福建省泉州市南安一中2015_2016学年高二数学上学期期中试题文(含解析)

福建省南安一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文一．选择题：（本大题共12小题，每小题5 分，满分60分）1.某同学进入高二前，高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示,则该同学数学成绩的平均数是（ ）A ．125B ．126C ．127D ．128 2.样本11、12、13、14、15的方差是（ ）A ．13B ．10C ．2D ．4 3. 设命题p ：函数cos 2y x =的最小正周期是2π命题q ：函数sin y x =的图象关于y 轴对称，则下列判断正确的是（ ）A ．q p ∨为真B ． q p ∧为假C ．P 为真D ．q ⌝为假4.已知回归直线ˆˆˆy bx a =+过样本点的中心（4，5），且ˆb =1.23，则回归直线的方程是（ ）A ．ˆy＝1.23x ＋4 B ．ˆy ＝1.23x ＋5 C ．ˆy ＝1.23x ＋0.08 D ．ˆy ＝0.08x ＋1.235.“直线062=+-y x a 与直线09)3(4=+--y a x 互相垂直”是“1a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.下列命题是真命题的是（ ）A ．R x ∈∃ 使得53cos sin =x x B ．)0,(-∞∈∃x 使得12>xC ．R x ∈∀ 恒有x x cos sin >D ．),0(π∈∀x 恒有12->x x 7.设]2,0[π∈x ，则21sin <x 的概率是（ ） 1112 134 86 2A ．61B ．41C ．31D ．21 8.已知焦点在x 轴上的椭圆离心率12e =，它的半长轴长等于圆03222=--+x y x 的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．141622=+y xD ．116422=+y x 9.从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（ ） A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种10.某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a 、b ，则双曲线12222=-b y a x 的离心率5>e的概率是（ ） A ．61 B ．41 C ．31 D ．36111.若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线15422=-x y 的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（ ）A ．y x 42=B ．x y 42= C ．y x 122-= D ．x y 122-=12.椭圆：192522=+y x 上的一点A 关于原点的对称点为B ，2F 为它的右焦点，若22AF BF ⊥，则三角形△2AF B 的面积是（ ）A ．215B ．10C ．6D ．9二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13.用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知高二年学生有300人，则该校高中生共有 人. 14.命题P ：x R ∀∈，3210x x -+>的否定是 . 15.先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是 .16.过椭圆：12222=+by a x （a>b>0）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，F是椭圆的右焦点，BF x ⊥轴于F 点，当2131<<k 时，椭圆的离心率e 的取值范围是 .三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.9,40.1)的中点值是40.0)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(精确到0.1)．18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程ˆˆˆyb x a =⋅+，其中ˆb =－20，ˆa =y －ˆb x ⋅； （Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）19.（12分）已知点(1,0)F ，直线L ：1x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线L 的距离；（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,2)N 的直线m ，使得直线m 被轨迹C 截得的弦AB 恰好被点N 平分.若存在，求直线m 的方程，若不存在，请说明理由。

南安一中-高二上期中考试数学试卷（文）一.选择题（每题5分，共60分）1.数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（ ）A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n2.等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．483.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（ ）A ．41 B ．21 C ．81D ．14.不等式2210x x -->的解集是（ ） A ． 1(,1)2-B ．(1,)+∞C ． (,1)(2,)-∞⋃+∞D ． 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 5. 数列{}n a 的满足1111,(2)1n n n a a a n a --==≥+，则5a 为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．166. 若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.一元二次不等式210mx mx ++≥对一切实数x 都成立，则m 的取值范围是（ ） A. 04m <≤ B. 01m ≤≤ C.4m ≥ D.04m ≤≤ 8.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S =( ) A ．-11B ．-8C ．5D ．119.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（ ） A ．2212nn n ++B ．12212+++-nn n C ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+10.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱11.已知01x ≤≤，则函数y =的最大值是（ ）A ．0B ．1CD ．1212.植树节某班学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ） A ．①和B ．⑨和⑩ C. ⑨和D ． ⑩和二、填空题（每题4分，共16分）13.已知{}n a 是递增等比数列，2432,4a a a =-=，则此数列的公比=q ．14. 若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则n a =15.已知,0,x y >21x y +=,则81x y+的最小值为 16.设()0,0A ,()4,0B ,()4,3C t +，(),3D t 。

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．22．（5分）已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（）A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真3．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．D．4．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．（5分）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”，其中真命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①③④9．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或﹣10．（5分）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．811．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．212．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13．（4分）命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是．14．（4分）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若∥，则x=．15．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．16．（4分）若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y=．三．解答题（本大题共6小题，共74分）：17．（12分）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．18．（12分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．20．（12分）椭圆C：+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．21．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．（14分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．2．（5分）已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（）A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真【解答】解：对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢p为真命题，￢q为假命题．∴C是假命题．故选：C．3．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．D．【解答】解：抛物线的标准方程为y2=﹣8x，则2p=8，∴∴抛物线的焦点坐标是（﹣2，0）故选：A．4．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．5．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|﹣|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，故选：B．6．（5分）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选：B．8．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”，其中真命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①③④【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”为真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”为假命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根，则q≤1”，由△=4﹣4q≥0得q≤1，即为真命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”的逆否命题为：“若x=1且y=2，则x+y=3”为真命题，故原命题也为真，故真命题有：①③④，故选：D．9．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或﹣【解答】解：由题意向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，故有cos＜，＞===，解得：λ=﹣2或．故选：C．10．（5分）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．8【解答】解：双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．C与抛物线y2=16x的准线交于A，B点，|AB|=4，设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4．∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：C．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．12．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=2，n=0，m=，n=1满足条件：f（1）•f（）＜0，b=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=2，不满足条件：f（1）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=3，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=4，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=5，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=6，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=7，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，满足条件：|a﹣b|＜0.001，退出循环，输出n的值为7．故选：C．二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13．（4分）命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是存在x∈R，使x2﹣x+1＜0．【解答】解：命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为存在x∈R，再将不等号≥变为＜即可．∴命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是存在x∈R，使x2﹣x+1＜0，故答案为：存在x∈R，使x2﹣x+1＜0．14．（4分）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若∥，则x=﹣6．【解答】解：∵∥，∴存在实数λ使得．∴，解得x=﹣6．故答案为：﹣6．15．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线方程为=λ，λ≠0，把点M（﹣1，3）代入，得1﹣3=λ=﹣2，∴x2﹣=﹣2，整理，得．故答案为：．16．（4分）若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y=1．=1+1×21+y×23+1×26=67+8y，【解答】解：∵100y011（2）x03（8）=3+x×82=3+64x，∴由3+64x=67+8y，解得：8+y=8x，∵y∈{0，1}，x∈{0，1，2，3，4，5，6，7，}，∴解得：x=1，y=0．x+y=1．故答案为：1．三．解答题（本大题共6小题，共74分）：17．（12分）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．【解答】解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∵双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，∴4+b2=9，∴b2=5∴双曲线的渐近线方程为y=，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．18．（12分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．【解答】解：p：由（k﹣3）（k+3）＜0得：﹣3＜k＜3；q：令t=kx2+kx+1，由t＞0对x∈R恒成立．（1）当k=0时，1＞0，∴k=0符合题意．（2）当k≠0时，，由△=k2﹣4×k×1＜0得k（k﹣4）＜0，解得：0＜k＜4；综上得：q：0≤k＜4．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假．∴或；∴﹣3＜k＜0或3≤k＜4．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）由（1）得．设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得．（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故可取为．∵，∴C到面PBD的距离为20．（12分）椭圆C：+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：+=1，+=1；两式作差得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，又x 1+x2=2，y1+y2=，代入得k==﹣1，∴此弦所在的直线方程是y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣=0；…（5分）（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2，…（6分）将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0；…（7分）令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=；…（8分）=|S△POB﹣S△POA|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|，∴S△AOB∵=﹣4x1x2=﹣=，…（10分）设k2﹣1=t（t＞0），∴==≤=，…（12分）当且仅当9t=，即t=，k2﹣1=，k2=时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（13分）21．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．22．（14分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•=0对满足①式的m，k恒成立．因为=（﹣﹣x1，），=（4﹣x1，4k+m），由•=0得﹣+﹣4x1+x12++3=0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3=0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1=1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

绝密★启用前2015-2016学年福建省南安一中高二上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：129分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若函数=的图像关于直线对称，则的最小值是2、已知定义在R 上的函数满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3、平面几何中，若△的内切圆半径为，其三边长分别为则△的面积。

类比上述命题，若三棱锥的内切球半径为R ，其四个面的面积分别为猜想三棱锥体积V 的一个公式。

若三棱锥的体积V，其四个面的面积均为，根据所猜想的公式计算该三棱锥的内切球半径R 为（ ）A ．B ．C ．D ．4、若则（ ）A ．B ．C ．D ．15、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k 的取值范围 （ ）A ．B ．C ．D ．6、若直线与曲线相切，则的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．7、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．8、设函数的图像如右图，则导函数的图像可能是下图中的( )9、下列函数求导运算正确的个数为( )①；②③；④；⑤A ．B ．C ．D ．10、函数，若，则a 的值等于( )A ．B ．C ．D ．11、如果复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、复数的共轭复数对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13、（）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、函数在处有极值10，求的值为15、的值等于 .16、在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为三、解答题（题型注释）17、已知函数.（1)当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，设函数.若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围.18、（本小题12分）如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．19、某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低元时，每天多卖出的件数与成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．(Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成的函数；(Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？20、三棱柱中，，,,，点、分别为、的中点。

