(高一下数学期中14份合集)福建省福州市高一第二学期半期考精选试卷含答案

一、单选题1．已知，则的虚部为（ ）()3i 2i z =⋅+z A ． B ． C ． D ．12-2i 2i -【答案】B【分析】利用复数的乘方及乘法运算化简复数，即可确定其虚部.【详解】，虚部为.()()32i 2i i 2i 2i i 12i z =⋅+=-⋅+=--=-2-故选：B2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个O A B '''O A A B ''''=2O B ''=平面图形的面积是（ ）A ．B ．1CD 【答案】A【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边， Rt O A B '''△O A A B ''''=2O B ''=∴ O A B ''''==∴，2,2OB O B OA O A ''''====∴原平面图形的面积是.122⨯⨯=故选：A ．3．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（ ）a b cA ．若直线，异面，，异面，则，异面 a b b c a cB ．若直线，相交，，相交，则，相交 a b b c a cC ．若，则，与所成的角相等a b A a b c D ．若，，则a b ⊥r rb c ⊥a c A 【答案】C【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可.【详解】对于A ，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， a b b c a c 如在正方体中，与异面，与异面，， 1111ABCD A B C D -AD 1BD 1BD 11B C 11AD B C ∥或与异面，与异面，与相交于点，AD 1BD 1BD CD AD CD D 或与异面，与异面，与异面，故选项A 错误；AD 1BD 1BD 11A B AD 11A B 对于B ，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， a b b c a c 如在正方体中，与相交于点，与相交于点，， 1111ABCD A B C D -AB 1BD B 1BD 11D C 1D 11AB D C ∥或与相交于点，与相交于点，与相交于点，AB 1BD B 1BD 1AD 1D AB 1AD A 或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B 错误； AB 1BD B 1BD 11A D 1D AB 11A D 对于C ，由异面直线所成角的定义，选项C 正确；对于D ，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种，a b ⊥r rb c ⊥a c 如在正方体中，，，， 1111ABCD A B C D -1AB AA ⊥111AA A B ⊥11AB A B ∥或 ，，与相交于点，1AB AA ⊥1AA BC ⊥AB BC B 或 ，，与异面，故选项D 错误. 1AB AA ⊥111AA A D ⊥AB 11A D 故选：C.4．已知平面向量与的夹角为，则实数的值为（ ） ,a b a b ()30,b a a λ-⊥λA ．B ．2C ．D ．2-12-12【答案】B【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案.【详解】因为，所以，()b a a λ-⊥()0b a a λ-⋅= 即，故，20a b a λ⋅-=130,2λλ=∴=故选：B5．平行四边形ABCD ，点E 满足，，则（ ） 4AC AE = ()2,R 2DE AB AD λμλμ=+∈λμ+=A ．B ．C ．D ．1181412【答案】A【分析】先根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理即可得解.DE ,AB AD【详解】， ()11134444DE AE AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 又因为，22DE AB AD λμ=+所以，所以，124324λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1238λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以. 131288λμ+=-=故选：A.6．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知 ） AB =A ．18πB ．16πC ．14πD ．12π【答案】A【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的O 半径和表面积.【详解】如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接1111F EFG E G H H -1111E F G H O 1O ，1111,,,E G OO OA O A∵分别为的中点，则 ,A B 1111,E H H G 112E G AB ==∴正方体的边长为， 3EF =故，可得 1132OO O A ==OA ==根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半O O径， R OA ==故该半正多面体外接球的表面积为.224π4π18πS R ==⨯=故选：A.7．已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM ADA ．B C D ．1223【答案】C【分析】设正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，取BD 的中点N ，连结MN ，CN 则MN ∥AD ，∠CMN 或其补角是CM 与AD 所成的角，由此能求出直线CM 与AD 所成角的余弦值． 【详解】如图，设正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，取BD 的中点N ， 连结MN ，CN ，∵M 是AB 的中点，∴MN ∥AD ， ∴∠CMN 或其补角是CM 与AD 所成的角，设MN 的中点为E ，则CE ⊥MN ，在△CME 中，ME ，CM ＝CN 12==∴直线CM 与AD 所成角的余弦值为cos ∠CME .ME CM ===故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ） 3πA ．圆锥的母线长为1 B ．圆锥的底面半径为2C D ．圆锥的侧面积为π【答案】C【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据侧面展开图为一个半圆,得出半径与母线的关系，r l 结合圆锥的表面积求出半径与母线，然后对选项进行逐一判断即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，r l 由侧面展开图为一个半圆，则，所以，1222l r ππ⨯⨯=2l r =圆锥的表面积为，则，， 2233lr r r ππππ+==1r =2l =圆锥的高h ==圆锥的体积为，213r h π=圆锥的侧面积为， 2rl ππ=故选：C二、多选题9．已知复数满足，则（ ） z ()2i 13i z +=+A B ．在复平面内对应的点位于第二象限 z C ． D ．满足方程44z =z 2220z z -+=【答案】AD【分析】根据复数的运算及其几何意义，逐个选项判断即可．【详解】对于A ：，故A 正确； 13i1i 2iz +==++对于B ：在复平面内对应的点位于第四象限，故B 错误；1i z =-对于C ：，故C 错误； 24422(1i)(1i)(2i)4z =⎡⎤=++==-⎣⎦对于D ：，故D 正确；． 2222(1i)2(1i)22i 22i 20z z -+=+-++=-++=故选：AD ．10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）()1,a λ= ()2,1b =-A ．若，则B ．若，则0λ=2a b +=//a b 12λ=-C ．若与的夹角为锐角，则D ．若，则在上的投影向量为 a b2λ<1λ=-a b 35b -【答案】BD【分析】利用向量模及共线向量的坐标表示，计算判断AB ；利用向量夹角公式计算判断C ；求出投影向量判断D 作答.【详解】平面向量，， ()1,a λ= ()2,1b =-对于A ，当时，，因此，A 错误；0λ=(1,1)a b =- +||a b +=对于B ，，则有，解得，B 正确；//a b 21λ-=12λ=-对于C ，与的夹角为锐角，则且与不共线，当时，，a b 0a b ⋅> a b0a b ⋅> 1(2)10λ⨯-+⨯>解得，由B 选项知，当时，与不共线，因此，C 错误；2λ>12λ≠-a b 2λ>对于D ，当时，，而1λ=-3a b ⋅=-||b == 因此在上的投影向量为，D 正确.a b 35||||a b b b b b ⋅⋅=-故选：BD11．如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，，则下1SO OC ==列结论正确的是（ ）A ．圆锥SOB ．三棱锥S -ABC 体积的最大值为13C ．∠SAB 的取值范围是ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭D ．若，F 为线段AB 上的动点，则 AB BC =SF CF +1【答案】ABD【分析】A 求出母线长、底面周长，应用扇形面积公式求侧面积；B 棱锥体积最大只需到距B AC 离最大，并确定最大值，应用棱锥体积公式求体积；C 注意确定大小即可判断；D AB BC =SAB ∠将两个三角形展开为一个平面，由三点共线求最小值即可.【详解】A ：由题设，圆锥母线，底面周长为，故侧面积为，对； l =2π2πr =12π2⨯=B ：要使三棱锥S -ABC 体积最大，只需最大即可，即到距离最大，为，ABC S A B AC 1r =所以体积的最大值为，对；111112323⨯⨯⨯⨯=C ：当时，△为等腰直角三角形，此时 AB BC =ABC AB BC ==所以，即△为等边三角形，此时，错； SA SB AB ==SAB π3∠=SAB D ：由C 分析知：时△为等腰直角三角形、△为等边三角形， AB BC =ABC SAB 将它们展开成一个平面，如下图，要使，即共线，最小值为的长度， SF CF +,,S F C SC而，，则，对. 3π4SBC ∠=SB BC ==1SC ==故选：ABD12．在中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，，，．则下列说法正确的ABC A π3A =8b =a =是（ ）A ．为锐角三角形B ．面积为ABC A ABCA C ．AB 长度为6 D ．外接圆的面积为ABC A 52π3【答案】BD【分析】利用余弦定理求出边判断C ，再利用余弦定理判断角的范围即可判断A ，利用面积公式c 判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径即可判断D. 【详解】由，，所以，π3A =8,b a ==(222π828cos3c c =+-⨯⨯⨯即,解得或，故C 错误；28120c c --=2c =6c =当时，，所以为钝角， 2c=222cos 02a c b B ac +-===<B 此时为钝角三角形，故A 错误；ABC A 当时，2c =11sin 8222S bc A ==⨯⨯=当时，6c =11sin 8622S bc A ==⨯⨯=所以面积为B 正确；ABC A 设外接圆的半径为R，由正弦定理得，所以ABCA 2sin a R A ===R =所以外接圆的面积为，故D 正确；ABC A 2252πππ3R ⎛== ⎝故选：BD.三、填空题13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【分析】利用计算即可.11A NMD D AMN V V --=【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点 所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些. 14．在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若ABC A B C a b c S ABC ，，则__________．cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=【答案】4π【详解】试题分析：∵，∴，∴222cos 2b c a A bc+-=22211sin ()24S bc A b c a ==+-，∴，．∵，∴，∴11sin 2cos 24bc A bc A =⨯tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=2sin()sin A B C +=，∴，∴．sin 1C =2C π=4B π=【解析】解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把tan 1A =4A π=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据cos cos sin a B b A c C +=90C =︒三角形内角和，进而求得．B 15．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面1111ABCD A B C D -,E F 1111,C D B C P 内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为___________.1111D C B A AP ∥BDEF P【分析】由平行关系得出点轨迹后计算P 【详解】如图，取中点，中点，可知，11A D G 11A B H //AH DE //AG BF ，故平面平面，故点的轨迹为线段AG AH A = //AGH BDEF P GHGH =16．已知点为的外心，外接圆半径为，且满足，则的面积为O ABC A 12340OA OB OC ++=ABC A __________．【分析】由题意得到，利用，分别求得向量的||||||1OA OB OC === 2340OA OB OC ++=,,OA OB OC 两两夹角的余弦值，得出正弦值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，因为点为的外心，可得，O ABC A ||||||1OA OB OC ===由，可得①，②，2340OA OB OC ++= 234OA OB OC +=- 342OB OC OA +=- 243OA OC OB+=- ③；①式两边平方得，可得，所以；412916OA OB +⋅+= 14OA OB ⋅= 1cos 4AOB ∠=同理②③两边分别平方，可得，，7cos 8BOC ∠=-11cos 16AOC ∠=-则，， sin AOB ∠=sin BOC ∠=sin AOC ∠=所以故答案为：11111111222ABC AOB BOC AOC S S S S =++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A A A A四、解答题17．设向量满足，且,a b1==a b r r 32a b -=(1)求与夹角的大小；a b (2)求在上的投影向量.a b + b 【答案】(1) π3(2) 32b【分析】（1）利用数量积的运算律有，结合已知和向量数量积的定义求夹角2291247a a b b -⋅+= 即可；（2）所求投影向量为，根据已知和数量积的运算律求投影向量即可. ()||||a b b b b b +⋅⋅ 【详解】（1）由题设，，222232(32)91247a b a b a a b b -=-=-⋅+= 1==a b r r 所以，则，， 1312cos ,7a b -= 1cos ,2a b = ,],0π[a b ∈ 所以. π,3a b = （2）由在上的投影向量. a b + b 22()32||||||a b b b a b b b b b b b +⋅⋅+⋅=⋅= 18．已知圆锥的底面半径，高6R =8h =(1)求圆锥的表面积和体积(2)如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值O O '【答案】(1),;96π96π(2).24π【分析】（1）由已知求得圆锥的母线长,再由圆锥的侧面积与体积公式求解;（2）作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用h 表示,然后结合二次函数求最值.【详解】（1）∵圆锥的底面半径R =6，高H =8，圆锥的母线长， ∴10L ==则表面积，体积. 26036π96πS RL R πππ=+=+=21963V R H ==ππ（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,其中，8,6,(08)SO OA OB OK h h ====<<设圆柱底面半径为r ，则，即 . 868r h -=3(8)4r h =-设圆柱的侧面积为. 23322(8)(8)42r h h h h h S =⋅=⋅-'⋅=-+πππ当时，有最大值为.4h =S '24π19．在①；②；③sin cos 0a B A =()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问()2cos cos cos A c B b C a +=题：的内角所对的边分别为，且满足________.ABC A ,,A B C ,,a b c (1)求A ；(2)若，求的面积.a =sin 2sin C B =ABC A 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】(1)π3【分析】（1）选择①，由正弦定理边化角可得，求得答案；选择②，由正弦定sin 0A A =理边化角，再结合余弦定理求得答案；选择③，由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求得答案；（2）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得，利用三角形面积公式即得答案.,b c【详解】（1）选择①，,sin cos 0a B A =由正弦定理，得, sin sin cos 0A B B A =而,故(0,π),sin 0B B ∈∴≠sin 0,tan A A A =∴=. π(0,π),3A A ∈∴=选择②，,()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-由正弦定理，得，整理得，22()b c a bc -=-222b c a bc +-=又 而. 2221cos ,22b c a A bc +-==π(0,π),3A A ∈∴=选择③，，()2cos cos cos A c B b C a +=由正弦定理，得，()2cos sin cos cos sin sin A C B C B A +=即，即,()2cos sin sin A B C A +=2cos sin sin A A A =又， (0,π),sin 0A A ∈∴≠所以,故. 1cos 2A =π3A =（2）由若，可得，a =sin 2sin C B =2cb =故，即， 222cos 2bc a A bc+-=22153,1,224b b c b -=∴==故11sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯=A20．已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为. ()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=->π2(1)求函数的单调递增区间；()f x (2)若函数，且在上有两个零点，求的取值范围. ()()g x f x b =-()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦b 【答案】(1) ()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，根据题意可得出函数的最小正周期，结合正()f x 弦型函数的周期公式可求得的值，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区ω()f x 间；（2）分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于的不等式组，解之即可. ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦b【详解】（1）解：因为 ()21cos 2cos cos 22x f x x x x x ωωωωω+=-=-， 11π12cos 2sin 22262x x x ωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为函数图象相邻对称中心之间的距离为，故函数的最小正周期为， π2()f x π因为，则，则，故. 0ω>2π22πω==1ω=()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由可得， ()πππ2π22π262k x k k -≤-≤+∈Z ()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z 因此，函数的单调递增区间为. ()f x ()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （2）解：因为， ()()π1sin 262g x f x b x b ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭当时，， π02x ≤≤ππ5π2666x -≤-≤由可得，所以，函数在上单调递增， πππ2662x -≤-≤π03x ≤≤()g x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦由可得，所以，函数在上单调递减， ππ5π2266x ≤-≤ππ32x ≤≤()g x ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，， ()max ππ11sin 3222g x g b b ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭()π10sin 162g b b ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭， ππ1sin π262g b b ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使得函数在上有两个零点，则，解得， ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π1032π02g b g b ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩102b ≤<因此，实数的取值范围是. b 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为P ABCD -ABCD PAD M 线段上一点，为的中点.PD N BC(1)当为的中点时，求证：平面.M PD //MN PAB (2)当平面，求出点的位置，说明理由.//PB AMN M【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M ，点M 为PD 上靠近P 点的三等分点，理由见解析.【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有AP E ,EM EB ，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； //,BN ME BN ME =BNME //MN BE （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得,AN BD O OM //PB OM ，即可判断的位置. 12PM MD =M 【详解】（1）取中点为，连接，AP E ,EM EB在中，为的中点，为中点，PAD A M PD E AP ， 1//,2EM AD EM AD ∴=在平行四边形中，为的中点，ABCD N BC ， 1//,2BN AD BN AD ∴=，//,BN ME BN ME ∴=四边形为平行四边形，∴BNME 面面，//,MN BE MN ∴⊄,PAB BE ⊂PAB 平面；//MN ∴PAB （2）连接，相交于，连接，,AN BD O OM 面，面面面，//PB AMN PBD ,AMN OM PB =⊂PBD ，， //PB OM ∴12PM OB BN MD OD AD ===即存在点M ，M 为PD 上靠近P 点的三等分点.22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与AB 90BAD ∠=︒BC AB 道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽.设灯柱高，.60ACD ∠=︒12m AD =()m AB h =ACB θ∠=()3045θ︒≤≤︒(1)求灯柱的高（用表示）；h θ(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值.【答案】(1)8sin 2h θ=()3045θ︒≤≤︒(2)，米8sin(260)S θ=+︒+()3045θ︒≤≤︒(min 4S =+【分析】（1）分别在△、△中，应用正弦定理求、，即可得解析式；ACD ABC AC AB （2）应用正弦定理求得，并应用差角正弦公式、倍角公式、辅助角公式化16cos sin(60)BC θθ=︒-简得到.8sin(260)S θ=+︒+【详解】（1）由题设，，， 90ADC θ∠=︒-60ACD ∠=︒12m AD =在△中，则， ACD sin sin AD AC ACD ADC =∠∠sin sin AD ADC AC ACD θ∠===∠在△中，则. ABC sin sin AB AC ABC θ=∠sin 8sin 2sin AC h AB ABC θθ====∠所以.8sin 2h θ=()3045θ︒≤≤︒（2）由题意，而，则S AB BC =+sin(60)sin BC AC ABCθ=︒-∠，16cos sin(60)BC θθ==︒-所以2116cos sin )8sin cos2BC θθθθθθ=⨯-=-24sin 2θθ=-+结合（1）知：4sin 228sin(260)Sθθθ=++=+︒+又，120260150θ︒≤+︒≤︒所以，当，时，米. 260150θ+︒=︒45θ=︒(min 1842S =⨯+=+。

