第四章回转体及其投影曲面体的表面由曲面或曲面与平面构成，最常见的曲面体是回转体。
本章主要讨论曲面体的构成要素曲线、曲面的投影特征；回转体的投影；平面与回转体相交、回转面与回转面相交，交线的投影。
§4-1 曲线、曲面的投影曲线、曲面和直线、平面一样都是构成立体表面形状及其轮廓线的几何元素。
掌握曲线、曲面的投影特征，有利于学习曲面立体的投影作图，本节将概括介绍曲线、曲面的形成、分类及常见曲线、曲面的投影特征。
一、曲线1.曲线的基本知识（1）曲线的形成工程上常用的曲线都具有一定规律，称为规律曲线。
规律曲线的形成通常有下列三种形式：图4-1 曲线的形成1) 动点的运动轨迹L（图4-1a），即动点A在运动方向连续改变下所形成的轨迹。
2) 两面的交线L，平面与曲面或者曲面与曲面的交线（图4-1b）。
3) 直线族或曲线族的包络线L，即与直线族中每一条直线都相切的曲线L，或与圆族中每一个圆都相切的曲线L（图4-1c）。
（2）曲线的分类平面曲线曲线上所有的点都在同一平面内，如圆、椭圆、双曲线等。
空间曲线曲线上任意连续的四点不在同一平面内。
如圆柱螺旋线等。
（3）曲线的投影特征1) 曲线的投影一般仍为曲线，平面曲线在特殊情况下（平面曲线所在平面垂直于投影面时）可投影为直线（图4-2a）。
2）点在曲线上，点的各面投影均在曲线的同面投影上。
因此，取曲线上若干个点，求出这些点的投影，并依次光滑地连接这些点的同面投影，就可得曲线的投影。
这是作曲线投影的基本方法（图4-2a）。
3) 曲线上某点的切线的投影，一般情况下，该切线的投影也过切点与曲线的投影相切（图4-2b）。
但当曲线的切线垂直于投影面时，切线在该投影面上的投影积聚为一点，曲线的该面投影则在该点形成一个尖的回折点（图4-2c）。
根据曲线的这些投影特性，可以作出曲线的投影和检查曲线投影的正确性。
图4-2 曲线的投影特征2.常见平面曲线（圆）的投影圆是最常见的一种规律曲线，下面介绍特殊位置平面内的圆的投影。
（1）平行于投影面的圆的投影在图4-3a中，圆O平行于H面（即圆O所在的平面是一个水平面）。
因此，它在H面上的投影反映圆的实形，在V面和W面的投影积聚为长度等于直径的直线段，并且分别平行于OX轴和OY W轴（3-56b）。
图4-3 平行于H面的圆的投影平行于V面和平行于W面的圆的投影与平行于H面的圆的投影情况类似。
由此可以得出，平行于投影面的圆的投影特征：在圆所平行的投影面上的投影反映圆的实形，其余两面投影积聚为长度等于其直径的直线段，并且平行于相应的投影轴。
（2）垂直于投影面的圆的投影在图4-4a中，圆O垂直于V面，倾斜于H面和W面（即圆O所在的平面是一个正垂面）。
因此，它的V面投影积聚为一长度等于直径的直线段， H面投影和W面投影均为椭圆。
圆内垂直于V面的直径CD是正垂线。
V面投影积聚为一个点，位于圆V面投影积聚直线a′b′的中点（图4-4），H面投影cd和W面投影c"d"都反映圆的直径的实长，分别为H面投影椭圆和W面投影椭圆的长轴。
与CD垂直的直径AB（正平线），H面投影ab和W面投影a"b"，分别为H面投影椭圆和W面投影椭圆的短轴。
椭圆的长轴和短轴已知后，可按第一章第三节中椭圆的画法画出椭圆。
垂直于H面和垂直于W面的圆的投影与上述垂直于V面的圆的投影类似。
由此可以得出，垂直于投影面的圆的投影特征：在圆所垂直的投影面上的投影积聚为一长度等于直径的直线段，其余两面投影均为椭圆。