试卷第1页，共6页绝密★启用前2015-2016学年福建省南安一中高二上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：131分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、椭圆：上的一点A 关于原点的对称点为B ，为它的右焦点，若A⊥B，则三角形△AB 的面积是（ ）A ．B ．10C ．6D ．9试卷第2页，共6页2、直线与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（） A.B.C.D.3、设线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|=4，点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程是（ ）A. B. C. D.4、设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5、已知是椭圆的两个焦点, 过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点, 若△是正三角形, 则这个椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6、已知焦点在x 轴上的椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程是（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第3页，共6页7、“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、直线与圆相交于A 、B 两点，则AB 的长度等于（ ） A ．B ．C ．D ．19、当时，认为事件与事件（ ）A ．有的把握有关B ．有的把握有关C ．没有理由说它们有关D ．不确定10、原命题“若，则”的逆否命题是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则11、已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．12、一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，收集了好几组数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A ．身高在145.75cm 以上 B ．身高在145.75cm 左右 C ．身高一定是145.75cm D ．身高在145.75cm 以下试卷第4页，共6页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知，是平面上的两点，若曲线上至少存在一点，使，则称曲线为“黄金曲线”．下列五条曲线：①；②；③；④；⑤其中为“黄金曲线”的是 .（写出所有“黄金曲线”的序号）14、如果实数x ，y 满足，则的最大值是 .15、抛物线的焦点坐标是 .16、命题的否定是 .三、解答题（题型注释）17、如图，中心在原点的椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，焦距为，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在过的直线与椭圆交于，两个不同点，使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．试卷第5页，共6页18、设分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．19、 “奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x 元和销售量y 杯之间的一组数据如下表所示： 通过分析，发现销售量y 对奶茶的价格x 具有线性相关关系。

