第9章 弯曲刚度问题

q 正确答案是（ 正确答案是（ ） O w a l x
材料力学
课堂练习
（Materials of Mechanics）
3、用积分法计算图示梁的挠度，其边界条件和连续条件 、用积分法计算图示梁的挠度， 为：
(A) (B) (C) (D)
x = 0, y1 = 0; x = 3a, y 2 = 0; x = 2a, y1 = y 2 , ′ y1 = y ′ 2
′ (B) x = 0 , y1 = 0 ; x = a + l , y′ = 0 ; x = a , y1 = y2 , y1 = y′ 2 2
(C) x = 0 , y1 = 0 ; x = a + l , y2 = 0 , y′ = 0 ; x = a , y1 = y2 2
′ (D) x = 0 , y1 = 0 ; x = a + l , y2 = 0 , y′ = 0 ; x = a , y1 = y′ 2 2
m B
材料力学
举例 应 用
F A C B yc1 A
（Materials of Mechanics）
C yc 2
m B
F：θA1、θB1、yc1
θA1= -θB1= FL2/16EI
wc1 = FL3/48EI
m：θA2、θB2、yc2 ： θA2= mL/6EI
θB2= - mL/3EI
wc2 = mL2/16EI
材料力学
举例 应 用
（Materials of Mechanics）
和中点挠度。 例2：如图所示梁，求：θA、θB和中点挠度。 ：如图所示梁，
F A
L/2
m
L/2
C
B
和力偶m单独作用的情况 解：将梁分为力F和力偶 单独作用的情况： 将梁分为力 和力偶 单独作用的情况：
F A C B
Wc1
A
C
Wc 2
材料力学
课堂练习
（Materials of Mechanics）
2、用积分法计算图示梁的挠度，其边界条件和连续条件为： 用积分法计算图示梁的挠度，其边界条件和连续条件为： 用积分法计算图示梁的挠度
′ (A) x = 0 , y1 = 0 ; x = a + l , y2 = 0 ; x = a , y1 = y2 , y1 = y′ 2
•由于小变形： yC= yB 由于小变形： 由于小变形
+ θ B× a
•yc= qa4/8EI +qa4/6EI= 7qa4/24EI （↓） ）
材料力学
举例 应 用
截面挠度和转角。 例4：求C截面挠度和转角。 ： 截面挠度和转角 q
A B C
（Materials of Mechanics）
a a 解：原图可以看成以下两种情况的叠加 q
⑤ 求B截面转角和位 截面转角和位 移，将 x=L 代入
θB
FL 2 = ( 顺） 2 EI
FL 3 yB = (↓ ) 3 EI
材料力学
思 考
（Materials of Mechanics）
试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲 线方程和转角方程。积分常数 和 等于零吗 等于零吗？ 线方程和转角方程。积分常数C和D等于零吗例 应 用
A a B a C
（Materials of Mechanics）
yB
θB
yc
2、 把 梁BC看作梁 的延伸部分，由于 段未受 、 看作梁AB的延伸部分 看作梁 的延伸部分，由于BC段未受 力的作用，所以这段梁虽有位移，但无变形， 力的作用，所以这段梁虽有位移，但无变形，仍为 直线。 直线。
θ
y
B
x
c’
B’
θ表示 θ=f2(x)
顺时针为正 （ ）
材料力学
§9-1 引言
4、挠度和转角的关系
A
（Materials of Mechanics）
挠曲线 w=f(x) 上任意点的 切线斜率为： θ 切线斜率为：tanθ =dw/dx 所以θ 很小 转角方程： 转角方程：
x
θ w θ
c
F
B
x
c’
由于挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线 由于挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
x=0 ; wA=0; x=a+b ; wB=0
计算梁位移的 §9-3 计算梁位移的积分法
材料力学
（Materials of Mechanics）
（2）连续光滑条件(continuity condition)-梁的分段处， ）连续光滑条件( ) 梁的分段处， 其挠曲线所应满足的连续、光滑条件。 其挠曲线所应满足的连续、光滑条件。
x
′ y1 = y ′ 2
y
2a
a
q
材料力学
举例应用
例1：已知梁长L， EI ，求wB和θB。 已知梁长 求
（Materials of Mechanics）
