江苏省盐城市时杨中学2018届高三数学模拟试卷(6) Word版缺答案
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2017-2018学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三(上)摸底数学试卷(文科)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={1,2,3},B={0,2,3},则A∩B=.2.若(x+i)2是实数(i是虚数单位),则实数x的值为.3.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人,并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图所示),则月收入在[2000,3500)范围内的人数为.4.根据如图所示的伪代码,可知输出S的值为.5.已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:x﹣2y﹣1=0,l2:ax+by﹣1=0,则直线l1⊥l2的概率为.6.若变量x,y满足约束条件则w=log3(2x+y)的最大值为.7.已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合,则p的值为.8.在等比数列{a n}中,若a1+a2=,a3+a4=1,则a7+a8+a9+a10=.9.在△ABC中,已知BC=1,B=,△ABC的面积为,则AC的长为.10.已知p:x2﹣4x﹣5>0,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的最大值为.11.函数f(x)=acos(ax+θ)(a>0)图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是.12.已知椭圆的方程为,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则椭圆的离心率等于.13.已知△ABC中,∠B=45°,AC=4,则△ABC面积的最大值为.14.设点(a,b)在平面区域D={(a,b)||a|≤1,|b|≤1}中均匀分布出现,则双曲线的离心率e满足1<e<的概率为.二、解答题:本大题共6小题,共90分.15.已知向量=(4,5cosα),=(3,﹣4tanα),α∈(0,),⊥,求:(1)|+|;(2)cos(α+)的值.16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C 的中点(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求三棱锥E﹣BCD的体积.17.现有一张长为80cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x (cm),高为y(cm),体积为V(cm3)(1)求出x与y的关系式;(2)求该铁皮盒体积V的最大值.18.平面直角坐标系xoy中,直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程;(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.19.已知函数f(x)=(ax2+x)e x,其中e是自然数的底数,a∈R.(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)若f(x)在[﹣1,1]上是单调增函数,求a的取值范围;(3)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.20.设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=pS n+q(p,q为常数,n∈N*),如果:a1=2,a2=1,+1a3=q﹣3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)是否存在正整数m,n,使<成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.2016-2017学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三(上)摸底数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={1,2,3},B={0,2,3},则A∩B={2,3} .【考点】交集及其运算.【分析】直接运用交集的定义求解即可.【解答】解:∵A={1,2,3},B={0,2,3},又∵A∩B={x|x∈A且x∈B},∴A∩B={2,3},故答案为:{2,3}.2.若(x+i)2是实数(i是虚数单位),则实数x的值为0.【考点】复数的基本概念.【分析】由(x+i)2=x2+2xi+i2=x2﹣1+2xi∈R可得虚部为0可求x【解答】解:∵(x+i)2=x2+2xi+i2=x2﹣1+2xi∈R∴2x=0即x=0故答案为:03.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人,并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图所示),则月收入在[2000,3500)范围内的人数为700.【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图.【分析】先有频率分布直方图求出在[2000,3500)收入段的频率,用此频率乘以样本容量计算出应抽人数.【解答】解:由图[2000,3500)收入段的频率是(0.0005+0.0005+0.0004)×500=0.7;则在[2000,3500)收入段应抽出人数为0.7×1000=700.故答案为:700.4.根据如图所示的伪代码,可知输出S的值为21.【考点】伪代码.【分析】第一次循环,i=3,S=2×3+3=9;第二次循环,i=5,S=2×5+3=13;第三次循环,i=7,S=2×7+3=17;第四次循环,i=9,S=2×9+3=21,退出循环,故可得结论.【解答】解:由题意,第一次循环,i=3,S=2×3+3=9;第二次循环,i=5,S=2×5+3=13;第三次循环,i=7,S=2×7+3=17;第四次循环,i=9,S=2×9+3=21,退出循环故答案为:215.已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:x﹣2y﹣1=0,l2:ax+by﹣1=0,则直线l1⊥l2的概率为.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;等可能事件的概率.【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件数是36,满足条件的事件是直线l1⊥l2,得到关于a,b的关系式,写出满足条件的事件数,即可得到结果.【解答】解:设事件A为“直线l1⊥l2”,∵a,b∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1),(1,2)…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(5,6),…,(6,6)共36种,而l1:x﹣2y﹣1=0,l2:ax+by﹣1=0,l1⊥l2⇔1•a﹣2b=0,∴a=2时,b=1;a=4时,b=2;a=6时,b=3;共3种情形.