2023-2024学年第二学期高一年段期中六校联考数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数，则（ ）A. 2B. 0C.D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数除法运算求出，再求出的模.【详解】依题意，，所以.故选：C2. 已知是两个不共线的向量，且，则（ ）A. 三点共线 B. 三点共线C. 三点共线 D. 三点共线【答案】A 【解析】【分析】借助向量运算与共线定理即可得.【详解】，故，则，又因为两向量有公共点，故三点共线.故选：A .3. 在中，，则（ ）A.B.或 C.D.或【答案】D21i z =+z =1i-z z 2(1i)22i1i (1i)(1i)2z --===-+-||z ==,a b5,28,33AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,,A B D ,,A B C ,,B C D ,,A C D 28335BC CD a b a b a b =-++-=++ AB BD =//AB BD B ,,A B D ABC 1,6a b B π===A =3π6π56π23π3π23π【分析】根据大边对大角可得A >B ，结合正弦定理和三角形内角的范围即可得出结果.【详解】在中，根据大边对大角可得A >B ，，所以，故或.故选：D4. 在矩形中，，，为线段的中点，为线段上靠近的四等分点，则的值为（ ）A. 4B. 8C.D. 5【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示计算得解.【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，所以.故选：B5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D. ABC1sin 6π=sin A =3A π=23πABCDAB =2AD =E BCF CD C AE AF ⋅92A ,AB AD ,xy(0,0),2)A EF 2)AE AF == 128AE AF +⋅=⨯=3【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图的形状先求出圆锥的母线，然后求出半径，再由圆锥的体积公式进行求解.【详解】设母线长为，依题意得，，解得，根据圆锥的体积公式，其体积为：.故选：B6. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，，则的值是（ ）A. 6B. 8C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，代入已知条件可得到最终结果.【详解】因为，根据正弦定理得到： 故得到再由余弦定理得到：代入，，得到.故选：A.l π2π3l =⨯6l ==21π33⨯⨯=ABC sin cos c A C =c =8ab =a b +tan C =()2221cos 22a b ab c C ab +--==sin cos c A C =sin sin cos C A A C=sin 0A ≠ tan C =()0,3C C ππ∈∴=()2222221cos 222a b ab c a b c C ab ab +--+-===c =8ab =6a b +=7. 中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，，，中间圆台的高为，下面圆台的高为，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】先计算两个圆台的母线长，根据圆柱和圆台的侧面积公式和可得该瓷器的侧面积.【详解】由，，可得该瓷器的侧面积为．故选：D8. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A. 复数为实数B. 对应的点位于第二象限C. 若，在复平面内分别对应点，，则D. 【答案】D 【解析】18cm 12cm AB =20cm CD =14cm EF =3cm 4cm 2375πcm 2377πcm 2379πcm 2381πcm 5cm AC ===5cm CE ===212π185(610)π5(710)π381πcm ⨯+⨯++⨯+=i e cos isin x x x =+e i πi 2e i e πi 31e z =i2e z θ=1Z 2Z 12 OZ Z i e sin i cos xx x -+=【分析】由欧拉公式及复数相关概念计算逐项计算判断即可.【详解】对于A ：，则复数为纯虚数，故A 错误；对于B ：，因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B 错误；对于C ：，，，，因此的面积为，因为，所以面积的最大值为，故C 错误；对于D ：，所以D 正确.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是（ ）A. B. 复数的共轭复数的虚部为2C. 若是关于的方程的一个根，则D. 若复数满足，则的最大值为2【答案】BD 【解析】的πi 2ππe cos isin i 22=+=πi 2e i cos1isin1e =+π012<<cos10>sin10>i e ()cos1,sin1πi 31ππ1e =cosisin 332z =+=i 2e cos isin z θθθ==+11OZ ==21OZ ==12 OZ Z 111π1πsin sin 2323OZ OZ θθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π0sin 13θ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭12 OZ Z 12i e sin i cos cos isin sin i cos x x x x x x x-+=+-+()()cos sin sin cos i x x x x =-++i e sin i cos x x x -+===22i 1=32i z =-13i -x ()20,x px q p q ++=∈R 8q =-z i 1z -=z【分析】由复数的运算法则，可判定A不正确；求得，可判定B 正确；根据题意，得到方程的另一根为，进而求得，可判定C 不正确；结合复数的几何意义，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由复数的运算法则，可得，所以A 不正确；对于B 中，由复数，可得，可得虚部为，所以B 正确；对于C 中，由若是关于的方程的一个根，可得方程的另一根为，则，所以C 不正确；对于D 中，由复数满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为的圆，又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为，所以D 正确.故选：BD.10. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．在上述坐标系中，若，，则（ ）A. B. C. D. 与夹角的余弦值为【答案】AD 【解析】【分析】由题设，且，利用向量数量积的运算律求、和，进而求夹角，即可判断各项正误.的32i z =+13i +10q =1221112)i (i (11)=-==-32i z =-32i z =+z 213i -x ()20,x px q p q ++=∈R 13i +(13i)(13i)10q =-+=z i 1z -=(0,1)1z 2Ox Oy 60︒1e 2e12OP xe ye =+ (),x y OPxOy (),OP x y =u u u r xOy ()1,2a = ()2,1b =-r()3,1a b +=||||a b = a b⊥ a b122a e e =+122b e e =-r r r ()3,1a b += ||a ||b a b ⋅【详解】由题意，，且，A 正确；所以，则，，则B错误；，故C 错误；由上知：，D 正确.故选：AD11. 给出下列命题，其中正确的选项有（ ）A.若，，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为B. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C. 若，则是的垂心D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形【答案】ACD 【解析】【分析】A.利用在上投影向量的定义求解；B.根据与的夹角为锐角，由，且不共线且同向求解；C.由，得到判断；D.由，且是的角平分线上的向量得到，再结合判断.【详解】A.因为，，向量与向量的夹角为，则，的122a e e =+122b e e =-r r r ()3,1a b += 221212|||2|547a e e e e =+=+⋅=r r r r r ||a =r 221212|||2|543b e e e e =-=-⋅=r r r r r ||b =1212123(2)(2)302a b e e e e e e ⋅=+⋅-=⋅=≠r r r r r r r r cos ,||||a b a b a b ⋅<>===r rr r r r 4a = 1= b a b 120︒a b2b - ()1,2a = ()1,1b = a a b λ+λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅P ABC ABC AB AC0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭12BA BC BA BC ⋅=ABC a b a a b λ+()0a a b λ⋅+< (),a a b λ+PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ 0,0,0PB AC PA CB PC AB ⋅=⋅⋅== 0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭AB AC AB AC +A ∠AB AC =12BA BC BA BC ⋅=4a = 1= b ab 120︒2a b ⋅=-所以在上的投影向量为，故A 正确；B.因为，，且与的夹角为锐角，，所以，且不共线且同向，即，且，解得，故B 错误；C.因为，所以，即，所以是的垂心，故C 正确；D.在中，因为向量与满足，则，又是的角平分线上的向量，所以，又，所以，所以为等边三角形，故D 正确，故选：ACD12. 在中，角，，的对边分别为，，，下列四个命题中，正确的有（ ）A. 当，，时，满足条件的三角形共有1个B. 若是钝角三角形，则C. 若，则D. 若，，则【答案】BD 【解析】【分析】对于A 选项利用正余弦定理即可，对于B 选项分类讨论即可，对于C 选项利用切化弦化简即可，对于D 根据余弦定理结合三角形面积公式与基本不等式判断即可.【详解】对于A ：由余弦定理有：……①，a b22a b b b b⋅-⋅=()1,2a = ()1,1b = a a b λ+()1,2a b λλλ+=++ ()0a a b λ⋅+< (),a a b λ+()1220λλ+++<()221λλ+≠+53λ<-PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅()()()0,0,0PB PA PC PA PB PC PC PA PB ⋅-⋅-⋅-===0,0,0PB AC PA CB PC AB ⋅=⋅⋅==P ABC ABC AB AC0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⊥ ⎪⎝⎭AB ACAB AC +A ∠AB AC =12BA BC BA BC ⋅=π3A ∠=ABC ABC ABC a b c 5a =7b =60A =︒ABC tan tan 1A C ⋅<22tan tan a B b A =a b=60A =︒2a =ABC 2222cos b c a bc A +-=，，代入①式有：……②上式判别式， 故②式无解，即不存在，故A 错误.对于B ：当时，；故显然成立；当时，且，则，所以……③，对③式两边同乘以有；当时，；故显然成立；综上所述三种情况都有：恒成立，故B 正确；对于C ：当时，，当时，时，得不出，故C 错误；对于D ：若，，则由余弦定理，有.又，故，当且仅当时取等号.故，故D 正确；故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，且，则与的夹角为_________．5a =7b =60A =︒27240c c -+=Δ4941240=-⨯⨯<c π2A >π02C <<tan 0,tan 0tan tan 01A C A C <>⇒<<π2B >π02C <<π02A C <+<ππ022A C <<-<πsin πcos 12tan tan π2sin tan cos 2C C A C C CC ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭()tan tan 0C C >1tan tan tan 1tan A C C C<⋅=π2C >π02A <<tan 0,tan 0tan tan 01C A A C <>⇒<<tan tan 1A C <2222sin sin sin sin tan tan sin 2sin 2cos cos A B B Aa Bb A A BB A=⇒=⇒=22A B =A B a b =⇒=22πA B +=πA B +=a b =60A =︒2a =2222cos a b c bc A =+-224b c bc =+-2242b c bc bc bc bc =+-≥-=4bc ≤2b c ==1sin 42△==≤=ABC S bc A ,a b()a b b -⊥ 2,1a b == a b【答案】##【解析】【分析】利用向量垂直的条件及向量的夹角公式即可求解.【详解】由，得，解得，设与的夹角为，则，因为，所以.所以与的夹角为.故答案为：.14. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____．【答案】40【解析】【分析】根据斜二测画法还原原图形，求出其面积.【详解】根据题意，原图形如下图：的底边AB 的长为5，高为16，π360 ()a b b -⊥()0a b b -⋅= 21a b b ⋅=r r r =a bθ11cos 212a b a b θ⋅==⨯r r r r =0πθ≤≤π3θ=a bπ3π3AOB A O B '''V x 'y 'AOB AOB其面积为.故答案为：4015. 海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为______海里.【答案】【解析】【分析】根据给定信息作出图形，在中用正弦定理求，在中用余弦定理计算作答.【详解】如图所示，，，，，在中，，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得即灯塔与处之间的距离为海里.故答案为：16. 赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形ABCD，正方形EFGH 边长为1，则的值为______；______．1516402S =⨯⨯=A B 75︒A C 30︒A D B 120︒C D ABD △AD ACD 75DAB ∠= 120NDB ∠= 30DAC ∠= AB =AC =ABD △1207545B ∠=-= 60ADB ∠=o sin 6sin AB B AD ADB ∠===∠ACD CD ===C D AE AG ⋅ tan EAB ∠=【答案】①. 6 ②. 【解析】【分析】根据给定的“赵爽弦图”，利用勾股定理求出的值 ，再利用向量数量积的定义求出，利用和角的正切求出作答.【详解】依题意，全等，在中，，由得：，即，又，解得，；，所以.故答案为：6；四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1） （2）【解析】74,AF AG AE AG ⋅tan EAB ∠Rt ,Rt ,Rt ,Rt ABG BCH CDE DAF Rt ABG △1,AB AG AF BG AF ==+=222AG +BG AB =22(1)13AF AF ++=260AF AF +-=AF >02AF =||||cos ||(||1)236A EAF AF A E AG AE A F G =∠==⨯⋅+= 12tan ,tan 23EF BG EAF BAG AF AG ∠==∠==4tan t 12tan 723)121a tan 1t 2n 3n a (tan EAF B A AG EAF BAG EAF BAG E B +∠+∠∠+∠===-∠⋅∠=-⨯∠74(2,1)a = (1,2)b = (3,)c λ= c a ∥ ||c ()ka b a +⊥k ||c =45k =-【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值；（2）根据向量垂直的坐标表示得出的值．【小问1详解】由得，∴，∴【小问2详解】由已知，又，∴，解得18. 如图所示，正方体的棱长为2，连接，，，，，得到一个三棱锥.求：（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥的外接球的表面积和体积.【答案】（1（2），.【解析】【分析】（1）求出三棱锥的各条棱长，再求出三棱锥及正方体的表面积即可.（2）求出三棱锥外接球半径，再求出球的表面积和体积.【小问1详解】正方体的棱长为2，则，显然三棱锥是正四面体，其表面积为，而正方体的表面积为，所以三棱锥λ||ck c a ∥ 23λ=32λ=||c == (2,1)(1,2)(21,2)ka b k k k +=+=++ ()ka b a +⊥ (21)21(2)0k k +⨯+⨯+=45k =-ABCD A B C D -''''A C ''A D 'A B 'BD BC 'C D 'A BC D '-'A BC D '-'12πA BC D '-'ABCD A B C D -''''A B A C A D BC BD C D '''''======'A BC D '-'2142⨯⨯=24A BC D '-'=【小问2详解】显然三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设球半径为，则，即，所以三棱锥的外接球的表面积为，体积为.19. 如图，在中，已知为线段上一点，.（1）若，求实数，的值；（2）若，，，且与的夹角为120°，求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理可得，整理可得结果；（2）根据平面向量基本定理可求得，，根据数量积的运算法则代入模长和夹角，整理可求得结果.【小问1详解】由得： ，∵，【小问2详解】由得：∴又，，且与的夹角为120°，A BC D '-'ABCD ABCD -''''R 2R ==R =A BC D '-'24π12πR =34π3R =OAB P AB OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r 2BP PA = x y 3BP PA = 2OA = 4OB = OA OB OP AB ⋅ 23x =13y =1-()2OP OB OA OP -=- 3144OP OA OB =+ AB OB OA =- 2BP PA = ()2OP OB OA OP -=- ()1212333∴=+=+ OP OA OB OA OB OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r 23x ∴=13y =3BP PA = ()3OP OB OA OP -=- 3144OP OA OB =+ 2OA = 4OB = OA OB则所以20. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若外接圆半径为，求边上的高.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得.（2）利用正弦定理求出边c ，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得.【小问1详解】中，由及正弦定理，得，即，整理得，而，则，又，所以.【小问2详解】由（1）知，，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，的面积，即，所以21. 某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；的在()31314444⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OP AB OA OB AB OA OB OB OA 2222o 3342441111cos12204=-+⋅+-+⋅+= OA OA OB OB OA OA OB OB 311424cos120161424=-⨯+⨯⨯+⨯=- 1⋅=- OP AB ABC A B C a b c 22cos a b c B =+C a b +=ABC AB h π3C =h =ab ABC 22cos a b c B =+2sin sin 2sin cos A B C B =+sin 2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B C B B C B C B C +=+=+2sin cos sin B C B =sin 0B >1cos 2C =0πC <<π3C =π3C =6c C ===2222cos c a b ab C =+-222226()33a b ab a b ab ab =+-=+-=-8ab =ABC 11sin 22ABC S ch ab C == 68h =h =AOB已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且.（1）当米时，求的长和郁金香区的面积；（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值.【答案】（1）米，平方米；（2）平方米.【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求出的长，再利用三角形面积公式计算得解.（2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】由，得，在中，，由余弦定理得，即，而，解得，，所以的长为米，郁金香区的面积.【小问2详解】由，得，，在中，由正弦定理得，则，2π3P Q OB PQ OA ∥50OQ =PQ OPQ △AOP θ∠=OPQ △80OPQ △PQ OPQ △OQ //PQ OA ππ3PQO AOB ∠=-∠=OPQ △50,70OQ OP ==2222cos OP OQ PQ OQ PQ PQO =+-⋅∠24900250050PQ PQ =+-0PQ >80=PQ 1π1sin 5080232OPQ S OQ PQ =⋅=⨯⨯= PQ 80//PQ OA OPQ AOP θ∠=∠=2π2π,(0,33POQ θθ∠=-∈OPQ △πsin sin 3OP OQ θ=OQ θ==因此，当时，，的面积取得最大值所以面积的最大值为平方米.22. 如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点.（1）求；（2）当点为中点时，求：的余弦值；（3）求：的最小值；当取得最小值时设，求的值.【答案】（1）；（2； （3），.【解析】【分析】（1）由余弦定理求解即可.（2）设，由中点可得，再由数量积的运算性质求解即可.（3）设则可转化为关于的二次函数，求最值，再由及三点共线得解即可.【小问1详解】在中，，由余弦定理知：，12πsin sin()23OPQ S OP OQ POQ θθ=⋅∠=- 111cos 2sin )2)222θθθθθ-=+=+⨯π1)]62θ=-+π3θ=πsin(2)16θ-=OPQ △OPQ △ABC 2AB =5AC =60BAC ∠=︒BC M N AC AM BN P BC N AC MPN ∠NA NB ⋅ NA NB ⋅ BP BN λ= λBC =14-1011,AB a AC b == 111,222AM a b BN a b =+=-+ ,NA x = )(NA NB NA NA AB ⋅=⋅+ x )91(105BP BA BM λ=+ ABC 2,5,60AB AC BAC ==∠= 222222cos 25225cos6019BC AB AC AB AC BAC ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=所以.【小问2详解】设，由分别为的中点，得，而，则，，又，，所以.【小问3详解】设，，当，即时，取最小值；显然，则，而，因此，又三点共线，则，所以.BC =,AB a AC b == ,M N ,BC AC 111,222AM a b BN a b =+=-+ 1||2,||5,2552a b a b ==⋅=⨯⨯= ||AM === ||BN === 2211111()()||||32224112525444AM BN a b a b a a b b ⋅=+⋅--+=--⋅+==-⨯+⨯ cos ||||AM BN MPN AM BN ⋅∠=== MPN ∠||NA x = 222111(2(224)NA NB NA NA AB NA NA AB x x x ⋅=⋅+=+⋅=-⋅=-- 12x =1|2|NA = NA NB ⋅ 14-110AN AC = 911010BN BA BC =+ 2,(01)BC BM BP BN λλ==≤≤ 919105)5(10BP BA BM BA BM λλλ=+=+ ,,A P M 91105λλ+=1011λ=。

福建省高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知，，则（ ）()2,3a =r ()26,2a b += b = A ．B ．C ．D ． ()2,4-()2,4-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标. b 【详解】因为，，则. ()2,3a =r ()26,2a b += ()()()()6,226,222,32,4b a =-=-=- 故选：A.2．若复数，则的虚部为（ ） 5i 2z =-z A ．B ．1C ．-1D ． i i -【答案】B【分析】根据复数除法化简复数，根据共轭复数概念求出虚部.【详解】，故，的虚部为1. ()()()5i 252i i 2i 2i 2z +===----+2i z =-+z 故选：B3．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c 3a =b =60B = c =A ．B ．C ．D ． 1234【答案】D【分析】利用余弦定理直接构造方程求解即可.【详解】由余弦定理得：，即， 22222cos 9313b a c ac B c c =+-=+-=2340c c --=解得：（舍）或，.1c =-4c =4c ∴=故选：D.4．下列说法中正确的是（ ）A ．直四棱柱是长方体B ．圆柱的母线和它的轴可以不平行C ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D ．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【答案】C【分析】根据相关立体几何图形的性质逐项判断即可.【详解】对于A ：由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，故A 错误；对于B ：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B 错误；对于C ：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C 正确；对于D ：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D 错误.故选：C.5．若复数（ ） z =1005030z z z ++=A ．-1B ．C ．D ．0i 1-i 1--【答案】A【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，z=2212i i i 2z ++===所以 ()()()5025151005030222z z z z z z ++=++.()()()25127502515i +i +i 11i 1i 1i i 1==-+-⨯+-⨯=-+-=-故选：A.6．已知的顶点坐标分别为、、，则的面积为（ ）ABC A ()1,1A ()3,2B ()4,5C ABC A A ． B ． CD352【答案】B【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求出cos A 的值，最后利用三角形的面积公式可求得的面积. sin A ABC A 【详解】因为的顶点坐标分别为、、，则，，ABC A ()1,1A ()3,2B ()4,5C ()2,1AB = ()3,4AC =所以，，则为锐角， cos AB AC A AB AC⋅===⋅A 所以，，sin A ===因此，. 115sin 5222ABC S AB AC A =⋅== △故选：B. 7．在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若ABC A E AC 3,AC AE P = BE，则的最小值是（ ） AP xAB y AC =+ 13x y+A ．8B ．10C ．13D ．16【答案】D 【分析】由题设且，进而可得，将目标式化为(1)AP AB AE λλ=+- 01λ<<13x y λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩，结合基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立条件. 13191x y λλ+=+-【详解】由题意，如下示意图知：，且，又，(1)AP AB AE λλ=+- 01λ<<3AC AE = 所以，故且， 13AP AB AC λλ-=+ 13x y λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩01λ<<故， 131919()[(1)]10101611x y λλλλλλλλ-+=++-=++≥+=--仅当，即时等号成立. 191λλλλ-=-14λ=所以的最小值是16. 13x y+故选：D8．在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中ABC A A B C a b c O ABC A D BC 点，，，，则（ ）4c =5AO AD ⋅= sin sin 4sin 0C A B+-=cos A =A B ． C ．D 1214【答案】C【分析】根据化简可得，代入 ，所以，再1()2AD AB AC =+ 5AO AD ⋅= 22544AB AC += 4c =2b =根据正弦定理化简可得，进而根据余弦定理可得.sin sin 4sin 0C A B +-=4a =cos A【详解】由题意，为 的外心，为边上的中点，可得： ，因为O ABC A D BC 1()2AD AB AC =+ 5AO AD ⋅= ，可得： ，又 ，111()()()5222AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=⋅+⋅= 2211,22AO AB AB AO AC AC ⋅=⋅= 所以有 即 ，因为 ，所以 ，又因为22544AB AC += 22544c b +=4c =2b =sin sin 4sin 0C A B +-=，所以 ，由余弦定理： 4,4b c a a -==2221cos 24b c a A bc +-==故选：C.二、多选题9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）z ()1i 15i z +⋅=+i A ．的虚部为z 2iB ．z C ．的共轭复数为z 32i -D ．在复平面内对应的点位于第一象限z 【答案】BCD【分析】利用复数除法法则，计算得到，从而判断出虚部，求出模长及共轭复数，写出32i z =+z 在复平面内对应的点的坐标，判断其所在象限.【详解】由，所以， ()1i 15i z +⋅=+()()()()2215i 1i 15i 1i 5i 5i 64i 32i 1i 1i 1i 1i 2z +-+-+-+=====+++--所以的虚部为2，故A 错误；z正确；=B 的共轭复数为，故正确；z 32i -C 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D 正确.z ()3,2故选：BCD.10．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）A ．，，；B ．，，； 1a=b =45B =a=b =30A = C ．，，；D ．，，.6a =20b =30A = 5a =60B = 45C = 【答案】AD【分析】由正弦定理解三角形后可得结论. 【详解】对于A ，由正弦定理得：， sin 1sin 2a B Ab ===，，即，，则三角形有唯一解，A 正确；b a > B A ∴>045A <<o o 30A ∴= 对于B ，由正弦定理得：，sin sin b A B a ==，，即，或，则三角形有两解，B 错误；b a > B A ∴>30150B << 60B ∴= 120 对于C ，由正弦定理得：，无解，C 错误；120sin 52sin 63b A B a ⨯===B 对于D ，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D 正确.故选：AD11．已知中，其内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的有（ ） ABC A A ．若，则A B >sin sin A B >B ．若，，则的外接圆半径为10 π6A =5a =ABC A C ．若为锐角三角形，则ABC A sin cos A B >D ．若，，，则1b =2c =2π3A =ABC S =A 【答案】ACD【分析】利用正弦定理来判断AB ，利用正弦函数的性质来判断C ，利用三角形的面积公式来判断D.【详解】对于A ：，，由正弦定理得，A 正确； A B > a b ∴>sin sin A B >对于B ：的外接圆半径为，B 错误； ABC A 55π2sin 2sin 6a A ==对于C ：若为锐角三角形，则，， ABC A π2A B +>ππ022A B ∴>>->，C 正确； πsin sin cos 2A B B ⎛⎫∴>-=⎪⎝⎭对于D ：，D 正确. 112πsin 12sin 223ABC S bc A ==⨯⨯=⨯A故选：ACD.12．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A ．点，与向量共线的单位向量为 ()()1,34,1AB -，AB 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．非零向量和满足，则与的夹角为a b a b a b ==- a a b + 30 C ．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则()1,2a = ()2,b t = a b 1t>-D ．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为()2AB = (1,AC =- AB AC )【答案】BD【分析】对于A ，根据共线向量及单位向量的概念运算即得；对于B ，利用向量夹角公式结合条件即得；对于C ，由题可得即可判断；对于D ，根据投影向量的概念结合条件即得. 