2015-2016学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂至答题卡上）1．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°2．（5分）等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．4．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．6．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．38 B．5 C．﹣6 D．﹣107．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．（5分）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．3511．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．（5分）对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．二.填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．15．（4分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．（4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．（4分）已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．（10分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．19．（10分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．（12分）某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．（14分）200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂至答题卡上）1．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°【解答】解：根据余弦定理可知cosA=∵a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，可得a2=b2+bc+c2，∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）∴cosA=﹣∴A=120°故选：C．2．（5分）等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．48【解答】解：∵S10=10a1+45d=120，即2a1+9d=24，∴a2+a9=（a1+d）+（a1+8d）=2a1+9d=24．故选：B．3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得：，∴==2．故选：B．4．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a﹣b＞0，d﹣c＜0，故a﹣b＞d﹣c一定成立，故A正确；又因为a＞b，故在两边加﹣c可得，a﹣c＞b﹣c，故C正确；由c＞d可得﹣c＜﹣d，两边同时加a可得a﹣c＜a﹣d，故D正确；唯有B，有可能a+d＞b+c，也由可能a+d＜b+c，a+d=b+c，故不一定成立，故选：B．5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选：A．6．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．38 B．5 C．﹣6 D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z=2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z=2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）=﹣6．故选：C．7．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形【解答】解：∵在△ABC中，a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴a2tanB=b2tanA⇔=⇔=，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=．∴此三角形是直角或等腰三角形．故选：D．8．（5分）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29【解答】解：∵当n为奇数时，a n+a n+1=﹣（3n﹣2）+（3（n+1）﹣2）=3，∴a1+a2+…+a20=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）=3×10=30；故选：A．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．35【解答】解：依题意可知求得d=﹣1，a1=9∴S n=9n﹣=﹣n2+9n+，∴当n=9时，S n最大，S9=81﹣=45故选：B．11．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴ab≤，∴，故A不成立；，故B不成立；，故C不成立；∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，∴==≤，故D成立．故选：D．12．（5分）对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．【解答】解：根据题意，∵∴函数g（x）在上单调减，在（1，2]上单调增所以g（x）在x=1时取得最小值g（1）=1；由“兄弟函数”的定义，有：f（x）在x=1处取得最小值f（1）=1；所以f（x）=（x﹣1）2+1；所以f（x）在x=2时取得最大值f（2）=2；∴函数f（x）在区间上的最大值为2故选：B．二.填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．14．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a5=5，S5=15，∴，解得a1=1，d=1，∴a n=1+（n﹣1）=n，∴==，∴数列的前100项和S100=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．故答案为：．15．（4分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4] ．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]16．（4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞）．【解答】解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）17．（4分）已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=2n．【解答】解：∵T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，∴2T n=2a1+22a2+23a3+…+2n a n，两式相加，得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23（a2+a3）+…+2n﹣1（a n﹣1+a n）+2n a n，又∵，∴3T n=2+2+2+…+2+2n a n=2n+2n a n，∴3T n﹣2n a n=2n，故答案为：2n．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．（10分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．19．（10分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【解答】解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．∴B1B2=10．∴乙船的航行速度是海里/小时．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵S n+a n=﹣n+1，∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1，两式相减得：2a n﹣a n﹣1=﹣n﹣1，变形得：2（a n+n）=a n﹣1+（n﹣1），又∵b n=a n+n，∴数列{b n}是公比为的等比数列；（2）解：由（1）可知S1+a1=﹣﹣+1=﹣1，即a1=﹣，又∵b1=a1+1=﹣+1=，∴b n=a n+n=，a n=﹣n+，∴S n=﹣（1+2+…+n）+（++…+）=﹣+=1﹣﹣．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a﹣c）cosB=bcosC整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，∵∠B是三角形的内角，∴B=60°．（II）在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac•cosBac=3故．22．（12分）某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．【解答】解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，∴△ABC的面积是a2，∴△ADE的面积是a2，∵AD=x，DE=y，∴①=x×AE×sin60°，∴AE=，②y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°=x2+AE2﹣x•AE=x2+（）2﹣2a2，∴y＞0，∴y=，又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，∴y=（a≤x≤2a），（2）y=≥=a，当且仅当x2=，即x=a时“=”成立，此时AE=a，∴使AD=AE=a时，DE最短，最短为a．23．（14分）200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1【解答】解：（1）∵函数h（x）=的图象过点，∴，解得a=4；（2）由（1）得，h（x）=，∵h（x）+h（1﹣x）==，∴=；（3）==，则b n==，∴=，对一切n∈N*恒成立，得由T n＜2λa n+1，即对一切n∈N*恒成立，∵（当且仅当n=2时等号成立），∴．故λ的取值范围是．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）在复平面上，复数z=对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm25．（5分）“m=1”是“直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．88．（5分）已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A． B．C．D．9．（5分）已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于（）A．3 B．2 C． D．10．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B． C． D．112．（5分）定义运算：=a1b2﹣a2b1，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．（4分）若等差数列{a n}的前5项之和S5=25，且a2=3，则a6=．14．（4分）已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是．15．（4分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC 的面积为，则b=．16．（4分）在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°=M；②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=M；③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°=M；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°=M；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°=M；请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式．．三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知三棱柱ADF﹣BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中点（Ⅰ）求证：BF∥平面ACG；（Ⅱ）求证：平面ACG⊥平面BDF．18．（12分）已知直线l与直线x+y﹣2=0垂直，且过点（2，1）（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．19．（12分）已知，且f（x）=．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=﹣bcosA 成立，求f（A）的取值范围．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a﹣1）lnx+b．（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间上恰有一个零点，求实数b的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，又全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∵C U B={1，2}，∴（C U B）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选：B．2．（5分）在复平面上，复数z=对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z==2﹣i，对应的点位（2，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增∵f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3）故选：C．4．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2【解答】解：该几何体为圆锥，故其表面积为S=5×6×π+π×32=24π，故选：C．5．（5分）“m=1”是“直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m=1时，直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行，是充分条件，若直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行，则m=±1，不是必要条件，故选：A．6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．8【解答】解：∵a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴，化为3a+b=3，化为a+b=1．则+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号，∴+的最小值是4．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a x+b的大致图象是B故选：B．9．（5分）已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于（）A．3 B．2 C． D．【解答】解：∵向量，均为单位向量，且夹角是60°，∴|﹣3|====故选：D．10．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α﹣）=sinαcos﹣cosαsin=﹣（cosα+sinα）=﹣．故选：D．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B． C． D．1【解答】解：对y=x n+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，则x1•x2•x3…•x n=××，故选：B．12．（5分）定义运算：=a1b2﹣a2b1，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵定义运算：=a1b2﹣a2b1，∴函数==2=2sin（2x+）．∴函数f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得函数解析式为：g（x）=2sin[2（x+t）+]．∵g（x）=2sin[2（x+t）+]为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），∴，k∈Z．∴，k∈Z．∵t＞0，∴t的最小值为．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．（4分）若等差数列{a n}的前5项之和S5=25，且a2=3，则a6=11．【解答】解：等差数列{a n}的前5项之和S5=25，∴S5===5a3=25，∴a3=5，又∵a2=3，∴公差d=5﹣3=2，∴a6=a3+3d=5+3×2=11故答案为：1114．（4分）已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是9．【解答】解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三个顶点坐标为A（3，7）、B（3，1）、C（6，4），将B（3，1）代入z=2x+3y得到最大值为9．故答案为：9．15．（4分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则b=．=acsinB，△ABC的面积为，a=3，B=，【解答】解：∵S△ABC∴×3c×=，即c=1，∴a=3，c=1，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=9+1﹣3=7，则b=．故答案为：16．（4分）在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°=M；②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=M；③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°=M；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°=M；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°=M；请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式．sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinα•cos（30°﹣α）=．【解答】解：由②得常数为，所以由归纳推理可得推广为一般规律的等式：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos （30°﹣α）=．故答案为：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos（30°﹣α）=．三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知三棱柱ADF﹣BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中点（Ⅰ）求证：BF∥平面ACG；（Ⅱ）求证：平面ACG⊥平面BDF．【解答】证明：（Ⅰ）设AC、BD相交于点O，连结OG，∵AD=DC∴ABCD为菱形，∴O为BD的中点，∵G是FD的中点，∴OG∥BF；又∵OG⊂平面AGCBF⊄平面AGC，∴BF∥平面ACG…（6分）（Ⅱ）∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵DF⊥平面ABCDAC⊂平面ABCD，∴DF⊥AC；又∵BD∩DF=DBD、DF⊂平面BDF，∴AC⊥平面BDF，又∵AC⊂平面ACG，∴平面ACG⊥平面BDF．…（12分）18．（12分）已知直线l与直线x+y﹣2=0垂直，且过点（2，1）（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）∵l与x+y﹣2=0垂直，∴斜率k l=1；∵l过点（2，1），∴l的方程y﹣1=（x﹣2），即y=x﹣1．（Ⅱ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2，由题意可得，解得：a=3，r=2，可得圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=4．19．（12分）已知，且f（x）=．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=﹣bcosA 成立，求f（A）的取值范围．【解答】解：（I）f（x）==2cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）+1，故函数的周期为π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=﹣sinBcosA，即sinAcosB+2sinCcosB=﹣sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=﹣2sinCcosB，即sin（A+B）=﹣2sinCcosB，∴cosB=﹣，B=，∴f（A）=2sin（2A+）+1．由于0＜A＜，∴＜2A+＜，＜sin（2A+）≤1，2＜f（A）≤3，故f（A）的取值范围为（2，3]．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n ﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴===21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC又∵ABCD是正方形∴BC⊥CD∵PD∩CD=D∴BC⊥平面PCD…（3分）又∵PC⊂面PBC（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高…（5分）∵E是PC的中点，∴…（6分）∴…（8分）（Ⅲ）解：连结AC，取AC中点O，连结EO，GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG…（9分）下面证明之∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA，…（10分）又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG∴PA∥平面MEG…（11分）在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，∴△OCG≌△OAM，∴，∴所求AM的长为．…（12分）22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a﹣1）lnx+b．（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间上恰有一个零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）依题意，…（2分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），=①当时，恒有f'（x）＞0故f（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（5分）②当时，，令f'（x）=0得，，…（6分）f（x）及f'（x）的值变化情况如下表：…（8分）故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为…（9分）（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣lnx+b，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，∴f（x）的最小值为f（1）=1+b．…（10分）∵，f（e）=e﹣1+b，∴即：…（11分），∵f（x）在区间上恰有一个零点，∴即：…（13分）解得：b=﹣1或…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列推理是归纳推理的是（）A．由a1=1，a n=3n﹣1，求出s1，s2，s3，猜出数列{a n}的前n项和的表达式B．由于f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断f（x）=xsinx为偶函数C．由圆x2+y2=1的面积S=πr2，推断：椭圆+=1的面积S=πabD．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质3．用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（）A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞04．执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）A．B．C．D．5．无限循环小数为有理数，如：0.=，0.=，0.=，…，则可归纳出0.=（）A．B． C．D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+2的减区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）7．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A．192B．202C．212D．2228．给出的程序框图如图，那么输出的数是（）A．2450 B．2550 C．5050 D．49009．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e10．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）11．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2 B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2 D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n﹣1）2 12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）13．计算（﹣8﹣7i）×（﹣3i）=．14．执行如图的程序框图，输出s和n，则s的值为．15．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=．16．已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（﹣1，1）内，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z=（m2﹣m﹣6）+（m+2）i，m∈R（Ⅰ）当m=3时，求|z|；（Ⅱ）当m为何值时，z为纯虚数．18．某分公司经销某种产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交纳6元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为x2万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？19．设f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增，递减区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数的取值范围．20．设n∈N*且sinx+cosx=﹣1，请归纳猜测sin n x+cos n x的值．（先观察n=1，2，3，4时的值，归纳猜测sin n x+cos n x的值，不必证明．）21．已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a 的取值范围．22．已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．2．下列推理是归纳推理的是（）A．由a1=1，a n=3n﹣1，求出s1，s2，s3，猜出数列{a n}的前n项和的表达式B．由于f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断f（x）=xsinx为偶函数C．由圆x2+y2=1的面积S=πr2，推断：椭圆+=1的面积S=πabD．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质【考点】归纳推理．【分析】直接利用归纳推理的定义，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，设数列﹛a n﹜的前n项和为s n，由a1=1，a n=3n﹣1，求出s1，s2，s3，猜出数列{a n}的前n项和的表达式，满足归纳推理的形式与步骤，所以A正确．对于B，由f（x）=xsinx，满足f（﹣x）=﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断f（x）=xsinx为奇函数，是函数的奇偶性的定义的应用，是演绎推理，所以B不正确；对于C，由圆x2+y2=r2的面积s=πr2推断：椭圆+=1（a＞b＞0）的面积S=πab，是类比推理，所以C不正确；对于D，由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理，所以D不正确．故选：A．3．用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（）A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞0【考点】反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：sinθ＜0或cosθ＜0，故选：B．4．执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】由x←4，先计算y←，进行判断|1﹣4|＞1，不满足判断框，应执行“否”，将y的值输给x，即x←1；依此类推，当满足|y﹣x|＜1时，即可输出y的值．【解答】解：由x←4，先计算y←，进行判断|1﹣4|＞1，不满足判断框，应执行“否”，将y的值输给x，即x←1；由x←1，先计算y←，进行判断||＞1，不满足判断框，应执行“否”，再将y的值输给x，即x←；由x←，先计算y←，进行判断||＜1，满足判断框，应执行“是”，应输出y←．故选A．5．无限循环小数为有理数，如：0.=，0.=，0.=，…，则可归纳出0.=（）A．B． C．D．【考点】归纳推理．【分析】由题意，0.=0.45+0.0045+…，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：由题意，0.=0.45+0.0045+…==，故选：D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+2的减区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系解f′（x）＜0即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），由f′（x）＜0得3x（x﹣2）＜0，得0＜x＜2，即函数的单调递减区间为（0，2），故选：D．7．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A．192B．202C．212D．222【考点】归纳推理；等差数列与等比数列的综合．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13+23+33+43+53+63=212．故选C．8．给出的程序框图如图，那么输出的数是（）A．2450 B．2550 C．5050 D．4900【考点】循环结构．【分析】首先根据程序框图，分析sum求和问题，然后根据等差数列求和问题求解s．最后输出s的值．【解答】解：根据题意，按照程序框图进行运算：s=0 i=2s=2 i=4s=6 i=6s=12 i=8…i=100s=2+4+6+10+…+98s为首项为2，末项为98的等差数列∴s=2450故选A．9．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；10．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选D．11．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2 B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2 D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n﹣1）2【考点】归纳推理．【分析】分析已知中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一数的值等，归纳分析后，即可得到结论．【解答】解：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n﹣1项，且第一项为n，则最后一项为3n﹣2右边均为2n﹣1的平方故选B12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）13．计算（﹣8﹣7i）×（﹣3i）=﹣21+24i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=24i﹣21，故答案为：﹣21+24i．14．执行如图的程序框图，输出s和n，则s的值为9．【考点】程序框图．【分析】框图首先对累加变量和循环变量进行了赋值，然后对判断框中的条件进行判断，满足条件，执行S=S=3，T=2T+n，n=n+1，不满足条件，输出S，n，从而得解．【解答】解：首先对累加变量和循环变量赋值，S=0，T=0，n=1，判断0≤0，执行S=0+3=3，T=2×0+1=1，n=1+1=2；判断1≤3，执行S=3+3=6，T=2×1+2=5，n=2+1=3；判断5≤6，执行S=6+3=9，T=2×5+3=13，n=3+1=4；判断13＞9，算法结束，输出S，n的值分别为9，4，故答案为：9．15．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=41．【考点】类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2，=3，=4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．16．已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（﹣1，1）内，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导函数，则问题转化为方程3x2+2ax+1=0的根都在区间（﹣1，1）内，构造函数g（x）=3x2+2ax+1，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）求导函数，可得f′（x）=3x2+2ax+1则由题意，方程3x2+2ax+1=0的两个不等根都在区间（﹣1，1）内，构造函数g（x）=3x2+2ax+1，则，即，∴＜a＜2∴实数a的取值范围是（，2）故答案为：（，2）．三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z=（m2﹣m﹣6）+（m+2）i，m∈R（Ⅰ）当m=3时，求|z|；（Ⅱ）当m为何值时，z为纯虚数．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】（Ⅰ）当m=3时，根据复数模长的定义即可求|z|；（Ⅱ）根据z为纯虚数，建立方程或不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=3时，z=（m2﹣m﹣6）+（m+2）i=（9﹣3﹣6）+5i=5i，则|z|=5；（Ⅱ）若z为纯虚数，则，则．即m=3．18．某分公司经销某种产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交纳6元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为x2万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式，但应当注意变量的范围；（Ⅱ）运用导数求得函数的单调性，借以判断最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，L=x2（x﹣9）=x3﹣9x2，9≤x≤11．（Ⅱ）L′=3x2﹣18x=3x（x﹣6），令L′=0，∴x=0或x=6，∴L′＞0在[9，11]上恒成立，即L在[9，11]上单调递增，∴当x=11时，L取得最大值，∴当每件产品的售价为11元时，分公司一年的利润L最大．19．设f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增，递减区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，令导函数大于0，求出增区间，令导函数小于零，求出减区间；（2）恒成立问题可转化成f（x）max＜m即可可．函数在[﹣1，2]上的最大值，利用极值与端点的函数值可以确定．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣x﹣2，令f′（x）=0，解得x=1或﹣，令f′（x）＞0，解得x∈（﹣∞，﹣），（1，+∞），令f′（x）＜0，解得x∈（﹣，1），f（x）的单调递增为（﹣∞，﹣），（1，+∞），递减区间为（﹣，1）．（2））∵f（﹣1）=5，f（﹣）=5，f（1）=3，f（2）=7；即f（x）max=7，要使x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，即f（x）max＜m，∴m＞7，故实数m的取值范围为（7，+∞）．20．设n∈N*且sinx+cosx=﹣1，请归纳猜测sin n x+cos n x的值．（先观察n=1，2，3，4时的值，归纳猜测sin n x+cos n x的值，不必证明．）【考点】归纳推理．【分析】先观察n=1，2，3，4时的值，再归纳猜测sin n x+cos n x的值．【解答】解：当n=1时，有sinx+cosx=﹣1；当n=2时，有sin2x+cos2x=1；当n=3时，有sin3x+cos3x=（sin2x+cos2x）（sinx+cosx）﹣sinxcosx（sinx+cosx）注意到（sinx+cosx）2=（﹣1）2∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=1∴sinxcosx=0代入前式得sin3x+cos3x=1•（﹣1）﹣0•（﹣1）=﹣1．当n=4时，sin4x+cos4x=（sin3x+cos3x）（sinx+cosx）﹣sinxcosx（sin2x+cos2x）=（﹣1）2﹣0×1=1由以上我们可以猜测，当n∈N+时，可能有sin n x+cos n x=（﹣1）n成立．21．已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在[1，3]上的单调性，根据函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系，最后解之即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2x﹣，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，所以f（x）的极小值为1，无极大值．∴k′（x）=﹣+1，若k′（x）=0，则x=2当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．∴，∴，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．所以实数a的取值范围是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]22．已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）在其定义域上为增函数⇔f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．通过分离参数a，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）当a=1时，g（x）=.．由于函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，可知：方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．再利用导数研究其单调性、函数的零点即可．【解答】解：（1）：函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=lnx+x2+ax，∴．∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．∴对x∈（0，+∞）都成立．当x＞0时，，当且仅当，即时，取等号．∴，即．∴a的取值范围为．（2）当a=1时，．．∵函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．令（x＞0），由于x＞0，则，∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递减．∵，，∴函数φ（x ）的零点x 0∈（3，4）．∵方程φ（x ）=0在[t ，+∞）（t ∈N *）上有解，t ∈N * ∴t ≤3．∵t ∈N *，∴t 的最大值为3．2016年9月1日。