∴P(A)==.∴直线l1⊥l2的概率为:.故答案为:6.若变量x,y满足约束条件则w=log3(2x+y)的最大值为2.【考点】简单线性规划.【分析】先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数z=2x+y的最大值.【解答】解:由约束条件得如图所示的三角形区域,三个顶点坐标为A(3,3),(1,1),(1,6)将三个代入得z的值分别为3,1,log38,直线z=2x+y过点A(3,3)时,z取得最大值为9;w=log3(2x+y)的最大值为2故答案为:2.7.已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合,则p的值为2.【考点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】求出抛物线的准线方程,双曲线的左准线方程,建立关系,即可求出p的值.【解答】解:抛物线y2=2px的准线为:x=,双曲线x2﹣y2=2的左准线为:x==﹣,由题意可知,p=2.故答案为:2.8.在等比数列{a n}中,若a1+a2=,a3+a4=1,则a7+a8+a9+a10=12.【考点】等比数列的通项公式.【分析】由于等比数列{a n}中,从第一项开始,每相邻两项的和也构成等比数列,根据,可得a7+a8 =2,a9+a10 =4,从而求得结果.【解答】解:等比数列{a n}中,由于从第一项开始,每相邻两项的和也构成等比数列,又已知,∴a5+a6=2,a7+a8 =4,a9+a10 =8,∴a7+a8+a9+a10=4+8=12,故答案为12.9.在△ABC中,已知BC=1,B=,△ABC的面积为,则AC的长为.【考点】正弦定理.【分析】有三角形的面积公式先求|AB|,再由余弦定理求AC的长.===,【解答】解:因为S△ABC∴|AB|=4,由余弦定理得:|AC|===.故答案为:.10.已知p:x2﹣4x﹣5>0,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的最大值为2.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】求出p中x的范围,利用p是q的充分不必要条件,列出不等式组,求出m的范围,得到最大值.【解答】解:由p:x2﹣4x﹣5>0,解得x<﹣1或x>5,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0),解得x>m+1或x<1﹣m,p是q的充分不必要条件,所以,解得m≤2,所以m的最大值为:2.故答案为:2.11.函数f(x)=acos(ax+θ)(a>0)图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是2.【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】求出函数的最大值,函数的周期,通过直角三角形,利用基本不等式即可求出同一周期内的最高点与最低点之间距离的最小值.【解答】解:因为函数y=acos(ax+θ)的最大值为:|a|,周期为T=,所以同一周期内的最高点与最低点之间距离为:=≥=(当且仅当a=时等号成立).故答案为:12.已知椭圆的方程为,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则椭圆的离心率等于.【考点】椭圆的简单性质.【分析】先求出FQ 的长,直角三角形FMQ中,由边角关系得tan30°=,建立关于离心率的方程,解方程求出离心率的值.【解答】解:由已知得FQ=,MF=,因为椭圆的方程为,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,所以tan30°=====e所以e=,故答案为:.13.已知△ABC中,∠B=45°,AC=4,则△ABC面积的最大值为4+4.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】利用余弦定理表示出cosB,将B的度数,以及AC,即b的值代入,整理后再利用基本不等式求出ac的最大值,然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将ac 的最大值及sinB的值代入,即可求出三角形ABC面积的最大值.【解答】解:∵∠B=45°,AC=b=4,∴由余弦定理cosB=得:=,∴ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16,即(2﹣)ac≤16(当且仅当a=c时取等号),∴ac≤=8(2+)=16+8,∴△ABC面积S=acsinB≤(16+8)×=4+4,则△ABC面积的最大值为4+4.故答案为:4+414.设点(a,b)在平面区域D={(a,b)||a|≤1,|b|≤1}中均匀分布出现,则双曲线的离心率e满足1<e<的概率为.【考点】双曲线的简单性质;几何概型.【分析】根据双曲线的离心率e满足1<e<,可得.利用平面区域D={(a,b)||a|≤1,|b|≤1}的面积为4,,a>b>0围成区域的面积为,即可求得结论.【解答】解:∵双曲线的离心率e满足1<e<∴∵平面区域D={(a,b)||a|≤1,|b|≤1}的面积为4,,a>b>0围成区域的面积为∴双曲线的离心率e满足1<e<的概率为故答案为:二、解答题:本大题共6小题,共90分.15.已知向量=(4,5cosα),=(3,﹣4tanα),α∈(0,),⊥,求:(1)|+|;(2)cos(α+)的值.【考点】三角函数的化简求值;向量的模;平面向量数量积的运算.【分析】由两向量的坐标,以及两向量垂直时数量积为0,列出关系式,利用同角三角函数间的基本关系化简后,求出sin α的值,由α的范围,再利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值,(1)由两向量的坐标求出+的坐标表示,把cos α和tan α的值代入即可求出|+|的值; (2)把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后,将sin α和cos α的值代入即可求出值.【解答】解:∵,∴12﹣20cos αtan α=12﹣20sin α=0,∴sin α=,又α∈(0,),∴cos α==,tan α=,(1)∵,∴+=(7,1),则===5;(2)∵sin α=,cos α=,则cos (α+)=cos αcos﹣sin αsin=(﹣)=.16.如图,在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,AB=AC=5,BB 1=BC=6,D ,E 分别是AA 1和B 1C 的中点(1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求三棱锥E ﹣BCD 的体积.【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】(1)取BC 中点G ,连接AG ,EG ,通过证明四边形EGAD 是平行四边形,推出ED ∥AG ,然后证明DE ∥平面ABC .(2)证明AD ∥平面BCE ,利用V E ﹣BCD =V D ﹣BCE =V A ﹣BCE =V E ﹣ABC ,然后求解几何体的体积.