220220t t +>⎧⎨-⨯≠⎩【详解】对于A ，因为，且，所以与向量共线的单位向量为()3,4AB =- 5AB = AB ，故错误； 34,55AB AB±=⎛⎫±- ⎪⎝⎭ 对于B ，因为，所以，即，化简得，a b a b ==- 22a a b =- 2222a a b a b =+-⋅ 22a b a ⋅= 所以，即222223a b a b a b a +=++⋅= a +又， ()2232a a b a a b a ⋅++=⋅= 所以， ()cos ,a a b a a b a a b ⋅++==⋅+r r r r r r r r r 因为，所以，故正确；0,180a a b ︒≤+≤︒r r r ,30a a b +=︒r r r 对于C ，由，，向量与的夹角为锐角，则，所以且，()1,2a = ()2,b t = a b 220220t t +>⎧⎨-⨯≠⎩1t>-4t ≠故错误；对于D ，因为， ()(22214AC =-+=u u u r ()(12AB AC ⋅=-+⨯=-u u u r u u u r 所以在上的投影向量的坐标为，故正确. AB AC1,AB AC AC ACAC ⋅⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r )故选：BD.三、填空题13．已知向量，，若，则______.(,1)a m = (3,2)b =r //a b m =【答案】## 321.5【分析】利用向量平行的坐标运算列式计算即可.【详解】，，，//a b (,1)a m = (3,2)b =r ，23m ∴=. 32m ∴=故答案为：. 3214．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形A B ''C D ''x '的面积为，则原平面图形的面积为__________.A B C D ''''21cm 2cm【答案】【分析】作出原图形，根据原图形与直观面积之间的关系求解．【详解】根据题意得，原四边形为一个直角梯形，45B A D '''∠=且，，，CD C D ''=AB A B ''=2AD A D ''=， ())()21sin 4512A B C D S A B C D A D A B C D A D cm ''''=+⋅=''''''''''''+⋅= 梯形则()A B C D A D ''''''+⋅=所以，. ()()())211222ABCD S AB CD AD A B C D A D A B C D A D cm '''''''''''=+⋅=+⋅=+⋅='梯形故答案为：.15．已知复数，，则的最大值为__________.134i z =+21z =122z z -【答案】7【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值.122z z -【详解】因为复数，134i z =+5=所以，，121222527z z z z -≤+=+=当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 234i 55z =--122z z -7故答案为：.716．如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A 距离地面的高度AB （AB 与底面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物CD ，测得CD 的高度为h ，并从C 点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD 之间的地面上的点E 处测得A 点，C 点的仰角分别为60°和30°（其中B ，E ，D 三点共线），该学习小组利用这些数据估算出AB 约为60米，则CD 的高h 约为______米．【答案】20【分析】分别在和中，求得AE ，CE ，然后在中，利用正弦定理求解.ABE A CDE A AEC △【详解】解：在中，ABE A si n 60A BA E == 在中，，CDE A 2si n 30C DC E h == 在中，由正弦定理得：， AEC △si n si n C E A E E A C A C E =∠∠即 2si n 30h = 解得，20h =故答案为：20四、解答题17．当实数m 取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条()()225632i z m m m m =-++-+件：(1)与原点重合；(2)位于直线上；2y x =(3)位于第三象限.【答案】(1)2m =(2)或2m =5m =(3)无解【分析】（1）根据实部和虚部均为零列方程组求解；（2）根据点在直线列方程求解；2y x =（3）根据实部和虚部均小于零列不等式组求解.【详解】（1）由已知得，解得， 22560320m m m m ⎧-+=⎨-+=⎩2m =即时，复平面内表示复数的点与原点重合；2m =z （2）由已知得，()2232256m m m m -+=-+解得或，2m =5m =即或时，复平面内表示复数的点位于直线上；2m =5m =z 2y x =（3）由已知得，解得无解， 22560320m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩m 即不存在的值使复平面内表示复数的点位于第三象限.m z 18．已知平面向量、，若，，a b 2a = 3b = a - (1)求向量、的夹角； a b (2)若且，求.c a tb =+ c a ⊥ c r 【答案】(1) 2π3(2)c =【分析】（1）在等式、的a - ab 夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解；（2）由已知可得，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，然后利用平面向量数量积0c a ⋅= t 的运算性质可求得.c r 【详解】（1）解：因为a - ()2222222cos ,ab a a b b a a b a b b -=-⋅+=-⋅+ ，所以，， 412cos ,919a b =-+= 1cos ,2a b =- 又因为，因此，，即向量、的夹角为. 0,πa b ≤≤ 2π,3a b = a b 2π3（2）解：因为且，则 c a tb =+ c a ⊥ ()222πcos 3c a a tb a a ta b a t a b ⋅=+⋅=+⋅=+⋅ ，解得， 430t =-=43t =. ==19．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足． 22()b c a bc -=-(1)求角A 的大小；(2)若，求△ABC 的面积．2,sin 2sin a C B ==【答案】(1)π3【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求sin 2sin C B =,b c 解即可. 【详解】（1）由整理得， 22()b c a bc -=-222b c a bc +-=，由， 2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===()0,πA ∈； π3A ∴=（2），sin 2sin C B =由正弦定理得，①，∴2c b =又，②，224b c bc +-=由①②得 b c ==. 11sin 22ABC S bc A ∴===A 20．如图，为了测量两山顶之间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在,M N ,A B ,,,A B M N 同一铅垂平面内.飞机从点到点路程为，途中在点观测到处的俯角分别为，在点A B a A ,M N ,αβ观测到处的俯角分别为.B ,M N ,γδ(1)求之间的距离（用字母表示）；,A M(2)若，求之间的距离.75,30,45,60a αβγδ===== ,M N 【答案】(1)()sin sin a γαγ+(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理求得结果.ABM A （2）先利用余弦定理求解，再根据余弦定理求解即可. AN MN 【详解】（1）在中，由正弦定理可得 ABM A ，即. sin sin AB AM AMB ABM∠∠=()sin πsin a AM αγγ=--所以. ()sin sin a AM γαγ=+（2）因为，75,45a αγ===由（1）知()sin sin a AM γαγ===+，则为等腰三角形，30,60,30ANB βδ∠==∴= ABN A,由余弦定理可得AB BN ==120ABN ∠=30AN ==在中，，由余弦定理可得：AMN A 45MAN ∠αβ=-=MN ===因此之间的距离为MN 21．从①；②；这两个条件中选择一个，补充在下()sin sin()sin a c A c A B b B -++=cos cos 2B b C a c =-面试题的横线上，并完成试题解答.设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知_______. ABC A ABC A (1)求B(2)若，求的最小值，并判断此时的形状.2AM MC = BM ABC A （注：若选择多个条件分别作答，则按第一个条件计分）【答案】(1)3π(2)，是直角三角2ABC A【分析】（1）选①：由正弦定理得，结合余弦定理求得，得到； 22()a c a c b -+=1cos 2=3B π=选②：由正弦定理得，得到，得到，(2sin sin )cos sin cos AC B B C -=2sin cos sin A B A =1cos 2B =求得.3B π=（2）由（1）得，求得，得到，根据向量的运算和基本不等ABC S △6ac =1233BM BA BC =+式，求得取得最小值2，此时，进而求得. ||BM sin 2sin C A =tan A =【详解】（1）解：若选①，因为，所以，A B C π++=sin()sin A B C +=所以()sin sin sin a c A c C b B -+=由正弦定理，得，即，22()a c a c b -+=222a c b ac +-=由余弦定理，得， 2221cos 222a b c ac B ac ac +-===因为，所以.0B π<<3B π=若选②，有，(2)cos cos a c B b C -=由正弦定理，得，(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=即，所以，2sin cos cos sin sin cos A B B C B C =+2sin cos sin()A B B C =+因为，所以，即，A B C π++=sin()sin B C A +=2sin cos sin A B A =因为，所以，因为，所以. sin 0A ≠1cos 2B =0B π<<3B π=（2）解：由（1）得， 1sin 2ABC S ac B ==△6ac =因为， 1233BM BA AM BA BC =+=+ 所以 ()222222121441||24339999BM BA BC BA BA BC BC c ac a ⎛⎫=+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭， ()221429c a ac =++112)(42)99ac ac ac ≥⋅=⋅+243ac ==当且仅当时，取得最小值2，此时， 2c a =||BM sin 2sin C A =又因为，所以，整理得， 23C A π=-2sin 2sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan A =因为，所以，所以，所以是直角三角. 203A π<<6A π=2C π=ABC A 22．已知△ABC 为锐角三角形，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．R 为△ABC 外接圆半径．（1）若R ＝1，且满足，求的取值范围；()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-22b c +（2）若，求的最小值．2222cos b c aR A a +=+tan tan tan A B C ++【答案】（1）；（2）.(7,4+8【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得，进而得到的大小；由正弦定理和三角恒等1sin 2A =A变换得到，从而根据的范围求出即可； 22b c +423B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B 423B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）由题意得出，，然后化简tan tan 2tan tan B C B C +=tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，从而利用基本不等式求最小值.tan tan tan A B C ++【详解】（1）因为，()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-所以由正弦定理，得， ()222tan bc b c a A =+-又由余弦定理，得，所以，2222cos b c a bc A +-=2cos tan bc bc A A =即，所以， sin 2cos cos A bc bc A A=⋅1sin 2A =又因为△ABC 为锐角三角形，所以，6A π=所以 ()()2222222sin 2sin 4sin 4sin b c R B R C B C +=+=+ 1cos 21cos 24442cos 22cos 222B C B C --=⨯+⨯=-- 5542cos 22cos 242cos 22cos 263B B B B ππ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭242cos 22cos 2423cos 23B B B B π⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，14sin 224223B B B π⎫⎛⎫+=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为△ABC 为锐角三角形，所以 ，即，所以， 0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩025062B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩32B ππ<<所以，即， 223Bππ<<22333B πππ<-<sin 213B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以 74243B π⎛⎫<+-≤+ ⎪⎝⎭即的取值范围为.22b c +(7,4+（2）因为，2222cos b c aR A a +=+所以，即，2222cos b c a aR A +=-2cos 2cos bc A aR A =又因为△ABC 为锐角三角形，所以，所以， cos 0A ≠bc aR =所以由正弦定理，得，sin 2sin sin A B C =又因为，所以，A B C π++=()sin sin A B C =+所以，即, ()sin 2sin sin B C B C +=sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=两边同时除以，得， cos cos B C tan tan 2tan tan B C B C +=因为且△ABC 为锐角三角形，A B C π++=所以，所以 ()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B C A C B C B +=+-->=tan tan 10B C ->所以，()tan tan tan tan tan 1B C A B C +=-所以 ()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan A B C A B C A A B C ++=-+=， tan tan tan tan tan tan 1B C B C B C +=⋅-令，则，tan tan 1B C m -=0m >所以 tan tan tan A B C ()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1B C B C B C m B C m++=⋅=⋅+-， ()()()()221212tan tan 111228m m B C m m m m m m m ++⎛⎫=⋅+=⋅+==++≥ ⎪⎝⎭当且仅当时，即时等号成立， 1=m m 1m =所以的最小值为.tan tan tan A B C ++8。

福建省福州市2015-2016学年高一数学下学期期中试题说明：全卷满分150分，考试时间120分钟，交卷时只需交答题卷，考试时不能使用计算器.参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y a xn xy x n yx b ni ini i i -=-⋅-=∑∑==,1221一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.程序框图符号“）A 、输出a=10B 、赋值a=10C 、判断a=10D 、输入a=10 2.抽查10件产品,设事件A :至多有两件次品,则A 的对立事件为( ) A.至多两件次品 B.至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品3.已知甲、乙两名同学在五次数学测验中的得分如下：甲：85，91，90，89，95；乙：95，80，98， 82，95。

则甲、乙两名同学数学学习成绩（ ） A 、甲比乙稳定 B 、甲、乙稳定程度相同 C 、乙比甲稳定 D 、无法确定4.从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ).A ．103B ．107C ．53D ．52 5.下列命题中正确的是（ ）A 若0a b =，则0a =或0b =B 若0a b =，则//a bC 若//a b ，则a 在b 上的投影为aD 若a b ⊥，则()2a b a b =6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).A ．61B ．31C ．21 D ．327.如图框图，当x 1=6，x 2=9，p=8.5时，x 3等于（ ）A．7 B．8 C．10 D．118.观察下列程序框图（如图），输出的结果是（）（可能用的公式12+22+…+n2=1n(1)(21)6n n++()n N∈A．328350 B．338350 C．348551 D．3185499.为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x应该是（）输入 xIF x<0 THENy= (x+1)*(x+1)ELSEy=(x-1)*(x-1)END IF输出 yENDA、 3或-3B、 -5C、5或-3D、 5或-5时速30 8070605040组距频率0.0390.0280.0180.0100.005第10题第7题10.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如上图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为（ ） A 、2辆B 、10辆C 、20辆D 、70辆11. 下列正确的个数是（ ）(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。

福建省福州高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．复数（为虚数单位）的虚部为（ ） 2i z =-i A ． B ．1C ．D ．1-i i -【答案】A【分析】根据给定条件，利用复数的定义直接作答. 【详解】复数的虚部是. 2i z =-1-故选：A2．已知向量满足，则（ ）,a b 2π1,2,,3a b a b ==<>= ()a ab ⋅+= A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】. ()22π112cos 1103a ab a a b ⋅+=+⋅=+⨯⨯=-= 故选：C3．已知向量，，，则的值是（ ）(cos ,3)a α= (sin ,4)b α=- //a b 3sin cos 2cos 3sin αααα+-A ．B ．C ．D ．12-2-43-12【答案】A【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代//a b 4tan 3α=-3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--入即可得解.【详解】因为向量，，(cos ,3)a α= (sin ,4)b α=- //a b，即4cos 3sin a a ∴-=4tan 3α=-3sin cos 3tan 1412cos 3sin 23tan 2412αααααα++-+∴===--+-故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--4．在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ） ABCD E BC AC a = DB b = AE =A ．B ．1124a b - 2133a b + C ． D ．12a b +3144a b + 【答案】D【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求1122CB b a =- 12AE AC CE AC CB =+=+解.【详解】如图所示，可得，11112222CB OB OC DB AC b a =-=-=-所以. 111131222244AE AC CE AC CB a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭故选：D ．5．如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到300BC m =Q 建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高C 15 A45 60BAC ∠= 度为（ ）PQA ．B ．C ．D ．100m 200m 300m 400m 【答案】B【解析】计算出和，利用正弦定理求出，由此可得出，即可计算出AC ACQ ∠AQ sin 45PQ AQ = 所求结果.【详解】在中，，，Rt ABC ∆60BAC ∠= 300BC =sin 60BC AC ∴===在中，，，ACQ ∆451560AQC ∠=+= 180456075QAC ∠=--= .18045ACQ AQC QAC ∴∠=-∠-∠= 由正弦定理，得，得sin 45sin 60AQ AC=sin 45sin 60AC AQ ==在中，， Rt APQ ∆sin 45200PQ AQ === 故此无人机距离地面的高度为， 200m 故选：B.【点睛】本题考查高度的测量问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半ABC A 2π3A =1AB =G ABC A AG AB AG AC ⋅=⋅ ABC A 径为( )A B ．1C ．2D ．【答案】B【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AG ⊥CB ，结合G 为AG AB AG AC ⋅=⋅ 0AG CB ⋅=△ABC 重心可得△ABC 为等腰三角形，再根据几何关系即可求△ABC 外接圆半径． 【详解】延长AG 交BC 于D ，∵G 是△ABC 重心，∴AD 为△ABC 中线．，()000AG AB AG AC AG AB AG AC AG AB AC AG CB ⋅=⋅⇒⋅-⋅=⇒⋅-=⇒⋅=即AD ⊥BC ，故△ABC 是等腰三角形，且， AB AC =则△ABC 外接圆圆心在AD 上，设为O ，则OA =OC ， ∵∠OAC =，∴△OAC 是等边三角形，∴OA =OC =AC =AB =1，即△ABC 外接圆半径为1． π3故选：B ．7．在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若﹐则中最ABC A 2015120aBC bCA cAB ++=ABC A 小角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D 453435【答案】A【分析】由已知，根据题意，将展开，从而得到，再根据BC(2015)(1220)0a b AC c a AB -+-= AC 和为不共线向量，即可得到a ，b ，c 三边关系，从而使用余弦定理可直接求解出中最小ABABC A 角的余弦值.【详解】由已知，，所以， 2015120aBC bCA cAB ++=20()15120a AC AB bCA cAB -++= 即，又因为和为不共线向量，(2015)(1220)0a b AC c a AB -+-= AC AB所以，所以，，2015012200a b c a -=⎧⎨-=⎩43b a =53c a =在中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，所以边长a 最小， ABC A 所以，所以中最小角的余弦值等于.2224cos 25b c a A bc +-==ABC A 45故选：A.8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且ABC A A B C a b c S ABC A ，则的取值范围为（ ）()222S a b c =--222b c bc+A ． B ． C．D ．4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭)⎡+∞⎣【答案】C【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求ABC A sin A cos A C B 出的取值范围，即可求出的取值范围． sin sin b B c C =222b c bc+【详解】解：在中，由余弦定理得， ABC A 2222cos a b c bc A =+-且的面积，ABC A 1sin 2S bc A =由，得，化简得， 222()S a b c =--sin 22cos bc A bc bc A =-sin 2cos 2A A +=又，，联立得，(0,2A π∈22sin cos 1A A +=25sin 4sin 0A A -=解得或（舍去）， 4sin 5A =sin 0A =所以， sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C cC C C C ++====+因为为锐角三角形，所以，，所以，ABC A 02C π<<2B AC ππ=--<22A C ππ-<<所以，所以，所以， 13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设，其中，所以， b t c =35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭221212222b c b c t tbc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 12y t t =+35⎛ ⎝53⎫⎪⎪⎭当时，；当时，；t =y =35t =4315y =53t =5915y =所以，即的取值范围是．5915y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈222b c bc +5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：C.【点睛】关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及2222b c b cbc c b+=+求出的取值范围. sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C c C C C C ++====+b c二、多选题9．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（ ）i z ()2022i 2iz -=A ．复数的模为B ．复数的共轭复数为z 15z 21i 55--C ．复数的虚部为D ．复数在复平面内对应的点在第一象限z 1i 5z 【答案】ABC【分析】利用可将化简，求出复数，再根据复数模长求法，共轭复数定义，复数的几2i 1=-2022i z 何意义求解即可. 【详解】，()101122022i i12i i 2i 22i 5z +====---，z 的虚部为，z =21i 55z =-15故选ABC ．10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()22cos 2π13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭A ．任意，x ∈R ()()πf x f x =-B ．任意，x ∈R ()()33ππ+=-f x f x C ．任意， 12ππ36x x -<<<()()12f x f x >D ．存在， 12,R x x ∈()()124f x f x -=【答案】ACD【分析】根据余弦函数的性质：周期性、对称性、单调性、最值分别判断各选项． 【详解】因为的最小正周期是，因此A 正确； ()f x 2ππ2T ==时，， π3x =2π4π2π,Z 33x k k +=≠∈不是图象的对称轴，B 错； π3x =()f x时，，由余弦函数性质知在是单调递减，C 正确；ππ36x -<<2π02π3x <+<()f x ππ(,36-同样由余弦函数性质知的最大值是3，最小值是，两者差为4，因此D 正确． ()f x 1-故选：ACD ．11．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且，c =2．则下列结论正确π3C ∠=（ ）A ．△ABCB ．的最大值为AC AB ⋅2C ． D ．的取值范围为coscos b A a B+=cos cos BA )∞∞⎛-⋃+ ⎝【答案】AB【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B 选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到2242b a AC AB +-⋅= ，结合B 的取值范围求出最大值；C 选项，利用正弦定理进行求解；D 22π26b a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取()cos cos B A C =-+cos 1cos 2B A A =-cos cos B A 值范围.