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（5分）已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．33．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．34．（5分）设a=log32，b=ln2，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.56．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的个数（）①若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；③若m⊥β，m⊂α，则α⊥β；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（0）＞f（） B．f（0）＜2f（）C．f（﹣）D．f（）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）设数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=﹣24，a19=26，则此数列{a n}前20项和等于．12．（4分）如图，已知幂函数y=x a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于．13．（4分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则角A为．14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．15．（4分）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M，N该图象的两个端点，点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），若||≤T （T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=x+1；②y=；③y=x2；④y=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的是（填写符合题意的所有序号）．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n﹣n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+m的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；（Ⅱ）若f（）=，α∈（0，），求sinα的值．19．（13分）已知=（sinx，2cosx），=（2cosx，﹣cosx），函数f（x）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c 的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知矩阵A=（）的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A﹣1．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，（Ⅰ）写出圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求半径r的值．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣2：矩阵与变换若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，（1）求abc的最大值；（2）求++的最大值．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．2．（5分）已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【解答】解：因为向量=（1，1），，所以=（4，1+m）；又，所以1×（1+m）﹣1×4=0，解得m=3．故选：D．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．4．（5分）设a=log32，b=ln2，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵1=lne＞b=ln2＞a=log32＞log31=0，，∴a＜b＜c．故选：A．5．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选：B．6．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题【解答】解：因为命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：∃n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：∀n∈N，2n≤1000，所以选项C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确．故选：D．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的第二个点是（，0）∴3×φ=π于是，∴函数的图形要向右平移个单位，故选：B．9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的个数（）①若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；③若m⊥β，m⊂α，则α⊥β；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故②正确；③若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故④错误．故选：D．10．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（0）＞f（） B．f（0）＜2f（）C．f（﹣）D．f（）【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==，∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故A错误，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（）．故B正确．∵g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴f（﹣）＜f（﹣），故C错误．∵g（）＞g（），即＞，∴f（）＞f（），故D错误，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）设数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=﹣24，a19=26，则此数列{a n}前20项和等于180．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a2+a3=3a2=﹣24，即a2=﹣8，故a2+a19=﹣8+26=18，由等差数列的求和公式可得：数列{a n}前20项和S20==10（a1+a20）=10（a2+a19）=10×18=180．故答案为：18012．（4分）如图，已知幂函数y=x a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于．【解答】解：∵幂函数y=x a的图象过点P（2，4），∴4=2a，∴a=2∴幂函数为y=x2，∴阴影部分的面积等于x2dx==故选答案为．13．（4分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则角A为30°．【解答】解：∵三角形面积为2，BC=a=2，C=60°，=absinC=×2×b×=2，即b=4，∴S△ABC∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+16﹣8=12，即c=2，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．故答案为：30°14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是m．【解答】解：若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立成立只需f（x）min≥g（x）min，∵x1∈[0，2]，f（x）=x2∈[0，4]，即f（x）min=0x2∈[1，2]，g（x）=∈[，]∴g（x）min=∴0∴m故答案为：m15．（4分）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M，N该图象的两个端点，点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），若||≤T （T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=x+1；②y=；③y=x2；④y=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的是①②③（填写符合题意的所有序号）．【解答】解：①M（1，2），N（2，3），设，μ∈[0，1]，则P（1+μ，2+μ）．∵点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），∴Q（1+λ，2+λ），∴μ﹣λ=0．∴=，∴||≤在区间[1，2]上恒成立，即y=x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数．同理可得②③在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n﹣n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣1，令n=1，解得a1=1．（2分）∵S n=2a n﹣1，∴…（3分）两式相减得a n=2a n﹣1，…（5分）∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，…（6分）∴．…（7分）（Ⅱ）解：∵b n=a n﹣n，，…（8分）=（20+21+…+2n﹣1）﹣（1+2+…+n）…（10分）=…（13分）（说明：等比求和正确得（2分），等差求和正确得1分）17．（13分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC 的中点，所以DE∥A1B，…（3分）又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．…（5分）（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…（6分）=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…（7分）设平面ADC1的法向量=（x，y，z）．∵=（1，1，0），=（0，2，4），∴．取z=1，得y=﹣2，x=2∴平面ADC1的法向量=（2，﹣2，1），…（9分）平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，∴|cosθ|=||=．…（11分）从而sinθ=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为…（13分）18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+m的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；（Ⅱ）若f（）=，α∈（0，），求sinα的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1+m，∴f（）=sin﹣cos﹣1+m=m﹣1=0，即m=1，∴f（x）=sin（2x﹣），∴当2x﹣=+2kπ，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取最大值；（Ⅱ）f（）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=，∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）==，∴sinα=sin[（α﹣）+]=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=×（+）=．19．（13分）已知=（sinx，2cosx），=（2cosx，﹣cosx），函数f（x）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得==．…（2分）故f（x）的最小正周期为π，…（3分）由（k∈Z）得对称轴的方程为．…（4分）（Ⅱ）由f（A）=0得，即，∵，∴，∴，…（6分）由正弦定理得=…（8分）∵，∴，∴，∴b+c的取值范围为（1，2]．…（10分）20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知矩阵A=（）的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A﹣1．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴矩阵A的特征多项式为：=λ2﹣（b+3）λ+3b﹣2a．∵矩阵的两个特征值为6和1，∴1和6是方程f（λ）=0的两个根．即：λ2﹣（b+3）λ+3b﹣2a=0．∴由韦达定理有，∴．（Ⅱ）∵A=，∴detA=3×4﹣2×3=6，∴A﹣1==．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，（Ⅰ）写出圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求半径r的值．【解答】解：（Ⅰ）由圆C 的参数方程为（θ为参数，r ＞0），利用sin 2θ+cos 2θ=1可得圆C 的普通方程为：，由直线l 的极坐标方程为=1，展开为=1，∴直线l 的直角坐标方程为：x +y ﹣=0．（Ⅱ）圆C 的圆心C到l 的距离d==2，圆C 上的点到l 的距离的最大值为d +r=3． ∴r=1．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣2：矩阵与变换若a ，b ，c 为正实数且满足a +2b +3c=6， （1）求abc 的最大值； （2）求++的最大值．【解答】解：（1）∵6=a +2b +3c ≥3，∴abc ≤当且仅当a=2b=3c 即a=2，b=1，c=时等号成立， ∴abc 的最大值为；（2）由柯西不等式，∵×1+×1+×1≤=3，当且仅当a +1=2b +1=3c +1即a=2，b=1，c=时等号成立， ∴++的最大值为3．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

南安一中2012～2013学年度高二上学期期中考 数学（文）科试卷 本试卷考试内容为：。

分第I卷和第II卷，共页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。

注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题上。

2．考生作答时，请将答案答在答题上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．保持答题面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题交回。

．参考公式：椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 4．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表： 组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为（ ） A．0.13 B．0.37 C．0.52 D．0.68 5．若命题“”为假，且为假，则（ ） A．“”为假 B．假 C．真 D．假 6．某单位青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为7:5:3，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为14人，则样本容量为（ ） A．14 B．30 C．35 D．25 7．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 8．袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球, 若摸到白球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为４的概率是（ ） A． B． C． D． 9．有下列四个命题：①“若，则互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题有（ ） A．①②　B．②③　C．①③ D．③④ 10．统计某产品的广告费用x与销售额y的数据如下表：广告费用销售额 ７ 9 １２若根据上表对的回归方程，则数据中的的值应该是（ ） A．7.9 B．8 C．8.1 D．9 11．如图，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A和B是以O(O为坐标原点)为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为 A. B. C. －1 D. 12．已知椭圆，过右焦点F作不垂直于轴的弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交轴于N，则|NF||AB|等于 A． B． C． D． 第II卷（非选择题，共90分） 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）： 13．命题“对任意的”的否定是 . 14．某班有72名学生，现要从中抽取一个容量为的样本抽样法抽取，:01，02，……,72，并按编号顺序平均分为6组（1－12号，13－24号…），若第二组抽号码为，内任取两点，则两点之间的距离小于的概率为___ __. 16．△ABC中，B（－5，0），C（5，0），且，则点A的轨迹方程 . 三．解答题（本大题共6小题，共74分): 17．（本小题12分）已知命题,,若非是非的充分不必要条件，求的取值范围。