图4-4 垂直于V面的圆的投影3.常见空间曲线（圆柱螺旋线）的投影（1）圆柱螺旋线的形成图4-5a所示，一动点A沿圆柱面上一素线MN作等速移动，同时该素线MN又绕圆柱面轴线O-O作等速回转；此时动点A的运动称为螺旋运动；动点A在圆柱面上留下的轨迹称为圆柱螺旋线；该圆柱面称为导面。
图4-5 圆柱螺旋线的形成（2）圆柱螺旋线的要素导面直径D：即圆柱面（导面）的直径。
导程P h：动点A绕导面轴线回转一周时，沿导面轴线方向所移动的距离（图4-5a）。
旋向：素线MN绕导面轴线的回转方向不同，动点A在导面上留下的轨迹（即螺旋线）亦不同。
因此，螺旋线就有左旋和右旋之分。
将导面轴线正对观察者的鼻梁，可见的螺旋线右边高，称为右旋螺旋线（图4-5b）；左边高称为左旋螺旋线（图4-5c）。
工程上常用的是右旋螺旋线。
（3）圆柱螺旋线的投影下面讨论导面直径为D，轴线⊥H面，导程为P h的右旋圆柱螺旋线的投影作图。
分析：轴线⊥H面的圆柱导面，其H面投影积聚在直径为D的圆周上，V面投影为一矩形框。
圆柱螺旋线是动点A在圆柱导面上运动留下的轨迹，是圆柱导面上的线。
因此，它的H面投影与圆柱导面的H面投影积聚的圆周重合，它的V面投影无积聚性，反映轨迹大致形状。
作图：1) 完成圆柱导面的两面投影（图4-6a）。
2) 将圆柱导面的H面投影（积聚的圆周）与V面投影中的一个导程等分为相同等份（如12等份）；并在圆柱导面投影的矩形框内，过各等分点作OX轴的平行线（虽然此例没画出OX 轴，但作图时应常想到它），见图4-6b所示。
3) 用追踪动点A的轨迹的方法来确定圆柱螺旋线的V面投影。
动点A转过1/12圆周时，它沿轴向也走过了导程的1/12。
因此，从H面投影圆周的第一等份点a1（即1/12圆周处）作OX 轴的垂线，与导程的1/12处的OX轴平行线相交得a1′，同理求出a2′、a3′……a12′（图4-6c）。
4) 按可见性依次光滑地连接上述各点，即得圆柱螺旋线的V面投影（图4-6c）。
注意：圆柱导面的后半部分V面投影不可见，其上螺旋线的投影也不可见，用细虚线绘制。
图4-6 圆柱螺旋线的投影二、曲面51.曲面的基本知识（1）曲面的形成一动线（直线或曲线）在空间连续运动的轨迹就构成曲面。
该动线称为母线，母线的任一位置称为素线，用来控制母线运动的点、线、面则称为导点、导线、导面。
如图4-7a所示，动线L在沿着曲线ABC连续滑动的同时，始终保持通过一个定点S。
动线L的轨迹就构成曲面，动线L即是母线，控制L运动的曲线ABC、及定点S即是导线和导点，母线的任一位置SA、SB、SC等即是素线。
曲面的几何性质，由母线的几何性质和母线的约束条件所决定。
但同一几何性质的曲面，可由不同的母线在不同的约束条件下运动而形成。
在图4-7中，直母线L绕导线O–O回转，并保持与O–O平行等距，其轨迹为一圆柱面（图4-7b）。
但该圆柱面也可以看作是由一个与导线O–O垂直的动线圆（圆心在导线O–O上），沿O–O平移而形成的（图4-7c）。
5工程上应用最广的曲面是规律曲面，本书只讨论规律曲面。
图4-7 曲面的形成（2）曲面的分类由于曲面由母线的几何性质和母线运动的约束条件决定。
因此，曲面有两种常见的分类方式：1) 按母线的几何性质不同分类：曲面分为直纹面（由直母线运动形成）和曲纹面（由曲母线运动形成）。
2) 按母线的运动形式不同分类：曲面分为回转面（母线绕固定直线旋转形成）和非回转面。
虽然同一几何性质的曲面，可以由不同的母线在不同的约束条件下运动而形成，但分类只以最便于作图表达的那种形成方法的情况来进行。
