减．(2)证明：由(1)知， f(x)在 x＝1 处获得最大值，最大值为 f(1)＝0.所以当 x≠1 时， ln x＜x－1.故当 x∈(1，＋∞)时， ln x＜x－1，1 1ln x＜x－1，x－ 1即 1＜ln x＜ x.(3)证明：由题设 c＞ 1，设 g(x)＝ 1＋ (c－1)x－c x，则 g′ (x)＝c－1－c x ln c.c－ 1lnln c令 g′ (x)＝0，解得 x0＝ln c .当 x＜ x0时， g′(x)＞0，g(x)单一递加；当 x＞ x0时， g′(x)＜0，g(x)单一递减．c－1由(2)知 1＜ln c＜c，故 0＜x0＜1.又 g(0)＝g(1)＝ 0，故当 0＜ x＜1 时， g(x)＞0.所以当 x∈(0,1)时， 1＋(c－ 1)x＞ c x.。
高考大题标准练 (五 )满分 75 分，实战模拟， 60 分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级： ________x x2 x1．(2015 ·福建卷 )已知函数 f(x)＝ 10 3sin 2cos 2＋10cos 2.(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移 a(a ＞0)个单位长度后获取函数 g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2.①求函数 g(x)的分析式；②证明：存在无量多个互不同样的正整数 x 0，使得 g(x 0)＞0.x x 2x 解：由于 f(x)＝ 10 3sin 2cos 2＋ 10cos 2＝5 3sinx ＋5cosx ＋5π＝ 10sin x ＋ 6 ＋5，所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝ 2 π.π(2)①将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后获取y ＝10sinx ＋ 5 的图象，再向下平移 a(a ＞0)个单位长度后获取 g(x)＝10sinx ＋5－a 的图象．已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－a ＝2，解得 a ＝13.所以 g(x)＝10sinx －8.②要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g(x 0)＞0，就是要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 10sinx 0－48＞0，即 sinx 0＞5.4 3π4由5＜2 知，存在 0＜α0＜3，使得 sin α0＝ 5.4由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有 sinx ＞5.由于 y ＝sinx 的最小正周期为2 π，4所以当 x ∈(2k π＋α0,2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有 sinx ＞ 5.π由于对随意的整数 k ， (2k π＋π－ α0)－(2k π＋α0) ＝π－ 2α0＞3＞ 1，所以对随意的正整数 k ，都存在正整数 x k ∈ (2k π＋α0,2k π＋ π－ α0)，4使得 sinx k ＞5.亦即，存在无量多个互不同样的正整数 x 0，使得 g(x 0)＞0.2．已知 {a n } 是递加的等差数列， a 2，a 4 是方程 x 2 －5x ＋ 6＝ 0 的根．(1)求{a n } 的通项公式；a n(2)求数列 2n 的前 n 项和．解： (1)方程 x 2－5x ＋6＝0 的两根为 2,3，由题意得 a 2＝ 2，a 4＝3. 设数列 { a n } 的公差为 d ，则 a 4－a 2＝2d ，1 3故 d ＝ 2，从而 a 1＝2.1所以 {a n } 的通项公式为 a n ＝ 2n ＋1.a nnn ＋2(2)设2a2＋1，则的前 n 项和为 S ，由1)知 2＝n34n ＋1 n ＋ 2S n ＝22＋23＋ ＋ 2n＋n ＋1，21 3 4n ＋ 1 n ＋22S n ＝23＋ 24 ＋ ＋ 2n ＋1＋2n ＋2 .1311n ＋2两式相减得n ＝ ＋3＋ ＋ n 1 －n ＋22 2 ＋2S423 1 1 n ＋ 2＝4＋41－2n －1－ 2n ＋2 .n ＋4所以 S n ＝2－ n 1 .2 ＋3．(2016 ·北京卷 )某市居民用水拟推行阶梯水价，每人月用水量中不超出 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费， 高出 w 立方米的部分按 10 元 /立方米收费，从该市随机检查了 10000 位居民，获取了他们某月的用水量数据，整理获取如图频次散布直方图：(1)假如 w 为整数，那么依据此次检查，为使 80%以上居民在该月的用水价钱为 4 元/立方米， w 起码定为多少？(2)假定同组中的每个数据用该组区间的右端点值取代，当 w ＝ 3 时，预计该市居民该月的人均水费．解： (1)由频次散布直方图得：用水量在 [0.5,1)的频次为，用水量在 [1,1.5)的频次为，用水量在 [1.5,2)的频次为，用水量在 [2,2.5)的频次为，用水量在 [2.5,3)的频次为，用水量在 [3,3.5)的频次为，用水量在 [3.5,4)的频次为，用水量在 [4,4.5)的频次为，∵用水量小于等于 3 立方米的频次为85%，∴为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元 /立方米，∴w 起码定为 3 立方米．(2)当 w＝3 时，该市居民的人均水费为：×1＋×＋×2＋×＋×3)×4＋×3×4＋××10＋×3×4＋× 1× 10＋×3×4＋××10＝，∴当 w＝3 时，预计该市居民该月的人均水费为10.5 元．4．(2016 ·新课标全国卷Ⅰ )如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA＝6，极点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延伸交 AB 于点 G.(1)证明： G 是 AB 的中点；(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及原因 )，并求四周体PDEF 的体积．证明： (1)由于 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 AB⊥PD.由于 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB⊥DE. 由于 PD∩DE＝D，所以 AB⊥平面 PED，故 AB⊥ PG. 又由已知可得， PA＝PB，所以 G 是 AB 的中点．(2)解：在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面PAC 内的正投影．原因以下：由已知可得 PB⊥PA，PB⊥ PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥PA，EF⊥ PC. 又 PA∩PC＝ P，所以 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影．连结 CG，由于 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中2心．由 (1)知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD＝3CG.2由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE∥PC，所以 PE＝3PG，1DE＝3PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝ 6，可得 DE＝ 2， PE＝ 2 2.在等腰直角三角形EFP 中，可得 EF＝PF＝2，1 14 所以四周体 PDEF 的体积 V ＝3×2×2×2×2＝3.5．(2016 ·浙江卷 )如图，设抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到y 轴的距离等于 |AF|－ 1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围．解： (1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x ＝－ 1 的距离，p由抛物线的定义得 2＝ 1，即 p ＝2.2,2t)， t ≠0，t ≠±1.(2)由(1)得，抛物线方程为 y 2＝4x ，，可设A(tF(1,0)由于 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF ：x ＝sy ＋ 1(s ≠ 0)，由y 2＝4x ， 消去 x 得 y 2－4sy －4＝0，x ＝sy ＋11 2故 y 1y 2＝－ 4，所以 B t 2，－ t .又直线 AB 的斜率为 2t，故直线 FN 的斜率为－ t 2－ 12t ，t 2－ 1t 2－12t 2 ＋32 从而得直线 FN ：y ＝－2t (x －1)，直线 BN ： y ＝－ t ，所以 N ，－t.t 2 －12设 M(m,0)，由 A ， M ，N 三点共线得 22t2t ＋ t，＝2t －mt ＋3t 2－ 22t2t －1＝2＋ 2于是 m ＝ 22 ，t －1 t －1所以 m ＜0 或 m ＞2.经查验， m ＜ 0 或 m ＞2 知足题意．综上，点 M 的横坐标的取值范围是 (－∞， 0)∪(2，＋ ∞)．6．(2016 ·天津卷 )设函数 f(x)＝x 3－ ax －b ，x ∈R ，此中 a ，b ∈R .(1)求 f(x)的单一区间； 0，且 f(x 1 ＝，此中1≠x 0，求证： x 1＋2x 0＝0；(2) 若f(x) 存在极值点x )xf(x )1(3)设 a>0，函数 g(x)＝|f(x)|，求证： g(x)在区间 [－1，1]上的最大值不小于 . ．．．4解： (1)由 f(x)＝x 3－ax －b ，可得f ′ (x)＝ 3x 2－ a.下边分两种状况议论：①当 a ≤0 时，有 f ′(x)＝ 3x 2－ a ≥ 0 恒建立，所以 f(x)的单一递加区间为 (－∞，＋ ∞)．②当 a ＞0 时，令 f ′(x)＝ 0，解得 x ＝ 3a 3 或 x ＝－ 3a3 .当 x 变化时， f ′ (x)，f(x)的变化状况以下表：x3a3a3a3a 3a 3a－∞，－ 3－ 3－3，33 3 ，＋∞f ′ (x) ＋0 － 0＋ f(x) 单一递加极大值单一递减 极小值单一递加所以 f(x)的单一递减区间为－3a 3a3a 3a 3 ， 3，单一递加区间为－∞，－ 3 ， 3 ，＋ ∞.