苏教版初二下数学压轴题

1.把一副三角尺如图①放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角尺DCE绕着点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1(如图②),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长为()2.如图,将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转a(0°<a<90°)得到AB',边AC绕着点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AC',连接B'C'.当a+β=90°时,我们称△AB'C'是△ABC的“双旋三角形”如果等边三角形ABC的边长为a.那么它的“双旋三角形”的面积是_.(用含a的代数式表示)3.如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为_.4.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为4的正方形，O是坐标原点,点A,C分别在x轴、y轴正半轴上,P为边OA上任意-点(与点O,A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP 交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN//OA,交BO于点N,连接ND,BM,设OP=t.(1)求点M的坐标;(用含t的代数式表示)(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变,并说明理由.5.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2.若P为对角线BD上一动点,则PE+PF的最小值为()A.1B.2C.3D.46.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB.BC上,且AE=1AB,将矩形沿直线3EF折叠,点B恰好落在边AD.上的点P处,连接BP交EF于点Q.有下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是()A.①②.B.②③C.①③D.①④7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点若OCEF的周长为18,则OF的长为8.如图,菱形ABCD的面积为120c㎡.正方形AECF的面积为50c㎡,则菱形的边长为cm.9.如图,在△ABO中,AB⊥OB,AB=△√3,0B=1,把ABO绕点O旋转120°后,得到△A1B1O,则点A的对应点A1的坐标为.10.如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N为AO的中点,点M在边BC.上,且BM=6,P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为.11.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3，动点P满足S△PAB=1S矩形ABCD，则点P到A,B两3点距离之和PA+PB的最小值为()A.√29B.√34C.5√2D.√4112.如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分，且AC=12,点P在正方形ABCD的边，上,则满足PE+PF=9的点P的个数是()A.0B.4C.6D.813.阅读下列材料:如图①,在四边形ABCD中,若AB=AD,BC=CD,则把这样的四边形称之为筝形.(1)写出图①所示筝形的两个性质(定义除外).①;②(2)如图②,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且AE=AF,∠AEC=∠AFC.求证:四边形AECF是筝形;(3)如图③,在筝形ABCD中,AB=AD=26,BC=DC=25,AC=17,求筝形ABCD的面积.14.问题情境(1)如图①,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P.N.判断线段DN,MB,EC之间的数量关系,并说明理由;问题探究(2)在(1)的基础上,解答下列问题:①如图②,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q.连接EQ,并延长交边AD于点F,求∠AEF的度数;15.如图,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=.16.如图,正方形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上,顶点B在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(3,2),M,N分别为AB,AD的中点,则MN的长为.17.如图,正方形ABCD的两条对角线相交于点O.E为OC的中点,连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,交OD于点G.若正方形ABCD的边长为4√2,则DF=.18.如图,在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形,点A(0,8),C(6,0).动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向匀速运动.设运动时间为t s.(1)当t=时,以OB,OP为邻边的平行四边形是菱形;(2)当点P在(B的垂直平分线上时,求t的值;(3)将△OBP沿直线OP翻折,使点B的对应点D恰好落在x轴上,求t的值.19.如图①,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF//AB交PQ于点F,连接BF.(1)求证:四边形BFEP为菱形;(2)当点E在边AD上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.①当点Q与点C重合时(如图②),求菱形BFEP的边长;②若限定点P,Q分别在边BA,BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.。

压轴题精选时间：2021.02.04创作：欧阳育1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒．⑴求直线AB 的解析式；⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AO B 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数x y 1 的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB，则∠MOB=31∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(b b R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB．3、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 坐标为(4，0)，顶点G 坐标为(0，2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使y x OP Q A B点F 落在轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A ．（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似，并说明理由；（2）求过点A 的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式；（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，90OPM MQN ∠=∠=。

江苏八年级下期末真题精选（压轴A．6B．3（2020•重庆）4．如图，在平面直角坐标系中，是x轴上一点，连接AE．若ADA．6B．12（2022春•泰州期末）5．如图，A（a，b）、B（－a，－b A、B作y轴的平行线，与反比例函数（2022春•高邮市期末）8．如图，在平面直角坐标系中，的图像经过OA 的中点C 和点9．如图，在平面直角坐标系中，边，在第一象限内作矩形点O 重合，折痕为MN ，点()0ky k =≠的图像恰好过A．27 4五．反比例函数与一次函数的交点问题（共（2021•武威二模）11．已知反比例函数y(1)求这两个函数的关系式；a___________(1)直接写出=(2)结合图象直接写出关于x的不等式C n在反比例函数y(3)点(),2（2022春•安居区期末）(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；的面积；(2)连接AO，求AOB(3)直接写出关于x的不等式mx （2014•巴中）15．如图，在平面直角坐标系（1）求反比例函数和直线EF（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式（2018春•秦淮区期末）16．如图，在直角坐标系中，函数(1)点A 、B 的坐标分别是 、 ；(2)在同一平面直角坐标系中，画出函数34y x=-的图象；(3)垂直于y 轴的直线l 与函数1y 、2y 、3y 的图象分别交于点3(N x ，3)y ，若123x x x <<，结合函数的图象，直接写出六．反比例函数的应用（共5小题）（2022•青秀区校级一模）17．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10开始下降，此时水温y ℃与通电时间x （min ）成反比例关系．当水温降至机再自动加热，若水温在20︒时接通电源，水温y 则下列说法中正确的是（ ）A ．水温从20︒升高到100B ．水温下降过程中，y 与C ．早晨8点接通电源从20D ．在单次加热—降温的过程中，水温不低于100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温()℃与开机后用时()min 成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温()y ℃和时间()min 的关系如图，为了在上午第一节下课时()8:45能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）A ．7:20B ．7:30C ．7:45D ．8:00（2022春•海州区校级期末）19．某车队要把4000吨货物运到灾区，已知每天的运输量不变．(1)从运输开始，每天运输的货物吨数n （吨）与运输时间t （天）之间有怎样的函数表达式？(2)因灾区道路受阻，实际每天比原计划少运20%，推迟2天完成任务，求原计划完成任务的天数．（2021•蒸湘区校级一模）20．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．(1)=a _____________；(2)当5100≤≤x 时，y 与x 之间的函数关系式为_____________；当100x >时，y 与x 之间的函数关系式为_____________；(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多(1)求k的值；(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于七．三角形中位线定理（共（2019•铁西区二模）22．如图，△ABC中，∠A=60° ，AC（2015•呼伦贝尔）26．如图，在平行四边形ABCD （1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，则四边形一十．平行四边形的判定与性质（共2022春•南京期末）．在ABCD 中，6cm AB =（2011•北京）30．在▱ABCD 中，∠一十一．菱形的性质（共（2021春•滨湖区期末）32．如图，已知菱形ABCD=，连接动点，且PC CQA．45B．（2022•新市区校级三模）33．已知如图，在菱形ABCD(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形一十二．菱形的判定与性质（共（2023•郧西县模拟）34．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A ．逐渐增大C ．不变（2022春•靖江市校级期末）36．如图，线段AB 的长为10，点（2018•邵阳模拟）38．如图，矩形ABCD 中，点边于点,E F AF AE =、．(1)求证：四边形AFCE 是菱形；(2)若8,6BC AB ==，求EF 的长．（2021春•淮安区期末）39．如图所示，在矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，垂足为O ，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AFCE 为菱形；（2）求AF 的长．（2019•无锡模拟）40．已知：如图，在平行四边形ABCD 和矩形ABEF 中，AC 与DF 相交于点G .(1) 试说明DF ＝CE ；(2) 若AC ＝BF ＝DF ，求∠ACE 的度数．（2011•福州）41．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．（2022春•工业园区期末）42．已知，如图，在长方形ABCD 中，46AB AD ==，．延长BC 到点E ，使3CE =，连接DE ．(1)动点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，ABP 和DCE △全等？(2)若动点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE 向终点E 运动，连接DP ．设点P 运动的时间为t 秒，是否存在t ，使PDE △为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；否则，说明理由．（2012•云南）43．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM 、DN ．(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若4AB =，8AD =，求MD 的长．一十四．正方形的性质（共5小题）（2012•黔东南州）44．点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与A 、B 重合),连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE 等于（ ）（2022春•仪征市期末）46．在正方形ABCD中，点(1)当α＝20°时，求∠DAE的度数；(2)判断△AEG的形状，并说明理由；(3)当GF＝1时，求CE的长．一十五．正方形的判定（共（2022春•隆安县期末）(1)求证：BC＝BE；(2)连接CF，若∠ADF＝∠BCF（1）证明四边形EGFH是平行四边形；形EGFH是正方形.一十六．正方形的判定与性质（共（2022春•仪征市期末）51．我们知道菱形与正方形的形状有差异，“接近度”．A ．424-（2022•南京模拟）53．在矩形ABCD 中，点A 顺时针旋转90°得到A ．25B ．（2022•常熟市模拟）54．如图，在Rt ABC △中，动点，A B C ABC ''△△≌，将（2022•平邑县一模）56．在正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接DB ，DE ，将DE 绕点E 逆时针旋转90 得到EF ，连接BF ．(1)如图1，点E 在BC 边上．①依题意补全图1；②若=6AB ，=2EC 求BF 的长；(2)如图2，点E 在BC 边的延长线上，用等式表示线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系．（2016春•工业园区期末）57．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝50°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转后得△AB 1C 1．当B 1B ∥AC 时，求∠BAC 1的度数．（2021•厦门二模）58．在正方形ABCD 中，将边AD 绕点A 逆时针旋转()090a a ︒<<︒得到线段AE ，AE 与CD 延长线相交于点F ，过B 作//BG AF 交CF 于点G ，连接BE ．（1）如图1，求证：2BGC AEB ∠=∠；（2）当（4590a ︒<<︒）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH EF DG ，，之间的数量关系，并证明．一十八．作图－旋转变换（共1小题）（2022春•盱眙县期末）59．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()()()5,1,2,2,1,4A B C ---，请按下列要求画图：(1)将ABC 先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到111A B C △，画出111A B C △；(2)222A B C △与ABC 关于原点O 成中心对称，画出222A B C △．一十九．条形统计图（共1小题）（2022春•盱眙县期末）60．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A （体操）、B （乒乓球）、C （毽球）、D （跳绳）四项活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有_____人；（2）请将统计图2补充完整；（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是_____度；（4）已知该校共有学生1000人，根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有_____人．∵△AOB 和△ACD 均为正三角形，∴60AOB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥OB ，∴ABP AOP S S = ，∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，∴AO=OD，∴∠ODA=∠OAD，又∵AD为∠DAE的平分线，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∵AD AC =，∴,ABD ABC EAD EACS S S S == ∴23BED BEC S S ∆∆==∵AB AC AD AC ==，，∴AD AB =，∵AB y ∥轴，∴AD x ⊥轴．∵反比例函数()0k y x x=<∴设k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，令0x =，则077y =-=-，()0,7H ∴- 直线AB 的解析式为y x =-∴设直线CG 的表达式为y =将点()3,2C -代入y x t =+；（3）解：由图象可知，若123x x x <<，垂直于y 轴的直线l 在x 轴与直线=2y -之间，∴饮水机的一个循环周期为1003分钟，每一个循环内，在水温不超过50℃．∵7:20至8:45之间有85分钟，100 85-段内，A选项不符合题意；100设AD 的解析式为：y mx n =+，把()0,10D 、()2,20A 代入y mx =∵在▱ABCD中，AE=4，∴22=-= EC AC AE∵在▱ABCD中，AE=4，AB＝∴222016=-=-EC AC AE∴BC=BE-EC=3-2=1，的周长=2（AB+BC∴ABCD故答案为：20或12．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．26．（1）证明见解析；（2）若。

苏教版八年级下册数学压轴题非常好的题目 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-压轴题精选1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒．⑴求直线AB 的解析式；⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？2、“三等分角”是数学史上一个着名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．3、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 坐标为(4，0)，顶点G 坐标为(0，2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A ．（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似，并说明理由；yxOPQAB（2）求过点A 的反比例函数解析式； （3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B ，求直线AB 的解析式；（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，90OPM MQN ∠=∠=。

压轴题精选时间：2021.03.08创作：欧阳与1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t秒．⑴求直线AB 的解析式；⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数x y 1 的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(b b R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两y O P Q A B直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此1∠AOB．证明∠MOB=33、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为(4，0)，顶点G坐标为(0，2)．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；（2）求过点A的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y kx b=+的图象经过点()0,2B，且与x轴的正半轴相交于点A，点P、点Q在线段AB上，点M、N在线段AO上，且OPM与QMN是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，90∠=∠=。

１1. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．（1）求证：EG CGAD CD=； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．2.操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．根据上述操作得到的经验完成下列探究活动．探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF CF ，之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE BC ，相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且:1:2BE EC =，BAE EDF ∠=∠，CF AB ∥．若51AB CF ==，，求DF 的长度．FAGCEBＰ Ｏ Ｍ Ｎ Ｑ图① Ａ Ｂ ＥＦＣ Ｄ图②Ｄ ＡＢ ＥＦＣ 图③２3.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为()40-，，点B 的坐标为()()00.b b >，P 是直线AB 上的一个动点，作PC x ⊥轴，垂足为.C 记点P 关于y 轴的对称点P ′（点P ′不在y 轴上），连结PP P A P C ''′，，．设点P 的横坐标为.a （1）当3b =时，①求直线AB 的解析式；②若点P ′的坐标是()1m -，，求m 的值； （2）若点P 在第一象限，记直线AB 与P C ′的交点为.D 当13P D DC =′∶∶时，求a 的值； （3）是否同时存在a b ，，使P CA △′为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a b ，的值；若不存在，请说明理由.4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． （1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒； （3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？C B３5、 如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线y=3x- 4经过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线ky x=也经过A 点。

压轴题精选欧阳家百（2021.03.07）1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒． ⑴求直线AB 的解析式；⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ 2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数x y 1 的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(b b R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．3、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E坐标为(4，0)，顶点G 坐标为(0，2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在轴的点N 处，得y xO PQA B到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A ．（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似，并说明理由；（2）求过点A 的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式；（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，90OPM MQN ∠=∠=。