【详解】由余弦定理得：，解得：，2241cos 22a b C ab +-==224a b ab +=+由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 2242a b ab ab +=+≥a b =所以，故A 正确； 4ab ≤1sin 2ABC S ab C =≤A ， 222224cos 22b c a b a AC AB AC ABA bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=其中由正弦定理得： 2πsin sin sin3a b A B ===所以 ()22222216162πsin sin sin sin 333b aB A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，4π1cos 2161cos 2π323226B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥-=- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为，所以，2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故，22π26b a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的最大值为222224cos22b c a b a ACAB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=2B 正确； ， )()cos cos sin cossin cos 2b A a B B A A B A B C +=+=+===故C 错误；， πcos cos13cos cos 2A B A A A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===-因为，所以，2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(()tan ,0,A ∞∞∈-⋃+，D 错误. ()11,2,22A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭故选：AB【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.12．设，为单位向量，满足，，则，的夹角为，则1e 2e 12e 12a e e =+123b e e =+ a bθ的可能取值为（ ）2cos θA ．B ．C ．D ．1192020292829【答案】CD【分析】设单位向量，的夹角为，根据已知条件，然后利用1e 2eα12e 3cos 14α≤≤夹角公式可将表示成关于的函数，利用不等式的性质求出其值域即可．2cos θcos α【详解】设单位向量，的夹角为，1e 2eα由，解得，12e54cos 2α-≤3cos 14α≤≤又，， 12a e e =+123b e e =+，同理||a ∴==r||b =r 且，44cos a b α=+⋅r r，cos b b a a θ∴==⋅⋅r r r r =，令，244cos cos 53cos αθα+∴=+2cos t θ=则， 844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++，，，3cos 14α≤≤Q 2953cos 84α∴≤+≤81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以，即的取值范围为 84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦2cos θ28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD三、填空题13．已知向量为单位向量，其夹角为，则__________.,a b π3|2|a b +=【分析】利用模长公式直接求解【详解】|2|a b +===14．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____.【答案】92【分析】将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由12x i =+()()32420m n m i --++-=复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将代入方程x 2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i )2－m (1＋2i )＋2n ＝0，即12x i =+，即，由复数相等的充要条件，得144220i m mi n +---+=()()32420m n m i --++-=解得 320420m n m --+=⎧⎨-=⎩522n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩故. 59222m n +=+=故答案为：9215．的内角，，的对边分别为，，，满足.若ABC A A B C a b c ()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为________.ABC A 3a =ABC A【答案】/34π34π【分析】先用正弦定理及余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式可得当为等边三角形A ABC A 时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可. ABC A 【详解】∵，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-则由正弦定理可得，整理得，22()b c a bc -=-222b c a bc +-=则. 2221cos 22b c a A bc +-==∵为锐角三角形，则，故，ABC A π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =由面积为，ABC A 11sin 22△ABC S bc A bc ===可得当面积取到最大值，即为取到最大值. ABC A bc ∵，即，即， 222b c a bc +-=2292b c bc bc +=+≥9bc ≤当且仅当，即为等边三角形时等号成立. 3==b c ABC A故当为等边三角形时， ABC A ABC A 9=设的内切圆半径为，则 ABC A r ()1922△ABC r S r a b c =++==r =故内切圆面积为. 23ππ4r =故答案为：.3π416．中，，若，ABC A ()min |2AB AC AB BC R λλ==+=∈ 2AM MB =，其中，则的最小值为__________.22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦MP【分析】由平面向量的加法法则得到为点A 到BC 的距离为2，从而为等腰min 2||AB BC λ+=ABC A 直角三角形，斜边为4，再根据，其中，得到点P 在线段22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦DE 上，且D ，E 为BC 的四等分点求解. 【详解】解：如图所示：在中，由平面向量的加法法则得为点A 到BC 的距离， ABC A min ||AB BC λ+即，则为等腰直角三角形，斜边为4，2AN =ABC A 又，其中，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以点P 在线段DE 上，且D ，E 为BC 的四等分点， 又，2AM MB =则， AM =当点P 在点D 时，的最小，MP由余弦定理得， 22252cos 459MD AM BD AM BD =+-⋅⋅=四、解答题17．已知是虚数单位，复数，i ()()242z a a =-++i a R ∈（1）若为纯虚数，求实数的值；z a （2）若在复平面上对应的点在直线上，求的值． z 210x y ++=z z ⋅【答案】（1）2；（2）10．【分析】（1）根据纯虚数的定义：实部为零，虚部不为零求解；（2）根据复数的几何意义得到复数对应的点的坐标，代入直线方程求得的值，进而利用共轭复a 数的定义和复数的乘法运算求得.【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且， z 240a -=20a +≠解得实数的值为2；a （2）在复平面上对应的点，z ()24,2a a -+由条件点在直线上，()24,2a a -+210x y ++=则， 242(2)10a a -+++=解得．1a =-则， 3i z =-+3i z =--所以.()23110z z ⋅=-+=18．已知向量，，.()1,3a = ()1,3b =- (),2c λ=（1）若，求实数，的值；3a mb c =+m λ（2）若，求与的夹角的余弦值.()()2a b b c +⊥- a 2b c + θ【答案】（1） （2 01m λ=⎧⎨=-⎩【解析】（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值.m λ（2）根据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而2,a b + ,b c -λ表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.2b c +θ【详解】（1）由,得, 3a mb c =+()()()1,3,33,6m m λ=-+即,解得. 13336m m λ=-+⎧⎨=+⎩01m λ=⎧⎨=-⎩（2）,.()21,9a b +=()1,1b c λ-=-- 因为,所以,即.()()2a b b c +⊥-190λ--+=8λ=令, ()26,8d b c =+=则cos a d a dθ=⋅=【点睛】本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.19．在①，②，③这三个条件中()()3a b c a b c ab +++-=tan tan tan tan 1A BA B +=-sin cos 2sin sin cos C C B A A=-任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足___________. ABC A A B C a b c (1)求的值；tan C(2)若为边上一点，且，，，求. D BC 6AD =4BD =8AB =AC【答案】(1)tan C =(2)AC =【分析】（1）选择①，由余弦定理可求解，选择②，由正切的两角和公式可求解，选择③，由正弦的两角和公式可求解；（2）由余弦定理及正弦定理可求解.【详解】（1）选择①，由，可得，于是得，即()()3a b c a b c ab +++-=222a b c ab +-=1cos 2C =，所以3C π=tan C =选择②，由，有tan tan tan tan 1A BA B +=-tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+==-tan C =选择③，由，有，sin cos 2sin sin cos C CB A A=-sin cos 2sin cos cos sin C A B C C A =-即，即，又因为，所以，于是得sin()2sin cos A C B C +=sin 2sin cos B B C =0B π<<sin 0B ≠，即，所以1cos 2C =3C π=tan C =（2）由在中，，，，由余弦定理得，所ABD △6AD =4BD =8AB =3616641cos 2644ADB +-∠==-⨯⨯以， sin sin ADB ADC ∠=∠=在中，由正弦定理有，得.ADC △sin sin AC ADADC C=∠∠AC =20．某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形（如图所示），为ABCDE ,,,,DC CB BA AE ED 赛道，根据比赛需要，在赛道设计时需设计两条服务通道（不考虑宽度），现测得：,AC AD，，千米，23ABC AED π∠=∠=4CAD BAC π∠=∠=BC =CD =(1)求服务通道的长；AD (2)如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大？并求出最大值． AED AE ED +【答案】(1)千米8(2)当时，折线赛道千米 AE ED =AED【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得； ABC A AC ACD A AD （2）方法一：在中，利用余弦定理构造方程，结合基本不等式可求得的最大值，ADE V AE ED +由此可得结果；方法二：在中，设，，，利用正弦定理可表示出ADE V ADE α∠=EAD β∠=,0,3παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,AE ED，利用三角恒等变换知识化简为关于的正弦型函数的形式，利用正弦型函数的最大值可AE ED +α求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得：ABC A sin sin BC ABCAC BAC⋅∠===∠在中，由余弦定理得：，ACD A 2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅⋅∠即，解得：，234182cos4AD AD π=+-⨯⨯8AD =服务通道的长为千米．∴AD 8（2）方法一：在中，由余弦定理得：， ADE V 22222cos3AD AE ED AE DE π=+-⋅⋅即，；222AD AE ED AE ED =++⋅()264AE ED AE ED ∴=+-⋅（当且仅当时取等号），()24AE ED AE ED +⋅≤AE ED =，即， ()23644AE ED ∴+≤()22563AE ED +≤（当且仅当 AE ED ∴+≤AE ED ==当时，折线赛道∴AE ED =()AED AE ED +方法二：在中，设，，，ADE V ADE α∠=EAD β∠=,0,3παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin sin sin AE DE ADAED αβ====∠AE α∴DE β=)1sin sin sin sin sin sin 32AE DE παβααααα⎫⎤⎛⎫∴+=+=+-=-⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭， 1sin 23πααα⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，， 03πα<< 2333πππα∴<+<当，即时，取得最大值，此时，∴32ππα+=6πα=sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭16πβ=时，折线赛道千米． 6AEDE π∴===()AED AE ED +21．已知向量，，函数. ()sin 2,cos 2m x x = 12n ⎫=⎪⎪⎭()f x m n =⋅(1)求函数的解析式和对称轴方程；()f x (2)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ()()1sin R 6f x x πλλλ⎛⎫+++=∈ ⎪⎝⎭1x 2x ，，求实数的取值范围及的值.3x λ123xx x ++【答案】(1)，对称轴方程是，； π()sin(26f x x =+ππ26k x =+Z k ∈，． 13λ≤<1233π2x x x ++=【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，结合正弦函数的对称轴求得的对称轴； ()f x ()fx （2）方程化简得和，由正弦函数性质和的范围，同时得出和，求得sin 1x =1sin 2x λ-=λ1x 23x x +结论．【详解】（1）由已知，1π()2cos 2sin(226f x m n x x x =⋅=+=+ ，，所以对称轴方程是，；ππ2π62x k +=+ππ26k x =+ππ26k x =+Z k ∈（2），2ππ(sin(2)cos 212sin 62f x x x x +=+==-时，递增，时，递减，，ππ[,]62x ∈-sin y x =π2π[,]23x ∈sin y x =2πsin 3=π1sin(62-=-， πsin 12=方程为，()()1sin R 6f x x πλλλ⎛⎫+++=∈ ⎪⎝⎭212sin (1)sin x x λλ-++=即， 22sin (1)sin 10x x λλ-++-=，(sin 1)(2sin 1)0x x λ-+-=或，sin 1x =1sin 2x λ-=因为，所以时，，设，π2π,63x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 1x =π2x =1π2x =， 112λ-≤<13λ≤<在上有两个解，记为，则，1sin 2x λ-=π2π[,]3323,x x 23πx x +=所以． 1233π2x x x ++=22．如图，在中，，是角的平分线，且．ABC A ()AB mAC m R =∈AD A ()AD kAC k R =∈（1）若，求实数的取值范围．3m =k （2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．3BC =2m ≥ABC A k【答案】（1）；（2）当的面积取最大值.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k =ABC A 3【分析】（1）设，则，利用可得出，由此可2BAC θ∠=02πθ<<ABC BAD CAD S S S =+A A A 3cos 2k θ=求得的取值范围；k （2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理化简可得22sin 2ABC S AC m θ=△29sin 2212cos 2ABC m S m m θθ=+-△，可得出，利用辅助角公式可得出，()2214cos 29sin 2ABC ABCS mmSm θθ+=+△△()22228141ABCm Sm≤-△结合函数单调性可求得的最大值及其对应的，即可得出结论. ABC S A k 【详解】（1）设，则，其中，2BAC θ∠=BAD CAD θ∠=∠=02πθ<<由，可得， ABC BAD CAD S S S =+A A A 111sin 2sin sin 222AB AC AB AD AC AD θθθ⋅=⋅+⋅所以，，()2cos AB AC AD AB AC θ+⋅=⋅即，所以，； ()212cos m AC kAC mAC θ+⋅=2cos 33cos 0,122m k m θθ⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭（2），可得，221sin 2sin 222ABC m S mAC AC θθ==⋅△22sin 2ABC S AC m θ=△由余弦定理可得，()222222cos 212cos 29BC AB AC AB AC m m AC θθ=+-⋅=+-⋅=所以，，所以，， 222912cos 2sin 2ABC S AC m m m θθ==+-△29sin 2212cos 2ABCm S m m θθ=+-△可得()2214cos 29sin 2ABC ABC S m mS m θθ+=+≤△△所以，，()22228141ABCm Sm≤-△，则，2m ≥ ()2991212ABC m S m m m ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭△由于函数在时单调递增， ()1f m m m=-2m ≥所以，随着的增大而减小，则当时，，ABCS A m 2m =()max93322ABC S ==⨯△此时，，由，可得， 93tan 244ABCm mS θ==△22sin 23tan 2cos 24sin 2cos 2102θθθθθθπ⎧==⎪⎪+=⎨⎪<<⎪⎩4cos 25θ=所以，cos θ==2cos 4cos 13m k m θθ===+【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； a b c （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.。

2023-2024学年第二学期高一年期中质量检测数学学科试卷（答案在最后）（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.第I 卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2(1i)+=（）A.22i- B.22i + C.2i - D.2i 2.下列几何体中，棱数最多的是（）A.五棱锥 B.三棱台 C.三棱柱 D.四棱锥3.在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =，记,CA m CB n == ，则CD = （）A.1122m n - B.2133m n + C.1122m n + D.1233m n + 4.已知一个水平放置的ABC 用斜二测画法得到的直观图如图所示，且2O A O B '=''='，则其平面图形的面积是（）A.4B.C.D.85.下列说法正确的是（）A.若两个非零向量,AB CD 共线，则,,,A B C D 必在同一直线上B.若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c也共线C.若a b = 则a b=D.若非零向量AB 与CD 是共线向量，则它们的夹角是0 或1806.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长度分别为,,a b c ，则这个三棱锥的体积是（）A.13abc B.16abc C.112abc D.124abc 7.在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为,,a b c ，若60,2A b == ，且3AB AC ⋅= ，则sin sin b c B C +=+（）A.2B.3C.3 D.38.在平面四边形ABCD 中，()()3,2,4,6AC BD =-= ，则该四边形的面积为（）A.13B.26C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论错误的是（）A.α内的所有直线与a 是异面直线B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一一条直线与a 平行D.α内的所有直线与a 都相交10.已知向量()()2,1,3,1a b ==- ，则以下说法正确的是（）A.()a b + ∥aB.a 与a b - 的夹角余弦值为5C.a 与b 的夹角是锐角D.向量a 在向量b 上的投影向量为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11.已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，下面四个结论正确的是（）A.若2220a b c +-<，则ABC 是钝角三角形B.若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形C.若sin sin 2A C a b A +=，则π3B =D.若π,3B a ==，且ABC 有两解，则b 的取值范围是(第II 卷三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.设向量()()1,1,2,a b m == ，若()2a a b ⊥+ ，则实数m 的值为__________..13.若复数z 满足()12i 1i z ⋅-=+，则z 的共轭复数为__________.14.设锐角ABC 的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，且2,2b A B ==，则a 的取值范围为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数()()2561i,R z m m m m =+-+-∈.（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围.16.（15分）已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,7,3a b c a b ==且3sin 5sin C B =.（1）求c ；（2）求A 的大小及ABC 的面积.17.（15分）如图，在菱形ABCD 中，1,22BE BC CF FD == .（1）若EF x AB y AD =+，求34x y +的值；（2）若3,60AB BAD ∠== ，求AE EF ⋅ .18.（17分）如图从一张半径为3米的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图阴影部分），并卷成一个深度为h 米的圆锥筒.若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2πrad 3.（1）求圆锥筒的容积；（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x 的内接圆柱，求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时x 的取值.19.（17分）在ABC 中，已知内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且ABC ，点D 是线段BC 上靠近点B 的一个三等分点，1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求边长c ；（2）若22411b c +=，求sin BAC ∠的值.2023—2024学年第二学期高一年期中质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4.只给整数分数选择题和填空题不给中间分.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.1.D2.A3.B4.A5.D6.B7.B8.A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.9.ACD 10.BD11.ACD 二､填空题：每小题5分，满分15分.12.-313.13i 55--14.(三､解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）()()2561i z m m m =+-+-是纯虚数，故256010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得6m =-.（注：没写10m -≠扣1分）（2）因为z 在复平面内对应的点在第三象限，所以2560,10m m m ⎧+-<⎨-<⎩解得61m -<<，故m 的取值范围为()6,1-.16【详解】（1）由正弦定理sin sin b c B C=，又3sin 5sin C B =，所以35c b=又3b =，所以5c =.（2）由余弦定理2222223571cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯，又()0,πA ∈，所以2π,3A =所以11sin 352224ABC S bc A ==⨯⨯⨯= .17.解：（1）因为在菱形ABCD 中，1,22BE BC CF FD == .故1223EF EC CF AD AB =+=- ，故21,32x y =-=，所以340x y +=.（2）显然12AE AB AD =+ ，所以112223AE EF AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211346AB AD AB AD =-++⋅ ……①因为菱形ABCD ，且3,60AB BAD ∠== ，故3,,60AD AB AD == .所以933cos602AB AD ⋅=⨯⨯= .故①式222193333412=-⨯+⨯+=-.故3AE EF ⋅=- .18.【详解】（1）设圆锥筒的半径为r ，容积为V ， 所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2π2π,2π333r ∴=⨯解得1r=h ∴==，11π333V Sh ∴==⨯⨯.∴圆锥筒的容积为3.（2）设内接圆柱高为h，由圆锥内接圆柱的轴截面图，得)11x h x =⇒=-，所以内接圆柱侧面积()2212π12S xh x x x x⎛⎫==-+=--+<<⎪⎝⎭，所以当12x=.19.【详解】（1）由题可得：2CD BD=，故233ACD ABCS S==又1sin2ACDS AD CD ADC∠=⋅⋅，即11223CD⨯⨯⨯=83CD∴=，即43BD=在ABD中，根据余弦定理得2222cosAB BD AD AD BD ADB∠=+-⋅⋅即216411219323AB AB=++⨯⨯⨯∴=，即,3c=（2）法一､212,33CD BD AD AB AC=∴=+222414999AD AB AC AB AC∴=++⋅，即22441cos999c b bc BAC∠=++⋅又221411,cos2b c bc BAC∠+=∴⋅=-①又1sin2bc BAC∠⋅=②，由①②得：tan BAC∠=-43sin7BAC∠∴=（2）法二､由cos cos0ADB ADC∠∠+=得2222141199012212133a c a ba a+-+-+=⋅⋅⋅⋅即2222936a b c+=+①2222cosa b c bc BAC∠=+-②联立①②式可得22494cosb c bc BAC∠+=-又221411,cos2b c bc BAC∠+=∴⋅=-③又1sin2bc BAC∠⋅=，④由③④得：tan BAC∠=-43sin7BAC∠∴=。