(2)证明：由于 f(x)存在极值点，0≠0. 所以由 (1)知 a ＞0，且 x2 2 a由题意，得 f ′ (x )＝ 3x － a ＝ 0，即 x ＝ 3，从而30－ ＝－2a0)＝ x 0－x 0－b.f(xaxb38a2a又－3 0－ ＝－x 0＋ 0－ ＝－0)，且－f( 2x ＝－8x ＋－＝f(x2axb3 2ax b 3b2x 0≠x 0，由题意及 (1)知，存在独一实数 x 1 知足 f(x 1)＝f(x 0)，且 x 1 ≠x 0 ，所以 x 1＝－ 2x 0，所以 x 1＋ 2x 0＝ 0.(3)证明：设 g(x)在区间 [ －1,1]上的最大值为 M ， max{ x ，y} 表示 x ，y 两数的最大值．下边分三种状况议论：3a 3a①当 a ≥3 时，－ 3 ≤－1＜1≤ 3 ，由(1)知， f(x)在区间 [ －1,1]上单一递减，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 [f(1)，f(－ 1)]，所以 M ＝max{| f(1)|，|f(－1)|}＝ m ax{|1－a －b|， |－1＋a －b|}＝ m ax{| a －1＋b|， |a －1－b|}a －1＋b ，b ≥0，＝a －1－b ，b ＜0.所以 M ＝a －1＋|b|≥ 2.3 2 3a3a 3a 2 3a②当 4≤ a ＜ 3 时，－3 ≤－1＜－ 3 ＜ 3 ＜1≤3.2 3a 3a由(1)和(2)知 f(－1)≥f －3 ＝ f3 ，2 3a3af(1)≤f 3 ＝f － 3 ，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 f 3a ，f － 3a 3 3 ，3a 3a所以 M ＝maxf 3 ， f － 32a2a ＝max － 9 3a －b ， 9 3a － b2a 2a＝max 9 3a ＋ b ， 9 3a －b ＝ 2a 2 3 3 1 9 3a ＋|b|≥ × × 3×＝.9 4 4 4 3 2 3a 2 3a ③当 0＜a ＜4时，－ 1＜－ 3＜ 3 ＜1.2 3a3a由(1)和(2)知 f(－1)＜f －3 ＝ f 3 ，2 3a 3af(1)＞f3 ＝f － 3 ，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 [f(－1)， f(1)] ．所以 M ＝max{| f(－ 1)|，|f(1)|}＝ m ax{| －1＋ a － b|， |1－a －b|}＝ m ax{|1－a ＋b|， |1－a －b|}1＝1－a ＋|b|＞ 4.1综上所述，当 a ＞0 时， g(x)在区间 [－ 1， 1]上的最大值不小于 4.。
高考大题标准练(七)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解：(1)利用正弦定理转化得：sin ∠Bsin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)由诱导公式可得sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B .由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，∠B ＝30°. 2．(2015·浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2i ＝1n (y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 4．(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．证明：(1)延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCK ， 因此，BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD . (2)解：因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217，所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217.5．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题意知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ， 则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D (1,0)重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 6．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)·ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；②当a >2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．。
高考小题标准练(九)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数2＋i－i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：2＋i －i ＝(2＋i )·i －i·i＝2i ＋i 2＝2i －1.故选C.答案：C2．给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0 ②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．②③解析：对于命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对于命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对于命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．故选B.答案：B3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1解析：由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. 答案：D4．函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 解析：令3sin x －cos x ≥1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选B.答案：B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ：sin B ：sin C ＝( )A ．4：3：2B ．5：6：7C ．5：4：3D ．6：5：4解析：由3b ＝20a cos A 及余弦定理得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc ，化简得3b 2c ＝10a (b 2＋c 2－a 2)．又a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，所以设a ＝m ＋1，b ＝m ，c ＝m －1.所以3m 2·(m －1)＝10(m ＋1)[m 2＋(m －1)2－(m ＋1)2]，解得m ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝－87舍去.故a ＝6，b ＝5，c ＝4，由正弦定理得sin A ：sin B ：sin C ＝6：5：4，故选D.答案：D6．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2 009次跳后它停在的点所对应的数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：按规则：从5开始经1次跳到达数2，经2次跳到达数1，经3次跳到达数3，经4次跳到达数5，…，故它是以4为周期．又2009＝4×502＋1，从而经过2009次跳后到达的数与第1次跳后到达的数是一样的，故对应的数为2.故选B.答案：B7．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋1 D ．(0，2＋1] 解析：当m <0时，集合A 是以(2,0)为圆心、以|m |为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间的部分，A ∩B ≠∅等价于点(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离不大于半径|m |，因为2－2m －12＋m ＝(1－2)m ＋22>0，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m ＝0时，A ＝{(2,0)}，B ＝{(x ，y )|0≤x ＋y ≤1}，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m >0时，集合A是以(2,0)为圆心、以m2和|m |为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间的部分，必有⎩⎪⎨⎪⎧|2－2m －1|2≥m ，|2－2m |2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2.又因为m 2≤m 2，所以12≤m ≤2＋2.故选B.答案：B8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数．下面关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数 ②f (x )的图象关于直线x ＝1对称 ③f (x )在[0,1]上是增函数 ④f (x )在[1,2]上是减函数 ⑤f (2)＝f (0)．其中正确判断的个数是( )A ．5B ．3C ．2D ．1解析：f (x ＋1)＝－f (x )＝f (x －1)＝f (1－x )，所以f (x )是周期为2的函数且图象关于直线x ＝1对称；偶函数f (x )在[－1,0]上是增函数，所以在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．所以①②⑤正确，故选B.答案：B9．