《反比例函数》压轴题专题训练一．选择题（共10小题）1．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（）A．B．C．D．12第1题第2题第3题2．如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y＝在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（）A．12B．10C．8D．63．如图，平行四边形ABCO的顶点B在双曲线y＝上，顶点C在双曲线y＝上，BC中点P恰好落在y轴上，已知S▱OABC＝10，则k的值为（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣24．如图，平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点D在双曲线y＝（x＞0）上，AD交y轴于点E（0，2），且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，则k的值为（）A．4B．6C．7D．8第4题第5题第6题5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（﹣3，4），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（）A．B．C．﹣12D．6．如图，A、C两点在反比例函数y＝的图象上，B、D两点在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点E，CD⊥x轴于点F，AB＝3，CD＝2，EF＝，则k1﹣k2的值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．﹣17．如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E作直线l∥BD交y轴于点F，则点F的坐标是（）A．（0，﹣）B．（0，﹣）C．（0，﹣3）D．（0，﹣）第7题第8题8．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝2，AB＝2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．若点A和点D在同一个反比例函数y＝的图象上，则OB的长是（）A．2B．3C．2D．310．如图，点A是射线y═（x≥0）上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y＝交CD边于点E，则的值为（）A．B．C．D．1二．填空题（共13小题）11．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y＝在第一象限经过点D．则k＝．12．如图，直线y＝﹣x+b与双曲线y＝（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，当b＝时，△ACE、△BDF与△ABO面积的和等于△EFO面积的．13．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象如图所示，当P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，则四边形P AOB的面积为．14．y＝kx﹣6的图象与x，y轴交于B、A两点，与的图象交于C点，CD⊥x轴于D点，如果△CDB的面积：△AOB的面积＝1：9，则k＝．15．如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6，则k的值为．16．如图，点A、B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C．若OM＝MN＝NC，△AOC的面积为9，则k 的值为．17．如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A作AP∥y轴，过点B 作BP∥x轴，交点为P连接OA，OP，若△AOP的面积为2，则△ABP的面积为．18．如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC 相交于点E，若BE＝3CE，四边形ODBE的面积是9，则k＝．19．如图，已知点A是一次函数y＝x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为8，则△ABC的面积是．20．如图在平面直角坐标系中，周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上．点B，在反比例函数y＝位于第一象限的图象上．则k的值为．21．如图，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．则k的值为．22．如图，已知反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点A，且OA＝4，AB⊥x轴，垂足为B，线段OA的垂直平分线交x轴于点C（点C在点B的左侧），则△ABC的周长等于．23．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，横坐标为1的点A在直线y＝x上，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y＝与正方形ABCD公共点，则k的取值范围是．三．解答题（共11小题）24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，AB＝8，BC＝6．对角线AC，BD相交于点E，反比例函数（x＞0）的图象经过点E，分别与AB，CD交于点F，G．（1）若OC＝8，求k的值；（2）连接EG，若BF﹣BE＝2，求△CEG的面积．25．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝的图象经过点B，交AC于点E．已知菱形的边长为，AC＝4．（1）若OA＝4，求k的值；（2）连接OD，若AE＝AB，求OD的长．26．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．求OF的长．27．如图，反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过A（1，3），B（m，n），其中m＞1．过点B作y轴的垂线，垂足为C．连接AB，AC，△ABC的面积为．（1）求k的值和直线AB的函数表达式：（2）过线段AB上的一点P作PD⊥x轴于点D，与反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象交于点E，连接OP，OE，若△POE的面积为1，求点P的坐标．28．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）求点C的坐标；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．29．如图，△AOB的边OB在x轴上，且∠ABO＝90°反比例函数的图象与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC＝BC，△BOC的面积为12．（1）求k的值；（2）若AD＝6，求直线OA的函数表达式．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C（1，m）．（1）求m和n的值；（2）过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线AB和双曲线y＝交于点P、Q，且PQ＝2QD，求△APQ的面积．31．如图，函数y＝x与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（n，4）．点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B作BC∥x轴，BC与y轴相交于点C，且AB＝AC．（1）求m、n的值；（2）求直线AB的函数表达式．32．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝10，求点E的坐标．33．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝10x与反比例函数y＝交于点A，点A的横坐标为，反比例函数y＝图象上有一点B，过点B作BC∥x轴，过点A作AC⊥BC，垂足为点C．（1）求k的值；（2）已知点B在AC的右侧，若△ABC的面积为4，求直线AB的解析式．34．已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一动点，P A∥x轴，PB∥y 轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，B，点C是直线y＝2x上的一点．（1）点A的坐标为（，），点B的坐标为（，）；（用含m的代数式表示）（2）在点P运动的过程中，连接AB，证明：△P AB的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）在点P运动的过程中，以点P，A，B，C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时m的值；若不能，请说明理由．答案与解析一．选择题（共10小题）1．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（）A．B．C．D．12【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B 的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴＝k，∴E（a，），∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣k﹣•（b﹣）＝9，∴k＝，故选：C．【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．2．如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y＝在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（）A．12B．10C．8D．6【分析】设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（b﹣a，a+b），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得（a+b）•（b﹣a）＝8，因为S正方形AOBC＝a2，S正方＝b2，从而求得正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为8．形CDEF【解答】解：设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（b﹣a，a+b），∴（a+b）•（b﹣a）＝﹣8，整理为a2﹣b2＝8，∵S正方形AOBC＝a2，S正方形CDEF＝b2，∴S正方形AOBC﹣S正方形CDEF＝8，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝|k|；也考查了正方形的性质．3．如图，平行四边形ABCO的顶点B在双曲线y＝上，顶点C在双曲线y＝上，BC中点P恰好落在y轴上，已知S▱OABC＝10，则k的值为（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【分析】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，证明△BEP≌△CDP （AAS），则△BEP面积＝△CDP面积；易知△BOE面积＝×6＝3，△COD面积＝|k|．由此可得△BOC面积＝△BPO面积+△CPD面积+△COD面积＝3+|k|＝10，解k 即可，注意k＜0．【解答】解：连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，∴∠BEP＝∠CDP，又∠BPE＝∠CPD，BP＝CP，∴△BEP≌△CDP（AAS）．∴△BEP面积＝△CDP面积．∵点B在B在双曲线y＝上，所以△BOE面积＝×6＝3．∵点C在双曲线y＝上，且从图象得出k＜0，∴△COD面积＝|k|．∴△BOC面积＝△BPO面积+△CPD面积+△COD面积＝3+|k|．∵四边形ABCO是平行四边形，∴平行四边形ABCO面积＝2×△BOC面积＝2（3+|k|），∴2（3+|k|）＝10，解得k＝±4，因为k＜0，所以k＝﹣4．故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到y轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是k．4．如图，平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点D在双曲线y＝（x＞0）上，AD交y轴于点E（0，2），且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，则k的值为（）A．4B．6C．7D．8【分析】连结BD，由四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍得平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，根据平行四边形的性质得S△ABD＝2S△ABE，则AD＝2AE，即点E为AD的中点，E点坐标为（0，2），A点坐标为（﹣，0），利用线段中点坐标公式得D点坐标为，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得k的值．【解答】解：如图，连结BD，∵四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍，∴平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，∴S△ABD＝2S△ABE，∴AD＝2AE，即点E为AD的中点，∵E点坐标为（0，2），A点坐标为（﹣，0），∴D点坐标为（，4），∵顶点D在双曲线y＝（x＞0）上，∴k＝×4＝6，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及平行四边形的性质，关键是正确分析出S△ABD＝2S△ABE．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（﹣3，4），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D 点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（）A．B．C．﹣12D．【分析】先利用勾股定理计算出OC＝5，再利用菱形的性质得到AC＝OB＝OC＝5，AC ∥OB，则B（﹣5，0），A（﹣8，4），接着利用待定系数法确定直线OA的解析式为y＝﹣x，则可确定D（﹣5，），然后把D点坐标代入y＝中可得到k的值．【解答】解：∵C（﹣3，4），∴OC＝＝5，∵四边形OBAC为菱形，∴AC＝OB＝OC＝5，AC∥OB，∴B（﹣5，0），A（﹣8，4），设直线OA的解析式为y＝mx，把A（﹣8，4）代入得﹣8m＝4，解得m＝﹣，∴直线OA的解析式为y＝﹣x，当x＝﹣5时，y＝﹣x＝，则D（﹣5，），把D（﹣5，）代入y＝，∴k＝﹣5×＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了菱形的性质．6．如图，A、C两点在反比例函数y＝的图象上，B、D两点在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点E，CD⊥x轴于点F，AB＝3，CD＝2，EF＝，则k1﹣k2的值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．﹣1【分析】直接利用反比例函数的性质和k的意义分析得出答案．【解答】解：过点A作AM⊥y轴，BN⊥y轴，DQ⊥y轴，CN⊥y轴垂足分别为M，N，Q，R，由题意可得：S矩形AMEQ＝S矩形FCRO＝﹣k1，S矩形EBNO＝S矩形QDFO＝k2，则S矩形AMEQ+S矩形EBNO＝S矩形FCRO+S矩形QDFO＝﹣k1+k2，∵AB＝3，CD＝2，∴设EO＝2x，则FO＝3x，∵EF＝，∴EO＝1，FO＝1.5，∴S矩形ABNM＝1×3＝3，则﹣k1+k2＝3，故k1﹣k2＝﹣3．故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，正确得出EO，FO的长是解题关键．7．如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E作直线l∥BD交y轴于点F，则点F的坐标是（）A．（0，﹣）B．（0，﹣）C．（0，﹣3）D．（0，﹣）【分析】由A（m，2）得到正方形的边长为2，则BC＝2，所以n＝2+m，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝2•m＝（2+m），解得m＝1，则A（1，2），B（1，0），D（3，2），E（3，），然后利用待定系数法确定直线BD的解析式，再根据平行线的性质和E的坐标求得直线l的解析式，求x＝0时对应函数的值，从而得到点F的坐标．【解答】解：∵正方形的顶点A（m，2），∴正方形的边长为2，∴BC＝2，而点E（n，），∴n＝2+m，即E点坐标为（2+m，），∴k＝2•m＝（2+m），解得m＝1，∴A（1，2），E（3，），∴B（1，0），D（3，2），设直线BD的解析式为y＝ax+b，把B（1，0），D（3，2）代入得，解得，∵过点E作直线l∥BD交y轴于点F，∴设直线l的解析式为y＝x+q，把E（3，）代入得3+q＝，解得q＝﹣，∴直线l的解析式为y＝x﹣当x＝0时，y＝﹣，∴点F的坐标为（0，﹣），故选：A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．8．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝，将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入，∴x＝，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：A．【点评】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝2，AB＝2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．若点A和点D在同一个反比例函数y＝的图象上，则OB的长是（）A．2B．3C．2D．3【分析】作DE⊥x轴于E，根据三角函数值求得∠ACD＝∠ACB＝60°，即可求得∠DCE ＝60°，根据轴对称的性质得出CD＝BC＝2，解直角三角形求得CE＝1，DE＝，设A（m，2），则D（m+3，），根据系数k的几何意义得出k＝2m＝（m+3），求得m＝3，即可得到结论．【解答】解：作DE⊥x轴于E，∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，AB＝2，∴＝，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠DCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵CD＝BC＝2，∴CE＝CD＝1，DE＝CD＝，设A（m，2），则D（m+3，），∵k＝2m＝（m+3），解得m＝3，∴OB＝3，故选：B．10．如图，点A是射线y═（x≥0）上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y＝交CD边于点E，则的值为（）A．B．C．D．1【分析】设点A的横坐标为m（m＞0），则点B的坐标为（m，0），把x＝m代入y＝x得到点A的坐标，结合正方形的性质，得到点C，点D和点E的横坐标，把点A的坐标代入反比例函数y＝，得到关于m的k的值，把点E的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，求出线段DE和线段EC的长度，即可得到答案．【解答】解：设点A的横坐标为m（m＞0），则点B的坐标为（m，0），把x＝m代入y＝x得：y＝m，则点A的坐标为：（m，m），线段AB的长度为m，点D的纵坐标为m，∵点A在反比例函数y＝上，∴k＝m2，即反比例函数的解析式为：y＝，∵四边形ABCD为正方形，∴四边形的边长为m，点C，点D和点E的横坐标为m+m＝m，把x＝m代入y＝得：y＝m，即点E的纵坐标为m，则EC＝m，DE＝m﹣m＝m，＝，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征和正方形的性质，正确掌握代入法和正方形的性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）11．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y＝在第一象限经过点D．则k＝3．【分析】作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．证出△BOA≌△AED，得到AE＝BO，AO＝DE，从而求出S△DOE，根据反比例函数k的几何意义，求出k的值．【解答】解：作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．∵∠DAE+∠BAO＝90°，∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠DAE＝∠OBA，又∵∠BOA＝∠AED，AB＝DA，∴△BOA≌△AED（HL），∴OA＝DE．∵y＝﹣2x+2，可知B（0，2），A（1，0），∴OA＝DE＝1，∴OE＝OA+AE＝1+2＝3，∴S△DOE＝•OE•DE＝×3×1＝，∴k＝×2＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，构造△BOA≌△AED是解题的关键．12．如图，直线y＝﹣x+b与双曲线y＝（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，当b＝2时，△ACE、△BDF与△ABO面积的和等于△EFO面积的．【分析】△ACE、△BDF与△ABO面积的和等于△EFO面积的，即S△OBD+S△AOC＝S，根据反比例函数的解析式与三角形的面积的关系即可求解．△EOF【解答】解：直线y＝﹣x+b中，令x＝0，解得：y＝b，则OF＝b；令y＝0，解得：x＝b，则OE＝b．则S△EOF＝OE•OF＝b2．∵S△OBD＝S△AOC＝，又∵△ACE、△BDF与△ABO面积的和等于△EFO面积的，∴S△OBD+S△AOC＝S△EOF，即：×b2＝1，解得：b＝±2（﹣2舍去），∴b＝2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确理解△ACE、△BDF与△ABO 面积的和等于△EFO面积的，即S△OBD+S△AOC＝S△EOF是解题的关键．13．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象如图所示，当P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，则四边形P AOB的面积为1．【分析】此题所求的四边形P AOB的面积可由分割法，S四边形P AOB＝S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO．【解答】解：由于P点在y＝上，则S□PCOD＝2，A、B两点在y＝上，则S△DBO＝S△ACO＝×1＝．∴S四边形P AOB＝S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO＝2﹣﹣＝1．∴四边形P AOB的面积为1．故答案为：1．【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，|k|可以表示为图象上一点到两坐标轴作垂线所围成的矩形的面积．14．y＝kx﹣6的图象与x，y轴交于B、A两点，与的图象交于C点，CD⊥x轴于D点，如果△CDB的面积：△AOB的面积＝1：9，则k＝4．【分析】由于△CDB的面积：△AOB的面积＝1：9，且两三角形相似，则＝，C（，2）代入直线y＝kx﹣6求得k值．【解答】解：由题意得：△CDB的面积：△AOB的面积＝1：9，且两三角形相似，则＝，又A（0，﹣6），则C（，2），代入直线y＝kx﹣6，可得：k＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，这里相似三角形的相似比是解决问题的突破口．15．如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6，则k的值为﹣4．【分析】分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE⊥x 轴于点E，由于反比例函数的图象在第二象限，所以k＜0，由点A是反比例函数图象上的点可知，S△AOD＝S△AOF＝，再由A、B两点的横坐标分别是a、2a可知AD＝2BE，故点B是AC的二等分点，故DE＝a，CE＝a，所以S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝6，故可得出k的值．【解答】解：分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE⊥x轴于点E，∵反比例函数y＝的图象在第二象限，∴k＜0，∵点A是反比例函数图象上的点，∴S△AOD＝S△AOF＝，∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，∴AD＝2BE，∴点B是AC的二等分点，∴DE＝a，CE＝a，∴S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（OE+CE+AF）×OF﹣＝×4a×﹣＝6，解得k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据题意得出辅助线得出S△AOC ＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝6是解答此题的关键．16．如图，点A、B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C．若OM＝MN＝NC，△AOC的面积为9，则k 的值为6．【分析】根据三角形面积公式得到S△AOM＝S△AOC＝3，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S△AOM＝|k|＝3，然后利用k＞0去绝对值求解．【解答】解：∵OM＝MN＝NC，∴S△AOM＝S△AOC＝×9＝3，∴S△AOM＝|k|＝3，而k＞0，∴k＝6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．17．如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A作AP∥y轴，过点B 作BP∥x轴，交点为P连接OA，OP，若△AOP的面积为2，则△ABP的面积为4．【分析】根据反比例函数特征，设A（m，），B（n，），根据题意可得AP＝﹣，且A点到y轴的距离为m，依据已知△AOP的面积为2，得到m和n的关系式n＝3m，计算△ABP面积＝AP×BP，即可得到结果．【解答】解：设A（m，），B（n，），根据题意可得AP＝﹣，且A点到y轴的距离为m，则AP×m＝（﹣）×m＝2，整理得，所以n＝3m，B点坐标可以表示为（3m，）△ABP面积＝AP×BP＝（﹣）×（3m﹣m）＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决此类型问题，一般设某个点坐标为（x，），而后用横纵坐标的绝对值表示线段的长度．18．如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC 相交于点E，若BE＝3CE，四边形ODBE的面积是9，则k＝3．【分析】把所给的四边形面积分割为长方形面积减去两个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：设B点的坐标为（a，b），∵BE＝3CE，∴E的坐标为（，b），又∵E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝，∵S四边形ODBE＝9，∴S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD＝9，即ab﹣﹣＝9，∴ab＝12，∴k＝＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．19．如图，已知点A是一次函数y＝x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为8，则△ABC的面积是．【分析】过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，设AB＝2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE＝AE＝CE＝a，设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．【解答】解：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE＝AE＝CE，设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a，设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），∵B，C在反比例函数的图象上，∴x（x+2a）＝（x+a）（x+a），解得x＝a，∵S△OAB＝AB•DE＝•2a•x＝8，∴ax＝8，∴a2＝8，∴a2＝，∵S△ABC＝AB•CE＝•2a•a＝a2＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．20．如图在平面直角坐标系中，周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上．点B，在反比例函数y＝位于第一象限的图象上．则k的值为k＝．【分析】分析题意，要求k的值，结合图形只需求出点B的坐标即可；设y轴与BC的交点为M，连接OB，根据周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合可知OB＝2，BM＝1，OM⊥BC；接着，利用直角三角形勾股定理求出OM的值，结合点B在反比例函数位于第一象限的图象上，可以得到点B的坐标；【解答】解：如图，连接OB∵周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，∴正六边形ABCDEF的边长为2，∴OB＝2，BM＝1，∵OM⊥BC，∴OM＝＝＝•点B在反比例函数y＝位于第一象限的图象上，点B的坐标为（1，）．将点（1，）代入y＝中，得k＝．故故答案为k＝【点评】本题考查了正多边形性质，锐角三角函数，反比例函数的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出B的坐标．21．如图，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．则k的值为32．【分析】根据题意可以求得菱形的边长，从而可以求得点A的坐标，进而求得k的值．【解答】解：由题意可得，点D的坐标为（4，3），∴CD＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝5，∴点A的坐标为（4，8），∵点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴8＝，得k＝32，故答案为：32．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．22．如图，已知反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点A，且OA＝4，AB⊥x轴，垂足为B，线段OA的垂直平分线交x轴于点C（点C在点B的左侧），则△ABC的周长等于2．【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AC＝OC，由此推出△ABC的周长＝OB+AB，设OB＝a，AB＝b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长．【解答】解：∵OA的垂直平分线交OB于C，∴AC＝OC，∴△ABC的周长＝OB+AB，设OB＝a，AB＝b，则：，解得a+b＝2，即△ABC的周长＝OB+AB＝2．故答案是：2．【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OB+AB即可解决问题．23．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，横坐标为1的点A在直线y＝x上，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y＝与正方形ABCD公共点，则k的取值范围是1≤k≤16．【分析】根据题意求出点A的坐标，根据正方形的性质求出点C的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．【解答】解：∵点A在直线y＝x上，横坐标为1，∴点A的坐标为（1，1），∵正方形ABCD的边长为3，∴点C的坐标为（4，4），当双曲线y＝经过点A时，k＝1×1＝1，当双曲线y＝经过点C时，k＝4×4＝16，∴双曲线y＝与正方形ABCD公共点，则k的取值范围是1≤k≤16，故答案为：1≤k≤16．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题以及正方形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、以及正方形的性质是解题的关键．三．解答题（共21小题）24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，AB＝8，BC ＝6．对角线AC，BD相交于点E，反比例函数（x＞0）的图象经过点E，分别与AB，CD交于点F，G．（1）若OC＝8，求k的值；（2）连接EG，若BF﹣BE＝2，求△CEG的面积．【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到E（5，4），然后把E点坐标代入y＝可求得k的值；（2）利用勾股定理计算出AC＝10，则BE＝EC＝5，所以BF＝7，设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标得到7t＝4（t+3），解得t＝4，从而得到反比例函数解析式为y＝，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算△CEG的面积．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6，而OC＝8，∴B（2，0），A（2，8），C（8，0），∵对角线AC，BD相交于点E，∴点E为AC的中点，∴E（5，4），把E（5，4）代入y＝得k＝5×4＝20；（2）∵AC＝＝10，∴BE＝EC＝5，∵BF﹣BE＝2，∴BF＝7，设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4），∵反比例函数（x＞0）的图象经过点E、F，∴7t＝4（t+3），解得t＝4，。