南安一中2015～2016学年度上学期期中考高二年数学（文科）期中考卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1-6 BDBACB 7-12 DCBCCA二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分．）13. 132 14.充分不必要 15. 16.三、解答题（本大题共6小题,共70分）17.解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y．用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）…4分（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率P（A）＝＝．…………………………………7分（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}事件B由7个基本事件组成，故所求概率P（A）＝．………………………………………10分18.解：（Ⅰ）补充完成的频率分布直方图如下：………………………………………………………3分估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯………………………6分0.0522.50.227.50.3532.50.337.50.142.5（Ⅱ）年龄属于和的分别有4人，2人，分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2则从中随机抽取两人的所有可能情况有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种，……………………………………………………………………………………………8分其中，两人属于同一年龄组的有（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 3，A 4），（B 1，B 2）共7种，…………………………………………………………………………………10分 ∴所求的概率为． ………………………………………………………………………… …12分19．解：（Ⅰ）由所给数据得，123456747x ++++++==……………………………………………………………………2分2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y ++++++==，………………………………………………4分2177712271=--=∑∑==∧i i i i ix x y x y x b …………………………………………………6分 所求的回归直线方程为．…………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年递增，平均每年增加0．5千元．……………………………………………………………………10分将2016年的年份代换代人回归直线方程，得故预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．………………………………12分20.解： 即A=而B= …………………2分(1) 当时，,),2()0,(+∞⋃-∞=B C U ,…………………………………………4分]10,2()0,2[)(⋃-=⋂A B C U …………………………………………………………6分(2)又是的必要不充分条件， 即……………………………………………………8分所以即实数的取值范围为。

南安一中2015～2016学年度上学期期中考高三数学理科参考答案一．选择题：（1）B 【解析】 ∵(1)2i z i -=，∴211iz i i==-+-，∴ z 对应的点为(1,1)-，在第二象限． （2）B 【解析】(1,)A =+∞，(,0)(3,)B =-∞⋃+∞， [0,3]R C B =，()(1,3]R A C B ⋂=， 选B ． （3）B 【解析】∵0x <，∴0x ->，3()()ln(1)f x x x -=--+，∴3()()l n (1)f x f x x x =-=++（4）A 【解析】由三角形中大边对大角和正弦定理，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>．故选A（5）D 【解析】θ终边在12y x =上，1tan 2θ=，故22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514θθθθθθθ---====+++． （6）A 【解析】0.4log 80<，113231222<<<，23423log 8log 22==，故b c a <<．故选A ．（7）B 【解析】()x f 关于⎪⎭⎫⎝⎛03，π对称，又周期22T ππ==，∴对称轴是342T T x k π=++，即7122k x ππ=+，Z k ∈，当0k =时，712x π=．故选B ． （8）A 【解析】函数图象过原点，所以D 排除；当0x <时函数是负数，C 函数原点左侧为正数，所以C 排除；B 函数有无数多个零点，且所以B 排除，而A 都满足，故选A ．（9）C 【解析】设M 为BC 中点，1|||2OB OC -= ∴ ||||CB AM =，∴ABC ∆为直角三角形．故选C （10）D 【解析】 由4sin(21)y x =-和y x =两图象在[2,4]无交点．故选D ．（11）B 则13R =⋅，即a =，2h R =，故正三棱柱的体积2)2V R =⋅=∴ 1R =，故球的体积为34433V R ππ==球，故选B ． （12）B其中SA ⊥底面ABCD ，,AD AB BC AB ⊥⊥，1AD =，2SA AB BC ===，经计算知最长棱为SC =B ．二．填空题：（13）2- 【解析】根据题意有(3)()f x f x +=-，从而求得函数是周期函数，且周期为6，所以(2015)(1)(1)2f f f =-=-=，所以(1)f 2=-．（14） 2 【解析】2121|22|d (22)d (22)d 2x x x x x x -=-+-=⎰⎰⎰．（15）[6,)+∞ 【解析】三棱柱的侧面积随侧棱与底面的夹角的增加而减小，当且仅当三棱柱是正三棱柱时，侧面积最小为6，故侧面积的取值范围是[6,)+∞． （16）1c = 【解析】由22cos1)cos 1cos()cos 2A CB AC B B +=⇔++=- 即 cos 452o B B =⇔=，又60o A =，∴ 75o C =，sin 45sin 75o ob c==∴ 2,1b c ==， 但2b =时，则原题设为：2,45oa b B ==，可求得A 有两个值60,120o o ，不合题意，舍去．1c =时，经检验，符合题意．三．解答题：（17）【解析】 （Ⅰ） 33sin 3cos sin a AC C b B==， 3sin cos sin 3sin 3sin()3sin cos 3sin cos B C B C A B C B C C B ∴==+=+， sin 3sin cos B C C B =， ∵sin 0C ≠3cos B B =, 即 tan B = ∴ 3B π=． …… 6分（Ⅱ）由11sin 222DBC S BC BD B BD Λ=⋅⋅=⋅⋅⋅， ∴ 1BD =， …… 8分 CS∴ 在DBC ∆中，22212cos 4122132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， …… 10分 ∴AD CD = ∴1c AB AD BD ==+． …… 12分（18）【解析】 由底面ABCD 为菱形且60oABC ∠=，∴ABC ∆，ADC ∆是等边三角形，取DC 中点O ，有,OA DC OP DC ⊥⊥，∴POA ∠为二面角P CD A --的平面角， ∴90oPOA ∠=．分别以,,OA OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则(0,1,0),(0,1,0)A P D B C -． …… 3分（Ⅰ）由M 为PB中点，M∴DM =PA = 0,PA DM PA DC ∴==∴ PA ⊥DM …… 6分（Ⅱ）由(0,2,0)DC =，0PA DC ⋅= ，∴PA ⊥DC ，∴ 平面DCM的法向量可取PA =…… 9分(0,1,PC =， 设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，则sin |cos ,|||4||||PC PA PC PA PC PA θ⋅=<>===． …… 12分（19）【解析】 （Ⅰ）当1a =时，1()1e x x f x -=-，2'()ex xf x -=， ∴ 切线斜率1(1)ek f '==，又切点(1,1)-， ∴ 切线方程为11(1)e y x +=- 即 e e 10x y ---=． ……… 5分 （Ⅱ）11()01e ex xx x f x a a --=⇔=⇔=，记1()e x x g x -=由2'()0e xxg x -=> 得 2x <， ∴()g x 的情况如下表：又 x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞max 2e 若()f x 没有零点，即()yg x =的图像与直线y a =无公共点， 由图像知a 的取值范围是21ea >． ………… 10分 （Ⅲ）∵0a ≠，若()f x 恰有一个零点，则a 的取值范围是0a <或21ea =． …… 12分（20）【解析】 ∵11A D CC ⊥，且D 为中点，∴ 111AC AC AC ==， 又 11,2BC AB BA ===，∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥，又 1BA BA B ⋂=，∴CB ⊥平面11ABB A ，取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直，以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图， …… 3分 ∴1111(2,0,0),(0,0,1),((2,0,1),(1,0,1),(2B C A A C D M - …… 4分 （Ⅰ）设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0BA x ⋅=-=m ，0BC z ⋅== m ，1A取,0)=m ， ∵ 1(,2MD = ，00MD ⋅=+= m ，∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 7分（Ⅱ）设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,(2,0,0)AC AA ==，1110AC x z ⋅=+= m ，110AA x ⋅== m ， 取=n ， …… 9分又由（Ⅰ）知平面ABC 的法向量为,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ，…… 10分 ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 12分（21）【解析】 （Ⅰ）令e e ()()2ln 2F x g x x x x =-+=-+， ∴221e e ()x F x x x x-'=-=， 由()0e F x x '>⇒> ∴ ()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增， ∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即 e()2g x x≥-成立． …… 5分 （Ⅱ） 记()()()xxh x f x f x ax e eax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，()e xxh x ea -'=+-， ∵ ()e 0x x h x e -''=->，∴ ()h x '在[0,)+∞递增， 又(0)2h a '=-， …… 7分 ∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增， 则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； …… 9分 ② 当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<， ∴ 必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，即 (0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． …… 12分（22）解析略（23）【解析】（Ⅰ）由xρ=∴曲线C（Ⅱ）曲线C的参数方程为xy⎧⎪⎨⎪⎩∴设(cos)Pαα||2cos,||PQ QRα=-∴矩形周长2||2|PQ=+∴当3πα=（24）【解析】（Ⅰ）|()|5g x<∴212x-<-<即13x-<<，∴不等式的解为13x-<<．……4分（Ⅱ）对任意2x R∈，都有1x R∈，使得12()()f xg x=成立，∴{|()}{|()}y y g x y y f x=⊆=，……6分又()|2||24||(2)(24)||4|f x x a x x a x a=-++≥--+=+，……8分()|1|33g x x=-+≥，∴|4|3a+≤解得71a-≤≤-，∴实数a的取值范围是71a-≤≤-……10分。