异面直线l 与m 所成角为π3，异面直线l 与n 所成角为π4，则异面直线m 与n 所成角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12 解析：平移直线l ，m 到同一平面，故当n 也在同一平面，且在l ，m 之间时，异面直线m 与n 所成的角最小，为π3－π4＝π12.再根据异面直线的性质知，异面直线m与n 所成的角的最大值为π2.所以异面直线m 与n 所成的角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.故选A.答案：A10．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．5B ．4 C.1155 D.115解析：点P 到抛物线准线的距离d 1等于点P 到焦点(1,0)的距离，所以d 1＋d 2的值等于焦点到点P 的距离加上从点P 到直线的距离，因此最小值是焦点到直线的距离，点P 是垂线段和抛物线的交点，即d 1＋d 2的最小值等于焦点到直线的距离115＝1155.故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．解析：由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b .由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b 24＝12.由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，可得a ＝22，b ＝4，所以V ＝34×(22)2×4＝8 3. 答案：8 312．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成51两段，则此双曲线的离心率为__________．解析：双曲线的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，则c ＋b ＝5(c －b )，所以b ＝23c .则e ＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝355. 答案：355。
五、立体几何小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a⊥b，则a不一定垂直于α，故充分性不成立；若a⊥α，则a⊥b一定成立，故必要性成立，所以“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件，选B.答案：B2．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是()解析：通解：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断)对选项A，易判断PR∥SQ，故点P、Q、R、S共面；对选项B，易判断QR∥SP，故点P、Q、R、S共面；对选项C，易判断PQ∥SR，故点P、Q、R、S共面；而选项D中的RS、PQ为异面直线，故选D.优解：如图，可知选项A、B中的四点共面．对于选项C，易知可构成平行四边形．故选D.答案：D3．设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若a⊥α，α∥β，则a⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b解析：A中两条直线的位置关系不能确定，所以A错误；B中a与平面β的位置关系不确定，所以B错误；显然C正确；D中两条直线分别与两个平面平行，则两条直线的位置关系不确定，所以D错误，故选C.答案：C4．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使翻折后两部分所在的平面互相垂直，则翻折后形成的空间四面体ABCD的内切球的半径为()A.2－62 B.62－1C．1－22D．1解析：由题意可知翻折后形成的空间四面体ABCD 的体积为13×12×1×1×22＝212，表面积S ＝2×12×1×1＋2×34＝1＋32，设内切球的半径为r ，则13⎝⎛⎭⎫1＋32r ＝212，解得r ＝2－62，故选A. 答案：A5．已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝2，BC ＝23，∠BAC ＝π2，此三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，则球的体积为( )A.32π3 B ．16π C.25π3 D.31π2解析：如图所示，∵在△ABC 中，∠BAC ＝π2，∴△ABC 的外心P 为BC 的中点，同理可得△A 1B 1C 1的外心Q 为B 1C 1的中点， 连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，∴PQ ⊥平面ABC ，再取PQ 的中点O ，可得点O 到A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1的距离相等， ∴点O 是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的球心．∵在Rt △OPB 中，BP ＝12BC ＝3，PO ＝12AA 1＝1，∴OB ＝BP 2＋PO 2＝2，即外接球半径R ＝2，∴三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝32π3，故选A.答案：A6．已知两条不同的直线l ，m 和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ③若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α.其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α或l ⊂α，所以③错误．综上可知，选C.答案：C7．已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的表面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：由题知该四棱锥为正四棱锥，如图，由该四棱锥的正视图可知，四棱锥的底面边长AB ＝2，高PO ＝2，则四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥的表面积S ＝4＋4×12×2×5＝4(5＋1)，体积V ＝13×2×2×2＝83.故选C.答案：C8．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.42π3＋43B.82π3＋43 C.42π3＋2 D.82π3＋2 解析：由三视图可知，该几何体下面是半径为2的半球，上面是一个底面是腰为2的等腰直角三角形、高是2的三棱锥，其体积V ＝12×43π×(2)3＋13×12×2×2×2＝423π＋43，故选A.答案：A 9.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△P AC 是正三角形，∠CAB ＝90°，AB ＝2AC .则直线BC 与平面P AB 所成角的正弦值为( )A.8510 B ．－1510 C.1510 D ．－8510解析：∵AB ⊥AC ，且平面P AC ⊥平面ABC ， ∴AB ⊥平面P AC .取AP 的中点D ，连接CD ，DB ，则CD ⊥P A ，又AB ⊥CD ， ∴CD ⊥平面P AB ，则∠CBD 为所求线面角．设AC ＝1，则CD ＝32，AB ＝2，BC ＝5， ∴sin ∠CBD ＝CD BC ＝1510，即直线BC 与平面P AB 所成角的正弦值为1510.答案：C10．如图，已知四边形ABCD 为菱形，边长为2，且∠A ＝60°，E 为AB 的中点，现将四边形EBCD 沿DE 折起至EBHD ，使得平面EBHD ⊥平面ADE ，则四棱锥A －EBHD 的体积为( )A.32 B. 3 C.332D ．2 解析：因为∠A ＝60°，E 为AB 的中点，所以DE ⊥AB ，故翻折之后AE ⊥DE ，又平面EBHD ⊥平面ADE ，因此AE ⊥平面EBHD ，故V A －EBHD ＝13×S 四边形EBHD ×AE ＝13×(1＋2)×3×12×1＝32. 答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为__________．(写出所有真命题的序号)①若直线m ⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线 ②若直线m ⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直 ③若直线m ⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线 ④若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．解析：对于①，若直线m ⊥α，若α、β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m 平行的直线，故①错误；对于②，若直线m ⊥α，则直线m 垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直，故②正确；对于③，若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线，故③错误，④正确．答案：②④12．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1)．设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ②l ⊥AC ③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直 ④当x 变化时，l 不是定直线．其中不成立的结论是__________．(写出所有不成立结论的序号)解析：连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ， ∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，易证PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ， ∴l ∥平面ABCD ，故①成立； 又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，∴易知直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立． 