压轴题精选时间：2021.02.04创作：欧阳育1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒．⑴求直线AB 的解析式；⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ 2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数x y 1 的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(b b R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．3、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E坐标为(4，0)，顶点G 坐标为(0，2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋y xO P QA B转，使点F 落在轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A ．（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似，并说明理由；（2）求过点A 的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式；（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，90OPM MQN ∠=∠=。

2020年八年级期末数学压轴题考前精练1一、选择题（共6题） 1．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；③在反比例函数y=中，如果自变量x ＜2时，那么函数值y ＞2． 其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标为（－，0），顶点D 在双曲线y=（x ＞0）上，AD 交y 轴于点E （0，2），且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的3倍，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，则四边形ABCD 只需要满足一个条件，是（ ）A ．四边形ABCD 是梯形B ．四边形ABCD 是菱形C ．对角线AC=BDD ．AD=BC第3题 第4题4.如图，将矩形ABCO 放在直角坐标系中，其中顶点B 的坐标为(10， 8)，E 是BC 边上一点将△ABE 沿AE 折叠，点B 刚好与OC 边上点D 重合，过点E 的反比例函数y=k x的图象与边AB 交于点F , 则线段AF的长为 ( ) A ．154B. 2 C ．158D ．325.在平面直角坐标系中，分别过点A （m ，0），B （m ＋2，0）作垂直于x 轴的直线l 1和l 2，探究直线 l 1、l 2与函数y=x3的图像（双曲线）之间的关系，下列结论错误的是( ) A.两条直线中总有一条与双曲线相交B.当 m ＝1 时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等C.当 m ＜0 时，两条直线与双曲线的交点都在 y 轴左侧D.当 m ＞0 时，两条直线与双曲线的交点都在 y 轴右侧6.如图，正方形ABCD 的边长为3，E 、F 是对角线BD 上的两个动点，且EF ＝2，连接AE 、AF ，则 AE＋AF 的最小值为 （ ）A ．52B ．32 C.29 D.522二、填空题（共6题）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是______．第3题 第4题2．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是______．3.如图，正方形ABCD 的边长为2，顶点A 在x 轴上，顶点B 在y 轴上，则OD 的最大值是第3题 第4题4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若BC ＝4，BG ＝3，则GE 的长为 ．5.如图，点A 、B 都在反比例函数y=xk（x ＞0）的图像上，过点B 作BC ∥x 轴交y 轴于点C ，连接AC 并延长交x 轴于点D ，连接BD ，DA ＝3DC ，S △ABD ＝6．则k 的值为．6.如图，矩形ABCD 中，点 E 、F 分别在AB 、CD 上，EF ∥BC ，EF 交BD 于点G .若EG ＝5，DF ＝2，则图中两块阴影部分的面积之和为．第5题第6题三、解答题（共6题）1．“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？2．实践操作在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考（1）若点P 落在矩形ABCD 的边AB 上（如图①）① 当点P 与点A 重合时，∠DEF ＝ ▲ °；当点E 与点A 重合时，∠DEF ＝ ▲ °； ② 当点E 在AB 上，点F 在DC 上时（如图②）， 求证：四边形DEPF 为菱形，并直接写出．．．．当AP ＝3.5时的菱形EPFD 的边长．深入探究 （2）若点P 落在矩形ABCD 的内部（如图③），且点E 、F 分别在AD 、DC 边上，请直接写出AP 的最小值 ．拓展延伸（3）若点F 与点C 重合，点E 在AD 上，线段BA 与线段FP 交于点M （如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM 与线段DE 的长度相等？若存在，请直接写出线段AE 的长度；若不存在，请说明理3．如图，正方形 ABCD 中，AB ＝4，点 E 为边AD 上一动点，连接 CE ，以 CE 为边，作正方形CEFG （点D 、F 在CE 所在直线的同侧），H 为CD 中点，连接 FH ．（1）如图 1，连接BE ，BH ，若四边形 BEFH 为平行四边形，求四边形 BEFH 的周长； （2）如图 2，连接 EH ，若 AE ＝1，求△EHF 的面积； （3）直接写出点E 在运动过程中，HF 的最小值．A PB FECD（第6题①） P A BF E C D（第6题③） （第6题②）A PB FE CD（第6题④） M EC （F ） DA PB4.如图，直线1y k x =（x ≥0）与双曲线2k y x=（x ＞0）相交于点P （2，4）．已知点A （4，0），B （0，3），连接AB ，将Rt △AOB 沿OP 方向平移，使点O 移动到点P ，得到△A 'PB '．过点A '作A 'C ∥y 轴交双曲线于点C ．（1）求k1和k2的值（2）求直线PC 的表达式；（3）直接写出线段AB 扫过的面积．5．某服装店进货一批甲、乙两种款型的时尚T 恤衫，甲种款型共花了 10400 元，乙种款型共花了6400元，甲种款型的进货件数是乙种款型进货件数的2倍，甲种款型每件的进货价比乙种款型每件的进货价少30元．商店将这两种T 恤衫分别按进货价提高60%后进行标价销售，销售一段时间后，甲种款型全部售完，乙种款型剩余一半．商店对剩下的乙种款型T 恤衫按标价的五折进行降价销售，很快全部售完． （1）甲、乙两种款型的T 恤衫各进货多少件？（2）求该商店售完这批T 恤衫共获利多少元？（获利＝销售收入－进货成本）6.如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形OABC 的顶点B 坐标为)5,12(，点D 在CB 边上从点C 运动到点B ，以AD 为边作正方形ADEF ，连BF BE 、，在点D 运动过程中，请探究以下问题： （1）ABF △的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由； （2）若BEF △为等腰三角形，求此时正方形ADEF 的边长；（3）设),(y x E ，直接写出y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.【答案与解析】一、选择题1. 解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是可能是等腰梯形，故错误；②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；③在反比例函数y=中，如果自变量x＜2时，那么函数值y＞2或y＜0，故错误，正确的有1个，故选：B．2.3.4.5.6.二、填空题1.2.3.4.5.6.三、解答题1、（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x-200）元，由题意，得80000x=80000×(1−10%)x−200解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的根，答：去年A型车每辆售价2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得y=(2000-200-1500)a+(2400-1800)(60-a)=-300a+36000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60-a≤2a，∴a≥20.∵y=-300a+36000，∴k=-300＜0，∴y随a的增大而减小，∴a=20时，y最大=30000元，∴B型车的数量为：60-20=40（辆）.答：当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大.2.⑴①90；45②由折叠可知，DE=DF ，PE=PF ，∠EDP=∠FDP ∵DF∥EP∴∠FDP=∠EPD ∴∠EDP=∠EPD ∴DE=PE∴DE=DF=PE=PF ∴DEPF 为菱形AP=3.5 时，设 AE=x ，则 PE=DE= 3.5 x则 2223+ 3.5-=x x （），8528x 解得 ，所以菱形边长为 85283．4.（2）最小值为1易知 AP + PF + FC ≥ AC ，当且仅当 A 、P 、F 、C 共线时取等号,由折叠，FP=FD ，所以 PF+FC=FD+FC=CD∴AP ≥ AC - CD = 1 ，即最小值为 1 （3）连接 EM ∵DE=EP=AM△EAM≌△MPE（HL ）易证设 AE=x ，则 AM=DE= 3- x ， 则 BM=x +1∵MP=EA=x，CP=CD=4 ∴MC= 4— x222(1)3(4)x x ++=-35x =解得5.6.6. 解：（1）作FH⊥AB交AB延长线于H∵正方形ADEF中，AD=AF,∠DAF=90°………1分∴∠DAH+∠F AH=90°∵∠H=90°∴∠F AH+∠AFH=90°∴∠DAH=∠AFH ………………………2分∵矩形OABC中，AB=5,∠ABD=90°∴∠ABD =∠H∴△ABD≌△FHA ………………3分∴FH=AB=5∴112555222AEFS AB FH=⨯=⨯⨯=…………4分(2)①当EB=EF时，作EG⊥CB∵正方形ADEF中，ED=EF∴ED=EB∴DB=2DG同（1）理得△ABD≌△GDE……………………5分GCABD Fx Oy E∴DG =AB =5 ∴ DB =10 ∴2255AD BD AB =+=…………………6分②当EB =BF 时，∠BEF =∠BFE∵正方形ADEF 中，ED =AF ，∠DEF =∠AFE =90° ∴∠BED =∠BF A ∴△ABF ≌△DBE ………………7分 ∴BD =AB =5 ∵矩形OABC 中，∠ABD =90° ∴ 2252AD BD AB =+=…………………8分③当FB =FE 时，作FQ ⊥AB 同理得BQ =AQ=52, BD =AQ=52,…………………9分 ∴22552AD BD AB =+=…………………10分 （3）22(517)y x x =-+≤≤……………………12分C AB DF xOyEOQ C AB DF xyE。

