第四节 曲线的上下凸性和拐点

【导语】前面我们研究了函数的单调性．但同样是上升(或下降)的曲线弧却有不同的弯曲状况，如图，弧 ACB 向上弯曲， 弧 ADB 却向下弯曲．本节主要研究曲线的弯曲状况，即曲线的凸性．【正文】§4.7 曲线的凸性和拐点(1)在一些曲线弧上，如果任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段上方（如图(1)），而有的曲线弧，则正好相反（如图(2)）．曲线的这种性质就是曲线的凸性．定义2 设函数()f x 在(,)a b 上有定义．如果对任意的12,(,)x x a b ∈，及任意的01α≤≤，都有1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+−+−≤成立，则称函数)(x f 在区间),(b a 内下凸，(,)a b 称为函数()f x 的下凸区间；如果对任意的12,(,)x x a b ∈，及任意的01α≤≤，都有1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+−+−≥成立，则称)(x f 在区间),(b a 内上凸，(,)a b 称为函数()f x 的上凸区间．Remark1 若函数)(x f 在区间),(b a 内下凸，则曲线)(x f y =也称为区间),(b a 内的下凸曲线．Remark2 可以证明：若函数()f x 在区间(,)a b 上是下凸函数，则()f x 在区间(,)a b 上连续． Remark3 可以证明：函数)(x f 在区间),(b a 内下凸的充分必要条件是：对任意的12,,,(,)n x x x a b ∈ ，及任意n (2)n ≥个非负数12,,,n ααα ，121n ααα+++= ，都有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x αααααα++++++ ≤成立．例1 用定义证明函数2()f x x =是下凸函数．证 设,αβ非负，且1αβ+=，则21212()()f x x x x αβαβ+=+221122()2()x x x x ααββ=++22221122()()()x x x x ααββ+++≤2212()()x x ααββαβ=+++ 221212()().x x f x f x αβαβ=+=+所以2()f x x =是下凸函数．如果函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定函数的凸性．定理10 设函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数．（1）若当),(b a x ∈时，0)(>′′x f ，则函数)(x f 在区间),(b a 内下凸；（2）若当),(b a x ∈时，0)(<′′x f ，则函数)(x f 在区间),(b a 内上凸．定义3 设))(,(00x f x M 为曲线)(x f y =上一点．若曲线在点M 的两侧有不同的凸性，则点M 称为曲线)(x f y =的拐点．注 极值点和驻点是指x 轴上的点，而拐点是指曲线上的点．定理11（拐点的必要条件） 若函数)(x f 在0x 的某个邻域0(,)U x δ内具有二阶导数，且))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点，则0)(0=′′x f ．0)(0=′′x f 仅仅是拐点的必要条件．例如，对于函数4x y =，由于2120y x ′′=≥，因此曲线4x y =在),(∞+−∞内是下凸的，这时虽然0)0(=′′y ，但)0,0(并不是该曲线的拐点．定理12 设函数)(x f 在0x 的某个邻域内具有二阶导数，且0)(0=′′x f ．如果)(x f ′′在0x 的左、右两侧异号，那么))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点；如果)(x f ′′在0x 的左、右两侧同号，那么))(,(00x f x 不是曲线)(x f y =的拐点．对于)(x f ′′不存在的点0x ，))(,(00x f x 也可能是曲线)(x f y =的拐点．判别曲线的凸性与拐点的一般步骤如下：① 确定函数的定义域； ② 求)(x f ′′，并找出定义域内0)(=′′x f 与)(x f ′′不存在的点，这些分界点将定义域分成若干区间；③ 列表，由)(x f ′′在分界点两侧的符号判别曲线的凸性与拐点．【本讲总结与下讲预告】。

曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。

函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。

例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。

一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。

曲线的这种性 图143-- 质就是曲线的凹凸性 。

因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。

)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。

通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。

二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。

当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。

与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。

)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内 （1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的； （2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。

曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当 1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31fx xx =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。

一、曲线的凹凸性及拐点引导学生观察下列图象1.定义1 设函数()y f x =在区间(),a b 内可导，（1）若曲线()y f x =位于其每点切线的下方（割线位于曲线的下方），则称曲线()y f x =在区间(),a b 内是凸的，区间(),a b 称为函数()f x 的凸区间.（2）若曲线()y f x =位于其每点切线的上方（割线位于曲线的上方），则称曲线()y f x =在区间(),a b 内是凹的，区间(),a b 称为函数()f x 的凹区间.2.定义2 曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点.3.定理1 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内具有二阶导数，（1）若在(),a b 内，()0f x ''<，则曲线()y f x =在区间(),a b 内是凸的.（2）若在(),a b 内，()0f x ''>，则曲线()y f x =在区间(),a b 内是凹的.4.求曲线凹凸区间和拐点的步骤如下：（1）求出函数的一阶导数()f x '，再求二阶导数()f x ''；（2）求出二阶导数()0f x ''=的点，以及()f x ''不存在的点；（3）考察每个点处的左、右二阶导数是否异号，从而确定哪些点处取得拐点；（4）求出每个二阶导数变号点处的函数值，从而得到曲线的全部拐点. 例1、讨论曲线32395y x x x =--+的凹凸性，并求其拐点.xa b 凹弧 凸弧例2、讨论曲线4321y x x =-+的凹凸性，并求其拐点.二、函数曲线的曲率曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。

直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图1，弧 AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏差θ∆. 可是，弧CD 的全曲率与弧AB 的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些。

9节曲窝族畝拐点 I 忖一曲线百四的定义/H\ \二曲线凹凸：的判定「、三曲线的驾蛙姜护-一、曲线凹凸的定义如何研究曲线的弯曲方向?位于所张弦的下方问题图形上任意弧段位于所张弦的上方上—页卞一页返叵定义设/'（X）在（sZ＞）内连续，如果对S上）内任意两点r严“恒2 2 那末称/（乂）在（6巧内的图形是凹的；如果恒有八巴上2）＞八&）+八兀2）2那末称/（X）在@,巧内的图形是凸的。

上—页下—夷E?凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。

凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。

上—页下—夷I& E?曲线凹凸的判定X, +X,3畐eg __ ),2, ,X, +X, ―X. +X, — X,/(")-/(— )=广(刍)(兀- ')=厂(£)— -2 2 2X, +X.3^2 €( " 2 ),2X, +x\ X,十*. X, -X.定理1如果/•(*)在0上］上连续，在("0)内具有二阶导数，若在仗上)内(1)/"(x)>0,则八工)在|«,A1上的图形是凹的,(2)/^7x)<0,则八丄)在B上］上的图形是凸的。

上—页下—页证明：(1)分析:即证任取两点兀］宀(" < 兀2)要证八2 — 2X, + X予X. + X.————)1 >«2 2—X上—页下—页返叵/(©)-/(—)=厂©)(*2---—2 厂©)—-2 2 2上—页下页逅叵上—页 下—页 返叵两式相加为:X, X- + 七 X, —X, 1/(和-/( ~)]+[/(©)-[/烷)-/("】 ~-2 22即证；厂（务）一厂（£）＞o V V 务）事实上：（冬一気）同理可证明（2）上—页.•・曲线在【U,y ＞）为凹的; 而 厂(G>0 ••・/'(§) 一厂(G>0（纟 ＜塩）例1判断曲线y = 的凹凸性解.•・• = 3厂，y" = 6x,当XV 0时，y"vO,・•・曲线在（-00,0］为凸的当x>0时，y">0,注意，点（0,0）是曲线由凸变凹的分界点。