石家庄二中2019-2020学年度高一年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（每题5分，共计60分）1.设集合A ＝{x|－x 2－x ＋2＜0}，B ＝{x|2x －5＞0}，则集合A 与B 的关系是( ) A. B ⊆A B. B ⊇A C. B ∈A D. A ∈B【答案】A 【解析】集合与集合之间的关系不能用∈符号，选项CD 错误；因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x |2x －5＞0}＝{x |x ＞52}，所以B ⊆A ， 本题选择A 选项.2.已知幂函数()af x x =的图象过点12⎛ ⎝，则α=（ ） A. 12-B. 1C.32D. 2【答案】A 【解析】 【分析】将点12⎛⎝代入()a f x x =中，求解α的值即可.【详解】因为幂函数()af x x =的图象过点12⎛ ⎝1()2α=，即12α=-.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题. 3.函数f (x )( )A. (－3,0)B. (－3,0]C. (－∞，－3)∪(0，＋∞)D. (－∞，－3)∪(－3,0)【答案】A【解析】 【分析】 函数f (x )＝()ln 312xx +-的定义域满足30120xx +⎧⎨-⎩＞＞ ，由此能求出结果． 【详解】∵f (x )＝，∴要使函数f (x )有意义，需使，即－3<x <0.【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意不等式的解法的合理运用．4.已知0.21.6a =，0.2log 1.6b =， 1.60.2c =，则（ ） A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D.a cb >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性直接求解.【详解】0.201.16.61a >==，0.20.2log 1.6log 10b =<=， 1.600.2100.2c <==<，故a cb >>.故选：D.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属于基础题.5.函数()xe f x x=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x -= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 6.已知函数3,10()((5)),10n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩，其中*n ∈N ，则(8)f 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式先求出[8)1]((3)f f f =，依次再求出(13)f 和)[](13f f ，即得到所求的函数值．【详解】Q 函数3,10()((5)),10n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩，∴[8)1]((3)f f f =，又(13)13310f =-=，∴[](13)107(83)f f f ==-=.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题.7.已知函数228y ax x =--在(1,2)上不具有单调性，则实数a 的取值范围为（ ） A 12a << B.112a ≤≤ C.112a << D. 12a <或1a > 【答案】C 【解析】 【分析】由函数228y ax x =--在区间(1,2)上不具有单调性，可得函数228y ax x =--的对称轴位于区间(1,2)上，即112a<<，解不等式即可. 【详解】函数228y ax x =--的对称轴为212x a a-=-=， 又因为函数228y ax x =--在(1,2)上不具有单调性，所以有112a <<，解之得：112a <<. 故选：C.【点睛】本题考查二次函数的单调性，解题关键是认真分析对称轴和区间的位置关系，属于基础题.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+，若(2)g a =，则(2)f =（ ）A. 2B.174C.154D. 2a【答案】C 【解析】 【详解】故选C.9.已知函数()()log 23a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，且函数()22g x mx bx n=-+在[1,)+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞B. [1,)-+∞C. (,1)-∞-D.(,1)-∞【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数图像的性质可确定定点(),m n ，再根据二次函数的性质可求实数b 的取值范围.【详解】∵函数()()log 23a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，令21x +=，求得1x =-，3y =，故它的图象经过定点()1,3-，∴1m =-，3n =．故函数()22223g x mx bx n x bx =-+=--+，因为()g x 在[1,)+∞上单调递减，∴1bb m=-≤，∴1b ≥-， 故选：B ．【点睛】本题考查含参数的对数型复合函数的图象过定点问题、二次函数的单调性，前者是在函数图象上找一个与参数无关的点（即真数部分整体为1），后者可根据开口方向和对称轴的位置来考虑．10.已知函数()f x 是定义域为R 上的偶函数，若()f x 在(,0]-∞上是减函数，且1()22f =，则不等式4(log )2f x >的解集为（ ）A. 1(0,)(2,)2+∞UB. (2,)+∞C. 2(0,)(2,)2+∞U D. 2(0,) 【答案】A 【解析】因为偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 由题意知:不等式4(log )2f x >等价于41(log )()2f x f >,即41(|log )()2f x f ⇔41log 2x >,即41log 2x >或41log 2x <-,解得102x <<或2x > 11.