问题1：向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b= (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.
思路分析：与a平行的单位向量e=±
∴cosθ=－ ，θ=π－arccos .即x与y的夹角是π－arccos
点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设 =b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得 = － =2a－b.由余弦定理易得| |= ，即|x|= ，同理可得|y|= .
解：（１）由已知得 ,又 ，∴
∵CH=HA∴
即
（2）设l方程为y=k(x-2)，代入曲线E得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0
设N (x1，y1)，M (x2，y2)，则x1+x2= ，x1x2=
∵ ，∴ 四边形OMPN是平行四边形.
若四边形OMPN是矩形，则
∴x1x2+y1y2=0∴ 得
注意λ＞1，消去x1、y1和y2得 ，因F（2 , 0）, M（x1,－y1），
故
而 .所以 .
点评：运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多.
演变6：已知椭圆方程 ，过B（－1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x＝－4于E点，B、E分 的比分λ1、λ2．求证：λ1＋λ2＝0
7、正弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
8、余弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
9、定比分点坐标公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（其中 ＝＿＿＿＿＿＿）.
10、平移公式是____________________.
【重点 难点 热点】
点拨与提示：利用 和 ，将λ1和λ2用C、D两点的坐标表示出来，再相加可得结论.
例6．设p＞0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2＝2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
思路分析：要证点O在圆H上，只要证OA⊥OB，可转化为向量运算 · ＝0，用向量运算的方法证明．（见图1）
方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知
，故填( ,- )或( ,- )
方法二与向量b= (-3,4)平行的单位向量是± (-3,4)，故可得a＝±(- , )，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a－(3,－1),便可得结果.
点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.
∴ 直线l为：y=
点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.
演变8：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)，若点C满足 ，其中 ， ∈R且 + =1，则点C的轨迹方程为（）.
A．3x＋2y－11=0B．(x－1)2＋(y－2)2=5
C．2x－y=0D．x＋2y－5=0
例5：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点F（c, 0）(c＞0)的准线l与x轴相交于点A, 过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(Fra Baidu bibliotek)求椭圆的方程及离心率；
(Ⅱ)设 ，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：
解：(Ⅰ)椭圆方程为 ,离心率
(Ⅱ)证明：设P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0）， 由已知得方程组： ；
(2)由(1)知：k＝f(t)＝ t3－ t∴kˊ＝fˊ(t)＝ t3－ ,
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点评：第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.
点拨与提示：本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富.
专题小结
1、要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
2、向量与函数、不等式的综合问题，解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.
例3．已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).
(1)若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；
(2)根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.
思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？
由(1)得f (x)＝ ∵ ＜ ，∴m＝－ ，n＝1.
点评：①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）
解：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky＝x－2p
又设A（xA,yA）,B(xB,yB),则其坐标满足
消去x，得y2－2pky－4p2＝0
由此得
xA＋xB＝4p＋k (yA＋yB)＝(4＋2k2)p，xAxB＝ ＝4P2
因此 · ＝xAxB＋yAyB＝0，即OA⊥OB，故O必在圆H的圆周上.
a－b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
cos<a, b>=____________=__________________.
a∥b ＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥b ＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿.
问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用
当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.
解：（1）法一：由题意知x＝( , ),
y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x·y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ),∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x·y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
例7：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，－2）且 (λ∈R).（Ⅰ）求点C(x，y)的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设 ，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4× +1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6× +1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2=7× －2－3=－ ，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－ = × cosθ，
＝2cos2x＋ sin2x＝1＋2sin(2x＋ )
由1＋2sin(2x＋ )=1－ ，得sin(2x＋ )＝－ .
∵－ ≤x≤ ,∴－ ≤2x＋ ≤ ,
∴2x＋ =－ ,即x＝－ .
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.
演变5：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，
（1）求证：a+b与a-b互相垂直；
（2）若ka+b与a-kb的模大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α
问题4：平面向量与解析几何的综合运用
由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，因此在向量与解析几何交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.
（1）若f(x)＝1－ 且x∈[－ ， ]，求x；
（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) ( ﹤ )平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.
思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，
解：(1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx, sin2x)
演变3：已知平面向量 ＝( ，－1)， ＝( ， )，若存在不为零的实数k和角α，使向量 ＝ ＋(sinα－3) , ＝－k ＋(sinα) ,且 ⊥ ，试求实数k的取值范围.
点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.
演变4：已知向量 ，若正数k和t使得向量
垂直，求k的最小值.
点拨与提示：（1）利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.（2）利用均值不等式求最值.
问题3：平面向量与三角函数的综合运用
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.
例4．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx, 1),b＝(cosx, sin2x),x∈R.
又由题意圆心H（xH,yH）是AB的中点，
故
由前已证，OH应是圆H的半径，且 ＝ ＝
从而当k＝0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.
此时，直线AB的方程为：x＝2p.
点评：运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果.
演变7：给定抛物线C:y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.设l的斜率为1，求 与 夹角的大小；
2007届高考数学第二轮专题讲座专题七平面向量及其运用
【考点聚焦】
考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.
考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.
考点3：解斜三角形.
考点4：线段的定比分点、平移公式.
考点5：向量的运用.
【自我检测】
1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量；
2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）；
3、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量；
4、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.
5、向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿.
6、设a＝（x1,y1），b＝（x2,y2）， R
a＋b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
例2：已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°,x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？
思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα= .
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