2020年八年级期末数学压轴题考前精练3一、选择题（共6题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝4，BC＝3，则AG的长为（）A．B．C．D．12．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（）A．①B．②C．③D．④3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针转60°，得到△MNC，则BM的长（）A．1 B．C．2 D．1+4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'．设P、P'分别是EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（）A．28B．24C．32D．32﹣85．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转一定角度，得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'度数为（）A．110°B．100°C．90°D．70°6．如图，△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为（）A．B．4 C．2 D．无法确定二、填空题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1，则下列结论①∠CAD＝30°②BD＝③S平行四边形ABCD＝AB•AC④OE＝AD，正确的个数是．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．则点F 的坐标是．第3题第4题4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当BP＝时，四边形APQE的周长最小．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，以AB为边向外作正方形ABEF，则此正方形中心O与点C的连线长为．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B （3，0），△AOB 是等边三角形，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BO 匀速运动，动点Q 同时从点A 出发以同样的速度沿OA 延长线方向匀速运动，当点P 到达点O 时，点P ，Q 同时停止运动．过点P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于 D ．设运动时间为t 秒，得出下面三个结论， ①当t ＝1时，△OPQ 为直角三角形；②当t ＝2时，以AQ ，AE 为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB 的平分线上； ③当t 为任意值时，DE ＝AB ． 所有正确结论的序号是 ． 三、解答题1.如图，3(,4)2A ，(3,)B m 是直线AB 与反比例函数ny x=(0x >)图像的两个交点，AC x ⊥轴，垂足为C .已知点D 的坐标为(0，1)，连接,,AD BD BC ，ABC ∆和ABD ∆的面积分别记为1S ，2S ，求： (1)直线AB 对应的函数表达式. (2) 21S S -的值.2.如图①，对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形.(1)概念理解:如图②，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，四边形ABCD 是垂美四边形吗?请说明理.(2)性质探究:如图①，四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，AC BD ⊥.试证明：2222AB CD AD BC +=+.(3)解决问题:如图③，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接,,CE BG GE .已知4,5AC AB ==，求GE 的长.3．商场某种商品进价为70元，当售价定为每件100元时，平均每天可销售20件．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场规定每件商品的利润率不低于30%，设每件商品降价x元．（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，日盈利可达到750元？4．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．（1）求m与n的数量关系；（2）当时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在△ABC中，BC＝2AB，AD是BC边上的中线，O是AD中点，过点A作AE∥BC，交BO的延长线于点E，BE交AC于点F，连接DE交AC于点G．（1）判断四边形ABDE的形状，并说明理由；（2）若AB＝，且OA：OB＝2：3，求四边形ABDE的面积．（3）连接DF，求证：DF2＝FG•FC．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点C出发，沿CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位，过点P作PM⊥BC，交对角线BD于点M．点Q从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为每秒1个单位．P、Q两点同时出发，设它们的运动时间为t秒（0＜t＜8）．（1）当PQ⊥BD时，求出t的值；（2）连接AM，当PQ∥AM时，求出t的值；（3）试探究：当t为何值时，△PQM是等腰三角形？【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据勾股定理得到AB＝5，得到CM＝AM＝AC＝2，根据旋转的性质得到CM ＝FM＝2，∠D＝∠A，∠C＝∠DFE，AB＝DE，求得AM＝MF，求得FG＝DE＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∵点M是AC边的中点，∴CM＝AM＝AC＝2，∵把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，∴CM＝FM＝2，∠D＝∠A，∠C＝∠DFE，AB＝DE，∴AM＝MF，∴∠A＝∠AFM，∴∠D＝∠AFD，∴DG＝FG，∵∠D+∠E＝∠DFG+∠GFE＝90°，∴∠E＝∠EFG，∴EG＝FG，∴FG＝DE＝，∵AM＝CM＝FM＝AC，∴∠AFC＝90°，∴CF＝＝，∴AF＝＝，∴AG＝AF﹣FG＝﹣＝，故选：A．2．【分析】由矩形的性质得出AB＝CD，FP＝CG，则BE＝DG，求出阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×BE＝矩形②面积，即可得出答案..【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×CD﹣BF×FP＝BF×（CD﹣CG）＝BF×DG＝BF×BE＝矩形②面积，故选：B．3．【解答】解：连接AM，BM交AC于D，如图，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴AC＝AB＝×＝2，∵△ABC绕点C逆时针转60°，得到△MNC，∴CM＝CA＝2，∠ACM＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴MA＝MC，而BA＝BC，∴BM垂直平分AC，∴BD＝AC＝1，MD＝AC＝×2＝，∴BM＝1+．故选：D．4．【解答】解：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．由题意PP′＝AA′＝AB＝CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵AF＝FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′，在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，AF＝4，∴AE＝2，EF＝2，∴PE＝PF＝，在Rt△PHF中，∵∠FPH＝30°，PF＝，∴HF＝PF＝，∵DF＝4，∴DH＝4﹣＝，∴平行四边形PP′CD的面积＝×8＝28．故选：A．5．【分析】由∠A＝70°，AC＝BC，可知∠ACB＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC ＝BC′，∠CBC′＝∠α＝40°，∠BCC′＝70°，于是∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝110°．【解答】解：∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°﹣2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝110°；故选：A．6．【分析】连接BF，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证△BCF≌△ACE，推出∠CBF＝∠CAE＝30°，再由垂线段最短可知当DF⊥BF时，DF值最小，利用含30°的直角三角形的性质定理可求DF的值．【解答】解：如图，连接BF，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AB＝8，∴BC＝AC＝AB＝8，BD＝DC＝4，∠BAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝30°，∵△CEF为等边三角形，∴CF＝CE，∠FCE＝60°，∴∠FCE＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACE，∴在△BCF和△ACE中，，∴△BCF≌△ACE（SAS），∴∠CBF＝∠CAE＝30°，AE＝BF，∴当DF⊥BF时，DF值最小，此时∠BFD＝90°，∠CBF＝30°，BD＝4，∴DF＝2，故选：C．二、填空题1．【分析】由旋转的性质得CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，由勾股定理得出A'C＝5，则A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，证Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），得出DF＝D'F，设DF＝D'F＝x，则A'F＝4﹣x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得出方程，解方程得DF＝，由勾股定理即可得出CF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，∴∠A'DF＝∠CDF＝90°，由旋转的性质得：CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，∴A'C＝＝5，∴A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，在Rt△CDF和Rt△CD'F中，，∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），∴DF＝D'F，设DF＝D'F＝x，则A'F＝4﹣x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴DF＝，∴CF＝＝＝；故答案为：．2．【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD 的长，即可求BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断；【解答】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝1，∵BC＝2，∴EC＝1，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正确；②∵BE＝EC，OA＝OC，∴OE＝AB＝，OE∥AB，∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC＝＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACD＝90°，Rt△OCD中，OD＝＝，BD＝2OD＝，故②正确；③由②知：∠BAC＝90°，∴S▱ABCD＝AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB，∵AB＝BC，∴OE＝BC＝AD，故④正确；故答案为：①②③④．3．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由题意可知，CN＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，∴点C的坐标为C（8，4），设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，解得：x＝5，∴点B的坐标为B（5，0），设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，∵直线BC过点B（5，0），C（8，4），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，根据题意得方程组，解此方程组得：或．∵点F在第一象限，∴点F的坐标为（6，）．故答案为：（6，）．4．【解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，∴6﹣x＝2，解得x＝4．故答案为4．5．【分析】连接AO，BO，延长CA至点D，使AD＝BC＝5，由“SAS”可证△COB≌△DOA，可得∠COB＝∠DOA，OC＝OD，可证△COD是等腰直角三角形，即可求解．【解答】解：连接AO，BO，延长CA至点D，使AD＝BC＝5，∵四边形ABEF是正方形，∴∠AOB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠CAO+∠CBO＝180°，∴∠CBO＝∠DAO．在△COB与△DOA中，，∴△COB≌△DOA（SAS），∴∠COB＝∠DOA，OC＝OD，∴∠COD＝90°，∴△COD是等腰直角三角形．∵CD＝AC+AD＝3+5＝8，∴OC＝4，故答案为：4．6．【分析】①正确．如图1中，取OQ的中点H，连接PH．证明PH＝OQ即可判断．②错误．如图2中，四边形AEMQ是菱形，推出△MAE是等边三角形，推出MA＝ME＜BM，推出点M不在AB的垂直平分线上，推出点M不在∠AOB的角平分线上，故②错误．③正确．如图3中，作PM∥OA交AB于M．想办法证明AD＝DM，ME＝EB即可解决问题．【解答】解：①如图1中，取OQ的中点H，连接PH．∵t＝1，∴AQ＝PB＝1，∵B（3，0），∴OB＝3，∵△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝3，∴OQ＝4，∵OH＝HQ＝AQ＝2，∴OH＝OP＝2，∵∠HOP＝60°，∴△HOP是等边三角形，∴PH＝OH＝HQ，∴PH＝OQ，∴△OPQ是直角三角形．故①正确，②当t＝2时，如图2中，由题意PB＝AQ＝2，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∵∠PBE＝60°，∴BE＝PB＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，∴AE＝AQ＝2，∵四边形AEMQ是平行四边形，AQ＝AE，∴四边形AEMQ是菱形，∵∠QAE＝120°，∴∠MAE＝∠MAQ＝60°，∴△MAE是等边三角形，∴MA＝ME＜BM，∴点M不在AB的垂直平分线上，∴点M不在∠AOB的角平分线上，故②错误，③如图3中，作PM∥OA交AB于M．∵PM∥OA，∴∠BMP＝∠BAO＝60°，∠BPM＝∠AOB＝60°，∴△PMB是等边三角形，∴PB＝PM＝AQ，∵PE⊥BM，∴EM＝BM，∵∠AQD＝∠MPD，∠ADQ＝∠MQP，AQ＝PM，∴△ADQ≌△MDP（AAS），∴AD＝DM，∴DE＝DM+ME＝AM+BM＝（AM+BM）＝AB，故③正确，故答案为①③．三、解答题1.2.3．【解答】解：（1）解：（1）∵当售价定为每件100元时平均每天可销售20件，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（100﹣70﹣x）元，即（30﹣x）元，故答案为：2x，（30﹣x）．（2）由题意得：（30﹣x）（20+2x）＝750，解得：x1＝5，x2＝15…（8分）当x1＝5时，利润率为当x2＝15时，利润率为，不合题意，舍去，答：每件商品降价5元，商场日盈利可达750元．4．【解答】解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝的图象上，∴4m＝k，2n＝k，整理得：n＝2m；（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．已知△BDE的面积为2，∴•BD•EH＝（m+1）×2＝2，所以解得m＝1．因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．因为点D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为：y＝．设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），得，解得：，因此直线AB的函数解析式为：y＝x+1．（3）如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，当△BED∽△BPC时，＝＝，∴＝，∵BF＝1，∴BH＝，∴CH＝，可得＝x+1，x＝1，点P的坐标为（1，）；如图3，当△BED∽△BCP时，＝，∵EF＝2，BF＝1，由勾股定理，BE＝，∴＝，BP＝，∴＝，BF＝1，BH＝，∴CH＝，可得＝x+1，x＝，点P的坐标为（，）点P的坐标为（1，）；（，）．5．【解答】解：（1）四边形ABDE是菱形．理由如下：∵AE∥BC，∵O是AD中点，∴AO＝DO，在△AOE和△DOB中，，∴△AOE≌△DOB（ASA），∴AE＝BD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∵AD是BC边上的中线，∴BC＝2BD，又∵BC＝2AB，∴BD＝BA，∴平行四边形ABDE是菱形；（2）∵四边形ABDE是菱形，∴AD⊥BE，AO＝AD，BO＝BE，设OA＝2k，OB＝3k，在Rt△AOB中，由勾股定理得，4k2+9k2＝13，解得k＝1，∴OA＝2，OB＝3，∴AD＝4，BE＝6，∴菱形ABDE的面积＝×4×6＝12；（3）证明：∵四边形ABDE是菱形，∴BE垂直平分AD，∴EA＝ED，F A＝FD，∴∠EAO＝∠EDO，∠F AO＝∠FDO，∴∠EAF＝∠EDF，∵AE∥BC，∴∠GDF＝∠DCF，又∵∠GFD＝∠DFC，∴△DFG∽△CFD，∴＝，∴DF2＝FG•FC．6．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝8，∴∠C＝90°，BD＝10，根据题意得，CP＝BQ＝t，BP＝8﹣t，∵PQ⊥BD，∴∠BQP＝90°，∴∠BQP＝∠C，∵∠PBQ＝∠DBC＝45°，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴，∴t＝；（2）∵PM⊥BC，∠C＝90°，∴PM∥CD，∴△BPM∽△BCD，∴，∴，∴PM＝6﹣t，BM＝10﹣t，∴DM＝t，∵PQ∥AM，∴∠AMQ＝∠MQP，∴∠AMD＝∠PQB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADM＝∠PBQ，∴△ADM∽△PBQ，∴，∴，∴t＝；（3）①当点Q在线段BM上时，Ⅰ、若PM＝MQ，∴6﹣t＝10﹣t，∴t＝，Ⅱ、若PM＝PQ时，如图1，作PN⊥MQ于N，∴∠PNM＝90°，MN＝MQ＝（10﹣t）＝5﹣t，∴∠PNM＝∠C，∵PM∥CD，∴∠PMQ＝∠BDC，∴△PMN∽△BDC，∴，∴，∴t＝，Ⅲ、若MQ＝PQ时，如备用图1，作QE⊥PM于E，∴QE∥BP，ME＝PM，∴△QEM∽△BPM，∴，∴MQ＝BQ，∴10﹣t＝t，∴t＝，②当点M在线段BQ上时，如备用图2，∠PMQ是钝角，∴只可能PM＝QM，∴6﹣t＝t﹣（10﹣t），∴t＝，即：满足条件的时间t为或或或．。