答案：④13．已知底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P －ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．解析：由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的体对角线长为1＋1＋1＝ 3.故外接球的直径是3，半径是32，故其表面积是4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π.答案：3π14．已知三棱锥A －BCO ，OA ，OB ，OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动(含边界)，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为__________．解析：连接OP ，无论M ，N 如何移动，△OMN 总是直角三角形，且MN ＝2，OP ＝1，故点P 的轨迹是以O 为球心的球面的18，故与三棱锥的面围成的几何体的体积为43π×18＝π6或36－π6.答案：π6或36－π615．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP ＝x ，CQ ＝y ，其中x ，y ∈[0,1]，则下列命题正确的是__________．(写出所有正确命题的序号)①当x ＝0时，S 为矩形，其面积的最大值为1 ②当x ＝y ＝12时，S 为等腰梯形 ③当x ＝12，y ＝34时，S 为六边形 ④当x ＝12，y ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1＝2－1y.解析：当x ＝0时，S 为矩形，其最大面积为1×2＝2，①错误；当x ＝y ＝12时，截面如图(1)所示，②正确；当x ＝12，y ＝34时，截面如图(2)所示，③错误；当x ＝12，y ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，如图(3)， 延长DD 1与QR ，使DD 1∩QR ＝N ，连接AN 交A 1D 1于点T ，连接TR ，可得AN ∥PQ ，△PCQ ∽△ADN ，CP AD ＝QC DN ＝12，故DN ＝2y ，D 1N ＝2y －1.由△NRD 1∽△QRC 1，可得C 1R RD 1＝C 1Q D 1N ＝1－RD 1RD 1，可得RD 1＝2－1y ，④正确．综上可知正确命题的序号为②④.答案：②④。
高考大题标准练 (八 )分 75 分， 模 ， 60 分 拿下高考客 分！姓名：________ 班： ________1．(2015 ·天津卷 )在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所 的 分a ，b ， c.已知△1ABC 的面 3 15，b －c ＝2，cosA ＝－ 4.(1) 求 a 和 sinC 的 ；(2) 求 cos 2A ＋ π6 的 ．解： (1)在△ABC 中，由 cosA ＝－1154，可得 sinA ＝ 4 .1由 S △ABC ＝2bcsinA ＝3 15，得 bc ＝ 24，又由 b －c ＝2，解得 b ＝6，c ＝4.由 a 2＝b 2＋ c 2－2bccosA ，可得 a ＝ 8.ac 15由 sinA ＝sinC ，得 sinC ＝ 8 .2A ＋ ππ π32－1(2)cos 6 ＝ · － · ＝ 2 (2cos A 1) － × 2sinA ·cosA ＝cos2A cos 6 sin2A sin 62 15－7 316 .2．(2015 ·湖南卷 ) 数列 { a n } 的前 n 和 S n .已知 a 1＝1，a 2＝ 2，且 a n ＋ 2＝ 3S n－ S n ＋ 1＋3，n ∈N * .(1) 明： a n ＋2＝3a n ； (2)求 S n .明： (1)由条件， 随意 n ∈N * ， 有 a n ＋2＝3S n － S n ＋1 ＋3，因此 随意 n ∈N * ， n ≥ 2，有 a n ＋1＝3S n －1－S n ＋ 3.两式相减，得 a n ＋2－a n ＋1＝ 3a n － a n ＋ 1，即 a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又 a 1＝1，a 2＝ 2，所以 a 3＝ 3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1.故 全部 n ∈ N * ，a n ＋2＝3a n .a n ＋2(2)解：由 (1)知， a n ≠0，所以 a n ＝3.于是数列 { a 2n －1} 是首 a 1＝1，公比 3 的等比数列；数列 { a 2n } 是首 a 2＝2，公比 3 的等比数列．所以 a 2n －1＝3n －1，a 2n＝ 2× 3n－1.于是 S 2n ＝a 1 ＋a 2＋ ⋯＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋⋯ ＋a 2n －1)＋ (a 2＋a 4 ＋⋯＋a 2n )＝ (1＋ 3＋ ⋯＋3n －1)＋ 2(1＋ 3＋ ⋯＋3n －1)3 3n － 1＝3(1＋3＋⋯ ＋3n －1)＝，2进而 S 2n －1 ＝S 2n －a 2n ＝3 3n －1－ 2× 3n －123n 2 ＝2(5×3 －－1)． 综上所述，3n －32 5×3 2 －1 ，n 是奇数，S n ＝n 32 32－1 ， n 是偶数 .3．某高校共有学生 15 000 人，此中男生 10 500 人，女生 4 500 人，为检查该校学生每周均匀体育运动时间的状况，采纳分层抽样的方法，采集 300 位学生每周均匀体育运动时间的样本数据 (单位：小时 )．(1)应采集多少位女生的样本数据？(2)依据这 300 个样本数据，获得学生每周均匀体育运动时间的频次散布直方图(以下图 )，此中样本数据的分组区间为： [0,2] ，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周均匀体育运动时间超出4 小时的概率； (3)在样本数据中，有 60 位女生的每周均匀体育运动时间超出 4 小时，请达成每周均匀体育运动时间与性其他列联表， 并判断能否有 95%的掌握以为“该校学生 的每周均匀体育运动时间与性别相关”．n ad －bc 2附： K 2＝a ＋bc ＋d a ＋ c b ＋dP(K 2≥ k 0)0.100.050.010 0.005 k 0 2.7063.841 6.635 7.879解： (1)300× 4 500＝90，所以应采集 90 位女生的样本数据． 15 000(2)由频次散布直方图得 2× (0.150＋0.125＋ 0.075＋0.025)＝ 0.75，所以该校学生 每周均匀体育运动时间超出4 个小时的概率的预计值为 0.75.(3)由(2)知，300 位学生中有 300×0.75＝225 人的每周均匀体育运动时间超出 4小时，75 人的每周均匀体育运动时间不超出4 小时．又由于样本数据中有 210 份是对于男生的， 90 份是对于女生的．所以每周均匀体育运动时间与性别列联表以下：每周均匀体育运动时间与性别列联表男生女生 总计每周均匀体育运动时间不超出 4 小3075 时45每周均匀体育运动时间超出4 小时16560 225 总计210 90300联合列联表可算得K2的观察值300× 45×60－30× 1652100≈4.762＞3.841.k＝＝75× 225×210×9021所以在出错误的概率不超出 5%的前提下以为“该校学生的每周均匀体育运动时间与性别相关”．4．(2015 ·新课标全国卷Ⅰ )如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC⊥平面 BED；6(2)若∠ ABC＝120°， AE⊥ EC，三棱锥 E－ACD 的体积为3，求该三棱锥的侧面积．证明： (1)由于四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD.由于 BE⊥平面 ABCD，所以 AC⊥BE，又由于 BE∩BD＝B，故AC⊥平面 BED.又AC? 平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 BED.(2)解：设 AB＝ x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可得3xAG＝GC＝2 x， GB＝GD＝2.由于 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，3可得 EG＝2 x.由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，2可得 BE＝2 x.由已知得，三棱锥E－ACD 的体积1 1V E－ACD＝3×2AC·GD·BE36＝24x ＝3 .故 x＝ 2.6进而可得 AE＝ EC＝ ED＝ 6.所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E－ ACD 的侧面积为 3＋ 2 5.5．(2015 ·北京卷 )已知椭圆 C： x2＋3y2＝3.过点 D(1,0)且可是点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 AE 与直线 x＝ 3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的地点关系，并说明原因．2x 2解： (1)椭圆 C 的标准方程为 3 ＋ y ＝1.所以 a ＝ 3， b ＝ 1， c ＝ 2.c 6所以椭圆 C 的离心率 e ＝a ＝ 3 .(2)由于 AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1，y 1)， B(1，－ y 1)．直线 AE 的方程为 y －1＝(1－ y 1)(x － 2)．1)．令 x ＝ 3，得 M(3,2－ y2－y 1＋ 1所以直线 BM 的斜率 k BM ＝y＝1.3－ 1(3)直线 BM 与直线 DE 平行．证明以下：当直线 AB 的斜率不存在时，由 (2)可知 k BM ＝ 1.1－0又由于直线 DE 的斜率 k DE ＝ ＝1，所以 BM ∥DE.2－1当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y ＝k(x －1)(k ≠1)．y 1－1设 A(x 1，y 1)，B(x 2， y 2)，则直线 AE 的方程为 y －1＝(x －2)．x 1－2y 1＋x 1－ 3令 ＝ ，得点M 3，.x 31x － 2x2＋3y 2＝3，得(1＋3k 2)x 2－ 6k 2x ＋3k 2－3＝0.