已知(21)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在整数集Z 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A. 1(0,)2B. 11[,)32C. 11[,)62D. 11[,]32【答案】A 【解析】()f x 为定义在上的减函数；∴210(21)0411a a a -<⎧⎨-⨯+>-+⎩解得10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A ．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，当a ，[]1,1b ∈-，且0a b +≠时，()()0f a f b a b+>+成立，若()221f x m am <-+对任意的[]1,1a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (){}(),202,-∞-⋃⋃+∞B. ()(),22,-∞-⋃+∞C. ()2,2-D. ()()2,00,2-⋃【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数是奇函数的性质将已知不等式化为：a ，b ∈[﹣1，1]时，且a ≠﹣b 时，()()()()()0f a f b f a f b a ba b +--=>+--成立，根据增函数定义得函数f （x ）在[﹣1，1]上是增函数，从而求得最大值为f （1）=1，然后将已知不等式先对x 恒成立，再对a 恒成立，就可以求出m 的范围．【详解】∵f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当a ，b ∈[﹣1，1]，且a ≠﹣b 时， 有()()f a f b a b+=+()()()f a f b a b ---->0 成立，∴f （x ）是定义在[﹣1，1]上的增函数，∴f （x ）max =f （1）=1，∴f （x ）＜m 2﹣2am+1对任意的x ∈[﹣1，1]恒成立⇔f （x ）max ＜m 2﹣2am+1， ∴1＜m 2﹣2am+1，即2am ﹣m 2＜0对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立． 令g （a ）=2am ﹣m 2，则2am ﹣m 2＜0对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立转化为：()()1010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得：m ＜﹣2 或m ＞2．故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题．解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可．属难题． 二、填空题（每题5分，共计20分）13.若函数2()243f x x x =+-的定义域是[2,2]-，则该函数的值域是________. 【答案】[5,13]- 【解析】 【分析】现将函数解析式配方得：22()2432(1)5f x x x x =+-=+-，再结合二次函数的性质求解.【详解】Q 22()2432(1)5f x x x x =+-=+-，∴当1x =-时，()f x 取得最小值5-，当2x =时，()f x 取得最大值13.∴()[5,13]f x ∈-.故答案为：[5,13]-.【点睛】本题考查函数值域的求法，属于基础题. 14.已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则()2f =______． 【答案】6 【解析】 【分析】 把1x x -看成一个整体,将等式右边表示成1x x -的形式,然后把1x x-整体换成x ,即可得()f x ,令x=2,即可得f （2）的值．【详解】∵2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭, ∴222111()2f x x x x x x⎛⎫-=+=-+ ⎪⎝⎭ 把1x x-整体换成x,可得, 2()2f x x =+, ∴2(2)226f =+=． 故答案为6【点睛】本题考查了利用配凑法求函数的解析式,求函数解析式一般应用配凑法和换元法,属于基础题.15.已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩，若函数()()g x f x m =-有2个零点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(1,0)- 【解析】【分析】“()()g x f x m =-有2个零点”等价于“()f x m =有2个零点”，画出图象，观察图象即可得解.【详解】函数()f x 的图象如下：由函数()()g x f x m =-有2个零点， 可知()f x m =有2个零点， 所以实数m 的取值范围是(1,0)-. 故答案为：(1,0)-.【点睛】本题考查函数零点的应用，考查数形结合能力，解题关键是正确作出函数的图象，属于常考题.16.已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝()()122f x f x +＋()()122f x f x -，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，()()1212g x g x x x --＞0恒成立，则b －a 的最大值为________． 【答案】5 【解析】【详解】[15]a b ∈-Q ，，， 且()()121212[]0g x g x x x a b a b x x -∈∴-Q ，，，＜，＞ 恒成立，g x ∴（）在区间[]a b ，上单调第增，∵函数()()()()121212111322f x f x f x f x f x x f x xg x -+=-=+=+（），（），（），()][()12[1035][03]f x x g x f x x ⎧∈-⋃⎪∴=⎨∈⎪⎩，，，（），，当[10x ∈-，） 时，1g x x =-（），单调减； 当1[03]13x g x x ∈=+，时，（）， 单调增； 当[35]x ∈，时，1g x x =-（），单调递增．