二次根式全章五类必考压轴题题型一：二次根式的双重非负性的运用题型二：二次根式的规律探究题型三：复合二次根式的化简题型四：二次根式运算与求值技巧题型五：分母有理化题型一：二次根式的双重非负性的运用1．实数a 和b 在数轴上的位置如图所示，化简a b − ）A ．2aB ．2b −C ．2a −D ．2b 【答案】B101b a <−<<<a b +和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到101b a <−<<<．【详解】解：根据题意，则101b a <−<<<，∴0a b −>，0a b +<，∴a b −=a b a b−++ =a b a b −−−=2b −；故选：B ．2．已知三角形的三边长3,7,a 10a −的值为（ ）A ．7B ．7−C ．132a −D ．213a −【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形和非负数．熟练掌握三角形三边关系，二次根式性质和绝对值性质，是解决问题的关键．根据三角形三边关系，得到410a <<，得到30a −>，100a −<，根据二次根式性质和绝对值性质即得 ．【详解】∵三角形的三条边长分别为3、7、a ，∴7373a −<<+，即410a <<，∴40a −>，100a −<，∴30a −>，()103103107a a a a a −=−−−=−−+=．故选：A ．3．已知a 、b 为有理数，且满足a +=a b −等于（ ）A ．2−B ．4−C ．2D ．4 【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把33a 、b 的值，即可计算a b −的值．【详解】解：3==又∵a +=∴3a +=∴3a =，1b =-，∴()31314a b −=−−=+=，故选：D ．4．若(20m =，则n m的值是 ．【答案】【分析】本题考查了非负数的性质，分母有理化，根据非负数之和为零，则每个非负数都是零可得1m n ==−，进而代入代数式，即可求解．【详解】解：∵(20m =，∴1m n ==−=−，∴n m ==，故答案为：．5．已知x y ，是有理数，且6y =++化简的结果为 ．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出2x =，从而得出6y =【详解】解：由题意得：20x −≥，20x −≥，解得：2x =，将2x =代入6y =++得6y =，===故答案为：68b =+ ．【答案】5【分析】根据二次根式的性质得到170a −≥，170a −≥，求出17a =，8b =−，代入计算可得．【详解】解：由题可得170a −≥，170a −≥，解得17a =，∴08b =+，∴8b =−，5=，故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．7成立的条件是 ．【答案】x=2【分析】根据二次根式的意义，被开方数要大于等于零，去求x 的范围．【详解】根据二次根式有意义的条件，，∴x 必须满足的条件是20x −≥且20x −≤，则2x =．故答案是：2x =． 【点睛】本题考查二次根式的意义，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．80=的根是 ．【答案】6x =【分析】根据二次根式有意义的条件得60x −≥或60x −≥，可得答案．【详解】解：根据二次根式有意义的条件得60x −≥或60x −≥，得：6x =，故答案为：6x =．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握其非负数的性质是解决此题的关键．题型二：二次根式的规律探究9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形1OAA 的直角边OA 在x 轴上，点1A 的坐标为()1,1，以点1A 为直角顶点，1OA 为一直角边作等腰直角三角形12OA A ，再以点2A 为直角顶点，2OA 为直角边作等腰直角三角形23,OA A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依此规律，则点2024A 的坐标为（ ）A ．()101110112,2−B ．()10112,0C ．()101210122,2−D ．()10122,0 【答案】D【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解．【详解】解：由已知，点A 每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A 到原∵20248253÷=，∴点2024A 的在x 轴的正半轴上，则2024101220242OA ==， ∴()101220242,0A ，故选：D ．10．2222222x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，第n 个单项式是（ ）A 2B C 2 D ．2n x 【答案】A【分析】本题主要考查了数字变化规律．观察已知式子，总结规律即可得第n 个单项式是2．2，22x 2，22，2⋯⋯，总结规律得第n 2．故选：A ．11．如图，12OA A △为等腰直角三角形，11OA =，以斜边2OA 为直角边作等腰23Rt OA A △， 再以3OA 为直角边作等腰34Rt OA A △，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则n OA 的长度为 ． （用含n 的式子表示）【答案】1n −【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得2OA =32OA =，4OA = 【详解】解：∵12OA A △为等腰直角三角形，11OA =，∴121OA ==，同理可得：2322OA ===，343OA ===，……；综上所述：1n n OA −=；故答案为1n −．题型三：复合二次根式的化简12．先阅读下列解答过程，然后作答：a ，b 使a b m +=，ab n =，这样22m +==)a b =>，例7m =，12n =；由于437+=，4312⨯=，即227+==2===根据上述例题的方法化简：；【答案】【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，（1）根据解答过程即可得解，（2（3二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．【详解】（1=；（2==（3==13．先阅读下列的解答过程，然后再解答：a b 、，使,a b m ab n +==，使得22m +==)a b =>7m =，12n =由于，4312⨯=437+=即227+==2\=(1)______=______；(2)【答案】3【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．（1a ，b 值为3和2后，即可得出结论；确定a ，b 值为8和9后，即可得出结论（2a 的形式化简，求解．即可．【详解】（1===3=，3；（2===．14．阅读下面这道例题的解法，并回答问题．11====依据上述计算，填空：， ；(2)199+− 【答案】(1)23(2)9【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：（1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解；（2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】（1=2==3=；故答案为：23；（2199+−(100+1100+−1101=−9=．15．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：1===，再如：=法探索并解决下列问题：(1)化简：(2)化简：(3)若()2a m +=，且a ，m ，n 为正整数，求a 的值．【答案】(3)14或46【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．【详解】（1=（2）==（3）∵2252a m n +=++∴225a m n =+，62mn =，∴3mn =又∵a m 、、n 为正整数， ∴1,3m n ==，或者3,1m n ==， ∴当1,3m n ==时，46a =； 当3,1m n ==时，14a =． ∴a 的值为：14或46．16．【规律探究题】观察下列运算：①由)111=1=；②由1== …… 问题：=______=______； (2)利用（1）中发现的规律计算：)12024+．【答案】n 为正整数） (2)2024【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律即可；（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．【详解】（1==−（n 为正整数）（2）原式)120241=+)11202512024==−=17．观察下列等式：第11112⎛⎫=+− ⎪⎝⎭；第211123⎛⎫+− ⎪⎝⎭；第311134⎛⎫+− ⎪⎝⎭， ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______．(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：12024++【答案】11145⎛⎫+− ⎪⎝⎭1111n n ⎛⎫+− ⎪+⎝⎭(3)202420242025【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．（1）由题意可得，第411145⎛⎫+− ⎪⎝⎭；（2）由题意知，第n 1111n n ⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭；（3）根据12024++1111111202412233420242025⎛⎫=+−+−+−++− ⎪⎝⎭，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，第411145⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，11145⎛⎫=+− ⎪⎝⎭；（2）解：由题意知，第n 1111n n ⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭；（312024++1111111111112233420242025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−++−++−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111202412233420242025⎛⎫=+−+−+−++− ⎪⎝⎭ 1202412025=+−202420242025=，52024202142220=++．18．观察下列算式的特征及运算结果，探索规律：2=3=4=5．(1)观察算式规律，计算、= ；= ；(2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ；(3)计算：2020− 【答案】(1)6,37()11n n +≥()2n n =≥(3)1013【分析】本题考查二次根式运算中的规律探究： （1）根据题干给定的等式，进行作答即可；（2）根据题干给定的等式，确定相应的规律作答即可； （3）先根据规律化简各式，再进行计算即可．【详解】（16=37=；故答案为：6,37；（2）由题意，()11n n =+≥()2n n =≥；（32020−3579201920212023=−+−++−+()()2222023=−+−++−+()20191220234+=−⨯+10102023=−+ 1013=．题型四：二次根式运算与求值技巧19．（1（2）2(1(2−−【答案】（1（2）12−【分析】（1）利用二次根式的乘除法运算法则进行计算，再合并即可求解； （2）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解；本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【详解】解：（1）原式===（2）原式()11243=−−−131=−，12=−20．计算：(1)+(2)()21+【答案】(1)(2)8−【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；（2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算二次根式加减法即可．【详解】（1）解：+=((=+=（2）解：()21+()()2381=−+−19=−+−8=−21．计算：(1)(；【答案】(1)63【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式的知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键．（1）先根据平方差公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可；（2）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：((22=−126=−6=．（2=3=−3=．22．计算：(1)÷(2))22【答案】(1)7 2(2)1【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先计算小括号内的二次根式乘法，再化简二次根式并合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；（2）先计算二次根式乘法，再加减计算即可． 【详解】（1）解：÷=÷(=÷=72=；（2）解：)22222-+=34=−12=−+1=．23．计算下列各小题．(2)()21+．【答案】(1)12(2)24−【分析】（1）关键二次根式乘除的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（112=．（2））()21+22241=−+−2324124=−+−=− 24．计算：(2)(222−【答案】(1)3(2)6+【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．（1）直接利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算；（2）先计算完全平方式及平方差公式，最后再计算加减法即可．【详解】（1）解：原式=3=−3=（2）原式()3245=++−51=+6=+25．计算：(2)⎛÷⎝；(3))(23−．【答案】(1)8(2)73(3)1−【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）将二次根式化简，然后计算乘除法即可；（2）先将二次根式化简，接着计算小括号里面的，然后再算除法即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后计算加减法即可．【详解】（1===；（2）解：⎛÷⎝⎛=÷⎝73=；（3）解：)(23−()59207=−−−5913=−−1=−26．先化简，再求值：()()()()232x y x y y x y x y −+++−−，其中2x =2y = 【答案】5xy ，5【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的混合运算，根据平方差公式，单项式乘多项式及完全平方公式将原式化简，再将x 、y 的值代入，利用平方差公式计算可得结论．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．【详解】解：()()()()232x y x y y x y x y −+++−−()22222322x y xy y x xy y =−++−−+22222322x y xy y x xy y =−++−+− 5xy =，当2x =2y =原式(()5225435=⨯+=⨯−=．27．已知x y = (1)代数式xy 的值； (2)代数式22x y xy +的值． 【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用平方差公式即可得答案；（2）由于x y +=1xy =方便运算，故可考虑将代数式化为含()x y +和xy 的项，再整体代入()x y +和xy 的值，进行代数式的求值运算．【详解】（1）xy = 32=− 1=；（2）由已知：x y + =+ =，xy = 32=− 1=，故：原式()xy x y =+=【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想．28．已知22a b ==(1)22a b +；(2)22a b ab +【答案】(1)12(2)6【分析】（1）根据已知条件式得出4,2a b ab +==，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；（2）将2ab =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：∵22a b ==，∴224a b +==，(22422ab ==−=，∴()2222242212a b a a b b =+−=−=+⨯；（2）解：∵2ab =，∴22a b ab +222=+6=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．29．先化简，再求值：2312111a a a a a ++⎛⎫−÷ ⎪++−⎝⎭，其中1a ．【答案】1a −【分析】本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的化简求值，先通分算括号内的，把除法化为乘法，化简后将a 的值代入计算即可． 【详解】解：2312111a a a a a ++⎛⎫−÷ ⎪++−⎝⎭ ()()22111a a a a a ++=÷++−()()11212a a a a a +−+=⋅++ 1a =−．当1a 时，原式11=−30．先化简，再求值：221121x x x x x −−+++，其中1x =．【答案】11x +，【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分1x 代入进行计算即可． 【详解】解：221121x x x x x −−+++ ()()()21111x x x x x +−=−++111x x x x −=−++x x 1x 1−+=+11x =+，当1x =1=．31．已知22x y ==(1)22xy +； (2)x y y x−． 【答案】(1)14(2)【分析】（1）先将22x y +变形为2()2x y xy +−，再将x ，y 的值代入，利用二次根式运算法则计算即可，（2）先将x y y x −整理为()()x y x y xy +−，再将x ，y 的值代入，利用二次根式运算法则计算即可，本题考查了二次根式的运算及平方差公式的运用，解题的关键是先将待求式子进行化简，并熟练掌握二次根式的运算法则．【详解】（1）解：∵22x y ==∴222()2x y x y xy +=+−(2(22222=−162=−14=，（2）解：∵22x y == ∴()()22x y x y x y x y y x xy xy +−−−=====题型五：分母有理化32．阅读下列简化过程：1；==== 解答下列问题：(1)(2)2021++ (3)设ab ，c a ，b ，c 的大小关系．【答案】1−(3)a ＜b ＜c【分析】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．（1）根据已知可得：两个连续正整数算术平方根的和的倒数，等于分子分母都乘以这两个连续正整数算术平方根的差，化简得这两个连续正整数算术平方根的差；（2）利用分母有理化分别化简，再合并同类二次根式得解；（3）将a 、b 、c 分别化简，比较结果即可．【详解】（1）解：原式==；（2）解：原式12022=+1；（3）解：a ==2b ==2c ==，22，33．阅读材料，回答下列问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互(0)a a =>，1)1=11互为有理化因式．（1______．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：==，1=，==2==…，（2）用上述方法判断：若a 2b =a ，b 的关系是______．（3）计算：1)2024+．【答案】（1（2）a b =−；（3）2023【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，二次根式的分母有理化是解题的关键．（1）根据有理化因式求解；（2）利用分母有理化把a 进行化简可得到a 与b 的关系； （3）先分母有理化，然后利用平方差公式计算．【详解】解：（1（2）a 与b 互为相反数．理由如下：(2a =−，a b ∴=−，故答案为：a b =−；（3）1)11)=1)=20241=−2023=．34.【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知a =，求2281a a −+的值．他是这样分析与解答的：122a ==+2a −= ()223a ∴−=，即2443a a −+=．241a a ∴−=−．()()222812412111a a a a ∴−+=−+=⨯−+=−． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题：(1)=______； (2)=______； (3)若a =23121a a −−的值．【答案】1(2)1(3)2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化（1）仿照题的方法化简即可；（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．【详解】（11=，1；（2=(2024=+12024+11=，故答案为：1；（3）解：∵2a ===，∴2a −=∴2(2)5a −=，即241a a −=， ∴2231213(4)13112a a a a −−=−−=⨯−=．35．阅读下面的材料，解决问题：1==；==2==(1)= ；= ； (2)...+ (3)...【答案】(2)9(3)12−【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．（1）根据题干提供的方法化简即可；（2）先根据题干提供的方法化简，再合并同类二次根式；（3）先根据题干提供的方法化简，再合并同类二次根式．【详解】（1==；==．（2......=+1...1=−110=−+9=（3......=+ 11...2=(112=−12=− 36)4141151⨯⨯==−以上这种化简的步骤叫做分母有理化．回答问题：(1)(2)（m 为正整数）．【答案】(2)2．【分析】此题主要考查了分母有理化，第二题是个难点，需要总结规律，再计算．（1（2）各项进行分母有理化，再合并同类项即可．【详解】（14462=−⋅⋅⋅+（242424⋅⋅⋅4()=+++⋅⋅⋅+222222=2。