由y ＝k x －16k 22， x 1x 2＝3k 2－3所以 x 1＋x 2＝ 2.1＋ 3k 1＋3ky 1＋x 1－3－ y 2x 1 －2直线 BM 的斜率 k BM ＝ .3－x 2 由于 k BM －1＝k x 1－1 ＋x 1－3－k x 2－1 x 1－2 － 3－x 2 x 1－2 3－x 2 x 1－ 2k － 1 [－ x 1x 2＋2 x 1＋x 2 －3]＝3－ x 2 x 1－2 － 3k 2＋ 3 12k 2k －11＋3k 2＋1＋ 3k 2－3＝＝0，3－x 2 x 1－2所以 k BM ＝1＝k DE 所以∥. BM DE.综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行．． ·四川卷 函数 21 e∈ ，＝⋯f(x)＝ax － a － ln x ，g(x)＝ － x ，此中6 (2016 )x ea R e2.718自然 数的底数．(1) f(x)的 性； (2) 明：当 x>1 ， g(x)>0； (3) 确立 a 的全部可能取 ，使得 f(x)>g(x)在区 (1，＋∞ )内恒建立．1 ＝ 2ax 2－1 解： (1)由 意得 f ′(x)＝2ax － x (x ＞0)． x当 a ≤ 0 ， f ′(x)＜ 0， f(x)在(0，＋ ∞)内 减．1当 a ＞ 0 ，由 f ′ (x)＝0 有 x ＝ 2a ，1 当 x ∈0，2a ， f ′(x)＜0，f(x) 减；1当 x ∈ 2a ，＋ ∞ ， f ′(x)＞0， f(x) 增． (2) 明：令 s(x)＝ex －1－x ， s ′(x)＝ex －1－ 1.当 x ＞ 1 ， s ′(x)＞ 0，所以 ex －1＞x ，1 1进而g(x)＝x －e x －1＞0.(3)解：由 (2)知，当 x ＞1 ， g(x)＞0.当 a ≤ 0， x ＞ 1 ， f(x)＝a(x 2－ 1)－ln x ＜0. 故当 f(x)＞g(x)在区 (1，＋ ∞)内恒建立 ，必有 a ＞0.1 1当 0＜ a ＜ 2 ，＞1.2a1 1由(1)有 f 2a ＜f(1)＝ 0，而 g 2a ＞ 0，所以此 f(x)＞ g(x)在区 (1，＋ ∞ )内不恒建立．1当 a ≥2 ，令 h(x)＝f(x)－g(x)(x ≥ 1)．x 3－ ＋x 2－ ＋1 11 x1 1 12x 12x 1当 x ＞ 1 ，h ′(x)＝ 2ax － x ＋ x 2 －e －＞ x － x ＋ x 2 － x ＝x 2＞ x 2＞0.所以， h(x)在区 (1，＋ ∞)内 增．又因 h(1)＝ 0，所以当 x ＞1 ， h(x)＝f(x)－g(x)＞0，即 f(x)＞g(x)恒建立．1上， a ∈ 2，＋ ∞ .。
高考大题标准练(六)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sinAsinC.(1)若a ＝b ，求cosB ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac. 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c. 由余弦定理可得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac.因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为1.2．设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f(x)＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cosx －a n ＋2sinx 满足f′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sinx －a n ＋2·cosx. 对任意n ∈N *，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·＋2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：解：(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散．(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B.并求BDBC 1的值． 解：(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB.由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B(0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·A 1B →＝0，n·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝1625.由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐二面角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D(x ，y ，z)是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. 所以(x ，y －3，z)＝λ(4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B.此时，BD BC 1＝λ＝925.5．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3<k<2. 解：(1)设M(x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A(－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：设直线AM 的方程为 y ＝k(x ＋2)(k>0)，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝－4k 23＋4k 2，故|AM|＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题意，设直线AN 的方程为 y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN|＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM|＝|AN|得23＋4k 2＝k3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f(t)＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f(t)的零点．f′(t)＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)内单调递增．又f(3)＝153－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k<2.6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx ＋a(1－x)。
专题能力提升练(五) 解析几何一、选择题(每小题5分)1．过点(5,2)且在y 轴上截距是x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．5x －10y ＋12＝0C ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0D ．x －2y －9＝0或2x －5y ＝0解析：设直线在x 轴上截距为a ，则在y 轴上截距为2a ，若a ＝0，得直线方程是2x －5y ＝0；若a ≠0，则方程为x a ＋y2a ＝1，又直线过点(5,2)，得a ＝6，得直线方程是2x ＋y －12＝0.答案：C2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )A ．－12 B.12 C ．－34 D.34解析：在△OAB 中，由|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1×1×cos120°＝－12.答案：A3．已知命题p ：4<r <7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离等于5，所以当圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.所以p 是q 的必要不充分条件．答案：B4．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M (a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由题意知直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1,2)，则a －b －3＝0，当点M (a ，b )到圆心的距离最小时，切线长最短，|MC |＝a ＋2＋b －2＝2a 2－8a ＋26，当a ＝2时最小，此时b ＝－1，切线长等于4.答案：C5．已知点A (－t,0)，B (t,0)，若圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则正数t 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[5,6]C ．[4,5]D ．[3,6]解析：圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤t ≤32＋42＋1，即4≤t ≤6.答案：A6．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析：依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>02－m >02－m >|m |－1，解得m <－1或1<m <32.答案：D7．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为13，设椭圆与抛物线y 2＝4x 的交点P 到点F (1,0)的距离为52，则椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 25＋y 24＝1 C.x 25＋y 23＝1 D.x 29＋y 28＝1 解析：设P (x 0，y 0)，根据题意知x 0－(－1)＝52，所以x 0＝32，代入y 2＝4x ，得y 0＝±6，所以P ⎝⎛⎭⎫32，±6.由椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧94a 2＋6b 2＝1c a ＝13a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝22c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.答案：D8．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率e ＝( )A.10B.102C.103 D.52解析：由题意知，直线l 的方程为y ＝－(x －c )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －c y ＝ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bca ＋b ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －c y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bc a －b ，因为A 为线段BF 的中点，所以2ac a ＋b ＝ac a －b＋c ，即b ＝3a ，所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋9＝10，所以e ＝10.答案：A9．已知抛物线y 2＝4x 的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为P ，且PF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为( )A.3－ 2B.2－1C.12D.22解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，结合题意得a 2－b 2＝1 ①，又由题意知P 点的坐标为P (1,2)，则1a 2＋4b 2＝1 ②.由①②得a 2＝3＋22，a ＝1＋2，e ＝c a ＝11＋2＝2－1，选B.答案：B10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ≥4)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点F 重合，设抛物线的准线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由题意知，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线为x ＝－2， 所以c ＝2，a 2－b 2＝4.把x ＝－2代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2， 取A ⎝⎛⎭⎫－2，b1－4a 2，B ⎝⎛⎭⎫－2，－b 1－4a 2. 因为△ABF 的面积为 S ＝12×4×2b 1－4a 2＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2 ＝a 2－a＝4a －16a，S ′＝4＋16a2>0，所以S 为增函数，因为a ≥4，所以S ≥12. 答案：D二、填空题(每小题5分)11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝__________.解析：圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又圆O 的半径为5，所以圆上有4个点符合条件． 答案：412．直线x －ky ＋1＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，则动弦AB 中点M 的轨迹方程是______________．解析：设动点M 的坐标为(x ，y )，易知直线恒过定点P (－1,0)，由垂径定理可得OM →⊥PM →，故OM →·PM →＝x (x ＋1)＋y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝14. 答案：⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1413．两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3，2)，且圆心C 在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为________________．解析：由2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线l 的方程为x －y ＋3＝0.设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线l 和直线y ＝12x 的交点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0y ＝12x，解得圆心C 的坐标为(－6，－3)，从而解得r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.答案：(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝3414．过抛物线x 2＝4y 上一点M (x 0，y 0)(x 0>0)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N (x 1，y 1)，则x 0－x 1的最小值为__________．解析：由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，则y ′＝12x ，抛物线的准线方程为y ＝－1.因为点M (x 0，y 0)是抛物线x 2＝4y 上一点，所以y 0＝14x 20，且过点M 的抛物线的切线的斜率k ＝12x 0，切线方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y －14x 20＝12x 0(x －x 0)，令y ＝－1，得x 1＝12x 0－2x 0，所以x 0－x 1＝12x 0＋2x 0≥2，所以x 0－x 1的最小值为2. 答案：215．在平面直角坐标系中，点P 为椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为__________．解析：通解：设直线x －y ＋a ＝0与椭圆相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0x 23＋y 2＝1有唯一解，消去x ，得4y 2－2ay ＋a 2－3＝0，Δ＝4a 2－16(a 2－3)＝0，解得a ＝±2，所以直线x －y ±2＝0与椭圆相切，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为直线x －y －2＝0与直线x －y ＋6＝0间的距离，最大距离为82＝4 2. 优解：设P (x ，y )，则x 23＋y 2＝1，且P (x ，y )到直线x －y ＋6＝0的距离为d ＝|x －y ＋6|2.设⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α， 则d ＝|3cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＋62＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62≤82＝42，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为4 2. 答案：4 2三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．过平面内M 点的光线经x 轴反射后与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切于A ，B 两点． (1)若M 点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程； (2)若|AB |＝3144，求动点M 的轨迹方程． 解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则此直线方程可以设为y ＋1＝k (x －5)，即kx －y －5k －1＝0(*)．又反射光线与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切，所以|－2－5k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝－1或－723，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x ＋y －4＝0或7x ＋23y －12＝0.(2)设动点M 的坐标为(x ，y )(y ≥0)，则反射光线所在直线必过点M 关于x 轴的对称点Q (x ，－y )，设动弦AB 的中点为P ，则|AP |＝3148，故|CP |＝2－⎝⎛⎭⎫31482＝28.由射影定理|CP |·|CQ |＝|AC |2， 得|CQ |＝228＝82， 即x 2＋－y －2＝82，即x 2＋(y ＋2)2＝128(y ≥0)．17．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －2m －2＝0.(1)证明：m 取任意实数时，l 1和l 2的交点总在一个定圆C 上； (2)直线AB 与(1)中的圆C 相交于A ，B 两点， ①若弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分，求直线AB 的方程．②若直线AB 经过定点(2,3)，求使△ABC 的面积取得最大值时的直线AB 的方程．