20XX年天津高考试卷:数学.doc
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天津高考真题三角函数部分1.要得到函数y = V2cosx的图象,只需将函数y = V2sin(2x + -)的图象上所有的点的(4TT函数y = 2sin( ----- 2x)(x e [0,刃)为增函数的区间是6A. [0, |]4.已知两数f(x) = asinx-bcosx (a、〃为常数,a R)在兀=—处取得最小4值,则函数y = /(——力是()4A.偶函数且它的图彖关于点(龙,0)对称对称3;rC.奇函数且它的图象关于点(——,0)对称2称7T是伽0 = 2cos — + 〃”的12丿3^7 B偶函数且它的图象关于点匸0)A.充分而不必耍条件B.必耍而不充分条件D.既不充分也不必要条件6 •设函数/(%)・( 丹=sin 2x ------- ,x GI 2丿R,则/(兀)是2. A.横坐标缩短到原來的丄倍2B.横朋标缩短到原来的丄倍2C.横坐标伸长到原来的2倍D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),(纵朋标不变),(纵坐标不变),(纵坐标不变),TT再向左平行移动兰个单位长度8TT再向右平行移动-个单位长度4TT再向左平行移动-个单位长度4TT再向右平行移动一个单位长度兀 4已知x w (——,0), cos 兀=—,则tan 2x2 57 7A. — B ■——24 2424C.—724D.73.r 71 1715. u0 =C.充分必要条件(A) 最小正周期为龙的奇函数(B) 最小正周期为兀的偶函数n rr(C) 最小正周期为一的奇函数(D) 最小正周期为一的偶函数2 2TT7.已知函数/(x) = sin(GTX + —)(x G 7?,GT > 0)的最小正周期为兀,为了得到函数4g⑴二COS0兀的图彖,只要将y = f(x)的图彖.TT JTA向左平移丝个单位长度B向右平移兰个单位长度•8 87T TTC向左平移一个单位长度D向右平移一个单位长度•4 48.在△ ABC 中,内角A, B,C 的对边分别是a, b,c,若a2-h2 =^bc f sinC = 2^3sinB ,则A二(A) 30°(B) 60°(C) 120°(D) 150°计算题1.(本小题满分12分)在\ABC中,也4、ZB、ZC所对的边长分别为心b、c,设心b、c满足条件b2 + c2— be = a2 ^ — =— V3 ,求乙4 和tan B 的值.b 22.(本小题满分12分)已知函数/(%) = 2sinx(sin x + cos x).(1)求函数/(x)的最小正周期和最大值;TT TT(2)在给岀的直角坐标系中,画出函数,y = /(x)在区间[-—,—]上的图彖.2 23.(本小题满分12分)JI|己知tan(—+ a) = —, (1)求tana 的值;(2)求4 24.(本小题满分12分)3如图,在\ABC中,AC=2, BC=1, cosC = -o4(1)求AB的值;(2)求sin(2A + C)的值。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题,每小题5分,共45分. 参考公式:·如果事件A 与事件B 互斥,那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 与事件B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =. ·球的表面积公式24πS R =,其中R 表示球的半径.一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---,集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-,则()UA B =∩A .{3,3}-B .{0,2}C .{1,1}-D .{3,2,1,1,3}---2.设a ∈R ,则“1a >”是“2a a >”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为A BC D4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A .10B .18C .20D .365.若棱长为23 A .12π B .24π C .36π D .144π6.设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===,则,,a b c 的大小关系为A .a b c <<B .b a c <<C .b c a <<D .c a b <<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为A .22144x y -=B .2214y x -= C .2214x y -= D .221x y -= 8.已知函数π()sin()3f x x =+.给出下列结论: ①()f x 的最小正周期为2π;②π()2f 是()f x 的最大值;③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数()y f x =的图象. 其中所有正确结论的序号是 A .①B .①③C .②③D .①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点,则k 的取值范围是A .1(,)(22,)2-∞-+∞B .1(,)(0,22)2-∞-C .(,0)(0,22)-∞D .(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题,共105分.二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.i 是虚数单位,复数8i2i-=+_________. 11.在522()x x+的展开式中,2x 的系数是_________.12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点.若||6AB =,则r 的值为_________.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________. 14.已知0,0a b >>,且1ab =,则11822a b a b+++的最小值为_________. 15.如图,在四边形ABCD 中,60,3B AB ∠=︒=,6BC =,且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-,则实数λ的值为_________,若,M N 是线段BC 上的动点,且||1MN =,则DM DN ⋅的最小值为_________.三.解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分14分)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知22,5,13a b c ===. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin A 的值; (Ⅲ)求πsin(2)4A +的值. 17.(本小题满分15分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==,13CC =,点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上,且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点.(Ⅰ)求证:11C M B D ⊥;(Ⅱ)求二面角1B B E D --的正弦值;(Ⅲ)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值. 18.(本小题满分15分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -,右焦点为F ,且||||OA OF =,其中O 为原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程. 19.(本小题满分15分)已知{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,求证:()2*21n n n S S S n ++<∈N;(Ⅲ)对任意的正整数n ,设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和.20.(本小题满分16分)已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ,()f x '为()f x 的导函数. (Ⅰ)当6k =时,(i )求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (ii )求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值; (Ⅱ)当3k ≥-时,求证:对任意的12,[1,)x x ∈+∞,且12x x >,有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学参考解答一.选择题:每小题5分,满分45分.1.C2.A3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.D二.填空题:每小题5分,满分30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.32i - 11.1012.513.16;2314.4 15.16;132三.解答题 16.满分14分.(Ⅰ)解:在ABC △中,由余弦定理及22,5,13a b c ===,有2222cos 22a b c C ab +-==.又因为(0,π)C ∈,所以π4C =.(Ⅱ)解:在ABC △中,由正弦定理及π,22,134C a c ===,可得sin 213sin 13a C A c ==. (Ⅲ)解:由a c <及213sin 13A =,可得2313cos 1sin 13A A =-=,进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=. 所以,πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=.17.满分15分.依题意,以C 为原点,分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ,11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ,(1,1,3)M .(Ⅰ)证明:依题意,1(1,1,0)C M =,1(2,2,2)B D =--,从而112200C M B D ⋅=-+=,所以11C M B D ⊥.(Ⅱ)解:依题意,(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量,1(0,2,1)EB =,(2,0,1)ED =-.设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量,则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =,可得(1,1,2)=-n .因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ,于是sin ,CA 〈〉=n . 所以,二面角1B B E D --的正弦值为6. (Ⅲ)解:依题意,(2,2,0)AB =-.由(Ⅱ)知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量,于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n . 所以,直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3. 18.满分15分.(Ⅰ)解:由已知可得3b =.记半焦距为c ,由||||OF OA =可得3c b ==.又由222a b c =+,可得218a =.所以,椭圆的方程为221189x y +=. (Ⅱ)解:因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以AB CP ⊥.依题意,直线AB 和直线CP的斜率均存在.设直线AB 的方程为3y kx =-.由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,可得()2221120k x kx +-=,解得0x =,或21221kx k =+.依题意,可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为(0,3)-,所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭.由3OC OF =,得点C 的坐标为(1,0),故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+,即23261k k -+.又因为AB CP ⊥,所以231261k k k ⋅=--+,整理得22310k k -+=,解得12k =,或1k =. 所以,直线AB 的方程为132y x =-,或3y x =-.19.满分15分.(Ⅰ)解:设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由11a =,()5435a a a =-,可得1d =,从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-,又0q ≠,可得2440q q -+=,解得2q =,从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=,故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++,()22211(1)24n S n n +=++,从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<,所以221n n n S S S ++<. (Ⅲ)解:当n 为奇数时,()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++;当n 为偶数时,1112n n n n a n c b -+-==. 对任意的正整数n ,有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑, 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑. ① 由①得22311113232144444n k nn k n n c +=--=++++∑. ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑,从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑. 因此,2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑.所以,数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 20.满分16分.(Ⅰ)(i )解:当6k =时,3()6ln f x x x =+,故26()3f x x x'=+.可得(1)1f =,(1)9f '=,所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-,即98y x =-. (ii )解:依题意,323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞.从而可得2263()36g x x x x x'=-+-,整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=.令()0g x '=,解得1x =.当x 变化时,(),()g x g x '的变化情况如下表:所以,函数()g x 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞;()g x 的极小值为(1)1g =,无极大值.(Ⅱ)证明:由3()ln f x x k x =+,得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞,且12x x >,令12(1)x t t x =>,则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞.当1x >时,22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭,由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增,所以当1t >时,()(1)h t h >,即12ln 0tt t -->.因为21x ≥,323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-,所以,()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-. ②由(Ⅰ)(ii )可知,当1t >时,()(1)g t g >,即32336ln 1t t t t-++>, 故23336ln 10t t t t-++->. ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->.所以,当3k ≥-时,对任意的12,[1,)x x ∈+∞,且12x x >,有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.。
绝密★启用前201X 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:•如果事件A ,B 互斥,那么•如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P A B P A P B =+. ()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =.•圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积, 其中S 表示圆锥的底面面积, h 表示圆柱的高.h 表示圆锥的高.一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 学科.网(1)已知集合}{4,3,2,1=A ,}{A x x y y B ∈-==,23,则=B A (A )}{1(B )}{4(C )}{3,1(D )}{4,1 (2)设变量x ,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++-.0923,0632,02y x y x y x 则目标函数y x z 52+=的最小值为(A )4-(B )6(C )10(D )17≥ ≥ ≤(3)在ABC ∆中,若13=AB ,3=BC , 120=∠C , 则=AC(A )1 (B )2 (C )3 (D )4(4)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为(A )2 (B )4(C )6(D )8(5)设}{n a 是首项为正数的等比数列,学科&网公比为q ,则“0<q ”是“对任意的正整数n ,0212<n n a a +-”的(A )充要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 (6)已知双曲线14222=-by x )>(0b ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,学科&网四边形ABCD 的面积为b 2,则双曲线的方程为(A )143422=-y x (B )134422=-y x (C )144222=-y x (D )112422=-y x (7)已知ABC ∆是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得EF DE 2=,则BC AF ⋅的值为(A )85-(B )81 (C )41(D )811 (8)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a<(0>a ,学.科网且1≠a )在R 上单调递减,且关于x 的方程x x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是(A )]32,0((B )]43,32[ (C ) ]32,31[{43}(D ) )32,31[{43}≥ (第4题图)绝密★启用前201X 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9)已知a ,∈b R ,i 是虚数单位,若a b =-+)i 1)(i 1(,则ba的值为_____________. (10)82)1(xx -的展开式中7x 的系数为_____________.(用数字作答) (11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m ),学科.网则该四棱锥的体积 为_____________3m .(12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,22==AE BE ,ED BD =,则线段CE 的长为_____________.(13)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2(1--f f a >,则a 的取值范围是_____________.(14)设抛物线⎩⎨⎧==pty pt x 2,22(t 为参数,0>p )的焦点F ,准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B .设)0,27(p C ,AF 与BC 相交于点E .若AF CF 2=,且ACE ∆的面积为23,则p 的值为_____________.三. 解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分)已知函数3)3cos()2sin(tan 4)(---=ππx x x x f .(Ⅰ)求)(x f 的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论)(x f 在区间]4,4[ππ-上的单调性.(16)(本小题满分13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分 别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(Ⅰ)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率; (Ⅱ)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列 和数学期望.(17)(本小题满分13分)如图,正方形ABCD 的中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面⊥OBEF 平面ABCD ,点G 为AB 的中点,2==BE AB .(Ⅰ)求证:EG ∥平面ADF ; (Ⅱ)求二面角C EF O --的正弦值; (Ⅲ)设H 为线段AF 上的点,且HF AH 32=,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)已知}{n a 是各项均为正数的等差数列,学.科.网公差为d .对任意的*∈N n ,n b 是n a 和1+n a 的等比中项.(Ⅰ)设221n n n b b c -=+,*∈N n ,求证:数列}{n c 是等差数列;(Ⅱ)设d a =1,∑=-=nk kkn b T 212)1(,*∈N n ,求证21211d T nk k<∑=.(19)(本小题满分14分)设椭圆13222=+y a x )3(>a 的右焦点为F ,右顶点为A .已知FAeOA OF 311=+, 其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. 学.科.网(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H .若HF BF ⊥,且MOA ∠≤MAO ∠,求直线l 的斜率的取值范围.(20)(本小题满分14分)设函数b ax x x f ---=3)1()(,∈x R ,其中a ,∈b R . (Ⅰ)求)(x f 的单调区间;(Ⅱ)若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:3201=+x x ; (Ⅲ)设0>a ,函数)()(x f x g =,求证:)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于...41201X 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)一、选择题: (1)【答案】D (2)【答案】B (3)【答案】A (4)【答案】B (5)【答案】C (6)【答案】D (7)【答案】B (8)【答案】C第Ⅱ卷二、填空题: (9)【答案】2 (10)【答案】56- (11)【答案】2 (12)【答案】233(13)【答案】13(,)22(14) 【答案】6 三、解答题 (15)【答案】(Ⅰ),2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,.π(Ⅱ)在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 学科&网在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,上单调递减. 【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数:()()=2sin 23f x x π-,再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期()II 根据(1)的结论,研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性试题解析:()I 解:()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213=4sin cos sin 32sin cos 23sin 322x x x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭()()=sin 231-cos 23sin 23cos 2=2sin 23x x x x x π+-=--.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解:令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦学.科网时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,上单调递减. 考点:三角函数性质,诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】(Ⅰ)13(Ⅱ)详见解析 【解析】试题分析:(Ⅰ)先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数:210C ,再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数:112344C C C +,最后根据概率公式求概率(Ⅱ)先确定随机变量可能取值为0,1,2.学.科网再分别求出对应概率,列出概率分布,最后根据公式计算数学期望试题解析:解:()I 由已知,有()1123442101,3C C C P A C +==所以,事件A 发生的概率为13. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=, ()111133342107115C C C C P X C +===, ()11342104215C C P X C ===. 所以,随机变量X 学.科网分布列为X 0 12 P415 715415随机变量X 的数学期望()4740121151515E X =⨯+⨯+⨯=.考点:概率,概率分布与数学期望 【结束】 (17)【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)33(Ⅲ)721【解析】试题分析:(Ⅰ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,利用法向量与直线方向向量垂直进行论证(Ⅱ)利用空间向量求二面角,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值(Ⅲ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析:依题意,OF ABCD ⊥平面,如图,以O 为点,分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴,y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得(0,0,0)O ,()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------,.