【解答】解:(1)证明:取BC 中点G ,连接AG ,EG , 因为E 是B 1C 的中点,所以EG ∥BB 1,且.由直棱柱知,AA 1∥BB 1,AA 1=BB 1,而D 是AA 1的中点,所以EG ∥AD ,EG=AD所以四边形EGAD 是平行四边形,所以ED ∥AG ,又DE ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC所以DE ∥平面ABC .(2)解:因为AD ∥BB 1,所以AD ∥平面BCE ,所以V E ﹣BCD =V D ﹣BCE =V A ﹣BCE =V E ﹣ABC ,由(1)知,DE ∥平面ABC ,所以.17.现有一张长为80cm ,宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD 的一个角剪下一块铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x (cm ),高为y (cm ),体积为V (cm 3)(1)求出x 与y 的关系式;(2)求该铁皮盒体积V 的最大值.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数模型的选择与应用.【分析】(1)根据一张长为80cm ,宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ,可得x 2+4xy=4800,进而可确定x 与y 的关系式;(2)铁皮盒体积,求导函数,确定函数的极值,极大值,也是最大值.【解答】解:(1)由题意得x 2+4xy=4800,即,0<x<60.(2)铁皮盒体积,,令V′(x)=0,得x=40,因为x∈(0,40),V′(x)>0,V(x)是增函数;x∈(40,60),V'(x)<0,V(x)是减函数,所以,在x=40时取得极大值,也是最大值,其值为32000cm3.答:该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3.18.平面直角坐标系xoy中,直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程;(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【考点】直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质.【分析】(1)求出O点到直线x﹣y+1=0的距离,进而可求圆O的半径,即可得到圆O的方程;(2)设直线l的方程,利用直线l与圆O相切,及基本不等式,可求DE长最小时,直线l 的方程;(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,﹣y1),,,求出直线MP、NP分别与x轴的交点,进而可求mn的值.【解答】解:(1)因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为,所以圆O的半径为,故圆O的方程为x2+y2=2.(2)设直线l的方程为,即bx+ay﹣ab=0,由直线l与圆O相切,得,即,,当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y﹣2=0.(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,﹣y1),,,直线MP与x轴交点,,直线NP与x轴交点,,===2,故mn为定值2.19.已知函数f(x)=(ax2+x)e x,其中e是自然数的底数,a∈R.(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)若f(x)在[﹣1,1]上是单调增函数,求a的取值范围;(3)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.【考点】利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.【分析】(1)根据e x>0,a<0,不等式可化为,由此可求不等式f(x)>0的解集;(2)求导函数,再分类讨论:①当a=0时,f′(x)=(x+1)e x,f′(x)≥0在[﹣1,1]上恒成立;②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为△=(2a+1)2﹣4a=4a2+1>0,f(x)有极大值又有极小值.若a>0,可得f(x)在[﹣1,1]上不单调;若a<0,要使f(x)在[﹣1,1]上单调,因为g(0)=1>0,必须满足,从而可确定a的取值范围;(3)当a=0时,原方程等价于,构建函数,求导函数,可确定h(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,从而可确定方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[﹣3,﹣2]上,故可得k的值.【解答】解:(1)因为e x>0,所以不等式f(x)>0,即为ax2+x>0,又因为a<0,所以不等式可化为,所以不等式f(x)>0的解集为.(2)f′(x)=(2ax+1)e x+(ax2+x)e x=[ax2+(2a+1)x+1]e x,①当a=0时,f′(x)=(x+1)e x,f′(x)≥0在[﹣1,1]上恒成立,当且仅当x=﹣1时取等号,故a=0符合要求;②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为△=(2a+1)2﹣4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,因此f(x)有极大值又有极小值.若a>0,因为g(﹣1)•g(0)=﹣a<0,所以f(x)在(﹣1,1)内有极值点,故f(x)在[﹣1,1]上不单调.若a<0,可知x1>0>x2,因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[﹣1,1]上单调,因为g(0)=1>0,必须满足,即,所以.综上可知,a的取值范围是.(3)当a=0时,方程即为xe x=x+2,由于e x>0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于,令,因为对于x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)恒成立,所以h(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,又h(1)=e﹣3<0,h(2)=e2﹣2>0,,h(﹣2)=e﹣2>0,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[﹣3,﹣2]上,所以整数k的所有值为{﹣3,1}.20.设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=pS n+q(p,q为常数,n∈N*),如果:a1=2,a2=1,+1a3=q﹣3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)是否存在正整数m,n,使<成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.【考点】数列与不等式的综合;等比数列的通项公式.