解：(1)设l 1和l 2的交点坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＝0x ＋my －2m －2＝0，消去m 得，x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以l 1和l 2的交点总在圆心坐标为(1,1)，半径为2的圆上． (2)①当弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分时，CP ⊥AB ， 因为k CP ＝1－121－12＝1，所以k AB ＝－1，由点斜式方程，得直线AB 的方程为y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y －1＝0. ②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝2，可求得|AB |＝2，S △ABC ＝12×2×1＝1；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0， 则圆心C 到直线AB 的距离d ＝|k －1＋3－2k |1＋k 2＝|2－k |1＋k 2，又S △ABC ＝12d ×22－d 2＝2d 2－d 4＝－d 2－2＋1，当d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|2－k |1＋k 22＝1，即k ＝34时，△ABC 面积取得最大值1，此时，直线AB 的方程为y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所求直线AB 的方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.18．已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P (4,0)，交抛物线D 于A ，B 两点．是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)由题意，可设抛物线D 的方程为y 2＝2px (p >0)．由4－3＝1，得抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2.∴抛物线D 的方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，假设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心M ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G .则|EG |2＝|MG |2－|ME |2， 即|EG |2＝|MA |2－|ME |2＝x 1－2＋y 214－⎝⎛⎭⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋x 1－2－x 1＋24＋a (x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，|EG |2＝3，此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意．19．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得直线l 和双曲线G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P在线段AB 上，|P A |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的方程；(2)椭圆S 的中心在原点，焦点在y 轴上，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ， 则由已知可得|5k |k 2＋1＝5， 所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±12x .设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋x 2－4y 2＝m，得3x 2－8x －16－4m ＝0，则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m 3.(*)因为|P A |·|PB |＝|PC |2，P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上， 所以(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2， 整理得：4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0， 将(*)代入上式，解得：m ＝28. 所以双曲线G 的方程为x 228－y 27＝1.(2)由题可设椭圆S 的方程为：x 228＋y 2a2＝1(a >27)，弦的两个端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2128＋y 21a 2＝1x 2228＋y 22a 2＝1，得x 1－x 2x 1＋x 228＋y 1－y 2y 1＋y 2a2＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， 所以x 028－4y 0a2＝0，所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线x 28－4ya 2＝0截在椭圆S 内的部分．又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，所以a 2＝56，椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，且过点⎝⎛⎭⎫－3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴交于点M ，在第一象限内是否存在A 点，使得AM 与椭圆相切？若存在，求出A 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由e ＝32，得a ＝2b ，把点⎝⎛⎭⎫－3，12代入椭圆方程可得： －324b 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1⇒b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在A (x 1，y 1)，(x 1>0，y 1>0)， 则B (－x 1，－y 1)，直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1，设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， D (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1， 可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2， 由题意知，x 1≠x 2，所以k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1，所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k AM ＝－y 12x 1. 设过点A 的直线l ：y ＝tx ＋p 与椭圆相切，则把y ＝tx ＋p 代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4t 2)x 2＋8ptx ＋4p 2－4＝0有两个相等实根， 所以Δ＝(8pt )2－4×4(p 2－1)(1＋4t 2)＝0， 所以4t 2＝p 2－1.又方程的解为x 1，即x 1＝－4t p ，y 1＝1p ，所以t ＝－x 14y 1.若AM 是椭圆的切线，则－y 12x 1＝－x 14y 1，即x 21＝2y 21， 又因为x 214＋y 21＝1，所以x 21＝43，y 21＝23， 所以x 1＝233，y 1＝63，所以在第一象限内存在点A ⎝⎛⎭⎫233，63，使得AM 与椭圆相切． 21．(2016·浙江杭州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率e ＝223，且过点⎝⎛⎭⎫22，13. (1)求椭圆方程；(2)Rt △ABC 以A (0，b )为直角顶点，边AB ，BC 与椭圆交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由e ＝223，即c a ＝223，又a 2－b 2＝c 2，得a ＝3b ， 把点⎝⎛⎭⎫22，13代入椭圆方程可得229b 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1⇒b ＝1.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1.(2)由题意知AB ，BC 所在直线的斜率均存在，不妨设AB 的方程为y ＝kx ＋1，则AC 的方程为y ＝－1kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y 2＝1， 得(1＋9k 2)x 2＋18kx ＝0⇒x B ＝－18k 1＋9k 2， 将k 用－1k 代替，可得x C ＝18k 9＋k 2， 从而有|AB |＝1＋k 2·18k 1＋9k 2， |AC |＝1＋1k 2·18k 9＋k2.于是S △ABC ＝12|AB ||AC |＝162×k ＋k 2＋9k 2＋k 2 ＝162×k ＋1k 9⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋82. 令t ＝k ＋1k≥2， 有S △ABC ＝162t 9t 2＋64＝1629t ＋64t≤278， 当且仅当t ＝83>2时取等号， (S △ABC )max ＝278.。
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高考大题专攻练 9.解析几何（A组）大题集训练，练就慧眼和规范,占领高考制胜点！1.椭圆+=1(a>b〉0）的左右焦点分别为F1,F2，且离心率为,点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为.（1）求椭圆的方程。
（2）设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点,连结A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点，问·是否为定值？若是,求出此定值；若不是,请说明理由。
【解析】(1）已知椭圆的离心率为,不妨设c=t，a=2t，即b=t,其中t>0,又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，因此·2t·t=，解得t=1,则椭圆的方程为+=1。