(I )证明:依题意,()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量,则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =,可得()10,2,1n =,又()0,1,2EG =-,可得10EG n ⋅=,又因为直线EG ADF ⊄平面,所以//EG ADF 平面.(II )解:易证,()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意,()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量,则220n E F n C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ .不妨设1x =,可得()21,1,1n =-.因此有2226cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅,于是23sin ,3OA n <>=,所以,二面角O EF C --的正弦值为33. (III )解:由23AH HF =,学.科网得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-,所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭,从而284,,555BH ⎛⎫=⎪⎝⎭,因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅.所以,直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.考点:利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】试题分析:(Ⅰ)先根据等比中项定义得:21n n n b a a +=,从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=,因此根据等差数列定义可证:()212122n n n n c c d a a d +++-=-=(Ⅱ) 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+,再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k kT d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑,易得结论. 试题解析:(I )证明:由题意得21n n n b a a +=,有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=,因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=,所以{}n c 是等差数列.(II )证明:()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nn n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 (19)【答案】(Ⅰ)22143x y +=(Ⅱ)),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由113||||||c OF OA FA +=,得113()cc a a a c +=-,再利用2223a c b -==,可解得21c =,24a =(Ⅱ)先化简条件:MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =,即M再OA 中垂线上,1M x =,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求B ;利用两直线方程组求H ,最后根据HF BF ⊥,列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析:(1)解:设(,0)F c ,由113||||||c OF OA FA +=,即113()cc a a a c +=-,可得2223a c c -=,又2223a c b -==,所以21c =,因此24a =,所以椭圆的方程为22143x y +=. (2)(Ⅱ)解:设直线l 的斜率为k (0≠k ),则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ,或346822+-=k k x ,由题意得346822+-=k k x B ,从而34122+-=k ky B . 由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有),1(H y FH -=,)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥,得0=⋅HF BF ,所以034123449222=+++-k ky k k H,解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ,解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中,||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠,即2222)2(MMMM y x y x +≤+-,化简得1≥M x ,即1)1(1292022≥++k k ,解得46-≤k 或46≥k . 所以,直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 考点:学.科网椭圆的标准方程和几何性质,直线方程 【结束】(20)【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析 【解析】试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数:a x x f --=2)1(3)(',再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:①当0a ≤时,有()0f x '≥恒成立,所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时,存在三个单调区间(Ⅱ)由题意得3)1(20a x =-,计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论(Ⅲ)实质研究函数)(x g 最大值:主要比较(1),(1)f f -,33|(|,|()|33a a f f -的大小即可,分三种情况研究①当3a ≥时,33120331aa +≤<≤-,②当334a ≤<时,3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-,③当304a <<时,23313310<+<-<a a . 试题解析:(Ⅰ)解:由b ax x x f ---=3)1()(,可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论:(1)当0≤a 时,有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立,所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. (2)当0>a 时,令0)('=x f ,解得331ax +=,或331a x -=.当x 变化时,)('x f ,)(x f 的变化情况如下表:x)331,(a --∞ 331a - )331,331(a a +- 331a+ ),331(+∞+a )('x f+0 - 0 + )(x f单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-,单调递增区间为)331,(a --∞,),331(+∞+a. (Ⅱ)证明:因为)(x f 存在极值点,所以由(Ⅰ)知0>a ,且10≠x ,由题意,得0)1(3)('200=--=a x x f ,即3)1(20ax =-,进而b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(00300. 又b a ax x ab x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300)(33200x f b a x a =---=,且0023x x ≠-,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足 )()(01x f x f =,且01x x ≠,因此0123x x -=,所以3201=+x x ;(Ⅲ)证明:设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ,},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理:(1)当3≥a 时,33120331aa +≤<≤-,由(Ⅰ)知,)(x f 在区间]2,0[上单调递减,所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ,因此|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ,所以2||1≥++-=b a a M . (2)当343<≤a 时,3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,)331()3321()0(a f a f f +=-≥,)331()3321()2(af a f f -=+≤,所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([a f a f -+,因此 |}392||,392max {||})331(||,)331(max {|b a a ab a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a . (3)当430<<a 时,23313310<+<-<aa ,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,)331()3321()0(a f a f f +=-<,)331()3321()2(af a f f -=+>, 学.科网所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ,因此|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a . 综上所述,当0>a 时,)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41. 考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】。
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150 分,考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷 1至 2页,第Ⅱ卷 3至 5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。
2.本卷共8 小题,每小题5 分,共40 分。
参考公式:·如果事件A ,B互斥,那么 ·如果事件 A ,B相互独立,那么P(A ∪B )=P(A )+P(B). P(AB )=P(A ) P(B).·棱柱的体积公式V =Sh.·棱锥的体积公式V1 Sh .3其中S 表示棱柱的底面面积,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高.h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 .( 1)设集合 A{1,2,6}, B {2,4}, C { x R | 1 x 5} ,则 (AUB)I C ( A ) {2} ( B ) {1,2,4} ( C ) {1,2,4,6} ( D ) { x R | 1 x5}2x y 0,x 2y 2 0,x y 的最大值为( 2)设变量 x, y 满足约束条件0,则目标函数 z xy 3,(A ) 2 (B )1( C ) 3(D )33 2( 3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出 N 的值为(A )0 (B)1(C)2(D)3( 4)设R,则“| π| π”是“ sin 1 ”的12 12 2( A )充分而不必要条件(B)必要而不充分条件( C)充要条件( D )既不充分也不必要条件( 5)已知双曲线x2 y21(a 0,b 0) 的左焦点为 F ,学科&网离心率为 2 .若经过F和P(0, 4)两a2 b2点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(A) x2 y 2 1 (B)x2y2 1(C)x2y 2 1 (D)x2y2 14 4 8 8 4 8 8 4( 6)已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数, g (x) xf (x) .若 a g ( log2 5.1) , b g(2 0.8 ) , c g (3) ,则 a, b,c的大小关系为( A ) a b c ( B) c b a ( C) b a c ( D) b c a( 7)设函数 f (x) 2sin( x ) , x R ,其中0 , | | .若f (5) 2 , f () 0 ,且 f (x) 的最小8 8正周期大于 2 ,则( A ) 2 ,12 ( B ) 2 ,12( C) 1 ,24( D ) 1 ,3 3 3 3 24x2 x 3, x 1,R ,若关于 x 的不等式 f ( x) | x( 8)已知函数 f (x) 21. 设 a a | 在 R 上恒成立,则 a 的取x , x 2x值范围是47,2] (B)[ 47, 39 ](C) [ 2 3,2] (D)[ 2 3,39]16 16 16 16(A)[第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津高考数学卷子天津高考数学卷子一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)1.小明是天津某高中的一名考生。
今天他参加了高考数学科目的考试。
他拿到了试卷,坐在位子上,心中既激动又紧张。
小明知道,数学这门科目对自己来说既有挑战性又有重要性。
他希望能在这次考试中发挥出自己的最佳水平,取得好成绩。
2.试卷上第一部分是选择题。
小明拿起铅笔,准备开始解答。
他仔细阅读每道题目的要求和选项。
一道题目涉及概率计算,小明动用了自己在学习中积累的知识,运用概率原理进行推理。
在灵活运用解题方法的同时,他注意审题,避免陷入常见的误区。
3.小明做选择题时,他不仅注重正确答案的选取,还注意解题过程的条理性和严密性。
他尽量使用简洁的叙述方式,使得每一步推理都能达到清晰易懂的效果。