2012-2013学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（12×5分=60分）2．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，+﹣+=k﹣，3．（5分）已知命题p ：，则（ ）4．（5分）如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．5．（5分）有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么为零向量，不构成空间的一个基底，那么点③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一6．（5分）（2008•北京）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P7．（5分）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30．若曲线C2上的点到椭圆==48．（5分）“k＞9”是“方程表示双曲线”的（）解：方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．方程表示双曲线则须9．（5分）已知抛物线y2=8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中点P到y轴的距离为（轴的距离10．（5分）（2007•江西）连接抛物线x2=4y的焦点F与点M（1，0）所得的线段与抛物线交与抛物线方程联立有=的纵坐标为11．（5分）（2007•安徽）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的两个焦点，A 和B是以O（O为坐标原点）为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB+1+112．（5分）设点P（x，y）是曲线上的点，又点F1（﹣4，0），F2（4，0），下解：曲线可化为：二、填空题：（4×4分=16分）13．（4分）命题“若a=﹣1，则a2=1”的否命题是若a≠﹣1，则a2≠1．14．（4分）已知向量．若与的夹角为60°，则实数k= ﹣3 ．，与×15．（4分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．及双曲线﹣∴双曲线的方程为：﹣x=故答案为：16．（4分）（2012•江苏二模）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F．设线段AB的中点为M，若，则该椭圆离心率的取值范围为（0，，﹣1+] ．（﹣]三、解答题：（共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知命题p：不等式（x﹣1）2＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=（5﹣2m）x 是R上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）（2011•陕西）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．|MD|=由已知得：的方程为．的直线方程为：将直线方程．19．（12分）如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E 是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．）根据建立的空间直角坐标系求出=求出＜＜所成角即为＜＜﹣＜）求出然后再利用向量的夹角公式=求出＜，＞再根据若＜，的所成角为﹣＜，，＞＜的所成角为＜，＞﹣＜，，∴COS＜=﹣所成角的余弦为…（的法向量为取，…（的所成角的正弦值为20．（12分）（2006•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B 两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．，﹣，，那么（的方程为：）满足21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，BB1⊥平面ABC （Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．系，分别求出向量，，的坐标，用向量法可得⊥，⊥的法向量，结合（）中结论中求出向量的坐标，代入，，，﹣，=）•，=⊥，⊥==）=⊥，⊥，，即得（的余弦值为为平面=，，﹣．22．（14分）（2013•天津模拟）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．，由2，知，，心为（﹣，所以，由2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的外接圆圆心为（﹣∴c=1，…（．…（。

南安一中2015～2016学年度上学期期中考高三数学（文）试卷注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回. 5．柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中为球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则AB =（ ）A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞2．设复数1z i =+（是虚数单位），则2z=（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i --D. 1i -+31,2==a b ，且⊥a b ，则||+a b 为（ ）C. D.4．下列函数中，是奇函数且在区间（0,1）内单调递减的是（ ）A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x = D ．x y tan =5．角的终边过点(1,2)P -，则sin α等于（ ）A ．． 6． 已知等比数列{}n a 的公比2q =，前项和为n S ,若372S =，则6S 等于（ ）A ．312 B ．632 C ．63 D ．12727．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．2+B ．2+C ．43D ．238．函数sin()y x ωϕ=+的部分图像如图，则()2f π=（ ）A ．12-B ．12C ． D9．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是（ ）10. 将sin(2)4y x π=-的图像上所有点向左平移4π后得到)(x f y =的图像，则)(x f y =在[2π，0]上的最小值为（ ） A. 1- B. 22-C.0D. 23- 11．已知双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相交， 则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．(2,)+∞D ．(1,2) 12.已知2()3y f x x =+的图象关于原点对称，若(2)3f =函数()()3g x f x x =-，则(2)g -的值（ ）A ．12B ．-12C ．-27D ． -21 二、填空题：每小题5分，共20分，请将答案填在横线上.13.已知函数()()()20lg 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()(1)f f -=___________. 14．已知y x ,满足约束条件10,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z 2+=的最大值为 ．15、已知两圆的圆心均在直线0x y c ++=上，且两圆相交于()()1,3,,1A B m -两点， 则= ．16、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2015-2016学年福建省泉州市南安三中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（12*5=60分）1．函数y=x2sinx的导数为（）A．y′=2xsinx+x2cosx B．y′=2xsinx﹣x2cosxC．y′=x2sinx+2xcosx D．y′=x2sinx﹣2xcosx2．命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q：∃x∈R，sinx+cosx=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）3．“sinx=”是“x=”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线离心率e=（）A．B．C．D．6．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）7．曲线f（x）=x3+x﹣2在点P处的切线与直线x+4y+1=0垂直，则点P的坐标（）A．（1，0） B．（1，0）或（﹣1，﹣4）C．（2，8） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）8．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（1，4） D．（0，3）9．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．3 C．D．10．函数f（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．a＜11．过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=112．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二．填空题（4*5=20分）13．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．14．若命题“∃x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．15．若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．16．函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为﹣1，有以下命题：①f（x）的解析式是f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且只有1个；③f（x）的最大值与最小值之和为0；其中真命题的序号是．三．解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18．（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点（﹣2，0），（2，0）的距离之和为6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆过（2，0），离心率为，求椭圆的标准方程．19．已知函数，f（x）=x3﹣ax2﹣9x+11且f′（1）=﹣12．（I）求函数f（x）的解析式；（II）求函数f（x）的极值．20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．22．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市南安三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（12*5=60分）1．函数y=x2sinx的导数为（）A．y′=2xsinx+x2cosx B．y′=2xsinx﹣x2cosxC．y′=x2sinx+2xcosx D．y′=x2sinx﹣2xcosx【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数运算法则计算即可．【解答】解：∵y=x2sinx，∴y′=（x2）′sinx+x2（sinx）′=2xsinx+x2cosx，故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算法则，关键是掌握基本的导数公式，属于基础题．2．命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q：∃x∈R，sinx+cosx=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】利用一元二次函数的判别式与三角函数的值域判断命题p、q的真假，再由复合命题真值表逐个判断各选项是否为真命题．【解答】解：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，∴命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0；是真命题；∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜2，∴命题q：∃x∈R，sinx+cosx=2，为假命题；由复合命题真值表得：p∧q是假命题，故A错误；p∨q为真命题，故B正确；￢p∨q是假命题，故C错误；（￢p）∧（￢q）为假命题，故D错误，故选B．【点评】本题借助考查复合命题的真假，考查了三角函数的值域与全称命题、特称命题，判断命题p、q的真假是关键．3．“sinx=”是“x=”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若x=满足sinx=，但x=不成立，即充分性不成立，若x=，则sinx=成立，即必要性成立，故“sinx=”是“x=”的必要不充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数之间的关系是解决本题的关键．4．抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；所以：2p=4，即p=2，所以： =1，∴准线方程 y=﹣1，故选D．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．5．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线离心率e=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线渐近线方程得b=a，从而可求c，最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，∴b=a，∴c==a，∴e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．6．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．7．曲线f（x）=x3+x﹣2在点P处的切线与直线x+4y+1=0垂直，则点P的坐标（）A．（1，0） B．（1，0）或（﹣1，﹣4）C．（2，8） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】曲线F在点P处的切线的斜率等于函数f（x）=x3+x﹣2在此点的导数值，就是直线x+4y+1=0斜率的负倒数，先求出点P的横坐标，再代入函数关系式求出纵坐标，可得P 的坐标．【解答】解：∵曲线f（x）=x3+x﹣2在点P处的切线与直线x+4y+1=0垂直，∴曲线F在点P处的切线斜率为：4，∵f（x）=x3+x﹣2，∴f′（x）=3x2+1=4∴x=±1，x=1时，y=0，x=﹣1时，y=﹣4∴点P的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）；故选：B．【点评】本题考查的导数的几何意义、两条直线垂直斜率的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．8．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（1，4） D．（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】令f′（x）＞0，解得即可．【解答】解：f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．∴函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．故选A．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．9．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．3 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故选A．【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题．10．函数f（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．a＜【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f′（x）=3ax2﹣1＜0恒成立，求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，故f′（x）=3ax2﹣1＜0恒成立，故有3a≤0，求得a≤0，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．11．过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知椭圆的方程求出其半焦距，再设出待求椭圆方程，根据点（3，﹣2）在椭圆上结合隐含条件联立方程组求得答案．【解答】解：由椭圆4x2+9y2=36，得，∴，设所求椭圆方程为（a＞b＞0）．则，解得：．∴椭圆的方程是：．故选：C．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查方程组的解法，是基础题．12．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】函数奇偶性的性质；导数的运算；不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案．【解答】解：因f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数．∵f（3）g（3）=0，∴f（﹣3）g（﹣3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3故选D．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，属于中档题．二．填空题（4*5=20分）13．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0 ．【考点】命题的否定．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜0【点评】本题考查一个命题的否定的定义．14．若命题“∃x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【考点】特称命题．【专题】计算题；转化思想．【分析】根据所给的特称命题的否定任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2+ax+1≥0，命题否定是假命题，∴△=a2﹣4＞0∴a＜﹣2或a＞2故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查命题的真假，命题与命题的否定的真假相反，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．15．若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的定义．【专题】计算题．【分析】设双曲线的方程是，又它的一个焦点是，故λ+9λ=10由此可知λ=1，代入可得答案．【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，则设双曲线的方程是，又它的一个焦点是故λ+9λ=10∴λ=1，故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为﹣1，有以下命题：①f（x）的解析式是f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且只有1个；③f（x）的最大值与最小值之和为0；其中真命题的序号是①③．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】压轴题；阅读型．【分析】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为﹣1，则有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x，因此①正确；②令f′（x）=0，得x=±．因此②不正确；所以f（x）在[﹣，]内递减，且f（x）的极大值为f（﹣）=，极小值为f（）=﹣，两端点处f（﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=﹣，则M+m=0，因此③正确．故答案为：①③．【点评】本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．三．解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；综合题．【分析】先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据P与Q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数a的取值范围为．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．18．（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点（﹣2，0），（2，0）的距离之和为6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆过（2，0），离心率为，求椭圆的标准方程．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得：c=2，并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到a=3，进而由a，b，c的关系求出b的值得到椭圆的方程．（Ⅱ）由于椭圆的焦点位置未定，故需要进行分类讨论，进而可求椭圆的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）∵两个焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=2，∴由椭圆的定义可得：2a=6，即a=3，∴由a，b，c的关系解得b2=32﹣22=5，故椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由于离心率e==，得，，当椭圆焦点在x轴上时，a=2，∴b2=1，∴所求椭圆方程为；当椭圆焦点在y轴上时，b=2，∴a2=16，∴所求椭圆方程为．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的数学思想，此题属于基础题．19．已知函数，f（x）=x3﹣ax2﹣9x+11且f′（1）=﹣12．（I）求函数f（x）的解析式；（II）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（1）=﹣12求出a的值，则函数解析式可求；（Ⅱ）由导函数大于0求出原函数的增区间，由导函数小于0求出原函数的减区间，则极值点可求，把极值点的横坐标代入函数解析式可求得函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x3﹣ax2﹣9x+11，得：f′（x）=3x2﹣2ax﹣9，又f′（1）=3×12﹣2a﹣9=﹣12，∴a=3．则f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11；（Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣2ax﹣9=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）．当x＜﹣1或x＞3时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上为增函数，在（﹣1，3）上为减函数．∴函数f（x）的极大值为f（﹣1）=16，极小值为f（3）=﹣16．【点评】本题考查了导数的运算，考查了利用函数的单调性求函数的极值，连续函数在定义域内某点两侧的单调性不同，则该点为函数的极值点，此题是中档题．20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞﹣1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴4+∴p=4∴抛物线C的方程为y2=8x（Ⅱ）由消去y，得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，又=2，解得 k=2，或k=﹣1（舍去）∴k的值为2．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且，由此可m2=2，从而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于x1x2+y1y2＜0，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，可建立不等式，从而可求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且，所以，所以m2=2，即椭圆C的方程为．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于（A，O，B三点不共线），也就等价于，即x1x2+y1y2＜0…①…联立，得3x2+4tx+2（t2﹣1）=0，所以△=16t2﹣24（t2﹣1）＞0，即0＜t2＜3…②且…于是代入①式得，，即适合②式…又t＞0，所以解得即求．…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查韦达定理，解题的关键是联立方程，运用韦达定理解题．22．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．max【解答】解：（Ⅰ）由已知，则f'（1）=2+1=3．故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；（Ⅱ）．①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．。