一、单选题 1．复数（ ） 2ii 1i-=+A ． B ．C ．1D ．12i -12i +1-【答案】C【分析】直接由复数的运算求解即可. 【详解】. ()()()2i 1i 2ii i 1i i 11i 1i 1i --=-=+-=++-故选：C.2．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）ABCD E AB F CE AF =A ．B ．3144AB AD +1344AB AD +C ．D ．12AB AD +3142AB AD +【答案】D【分析】由平面向量的线性运算逐步转化即可得解.【详解】AF = 1122EF AB A EC E +=+11()22AB EB BC +=+111222AB AB BC ⎛⎫+ ⎪+⎭=⎝=. 3142AB AD + 故选：D ．3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是O A B C ''''1cm （ ）A ．B ．C ．D ．8cm 6cm 2(12(1【答案】A【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，OABC 1OA O A ''==OB OA ⊥， 2OB O B ''==3AB ==所以平行四边形的周长是8． OABC 故选：A ．4．若圆锥的母线长为，底面半径为 ） 4A ． B ．C ．D ．π8π2π48π【答案】B【分析】由圆锥母线和底面半径可求得圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果.【详解】圆锥的母线长，底面半径圆锥的高，4l =r =∴2h ==圆锥的体积.∴2183V r h ππ=⋅=故选：B.5．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则“”是“”的（ ） 3A π<sin A <A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合三角函数的性质，利用充分性与必要性的定义，可得出答案. 【详解】A 是△ABC 的三个内角， ()0,πA ∴∈当，可得或，sin A <()0,πA ∈π03A <<2ππ3A <<所以“”是“”的充分不必要条件. 3A π<sin A <故选：A6．在平行四边形中，已知，，对角线，则对角线的长为（ ） ABCD 1AD =2AB =2BD =AC ABCD ．2【答案】A【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解.【详解】根据题意，在中，由余弦定理得，ABD △2221cos 24AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅因，所以，BAD ABC π∠+∠=1cos cos 4ABC BAD ∠=-∠=-故在中，由余弦定理得，计算得ABC A 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠AC =故选：A.7．在梯形中，，且，则的值为（ ）ABCD 24DC AB PC==AP AB AD λμ=+ λμ+A ．1B ．C ．2D ．352【答案】B【分析】先利用平面向量的线性运算得到，再结合进行求解.32AP AD AB =+ AP AB AD λμ=+【详解】因为，24DC AB PC ==所以，3342AP AD DP AD DC AD AB =+=+=+ 又因为，AP AB AD λμ=+所以，，.32λ=1μ=52λμ+=故选：B.8．设为的边的中点，为内一点，且满足，则（ ） D ABC A AB P ABC A 13AP AD BC =+ APDADC S S =A A A ． B ． C ． D ．13341223【答案】A【分析】由题意可得，由向量的线性运算可得，即且2ABCADC S S =A A 13DP BC = 13DP BC =//DP BC，可得，即可求得比值. 16ADP ABC S S =A A 【详解】因为为的边的中点， D ABC A AB 所以,2ABCADC S S =A A 又因为为内一点，且满足，P ABC A 13AP AD BC =+所以，即，即且，13AP AD BC -= 13DP BC = 13DP BC =//DP BC 因为， 1cos 2ABC S AB BC B =⋅A ， 1111111cos cos cos 2223626ADP ABC S AD DP B AB BC B AB BC B S =⋅=⨯⨯⋅=⨯⋅=A A 所以，116132ABCA DCC AP A BD S S S S ==A A A A 故选：A.二、多选题9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） 34i z =-i A ． B ．的虚部是5z =z 4C ．是纯虚数 D ．在复平面上对应点在第四象限3z-z 【答案】ACD【分析】由复数的模、复数的定义、复数的几何意义判断各选项． 【详解】34i z =-，A 正确；的虚部是，B 错误；是纯虚数，C 正确；对应点5=z 4-34i z -=-z 的坐标是，在第四象限，D 正确． (3,4)-故选：ACD ．10．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）a bA ．若，满足||>||，且与反向，则< a b a b a b a bB ．||||||a b a b +≤+ C ．||||||a b a b ⋅≥ D ．||||||a b a b -≥- 【答案】BD【分析】A. 根据平面向量不能比较大小判断.B. 根据平面向量的三角形法则判断.C.根据 平面向量的数量积定义判断.D. 根据平面向量的三角形法则判断.【详解】A 选项.向量不能比较大小，选项A 错误．B 选项. 根据向量加法运算公式可知，当向量和不共线时，两边之和大于第三边，即a b，||||||a b a b +<+当和反向时，，当和同向时，，a b ||||||a b a b +<+ a b||||||a b a b +=+ 所以成立，故B 正确；||||||a b a b +≤+C 选项，，选项C 错误．|||||||cos |||||a b a b a b θ⋅=≤D 选项.当向量和不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即 a b||||||a b a b ->- 当和反向时，，a b||||||a b a b ->- 当和同向且时，，a b||||a b ≥ ||||||a b a b -=- 当和同向且时，，所以选项D 正确. a b||||a b < ||||||a b a b ->- 故选：BD11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为 22πRB ．圆锥的侧面积为22πR C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案. 【详解】A 选项，圆柱的侧面积为，A 选项错误. 22π24πR R R ⨯=B，=圆锥的侧面积为，B 选项错误. 2πR R =C 选项，球的表面积为，24πR 所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C 选项正确. D 选项，圆柱的体积为，23π22πR R R ⨯=圆锥的体积为， 2312ππ233R R R ⨯⨯=球的体积为， 34π3R 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，D 选项正确. 3332π4π2π::3:1:233R R R =故选：CD12．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） ABC A A ．若，则为等腰三角形. sin 2sin 2A B =ABC A B ．若，则sin sin A B >A B >C ．若，则是钝角三角形.0AC CB ⋅<ABC A D ．若，则一定是一个钝角三角形. ():():()4:5:6b c c a a b +++=ABC A 【答案】BD【分析】根据正弦函数的性质可判断A ，根据正弦定理及大边对大角的性质可判断哪B ，由向量夹角确定三角形内角判断C ，根据所给性质及余弦定理判断D.【详解】，，或，sin 2sin 2A B = 022,022A B ππ<<<<22A B ∴=22A B π+=为等腰或直角三角形，故A 错误；ABC ∴△，由正弦定理可知，，故B 正确； sin sin A B > a b >A B ∴> 的外角为钝角，为锐角，故C 错误； 0，AC CB ⋅<ACB ∴∠ACB ∴∠设，则解得， 4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=753,,222a kb kc k ===则，因为， 222222222357152224cos 01515222k k k k b c a A k k bc⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭===<0A π<<所以是钝角，故D 正确.A三、填空题13．已知向量，且，则_______. (2,3),(3,)a b m =-=a b ⊥ m =【答案】2【详解】由题意可得解得.2330,m -⨯+=2m =【名师点睛】（1）向量平行：，,1221x y x y ⇒=∥a b ,,∥λλ≠⇒∃∈=0R a b b a b .111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ （2）向量垂直：.121200⊥⇔⋅=⇔+=x x y y a b a b （3）向量的运算：.221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b 14．是虚数单位，复数______. i 310i3i =-【答案】/3i+113i +【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】. ()()()310i 3i 10i 10i 30i 1013i 3i 3i 3i 3i 10-+====+-++-故答案为：.13i +15．在中，若，，，则等于________. ABC A b =3c =30B ︒=a【答案】【分析】由正弦定理，求得或，分类讨论，即可求得的值. sin C =60C ︒=120C ︒=a【详解】由正弦定理，可得，所以， sin sin b c B C =sin sin c B C b ⋅===因为，所以或， (0,180)C ∈ 60C ︒=120C ︒=当时，，可得； 60C ︒=90A ︒=a ==当时，，此时 120C ︒=30A ︒=a b ==综上可得或a =a =故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得的值，得出的大sin C C 小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.16．如图，在中，，点P 为边BC 上的一动点，则的最小值为ABC A 3BC BA BC =⋅= PA PC ⋅___________.【答案】1-【分析】设，，用、表示、，再计算的最小值．BP BC λ= []0,1λ∈BC BA PA PCPA PC ⋅ 【详解】由题意，设，，BP BC λ=[]0,1λ∈所以，.PA PB BA BP BA BC BA λ=+=-+=-+()1PC BC λ=- 又，，3BC =3BA BC ⋅=所以()()()()2111PA PC BC BA BC BC BA BC λλλλλ⋅=-+⋅-=--+-⋅()()229319123λλλλλ=-+-=-+，22913λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当时，取得最小值. 23λ=PA PC ⋅ 1-故答案为：.1-四、解答题17．已知复数．()()2232816i z m m m m =--+-∈R (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求m 的值． 【答案】(1) 4m =±(2) 7m =【分析】（1）虚部为0列出方程即可；（2）实部为0，虚部不为0列出方程即可 【详解】（1）由题意得，解得2160m -=4m =±（2）由题意得,即,解得 223280160m m m ⎧--=⎨-≠⎩7444m m m =-⎧⎨≠≠-⎩或且7m =18．在中，角所对的边分别为且满足 ABC A ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =（1）求角的大小；C （2的最大值，并求取得最大值时角的大小．cos()4A B π-+,A B 【答案】（1）；（2）最大值为2，此时 4C π=5,.312A B ππ==【详解】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为所以0,A π<<sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（2）由（1）知于是 3.4B Aπ=-cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+== 从而当即时取最大值2．2sin()6A π+的最大值为2，此时 cos(4A B π-+5,.312A B ππ==19．如图，在中，，，，点D 在边BC 上，且． ABC A2AB =1AC =π6B =cos ADB ∠=(1)求AD ；(2)求的面积． ACD A【答案】【分析】（1）先求，然后通过正弦定理即可得结果； sinADB ∠（2）通过余弦定理解出三角形，再计算面积即可. 【详解】（1）由题意得． sin ADB ∠==在中，由正弦定理，得ADB A sin sin AD ABB ADB =∠sin sin B AD AB ADB=⋅=∠（2）由余弦定理， 2222cosAC AB BC AB BC B =+-⋅得，解得．230BC -+=BC =因为，所以， 222AC BC AB+=π2C =所以．CD ==故的面积为．ACD A 112=20．在锐角中，分别是所对的边，已知，向量，ABCA ,,a b c ,,ABC 1a =1)m =-，且． (cos ,sin )n A A = m n ⊥（1）求角A 的大小（2）求周长的取值范围． ABC A【答案】（1）；（2）．3A π=(1【分析】（1）由即可得到，由此能求出．m n ⊥0sinA -=tanA A （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，2sin(6b c B π+=+(63B ππ+∈，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围． 2)3π【详解】解：（1）因为且，m n ⊥ 1),(cos,sin )m n A A =-=，得sin 0A A -=tan A =又因为，所以．(0,)A π∈3A π=（2）由正弦定理可得，得sin sin sina b c A B c ==b Bc C⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则 2C 1sin )1sin sin 3ABC a b c B C B B π⎤⎛⎫=++=+=++- ⎪⎥⎝⎭⎦A ，2sin 16B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵是锐角三角形，∴，解得ABC A 0220B 32B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩62B ππ<<，， 2363B πππ∴<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭12sin 136B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭∴周长的取值范围为ABC A (121．函数的定义域为，且存在唯一常数，使得对于任意的x 总有()f x ()0,∞+0k >，成立． ()()1f kx f x k=+(1)若，求； ()10f =()1f k f k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求证：函数符合题设条件．()ln g x x =【答案】(1)0(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法令与，结合分别求出与，即可得解； 1x =1x k =()10f =()f k 1f k ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）假设存在常数满足，所以，设，判断函数的00k >()()001g k x g x k =+001ln k k =()1ln h x x x =-单调性，结合零点存在性定理即可证明； 【详解】（1）解：因为，所以， ()()1f kx f x k=+()()11f k f k =+又，所以，又，所以， ()10f =()1f k k =()1111f f k f k k k⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=+11f k k ⎪⎝⎭=-⎛⎫所以 ()1110f k f k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+=（2）解：因为的定义域为，()ln g x x =()0,∞+假设存在常数满足，即，所以， 00k >()()001g k x g x k =+()001ln ln k x x k =+001ln k k =设，显然在上单调递增，又，()1ln h x x x =-()h x ()0,∞+()11ln1101h =-=-<， ()11e ln e 10e eh =-=->所以存在唯一的常数使得，即存在唯一的常数使得函数()01,e k ∈()0001ln 0h k k k =-=()01,e k ∈符合题设条件；()ln g x x =22．在近年，中国采用“吹沙填海”的方式，成功将部分小岛礁连成一片，可以进而形成一个大岛礁．已知南海上存在、、、四个小岛礁，它们在一条直线上且满足，若通A F E D AF FE ED ==过“吹沙填海”的方式建成了如图所示一个矩形区域的大岛礁，其中米．ABCD 2120AD AB ==(1)为线段上一点，求最小值；P BC 22PE PF +(2)为线段上一点，求的最小值；P BC cos EPF Ð(3)因特殊原因，划定以圆心，为半径的圆的区域为“隔离区”，拟建造一条道路，使A AB 14MN 与该“隔离区”的边界相切，求四边形面积的最大值．MN CDNM 【答案】(1)8000(2) 45(3)7200-【分析】(1)取中点，将原问题转化为向量求模即可；EF G (2)根据余弦定理及第一问的结果可以求解；(3)由于MN ，MB 都是圆A 的切线，连接AM ，利用 以及切线之间的几何关系，再利用MAB θ∠=面积公式求解即可.【详解】（1））取中点，EF G ()()2222222222PE PF PE PF PG GE PG GE PG GE +=+=++=-+ 2228002608008000PG =+≥⨯+= ，当且仅当点位于中点时等号成立，∴最小值为8000；P BC 22PE PF +（2）由余弦定理得，， 2222222222216004cos 11280005PE PF EF PE PF EF EF EPF PE PF PE PF PE PF +-+-∠=≥=-≥-=⋅⋅++当且仅当，即点立位于中点时等号成立，的最小值为； PE PF =P BC cos EPF Ð45（3）设与圆切于点，连接，，设，， MN 14Q AQ AM QAM MAB θ∠=∠=0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦则，，，， 60tan MB θ=60tan 2NQ θ=1800tan QAM MAB S S θ==△△1800tan 2ANQ S θ=△∴的面积CDNM 180072003600tan tan 2CDNM S θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3172001800tan 72001800720022tan θθ⎛⎫=-+≤-⨯=- ⎪⎝⎭当且仅当，时等号成立时等号成立， tan θ=6πθ=四边形CDNM 的最大值为：；7200-综上，最小值为8000，的最小值为，四边形CDNM 的最大值为：22PE PF +cos EPF Ð457200-。

福建省福州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共24分)1. （1分） (2017高二上·湖北期中) 过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是________．2. （1分）已知1≤x≤3，﹣1≤y≤4，则3x+2y的取值范围是________．3. （1分）(2017·衡阳模拟) △ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③ ，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是________．4. （1分） (2016高一上·舟山期末) 直线l1：2x+y+2=0，l2：ax+4y﹣2=0，且l1∥l2 ，则a=________．5. （1分） (2016高一下·海南期中) 等比数列，，，…前8项的和为________．6. （1分） (2019高三上·承德月考) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则A=________7. （1分） (2016高三上·平罗期中) 设Sn是等差数列{an}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=________．8. （1分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是________．9. （10分）(2019·湖南模拟) 已知直线，函数 .（1）当，时，证明：曲线在直线的上方；（2）若直线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.10. （1分）(2017·大理模拟) 若数列{an}的首项a1=2，且；令bn=log3（an+1），则b1+b2+b3+…+b100=________．11. （1分） (2019高一上·汪清月考) 已知，则的值为________.12. （2分）对一个非零自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1．如此进行直到变为1为止．那么经过三次操作能变为1的数为________ ；经过11次操作能变为1的非零自然数的个数为________13. （1分） (2016高二上·西安期中) 在等差数列{an}中，S10=4，S20=20，那么S30=________．14. （1分） (2017高三上·武进期中) 已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为________．二、综合题： (共6题；共60分)15. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=2sinx（）．（1）求函数f（x）在（）上的值域；（2）在△ABC中，f（C）=0，且sinB=sinAsinC，求tanA的值．16. （5分）△ABC的三个顶点为A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）BC边上的高所在的直线方程；（2）过C点且平行于AB的直线方程．17. （15分） (2019高二上·上海月考) 在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资增加基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第年的月工资收入分别是多少?（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么?（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元），并说明理由.18. （5分）已知数列{an}满足：++…+=（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=anan+1 ， Sn为数列{bn}的前n项和，对于任意的正整数n，Sn＞2λ﹣恒成立，求Sn及实数λ的取值范围．19. （10分） (2015高一上·深圳期末) 已知函数f（x）=lg（ax2+ax+2）（a∈R）．（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．20. （15分） (2018高一下·四川月考) 已知数列中，，且（且）.（1）求的值；（2）证明：数列为等差数列，并求通项公式 a n ；（3）设数列的前项和为，试比较与的大小关系.参考答案一、填空题： (共14题；共24分)1、答案：略2、答案：略3、答案：略4、答案：略5、答案：略6、答案：略7、答案：略8、答案：略9、答案：略10、答案：略11-1、12、答案：略13、答案：略14、答案：略二、综合题： (共6题；共60分)15、答案：略16、答案：略17、答案：略18、答案：略19、答案：略20、答案：略。

高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量，，若与共线，则实数=（ ）(3,1)a = (21,3)b m =- a bm A ．B ．C ．D ．1132572【答案】B【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由题意， ()331210m ⨯-⨯-=解得. 5m =故选：B2．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） a 2(1)(1)z a a i =-++z A ． B ．C ．D ．12i 1±2【答案】D【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.z a z 【详解】由已知，解得，故，其虚部为，21010a a ⎧-=⎨+≠⎩1a =2z i =2故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.3．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间()ln(1)1f x x x =++-[]0,10.01的次数最少为（ ） A ． B ．C ．D ．5678【答案】C【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为，n 12n据此可得，解可得的取值范围，即可得答案． 10.012n <n 【详解】解：开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， ()0,1经过此操作后,区间长度变为， n 12n用二分法求函数在区间上近似解,()()ln 11f x x x =++-()0,1要求精确度为，0.01，解得， 10.012n∴≤7n ≥故选：C.4．函数的图像大致是（ ）2()ln f x x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数为偶函数排除D ；再根据当时， ，排除AC 得到答案.0x →()f x →-∞【详解】，()2ln f x x x =+ ,()()22ln ln ()f x x x x f x x -=-∴=+-+=所以为偶函数，排除D ； ()f x 当时， ，排除AC ； 0x →()f x →-∞故选：B.5．设，，，则，，的大小sin 35sin 72sin 55sin18a =︒︒-︒︒cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒221tan 361tan 36c -︒=+︒a b c 关系为（ ） A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>【答案】C【分析】利用三角变换化简，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. ,,a b c 【详解】，sin 35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒，2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin 8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒， 22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒因为，故. 016171890︒<︒<︒<︒<︒sin16sin17sin18︒<︒<︒故， c a b >>故选：C.6．已知sin = ，则cos 的值为（ ）3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．231313-23-【答案】C【分析】已知条件由诱导公式可化为cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】解： sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭sin cos 266πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 221cos 22121363cos ππαα⎛⎫⎪⎝⎛⎫∴+=+-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎭故选：．C 7．在中，角、、所对的边分别是、、，若，ABC AA B C a b c 2b =AC 的最大值为（ ）ABC ∠A ．B ．C ．D ．π6π3π22π3【答案】B【分析】利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理和基本不等式可得出sin ac ABC ∠=，可得出求出角的取值范2≤πsin 3ABC ⎛⎫∠+≥⎪⎝⎭0πABC <∠<ABC ∠围，即可得解.【详解】因为， 11sin 222ABC S ac ABC =∠=⨯=△sin ac ABC ∠=由余弦定理可得， 22242cos 22cos b a c ac ABC ac ac ABC ==+-∠≥-∠当且仅当时，等号成立， a c =即，()1cos 2ac ABC -∠≤2≤因为，则，整理可得 0πABC <∠<sin 0ABC ∠>sin ABC ABC ∠∠≥即，π2sin 3ABC ⎛⎫∠+≥ ⎪⎝⎭πsin 3ABC ⎛⎫∠+≥ ⎪⎝⎭因为，则，可得，ππ4π333ABC <∠+<ππ2π333ABC <∠+≤π03ABC <∠≤故的最大值为. ABC ∠π3故选：B.8．已知，将的图象向右平移个单位，再向下平移()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π61个单位，得到的图象．若对，都有成立，则()y g x =R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3g a ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）．A ．B ．C D ． 1212-【答案】A【分析】根据三角恒等变换化简，再求出变换后的函数的解析式，根据条件结合正弦函()f x ()g x 数性质列方程求出，从而可计算出答案. a 【详解】()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22x x x x x ⎫+=+⎪⎪⎭ ()11112sin cos cos 2222x x x =+++ 11sin 2cos 2122x x =++， π214x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位， ()y f x =π6， ()πππ21126412g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以对，都有成立，R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数关于点对称， ()π212g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，则， ππ,Z 12a k k -=∈ππ,Z 12a k k =+∈所以 πππ23312g a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππ2π1212k ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3π2π4k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π4=. 12=故选：A.二、多选题9．（多选题）已知集合，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是{},nM m m i n N ==∈（ ） A ． B ．C ．D ．()()11i i -+11ii-+11ii+-()21i -【答案】BC【解析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，{},nM m m i n N ==∈时，； ()4n k k N =∈1n i =时，()41n k k N =+∈；时，；n i i =()42n k k N =+∈1n i =-时，， ()43n k k N =+∈n i i =-.