这样不仅方便自己检查答案,还能为阅卷老师提供一个良好的阅读体验。
4.在解答过程中,小明遇到了一道较难的问题。
他面临选择放弃或者坚持尝试。
考虑到时间紧迫,小明决定放弃这道题目,把时间留给其他问题。
他知道,保证答题的节奏和速度同样重要,不能因为一道难题耽误后续更简单的题目。
5.小明迅速完成了选择题的解答。
他意识到,解答选择题的过程,不仅是对数学知识的考验,更体现了他良好的逻辑思维和解决问题的能力。
他希望自己的努力和准备能够得到应有的回报。
二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分)1.小明接下来迎来了试卷上的填空题部分。
他收拾好心情,开始仔细阅读题目,理解题目的要求和规则。
在填空题中,他觉得自己有更大的发挥空间,可以尝试更多的解题思路。
2.填空题的解答过程需要小明动用更广泛的数学知识。
他清楚,这不仅是对知识点的检查,更是对自己学习掌握的全面性的考验。
他试图联想不同章节的知识,进行综合运用,以求得出正确的答案。
3.小明在填空题的解答过程中,充分利用了试卷上提供的空间,书写规范,且层次分明。
他用不同的字体或颜色进行标记,使得自己的答案清晰可辨,提高阅卷老师的评分效率。
绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题)一、单选题:本题共9小题,每小题5分,共45分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ={1,2,3,4},B ={2,3,4,5},则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ,b ∈R ,则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3,b =4.20.3,c =log 4.20.3,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ,n 为两条直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α,n ⊂α,则m//n B. 若m//α,n//α,则m//n C. 若m//α,n ⊥α,则m ⊥nD. 若m//α,n ⊥α,则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点,且直线PF 2的斜率为2,△PF 1F 2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ,且两两之间距离为1.并已知AD =1,BE =2,CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷(非选择题)二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。
2020年高考数学真题试卷(天津卷)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(共9题;共45分)1.设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3},集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3},则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1,3}2.设a∈R,则“ a>1”是“ a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47],[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6.设 a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8 ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A. a <b <c B. b <a <c C. b <c <a D. c <a <b 7.设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) ,过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l .若C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( ) A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C. x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=18.已知函数 f(x)=sin(x +π3) .给出下列结论:① f(x) 的最小正周期为 2π ;② f(π2) 是 f(x) 的最大值;③把函数 y =sinx 的图象上所有点向左平移 π3 个单位长度,可得到函数 y =f(x) 的图象.其中所有正确结论的序号是( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③9.已知函数 f(x)={x 3,x ⩾0,−x,x <0.若函数 g(x)=f(x)−|kx 2−2x| (k ∈R) 恰有4个零点,则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2) D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分,(共6题;共30分)10.i 是虚数单位,复数8−i 2+i= ________.11.在 (x +2x 2)5 的展开式中, x 2 的系数是________.12.已知直线 x −√3y +8=0 和圆 x 2+y 2=r 2(r >0) 相交于 A,B 两点.若 |AB|=6 ,则 r 的值为________.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 12 和 13 .假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.14.已知 a >0, b >0 ,且 ab =1 ,则 12a +12b +8a+b 的最小值为________.15.如图,在四边形 ABCD 中, ∠B =60°, AB =3 , BC =6 ,且 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ , AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32 ,则实数 λ 的值为________,若 M,N 是线段 BC 上的动点,且 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________.三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(共5题;共75分)16.在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .已知 a =2√2,b =5,c =√13 . (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求 sinA 的值; (Ⅲ)求 sin(2A +π4) 的值.17.如图,在三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中, CC 1⊥ 平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2 , CC 1=3 ,点 D, E 分别在棱 AA 1 和棱 CC 1 上,且 AD =1 CE =2, M 为棱 A 1B 1 的中点.(Ⅰ)求证: C 1M ⊥B 1D ;(Ⅱ)求二面角 B −B 1E −D 的正弦值;(Ⅲ)求直线 AB 与平面 DB 1E 所成角的正弦值. 18.已知椭圆 x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的一个顶点为 A(0,−3) ,右焦点为F ,且 |OA|=|OF| ,其中O 为原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C 满足 3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段 AB 的中点.求直线 AB 的方程.19.已知 {a n } 为等差数列, {b n } 为等比数列, a 1=b 1=1,a 5=5(a 4−a 3),b 5=4(b 4−b 3) . (Ⅰ)求 {a n } 和 {b n } 的通项公式;(Ⅱ)记 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求证: S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗) ;(Ⅲ)对任意的正整数 n ,设 c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1b n+1,n 为偶数.求数列 {c n } 的前2n 项和.20.已知函数 f(x)=x 3+klnx(k ∈R) , f ′(x) 为 f(x) 的导函数. (Ⅰ)当 k =6 时,(i )求曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值;x(Ⅱ)当k⩾−3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有f′(x1)+f′(x2)>2f(x1)−f(x2).x1−x2答案解析部分一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交集及其运算,补集及其运算【解析】【解答】由题意结合补集的定义可知:∁U B={−2,−1,1},则A∩(∁UB)={−1,1}.故答案为:C.【分析】首先进行补集运算,然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断,一元二次不等式的解法【解析】【解答】求解二次不等式a2>a可得:a>1或a<0,据此可知:a>1是a2>a的充分不必要条件.故答案为:A.【分析】首先求解二次不等式,然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】由函数的解析式可得:f(−x)=−4xx2+1=−f(x),则函数f(x)为奇函数,其图象关于坐标原点对称,CD不符合题意;当x=1时,y=41+1=2>0,B不符合题意.故答案为:A.【分析】由题意首先确定函数的奇偶性,然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.4.【答案】B【考点】频率分布直方图,用样本的频率分布估计总体分布【解析】【解答】根据直方图,直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为:(6.25+5.00)×0.02= 0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为:80×0.225=18.故答案为:B.【分析】根据直方图确定直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可.5.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即R=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)22=3,所以,这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.故答案为:C.【分析】求出正方体的体对角线的一半,即为球的半径,利用球的表面积公式,即可得解.6.【答案】D【考点】指数函数的单调性与特殊点,对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为a=30.7>1,b=(13)−0.8=30.8>30.7=a,c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.故答案为:D.【分析】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出a,b,c的大小关系.7.【答案】D【考点】双曲线的定义,双曲线的简单性质【解析】【解答】由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线l的方程为x+yb=1,即直线的斜率为−b,又双曲线的渐近线的方程为y=±ba x,所以−b=−ba,−b×ba=−1,因为a>0,b>0,解得a=1,b=1.故答案为:D.【分析】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线l的方程为x+yb=1,即得直线的斜率为-b,再根据双曲线的渐近线的方程为y=±ba x,可得−b=−ba,−b×ba=−1即可求出a,b,得到双曲线的方程.8.【答案】B【考点】三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的最值【解析】【解答】因为f(x)=sin(x+π3),所以周期T=2πω=2π,故①正确;f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1,故②不正确;将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3)的图象,故③正确.故答案为:B.【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.9.【答案】D【考点】函数的图象,根的存在性及根的个数判断,函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点,只需方程|kx−2|=f(x)|x|恰有3个实根即可,令ℎ(x)=f(x)|x|,即y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|的图象有3个不同交点.因为ℎ(x)=f(x)|x|={x2,x>01,x<0,当k=0时,此时y=2,如图1,y=2与ℎ(x)=f(x)|x|有2个不同交点,不满足题意;当k<0时,如图2,此时y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|恒有3个不同交点,满足题意;当k>0时,如图3,当y=kx−2与y=x2相切时,联立方程得x2−kx+2=0,令Δ=0得k2−8=0,解得k=2√2(负值舍去),所以k>2√2.综上,k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞).故答案为:D.