2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题06 矩形的判定和性质姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．42．（2分）（2022春•朝天区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.43．（2分）（2022春•八公山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.84．（2分）（2022春•桂平市期末）如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（）A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.25．（2分）（2022春•新邵县期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD 为（）A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．无法判断6．（2分）（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC ＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．127．（2分）（2022•巨野县模拟）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.58．（2分）（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜69．（2分）（2021春•罗平县期中）下列说法正确的有几个（）①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④矩形的四个角是直角；⑤对角线互相垂直的四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦四条边相等的四边形是菱形．A．6个B．5个C．4个D．7个10．（2分）（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC 上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•岱岳区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快s后，四边ABPQ成为矩形．12．（2分）（2015春•滨湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A ﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝时，四边形APQD也为矩形．13．（2分）（2022春•本溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，点P为斜边AB 上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．14．（2分）（2022春•临汾期末）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝°．15．（2分）（2021秋•三水区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为．16．（2分）（2022春•白河县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为．17．（2分）（2022春•昭化区期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是．18．（2分）（2022春•南平期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝3，则线段GH长度的最小值是．19．（2分）（2022春•淅川县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．20．（2分）（2019秋•雁塔区校级期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022春•留坝县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．22．（6分）（2022春•曲阳县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．23．（6分）（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD 于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．求证：DE＝BN．24．（8分）（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是；（直接填序号，不用说理）（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．25．（8分）（2022春•碑林区校级期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D，（1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形：（2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC．26．（8分）（2022春•扶沟县期末）如图，▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，则①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝时，四边形CEDF是菱形．27．（9分）（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．28．（9分）（2022春•三台县期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？答案与解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．4解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．2．（2分）（2022春•朝天区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：D．3．（2分）（2022春•八公山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：D．4．（2分）（2022春•桂平市期末）如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（）A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.2解：连接PA，如图所示：∵AC＝3、AB＝4、BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，∴∠PGA＝∠PHA＝90°，∴四边形AGPH为矩形，∴AP与GH互相平分且相等，∵M是GH的中点，∴M是AP的中点，当AP⊥BC时，AP最小，此时，△ABC的面积BC×AP＝AC×AB，则AP＝＝＝2.4，∴PM＝AP＝1.2，即PM的最小值为1.2，故选：D．5．（2分）（2022春•新邵县期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD 为（）A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．无法判断解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．6．（2分）（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC ＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．12解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故选：C．7．（2分）（2022•巨野县模拟）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．8．（2分）（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜6解：如图，连接PA，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝＝13，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵M为EF中点，∴AM＝EF＝PA，当PA⊥CB时，PA＝＝＝，∴AM的最小值为，∵PA＜AC，∴PA＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6，故选：D．9．（2分）（2021春•罗平县期中）下列说法正确的有几个（）①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④矩形的四个角是直角；⑤对角线互相垂直的四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦四条边相等的四边形是菱形．A．6个B．5个C．4个D．7个解：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故①正确；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，故②正确；③对角线相等的平行四边形是矩形，故③正确；④矩形的四个角是直角，故④正确；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故⑤错误；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故⑥正确；⑦四条边相等的四边形是菱形，故⑦正确；正确的说法有6个，故选：A．10．（2分）（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC 上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（）A．B．C．D．解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•岱岳区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 5 s后，四边ABPQ成为矩形．解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，∵四边形ABPQ是矩形∴AQ＝BP∴3x＝20﹣x∴x＝5故答案为：512．（2分）（2015春•滨湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A ﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2s时，四边形APQD也为矩形．解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，则DQ＝12﹣2t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，CD∥AB，∴当AP＝DQ时，四边形APQD是矩形，即4t＝12﹣2t，解得：t＝2，∴当t＝2s时，四边形APQD是矩形；故答案为：2s．13．（2分）（2022春•本溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，点P为斜边AB 上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是6或4．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，∴∠BAC＝30°，∴AB＝8，AC＝4，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形PECD是矩形，∴CQ＝PQ，当∠APQ＝90°时，则AB⊥CP，∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CP，∴4×4＝8CP，∴CP＝2，∴AP＝＝＝6，当∠AQP＝90°时，则AQ⊥CP，又∵CQ＝QP，∴AC＝AP＝4，综上所述：AP的长为6或4，故答案为：6或4．14．（2分）（2022春•临汾期末）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝30 °．解：由题意得，CD′＝CD，∵四边形OD'DC为菱形，∴DD′＝CD，∴CD′＝DD′＝CD，∴△CDD′是等边三角形，∴∠DCD′＝60°，∴∠D′CO＝60°，∵四边形A'BCD'是个矩形，∴∠BCD′＝90°，∴∠A'CB＝30°，故答案为：30．15．（2分）（2021秋•三水区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为10 ．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故答案为：10．16．（2分）（2022春•白河县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为．解：如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，即×3×CM＝×1×2，∴CM＝，∴PQ的最小值为，故答案为：．17．（2分）（2022春•昭化区期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是4.8 ．解：如图，连接BP，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故答案为：4.8．18．（2分）（2022春•南平期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝3，则线段GH长度的最小值是．解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝5，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝5﹣＝，∴GH的最小值是，故答案为：．19．（2分）（2022春•淅川县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．20．（2分）（2019秋•雁塔区校级期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D'＝∠A'BF＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴D'E＝BF＝，∴△ECD'的面积＝D'E×CE＝××1＝；故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022春•留坝县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵FC＝AE，∴DC﹣FC＝AB﹣AE，即DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠BAF，∴∠DFA＝∠DAF，∴AD＝DF＝10，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝8，由（1）得：四边形DEBF是矩形，∴BF＝DE＝8．22．（6分）（2022春•曲阳县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．证明：（1）∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB＝180°，即∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°，∴四边形EGFH是矩形；（2）∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，∴四边形MNQP为平行四边形．如图，延长EH交CD于点O，∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，∴∠FOE＝∠FEO，∴EF＝FD，∵FH⊥EO，∴HE＝HO，∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，∴△EHP≌△OHQ（AAS），∴HP＝HQ，同理可得GM＝GN，∵MN＝PQ，∴MG＝HP，∴四边形MGHP为平行四边形，∴GH＝MP，∵MN∥EF，ME∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN＝EF，∵四边形EGFH是矩形，∴GH＝EF，∴MN＝MP，∴平行四边形MNQP为菱形．23．（6分）（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD 于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．求证：DE＝BN．证明：∵BE、BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，∴∠DBE＝×180°＝90°，∵AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，则∠DBE＝∠ADB＝∠AEB＝90°，在△ABE和△NBE中，，∴△ABE≌△NBE（ASA），∴AB＝BN，∵四边形ADBE是矩形，∴DE＝AB，∴DE＝BN．24．（8分）（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是①；（直接填序号，不用说理）（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．解：（1）连接HG交AC于点O，在矩形ABCD中，有AD∥CD，AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACB，∠AGH＝∠CHG，∵G、H分别是AD、BC的中点，∴AG＝AD，CH＝BC，∴AG＝CH，∴△AOG≌△COH（ASA），∴OG＝OH，OA＝OC，由题意得：AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形EGFH是平行四边形，故①是正确得；随着t的增加，∠EGF由大变小，不一定是直角，故②不一定正确；∵G平分AD，O平分AC，∴OG∥CD，∴OG不是AC的垂直平分线，∴EG与GF不一定相等，故③不一定正确；故答案为：①．（2）（2）如图1，连接GH，由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如图1，当四边形EGFH是矩形时，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10﹣2t＝6，∴t＝2；②如图2，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，∴t＝8；综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8；25．（8分）（2022春•碑林区校级期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D，（1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形：（2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC．（1）证明：∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC＝EC，∠ADC＝∠CED＝60°，根据折叠的性质可知：∠BCA＝∠B′CA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠BCA，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC，∴∠DAC＝∠ECA＝30°，∴∠ACD＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AC⊥AB，由折叠可知：∠B′AC＝∠BAC＝90°，∴B，A，B′三点在同一条直线上，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，由折叠可知：AB＝AB′，∴AB′∥CD，AB'＝CD，∴四边形ACDB′为平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDB′为矩形；（2）解：在Rt△ACB′中，∠CAB′＝90°，∵∠ACB′＝30°，AB′＝AB＝3，∴AC＝AB′＝3，∴S△AEC＝S△ACB′＝AC•AB′＝×3×3＝．26．（8分）（2022春•扶沟县期末）如图，▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，则①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝2 时，四边形CEDF是菱形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FCG＝∠EDG，∠CFG＝∠DEG，又CG＝DG．∴△FCG≌△EDG，∴FG＝EG．∴四边形CEDF是平行四边形．（2）①如图四边形CEDF是矩形时，在Rt△CDF中，CD＝AB＝3，∠DCF＝60°，∠CFD＝90°，∴CF＝CD＝．∵ED＝CF＝，∴AE＝AD﹣DE＝②如图四边形CEDF是菱形时，易知△CDF，△CDE都是等边三角形，∴DE＝CD＝AB＝3，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣3＝2．故答案为，2．27．（9分）（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．（1）证明：如图1中，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．∵AN＝BN＝2，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．②如图3中，延长CM、BA交于点E．由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，∴x＝，∴BC＝＝＝．28．（9分）（2022春•三台县期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4﹣2t，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t﹣4，解得t＝4，综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．。

