2017年05月21日数学（因式分解难题）2
一．填空题（共10小题）
1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．
2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．
3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．
4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．
5．利用因式分解计算：2022+202×196+982=．
6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．
8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★（﹣2）=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0．
其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．
9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．
10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．
二．解答题（共20小题）
11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．
13．因式分解
（1）a3﹣ab2
（2）（x﹣y）2+4xy．
14．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．
16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．
（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．
（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．
（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．
17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：．
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n
（1）计算s2；
（2）请阅读下面计算s3的过程：
因为a+b=1，ab=﹣1，
所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=
你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．
（3）试写出s n
，s n﹣1，s n三者之间的关系式；
﹣2
（4）根据（3）得出的结论，计算s6．
19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04
（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）
20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．
（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
22．分解因式：
（1）2x2﹣x；
（2）16x2﹣1；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．
24．分解因式
（1）2x4﹣4x2y2+2y4
（2）2a3﹣4a2b+2ab2．
25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．