【分析】由g(0)=0,结合已知,将问题转化为y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|有3个不同交点,分k= 0,k<0,k>0三种情况,数形结合讨论即可得到答案.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分, 10.【答案】 3-2i【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i 5=3−2i .故答案为:3-2i.【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数,然后利用运算化简可得结果.11.【答案】 10 【考点】二项式定理【解析】【解答】因为 (x +2x 2)5 的展开式的通项公式为 T r+1=C 5r x 5−r (2x 2)r =C 5r ⋅2r ⋅x 5−3r (r =0,1,2,3,4,5) ,令 5−3r =2 ,解得 r =1 .所以 x 2 的系数为 C 51×2=10 .故答案为:10.【分析】写出二项展开式的通项公式,整理后令 x 的指数为2,即可求出. 12.【答案】 5【考点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心 (0,0) 到直线 x −√3y +8=0 的距离 d =√1+3=4 , 由 |AB|=2√r 2−d 2 可得 6=2√r 2−42 ,解得 r =5 . 故答案为:5.【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ,进而利用弦长公式 |AB|=2√r 2−d 2 ,即可求得 r . 13.【答案】 16;23【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 12,13 , 且两球是否落入盒子互不影响,所以甲、乙都落入盒子的概率为 12×13=16 ,甲、乙两球都不落入盒子的概率为 (1−12)×(1−13)=13 , 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 23 . 故答案为: 16 ; 23 .【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系,即可求出两球都落入盒子的概率;同理可求两球都不落入盒子的概率,进而求出至少一球落入盒子的概率.14.【答案】 4 【考点】基本不等式【解析】【解答】 ∵a >0,b >0,∴a +b >0 , ab =1 , ∴12a +12b +8a+b =ab2a +ab2b +8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4 ,当且仅当 a +b =4时取等号,结合 ab =1 ,解得 a =2−√3,b =2+√3 ,或 a =2+√3,b =2−√3 时,等号成立. 故答案为:4【分析】根据已知条件,将所求的式子化为 a+b 2+8a+b,利用基本不等式即可求解.15.【答案】 16;132【考点】二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值,平面向量数量积的含义与物理意义,平面向量数量积的运算【解析】【解答】 ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD //BC , ∴∠BAD =180∘−∠B =120∘ , AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120∘ =λ×6×3×(−12)=−9λ=−32 , 解得 λ=16 ,以点B 为坐标原点, BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ,∵BC =6,∴C(6,0) ,∵ |AB|=3,∠ABC =60° ,∴ A 的坐标为 A(32,3√32) ,∵又∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 D(52,3√32) ,设 M(x,0) ,则 N(x +1,0) (其中 0≤x ≤5 ), DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32) , DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32) , DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+(3√32)2=x 2−4x +212=(x −2)2+132 , 所以,当 x =2 时, DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值 132.故答案为: 16 ;132.【分析】可得 ∠BAD =120∘ ,利用平面向量数量积的定义求得 λ 的值,然后以点B 为坐标原点, BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,设点 M(x,0) ,则点 N(x +1,0) (其中 0≤x ≤5 ),得出 DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于 x 的函数表达式,利用二次函数的基本性质求得 DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值. 三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.【答案】 解:(Ⅰ)在 △ABC 中,由 a =2√2,b =5,c =√13 及余弦定理得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22,又因为 C ∈(0,π) ,所以 C =π4 ;(Ⅱ)在 △ABC 中,由 C =π4 , a =2√2,c =√13 及正弦定理,可得 sinA =asinC c=2√2×√22√13=2√1313;(Ⅲ)由 a <c 知角A 为锐角,由 sinA =2√1313,可得 cosA =√1−sin 2A =3√1313,进而 sin2A =2sinAcosA =1213,cos2A =2cos 2A −1=513 , 所以 sin(2A +π4)=sin2Acos π4+cos2Asin π4=1213×√22+513×√22=17√226.【考点】两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦公式,二倍角的余弦公式,正弦定理,余弦定理 【解析】【分析】(Ⅰ)直接利用余弦定理运算即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理即可得到答案;(Ⅲ)先计算出 sinA,cosA, 进一步求出 sin2A,cos2A ,再利用两角和的正弦公式计算即可.17.【答案】 解:依题意,以 C 为原点,分别以 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得 C(0,0,0) 、 A(2,0,0) 、 B(0,2,0) 、 C 1(0,0,3) 、 A 1(2,0,3) 、 B 1(0,2,3) 、 D(2,0,1) 、 E(0,0,2) 、 M(1,1,3) . (Ⅰ)依题意, C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0) , B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2) , 从而 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0 ,所以 C 1M ⊥B 1D ; (Ⅱ)依题意, CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0) 是平面 BB 1E 的一个法向量, EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) , ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1) . 设 n⃗ =(x,y,z) 为平面 DB 1E 的法向量,则 {n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ,即 {2y +z =02x −z =0 , 不妨设 x =1 ,可得 n ⃗ =(1,−1,2) . cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2×√6=√66,∴sin <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√1−cos 2<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√306.所以,二面角 B −B 1E −D 的正弦值为 √306;(Ⅲ)依题意, AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0) . 由(Ⅱ)知 n ⃗ =(1,−1,2) 为平面 DB 1E 的一个法向量,于是 cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=2√2×√6=−√33.所以,直线 AB 与平面 DB 1E 所成角的正弦值为 √33 .【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系,用空间向量求直线与平面的夹角,用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】以 C 为原点,分别以 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系.(Ⅰ)计算出向量 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,得出 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ,即可证明出 C 1M ⊥B 1D ;(Ⅱ)可知平面 BB 1E 的一个法向量为 CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,计算出平面 B 1ED 的一个法向量为 n ⃗ ,利用空间向量法计算出二面角 B −B 1E −D 的余弦值,利用同角三角函数的基本关系可求解结果;(Ⅲ)利用空间向量法可求得直线 AB 与平面 DB 1E 所成角的正弦值. 18.【答案】 解:(Ⅰ) ∵ 椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的一个顶点为 A(0,−3) ,∴ b =3 ,由 |OA|=|OF| ,得 c =b =3 ,又由 a 2=b 2+c 2 ,得 a 2=32+32=18 , 所以,椭圆的方程为x 218+y 29=1 ;(Ⅱ) ∵ 直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以 CP ⊥AB , 根据题意可知,直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在,设直线 AB 的斜率为k ,则直线 AB 的方程为 y +3=kx ,即 y =kx −3 , {y =kx −3x 218+y 29=1,消去 y ,可得 (2k 2+1)x 2−12kx =0 ,解得 x =0 或 x =12k2k 2+1 . 将 x =12k2k 2+1代入 y =kx −3 ,得 y =k ⋅12k 2k 2+1−3=6k 2−32k 2+1 ,所以,点 B 的坐标为 (12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1) , 因为P 为线段 AB 的中点,点 A 的坐标为 (0,−3) , 所以点P 的坐标为 (6k2k 2+1,−32k 2+1) , 由 3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点 C 的坐标为 (1,0) ,所以,直线 CP 的斜率为 k CP =−32k 2+1−06k2k 2+1−1=32k 2−6k+1,又因为 CP ⊥AB ,所以 k ⋅32k 2−6k+1=−1 , 整理得 2k 2−3k +1=0 ,解得 k =12 或 k =1 . 所以,直线 AB 的方程为 y =12x −3 或 y =x −3 . 【考点】椭圆的定义,直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意,并借助 a 2=b 2+c 2 ,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)利用直线与圆相切,得到 CP ⊥AB ,设出直线 AB 的方程,并与椭圆方程联立,求出B 点坐标,进而求出P 点坐标,再根据 CP ⊥AB ,求出直线 AB 的斜率,从而得解.19.【答案】 解:(Ⅰ)设等差数列 {a n } 的公差为d ,等比数列 {b n } 的公比为q. 由 a 1=1 , a 5=5(a 4−a 3) ,可得d=1. 从而 {a n } 的通项公式为 a n =n . 由 b 1=1,b 5=4(b 4−b 3) ,又q≠0,可得 q 2−4q +4=0 ,解得q=2, 从而 {b n } 的通项公式为 b n =2n−1 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得 S n =n(n+1)2 ,故 S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3) , S n+12=14(n +1)2(n +2)2 , 从而 S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0 , 所以 S n S n+2<S n+12 . (Ⅲ)当n 为奇数时, c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n,当n 为偶数时, c n =an−1b n+1=n−12n, 对任意的正整数n ,有 ∑c 2k−1n k=1=∑(22k 2k+1−22k−22k−1)nk=1=22n2n+1−1 ,和 ∑c 2kn k=1=∑2k−14k n k=1=14+342+543+⋯+2n−34n−1+2n−14n①由①得 14∑c 2k n k=1=142+343+544+⋯+2n−34n+2n−14n+1②由①②得 34∑c 2k n k=1=14+242+⋯+24n −2n−14n+1=24(1−14n )1−14−14−2n−14n+1,由于24(1−14n )1−14−14−2n−14n+1=23−23×14n −14−2n−14n×14=512−6n+53×4n+1 ,从而得: ∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n .