特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)一．选择题（共4小题）1．已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（）A．9B．10C．11D．12第1题第3题第4题2．在直角坐标系中，有4（﹣1，1），B（3，1），C（2，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标不可能是（）A．（1，2）B．（﹣2，4）C．（0，﹣2）D．（6，4）3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（）A．4B．5C．2D．24．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．+1B．C．D．二．填空题（共11小题）5．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为．6．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OA＝10cm，OC在y轴上，且OC＝4cm，P为OA的中点，动点Q从C点出发，沿着CB以每秒1cm的速度运动（Q到B点时停止运动），当△OPQ是以OP为腰的等腰三角形时，点Q的运动时间t＝秒．7．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为．8．如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG在旋转过程中，DG的最大值是．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是．11．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，点D为AC中点，点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q，连接CQ，则线段CQ的最小值为．13．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，连接AE，若BC＝DE＝2，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转，在旋转过程中，当AE为最大值时，则AF的值．14．如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC 边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为（计算结果不取近似值）．15．如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是．三．解答题（共25小题）16．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点．（1）如图1，若E为AB上的一个动点，当△CGE的周长最小时，求AE的长．（2）如图2，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，求AF的长．17．如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为A（4，0），C（0，2），D为OA 的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标；（3）已知E（1，﹣1），当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．18．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（21，12），C（16，0）．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）设△PQC面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．19．四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？（2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？20．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，四边形ABCD为矩形，A（0，0），B（4，0），D（0，8），将矩形ABCD沿直线DB折叠，使点A落在点A′处．（1）求证DE＝BE；（2）求直线DE的函数表达式；（3）在y轴上作点F（0，2），连接EF，点N是x轴上一动点，直线DE上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式；（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC 全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．（1）求出直线EF的解析式．（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x 轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．（3）点M是直线EF上的一个动点，且满足OM：OF＝1：，在坐标平面内是否存在另一点N，使以O、F，M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．26．如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．27．如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA＝OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q 也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）．（1）点E的坐标为，F的坐标为；（2）当t为何值时，四边形POEF是平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．28．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A 作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．29．如图，平行四边形AOBC的顶点O是坐标原点，OB在x轴的正半轴上，点D为BC的中点，点A、D在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，已知：∠AOB＝60°．（1）求的值；（2）当OA＝8时，过点D作直线l平行于x轴，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有点Q的坐标．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰△OAB的顶点A在第一象限，底边OB在x轴的正半轴上，且AO＝AB＝10cm，OB＝12cm．动点C从点A出发，沿AO边向O点运动（不与O点重合），速度为1cm/s，运动时间为ts．过点C作CD∥OB交AB于点D．以CD为边，在点A的异侧作正方形CDEF．（1）若正方形CDEF与△OAB重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）连接OF，当t为何值时，△OCF为等腰三角形？31．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q 运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．32．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为．33．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．34．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．35．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A 出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜10.5时，若四边形PQDC是平行四边形，求出满足要求的t的值；（2）当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，求相应的t的值；（3）当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，求相应的t 的值．36．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（OA ＜OB）是方程组的解，点C是直线y＝2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD＝．（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）求直线AD的解析式；（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，矩形OBEC的顶点E坐标为（12，6），直线l：y＝x与对角线BC交于点A．（1）求出点A的坐标；（2）如果点D是线段OA上一动点，当△COD的面积为12时，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，在平行四边形中，对角线AC⊥BC，AC＝BC＝2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连结AM．（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由（2）当AP＝1时，试求出四边形PMCN的面积．39．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．40．如图，▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F．（1）当α＝时，四边形ABEF是平行四边形；（2）在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；（3）在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．答案与解析一．选择题（共4小题）1．已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（）A．9B．10C．11D．12【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．【解答】解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6根据勾股定理得：BM＝＝10，即DN+MN的最小值是10；故选：B．2．在直角坐标系中，有4（﹣1，1），B（3，1），C（2，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标不可能是（）A．（1，2）B．（﹣2，4）C．（0，﹣2）D．（6，4）【分析】根据平行四边形的性质，分别从AC，BC，AB为对角线，去分析求解即可求得答案．【解答】如图：∵四边形ABCD是平行四边形，①若以BC为对角线，则CD＝AB＝4，∴点D1的坐标为（6，4）；②若以AC为对角线，则CD＝AB＝4，∴点D2的坐标为（﹣2，4）；③若以AB为对角线，则AD∥BC，BD∥AC，且AC＝BD，AD＝BC，∴点D3的坐标为（0，﹣2），综上所述，符合条件的点D的坐标有：（6，4），（﹣2，4），（0，﹣2）．故选：A．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（）A．4B．5C．2D．2【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．【解答】解：连接DE交AC于P，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE，即DE就是PE+PB的最小值．∵∠BAD＝60°，AD＝AB＝4，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE＝＝＝2．即PB+PE的最小值为2．故选：C．4．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．+1B．C．D．【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝AB＝1，DE＝＝＝，∴OD的最大值为：+1．故选：A．二．填空题（共11小题）5．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．【分析】分PD＝OD（P在右边），PD＝OD（P在左边），OP＝OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．【解答】解：当OD＝PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝OA＝5，根据勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，则P1（8，4）；当PD＝OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，根据勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，则P2（2，4）；当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，根据勾股定理得：OQ＝3，则P3（3，4），综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）6．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OA＝10cm，OC在y轴上，且OC＝4cm，P为OA的中点，动点Q从C点出发，沿着CB以每秒1cm的速度运动（Q到B点时停止运动），当△OPQ是以OP为腰的等腰三角形时，点Q的运动时间t＝2或3或8秒．【分析】分OQ＝OP和OP＝QP两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【解答】解：∵四边形OABC为矩形，∴∠OCQ＝90°，∵OA＝10，OC＝4，P为OA的中点，∴OP＝5，当OQ＝OP＝5时，CQ＝，∴t＝3；当OP＝QP时，如图，作PH⊥BC于H，若点Q在点H左侧，∵∠POC＝∠OCH＝∠CHP＝90°，∴四边形POCH为矩形，∴PH＝OC＝4，CH＝OP＝5，∴QH＝＝，∴CQ＝CH﹣QH＝5﹣3＝2，即t＝2；若点Q在点H右侧，同理可得，CQ＝5+3＝8，即t＝8．故答案为：2，3，8．7．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为3．【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D（5，0），∴OD＝5，∵点P是边AB的一点，∴OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴P A＝＝4，∴PB＝3故答案为：3．8．如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为（2，1.5）．【分析】先根据四边形ONEF是矩形，由矩形的性质可知点M是对角线OE的中点，根据线段的中点坐标公式即可得出M点的坐标．【解答】解：∵四边形ONEF是矩形，∴OM＝ME，即点M是对角线OE的中点，∵O（0，0），E（4，3），∴M（，），即（2，1.5）．故答案为：（2，1.5）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG在旋转过程中，DG的最大值是6．【分析】解直角三角形求出AB、BC，再求出CD，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝AC÷cos30°＝4÷＝8，BC＝AC•tan30°＝4×＝4，∵BC的中点为D，∴CD＝BC＝×4＝2，连接CG，∵△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，∴CG＝EF＝AB＝×8＝4，由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，∴D、C、G三点共线时DG有最大值，此时DG＝CD+CG＝2+4＝6．故答案为：6．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是3．【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．【解答】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．11．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是3．【分析】以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x，从而得到点C（x+y，y+2﹣x），最后依据两点间的距离公式可求得AC＝，最后，依据当y ＝1时，AC有最大值求解即可．【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．∵AB＝4，O为AB的中点，∴A（﹣2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠FPB．由旋转的性质可知：PC＝PB．在△ECP和△FPB中，，∴△ECP≌△FPB．∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．∴C（x+y，y+2﹣x）．∵AB＝4，O为AB的中点，∴AC＝＝．∵x2+y2＝1，∴AC＝．∵﹣1≤y≤1，∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．故答案为：3．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，点D为AC中点，点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q，连接CQ，则线段CQ的最小值为3．【分析】过Q作QE⊥AC于E，易证△DAP≌△QED，可得QE＝AD＝3，再根据当AP ＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，即可得出线段CQ的最小值为3．【解答】解：如图所示，过Q作QE⊥AC于E，则∠A＝∠QED＝90°，由旋转可得，DP＝QD，∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠EQD，在△DAP和△QED中，，∴△DAP≌△QED（AAS），∴QE＝AD＝AC＝3，∴点Q的运动轨迹是平行AC的直线，当点E与点C重合，CQ的值最小，CQ的最小值为3，故答案为：3．13．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，连接AE，若BC＝DE＝2，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转，在旋转过程中，当AE为最大值时，则AF的值．【分析】根据旋转可得，当A，D，E三点在一条直线上，且点D在线段AE上时，AE 的长有最大值，在Rt△AEF中根据勾股定理求得AF的长．【解答】解：如图，当A，D，E三点在一条直线上，且点D在线段AE上时，AE的长最大，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，BC＝2，∴AD＝BC＝1，此时，AE＝AD+DE＝1+2＝3，∵正方形DEFG中，∠E＝90°，∴在Rt△AEF中，AF＝＝＝．故答案为：．14．如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC 边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2（计算结果不取近似值）．【分析】首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段AT长度的最大值与最小值的和．【解答】解：当点M与点A重合时，AT取得最大值，由轴对称可知，AT＝AB＝6；当点N与点C重合时，AT取得最小值，过点C作CD⊥l于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝6，由轴对称可知，CT＝BC＝8，在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8，则DT＝＝＝2，∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2，综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2．故答案为：14﹣2．15．如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是8；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，因为菱形ABCD中，∠ABC＝60°，可知△ABC 为等边三角形，AC＝AB＝8，根据菱形性质求出AO长，OB＝OD，AC⊥BD，根据勾股定理求出BO，即可求出BD；（2）延长FP交BC于点M，FM⊥BC．根据角平分线的性质求得PM＝PE，由菱形的面积求得FM的长度，所以要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小，求出此时PB的长即可．【解答】解：（1）连接AC，交BD与点O，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝8，根据菱形性质得：AO＝CO＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，根据勾股定理得：BD＝2OB＝2×＝8；（2）延长FP交BC于点M，则FM⊥BC．∵PM＝PE，∴PE+PF＝PF+PM＝FM，又∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC•FM，∴×8×8＝8•FM，即FM＝4，∴要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小．此时PB＝BO＝DO＝BD＝4．故答案为：8；4．三．解答题（共25小题）16．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点．（1）如图1，若E为AB上的一个动点，当△CGE的周长最小时，求AE的长．（2）如图2，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，求AF的长．【分析】（1）如图，作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使△CGE的周长最小．接着利用△MAE∽△MCD即可求出AE的长度；（2）如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足题目要求，最后利用相似三角形的性质即可求出AF的长．【解答】解：（1）∵E为AB上的一个动点，∴作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使△CGE的周长最小；∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝＝2；（2）∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝，∴AF＝4+＝．17．如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为A（4，0），C（0，2），D为OA 的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标；（3）已知E（1，﹣1），当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．【分析】（1）由A（4，0），C（0，2），D为OA的中点，得到D点坐标为（2，0），则OC＝OD，而点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合），根据角平分线的性质有∠COP＝∠DOP＝45°，再根据三角形全等的判定方法易得△POC≌△POD，则PC＝PD；（2）过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于N，交BC于M点，OP交BC于H点，易得△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，△PHB是也等腰直角三角形，得到PM垂直平分BH，而CH＝CO＝2，则BH＝2，得到PM＝BH＝1，于是有ON＝PN＝1+2＝3，根据坐标的表示方法即可得到P点坐标；（3）连CE交∠AOC的平分线于P点，连PD、CD，ED，由OC＝OD，OP平分直角AOC得到OP垂直平分CD，则PC＝PD，得到PD+PE＝PC+PE＝CE，根据两点之间线段确定此时△PDE的周长最小，然后利用待定系数法求出直线CE的解析式为y＝﹣3x+2，根据P点的横纵坐标相等即可得到P点坐标为（，），再利用勾股定理分别计算出CE＝＝，DE＝＝，即可得到此时△PDE的周长．【解答】（1）证明：∵A（4，0），C（0，2），D为OA的中点，∴D点坐标为（2，0），∴OC＝OD，又∵点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合），∴∠COP＝∠DOP＝45°，∴△POC≌△POD，∴PC＝PD，即无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）解：过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于N，交BC于M 点，OP交BC于H点，如图，∵OP平分∠AOC，∴∠COP＝∠NOP＝45°，∴△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，∴△PHB是等腰直角三角形，∴PM垂直平分BH，∴CH＝CO＝2，∴BH＝4﹣2＝2，∴PM＝BH＝1，∴ON＝PN＝1+2＝3，∴P点坐标为（3，3）；（3）解：连CE交∠AOC的平分线于P点，连PD、CD，ED，如图，∵OC＝OD，OP平分直角AOC，∴OP垂直平分CD，∴PC＝PD，∴PD+PE＝PC+PE＝CE，此时△PDE的周长最小，设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0），把C（0，2）、E（1，﹣1）分别代入得，b＝2，k+b＝﹣1，解得k＝﹣3，b＝2，∴直线CE的解析式为y＝﹣3x+2，而P点的横纵坐标相等，设P（a，a），把P点坐标代入y＝﹣3x+2得，a＝﹣3a+2，解得a＝，∴P点坐标为（，），∵CE＝＝，DE＝＝，∴此时△PDE的周长＝+．。

压轴题精选令狐文艳1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒． ⑴求直线AB 的解析式；⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数x y 1 的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(b b R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．3、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 坐标为(4，0)，顶点G 坐标为(0，2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在轴的点Ny xO P Q AB处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A ．（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似，并说明理由；（2）求过点A 的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式；（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，90OPM MQN ∠=∠=。

