人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆ppt课件

A. ①②④
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②③
课堂练习
题1【解析】首先由垂径定理确定③正确，再由在OO中
，OA=AB，确定△OAB是等边三角形，即可得到
∠A0B=60°，得到①正确，又由垂径定理，求得
∠AOC=30°，得到②正确，根据同弧所对圆周角等于其
对圆心角的一半，即可求得∠BAC=15°，则问题得解结
第二十四章
圆
24.3 正多边形和圆
情境引入
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经
常能看到的利用正多边形得到的物体，你能
从这些图案中找出正多边形吗？
你还能举出一些这样正多边形的例子吗？
情境引入
你知道正多边形和圆有关系吗？怎样就能作出一个正
多边形来？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相
正多边形的中心
正多边形的半径
正多边形的中心角
正多边的边心距。
知识要点
正多边形的半径R、正多边形的中心角、边长a、
正多边的边心距r之间的等量关系：①正n边形的
360⁰
2
中心角=
；②（ ） +r2=R2；③正n边形的面

2
积=n个等于三角形面积或者2n个直角三角形面
积。
知识要点
画正多边形的方法。
360⁰
方法一：用量角器作一个等于
的圆心角。

方法二：尺规作正方形、正六边形等。
课堂练习
例1：如图所示，以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长
为三边作三角形，（ B ）。
A. 这个三角形是等腰三角形
B. 这个三角形是直角三角形
C. 这个三角形是锐角三角形

24.3 正多边形和圆
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >

E
新知探究
知识点2
正多边形的相关概念及计算
正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心.
E
正多边形的半径:外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形的每一条边
所对的圆心角.
D
半径R
F
正多边形的边心距：中心到正多边形的一
边的距离.
中心角
.
C
O
边心距r
A
B
新知探究
A
正多边形中的有关概念：
中心
半径
中心角
边心距


2


面积为4×4-(48-32 2)=(32 2-32)cm2.
2
1 4 48 32 2 cm2 .
2


新知探究
综合应用
6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交
于点P，CF=DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数.
新知探究
(1)证明：在正五边形ABCDE中，
边数是偶数的正多边形还是
是对称中心.
中心对称图形
，它的中心就
新知探究
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分
成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
新知探究
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边
过点O作OP⊥BC于P.

4
在Rt△OPB中，OB＝4 m, PB＝ 2 = 2=2（m）,
利用勾股定理，可得边心距 r = 42 − 2²=2 3 ,

2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上? 一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这 个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆. 3.所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？ 多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意 三角形都有外接圆和内切圆.
探究新知
正多边形的外接圆和内切圆的公
(n 2)180
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的外
角=中心角
A
F
中心
中心角
B
O半径R E
边心距r
C
D
探究新知
知识点 3 正多边形的有关计算
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 60 度 ；
② OC=BC (填＞、＜或＝）； F
探究新知
AC是∠DAB及∠DCB的角平
E A
B 分线，BD是∠ABC及∠ADC
的角平分线，
O
G
H ∴OE=OH=OF=OG.
DF
∴正方形ABCD还有一个以点O
C
为圆心的内切圆.
探究新知 想一想
1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
F
抽象成
A
E
O
D
PC
探究新知
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,
MB＝B2C
4 2， 2
利用勾股定理,可得边心距
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积：

选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
4 2
也就是要找这个正
方形外接圆的直径
能 力 提 升 题
1. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形
的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2.
则圆的直径AC=2 2，
∴⊙O的半径= 2
2

(
2)
2 .
∴⊙O的面积为
C
·
D
方法归纳 ：圆内接正多边形的辅助线
O
F
E
中心角一半
半径R
O
·
A
r
边心距r
D
R
M
C
B
M
C
边长一半
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直
角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最
大值是多少？
解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x
求作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
解：作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;
③依次连接A、B、C、D四点.
A
O
∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形.
④分别以A、C为圆心,OA的长为半径作弧,
交☉O于E、H、F、G;
⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;
∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示.
点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作
正三角形，正十二边形，正二
十四边形………
说说作正多边形的方法有哪些?
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,

把圆等分的份数,然后作出相应的圆或半圆,即可得到美丽的图案.。解:图(1)的作法:。②分
别以正方形的边长为直径作圆,所得的图形就是符合要求的图形.。关闭
No
Image
12/8/2021
第十三页，共十三页。
如图,因为 OM⊥AB,
1
关闭
1
所以 AM=BM=2AB=2a.
在 Rt△AOM 中,
R= 2 + 2
=
2
+
2
1

2
=
1
4
2 + 2 .
因为正 n 边形的边长为 a,
所以正 n 边形的周长 P=na.
1
1
因为 S△AOB=2AB×OM=2ar,
1
2
所以在正 n 边形中,这样的三角形共有 n 个,S 正 n 边形= nar.
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第五页，共十三页。
点拨许多美丽的图案可以通过先作圆的内接正多边形,然后(ránhòu)作圆或
弧而形成.
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第六页，共十三页。
1
2
3
4
5
6
1.下列(xiàliè)说法不正确的是(
)
360°