因此, ∑c k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n2n+1−6n+59×4n −49 .所以,数列 {c n } 的前2n 项和为4n 2n+1−6n+59×4n−49.【考点】等差数列的通项公式,等比数列的通项公式,数列的求和【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比,然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 {a n } 前n 项和,然后利用作差法证明即可;(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式,然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 ∑c 2k−1n k=1 和 ∑c 2k nk=1 的值,据此进一步计算数列 {c n } 的前2n 项和即可.20.【答案】 解:(Ⅰ) (i) 当k=6时, f(x)=x 3+6lnx , f ′(x)=3x 2+6x .可得 f(1)=1 , f ′(1)=9 ,所以曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 y −1=9(x −1) ,即 y =9x −8 . (ii) 依题意, g(x)=x 3−3x 2+6lnx +3x ,x ∈(0,+∞) . 从而可得 g ′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2 , 整理可得: g ′(x)=3(x−1)3(x+1)x 2,令 g ′(x)=0 ,解得 x =1 .当x 变化时, g ′(x),g(x) 的变化情况如下表:所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞); g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.(Ⅱ)证明:由 f(x)=x 3+klnx ,得 f ′(x)=3x 2+kx .对任意的 x 1, x 2∈[1,+∞) ,且 x 1>x 2 ,令 x1x 2=t (t >1) ,则(x 1−x 2)(f ′(x 1)+f ′(x 2))−2(f(x 1)−f(x 2))=(x 1−x 2)(3x 12+k x 1+3x 22+k x 2)−2(x 13−x 23+kln x1x 2)=x 13−x 23−3x 12x 2+3x 1x 22+k(x 1x 2−x 2x 1)−2kln x1x2=x 23(t 3−3t 2+3t −1)+k(t −1t−2lnt) . ①令 ℎ(x)=x −1x −2lnx, x ∈[1,+∞) .当x>1时, ℎ′(x)=1+1x 2−2x =(1−1x)2>0 ,由此可得 ℎ(x) 在 [1,+∞) 单调递增,所以当t>1时, ℎ(t)>ℎ(1) ,即 t −1t −2lnt >0 . 因为 x 2≥1 , t 3−3t 2+3t −1=(t −1)3>0 , k ≥−3 ,所以x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)⩾(t3−3t2+3t−1)−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1. ②由(Ⅰ)(ii)可知,当t>1时,g(t)>g(1),即t3−3t2+6lnt+3t>1,故t3−3t2+6lnt+3t−1>0③由①②③可得(x1−x2)(f′(x1)+f′(x2))−2(f(x1)−f(x2))>0.所以,当k≥−3时,任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2.【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式,然后结合导数的几何意义求解切线方程即可;(ii)首先求得g′(x)的解析式,然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可;(Ⅱ)首先确定导函数的解析式,然后令x1x2=t,将原问题转化为与t有关的函数,然后构造新函数,利用新函数的性质即可证得题中的结论.。
普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y-2x 的最小值为(A) -7(B) -4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张,编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
2024年普通高等学校招生全国统一考试·数学试卷(天津卷)第Ⅰ卷(选择题)参考公式:·如果事件A B ,互斥,那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A B ,相互独立,那么()()()P AB P A P B =.·球的体积公式34π3V R =,其中R 表示球的半径.·圆锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,线性相关性系数最大的是()A. B.C.D.4.下列函数是偶函数的是()A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为()A.a b c>> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,//n α,则m n ⊥B.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是()A. B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>,的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2.12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=9.一个五面体ABC DEF -.已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1.并已知123AD BE CF ===,,.则该五面体的体积为()A.6B.142+ C.2D.142-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅-=______.11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______.12.圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______.13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______.14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r λμ,则λμ+=______;F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______.15.若函数()21f x ax =--+恰有一个零点,则a 的取值范围为______.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知92cos 5163a Bbc ===,,.(1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -的值.17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点,M 是1DD的中点.(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;(3)求点B 到平面1CB M 的距离.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的离心率12e =.左顶点为A ,下顶点为B C ,是线段OB的中点,其中ABC S =△.(1)求椭圆方程.(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ,.在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列.其前n 项和为n S .若1231,1a S a ==-.(1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,*,2k k ∈≥N .。
高考理科数学考试真题(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
第Ⅰ卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. (1)i 是虚数单位,复数734i i( )(A )1i (B )1i (C )17312525i (D )172577i (2)设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值为( ) (A )15 (B )105 (C )245 (D )945 (4)函数212log 4f xx 的单调递增区间是() (A )0, (B),0 (C )2,(D ),2 (5)已知双曲线22221x y a b 0,0a b的一条渐近线平行于直线l :210y x ,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )(A )221520x y (B )221205x yED CBA (C )2233125100x y (D )2233110025x y(6)如图,ABC 是圆的内接三角形,BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ;②2FB FD FA ;③AE CEBE DE ; ④AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是( )(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④ (7)设,a bR ,则“a b ”是“a a b b ”的( )(A )充要不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充要也不必要条件 (8)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD,点,E F 分别在边,BC DC 上,BEBC ,DF DC .若1AE AF,23CE CF,则( )(A )12 (B )23 (C )56 (D )712第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.) (9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.(10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为_______3m .(11)设n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a 的值为__________.俯视图侧视图正视图(12)在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14bca ,2sin 3sin BC ,则cos A 的值为_______.(13)在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin 和直线sina 相交于,A B 两点.若AOB 是等边三角形,则a 的值为___________.(14)已知函数23f xx x ,x R .若方程10f x a x 恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为__________.三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15)(本小题满分13分)已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭x R ∈. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16)(本小题满分13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学. 在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.(17)(本小题满分13分)如图,在四棱锥PABCD 中,PA 底面ABCD ,AD AB ,//AB DC ,2AD DC AP ,1AB ,点E 为棱PC 的中点.(Ⅰ)证明 BEDC ;(Ⅱ)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ)若F 为棱PC 上一点,满足BFAC ,求二面角FAB P 的余弦值.(18)(本小题满分13分)设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知1232ABF F . (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过原点O的直线l 与该圆相切. 求直线l 的斜率.(19)(本小题满分14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合0,1,2,1,q M,集合112,,1,2,,n n iA x xx x qx q x M i n .(Ⅰ)当2q ,3n 时,用列举法表示集合A ;(Ⅱ)设,s tA ,112n n sa a qa q ,112n n tb b qb q ,其中i a ,i b M ∈,1,2,,i n =⋅⋅⋅.证明:若n n a b <,则s t <.(20)(本小题满分14分)已知函数x f x xae aR ,x R .已知函数yf x 有两个零点12,x x ,且12x x .(Ⅰ)求a 的取值范围; (Ⅱ)证明21x x 随着a 的减小而增大; (Ⅲ)证明 12x x 随着a 的减小而增大.。
绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第I卷1至2页,第II卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:如果事件A,B互斥,那么.如果事件A,B相互独立,那么.棱柱的体积公式,其中表示棱柱的底面面积,表示棱柱的高.棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面面积,表示棱锥的高.一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为R,集合,,则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:由题意首先求得,然后进行交集运算即可求得最终结果.详解:由题意可得:,结合交集的定义可得:.本题选择B选项.点睛:本题主要考查交集的运算法则,补集的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析:首先画出可行域,然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点,最后求解最大值即可.详解:绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点A的坐标为:,据此可知目标函数的最大值为:.本题选择C选项.点睛:求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.3. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析:由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解:结合流程图运行程序如下:首先初始化数据:,,结果为整数,执行,,此时不满足;,结果不为整数,执行,此时不满足;,结果为整数,执行,,此时满足;跳出循环,输出.本题选择B选项.点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.4. 设,则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:首先求解绝对值不等式,然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解:绝对值不等式,由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解:由题意结合对数函数的性质可知:,,,据此可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.6. 将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析:由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可.详解:由函数图象平移变换的性质可知:将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:.则函数的单调递增区间满足:,即,令可得一个单调递增区间为:.函数的单调递减区间满足:,即,令可得一个单调递减区间为:.本题选择A选项.点睛:本题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点. 设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:由题意首先求得A,B的坐标,然后利用点到直线距离公式求得b的值,之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解:设双曲线的右焦点坐标为(c>0),则,由可得:,不妨设:,双曲线的一条渐近线方程为:,据此可得:,,则,则,双曲线的离心率:,据此可得:,则双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛:求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为,再由条件求出λ的值即可.8. 如图,在平面四边形ABCD中,,,,. 若点E为边CD上的动点,则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:由题意建立平面直角坐标系,然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示,最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解:建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,点在上,则,设,则:,即,据此可得:,且:,,由数量积的坐标运算法则可得:,整理可得:,结合二次函数的性质可知,当时,取得最小值.本题选择A选项.点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150 分,考试用时 120分钟。
答卷前, 考生务势必自己的姓名、 准考号填写在答题卡上,并在规定地点粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务势必答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项:1.每题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动,用橡皮擦洁净后,再选涂其余答案标号。
2.本卷共 8 小题,每题 5 分,共 40 分。
参照公式:假如事件 A ,B 互斥,那么棱柱的体积公式V ShP( A B)P( A) P( B)此中 S 表示棱柱的底面面积。
h 表示棱柱的高。
一、选择题:在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的.1 3i1. i 是虚数单位,复数 =1 iA . 2iB . 2 iC . 1 2iD . 12ix 1,2.设变量 x , y 知足拘束条件x y 4 0, 则目标函数 z 3xy 的最大值为x 3y 4 0,A .-4B .04 D . 4C .3x 的值为 -4 ,则输出y 的值为.阅读右侧的程序框图,运转相应的程序,若输入3A .,0. 5B . 1C .2D . 44.设会合 Ax R | x 2 0 , B x R | x 0 , C x R | x( x 2)0 ,则“ xAB ”是“ xC ”的A .充足而不用要条件B .必需而不充足条件C .充足必需条件D .即不充足也不用要条件5.已知 a log 2 3.6, blog 4 3.2,c log 4 3.6 则A .a b cB .a c b C.b a c D .c a b 6.已知双曲线x2 y2 1(a 0, b 0) 的左极点与抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点的距离a2 b2为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 57.已知函数 f (x) 2sin( x ), x R ,此中0, , 若 f (x) 的最小正周期为 6 ,且当 x 时, f (x) 获得最大值,则2()A .f ( x)在区间[ 2 ,0] 上是增函数B.f (x)在区间[ 3 , ] 上是增函数C.f ( x)在区间[3 ,5 ] 上是减函数D.f (x)在区间[4 ,6 ] 上是减函数8 .对实数a和b a b a, a b 1,,定义运算“”:b,a b设函数1.f ( x) (x2 2) ( x 1), x R 。
绝密 ★ 启用前普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题,每小题5分,共50分。
参考公式:·如果时间A ,B 互斥,那么·球的表面积公式P (A+B )=P (A )+P (B )24S R π=.·如果事件A ,B 相互独立,那么其中R 表示球的半径.P (A·B )=P (A )·P (B )一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)i 是虚数单位,()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i解析:()31(1)11111i i i i ii i i +-+-===----,选A . (2)设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ,则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5解析:如图,由图象可知目标函数y x z +=5过点(1,0)A 时z 取得最大值,max 5z =,选D .(3)设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π,则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 解析:()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数,选B .(4)设b a ,是两条直线,βα,是两个平面,则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a 解析:A 、B 、D 直线,a b 可能平行,选C .(5)设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C)21(D) 772解析:由椭圆第一定义知2a =,所以24m =,椭圆方程为22111432x y e d +=⇒== 所以2d =,选B .(6)设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|,则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a 解析:{|15}S x x x =<->或,所以13185a a a <-⎧⇒-<<-⎨+>⎩,选A .(7)设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-,则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f1-在其定义域上是减函数且最小值为0(C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0解析:1y =为减函数,由复合函数单调性知()f x 为增函数,所以1()f x -单调递增,排除B 、C ;又1()f x -的值域为()f x 的定义域,所以1()f x -最小值为0.(8)已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ,则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x解析:依题意得11010(1)()(1)1x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩≥≤⎩≤或所以11111111x x x x x x R x ⎧≥-≤≤⇒≤∈≤≤<-⎧⎪⇒<--⎨⎨⎪⎩⎩或或,选C . (9)已知函数()x f 是R 上的偶函数,且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ,则(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<解析:5(cos)(c 2os )77b f f ππ=-=,5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<,所以220cos sin 1tan7772πππ<<<<,所以b a c <<,选A . (10)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种解析:首先确定中间行的数字只能为1,4或2,3,共有12224C A =种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46360A =去掉不合题意的情况数:中间行数字和为5,还有一行数字和为5,有4种排法,余下两个数字有2412A =种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法.由乘法原理可知共有31248412⨯=种不同的排法,选B .第Ⅱ卷注意事项: 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2020年天津卷数学⾼考试题⽂档版(含答案)绝密启⽤前2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(天津卷)数学本试卷分为第卷(选择题)和第卷(⾮选择题)两部分,共150分,考试⽤120分钟第卷1⾄3页,第卷4⾄6页答卷前,考⽣务必将的姓名、考⽣号、考场号和座位号填写在答规定位置粘贴考试⽤条形码答卷时,考⽣务必将答案涂写在答题卡的⽆效考试结束后,将本试卷和答题卡⼀并交回祝各位考⽣考试顺利!第卷注意事项1.每⼩题选出答案后,⽤铅笔将答题上应的答案标号涂⿊如需改动,⽤橡⽪擦⼲后,再选涂其他2.本卷共9⼩题,每⼩题5参考公式·如果事件与事互斥,那么.如果事件与事相互独⽴,那么.球的表积公式其中表⽰球的半径⼀.选择题在每题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的1.设,集合,则B.C.D.2设,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3函数的图象⼤致为ABCD4.从⼀批零件中抽取80个,测量其直径(位),将所得数据分为9组:,并整理得到如下频率分布直⽅图,则在被抽取的零件中,直径落在间内的个数为A.10B.18C.20D.365若棱长为的正⽅体的顶点都在同⼀球⾯上,则该球的表⾯积为A.B.C.D.6设,则的⼤⼩关系为B. C.D.7设双曲线的⽅程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的⼀条渐近线与平⾏,另⼀条渐近线与垂直,则双曲线的⽅程为A.B.C.D.8已知函数给出下列结论①的最⼩正周期为;是的最⼤值③把函数的图象上点向左平移个单位长度,可得到函数的图象其中所有正确结论的序A.B.C.D.9.已知函数恰有4个零点,则的取值范围是A.B.C.D.第卷注意事项1.⽤⿊⾊墨⽔的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2.本卷共11⼩题,共105分.填空题:本⼤题共6⼩题,每⼩题5分,共30分.试题中包含两个对1个的给3分,全部答对的给5分10.是虚数单位,复数11.在的展开式中,的系数是12.已知直线和圆相交于两点.若,则的值为13.已知甲、⼄两球落⼊的概率分别为和.假定两球是否落⼊盒⼦互不影响,则甲、⼄两球都⼦的概率为甲、⼄两球⾄少有个落⼊盒⼦的14.已知且,则的最⼩值为15.如图,在四边形中,,,且则实数的值为,若是线段上的动点,且,则的最⼩值为三解答题本⼤题共5⼩题,共75分.解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤16.(本⼩题满分14分)在中,⾓所对的边分别为.已知.