=pS n+q,n取1,2,可得方程组,即可求p,q的值;【分析】(1)利用S n+1(2)利用和式,再写一式,两式相减,利用等比数列的通项公式,即可求数列{a n}的通项公式;(3)先求和,再化简不等式,确定m的取值,即可求得所有符合条件的有序实数对(m,n).【解答】解:(1)由题意,知,解之得…=S n+2,①(2)由(1)知,S n+1+2,②当n≥2时,S n=S n﹣1=a n(n≥2),…①﹣②得,a n+1又a 2=a 1,所以数列{a n }是首项为2,公比为的等比数列,所以a n =.…(3)由(2)得, =,由,得,即,…即,因为2m +1>0,所以2n (4﹣m )>2,所以m <4,且2<2n (4﹣m )<2m +1+4,①因为m ∈N *,所以m=1或2或3.…当m=1时,由①得,2<2n ×3<8,所以n=1;当m=2时,由①得,2<2n ×2<12,所以n=1或2;当m=3时,由①得,2<2n <20,所以n=2或3或4,综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m ,n )为:(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).…2016年12月7日。
开始 k ←0 S ←0S <20k ←k +2 S ←S +2kYN 输出S 结束第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式:锥体体积公式:13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式:S rl π=,其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知(,]A m =-∞,(1,2]B =,若B A ⊆,则实数m 的取值范围为 ▲ .2.设复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 3.设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1,则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ .4.一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同), 现从中随机摸出2个球,则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ .5.“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”).6.运行如图所示的算法流程图,则输出S 的值为 ▲ . 7.若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛 物线24y x =交于,,O P Q 三点,且直线PQ 经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为 ▲ .8.函数()ln(13)f x x =-的定义域为 ▲ .9.若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍,则该圆锥的体积为 ▲ .10.已知函数()3sin()cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ+-+><<为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π,则(8f π-的值为 ▲ .11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*2()n n S a n n N =+∈,则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .A12.如图,在18AB B ∆中,已知183B AB π∠=,16AB =,84AB =,点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点,则当9(18)i j i +=≤≤时,i j AB AB ⋅的最大值 为 ▲ .13.定义:点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=0022a b+.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,直线m 过点(3,0)P ,若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ,使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0,则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ .14.设ABC ∆的面积为2,若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,则22223a b c ++的最小值 为 ▲ .二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A BC D -中,已知底面ABCD 是菱形,,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点. (1)求证:AC ∥平面DMN ;(2)求证:平面DMN ⊥平面11BB D D .16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,AD 为边BC 上的中线. (1)若4a =,2b =,1AD =,求边c 的长; (2)若2AB AD c ⋅=,求角B 的大小.A B CD D 1A 1B 1C 1M N第15题图17.(本小题满分14分)如图,是一个扇形花园,已知该扇形的半径长为400米,2AOB π∠=,且半径OC 平分AOB ∠.现拟在OC 上选取一点P ,修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏,设PAO α∠=.(1)将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α,并写出此函数的定义域; (2)试确定α的值,使得()l α最小.18.(本小题满分16分)如图,已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点(2,3)P -是椭圆C 上一点,且1PF x ⊥轴.(1)求椭圆C 的方程;(2)设圆222:()(0)M x m y r r -+=>.①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ,若2MA MB MP MF +=+,且2AB =,求r 的值;②设2m =-,过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点(异于点P ).试问:是否存在这样的正数r ,使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称?若存在,求出r 的值;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切,则称函数()f x 为“恒切函数”.设函数()xg x ae x pa =--,,a p R ∈.