（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1）,B(x2，y2)联立可得（3t2+4)y2+6ty-9=0,则y1+y2=，y1y2=,直线AA1的方程为y=［x—（-2）]，直线BA1的方程为y=[x-(—2）],则P，Q，则=,=,则·=9+=+9=0，即·为定值0.2.已知点P在椭圆C:+=1(a〉b〉0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2,且·=2,tan∠OPF2=，其中O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程。
【师说系列】2021届高三数学二轮温习课时强化训练 文(二)（含解析）一、选择题1．(2021·山西诊断)假设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x －4，x ＞0，2x ＋13，x≤0，那么f(2 012)＝( )A.43B.53 C ．2 D.83 解析：依题意，f(2 012)＝f(4×502＋4)＝f(0)＝20＋13＝43，选A. 答案：A2．以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log2|x|，x ∈R 且x≠0C ．y ＝ex －e －x 2x ∈R D ．y ＝x3＋1，x ∈R解析：观看可知，只有A ，B 为偶函数，又y ＝cos2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2上是增函数，因此选B. 答案：B3．(2021·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，假设f(a)＝23，那么f(－a)＝( ) A.23 B ．－23C.43 D ．－43解析：依照题意，f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1＝1＋x x2＋1，而h(x)＝x x2＋1是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝43，应选C. 答案：C4．(2021·江西联考)已知函数f(x)＝x2－ln|x|x，那么函数y ＝f(x)的大致图象为( ) A. B. C. D.解析：依题意，①当x ＞0时，f′(x)＝2x －1－lnx x2＝2x3＋lnx －1x2，记g(x)＝2x3＋lnx －1，那么函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，注意到g(e －2)＝2e －6－3＜0，g(1)＝1＞0，函数g(x)在(e －2,1)上必存在唯一零点x0，e －2＜x0＜1，g(x0)＝0，当x ∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x ∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，x0)上是减函数，在(x0，＋∞)上是增函数；②当x ＜0时，f(x)＝x2－ln －x x，f(－1)＝1＞0，结合各选项知，选A. 答案：A5．(2021·武汉联考)某天早晨，小明同窗生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温大体正常，可是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天(0时～24时)体温的转变情形的图是( )A. B. C. D.解析：由题意，早晨体温在上升，吃药后到12时体温下降至大体正常，下午又上升，然后又下降，只有C 选项符合．答案：C6．(2021·长春调研)设f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，当n ∈N*时，f(n)∈N*，且f[f(n)]＝2n ＋1，那么( )A ．f(1)＝3，f(2)＝4B ．f(1)＝2，f(2)＝3C ．f(2)＝4，f(4)＝5D ．f(2)＝3，f(3)＝4解析：由f[f(n)]＝2n ＋1，得f[f(1)]＝3，f[f(2)]＝5.∵当n ∈N*时，f(n)∈N*，假设f(1)＝3，那么由f[f(1)]＝3得，f(3)＝3，与f(x)在(0，＋∞)上单调递增矛盾，应选项A 错；假设f(2)＝4，那么f(4)＝5,4＜f(3)＜5，与f(3)∈N*矛盾，应选项C 错；假设f(2)＝3，那么由f[f(2)]＝5得f(3)＝5，应选项D 错；选项B 正确．答案：B二、填空题7．(2021·广州调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，那么f(－1)的值是__________．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.答案：28．(2021·惠州调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋12a －2，x≤1，ax －a ，x ＞1，假设f(x)在(0，＋∞)上单调递增，那么实数a 的取值范围为__________． 解析：由题意，得12＋12a －2≤0，那么a≤2，又f(x)＝ax －a(x ＞1)是增函数，故a ＞1，因此a 的取值范围为1＜a≤2.答案：1＜a≤29．(2021·辽宁联考)设函数f(x)的概念域为D ，若是存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f(x ＋k)＞f(x)恒成立，那么称函数f(x)为D 上的“k 型增函数”．已知f(x)是概念在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝|x －a|－2a ，假设f(x)为R 上的“2 013型增函数”，那么实数a 的取值范围是__________．解析：由题意得，当x ＞0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a x≥a －x －a x ＜a . ①当a≥0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，考虑极大值f(－a)＝2a ，令x －3a ＝2a ，得x ＝5a ，因此只需知足5a －(－a)＝6a ＜2 013，即0≤a＜6712；②当a ＜0时，函数f(x)的图象如图(2)所示，且f(x)为增函数，因为x ＋2 013＞x ，因此知足f(x ＋2 013)＞f(x)．综上可知，a ＜6712. 图(1)(2)答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，6712 三、解答题10．(2021·泰兴月考)已知函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋kx(x ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)假设方程f(x)－m ＝0有解，求m 的取值范围．解析：(1)由函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋kx(x ∈R)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x ＋1)＋kx ＝log4(4－x ＋1)－kx ，即log44x ＋14－x ＋1＝－2kx. ∴log44x ＝－2kx ，∴x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立，∴k ＝－12. (2)由m ＝f(x)＝log4(4x ＋1)－12x ， 得m ＝log44x ＋12x ＝log4⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x . ∵2x ＋12x ≥2，∴m≥12. 故要使方程f(x)－m ＝0有解，m 的取值范围为m≥12. 11．(2021·怀仁质检)已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)． (1)判定函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)假设f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解析：(1)设x1>x2>0，那么x1－x2>0，x1x2>0，∵f(x1)－f(x2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x2＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，因此，函数f(x)是在(0，＋∞)上的单调增函数．(2)由(1)可得f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f 2＝1a －12＝2，解得a ＝25. 12．(2021·济南调研)已知概念域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数． (1)求a ，b 的值； (2)假设对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)因为f(x)是奇函数，因此f(0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1. 又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. (2)方式一：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x ＋1， 易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)， 因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k －2t2.即对一切t ∈R 有：3t2－2t －k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.方式二：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x ＋1.又由题设条件得： 22222221211212<02222t t t k t t t k ---+-+--+++，即：(2212t k －＋＋2)(1－222t t －)＋(2212t t －＋＋2)(1－222t k －)<0， 整理得2322t t k －－>1，因底数2>1，故：3t2－2t －k>0，上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.。