x
A
F B
x
①求约束反力 FAy=F ， mA= FL ②列梁的挠曲线近似微分方程 弯矩方程： 弯矩方程：M(x)=Fx-FL
w ′′ = − M ( x) F ( L − x) = EI EI
材料力学
§9-4 计算梁的位移的叠加法 （Materials of Mechanics）
一、叠加法
在小变形和线弹性范围内， 在小变形和线弹性范围内，梁上几种载荷共同作 用所产生的效果（内力、应力和变形），等于每种 用所产生的效果（内力、应力和变形），等于每种 ）， 载荷单独时所产生的效果之和—叠加原理。 载荷单独时所产生的效果之和 叠加原理。 叠加原理 用叠加原理求梁变形的方法—叠加法 用叠加原理求梁变形的方法 叠加法 载荷叠加法—— 用于等截面直梁同时受几个载荷 （1）载荷叠加法 作用所引起的梁的变形的叠加。 作用所引起的梁的变形的叠加。
材料力学
§9-1 引言
一 、工程中的弯曲变形问题
（Materials of Mechanics）
机加工车间 的行车大梁
材料力学
§9-1 引言
（Materials of Mechanics）
材料力学
§9-1 引言
二、研究弯曲变形的目的
★限制和利用梁的变形； 限制和利用梁的变形；
（Materials of Mechanics）
dw θ ≈ tan θ = = w′ dx
θ = w′
结论：梁截面的转角等于该截面的挠度 对于位置坐标 对于位置坐标x 结论：梁截面的转角等于该截面的挠度w对于位置坐标 的一阶导数。 的一阶导数。
材料力学
§9-2 挠曲轴近似微分方程
（Materials of Mechanics）
一、挠曲线的近似微分方程
A C B
x
a
b
x=a 时， w C 左 = w C 右
A
θC
左
= θC右
B
M
a 如：中间铰处
C
l
x = a时，wC左 = wC右
材料力学
课堂练习
（Materials of Mechanics）
1、外伸梁，其边界条件和连续条件？ 外伸梁，其边界条件和连续条件？
x=0，wA=0； ， ； x=4；wB=0； wB左= wB右 θB左= θB右 ； ； 左 右 左 右
★进行梁的刚度计算，分析静不定梁； 进行梁的刚度计算，分析静不定梁； ★为研究压杆稳定问题提供理论基础。 为研究压杆稳定问题提供理论基础。
材料力学
§9-1 引言
三、梁变形的度量
1、挠曲线的概念 受力产生弯曲变形的 梁，其轴线将由原来的 水平直线变成一条平面
（Materials of Mechanics）
挠曲方程： 挠曲方程： w=f(x) 正负号： 正负号：规定向下为正
材料力学
§9-1 引言
三、梁变形的度量
A
（Materials of Mechanics）
c
x
F
3、转角(angle of rotation) 转角( ) 转角： 转角：每一横截面绕其中性轴转 过的角度。（横截面对其原来位 过的角度。（横截面对其原来位 。（ 置的角位移θ） 置的角位移 ）
1）会用积分法求挠曲线微分方程；由边界条件和连续条 会用积分法求挠曲线微分方程； 件求待定积分常数。 件求待定积分常数。 2）熟练用叠加法求梁的位移； 熟练用叠加法求梁的位移； 3) 梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解； 梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解；
二、授课重点、难点 授课重点、
重点：用叠加法解静定梁的变形； 重点：用叠加法解静定梁的变形； 难点：积分法求梁的变形，用边界条件和连续条件求积分常 难点：积分法求梁的变形， 数。
1）物理关系： 物理关系： 关系 2）几何关系： ）几何关系： （高等数学） 高等数学）
1 M ( x) = ρ ( x) EIz
1 d 2 w / dx2 =± 2 3/ 2 ρ ( x) [1 + (dw / dx) ]
1 d 2w = ± ρ(x) dx 2
d w M (x) = ± 2 dx EI z
挠曲线的近似微分方程式
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§9-2 挠曲轴近似微分方程
（Materials of Mechanics）
一、挠曲线的近似微分方程
M (x) w ′′ = − EI z
计算梁位移的 §9-3 计算梁位移的积分法 1、基本方程： EI z w ′′ = − M ( x ) 、基本方程： 2、积分一次求转角： 积分一次求转角：
材料力学
（Materials of Mechanics）
EI z w ′ = − ∫ M ( x )dx + C