(1)讨论函数()g x 的单调性; (2)已知函数()g x 为“恒切函数”.①求实数p 的取值范围;②当p 取最大值时,若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”,求证:3016m ≤<. AO BCPα第17题图O P F 1 F 2 yx 第18题图(参考数据:320e ≈)20.(本小题满分16分)在数列{}n a 中,已知121,a a λ==,满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列(其中2,n n N ≥∈),且当n 为奇数时,公差为d ;当n 为偶数时,公差为d -. (1)当1λ=,1d =时,求8a 的值;(2)当0d ≠时,求证:数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列;(3)当1λ≠时,记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ,试求数列{}n b 的通项公式.盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题](在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)A .(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知半圆O 的半径为5,AB 为半圆O 的直径,P 是BA 延长线上一点,过点P 作半圆O 的切线PC ,切点为C ,CD AB ⊥于D .若2PC PA =,求CD 的长.B .(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量.C .(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为21222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(单位长度相同),设曲线C 的极坐标方程为2ρ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.D .(选修4-5:不等式选讲)已知正数,,x y z 满足232x y z ++=,求222x y z ++的最小值.[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分10分)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12. (1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ,求X 的概率分布和数学期望. A BCDO· 第21(A )图23.(本小题满分10分)(1)已知*0,0()i i a b i N >>∈,比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小,试将其推广至一般性结论并证明; (2)求证:3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈.盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.2m ≥ 2.1- 3.4 4.565.充分不必要 6.21 758.(2,3] 9.23102 11.12n - 12.1327 13.3(,]4-∞- 14.二、解答题:本大题共90小题.15.(1)证明:连接11AC ,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,因为11//AA BB ,11//BB CC , 所以11//AA CC ,所以11A ACC 为平行四边形,所以11//AC AC . ……2分 又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点,所以11//MN AC ,所以//AC MN . ……4分 又AC ⊄平面DMN ,MN ⊂平面DMN ,所以AC ∥平面DMN . ……6分 (2)证明:因为四棱柱1111ABCD A BC D -是直四棱柱, 所以1DD ⊥平面1111A B C D ,而MN ⊂平面1111A B C D , 所以1MN DD ⊥. ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形,所以底面1111A B C D 也是菱形, 所以1111AC B D ⊥,而11//MN AC ,所以11MN B D ⊥.……10分 又1MN DD ⊥,111,DD B D ⊂平面1111A B C D ,且1111DD B D D =,所以MN ⊥平面1111A B C D . ……12分 而MN ⊂平面DMN ,所以平面DMN ⊥平面11BB D D . ……14分 16.解:(1)在ADC ∆中,因为11,2,22AD AC DC BC ====,所以由余弦定理, 得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯. ……3分 故在ABC ∆中,由余弦定理,得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,所以6c = ……6分(2)因为AD 为边BC 上的中线,所以1()2AD AB AC =+,所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+,得cos c b A =. ……10分 则2222b c a c b bc+-=⋅,得222b c a =+,所以90B =︒. ……14分17.解:(1)在APO ∆中,由正弦定理,得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠,即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+,从而2002sin()4AP α=+,400sin sin()4OP απα=+. ……4分 所以()l α=400sin 200222sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++, ABCDDABCM N故所求函数为2sin )()sin()4l ααπα=+,3(0,)8πα∈. ……6分 (2)记2sin 22sin 3()(0,)8sin()4f ααπααα++==∈+, 因为22(sin cos )(22)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+-+-'=+2)24(sin cos )πααα-+=+, ……10分 由()0f α'=,得1sin()42πα-=-,又3(0,)8πα∈,所以12πα=. ……12分 列表如下:α(0,)12π12π 3(,)128ππ()f α' - 0 + ()f α递减极小递增所以,当12πα=时,()l α取得最小值.答:当12πα=时,()l α最小. ……14分18.