{}1,1,,M i i ∴=--选项A 中，；()()112i i M -+=∉选项B 中，； ()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+选项C 中，； ()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-选项D 中，.()212i i M -=-∉故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 10．如图，平行四边形中，，为的中点，与交于ABCD 243AB AD BAD π==∠=，，E CD AE DB ，则（ ）FA ．在方向上的投影向量为B ．C ．D ．BF AB0 1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u r 2AF AB ⋅=AF =【答案】AB【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．【详解】解：平行四边形中，，ABCD 2,4,3AB AD BAD π==∠=所以DB ===则，所以，222AB BD AD +=AB BD ⊥为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，E CD AE DBF BF AB即在方向上的投影向量为，所以A 正确； BF AB0 因为，所以，则， AB CD ∕∕2AF ABEF DE==2AF EF =故， 21,32AF AE AE AD DE AB AD ==+=+ ，所以B 正确；∴1233AF AB AD =+u u u ru u u r u u u r ，所以C 不正确；221212121()24243333332AF AB AB AD AB AB AD AB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯=1233AF AB =+=D 不正确．故选：AB ．11．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．函数在单调递减()y f x =5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数图象关于中心对称 ()y f x =19,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象()y f x =3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 ()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AD【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB 的正误，利用图像变换可 判断C 的正误，根据正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】由图象可得，且，故即，2A =37ππ3π41264T =+=πT =2ω=而，故， 7ππ22π,122k k Z ϕ⨯+=+∈2π2π,3k k Z ϕ=-+∈因为，故，故，ϕπ<2π3ϕ=-()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，当，， 5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3π2ππ2232x -≤-≤-而在上为减函数，故在为减函数，故A 正确.sin y t =3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于B ，，故为函数图象的对称轴， 1919π2π2sin 21263f π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1912x π=故B 错误.对于C ，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图()y f x =3π2π2π2sin 22sin 233y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭象，故C 错误.对于D ，当时，， 2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π2π2π22333x a ≤-≤-因为函数的值域为，故， ⎡-⎣3π2π7π2233a ≤-≤故，故D 正确. 13π3π122a ≤≤故选：AD.12．已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到()21,04ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()()R f x k k =∈大依次记为，，，则（ ） 1x 2x 3x 4x A ． B ． 104k <<3e 02x <<C ．D ．121x x +=-21234e 04x x x x <<【答案】ACD【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出k 的取值范围，并得到1x ，，，之间的关系，其中，是方程的实数根，根据二元一次方程和韦达2x 3x 4x 1x 2x 214x x k ++=定理即可找到关系；，满足等式.3x 4x ()34ln 1ln 1x x --=-【详解】当时，，在单调递减，，在0x <()214f x x x =++1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦()[)0,f x ∈+∞1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭单调递增，；()10,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，，在单调递减，，在单调递增，0x >()ln 1f x x =-(]0,e x ∈()[)0,f x ∈+∞()e,x ∈+∞，若有四个不同的实数解，则，A 正确；()()0,f x ∞∈+()()R f x k k =∈104k <<因为，所以，，所以104k <<()104f x <<(]30,e x ∈34333110ln 1ln 10e e44x x x <-<⇒-<-<⇒<<，B 错误；，根据韦达定理可知中，C 正确； ()12,,10x x ∈-()214f x x x k =++=121x x +=-，，所以()2343434ln 1ln 1ln 1ln 1e x x x x x x -=-⇒--=-⇒=12110,44x x k ⎛⎫⋅=-∈ ⎪⎝⎭21234e 04x x x x <<，D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知i 是虚数单位，设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是，，则点C 对应的复数是________. 32i +24i -【答案】52i -【解析】分别得出点，点，点的坐标，再由四边形ABCD 是平行四边形得出A B D AC AB AD =+计算即可.【详解】依题意得，，，，，()0,0A ()3,2B ()2,4D -()3,2AB = ()2,4AD =-四边形ABCD 是平行四边形，，故点C 对应的复数为. ()()()3,22,45,2AC AB AD +-∴=+==-52i -故答案为：52i -【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.14．已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范(),8a ()()1bf x a x =-()()130f m f m +-<m 围为_________．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据幂函数的定义，可求得a 值，代入点坐标，可求得b 值，根据的奇偶性和单调()f x 性，化简整理，即可得答案.【详解】因为为幂函数，所以，解得a =2()()1bf x a x =-11a -=所以，又在上，代入解得， ()b f x x =(2,8)()f x 3b =所以，为奇函数3()f x x =因为，所以， ()()130f m f m +-<()(13)(31)f m f m f m <--=-因为在R 上为单调增函数， 3()f x x =所以，解得， 31m m <-12m >故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为()045αα︒<<︒1:4tan α______.【分析】将面积之比表示关于的三角函数，从而可求的值.αtan α【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为，a ()cos sin a αα-故，故即， ()222cos sin 14a a αα-=112sin c 4os αα-=3sin cos 8αα=故，所以即， 22sin cos 3sin cos 8αααα=+2tan 3tan 18αα=+23tan 8tan 30αα-+=故，故，tan α=tan α045α︒<<︒0tan 1α<<所以 tan α=16．已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得()()sin 0,0f x A x A ωω=>>[]12,,2x x ππ∈，则实数的取值范围是________． ()()122f x f x A +=ω【答案】9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最2T π>2T π<[],2x ππ∈[],2x ωπωπω∈大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.0ω>【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，[]12,,2x x ππ∈()()122f x f x A +=当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；∴42T ππω>=4ω>[]12,,2x x ππ∈当，即时，，2T π<04ω<<[],2x ωπωπω∈，；()225222k k Z k ππωπππωπ⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩()12254k k Z k ωω⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；0k ≤∅1k =9542ω≤≤2k =1344ω≤<综上所述：实数的取值范围为.ω9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故答案为：.9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.πω四、解答题17．已知向量，，(cos ,sin )a αα=r (cos ,sin )b ββ= a - （1）求的值；cos()αβ-（2）若，，且，求的值. 02πα<<02πβ-<<5sin 13β=-sin α【答案】（1）；（2）. 353365【分析】（1=，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；（2）结合角范围以及同角的平方关系求出和的值，进而利用两角和的正弦公式凑()sin αβ-cos β角即可求出结果.【详解】（1）因为向量，，(cos ,sin )a αα=r (cos ,sin )b ββ= 所以，(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--又因为 a - =， 22224cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin 5αβαβαβαβ+-++-=即，所以； ()422cos 5αβ--=()3cos 5αβ-=（2）因为，，所以， 02πα<<02πβ-<<0αβπ<-<所以， ()4sin 5αβ-==又因为，所以 5sin 13β=-12cos 13β==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦. 412353351351365⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭18．已知集合，.(){}2log 12A x x =-<{}22210B x x ax a =-+-<(1)若，求；1a =A B ⋃(2)求实数的取值范围，使___________成立.a 从①，②，③中选择一个填入横线处求解.R A B ⊆ðR B A ⊆ð()A B =∅R I ð注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；{}05x x <<(2)选，或1A 0a ≤6a ≥选，或；2A 0a ≤6a ≥选，.3A 24a ≤≤【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果；(1)根据(1)和补集的概念和运算求出和，利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对R A ðB R ð应条件的参数.【详解】（1），2{log (1)2}{014}{15}A x x x x x x =-<=<-<=<<，{}22{210}[(1)][(1)]{11}B x x ax a x x a x a x a x a =-+-<=---+=-<<+当时，，所以；1a ={02}B x x =<<A B ⋃={05}x x <<（2）由(1)知，，，{15}A x x =<<{11}B x a x a =-<<+所以或，或，{1R A x x =≤ð5}x ³{1R B x x a =≤-ð1}x a ≥+若选①，，则或，R A B ⊆ð11a +≤15a -≥解得或，所以的取值范围为或；0a ≤6a ≥a 0a ≤6a ≥若选②，，则或，R B A ⊆ð11a +≤15a -≥解得或，所以的取值范围为或；0a ≤6a ≥a 0a ≤6a ≥若选③，，则， ()R A B ⋂=∅ð1115a a ≤-⎧⎨+≤⎩解得，所以的取值范围为.24a ≤≤a 24a ≤≤19．设虚数z 满足.22z +（1）求证：为定值；z （2）是否存在实数k ，使为实数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. z k k z+【答案】（1）见解析；（2）存在，.k =【解析】（1）设（x ，，），代入已知条件可得结果；z x yi =+R y ∈0y ≠（2）假设存在实数k ，使得为实数，利用复数的模的性质将化为z k k z =z k k z+，从而，继而可求得k 的值. 33R x kx y ky k k i ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝+-⎭03y ky k -=【详解】（1）依题意，设（x ，，），代入，z x yi =+R y ∈0y≠22z +得，整理得，所以为定值； )232x yi +++-223x y +=z （2）假设存在实数k ，使得为实数，即： z k k z =()()()i i i i i i k x y z k x y k x y k z k x y k x y x y -+++=+=+++-为实数，， ()333k x yi x yi x kx y k k kk i y ⎛-+=+=⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-03y ky k ∴-=，k ，使为实数，此时. 0y ≠ k ∴=z k k z =k =【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数的基本概念，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.20．如图，在中，，，为上一点，且满足，ABC ∆23BAC π∠=3AD DB = P CD 12AP mAC AB =+若的面积为ABC ∆(1)求的值;m (2)求的最小值.AP 【答案】(1)13【解析】（1）建立如图所示直角坐标系，设，，求出，的坐标，可知由AC b =AB c =CD PD C，，三点共线，即，列方程即可求出的值；P D //CD PDm （2）由(1)得，由面积可得，利用基本不等式可得最小值.2AP 8bc =【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，设，，AC b =AB c =则，，(),0B c 2b C ⎛- ⎝由得， 3AD DB = 3,04c D ⎛⎫ ⎪⎝⎭故， 3,42c b CD ⎛=+ ⎝由得， 12AP mAC AB =+22c bm P ⎛- ⎝所以，,42c bm PD ⎛=+ ⎝ 因为，，三点共线，所以，C PD //CD PD 所以，304242c b c bm ⎛⎛⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝解得. 13m=(2)由(1)得，26c b P ⎛- ⎝因为12sin 23ABC S bc π∆===所以，8bc =所以， 22222426943c b AP b c ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭ 4433≥=所以时取得等号. minAP = b =c =【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角形面积公式，属于中档题.21．如图，在中，，D 为AC 边上一点且，. ABC A 23ABC π∠=AB BD ⊥2BD =（1）若，求的面积；CD BCD △（2）求的取值范围. 21AD CD+【答案】（12）. ⎤⎥⎦【分析】（1）在中，利用正弦定理求得，进而通过二角和差公式求出，再BCD △sin C sin BDC ∠通过面积公式得到答案；（2）由正弦定理求出、的表达式，求出的代数式，在运用角的关系和范围求AD CD 21AD CD+的取值范围. 21AD CD+【详解】（1），， 23ABC π∠=AB BD ⊥，6DBC π∴∠=在中，，解得：BCD △sin sin DC BD DBC C =∠sin C =4C π∴=44sin sin sin sin cos cos sin 666464BDC πππππππππ∴⎡⎤⎛+⎫⎛⎫∠=-==+= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦+⎣11sin 222BDC S BD DC BDC ∴=⋅⋅∠=⨯=A （2）在中，得：， BCD △sin sin DC BD DBC C =∠2sin 16sin sin CD C C π==在中，得：， ABD △sin sin AD BD ABD A =∠2sin 22sin sin AD A Aπ==，sin sin 21sin si 22n 11A C C C A A D D ∴++=+=， 23ABC π∠= ，3A C π∴+=， sin sin sin sin 231A C C AD CD C π⎛⎫+=∴+⎪⎝⎭-+= 整理得：， n 2i 31s C AD CD π⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=， 30C π<<， 2,333C πππ⎛⎫∴∈ ⎝+⎪⎭， sin 3C π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦故的取值范围为. 21AD CD +⎤⎥⎦【点睛】思路点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22．若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上()f x x ()()f x k f x -=-⋅Z k ∈()f x 的“阶局部奇函数”．k （1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”，并说明理由； ()tan 2sin f x x x =-()f x ()0,π（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；()()lg f x m x =-[]22-,m （3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值(],2t ∈-∞()22f x x x t =-+R k k 集合．【答案】（1）是上的“二阶局部奇函数”，理由见解析；（2）；（3）()f x ()0,π(．{}5,4,3,2,1-----【解析】（1）当时，解方程，即可得出结论；()0,x π∈()()20f x f x -+=（2）由可得出在上有解，再结合对数的真数恒为正数可得出()()0f x f x +-=221m x =+[]2,2x ∈-关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；m m （3）由可得出在上有解，然后分和()()0f x k f x -+⋅=()()()212210k x k x k t ++-++=R 10k +=两种情况讨论，在时验证即可，在时可得出，综合可解得实数的取10k +≠10k +=10k +≠0∆≥k 值范围，再由可得出结果.Z k ∈【详解】（1）由题意得，，即()()()()20tan 2sin 2tan 4sin f x f x x x x x -+=⇒---=-+，tan 2sin x x =由，可得且，得， ()0,x π∈sin 0x ≠sin tan cos x x x=1cos 2x =，．()0,x π∈ 3x π∴=所以，是上的“二阶局部奇函数”；()f x ()0,π（2）由题意得，，()()()()()220lg lg lg 0f x f x m x m x m x -+=⇒++-=-=所以，，可得在时有解，221m x -=221m x =+[]2,2x ∈-当时，，即；[]2,2x ∈-2115x ≤+≤215m ≤≤，，可得；[]2,2x ∀∈-0m x +>()max 2m x >-=，，可得.[]2,2x ∀∈-0m x ->()max 2m x >=所以，，解得. 2152m m ⎧≤≤⎨>⎩2m <≤综上所述，实数的取值范围是； m (（3）由题意得，在上有解，()()0f x k f x -+⋅=R 可知有解，即有解， ()()()22220x x t k x x t ---++-+=()()()212210k x k x k t ++-++=当时，，满足题意；1k =-0x R =∈当时，对于任意的实数，， 1k ≠-(],2t ∈-∞()()2222410k k t ∆=--+≥，()()22241222061033k k k k k ⎡⇒+⋅--≤⇒++≤⇒∈---+⎣由，故．Z k ∈{}5,4,3,2,1k ∈-----【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“阶局部奇函数”，解本题的关键就是利用新定义将k 问题转化为方程在对应区间上有解的问题来处理，解决本题的第（2）问时要注意对数的真数在所给区间上恒成立，第（3）问在求解时要注意对变系数的二次方程的首项系数进行分类讨论，结合进行求解.∆。

福建省福州市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·莆田月考) 数列是等差数列，，，则此数列的前项和等于（）A . 160B . 220C . 200D . 1802. （2分）中，若,则的面积为（）A .B .C . 或D . 或3. （2分） (2018高二上·惠来期中) 已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为（）A . 10 kmB . kmC . kmD . km4. （2分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2a4a6=6，a8a10a12=24，则a5a7a9等于（）A . 12B . 12C . 14D . 145. （2分）直线y=kx+3与圆相交于M、N两点，若，则k的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分）已知等差数列和等比数列，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则与的大小关系为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·湖州月考) 在中,角 , , 的对边分别为 , , ,且,则的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰或直角三角形8. （2分）(2020·榆林模拟) 若，，且直线与圆相切，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）设等比数列,Sn是数列｛｝的前n项和，S3=14,且al＋8,3a2,a3＋6依次成等差数列，则al·a3等于（）A . 4B . 9C . 16D . 2510. （2分） (2015高三上·临川期末) 定义为n个正数p1 ， p2 ，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}，的前n项的“均倒数”为，又bn= ，则 + +…+ =（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 若函数对任意都有，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）在△ABC中，已知b＝， c＝，∠A＝120°，则a等于（）A .B . 6C . 或6D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·淮北模拟) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.14. （1分）若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为________．15. （1分）(2017·葫芦岛模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且满足，则数列{an}的公差是 ________．16. （1分） (2016高一上·东海期中) 设方程x2﹣mx+1=0两根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·漳州模拟) 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= b．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．18. （10分） (2018高二上·莆田月考) 已知等比数列满足，数列的前项和为 .（1）求数列的通项公式；（2）数列的通项公式为，求数列的前项和 .19. （10分） (2015高三上·潍坊期中) 已知递增等比数列{an}，满足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3an+ ，求数列{an2•bn}的前n项和Sn；（3）在（2）的条件下，令cn= ，{cn}的前n项和为Tn，若Tn＞λ恒成立，求λ的取值范围．20. （10分） (2019高一上·汤原月考)（1）已知，且，求；（2）已知函数，若，求的值域.21. （10分） (2018高一下·彭水期中) 已知函数 .（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围.22. （15分） (2016高二上·汉中期中) 已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2 ， a3 ， a7成等比数列．（Ⅰ）求通项公式an（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn ．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

一、选择题1．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 2．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．(0分)[ID ：12378]已知平面//α平面β，直线m α，直线n β，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤ B ．a c b ≤≤ C ． c a b ≤≤ D ．c b a ≤≤4．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 5．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 6．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．(0分)[ID ：12390]已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．2108．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a 9．(0分)[ID ：12386]已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．25 10．(0分)[ID ：12384]若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32 C ．2或0 D ．-2或011．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC 2aD ．22a 12．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1013．(0分)[ID ：12418]如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 14．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2215．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π二、填空题16．(0分)[ID ：12493]设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.17．(0分)[ID ：12489]若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于点()1,2P -，则a b +=________.18．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.19．(0分)[ID ：12517]过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________．20．(0分)[ID ：12483]已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。