福建省南安一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1、命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．是（ ） A.,11a b a b >-≤-若则 B.,11a b a b >-<-若则 C.,11a b a b ≤-≤-若则 D.,11a b a b <-<-若则 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点对称的点的坐标为（ ）A ．)4,1,3(--B ．)4,1,3(---C ．)4,1,3(D ．(3,1,4)-3.若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F 1(－2,0),F 2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ）A.22 B. 13 C. 12 D.324、 “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5、在正方体1111ABCD A B C D -中，N M 、为的棱A ADB 与的中点，则异面直线N M 与1BD 所成角的余弦值是（ ）A．15 B ．12C ．2D ．36、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）(B) 7、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）8.已知命题p ：关于x 的不等式220x ax a +->的解集是R ，命题q ：10a -<<，则p 是q 的那么（ ）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件9、已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 （ ） A. ()()+∞-∞-,11,Y B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222,Y C. ()()+∞-∞-,,2222Y D. ()()+∞-∞-,,22Y10． 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α 垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 11、 “22-≠≠y x 或”是“4-≠xy ”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12、过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一条斜率不为0的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mn m n+等于（ ）A.12aB.14aC. 2aD.4a第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a r ∥b ρ，则=x ______14、若0>m ，点⎪⎭⎫⎝⎛25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 .15. “1x >”是“2x x >”的 条件．(填充分非必要条件、 必要非充分条件 、充要条件 、既非充分又非必要条件) 16．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于 三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

南安一中2016～2017学年度上学期第一次阶段考高二数学（文科）试卷命题者：许彬城本试卷考试内容为：算法初步、统计及统计案例、概率、常用逻辑用语。

分第I卷和第II卷，共6页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。

5．参考公式：线性回归方程系数公式1221ˆni iiniix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑,ˆa y bx=-第I卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知样本数据3，2，1，a的平均数为2，则样本的标准差是A2B3C．12D．142．在下列命题中，真命题是A．“2x=时, 2320x x-+=”的否命题；B．“若3b=,则29b=”的逆命题;C．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题D．若ac bc>,则a b>3．一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶4．若x R ∈，则“23x -≤≤”是“||2x <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是A ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定B ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定C ．x x <甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙；乙比甲成绩稳定6．为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是A ．3或-3B ．-5或3C ．5或-5D ．5或-3INPUT xIF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END（第6题） （ 第7题图） 7．执行右上的程序框图，输出的结果是26，则①处应填入的条件是A ．2K >B ．3K >C ．4K >D ．5K >8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。

南安一中2015～2016学年度高二上学期期中考数学（理）科试卷（答案）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）：1～6 C B A C B B 7～12 B D C C C C 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）：13．存在01,0200≤+-∈x x R x 使 14．15． 16． 1 三．解答题（本大题共6小题，共74分): 17．解：∴双曲线的一条渐近线方程为，即 ……8分 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ……12分 18．解:: 由得： ……2分: 令，由对恒成立.（1）当时, ,符合题意. ……3分（2）当时，，由得，解得： ……5分 综上得：:. …… 6分因为为真命题，为假命题，所以命题一个为真,一个为假.… 7分或∴ 或 …… 11分∴或 ………………12分 19．方法一：证：（1）在Rt △BAD 中，AD =2，BD =， ∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . ……４分（2）解：∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD = ，设C 到面PBD 的距离为d ，由，有d S PA S PBD BCD ∙∙=∙∙∆∆3131， 即d ∙∙∙=⨯⨯⨯∙0260sin )22(21312222131，得 ……12分 方法二：证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD =， ∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），……2分∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-=== ∵0,0=∙=∙， 即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC .……5分 （2）由（Ⅰ）得)2,2,0(),2,0,2(-=-=，设平面PBD 的法向量为， 则0,022=∙=∙PD n PB n ，即，∴x =y =z ，故平面PBD 的法向量可取为.∵)2,2,2(-=PC ，∴C 到面PBD的距离为332==d ……12分 20．（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得：，并作差得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝，代入得k=y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 则此弦所在直线方程是y －＝－（x －1） 即x ＋y －＝0. ……5分 (2)易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2. ……6分将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ……7分 令Δ＝144k 2－36(1＋3k 2)>0，得k 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. ……8分所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|.因为(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22－361＋3k 2＝36（k 2－1）（1＋3k 2）2， ……10分设k 2－1＝t (t >0)，则(x 1－x 2)2＝36t （3t ＋4）2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34.……12分 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43 ,k 2－1＝43, k 2＝时 等号成立，此时△AOB 面积取得最大值32. ……13分 21．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)， 因为BC 1→＝(－2，0，2)， 所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 22．解：（Ⅰ）∵过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b 2=a 2﹣c 2=3∴椭圆E 的方程为．……4分（Ⅱ）由，消元可得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0……5分∵动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P （x 0，y 0）∴m ≠0，△=0，∴（8km ）2﹣4×（4k 2+3）×（4m 2﹣12）=0∴4k 2﹣m 2+3=0① 此时x 0==，y 0=，即P （，） 由得Q （4，4k+m ） ……8分 取k=0，m=，此时P （0，），Q （4，），以PQ 为直径的圆为（x ﹣2）2+（y ﹣）2=4，交x 轴于点M 1（1，0）M 2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，即M（1，0），……1２分证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过轴上的定点M（1，0）……1４分。