解:(1)因点(2,3)P -是椭圆C 上一点,且1PF x ⊥轴,所以椭圆的半焦距2c =, 由22221c y a b+=,得2b y a =±,所以2243b a a a -==, ……2分 化简得2340a a --=,解得4a =,所以212b =,所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. ……4分 (2)①因2MA MB MP MF +=+,所以2MA MP MF MB -=-,即2PA BF =,所以线段2PF 与线段AB 的中点重合(记为点Q ),由(1)知3(0,)2Q , ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ,所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-,所以303021m --⋅=-,解得98m =-, ……8分 所以229315(0)(0)828MQ =--+-=,故221517()188r =+=. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称,设00(,)G x y ,则00(,)H x y --,不妨设00x <,因(2,3)P -,2m =-,所以两条切线的斜率均存在,设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ,则切线方程为3(2)y k x -=+,即230kx y k -++=,由该直线与圆M 相切,得21r k =+,即229r k r -=±,……12分 所以两条切线的斜率互为相反数,即PG PH k k =-,所以00003322y y x x ---=-+-+,化简得006x y =-,即006y x -=,代入220011612x y +=, 化简得420016480x x -+=,解得02x =-(舍),023x =-03y = ……14分 所以(23,3)G -,(23,3)H -,所以333223PG k -==-+, 所以26731()2r ==+ 故存在满足条件的r ,且67r =……16分 19.解:(1)()1x g x ae '=-, ……2分当0a ≤时,()0g x '<恒成立,函数()g x 在R 上单调递减;当0a >时,由()0g x '=得ln x a =-,由()0g x '>得ln x a >-,由()0g x '<得ln x a <-, 得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递,在(ln ,)a -+∞上单调递增. ……4分 (2)①若函数()f x 为“恒切函数”,则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切,设切点为00(,)x y ,则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+,即0()0f x '=,0()0f x =. 因为函数()g x 为“恒切函数”,所以存在0x ,使得0()0g x '=,0()0g x =,即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩, 得00x a e -=>,00(1)x p e x =-,设()(1)x m x e x =-, ……6分则()xm x xe '=-,()0m x '<,得0x >,()0m x '>,得0x <,故()m x 在(,0)-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减,从而[]max ()(0)1m x m ==, 故实数p 的取值范围为(,1]-∞. ……8分②当p 取最大值时,1p =,00x =,01x a e-==,()(1)x x h x e x e m =---,()(22)x x h x e x e '=--,因为函数()h x 也为“恒切函数”, 故存在0x ,使得0()0h x '=,0()0h x =,由0()0h x '=得000(22)0x x e x e --=,00220x e x --=,设()22xn x e x =--, ……10分 则()21xn x e '=-,()0n x '>得ln 2x >-,()0n x '<得ln 2x <-,故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上,(0)0n =,故00x =,由0()0h x =,得0m =;…12分 2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上,2(2)20n e--=>,31223111()22(20)022225n e ---=-≈⨯-=<,又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断,故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ,使得00220xe x --=,故0022x x e +=,此时由0()0h x =,得00000022(1)(1)22x xx x m e x e x ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++,函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增,(2)0r -=,33()216r -=,故3016m <<.综上1°2°所述,3016m ≤<. ……16分20.解:(1)由1λ=,1d =,所以21a =,234,,a a a 为等差数列且公差为1-,所以4221a a =-=-,又458,,a a a 为等差数列且公差为1,所以8443a a =+=. ……2分 (2)当21n k =+时,22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ,所以2122222k k k a a d +=+,同理可得22121222k k k a a d --=-, ……4分 两式相加,得212121222k k k a a d +---=;当2n k =时,同理可得2222222k k k a a d +-=-, ……6分 所以222||2n n na a d +-=.又因为0d ≠,所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-, 所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列. ……8分(3)因为2a λ=,所以4222a a d d λ=-=-,由(2)知212121222k k k a a d +--=+,所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++, 依次下推,得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++,所以21222(21)3k ka d λ+=+-, ……10分 当212222k k n ++≤≤时,212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--, 由2m a a =,得232233k m +=-,所以23212233k k b ++=-, 所以22233n n b +=-(n 为奇数); ……12分 由(2)知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--,依次下推,得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----,所以22224(21)23k k a d d λ+-=--, ……14分 当222322k k n ++≤≤时,222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--, 由2m a a =,得242233k m +=+,所以24222233k k b ++=+. 