（3）曲面的投影特征根据曲面最易于表达的形成规律，画出曲面的母线、导点、导线及导面的投影，曲面的投影就完全确定。
画出图4-8a所示曲面的导线ABC、导点S及母线L的投影，该曲面的投影（曲面的几何性质及空间位置）就完全确定（图4-8b）。
但这样的投影缺乏实感（没有面的感觉）。
因此，画曲面的投影时，常常还需画出曲面的转向线的投影及若干素线的投影（图4-8c）。
图4-8 曲面的投影特征曲面转向线是将曲面向投影面投射时，曲面上遮挡部分与被遮挡部分的分界线。
它是切于曲面的诸投射线构成的面与曲面的切线（图4-9a中的L线）。
它在该方向的投影表达了曲面在该方向的投影范围（图4-9a）。
图4-9 曲面的转向线显然投射方向不同，曲面转向线在曲面上的位置不同（图4-9）。
我们规定：将曲面向V 面投射时具有的转向线称为曲面的V面转向线线（图4-9a中的L线）；曲面向H面投射时具有的转向线称为曲面的H面转向线（图4-9b中的M线）；曲面向W面投射时具有的转向线称为曲面的W面转向线。
2. 正螺旋面的形成及投影（1）正螺旋面的形成一直母线L沿曲导线G（圆柱螺旋线）及直导线T（圆柱轴线）运动，且始终平行于直导线T所垂直的平面P，其轨迹称为正螺旋面（图4-10a）。
（2）正螺旋面的投影分析：将上述平面P看作H投影面，则直导线T就是铅垂线，母线就是水平线。
利用前面所学直线及曲线的投影特征，便可完成该正螺旋面的投影。
作图：1) 作出曲导线G、直导线T的两面投影（图4-10b）。
2) 为了增强实感，作出若干素线(水平线)的投影（图4-10c）。
图4-10正螺旋面的形成及投影工程上常用环形正螺旋面（4-11a）。
环形正螺旋面的形成可以看成是一直母线L沿两条曲导线（圆柱螺旋线）运动，且始终平行于曲导线轴线所垂直的平面P。
工程上常见的环形正螺旋面都有一中心圆柱面（图4-11a）。
将平面P看成H投影面，素线都是水平线，下面讨论环形正螺旋面的投影作图。
1) 画出中心圆柱面的两面投影，该圆柱面垂直于H面，因此，水平投影积聚为一圆周，正面投影为一矩形（4-11b）。
2) 画出两曲导线的两面投影（4-11c）。
3) 画出若干素线的两面投影。
注意：中心圆柱面的V面投影与环形正螺旋面的V面投影存在相互遮挡，后半圆柱面上的螺旋面为不可见，圆柱面的V面转向线也有两小段不可见，均应画成细虚线（4-11c）。
图4-11环形正螺旋面的形成及投影3. 回转面的形成及投影（1）回转面的形成母线（直线或曲线）绕一固定直线回转所形成的曲面称为回转面。
图4-12所示的曲面，是以ABCD为母线，O-O为固定直线所形成的回转面。
该固定直线称为回转轴（简称轴线），母线上任一点随母线旋转一周所形成的轨迹是一个垂直于轴线，且圆心位于轴线上的圆，该圆称为纬圆。
回转面上最大的纬圆称为赤道圆，最小的纬圆称为喉圆（图4-12）。
图4-12回转面的形成工程上常见的回转面有圆柱面、圆锥面、圆球面、圆环面及组合型回转面，它们的形成如图4-13所示。
注意：圆球面与圆环面形成的区别，母线圆心位于回转轴上形成圆球面；母线圆心不在回转轴上，形成的是圆环面。
图4-13常见回转面的形成（2）回转面的投影画回转面的投影主要是画回转面转向线的投影：画回转面的V面投影，主要是画回转面V面转向线的V面投影；画回转面的H面投影，主要是画回转面H面转向线的H面投影。
由于回转面是母线绕回转轴旋转形成的曲面，因此，它的回转轴线也是它的对称轴线。
画回转面的投影时，应使回转面的轴线垂直于某一投影面。
下面以图4-14a所示回转面为例，讨论回转面的投影作图。