()求⾓的⼤⼩;()求的值;(求的值.17(本⼩题满分15分)如图,在三棱柱中,平⾯,,点分别在棱和上,且为棱的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求⼆⾯⾓的正弦值;(Ⅲ)求直线与平⾯所成⾓的正弦值.18.(本⼩题满已知的⼀个顶点为,右焦点为,且,其中为(Ⅰ)求椭圆的⽅程(已知点满⾜,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆⼼的圆相切于点,且为线段的中点.求直线的⽅程.19(本⼩题满分15分)已知为等差数列,为等⽐数列,()求和的通项公式()记的前项和为,求证:;()对任意的正整数,设的项和20.(本⼩题满分16分)已知函数为的导函数()当时,(i)求曲线点处的切线⽅程(i)求函数的单调区间和极值(当时求证:对任意的,且,有.2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(天津卷数学参考解答选择题:每⼩题5分,满分45分1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D⼆填空题:每⼩题5分,满分30分.试题中个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分10. 11.10 12.5 13.; 14.4 15.;三解答题16满分14分()解:中,由余弦定理及,有⼜因为,所以.中,由正弦定理及可得(Ⅲ)解由及,可得进⽽.所以.17满分15分依题意,以为原点,分别以的⽅向为轴,轴,轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系(如图)可得,,.()证明:依题意,,,从⽽,所以()解:依题意,是平⾯的法向量,,设为平⾯的则不妨设,可得因此有是所以,⼆⾯⾓正弦值为()解:.由()知为平⾯的⼀个法向量是.所以直线与平⾯所成⾓的正弦值为18.满分15分()解:由已知可得.记半焦距为,由可得.⼜由,可得.所以,椭圆的⽅程为()解:因为直线与以为圆⼼的圆相切于点,所以.依题意,直线和直线的斜率均存在设直线的⽅程为由⽅程组消去,可得,解得,或依题意,可得点的.因为为线段的中点,点的坐标为,所的坐标为由,得点的坐标为,故直线,即⼜因为,所以整理得解得或所以,直线的⽅程为,或19.满分15分()解:设等差数列,等⽐数列的公⽐为.由,,可得的通项公式为.由,⼜,可得解得,从⽽的通项公式为()证明可得,,,从⽽,所以(Ⅲ)解当为奇数时,当为偶数时,对任意的正整数,有和由得由得从⽽得因此.所以,数列的前项和为20.满分16分()()解:当时,.可得,,所以曲线在点处的线⽅程为,即(i)解:依题意,.从⽽可得.令,解得当变化时,的变化情况如下表:1 - 0 + 极⼩值所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;的极⼩值为,⽆极⼤值.()证明:由,得对任意的,且,令,则令当时,由此可得在单调递增,所以当时,.因为,,所以.②由()(i)可知,当,即,故由可得.所以,当时,对任意的,且,有1。
2024年高考数学真题试卷(天津卷)1.一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分。
在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
集合,,则( ) A. B. C. D.2.设,则“”是“A.充分不必要条件C.充要条件3.下列图中,线性相关性系数最大的是( ”的( )B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件)A. B.C.D.4.下列函数是偶函数的是( ) A. B. C. D.5.若,则的大小关系为( )A. B. C. D.6.若为两条不同的直线, A.为一个平面,则下列结论中正确的是( )若,,则B.若,则C.若,则D.若 ,则 与相交7.已知函数的最小正周期为.则在是( )的最小值A. B.C.0D.8.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点,且直线的斜率为2.是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )A. B.C. D.9.一个五面体.已知,且两两之间距离为1.并已知.则该五面体的体积为( )A. B.C. D.10.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.已知是虚数单位,复数11._______________.在12.的展开式中,常数项为_______________.圆的圆心与抛物线的焦点重合,为两曲线的交点,则原点到直线的距离为_______________.13.五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为_______________;已知乙选了活动,他再选择14.在边长为1活动的概率为_______________.的正方形中,点为线段的三等分点,,则_______________;为线段上的动点,为中点,则_______________的最小值为.15.若函数恰有一个零点,则16.的取值范围为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤在中,角所对的边分别为,已知16.1..求16.2.;求16.3.;求17.的值.已知四棱柱中,底面为梯形,,平面,,其中.是的中点,是的中点.17.1.求证平面17.2.;求平面与平面17.3.的夹角余弦值;求点到平面18.的距离.已知椭圆椭圆的离心率.左顶点为,下顶点为是线段的中点,其中18.1. 求椭圆方程.18.2..过点的动直线与椭圆有两个交点.在轴上是否存在点使得.若存在求出这个点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.19.已知数列是公比大于0的等比数列.其前项和为.若19.1..求数列前项和 19.2.;设,(ⅰ.)当时,求证:(ⅱ;)求20..设函数 20.1..求图象上点 20.2.处的切线方程;若在 时恒成立,求 20.3.的值;若,证明参考答案1.B 解析:根据集合交集的概念直接求解即可..因为集合,,所以故选:B2.C 解析:说明二者与同一个命题等价,再得到二者等价,即是充分必要条件,.根据立方的性质和指数函数的性质,和都当且仅当故选:C.3.A 解析:由点的分布特征可直接判断观察4幅图可知,A ,所以二者互为充要条件.图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,值相比于其他3图更接近1.对A 故选:A4.B 解析:根据偶函数的判定方法一一判断即可.,设,函数定义域为,但,,则对B ,故A错误;,设,函数定义域为,且,则对C 为偶函数,故B正确;,设,函数定义域为 ,不关于原点对称,则错误;对D 不是偶函数,故C,设,函数定义域为,因为,,则,则故选:B.5.B 解析:利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可不是偶函数,故D错误..因为在上递增,且,所以,所以,即,因为在上递增,且,所以,即,所以对于A 故选:B6.C 解析:根据线面平行的性质可判断AB的正误,根据线面垂直的性质可判断CD的正误,.,若,,则对于B 平行或异面或相交,故A错误.,若,则对于C 平行或异面或相交,故B错误.,,过作平面,使得,因为,故,而,故,故对于D ,故C正确.,若,则与故选:C.7.A 解析:相交或异面,故D错误.先由诱导公式化简,结合周期公式求出,得,再整体求出时,的范围,结合正弦三角函数图象特征即可求解.,由得,即,当时,,画出图象,如下图,由图可知,在上递减,所以,当时,故选:A8.C 解析:可利用三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设,由面积公式求出,由勾股定理得出,结合第一定义再求出.如下图:由题可知,点必落在第四象限,,设,,由,求得,因为,所以,求得,即,,由正弦定理可得:,则由得,由得,则,由双曲线第一定义可得:,,所以双曲线的方程为故选:C9.C 解析:采用补形法,补成一个棱柱,求出其直截面,再利用体积公式即可..用一个完全相同的五面体(顶点与五面体一一对应)与该五面体相嵌,使得;;重合,因为,且两两之间距离为1.则形成的新组合体为一个三棱柱,该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1,的等边三角形,侧棱长为,故选:.C.10.借助复数的乘法运算法则计算即可得 解析:..故答案为:11.20 解析:根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可..因为的展开式的通项为,令,可得,所以常数项为故答案为:20.12.1、 .参考1:;参考2:; 解析:先求出圆心坐标,从而可求焦准距,再联立圆和抛物线方程,求及的方程,从而可求原点到直线的距离.圆的圆心为,故即,由可得,故或(舍),故,故直线即或,故原点到直线的距离为,故答案为:13. 解析:结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到的概率;采用列举法或者条件概率公式可求乙选了活动,他再选择解法一:列举法活动的概率.从五个活动中选三个的情况有:,共10种情况,其中甲选到有6种可能性:,则甲选到得概率为:;乙选活动有6种可能性:,其中再选则有3种可能性:,故乙选了活动,他再选择活动的概率为.解法二:设甲、乙选到为事件,乙选到为事件,则甲选到的概率为;乙选了活动,他再选择活动的概率为故答案为:;14. 解析:解法一:以为基底向量,根据向量的线性运算求,即可得,设,求,结合数量积的运算律求的最小值;解法二:建系标点,根据向量的坐标运算求,即可得,设,求,结合数量积的坐标运算求的最小值.解法一:因为,即,则,可得,所以;由题意可知:,因为为线段上的动点,设,则,又因为为中点,则,可得,又因为,可知:当时,取到最小值解法二:以B ;为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则,可得,因为,则,所以;因为点在线段上,设,且为中点,则,可得,则,且,所以当时,取到最小值为;故答案为:;.15. 解析:结合函数零点与两函数的交点的关系,构造函数与,则两函数图象有唯一交点,分、与进行讨论,当时,计算函数定义域可得或,计算可得时,两函数在轴左侧有一交点,则只需找到当时,在轴右侧无交点的情况即可得;当时,按同一方式讨论即可得.令,即,由题可得,当时,,有,则,不符合要求,舍去;当时,则,即函数与函数有唯一交点,由,可得或,当时,则,则,即,整理得,当时,即,即,当,或(正值舍去),当时,或,有两解,舍去,即当时,在时有唯一解,则当时,在时需无解,当,且时,由函数关于对称,令,可得或,且函数在上单调递减,在上单调递增,令,即,故时,图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得,由的渐近线方程为,即部分的渐近线方程为,其斜率为,又,即在时的斜率,令,可得或(舍去),且函数在上单调递增,故有,解得,故符合要求;当时,则,即函数与函数有唯一交点,由,可得或,当时,则,则,即,整理得,当时,即,即,当,(负值舍去)或,当时,或,有两解,舍去,即当时,在时有唯一解,则当时,在时需无解,当,且时,由函数关于对称,令,可得或,且函数在上单调递减,在上单调递增,同理可得:时,图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得,部分的渐近线方程为,其斜率为,又,即在时的斜率,令,可得或(舍去),且函数在上单调递减,故有,解得,故符合要求;综上所述,.故答案为:.关键点点睛:本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题,从而可将其分成两个函数研究.16.1. 解析:设,,则根据余弦定理得,即,解得(负舍);则.16.2. 解析:法一:因为为三角形内角,所以,再根据正弦定理得,即,解得,法二:由余弦定理得,因为,则16.3. 解析:法一:因为,且,所以由(2,)法一知,因为,则,所以,则,.法二:,则,因为为三角形内角,所以,所以17.1.证明见解析 解析:取中点,连接,,由是的中点,故,且,由是的中点,故,且,则有、,故四边形是平行四边形,故,又平面,平面,故平面;17.2. 解析:以为原点建立如图所示空间直角坐标系,有、、、、、,则有、、,设平面与平面的法向量分别为、,则有,,分别取,则有、、,,即、,则,故平面与平面的夹角余弦值为;17.3. 解析:由,平面的法向量为,则有,即点到平面的距离为.18.1.解析:因为椭圆的离心率为,故,,其中为半焦距,所以,故,故,所以,,故椭圆方程为:18.2..存在,使得恒成立. 解析:若过点的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:,设,由可得,故且而,故,因为恒成立,故,解得.若过点的动直线的斜率不存在,则或,此时需,两者结合可得.综上,存在,使得恒成立.19.1. 解析:设等比数列的公比为,因为,即,可得,整理得,解得或(舍去),所以19.2..①证明见详解;② 解析:略20.1. 解析:由于,故.所以,,所以所求的切线经过,且斜率为,故其方程为20.2.2 解析:.设,则,从而当时,当时.所以在上递减,在上递增,这就说明,即,且等号成立当且仅当.设,则.当时,的取值范围是,所以命题等价于对任意,都有.一方面,若对任意,都有,则对有,取,得,故.再取,得,所以.另一方面,若,则对任意都有件.,满足条综合以上两个方面,知20.3.证明过程见解析的值是2.解析:先证明一个结论:对,有.证明:前面已经证明不等式,故,且,所以,即.由,可知当时,当时.所以在上递减,在上递增.不妨设,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一:当时,有;,结论成立情况二:当时,有.对任意的,设,则.由于单调递增,且有,且当,时,由可知.所以在上存在零点,再结合单调递增,即知时,时.故在上递减,在上递增.①当时,有;②当时,由于,故我们可以取.从而当时,由,可得.再根据在上递减,即知对都有;综合①②可知对任意,都有,即.根据和的任意性,取,,就得到.所以.情况三:当时,根据情况一和情况二的讨论,可得,.而根据的单调性,知或.故一定有成立.综上,结论成立.。
2018年天津高考试卷:数学高考时间
天津2018年高考时间安排在6月7、8日举行,具体考试时间以官方公告为准。
时间6月7日6月8日上午语文(09:00:00-11:30:00)文科综合/理科综合(09:00:00-11:30:00)下午数学(15:00:00-17:00:00)外语(15:00:00-17:00:00)
违规处理:
考试莫作弊,作弊蹲大狱
2015年11月起。
正式实施刑法明确规定:法律规定的国家考试中(含高考)组织作弊的,将按照刑法定罪,可处有期徒刑7年。
在这里小编要提醒广大考生,切莫投机取巧,耍小聪明,以免招惹牢狱之灾。
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