所以22233n n b +=+(n 为偶数). 综上所述,2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数)为奇数). ……16分方法二:由题意知,23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅, ……10分当n 为奇数时,1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -,1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ,所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---,11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-,则由12n n b b a a a +==,得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-,即212n n n b b +++=. 同理,当n 为偶数时,也有212n n n b b +++=.故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈. ……12分①当n 为奇数时,由3212n n n b b ++++=,212n n n b b +++=,相减,得222n n n b b ++-=,所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--.……14分②当n 为偶数时,同理可得22233n n b +=+. 综上所述,2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数)为奇数). ……16分附加题答案21.(A )解:连,AC BC ,因PC 为半圆O 的切线,所以PCA B ∠=∠.又P P ∠=∠, 所以PCA ∆∽PBC ∆,所以12PA AC PC BC ==, 即2AC BC =. ……5分 因AB 为半圆O 的直径,所以22225AB AC BC AC =+=,因半圆O 的半径为5,所以21005AC =,所以25,45AC BC ==由射影定理,得2AC AD AB =⋅,解得2AD =,所以224CD AC AD =-=. ……10分(B )解:由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,解得11a b =-⎧⎨=⎩,所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . ……2分 矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---,由()0f λ=,得2,1λλ==,所以矩阵M 的另一个特征值为2. ……6分 此时0 1()0 1f λ=,对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩,所以0y =, 所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……10分(C )解:直线的普通方程为10x y +-=;由2ρ=,得曲线C 的普通方程为224x y +=, ………………………5分所以1222d -==l 被曲线C 截得的弦长为22222()142-= ……10分 (D )解:根据柯西不等式,有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++,因232x y z ++=,所以222222421237x y z ++≥=++, ……5分 当且仅当123x y z ==时等号成立,解得123,,777x y z ===,即当123,,777x y z ===时,222x y z ++取最小值27. ……10分A BCDO·22.解:(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=. ……4分(2)因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=,所以311(0)(1)28P X ==-=,1123113(1)()(1)228P X C ==-=,2213113(2)()(1)228P X C ==-=,311(3)()28P X ===.故X 的概率分布表为:X0 1 2 3 P18 38 38 18…………8分所以,X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……10分23.解:(1)22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++,因为0i a >,0i b >,所以222112120,0a b a b a a >>,则22222112211212121222a b a b a b a b b b a a a a +≥⨯=, 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+,即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+.所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++,当且仅当22211212a b a b a a =,即2112a b a b =时等号成立. ……2分 推广:已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤),则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++. ……………………………4分证明:①当1n =时命题显然成立;当2n =时,由上述过程可知命题成立; ②假设(2)n k k =≥时命题成立, 即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时,有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立, 则1n k =+时,222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++, 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++,可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++, 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++, 故1n k =+时命题也成立.