min max 05a b b a ∴==-，．的最大值为505-=．故答案为5.．【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了转化思想方法，解得的关键是对题意的理解，以及对隐含条件的挖掘，是中档题．三、解答题（17题10分，18-22每题12分）17.已知集合，|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B I ； （2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围. 【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）可以求出1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，然后进行交集的运算即可；（2）根据A B φ⋂=，可讨论B 是否为空集：当B φ=时，3221a a -≥+；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解出a 的范围即可． 【详解】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<， ∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<， 综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查交集及其运算，考查分类讨论思想和运算能力，属于常考题. 18.已知函数 f （x ）是定义在 R 上的偶函数，当 x ≥0 时，f （x ）＝x 2+ax +b 的部分图象如图所示:（1）求 f （x ）的解析式；（2）在网格上将 f （x ）的图象补充完整，并根据 f （x ）图象写出不等式 f （x ）≥1的解集．【答案】（1）f （x ）＝2222,022,0x x x x x x ⎧--⎨+-<⎩…；（2）（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）【解析】 【分析】（1）根据函数图像，将()()0,2,1,3--代入解二元一次方程即可求得解析式（2）结合图像1y =，采用数形结合的方法，当f （x ）的图像在1y =上方时，即可求得x 的取值范围【详解】（1）由题意知f （0）＝﹣2，f （1）＝﹣3，即132a b b ++=-⎧⎨=-⎩得a ＝﹣2，b ＝﹣2，即当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣2．∵f （x ）是偶函数，∴当x ＜0时，﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝x 2+2x ﹣2＝f （x ），即f （x ）＝x 2+2x ﹣2，x ＜0，即f （x ）＝2222,022,0x x x x x x ⎧--⎨+-<⎩…．（2）对应图象如图：当f （x ）＝1时，得x ＝3或x ＝﹣3，若f （x ）≥1，得x ≥3或x ≤﹣3，即不等式的解集为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、数形结合法求解不等式，对于高一学生来说，数形结合的思想方法要多加体会，重点培养19.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足326P a =，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足124Q a =+，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元）． （1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 【答案】（1）1()3226,(4080)4f x x x x =-+≤≤；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元. 【解析】 分析】（1）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资120x -万元，1()6(120)24f x x =+-+，即可求出答案．（2）令t =，则t ⎡∈⎣．221126(4444y t t =-++=--+．利用二次函数的单调性即可得出答案．【详解】解：（1）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资120-x 万元．∴11()6(120)22644f x x x =+-+=-+， 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得4080x ≤≤．故1()26,(4080)4f x x x =-+≤≤．（2）令t =，则t ⎡∈⎣．∴221126(4444y t t =-++=--+．当t =，即72x =万元时，y 的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元． 【点睛】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数f （x ）=a x +b x （其中a ，b 为常数，a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1）的图象经过点A （1，6），3B 14，⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若a ＞b ，函数()xx11g x ()()2a b=-+，求函数g （x ）在[-1，2]上的值域．【答案】（Ⅰ）f （x ）=2x +4x ； （Ⅱ）[74，4]. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把A 、B 两点的坐标代入函数的解析式，求出a 、b 的值，可得函数f （x ）的解析式． （Ⅱ）令t=x1()2，在[-1，2]上，t ∈[14，2]，g （x ）=h （t ）=t 2-t+2，利用二次函数的性质求得函数g （x ）在[-1，2]上的值域．【详解】（Ⅰ）∵函数f （x ）=a x +b x （其中a ，b 为常数，a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1）的图象经过点A （1，6），3B 14，⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∴f （1）=a+b=6，且f （-1）=1a +1b =34，∴a=2，b=4；或a =4，b=2． 故有f （x ）=2x+4x．（Ⅱ）若a ＞b ，则a=4，b=2，函数()xx11g x ()()2ab=-+=x1()4-x 1()2+2，令t=x 1()2，在[-1，2]上，t ∈[14，2]，g （x ）=h （t ）=t 2-t+2=21(t )2-+74∈[74，4]，故函数g （x ）在[-1，2]上的值域为[74，4]．【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数的在闭区间上的最值，属于基础题．21.已知函数()()log 1(0,1)xa f x a a a =->≠.（1）当1a >时，判断并证明()f x 的单调性，解关于x 的不等式：()(1)f x f <； （2）当2a =时，不等式()2()log 12xf x m -+>对任意实数[1,3]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(0,)+∞上是增函数，证明见解析，不等式的解集为{}1|0x x <<；（2）2log 3m <-.【解析】 【分析】（1）先按照定义证明函数的单调性，然后再利用函数的单调性解不等式即可； （2）令()222()()log 12log121xxg x f x ⎛⎫=-+=- ⎪+⎝⎭，故()g x 在[1,3]上单调递增，“不等式()2()log 12xf x m -+>对任意实数[1,3]x ∈恒成立”转化为“()mg x <在区间[1,3]上恒成立”，求出()g x 最小值即可．【详解】（1）当1a >时，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <， 则12x x a a <，所以1211x x a a -<-，因为1a >，所以()()12log 1log 1xxa a a a -<-，即()()12f x f x <.故当1a >时，()f x 在(0,)+∞上是增函数； 不等式()(1)f x f <，即11x a a -<-， 因为1a >，所以1x <，又因为函数()()log 1(0,1)xa f x a a a =->≠的定义域为{}|0x x >，所以不等式的解集为{}1|0x x <<； （2）令()222()()log 12log121xxg x f x ⎛⎫=-+=- ⎪+⎝⎭， ∴()g x 在区间[1,3]上单调递增， ∴min 2()log 3g x =-， Q ()m g x <，∴min ()m g x <，即2log 3m <-.【点睛】本题考查函数单调性的证明以及利用单调性解不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题.22.已知函数()4()log 41xf x kx =++为偶函数，()4()log 32xh x a =⋅+. （1）求实数k 的值；（2）当3a >-时，求函数()()416f x kxh x y -=-+在[0,1]x ∈上的最小值()g a .【答案】（1）12k =-；（2）22867,3()181,383a a a g a a a ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪--<<-⎪⎩.【解析】 【分析】（1）利用()()f x f x -=，建立方程，解方程求得k 的值即可； （2）先将函数()()416f x kxh x y -=-+化为()2282621x x y a a =⨯+⨯+-，令2xt =（12t ≤≤），然后讨论函数22()861h t t at a =++-的最小值即可. 【详解】（1）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=， 则()()44log 41log 41-+-=++xx kx kx ，得4442log 4log 41(1)()log 4xx x kx x --=-++==-，得21k =-，得12k =-. （2）由（1）知12k =-，∴当3a >-时，()()416f x kx h x y -=-+()()424log 41log 3244x xa +⨯+=-+()2412()3xxa =-++⨯+()2282621x x a a =⨯+⨯+-，设2x t =，∵[0,1]x ∈， ∴12t ≤≤，则22()861h t t at a =++-， 函数的对称轴为63288a at =-=-⨯， ∵3a >-， ∴3988a -<， ①若318a -≤，即83a ≥-时，函数在[1,2]上的最小值2()(1)67g a h a a ==++， ②若39188a <-<，即833a -<<-时， 函数在[1,2]上的最小值231()188a g a h a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，综上，函数()()416f x kxh x y -=-+在[0,1]x ∈上的最小值22867,3()181,383a a a g a a a ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪--<<-⎪⎩.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数最值的求法，考查运算能力和逻辑思维能力，解题关键是熟练运用换元法将指数型函数的最值问题化为二次函数的最值问题从而求解，属于中档题.。