南安第一中学2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）复数z 满足(1i)2i z -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合{|ln(1)}A x y x ==-，集合2{|30}B x x x =->，则()R A C B ⋂=（ ）（A ）(1,3) （B ）(1,3] （C ）[0,)+∞ （D ）[3,)+∞（3）已知()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，3()ln(1)f x x x =--，则当0x <时，()f x =（ ）（A ）3ln(1)x x -+- （B ）3ln(1)x x ++ （C ）3ln(1)x x -+ （D ）3ln(1)x x -++ （4）ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知角θ的始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则cos2θ=（ ） （A ） 45-（B ） 45 （C ） 35- （D ） 35（6）设4log 8a =，0.4log 8b =，0.42c =，则（ ）（A ）b c a << （B ） （C ） （D ） （7）已知函数()sin(2)f x x ϕ=-，且()y f x =的图象关于点π(,0)3对称，则函数()x f 的图象的一条对称轴是（ ） （A ）56x π=（B ）127π=x （C ）3π=x （D ）6π=x（8）有一个函数的图象如图所示，则这个函数可能是下列哪个函数（ ）c b a <<c a b <<b a c <<（A ）221xy x =-- （B ）2sin 21x x xy =+（C ）2(2)xy x x e =- （D ）xx y ln =（9）若O 是ABC ∆所在平面内任意一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC∆一定是（ ）（A ） 等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 （10）已知函数()4sin(21)f x x x =--，则在下列区间中，函数()f x 不存在零点的是（ ）（A ）[4,2]-- （B ）[2,0]- （C ）[0,2] （D ）[2,4] （11）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个正三棱柱的体积为63，那么这个球的体积是（ ）（A ）4π （B ）43π （C ）163π （D ）169π（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） （A ）22 （B ）23 （C ）10 （D ）13第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(3),(2015)2f x f x f -=+=，则(1)f = ． 14．2|22|d x x -=⎰．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个底面为正三角形的三棱柱的正视图，则三棱柱侧面积的取值范围为 ．16．有一道解三角形的题目因纸张破损而使得有一个条件看不清，具体如下：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知6a =， ，且22c o s (21)c o s 2A CB +=-，求角A ．现知道破损缺少的条件是三角形的一个边长，且该题答案为60o A =，试将条件补充完整（必须填上所有可能的答案）．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，且33cos 3sin aC C b+=，AC 边上的垂直平分线交边AB 于点D ．（Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）若2a =，且DBC ∆的面积为32，求边c 的值．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60o ABC ∠=，侧面为等边三角形，且与底面垂直，为的中点．（Ⅰ）求证：PA ⊥DM ；（Ⅱ）求直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）已知函数1()1(,0)ex x f x a a a -=-∈≠R . （Ⅰ）当1a =时，求函数)(x f 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 没有零点，求实数a 的取值范围；P ABCD -PDC ABCD MPB（Ⅲ）若函数()f x 恰有一个零点，试写出实数a 的取值范围（不必写出过程）．（20）（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160o BAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．（Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值．（21）（本小题满分12分）设函数()e xf x =，()lng x x =．（Ⅰ）证明：e ()2g x x≥-； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．请考生在（22）、（23）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线C 的方程为22312cos ρθ=+，点(22,)4R π，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及R 点的直角坐标；C 1B 1A 1M AC BD（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．（23）（本小题满分10分）已知函数()|2||24|f x x a x =-++，()|1|3g x x =-+． （Ⅰ）解不等式|()|5g x <；（Ⅱ）若对任意2x R ∈，都有1x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．参考答案一．选择题（1）B 【解析】 ∵(1)2i z i -=，∴211iz i i==-+-，∴ z 对应的点为(1,1)-，在第二象限．（2）B 【解析】(1,)A =+∞，(,0)(3,)B =-∞⋃+∞， [0,3]R C B =，()(1,3]R A C B ⋂=， 选B ．（3）B 【解析】∵，∴0x ->，3()()ln(1)f x x x -=--+，∴3()()ln(1)f x f x x x =-=++（4）A 【解析】由三角形中大边对大角和正弦定理，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>． 故选A（5）D 【解析】θ终边在12y x =上，1tan 2θ=， 故22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514θθθθθθθ---====+++． （6）A 【解析】0.4log 80<，113231222<<<，23423log 8log 22==，故b c a <<． 故选A ．（7）B 【解析】()x f 关于⎪⎭⎫⎝⎛03，π对称，又周期22T ππ==，∴对称轴是342T T x k π=++，即7122k x ππ=+，Z k ∈，当0k =时，712x π=．故选B ． （8）A 【解析】函数图象过原点，所以D 排除；当0x <时函数是负数，C 函数原点左侧为正数，所以C 排除；B 函数有无数多个零点，且所以B 排除，而A 都满足，故选A ． （9）C 【解析】设M 为BC 中点，11|||2||22|||22OB OC OB OC OA OM OA AM -=+-=-=， 0x<∴ ||||CB AM =，∴ABC ∆为直角三角形．故选C ． （10）D 【解析】 由4sin(21)y x =-和y x =图像可知，两图象在[2,4]无交点．故选D ．（11）B 【解析】球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，故球心在底面的射影为底面的中心，设正三棱柱底面边长为a ，高为h ， 则3123R a =⋅，即23a R =，2h R =，故正三棱柱的体积23(23)2634V R R =⋅=， ∴1R =，故球的体积为34433V R ππ==球，故选B ． （12）B 【解析】如图，由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥． 其中SA ⊥底面ABCD ，,AD AB BC AB ⊥⊥，1AD =，2SA AB BC ===，经计算知最长棱为23SC =．故选B ．二．填空题：（13）2- 【解析】根据题意有(3)()f x f x +=-，从而求得函数是周期函数，且周期为6，所以(2015)(1)(1)2f f f =-=-=，所以(1)f 2=-． （14）2 【解析】2121|22|d (22)d (22)d 2x x x x x x -=-+-=⎰⎰⎰．（15）[6,)+∞ 【解析】三棱柱的侧面积随侧棱与底面的夹角的增加而减小，当且仅当三棱柱是正三棱柱时，侧面积最小为6，故侧面积的取值范围是[6,)+∞． （16）31c =+ 【解析】由22cos (21)cos 1cos()2cos cos 2A CB AC B B +=-⇔++=- 即 2cos 452o B B =⇔=，又60o A =，∴ 75o C =，由正弦定理，CASBD6sin 60sin 45sin 75o o ob c== ∴ 2,31b c ==+， 但2b =时，则原题设为：6,2,45o a b B ===，可求得A 有两个值60,120o o，不合题意，舍去．31c =+时，经检验，符合题意．三．解答题：（17）【解析】 （Ⅰ） 33sin 3cos 3sin sin a AC C b B+==， 3sin cos 3sin sin 3sin 3sin()3sin cos 3sin cos B C B C A B C B C C B ∴+==+=+，3sin sin 3sin cos B C C B ∴=， ∵sin 0C ≠3sin 3cos B B ∴=, 即 tan 3B =， ∴ 3B π=． …… 6分（Ⅱ）由1133sin 22222DBC S BC BD B BD Λ=⋅⋅=⋅⋅⋅=， ∴ 1BD =， …… 8分 ∴ 在DBC ∆中，22212cos 4122132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 10分 ∴ 3AD CD ==， ∴ 31c AB AD BD ==+=+． …… 12分（18）【解析】 由底面ABCD 为菱形且60o ABC ∠=，∴ABC ∆，ADC ∆是等边三角形，取DC 中点O ，有,OA DC OP DC ⊥⊥，∴POA ∠为二面角P CD A --的平面角， ∴90o POA ∠=． 分别以,,OA OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则．… 3分（Ⅰ）由M 为PB 中点，∴(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0),(3,2,0),(0,1,0)A P D B C -33(,1,),22M 33(,2,),22DM =(3,0,3),PA =-0),0,DC PA DM PA DC =∴==∴PA ⊥DM …… 6分（Ⅱ）由(0,2,0)DC =，0PA DC ⋅=，∴PA ⊥DC ， ∴ 平面DCM 的法向量可取 …… 9分(0,1,3)PC =-， 设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，则36sin |cos ,|||4||||62PC PA PC PA PC PA θ⋅=<>===⋅． …… 12分（19）【解析】 （Ⅰ）当1a =时，1()1e x x f x -=-，2'()ex xf x -=， ∴ 切线斜率1(1)ek f '==，又切点(1,1)-， ∴ 切线方程为11(1)ey x +=- 即 e e 10x y ---=． ……… 5分 （Ⅱ）11()01e e x xx x f x a a --=⇔=⇔=， 记1()e x x g x -=由2'()0exxg x -=> 得 2x <， ∴()g x 的情况如下表：x)2,(-∞2),2(+∞'()g x+-()g x 单调递增 极大值 单调递减又 x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →，max 21()(2)eg x g ==， 若()f x 没有零点，即()y g x =的图像与直线y a =无公共点，由图像知a 的取值范围是21e a >． ………… 10分 （Ⅲ）∵0a ≠，若()f x 恰有一个零点，则a 的取值范围是0a <或21ea =． …… 12分 (3,0,3),PA =-12345642246…… 8分（20）【解析】 ∵11A D CC ⊥，且D 为中点，112AA A D ==，∴ 1115AC AC AC ===， 又 11,2BC AB BA ===， ∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥，又 1BA BA B ⋂=，∴CB ⊥平面11ABB A ，取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直，以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图， …… 3分∴11113(2,0,0),(0,0,1),(1,3,0),(1,3,0),(2,0,1),(1,0,1),(,,0)22B C A A C D M -…… 4分 （Ⅰ）设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，则30BA x y ⋅=-+=m ，0BC z ⋅==m ，取(3,1,0)=m ， ∵ 13(,,1)22MD =-，330022MD ⋅=-+=m ， ∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 7分 （Ⅱ）设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,3,1),(2,0,0)AC AA =-=，11130AC x y z ⋅=-+=m ，110AA x ⋅==m ， 取(0,1,3)=n ， …… 9分 又由（Ⅰ）知平面ABC 的法向量为(3,1,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ，10分 ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 12分 （21）【解析】 （Ⅰ）令e e ()()2ln 2F x g x x x x =-+=-+， ∴221e e ()x F x x x x-'=-=， 由()0e F x x '>⇒> ∴ ()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增，∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即 e()2g x x≥-成立．… 5分（Ⅱ） 记()()()x x h x f x f x ax e e ax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，()e x x h x e a -'=+-， ∵ ()e 0x x h x e -''=->，∴ ()h x '在[0,)+∞递增， 又(0)2h a '=-， …… 7分∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增，则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； …… 9分② 当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<，∴ 必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，即 (0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． …… 12分（22）【解析】 （Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==，∴ 曲线C 的直角坐标方程为22113x y +=，点R 的直角坐标为(2,2)． …… 4分 （Ⅱ） 曲线C 的参数方程为cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（ α为参数，[0,2)απ∈ ）， ∴ 设(cos ,3sin )P αα，如图，依题意可得： ||2c o s ,||23s i n P Q Q R αα=-=-， …… 6分 ∴ 矩形周长2||2||42cos 423sin 84sin()6PQ QR πααα=+=-+-=-+，…… 8分 ∴ 当3πα=时，周长的最小值为4．此时，点P 的坐标为13(,)22． …… 10分 （23）【解析】 （Ⅰ）|()|5g x < 即 5()5g x -<<，∴ 5|1|35x -<-+< 即 8|1|2x -<-<，∴ 212x -<-< 即 13x -<<， ∴ 不等式的解为 13x -<<．…… 4分2246ππππ2R Q S P（Ⅱ）对任意2x R ∈，都有1x R ∈，使得12()()f x g x =成立，∴ {|()}{|()}y y g x y y f x =⊆=， …… 6分又 ()|2||24||(2)(24)||4|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，…… 8分 ()|1|33g x x =-+≥， ∴ |4|3a +≤解得 71a -≤≤-， ∴ 实数a 的取值范围是71a -≤≤- ……10分。