第5章 杆单元和梁单元

如图5-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E(1) , A(1) , l (1)
u1
单元1
E(2) , A(2) , l (2)
u2
单元2
1
2
3
x
图 5-1 杆件结构 –待求解的问题
F3 10N
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
a1 a2 x2 u2
求解得到
a1u1x1(u1u2)/(x1x2) a2 (u1u2)/(x1x2)
5.1.1 一维杆单元
这样，u(x)a1a2x可以写成如下矩阵形式
u(x) [1
x]
aa12

uu12


1 1
x1 x2

e U e W e
1
2
e

d

1 2
P1
P2

uu12

1 2
le 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Sδe
(Bδe )Aedx 1 2
P1
P2
uu12

1 δ eT le B T E e BAedxδ e 1 P eT δ e
2
0
2
上式记作如下矩阵形式：
u(x)N(x)δe
(5.6)
（4）应变
由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
(x) u xd N d x (x) u u 1 2 l1 e l1 e u u 1 2 B u u 1 2 (5.7)
B为应变矩阵（常应变）。 （5）应力 由弹性力学的物理方程知：
取其线性部分，系数 a 1 、a 2 可由节点位移 u 1 、u 2确定，称为位
移插值模式（interpolation model）.
u(x)a1a2x
(5.2)
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移
为u(x)|xx1 u1，u(x)|xx2 u2，代入上式插值模式公式得： a1 a2 x1 u1
E(1)A(1) 1 l(1) 1
11 u u1 2 1 2R1
R2 u u1 2
1 1
1 1
P
(1)


R R
1 2

5.1.1 一维杆单元
第二个单元：
δ (2)


u u
2 3

K(2)
E(l2()2A) (2)
1 1
1 1
P
(2)


R F3
2

整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
(1)(2) 1 2 u u1 2 T
1
2
图 5-2 杆单元
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关
系式

P1 P2


k
e

u1 u2

(5.1)
其中， k e 称为单元刚度矩阵
5.1.1 一维杆单元
（2）确定位移模式
假设单元位移场： u (x ) a 1 a 2 x a 3 x 2
Ke0 leB TEeB A edxElee A e 1 1 1 1
(5.11)
（7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements）
对于图5.1所示结构 第一个单元：
δ (1)


u u
1 2

K(1)
E(1)A(1) l(1)
N (x)1x 1 1x x1 2 1 (1x2 xx1)
x x2x1
(5.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是
δe


u u
1 2

(5.5)
5.1.1 一维杆单元
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
杆单元-桁架结构 梁单元-轴系，转子动力学
5.1 杆件系统的有限元分析方法
5.1.1. 一维杆单元 ——材料力学可轻易求解 一般情况下，认为杆件只承受轴向力，只有一个方向的受力
和相应的变形。本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出 规范的有限元法中关于杆单元的推导过程，以及整个杆系的求解 过程。
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
e1δeTKeδe1PeTδe
2
2
根据最小势能原理， e 0
可以得到，
keδe Pe
(5.9) (5.10)
5.1.1 一维杆单元
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单元特 性矩阵(element characteristic matrix)
S为应(x 力) 矩D B 阵(x （)δ 常e 应E 力e B ( ）x )。δ e S (x )δ e E le e E le e u u 1 2 (5.8)
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵
单元的势能表达式：
5.1.1 一维杆单元
aa12

aa12


1 1
x1 x2
1
uu12

导出
u(x)[1 x] a a1 2 1 x1 1 x x1 21 u u1 2 =
N
(
x
)

u u
1 2

(5.3)
得到形函数矩阵（shape function matrix）
5.1.1 一维杆单元
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐
标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个,
给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图5-1）。在
局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图5-2为任取
的一个杆单元。
P1, u1 Ee , Ae , le
P2 , u2