压轴题精选之老阳三干创作时间：二O 二一年七月二十九日1、如图,在平面直角坐标系内,已知点A （0,6）、点B （8,0）,动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．⑴求直线AB 的解析式； ⑵当t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似？2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题,但仅用尺规不成能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的办法（如图）：将给定的锐角∠A OB 置于直角坐标系中,边OB 在x 轴上、边OA 与函数x y 1 的图象交于点P,以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．辨别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线,两直线相交于点M ,连接OM 得到∠MOB,则∠MOB=31∠AOB．要明白帕普斯的办法,请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ,求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式暗示）．（2）辨别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线,两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上,并据此证明∠MOB=31∠AOB．3、（14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OEFG 的顶点E 坐标为(4,0),顶点G 坐标为(0,2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转,使点F 落在轴的点N 处,得到矩形OMNP,OM 与GF交于点A ．y xO P QA B（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似,并说明理由；（2）求过点A 的正比例函数解析式；（3）设（2）中的正比例函数图象交EF 于点B,求直线AB 的解析式；（4）请探索：求出的正比例函数的图象,是否经过矩形OEFG 的对称中心,并说明理由．4、如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ,且与x轴的正半轴相交于点A ,点P 、点Q 在线段AB 上,点M 、N 在线段AO 上,且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形,90OPM MQN ∠=∠=.试求：（1）AN ∶AM 的值；（2）一次函数y kx b =+的图象表达式.5、（本题满分10分）当x=6时,正比例函数y=x k 和一次函数y=-x －7的值相等.(1)求正比例函数的解析式；(2)若等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上,顶点C 、D 在这个正比例函数的图象上,且BC∥AD∥y 轴,A 、B 两点的横坐标辨别是a 和a+2(a>0),求a 的值.6、 如图,一人工湖的对岸有一条笔挺的小路,湖上原有一座小桥与小路垂直相通,现小桥有一部分已断裂,另一部分完好. 站在完好的桥头A 测得路边的小树D 在它的北偏西30°,前进32米到断口B 处,又测得小树D 在它的北偏西45°,请计算小桥断裂部分的长(结果用根号暗示).(7分)7、(本题6分)如图,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,若DB AC CD ⋅=2. 求∠APB 的度数．8、如图,ABM ∠为直角,点C 为线段BA 的中点,点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合）,连结AD ,作BE AD ⊥,垂足为E ,连结CE ,过点E 作EF CE ⊥,交BD 于F ．（1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么规模内变更时,四边形ACFE 是梯形,并说明理由；（3）A ∠在什么规模内变更时,线段DE 上存在点G ,满足条件14DG DA =,并说明理由． 9、如图,四边形ABCD 中,AD ＝CD,∠DAB＝∠ACB＝90°,过点D 作DE⊥A C,垂足为F,DE 与AB 相交于点E ．（1）求证：AB·AF＝CB·CD；（2）已知AB ＝15 cm,BC ＝9 cm,P 是射线DE 上的动点．设DP＝x cm （0x >）,四边形BCDP 的面积为y cm2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时,△PBC 的周长最小,并求出此时y 的值．10、如图1,在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,F 是AD 延长线上一点,且DF ＝BE ． ⑴ 求证：CE ＝CF ；（第7题图） AB C D PACDF P · ABCD FE M⑵ 在图1中,若G在AD上,且∠GCE＝45°,则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？⑶ 运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识,完成下题：如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC（BC＞AD）,∠B＝90°,AB,且∠DCE＝45°,BE＝4,求DE的长．1l的解析式为63+=xy,直线1l与x轴、y轴辨别2l经过B、C两点,点C的坐标为（8,0）,又A向点C移动,点Q在直线2l从点C向点B 移动.点P、Q同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位长度,设移动时间为t秒（101<<t）.（1）求直线2l的解析式.（2）设△PCQ的面积为S,请求出S关于t的函数关系式.（3）试探究：当t为何值时,△PCQ为等腰三角形？12、已知：如图①,在Rt ACB△中,90C∠=,4cmAC=,3cmBC=,点P 由B出发沿BA标的目的向点A匀速运动,速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC标的目的向点C匀速运动,速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为(s)t（02t<<）,解答下列问题：（1）当t为何值时,PQ BC∥？（2）设AQP△的面积为y（2cm）,求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt ACB△的周长和面积同时平分？若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由；（4）如图②,连接PC ,并把PQC △沿QC 翻折,得到四边形PQP C ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形PQP C '为菱形？若存在,求出此时13(m 为常数)）．（1（2）如图,过点A 作直线AC 与函数y 点B,与x 轴交于点C,且AB ＝2BC,求点C 的坐标． （3）求△AOB 的面积.（9分）14、等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,P 为BC 的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P,三角板绕P 点旋转．（1）如图１,当三角板的两边辨别交AB 、AC 于点E 、F 时．说明：△BPE∽△CFP；（2）操纵：将三角板绕点P 旋转到图２情形时,三角板的两边辨别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论） ② 探究２：连结EF,△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由；(3) 将三角板绕点P 旋转的过程中,三角板的两边所在的直线辨别与直线AB 、AC 于点E 、F ．① △PEF 是否能成为等腰三角形？若能,求出△PEF 为等腰三角形时∠BPE 的度数；若不克不及,请说明理由．② 设BC=8,EF=m,△EP F 的面积为S,试用m 的代数式暗示S ．A 图①F EBB'C'15、在△ABC连结EC,取（1）若点D 证明：BM=DM 且BM⊥DM； （2）若将图１中的△ADE 绕点A 逆时针旋转45°的角,如图２,那么(1)中的结论是否成立？如果成立,请赐与证明；如果不成立,请举出反例；（3）若将图１中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角,如图３,那么(１)中的结论是否仍成立？如果成立,请赐与证明；如果不成立,请举出反例．16、如图,点O 是边为2的正方形ABCD 的中心,点E 从A 点开始沿AD 边运动,点F 从D 点开始沿AD 边运动,并且AE=DE.（1） 求正方形ABCD 的对角线AC 的长； （2） 若点E 、F 同时运动,连结OE 、OF,请你探究：四边形DEOF 的面积S 与正方形ABCD 的面积关系,并求出四边形DEOF 的面积S ；（3） 在（2）的基础上,设AE=x,△EOF 的面积为y,求y 与x 之间的函数关系式,写出自变量x 的取值规模,并利用图象说明当x在什么规模时,y 58. 图１ Ｐ Ｂ Ｃ 图２ Ｐ Ｂ ＣA CB D E M 图２ A BC D EM 图１ M A BC ED 图３17、（本题满分10分）如图,Rt△ABC 在中,∠A＝90°,AB＝6,AC ＝8,D,E 辨别是边AB,AC 的中点,点P 从点D 出发沿DE 标的目的运动,过点P 作PQ⊥BC 于Q,过点Q 作QR∥BA 交AC 于R,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动．设BQ ＝x,QR ＝y ．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值规模）；（3）是否存在点P,使△PQR 为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由．18、（本题满分10分）如图,Rt△AB C 是由Rt△ABC 绕点A 顺时针旋转得到的,连结CC 交斜边于点E,CC 的延长线交BB 于点F ．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=α,∠CAC =β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE 与△FBE 是全等三角形,并说明理由．19、（本题满分10分）如图,直角梯形ABCDA B C D E R PH Q 第24题图中,AB∥DC,90DAB ∠=︒,24AD DC ==,6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度,从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度,从点C 沿折线C-D-A 向点A 运动．当点M 到达点B 时,两点同时停止运动．过点M 作直线l∥AD,与线段CD 的交点为E,与折线A-C-B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．（1）当0.5t =时,求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时,如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形,求t 的值；（3）当t ＞2时,连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ RQ是否为定值,若是,试求这个定值；若不是,请说明理由．20、（本题满分10分）如图,在Rt ABC ∆中,AD 是斜边BC 上的高,ABE ACF ∆∆、是等边三角形． （1）试说明： ABD ∆∽CAD ∆；（2）连接DE 、DF 、EF,判断DEF ∆的形状,并说明理由．21、（本题满分10分）如图,一次函数y ax b =+的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点,与正比例函数k y x=的图象相交于C 、D 两点,辨别过C,D 两点作y 轴、x 轴的垂线,垂足为E 、F,连接CF 、DE ．（1）△CEF 与△DEF 的面积相等吗？为什么？（2）试说明：△AOB∽△FOE． 22、（本题满分14分）阅读：如图1三角板ABC 和DEF 叠放在一起,使三角板DEF 板ABC 的斜边中点O 重合,把三角板ABC A B C D （备用图1） AB C D （备用图2） Q A B C D l M PE y小朋友,原本你用10元钱买一盒饼干是多的,但要再买一袋牛奶就不敷 了！今天是儿童节,我给你买的饼干打9折,两样东西请拿好！还有找你的8角钱. 阿姨,我买一盒 饼干和一袋牛奶 （递上10元钱）.点D 旋转,两边辨别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q,易说明△APD∽△CDQ．猜测（1）：如图2,将含30°的三角板DEF （其中∠EDF=30°）的锐角顶点D 与等腰三角形ABC （其中∠ABC=120°）的底边中点O 重合,两边辨别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ．写出图中的相似三角形（直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变,将三角板DEF 旋转至两边辨别与线段AB 的延长线、边BC 相交于点P 、Q ．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．连结PQ,△APD 与△DPQ 是否相似？为什么?探究（3）：按照（1）（2）的解答过程,你能将两三角板改成一个更加一般的条件,使得（1）（2）中所有结论仍然成立吗？请写出这两个三角形需满足的条件．探究（4）：在（2）的条件下,若AC = 4,CQ = x,AP = y,请你求出y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值规模．23、 (本题满分8分)仔细不雅察下图,认真阅读对话：按照对话的内容,试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？ 24、（本题12分）、如图,已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF⊥BD 交BC 于F,连接DF,G 为DF 中点,连接EG,CG ．（1）求证：EG=CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由；（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问（1）Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｃ Ｑ Ｆ Ｄ(O) 图1 图2 Ｄ(O)B C F E P Q A图3 AC B什么结论？（均不要求证明）25、(本题满分10分) 如图1,在同一平面内,摆放在一起,A 若∆ABC 固定不动,∆AFG 绕点A 旋转,AF 、AG 与边BC E(点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE=m,CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.（2）求m 与n 的函数关系式,直接写出自变量n 的取值规模.（3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴,BC 边上的高所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图2).在边BC 上找一点D,使BD=CE,求出D 点的坐标,并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC ,AD＝2,AB的速度、沿B→A→D→C 标的目出发,以2cm/s 的速度、沿C→D→AQ 两点同时出发,当其中一点到达目t 秒．,是否存在这样的t,使得直线PQ 将,请求出t 的值,并判断此时PQ 是否,请说明理由；t,使得以P 、D 、Q 为顶点的三A E第24题图③角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在,请求出所有合适条件的t 的值；若不存在,请说明理由．27、（本题满分8分）如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 辨别在BC 和CD 上,AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O,延长OC 至点M,使OM = OA,连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．28、（本题满分12分）如图,一条直线与正比例函数ky x =的图象交于A （1,4）,B （4,n ）两点,与x 轴交于D 点,AC⊥x轴,垂足为C ． （1）如图甲,①求正比例函数的关系式；②求n 的值及D 点坐标；（2）如图乙,若点E 在线段AD 上运动,连接CE,作∠CEF=45°,EF 交AC 于F 点．①试说明△CDE∽△EAF；②当△ECF 为等腰三角形时,求F 点坐标.29已知△)1(>k k ,a 、的三边长； 1a c =111a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 都是正整数,并加以说明；ADB EFOCM⑶若1a b =,1b c =,是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ？请说明理由.30、（本题满分10分）如图,已知△ABC 中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D 为AB 的中点.(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.①若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等,经过1秒后,△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP 全等？⑵若点Q 以②中运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿△ABC 三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？31、（本题12分）如图, 四边形ABDC中,∠ABD=∠BCD=Rt∠,AB=AC,AE⊥BC 于点F,交BD 于点 E.且BD=15,CD=9.点P 从点A 出发沿射线AE 标的目的运动,过点P 作PQ⊥AB 于Q,连接FQ,设AP=x,(x>0). (1) 求证：BC·BE=AC·CD(2) 设四边形ACDP 的面积为y, 求y 关于x 的函数解析式.(3) 是否存在一点P,使△PQF 是以PF 为腰的等腰三角形？若存在,请求出所有满QP FCA足要求的x 的值；若不存在,请说明理由． 32、(本题满分11分)如图,在直角梯形OABC 中,已知B 、C 两点的坐标辨别为B(8,6)、C(10,0),动点M 由原点O 出发沿OB 标的目的匀速运动,速度为1单位／秒；同时,线段DE 由CB 出发沿BA 标的目的匀速运动,速度为1单位／秒,交OB 于点N,连接DM,过点M 作MH⊥AB 于H,设运动时间为t(s)(0＜t ＜8)．(1)试说明: △BDN∽△OCB ； (2)试用t 的代数式暗示MH 的长；(3) 当t 为何值时,以B 、D 、M 为顶点的三角形与△OAB相似? (4) 设△DMN 的面积为y,求y 与t 之间的函数关系式．33、（本题满分12分） 如图,在锐角ABC △中,9BC =,AH BC ⊥于点H ,且6AH =,点D 为AB 边上的任意一点,过点D 作DE//BC,交AC 于点E ．设ADE △的高AF 为(06)x x <<,以DE 为折线将ADE △翻折,所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y （点A 关于DE 的对称点A '落在AH 所在的直线上）．（1）当x=1时,y=____________（2）求出当03x <≤时,y 与x 的函数关系式；（3）求出36x <<时,y 与x 的函数关系式.34、（2009年济南）已知：如图,正比例函数y ax =的图象与正比例AEFDA第32题图H函数ky x=的图象交于点()32A ，．（1）试确定上述正比例函数和正比例函数的表达式；（2）按照图象回答,在第一象限内,当x 取何值时,正比例函数的值大于正比例函数的值？（3）()M m n ，是正比例函数图象上的一动点,其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴,交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ,交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时,请判断线段BM 与DM的大小关系,并说明理由．35、已知正方形ABCD 中,∠EAF=45°,（１）如图①,求证：EF=BE+DF ．（２）如图②,连接ＢＤ,交ＡＥ、ＡＦ于Ｍ、Ｎ两点,求证△ＡＭＮ与△ＡＦＥ相似．36、（2010•河北）在图1至图3中,直线MN 与线段AB 相交于点O,∠1=∠2=45°．（1）如图1,若AO=OB,请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2,其中AO=OB ．求证：AC=BD,AC⊥BD；（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3,求的值． 37、（2010•温州）如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B 作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC 标的目的以每yxOo ADMCBABC D F E图②图①A B D FＭ Ｎ秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C出发沿射线AC标的目的以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF 上AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时,求t的值；（3）以DH所在直线为对称轴,线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．①当t＞时,连接C′C,设四边形ACC′A′的面积为S,求S关于t 的函数关系式；②当线段A′C′与射线BB,有公共点时,求t的取值规模（写出答案即可）．时间：二O二一年七月二十九日。

2021年八下期中考试金牌压轴题训练（三）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、单选题1．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，下列结论中：∠若∠DCE=35°，∠ACB=145°；∠∠ACB+∠DCE=180°；∠当三角尺BCE的边与AD平行时∠ACE=30°或120°；∠当三角尺BCE的边与AD垂直时∠ACE=30°或75°或120°，正确个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】根据余角的定义、补角的定义和角的和差可判断①①；画出对应图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理可判断①；画出对应图形，结合垂直的定义和三角形内角和定理可判断①．【详解】解：①①ECB=90°，①DCE=35°，①①DCB=90°-35°=55°，①①ACB=①ACD+①DCB=90°+55°=145°，故①正确；①①ACD+①BCE=①ACD+①BCD+①DCE=180°，①①ACB+①DCE=180°，故①正确；当AD//BC时，如图所示：①AD//BC，①①DCB=①D=30°，①①ACE+①ECD=①ECD+①BCD=90°，①①ACE=①DCB=30°；当AD//CE时，如图所示：①AD//CE；①①DCE=①D=30°，①①ACE=①ACD+①DCE=120°,当BE//AD时，延长AC交BE于F，如图所示：①①CFB=①A=60°，①①CFE=120°，①①E=45°，①①ECF=180°-①E-①CFE=15°，①①ACE=165°，综上，当三角尺BCE的边与AD平行时，①ACE=30°或120°或165°，故①错误；当CE①AD时，如下图①CE①AD，①①A+①ACE=90°，①①A=60°，①①ACE=30°，当EB①CD时，如下图，①EB①CD，①①E+①EFD=90°，①①AFC=①EFD=①E=45°，①①ACE=180°-①A-①AFC=75°，当BC①AD时，如下图，①BC①AD，BC①CE，①AD//CE，①①DCE=①ADC=30°，①①ACE=①ACD+①DCE=120°．综上所述当三角尺BCE的边与AD垂直时①ACE=30°或75°或120°，①正确．故正确的有3个，故选：B．【点睛】本题考查三角板中角度的计算．主要考查平行线的性质、三角形内角和定理、垂直的定义等．三角板是我们生活中常用的工具，可借助实物拼凑得出图形，再结合图形分析，注意分情况讨论．2．若关于x的不等式组52(+)11231xx a⎧>⎪⎨⎪-<⎩无解，且关于y的分式方程34122y ay y++=--有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．8B．10C．16D．18【答案】C先由不等式组无解，求解8a ≤，再求解分式方程的解22a y +=，由方程的解为非负整数，求解2a ≥-且2a ≠，再逐一确定a 的值，从而可得答案．【详解】 解：52+11{231x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭-<①②由①得：2511x +>，①3x >，由①得：31x a <+， ①13x a <+， ①关于x 的不等式组52+11{231x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭-<无解， ①1+33a ≤， ①19a +≤，①8a ≤， ①34122y a y y++=--， ①()342y a y -+=-， ①22a y +=， ①20y -≠， ①222a +≠， ①2a ≠，①关于y 的分式方程34122y a y y++=--有非负整数解， ①202a +≥， ①2a ≥-，①22a +为整数， ①2a =-或0a =或4a =或6a =或8a =．①2046816-++++=．故选：C ．【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y ≠2这一隐含条件．3．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为α（090α︒<<︒），若24α=°，则1∠的度数为（ ）A ．116︒B ．114︒C ．112︒D ．66︒【答案】B【分析】 根据矩形的性质得到①BAD=①B=①D=90，由旋转得到①DA D =24︒，①D =①D=90，求出①BA D =66︒，即可求出答案.【详解】①四边形ABCD 是矩形，①①BAD=①B=①D=90，①旋转角为α，24α=°，①①DA D =24︒，①①BA D =66︒，由旋转得①D =①D=90，①①2=360909066114---=，①①1=①2=114︒，故选：B.【点睛】此题考查矩形的性质，旋转的性质，四边形的内角和是360度，对顶角相等的性质，解题中注意综合运用各知识点.4．若关于x 的一元一次不等式组1034341x x m x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-<-⎩有且仅有3个整数解，且关于y 的分式方程57233my y y +-=--有解，则满足条件的所有整数m 的积为（ ） A ．15B ．48-C ．60-D ．120 【答案】A【分析】先解不等式①得： x ＜3, 再解①得：x ＞1,4m +结合不等式组有且仅有3个整数解，可得114m +-≤＜0, 可得5m -≤＜1,- 由m 为整数，5m =-或4m =-或3m =-或2,m =- 再解57233my y y +-=--，可得()26,m y +=- 由原分式方程有解，可得20,3,m y +≠≠ 从而可得2,4,m m ≠-≠- 从而可得答案．【详解】 解：1034341x x m x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-<-⎩①② 由①得：310x x -+＞4,2x ∴-＞6,- x ＜3,由①得：4x ＞1,m +x ＞1,4m + 又因为不等式组有且仅有3个整数解， 114m +∴-≤＜0, 41m ∴-≤+＜0,5m ∴-≤＜1,-由m 为整数，5m 或4m =-或3m =-或2,m =- 57233my y y +-=--， ()5237,my y ∴+--=-()26,m y ∴+=-由原分式方程有解，20,3,m y ∴+≠≠62,,2m y m -∴≠-=+ 63,2m -∴≠+ 366,m ∴+≠-4,m ∴≠-综上：5m =-或3,m =-()()3515,∴-⨯-=故选：.A【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解问题，分式方程有解问题，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题5．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论∠DCF ECF ∠=∠；∠EF CF =；∠3DFE AEF ∠=∠；∠2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）【答案】①①①【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN①BC 交CD 于N ，FK①AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN①BC 交CD 于N ，FK①AB 交BC 于K ． ①四边形ABCD 是平行四边形，①AB①CH ，①①A=①FDH ，在①AFE 和①DFH 中，A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AFE①①DFH ，①EF=FH ，①CE①AB ，AB①CH ，①CE①CD ，①①ECH=90°，①CF=EF=FH ，故①正确，①DF=CD=AF ，①①DFC=①DCF=①FCB ，①①FCB ＞①ECF ，①①DCF ＞①ECF ，故①错误，①FK①AB，FD①CK，①四边形DFKC是平行四边形，①AD=2CD，F是AD中点，①DF=CD，①四边形DFKC是菱形，①①DFC=①KFC，①AE①FK，①①AEF=①EFK，①FE=FC，FK①EC，①①EFK=①KFC，①①DFE=3①AEF，故①正确，①四边形EBCN是平行四边形，①S①BEC=S①ENC，①S①EHC=2S①EFC，S①EHC＞S①ENC，①S①BEC＜2S①CEF，故①正确，故正确的有①①①．故答案为①①①．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。