福建省福州市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）若sin2x、sinx分别是sinθ与cosθ的等差中项和等比中项，则cos2x的值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·山东开学考) 已知sinx= ，x∈（﹣，﹣π），则x的值为（）A . ﹣π+arcsinB . ﹣π﹣arcsinC . ﹣ +arcsinD . ﹣2π+arcsin3. （2分） (2016高一上·黄冈期末) 要得到y=sin 的图象，只需将y=cos（﹣）的图象上的所有点（）A . 向右平移B . 向左平移C . 向左平移D . 向右平移4. （2分）已知函数f（x）=﹣cos2x﹣8sinx+9．则函数f（x）的最小值为（）A . 2B . 0C . 18D . -2二、填空题 (共10题；共10分)5. （1分）(2020·肥城模拟) ________.6. （1分） (2018高一上·赤峰月考) 已知扇形弧长为 ,圆心角为 ,则扇形的面积为________.7. （1分） (2016高一上·锡山期中) 函数y= 的定义域为________8. （1分）关于函数，有以下命题：①函数的定义域是；②函数是奇函数；③函数的图象关于点对称；④函数的一个单调递增区间为．其中，正确的命题序号是________．9. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 振动量y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________．10. （1分）在数列{an}中，a1=1，an+1=an+（n∈N*），则an=________11. （1分）在等差数列{an}中，a2=10，a4=18，则此等差数列的公差d=________12. （1分） (2018高一下·临沂期末) 在中，已知，，，则 ________．13. （1分） (2020高三上·闵行期末) 若，且上的值域为，则实数的取值范围是________14. （1分）等差数列{an}的前3项和为30，前9项和为210，则它的前6项和为________．三、解答题 (共5题；共40分)15. （5分） (2017高一下·静海期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin （x﹣A）+sinA（x∈R）在x= 处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC= ，求△ABC的面积．16. （5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状．17. （5分）(2017·芜湖模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S9=81，a3+a5=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，若{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．18. （10分）计算下列函数的单调区间.（1）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间为________ ；（2）函数y=x﹣|1﹣x|的单调增区间为________ ．19. （15分） (2018高一上·黄陵期末) 对正整数n，记In={1，2，3，...,n}，Pn={|m∈In ，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共10题；共10分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共40分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、。

2023-2024学年福建省福州市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知复平面内，()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，然后对()2i z -化简，结合()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上可求出,a b 的范围，从而可求出复数z 对应的点所在的象限【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，所以()()()2i i 22i a b a b b a -+=++-，则2020a b b a +=⎧⎨->⎩，即22b a a b =-⎧⎨<⎩，所以a<0，0b >，故该点在第二象限，故选：B ．2．已知a ，b 满足()2,2a = ，2b = ，且a ，b 的夹角为3π4，则a b += （）A ．B ．2C ．4D ．【正确答案】B【分析】先求出a b ⋅的值，将a b + 平方转化为数量积计算.【详解】()2,2a = ，所以a = 3cos π44a b a b ⋅==- ，22284824a b a b a b +=++⋅=+-= ，所以a b +=2.故选：B3．平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近B ），则EF =（）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD +C ．1132AB AD+D ．1223AB AD - ．【正确答案】D【分析】用向量的加法和数乘法则运算.【详解】由题意：点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，∴11122323EF ED DA AB BF AD AB AD AB AD =+++=--++=-.故选：D.方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.4．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（）A ．3B ．4C ．5D ．9【正确答案】B【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2，所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上，又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=.故选：B.本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.5．已知单位向量a ，b满足0a b ⋅= ，若向量c =+ ，则sin ,a c ＝（）A B C D 【正确答案】B【分析】计算出a c ⋅= c r，从而利用向量余弦夹角公式计算得到cos ,3a c =，再利用同角三角函数平方关系求出sin ,a c.【详解】因为a ，b是单位向量，所以1a b ==r r，又因为0a b ⋅=，c =+ ，所以3c =，)2a c a b ⋅=⋅+=+⋅=，所以cos ,3a c a c a c⋅==⋅，因为[],0,πa c ∈，所以sin ,3a c == ．故选：B ．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知21sin 222A b c +=，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】A根据二倍角公式和，即可得到cos bA c=，再根据余弦定理，得到222b a c +=，由勾股定理可判断．【详解】∵21sin222A b c +=，可得2sin 22A c b c-=，∴21cos 1 222A c b b c c--==-，∴cos bA c=，∵222cos 2b c a bA bc c+-==，∴22222b c a b +-=，∴222b a c +=，∴ABC 为直角三角形，且90C ∠=︒，故选：A.由2A联想到降幂公式，当余弦和边同时出现时，应通过余弦定理将边将角化为边.7．已知矩形ABCD 的一边AB 的长为4，点M ，N 分别在边BC ，DC 上，当M ，N 分别是边BC ，DC的中点时，有()0AM AN BD +⋅= .若AM AN xAB y AD +=+，x +y ＝3，则线段MN 的最短长度为（）AB ．2C ．D ．【正确答案】D【分析】先根据M ，N 满足的条件，将()0AM AN BD +⋅= 化成,AD AB的表达式，从而判断出矩形ABCD 为正方形；再将AM AN xAB y AD +=+ ，左边用,AD AB表示出来，结合x +y ＝3，即可得NC +MC ＝4，最后借助于基本不等式求出MN 的最小值.【详解】当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()1122AM AN BD AD AB BD AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()2233022AD AB AB AD AD AB =+⋅-=-=所以AD ＝AB ，则矩形ABCD 为正方形，设,NC AB MC AD λμ==，则()()11AM AN AB AD AB AD xAB y ADμλ+=+-+-+=+ 则2,2x y λμ=-=-，又x +y ＝3，所以λ+μ＝1.故NC +MC ＝4，则MN =（当且仅当MC ＝NC ＝2时取等号）.故线段MN 的最短长度为故选：D.8．设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅ .A ．90ABC ∠=︒B ．90BAC ∠=︒C ．AB AC =D ．AC BC=【正确答案】D【分析】取BC 的中点D ，由极化恒等式可得22PB PC PD BD ⋅=- ，22000P B PC P D BD -⋅= ，从而可得0PD P D ≥ ，即可得出0P D AB ⊥，由014P B AB =，得出答案.【详解】如图，取BC 的中点D ，由极化恒等式可得：22PB PC PD BD ⋅=-，同理，22000P B PC P D BD -⋅= ，由于00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，则0PD P D ≥，所以0P D AB ⊥，因为014P B AB =，D 是BC 的中点，于是AC BC =.故选：D.二、多选题9．已知1z 与2z 是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（）A ．1212z z z z =B ．2212z z <C ．12R z z +∈D ．12Rz z ∈【正确答案】AC【分析】设12i,i,,R z a b z a b a b =+=-∈，根据复数的运算12z z ，可得A 正确；分别求出2212,z z ，得到B 不正确；根据122R z z a +=∈，可得C 正确；根据复数的除法运算，可得D 不一定正确，即可求解．【详解】设12i,i,,R z a b z a b a b =+=-∈，由2212z z a b =+，2212z z a b =+，所以1212z z z z =，所以A 正确；则22212i z a b ab =-+，22222z ab ==+，所以B 不正确；由122R z z a +=∈，所以C 正确；由()()()222122222i i 2i i i i a b z a b a b ab z a b a b a b a b a b ++-===+--+++不一定是实数，所以D 不一定正确.故选：AC10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且c =）A．若π,14B b =<，则ABC 有两解B．若π,π,2B b ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭ABC 无解C ．若ABC 为锐角三角形，且2B C =，则1sin ,42A a a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭D ．若2A B C +=，则a b +的最大值为【正确答案】ACD【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB ；根据三角形是锐角三角形，求角C 的范围，即可判断C ；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.【详解】对于A，因为π,14B b =<<sin c B b c <<，则ABC 有两解，A 正确．对于B，因为π,π,2B b ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭ABC 有且仅有一解，B 错误．对于C ，由π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩得ππ64C <<，则1sin ,22C ⎛∈ ⎝⎭，因为sin sin a cA C =，所以sin 1sin ,42a C A a a c ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，C 正确．对于D ．因为2A B C +=，所以π3C =，又因为sin sin sin a b c A B C ==所以,sin 33a Ab B ==，则22sin 3333a b A B A +=+=+2sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3πsin cos sin 3226A A A ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由2π03A <<，得ππ5π666A <+<，所以当ππ62A +=，即π3A =时，a b +取得最大值D 正确．故选：ACD11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论正确的是（）A ．2BG AH=B ．AD 在AB向量上的投影向量为12AB ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C．若(1OA FC PA ED ⋅=⋅，则P 为ED 的中点D ．若P 在线段BC 上，且AP x AB y AH =+，则x y +的取值范围为1,2⎡+⎣【正确答案】BD【分析】以AE 为y 轴，GC 为x 轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算2BG AH ≠，A 错误，投影向量为12AB ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，B 正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，2x y +=D 正确，得到答案.【详解】如图所示：以AE 为y 轴，GC 为x轴建立直角坐标系，设OA OB OC OD OE OF OG OH a ========，则222π22cos4a a a =+-⨯，整理得到22a =+()()()0,,,,,0,,0,,A a B C a D E a F ⎫⎫⎛⎫-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(),0G a -，,22H a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()00,P x y ，对选项A：22a B a a G ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，,22a A a H a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，2BG AH ≠，错误；对选项B：,22AD D a a a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，,22AB a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2222221122112a a a AD AB AB a a +-⋅==⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即投影向量为12AB ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，正确；对选项C ：()20,,222OA FC a a a a a ⎛⎫⋅=-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭，()()0000222,2a P x a a a A E a x D y a y a a ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭---⋅⎝⎭，(1OA FC PA ED ⋅=⋅，整理得到()200a y a ⎫-+-=⎪⎪⎝⎭)001y x =，与正八边形有两个交点，错误；对选项D ：()00,x y a AP =+，,22AB a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,22a A a H a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，AP x AB y AH =+ ，()00,,,2222x y a x a a a y a a a ⎛⎫⎛⎫+=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到2x y +0,02y a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1,2x y ⎡+∈+⎣，正确.故选：CD关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.12．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，)cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（）A ．ABC 是等边三角形B．若AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD面积最大值为32+D ．四边形ABCD3【正确答案】AC【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴=a b =，B是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补，由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===2222221311cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，∴B 不正确．C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=-=-△，3sin 2ADC S θ=△，3sin 222ABC ADC ABCD S S S θθ∴=+=-+四边形，13(sin cos 2θθ=⋅-3sin()3πθ=-+(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈ ，32ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确；故选：AC.．本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．三、填空题13．已知复数12,z z 是方程210x x ++=的两个根，则211211z zz z +=++__________．【正确答案】2-【分析】由题意求出12,z z ，代入211211z zz z +++化简，可得答案.【详解】由复数12,z z 是方程210x x ++=的两个根，则不妨取12,1122z z --==，故21121121122z zz z+=--=-++，故2-14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD=，135ADB∠=︒，15BDC DCA∠=∠=︒，120ACB∠=︒，则A，B两点间的距离为______.【正确答案】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为135ADB∠=︒，15BDC DCA∠=∠=︒，所以150ADC∠=︒，15DAC DCA∠=∠=︒，所以80AD CD==，又因为120ACB∠=︒，所以135,30BCD CBD∠=︒∠=︒，由正弦定理得：sin sinBD CDBCD CBD=∠∠80122=，解得BD=在ABD△中，由余弦定理得2222cosAB AD BD AD BD ADB=+-⋅∠，所以222802802AB⎛=+-⨯⨯-⎝⎭，解得AB=m.故80515．如图，已知正六边形ABCDEF 边长为1，点P 是其内部一点，（包括边界），则AP AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为______【正确答案】[]0,3【分析】易得cos ,3cos ,AP AC AP AC AP AC AP AP AC⋅=⋅⋅⋅，再由cos ,AP AP AC ⋅ 表示AP 在AC上的投影求解.【详解】解：由正六边形的性质得：30BCA BAC ∠=∠= ，则21cos303AC =⨯⨯ ，1203090CAF ∠=-= ，cos ,3cos ,AP AC AP AC AP AC AP AP AC⋅=⋅⋅=⋅，而cos ,AP AP AC ⋅ 表示AP 在AC上的投影，当点P 在C 3P 在F 处时，投影最小为0，所以AP AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为[]0,3，故[]0,316．在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若22228a b c ++=，则△ABC 的面积的最大值为______．25【分析】（1）可以把△ABC 放入直角坐标系中，将已知条件转化为坐标之间的方程关系，数形结合，找到取得面积最大时的特殊位置；（2）可以把已知条件中三个变元的关系结合基本不等式形成两个变元的关系，同时面积也转化成这两个变元的关系再求最值即可；（3）可以把已知条件结合余弦定理及基本不等式，将面积转化为以角度为变量的三角函数表示，利用函数思想求三角函数最值.【详解】方法1：在△ABC 中，以线段AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则02c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，02c B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设()C x y ，，因为22228a b c ++=，所以22282BC AC c +=-.得222c x y ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222822c x y c ⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得222544x y c +=-，即C 是如图1所示的圆上的动点.如图2，当点C 在y 轴上时，即0x =时，△ABC 面积最大，故12ABC S c =⨯△285c =时，即c =ABC 方法2：如图3，CD 是△ABC 边AB 上的高，设AD x =，BD y =，CD h =，由22228a b c ++=，得()()22222(h y h x x +++++2)8y =，即222222()8h x y x y ++++=，又2x y+222()(2x y x y ++当且仅当x y =时取等号)，所以2252()82h x y ++，又1()2ABCS x y h =+=△12=1)25x y ⎤+⨯⎥⎦225()222x y h ++)x y +=时，等号成立，即h =，将h =与x y =代人222222()8h x y x y ++++=中，得5x y ==.所以△ABC .方法3:由三角形面积公式，得1sin 2ABC S ab C =△，即()222222211sin 1cos 44ABC S a b C a b C ==-△，由22228a b c ++=，得22282a b c +=-，由余弦定理，得283cos 2c C ab-=，所以()222222211sin 1cos 44ABCS a b C a b C ==-=△()22222222831831142416c c a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥⋅-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()2222222224283835161616121686ab c c c c c +---==-+-(当且仅当a b =时取等号)，当285c =时，即5c =时，42516c c -+取得最大值45，即245ABC S △，所以△ABC .(也可以用基本不等式求2ABC S △的最大值，即()22242216516551142165165165ABCc c c Sc ⎛⎫⎪-⎝⎭=-+=⨯≤⨯=△，当285c =时，即5c =时取等号，所以△ABC .)方法4：在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，由22228a b c ++=，得()222222cos 8a b a b ab C +++-=，即()22384cos a b ab C +=+，又222a b ab +，所以84cos 6ab C ab +，即(32cos )4ab C -，故432cos abC -，又1sin 2ABC S ab C = ，所以2sin 32cos ABC C S C -△，令2sin ()32cos xf x x =-，(0,)x π∈，得26cos 4()(32cos )x f x x -'=-，令06cos 40x -=，得02cos 3x =，x()00,x 0x ()0,x π()f x '+-()f x极大值()0f x即当02cos 3x =时，0sin x =，()0()f x f x =最大值002sin 32cos x x =-ABC .在处理与正余弦定理相关的面积最值问题时：（1）如果出现边的一次式一般采用正弦定理，出现二次式一般要结合余弦定理，利用基本不等式找到变元间的不等关系，结合面积公式求得最值；（2）三角形的面积可以转化为边的关系，也可以转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值；（3）也可以数形结合，如果能从形中找到突破口，会降低难度和计算量.四、解答题17．已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数.（1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1z i =+；（2）()0,∞+.【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z＝a ＋i ＋2a i +＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+-＝a ＋i ＋2221a ia -+＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0，因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i .（2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0.因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).18．已知向量11),,22a b ⎛=-= ⎝⎭ .(1)求与a 平行的单位向量c；(2)设()23,x a t b y k ta b =++=-⋅+ ，若存在[0,2]t ∈，使得x y ⊥r u r 成立，求k 的取值范围.【正确答案】(1)21⎫-⎪⎪⎝⎭或21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(2)⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】（1）待定系数法设坐标后列方程组求解（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题【详解】（1）设(,)x y = c，根据题意得221,0,x y x ⎧+=⎪+=解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12⎫∴=-⎪⎪⎝⎭ c或12⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ c .（2）11),,02a b a b ⎛=-=∴⋅= ⎝⎭.()222,||3||0x y kt a t b ⊥∴-++= .||2,||1a b ==，2430t kt ∴-+=.问题转化为关于t 的二次方程2430t kt -+=在[0,2]内有解.令2()43f t t kt =-+，①当20k ，即0k 时，()f t 在 [0,2]内为增函数，(0)3f =方程2430t kt -+=在[0,2]内无解.②当022k <，即01k <时，由216120k ∆=-，解得2k -或1k k .③当22k >，即1k >时，()f t 在 [0,2]内为减函数，由(2)0f 得4830k -+.解得7,18k k ∴>.综上，实数k的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭.19．在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，已知()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=-，(1)求B ；(2)若ABC为锐角三角形，b =，求22a c +的取值范围．【正确答案】(1)π3B =(2)(]5,6【分析】（1）利用正弦定理角化边可得222a cb ac +-=，结合余弦定理即得2221cos 22a cb B ac +-==，即可求得答案；（2）利用余弦定理表示出223a c ac +=+，结合正弦定理边化角可得4sin sin ac A C =，利用三角恒等变换化简可得π2sin 216ac A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合ABC 为锐角三角形确定A 的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案.【详解】（1）由()()()sin sin sin sin b c B C A C a -+=-,根据正弦定理可得()()()b c b c a c a -+=-，所以222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 22a c b B ac +-==，()0,πB ∈ ，π3B ∴=．