A.圆内接正 n 边形的中心角为
B.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
正六边形ABCDEF的各个顶点的坐标.
分析根据正六边形的半径可直接得出点A和点D的坐标,连接OB,OC,构造
出直角三角形OBG,求出点B的坐标,再根据正六边形的对称性可求出其他各顶
点的坐标.
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第三页，共十三页。
解:连接OB,OC,

证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
证明：
提示：正五边形的五边相等，五个内角也相等。
∵AB=BC=CD=CE=AE
∴AB=BC=CD=CE=AE
而BCE=BC+CD+DE
A
B
E
O
CDA=CD+DE+AE
∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上
所以五边形ABCDE是圆内接正五边形， ⊙O是五边形
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx
关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
第一章 三角函数
(2) 首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称
到x轴的上方．如图(2)所示．
第一章 三角函数
探索正多边形和圆的位置关系
如图所示，把⊙O分成相等的3段弧，依次连接各分点得到▲ABC.求证：
▲ABC是圆内接正三边形.
证明：
A
∵AB=BC=AC
O
∴AB=BC=AC
所以▲ABC是圆内接正三边形
C
B
探索正多边形和圆的位置关系
如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.求
2．正弦曲线和余弦曲线的关系
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)作正弦函数和余弦函数的图象时，所取的“五点”是相同的．( × )
(2)正弦曲线和余弦曲线都介于直线 y＝1 和 y＝－1 之间．( √ )
(3)正弦曲线与余弦曲线都关于原点对称．( × )
3π

24.3正多边形和圆
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
三个角相等
正三 角形
（60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
二、说说下列多边形的名称
正五边形
正六边形
正八边形
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
E
D
一个正多边形的外接
圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
.半径R O
中心角
C
正多边形的中心角:
360
n
边心距r
正多边形的每一条
A
B
边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
正多边形的周长= 正多边形的面积=
中心角 360
中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
正n边形被相邻周半径长分为成L=na
___n___个全等的等腰三角
形.被边心距边分心成距__r_2_n个全R 2
等的直角三角形,
(1 2
a )2
设正多边形面的积S边长 为12 aar,n边心12距lr为r,半经为R.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__圆__ 与__内__切__圆___圆的圆心。
B

E
边形是正六边形。
C

︵ AED
D︵E的度数为 72°. ∴A︵E的度数为 72°. ∴A︵E＝D︵E.∴AE＝DE. 同理可得 AB＝BC. ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
即点 A，B，C，D，E 是⊙O 的五等分点． ∴五边形 ABCDE 是正五边形．
返回
题型 3 正多边形的性质在计算中应用 16．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，
正六边形
返回
3．下列说法中，不正确的是( )
A．正多边形一定有一个外接C 圆 B．正多边形的内切圆与外接圆是两个同心圆 C．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．各边相等的多边形未必是正多边形
返回
知识点 2 圆内接正多边形的有关概念
4．正多边形的外接圆圆心叫做这个正多边形的_中__心__．外 接圆的半径叫做正多边形的___半__径___．正多边形的每
一边所对的圆心角叫做正多边形的________，中心到 中心角
正多边形一边的距离叫做正多边形的________．
边心距
返回
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 12:26:20 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021

OE2 OB2 2
边心距OE 2 OB 2 R
2
2
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
2
S正方形ABCD AB BC 2R 2R2
A
D
·O
BEC
课堂小结：
1. 正多边和圆的有关概念： 正多边形的中心，正多边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．正多边形的半径、中心角、边长、 正多边的边心距之间的等量关系．
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；
正多边形的中心角:正多边形的每一条 在Rt△ABD中 ∠BAD=30°,
正多边形的半径:外接圆的半径 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是：
3. 本节课你有什么收获？
F
E
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
本节课你有什么收获？
正多边形的中心，正多边形的半径，
正多边形的中心角，正多边形的边心距．
(2) 正n边形的半径R，边心距r，边长a又有 各角相等的圆内接多边形是否是正多边形？
问题1：什么样的图形是正多边形？
2、顺次连结各分点，即可得到一个正n边形。 1、利用圆心角找到圆周的n等分点。 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
问题1：什么样的图形是正多边形？ 正多边形的定义：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多 边形叫做正n边形.
问题2： 9、教师小结：是呀，多么美好的琴声啊!对作者来说它悠扬而熟悉，还有甜味儿，像夜莺、流水般，让人觉得安慰、亲切、优美、轻松。

1 2
×60°=
30°
r
R
6
AH B
答：正六边形的外接圆半径是6cm，边心距是 3 3 cm。
人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课件
人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课件
探究 量角器作图
已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形
A
120 ° O
C
B
一题多解
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA =120°．
新人教版九年级数学上册 24 圆
24.3 正多边形和圆
学习目标
❖了解正多边形和圆的有关概念；
❖理解并掌握正多边形半径和边长、
边心距、中心角之间的关系，会应用 多边形和圆的有关知识画多边形。
回顾旧知
正多边形 各边相等，各角也相等的多边形.
几种常见的正多边形
小练习
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
的半径。
B
.O
D
C
人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课件
人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课件
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的 中心
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的 边心距
A
D
.O
人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课件
B EC
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课件
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72度