（2）由余弦定理，得222222cos ,3b a c ac B a c ac =+-∴=+-，即223a c ac +=+，由正弦定理，得2sin sin sin 2a cb A C B====，即2sin ,2sin a A c C ==，又2π3C A =-，所以22π4sin sin 4sin sin 2cos 2sin 3ac A C A A A A A⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭πcos212sin 216A A A ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由ABC 为锐角三角形，故π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，所以ππ5π2666A <-<，所以π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]2,3ac ∈，所以(]2235,6a c ac +=+∈．20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，cos cos A C =D 是边BC 上的一点，且sin sin 32BAD CAD b c a∠∠+=．(1)求证：3aAD =；(2)若2CD BD =，求cos ADC ∠．【正确答案】(1)详见解析；(2)1314【分析】（1）先利用余弦定理由cos cos A C =5π6A =，再利用正弦定理由sin sin 32BAD CAD b c a ∠∠+=即可求得3a AD =；（2）先利用余弦定理求得c a ⎧⎪⎨=⎪⎩，进而利用余弦定理求得13cos 14ADC ∠=【详解】（1）在ABC中，cos cos A C =则22222222b c a ab bc a b c +-⨯=-+-整理得222b c a -=+，则222cos 22b c a A bc +-==又0πA <<，则5π6A =在ACD 中，由正弦定理得sin sin CAD C CD AD ∠=，则sin sin CD CCAD AD ⋅∠=在BAD 中，由正弦定理得sin sin BAD BBD AD∠=，则sin sin BD B BAD AD ⋅∠=则sin sin sin sin BAD CAD BD B CD Cb c AD b AD c ∠∠⋅⋅+=+=⋅⋅()11sin sin 132222BD CD a BD A CD AAD a AD aAD aAD a AD a+⨯⨯⋅⋅=+====⋅⋅⋅⋅则3aAD =（2）由2CD BD =，可得21,33CD a BD a ==，又3a AD =则22222221113333cos ,cos 1211223333a a ba a c ADC ADB a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠=∠=⨯⨯⨯⨯由cos cos 0ADC ADB ∠+∠=可得2222222111333301211223333a ab a ac a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯，解之得2222a b c-=又5π6A =，则2223a b c bc =+，由22222223a b c a b c ⎧-=⎪⎨=+⎪⎩，可得37c ba b⎧=⎪⎨=⎪⎩则222222215713339cos 1241427339a ab b b ADC a a b ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯21．如图所示，在ABC 中，P 在线段BC 上，满足2BP PC =，O 是线段AP的中点．(1)延长CO 交AB 于点Q （图1），求AQQB的值；(2)过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F （图2），设EB AE λ= ，FC AF μ=．（i ）求证2λμ+为定值；（ii ）设AEF △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，求12S S 的最小值．【正确答案】(1)23(2)（i ）证明见解析；（ii ）29.【分析】（1）根据题意，将,AQ AC 作为基底表示AO ，由,,C O Q 三点共线可知，,AQ AC 的系数之和为1，即可求出AQQB的值；（2）（i ）根据题意，将A E ，AF 作为基底表示AO ，由,,E O F 三点共线可知，A E，AF 的系数之和为1，即可求出2λμ+为一定值；（ii ）根据题意，11sin 2S AE AF A =，()()211sin 11sin 22S AB AC A AE AF A λμ==++，()()12111S S λμ++=，由23λμ+=可将12S S 化为关于λ的函数，利用函数性质求12S S 的最小值即可.【详解】（1）依题意，因为2BP PC =，所以()11213333AP AB BP AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+，因为O 是线段AP 的中点，所以111236AO AP AB AC ==+，设AB x AQ =，则有136x AO AQ AC =+ ，因为,,C O Q 三点共线，所以1136x +=，解得52x =，即25AQ AB =，所以35QB AB =，所以23AQ QB =；（2）（i ）根据题意()1AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+,同理可得：()1AC AF μ=+，由（1）可知，111236AO AP AB AC ==+，所以1136AO AE AF λμ++=+，因为,,E O F 三点共线，所以11136λμ+++=，化简得23λμ+=，即2λμ+为定值，且定值为3；（ii ）根据题意，11sin 2S AE AF A =，()()211sin 11sin 22S AB AC A AE AF A λμ==++，所以()()()()121sin 211111sin 12S AE AF A A AF A S E λμλμ=++++=，由（i ）可知23λμ+=，则32μλ=-，所以()()1222111221922121324S S λλλλλ===-+⎛⎫--+⎪⎝⎭++-+，易知，当12λ=时，12S S 有最小值，此时1229S S =.22．如图，某公园改建一个三角形池塘，90C = ∠，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在△ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得△DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF 为正三角形，设2S 为图②中△DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得DE 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中△DEF 的面积，求3S 的取值范围.【正确答案】(1)3百米(2)()2minS =30,8S ⎛∈ ⎝⎦【分析】（1）先由PBC 中的余弦定理求出PC ，再由APC △中的余弦定理求出AP ，即可得到答案；（2）分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．【详解】（1）解：因为点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，1BC =，所以6PCB π∠=，由余弦定理可得，222cos 2PB PC BC PCB PB PC +-∠=⋅，解得3PC =，又因为2ACB π∠=，故3ACP π∠=，在Rt ACB △中，2AB =，1BC =，所以AC ==在ACP △中，由余弦定理可得，2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，解得3AP =，故333AP PC PB +++=，所以连廊AP PC PB ++（2）解：设图②中的正DEF 的边长为a ，(0)CEF ααπ∠=<<，则sin CF a α=，sin AF a α=-，设1EDB ∠=∠，则213B DEB DEB ππ∠=-∠-∠=-∠，233DEB DEB ππαπ=--∠=-∠，所以2133ADF πππα∠=--∠=-，在ADF △中，由正弦定理可得，sin sin DF AFA ADF=∠∠，即2sinsin()63aπα=-，即21sin()sin 322a a παα-=-即a （其中θ为锐角，且tan θ=，所以222371sin 602a S ===︒，即()228min S =；图③中，设BE x =，(0,1)x ∈，因为//DE AB ，且EF DE ⊥，所以3DEC π∠=，6FEB π∠=，2EFB π∠=，所以cos 6EF x π==，222cos3CE DE CE xπ===-，所以22111(22))()222DEF S EF DE x x x x x =⋅⋅=⨯--+=- 所以当12x =时，DEF S △取得最大值8，无最小值，即0,8DEF S ⎛∈ ⎝⎦，故3S ⎛∈ ⎝⎦2023-2024学年福建省福州市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．如果θ是第三象限的角，那么（）A ．sin 0θ>B ．cos 0θ>C ．tan 0θ>D ．以上都不对【正确答案】C【分析】根据象限角的符号特点即可判断.【详解】如果θ是第三象限的角，则sin 0θ<，cos 0θ<，tan 0θ>，故选：C.2．下列函数是奇函数的是（）A ．()1cos f x x =+B ．()sin f x x x =+C ．()cos f x x x =+D ．()1sin f x x=+【正确答案】B【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.【详解】显然各项函数的定义域均为R ，()1cos()1cos ()f x x x f x -=+-=+=，偶函数，A 不符合；()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，奇函数，B 符合；()cos()cos ()f x x x x x f x -=-+-=-+≠±，非奇非偶函数，C 不符合；()1sin()1sin ()f x x x f x -=+-=-≠±，非奇非偶函数，D 不符合.故选：B3．已知角α的终边上一点(,1)P m m +，且3cos 5α=，则m 等于（）A ．37-B ．3C ．-3D ．37【正确答案】B【分析】由三角函数的定义计算即可.【详解】由三角函数的定义可得.3cos 35m α=⇒=故选：B4．为了得到函数πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 3y x =的图象上所有的点（）A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【正确答案】D【分析】由题可得函数ππsin 3sin3412y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据三角函数图象变换规律，即得．【详解】由于函数ππsin 3sin3412y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故把函数sin3y x =的图象上所有的点向右平移π12个单位长度，即可得到函数πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故选：D ．5．下列函数中，周期为π且在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（）A ．()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()πcos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()tan 2f x x =D ．()12sin2f x x =【正确答案】A【分析】应用整体法，根据对应三角函数的性质判断区间单调性及其周期.【详解】由π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，各项函数单调性如下：由()πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，[]2π,2πx ∈，故()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，且周期为π；由()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，[]2π,2πx ∈，故()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调；由()tan 2f x x =定义域为ππ{|},Z 24k x x k ≠+∈，而π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不满足定义域；由()12sin 2f x x =，ππ,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，且周期为4π.故选：A6．“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件；故选A ．1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．7．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误．．的是（）A ．2ω=B ．π3ϕ=C ．()f x 的图象关于直线13π12x =对称D ．()f x 的图象向右平移π3个单位长度后的图象关于原点对称【正确答案】D【分析】对于A 、B ：根据图像可得1A =，π22T =，结合周期得2ω=，代入点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，分析可得π3ϕ=；对于C ：结合三角函数图象性质：在最值处取到对称轴，代入检验即可；对于D ：通过平移可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合奇偶性分析判断．【详解】根据图象可得：1A =7πππ212122T =-=，则2ππT ω==，即2ω=，A 正确；∵()()sin 2f x x ϕ=+的图象过点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，则ππ()sin()1126f ϕ=+=又∵ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ2π,633ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴ππ62ϕ+=，即π3ϕ=，B 正确；∴π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则13π13ππ5ππ()sin 2sin sin 11212322f ⎛⎫=⨯+=== ⎪⎝⎭为最大值∴()f x 的图象关于直线13π12x =对称，C 正确；()f x 的图象向右平移π3个单位长度得到ππππ()sin 2sin 23333y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦不是奇函数，不关于原点对称，D 错误；故选：D ．8．已知点P 是边长为1的菱形ABCD 内一动点（包括边界），60DAB ∠=︒，则AP AB ⋅的最大值为（）AB ．32C ．1D ．34【正确答案】B【分析】根据题意，利用平面向量数量积的几何意义即可求解.【详解】解：在菱形ABCD 中，因为边长为1，60DAB ∠=︒，所以AC 30BAC ∠= ，如图，过P 作PQ 垂直于AB 于Q ，过C 作CE 垂直于AB 于E ，因为点P 是边长为1的菱形ABCD 内一动点（包括边界），所以由平面向量数量积的几何意义，有cos AP AB AP AB PAB AB AQ ⋅=⋅⋅∠=⋅,所以当点P 在C 点处时AQ 最大为AE ，即AP AB ⋅最大，此时3cos 12AP AB AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠== ，所以AP AB ⋅ 的最大值为32，故选：B.9．函数()tan sin tan sin f x x x x x =--+-|在区间π23π2内的图象是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】分类讨论去绝对值符号，化简函数式结合正弦函数与正切函数的图象即可判定.【详解】当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0sin x x <<，∴()tan sin tan sin 2tan f x x x x x x =--+-=-，当3ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0sin x x >>，∴()tan sin tan sin 2sin f x x x x x x =--+-=-，由选项可判定B 选项图象正确.故选：B10．刘辉（约公元225-295年），魏晋期间的数学家.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章.割圆术的核心思想是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积.运用割圆术的思想得到sin 6 的近似值为（）A ．π180B ．π90C ．π60D ．π30【正确答案】D【分析】利用割圆术的核心思想将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，表示其面积即可建立方程求sin 6 的近似值.【详解】利用割圆术的核心思想：将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，该三角形面积与扇形面积近似，故2216πsin 6πsin 6236030r r ⨯≈⇒≈ ，故选：D 二、填空题11．已知向量()1,2a =- ，(),1b m = ，若向量b 与a垂直，则m =________.【正确答案】2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】解： 向量(1,2)a =- ，(,1)b m =r ，向量a 与b垂直，∴20a b m =-+=，解得2m =．故2．本题考查实数值的求法，考查向量的数量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12．在△ABC 中，若sin cos 1cos sin A B A B =-，则△ABC 一定是__________三角形.（请填写锐角，直角，或钝角）【正确答案】直角【分析】利用和角正弦公式可得sin()1A B +=，结合三角形内角性质判断形状即可.【详解】由题设sin cos cos sin 1A B A B +=，则sin()1A B +=，又0πA B <+<，所以π2A B +=，即△ABC 一定是直角三角形.故直角三、双空题13．计算:i cos 70cos80sin 7080s n - =_________，2π4tan8π1tan 8-=_________.【正确答案】2-/2【分析】利用和角余弦公式、二倍角正切公式化简，由特殊角函数值求值即可.【详解】由cos70cos80sin 7080708015sin cos()os 0c 2=-=+= ，由2π4tanπ82tan 2π41tan 8==-.故214．已知单位向量a 和b 的夹角为π3，则a b += __________；则2a b + 与a b + 的夹角的余弦值为________.【正确答案】14【分析】利用向量数量积的运算律求得a b +=2a b += 求夹角余弦值.【详解】由222π212cos 133a b a a b b +=+⋅+=++=，则a b += 而222π24444cos 173a b a a b b +=+⋅+=++=，则2a b +=由22321()()2332cos 22,2|||2||14|||a b a b a b a b a b a b a b a b b a a b ++⋅+⋅+===++++++++ .14四、填空题15．对任意实数,a b ，定义运算{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则关于函数(){}max sin ,cos f x x x =的说法正确的是__________.（填序号）①函数()f x的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②当()3π2π2πZ 2k x k k <<+∈时，()0f x <；③π是函数()f x 的一个周期；④函数()f x 图像的对称轴为()Z ππ4x k k =+∈.【正确答案】①④【分析】把(){}max sin ,cos f x x x =根据题意写成分段函数的形式，画出函数的部分图像，根据图像即可判断值域、函数值的正负、周期性、对称轴.【详解】由题意得，函数(){}π5πsin ,2π,2π44max sin ,cos ,Z 3ππcos ,2π,2π44x x k k f x x x k x x k k ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦==∈⎨⎛⎫⎪∈-++ ⎪⎪⎝⎭⎩，如图，作出函数()f x 在[]2π,4π-的图像.由图可知：函数()f x 为周期函数，最小正周期为2π，3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦-为其中一个周期.在3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦-内，①当0x =时，函数()f x 有最大值cos 01=，当5π4x =时，函数()f x 有最小值5πsin 4=所以函数()f x 的值域为,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦正确；②当0πx <<时，()0f x >，所以当()3π2π2πZ 2k x k k <<+∈时，()0f x <错误；③函数()f x 的最小正周期为2π，所以π是函数()f x 的一个周期错误；④函数()f x 关于()2Z π4πx k k =+∈和()2Z 5π4πx k k =+∈对称，所以函数()f x 图像的对称轴为()Z ππ4x k k =+∈正确.故①④五、解答题16．已知()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求()f x 的单调递增区间；(3)求()f x 在区间5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【正确答案】(1)2ω=(2)单调递增区间ππ[π,π]63k k -++，Zk ∈(3)2【分析】（1）由周期公式2ππT ω==，即可求参数值；（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；（3）首先求得ππ2π2[,663x -∈-，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.【详解】（1）由2ππT ω==，可得2ω=.（2）由（1）知：π()2sin(2)6f x x =-，令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，则ππππ63k x k -+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间ππ[π,π]63k k -++，Z k ∈.（3）由题设，ππ2π2[,663x -∈-，故π1sin(2)[,1]62x -∈-，所以()[1,2]f x ∈-，故最大值为2.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b C =，π4B ∠=.(1)求边c 的值；(2)若ABC 的面积为92，求边b 的值.【正确答案】(1)c =【分析】（1）利用正弦定理解方程即可；（2）利用三角形的面积公式解得a ，再利用余弦定理可得b 的值.【详解】（1）由正弦定理sin sin sin sin sin a b cb Cc B A B C==⇒=，所以sin 2c B c c =⨯==；（2）由19sin 22ABCS ac B a =⋅=⇒=结合余弦定理可得.2222cos 15b a c ac B b =+-⋅=⇒18．已知向量()cos ,sin a x x =，()2cos ,b x x = .(1)若[]0,πx ∈，当//a b时，求x 的值；(2)若()f x a b =⋅ .（i ）求()f x 的最小正周期；（ii ）当[]0,x m ∈时，()f x 可以取得2次最大值，求m 的取值范围.【正确答案】(1)π3x =或π2x =(2)（i ）πT =；（ii ）7π6m ≥【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得22sin cos x x x =，应用倍角正余弦公式、辅助角公式可得πsin(2)3x -=x 的值；（2）由向量数量积坐标表示，应用倍角正余弦、辅助角公式可得()π2sin(216f x x =++，（i ）由周期公式求最小正周期；（ii ）由题设πππ2[,2666x m +∈+，根据正弦函数性质列不等式求参数范围.【详解】（1）由题设22sin cos x x x =21)sin 2x x +=，所以πsin 222sin(23x x x =-=πsin(2)32x -=，由ππ5π2[,]333x -∈-，故ππ233x -=或π2π233x -=，则π3x =或π2x =.（2）由()2π2cos cos cos 2212sin(216f x x x x x x x =+=+=++，（i ）()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（ii ）由题设πππ2[,2666x m +∈+，()f x 可以取得2次最大值，所以5ππ226m ≤+，故7π6m ≥.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin c b A Ba C B-+=+.(1)求角C 的大小；(2)CD 为△ACB 的内角平分线，且CD 与直线AB 交于点D .（i ）求证:AD ACBD BC=；（ii ）若2a =，c =CD 的长.【正确答案】(1)2π3C =(2)（i ）证明见解析；（ii ）65CD =【分析】（1）由正弦边角关系得222a b c ab +-=-，应用余弦定理求C 的大小；（2）（i ）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；（ii）由正弦定理可得sin A =cos A =，设AD AC k BD BC ==并表示出2AC k =，应用余弦定理列方程求k ，最后求CD 的长.【详解】（1）由题设c b a ba c b-+=+，则222c b a ab -=+，故222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，又(0,π)C ∈，故2π3C =.（2）（i ）由题设ACD BCD ∠=∠，若AB 上的高为h ，又11sin 22ACD S AC CD ACD AD h =⋅∠=⋅ ，11sin 22BCD S BC CD BCD BD h =⋅∠=⋅ ，所以11sin 2211sin 22ACD BCDAC CD ACD AD hS S BC CD BCD BD h ⋅∠⋅==⋅∠⋅ ，即AD AC BD BC =.（ii ）由sin sin c a ACB A =∠，则sin sin a ACB A c ∠==A为锐角，故cos A =，若AD ACk BD BC==，则2AC k =，且AD kBD =，AD BD +=由余弦定理知：2222cos 2AC AB BC A AC AB +-===⋅所以241615(23)(25)0k k k k -+=--=，可得32k =或52k =，当32k =，则3AC =<，5AD =，此时sin sin AD CD ACD A =∠，则65CD =；当52k =，则5AC =>，即2π3B ACB ∠>∠=，不合题设；综上，65CD =.20．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I （W/cm 2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D （分贝dB ）来度量，为了描述声强级D （dB ）与声强I （W/cm 2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:组别1234567声强I （W/cm 2）10-112×10-113×10-114×10-1110-10①9×10-7声强级D （dB ）1013.0114.7716.022040②现有以下三种函数模型供选择:D kl b =+，2D a I c =⋅+，lg D m I n =+.(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:lg 30.477)≈；(3)已知烟花的噪声分贝一般在(90,100)，其声强为1I ；鞭炮的噪声分贝一般在(100,110)，其声强为2I ；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在(135,145)其声强为3I ，试判断13I I 与22I 的大小关系，并说明理由.【正确答案】(1)lg D m I n =+，理由见解析，10lg 120D I =+(2)810-，59.54(3)2132I I I ⋅>，理由见解析【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；（2）由（1），令10lg 12040I +=，可求出I 的值，即可知道①处的值；由已知可得11310I -=⨯时，可得lg 30.477=，进而可求出当7910I -=⨯时D 的值，进而求出②处的值；（3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为123,,D D D ，由已知可得1322D D D +>，代入关系式，即可判断13I I 与22I 的大小关系.【详解】（1）选择lg D m I n =+.由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为1110-时，函数值的增加量不是同一个常数，所以不应该选择一次函数；同时当自变量增加量为1110-时，函数值的增加量从3.01变为1.76，后又缩小为1.25，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；故应选择lg D m I n =+.由已知可得111010lg1020lg10m n m n --⎧=+⎨=+⎩，即10112010m n m n =-+⎧⎨=-+⎩，解得10120m n =⎧⎨=⎩，所以解析式为10lg 120D I =+.（2）由（1）知10lg 120D I =+，。