综合①②,由数学归纳法原理可知,命题对一切n N ∈*恒成立. ……6分 (注:推广命题中未包含1n =的不扣分)(2)证明:由(1)中所得的推广命题知01213521nn n n nn C C C C +++++ 2222012135(21)35(21)nn n nn n C C C n C +=+++++[]212135(21)35(21)nn nn nn C C C n C +++++≥+++++ ①, …8分记01235(21)nn n n n nS C C C n C =+++++, 则1(21)(21)n n n n n nS n C n C C -=++-++, 两式相加,得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n nS n C n C n C n C =++++++++, 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯,故(1)2n n S n =+⨯ ②,又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③,将②③代入①,得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++, 所以,301213521(1)2n nn n nn n n C C C C ++++++≥,证毕. ……10分。
2017-2018学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三(上)摸底数学试卷(文科)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={1,2,3},B={0,2,3},则A∩B=.2.若(x+i)2是实数(i是虚数单位),则实数x的值为.3.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人,并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图所示),则月收入在[2000,3500)范围内的人数为.4.根据如图所示的伪代码,可知输出S的值为.5.已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:x﹣2y﹣1=0,l2:ax+by﹣1=0,则直线l1⊥l2的概率为.6.若变量x,y满足约束条件则w=log3(2x+y)的最大值为.7.已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合,则p的值为.8.在等比数列{a n}中,若a1+a2=,a3+a4=1,则a7+a8+a9+a10=.9.在△ABC中,已知BC=1,B=,△ABC的面积为,则AC的长为.10.已知p:x2﹣4x﹣5>0,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的最大值为.11.函数f(x)=acos(ax+θ)(a>0)图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是.12.已知椭圆的方程为,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则椭圆的离心率等于.13.已知△ABC中,∠B=45°,AC=4,则△ABC面积的最大值为.14.设点(a,b)在平面区域D={(a,b)||a|≤1,|b|≤1}中均匀分布出现,则双曲线的离心率e满足1<e<的概率为.二、解答题:本大题共6小题,共90分.15.已知向量=(4,5cosα),=(3,﹣4tanα),α∈(0,),⊥,求:(1)|+|;(2)cos(α+)的值.16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C 的中点(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求三棱锥E﹣BCD的体积.17.现有一张长为80cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x (cm),高为y(cm),体积为V(cm3)(1)求出x与y的关系式;(2)求该铁皮盒体积V的最大值.18.平面直角坐标系xoy中,直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程;(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.19.已知函数f(x)=(ax2+x)e x,其中e是自然数的底数,a∈R.(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)若f(x)在[﹣1,1]上是单调增函数,求a的取值范围;(3)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.20.设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=pS n+q(p,q为常数,n∈N*),如果:a1=2,a2=1,+1a3=q﹣3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)是否存在正整数m,n,使<成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.2016-2017学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三(上)摸底数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={1,2,3},B={0,2,3},则A∩B={2,3} .【考点】交集及其运算.【分析】直接运用交集的定义求解即可.【解答】解:∵A={1,2,3},B={0,2,3},又∵A∩B={x|x∈A且x∈B},∴A∩B={2,3},故答案为:{2,3}.2.若(x+i)2是实数(i是虚数单位),则实数x的值为0.【考点】复数的基本概念.【分析】由(x+i)2=x2+2xi+i2=x2﹣1+2xi∈R可得虚部为0可求x【解答】解:∵(x+i)2=x2+2xi+i2=x2﹣1+2xi∈R∴2x=0即x=0故答案为:03.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人,并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图所示),则月收入在[2000,3500)范围内的人数为700.【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图.【分析】先有频率分布直方图求出在[2000,3500)收入段的频率,用此频率乘以样本容量计算出应抽人数.【解答】解:由图[2000,3500)收入段的频率是(0.0005+0.0005+0.0004)×500=0.7;则在[2000,3500)收入段应抽出人数为0.7×1000=700.故答案为:700.4.根据如图所示的伪代码,可知输出S的值为21.【考点】伪代码.【分析】第一次循环,i=3,S=2×3+3=9;第二次循环,i=5,S=2×5+3=13;第三次循环,i=7,S=2×7+3=17;第四次循环,i=9,S=2×9+3=21,退出循环,故可得结论.【解答】解:由题意,第一次循环,i=3,S=2×3+3=9;第二次循环,i=5,S=2×5+3=13;第三次循环,i=7,S=2×7+3=17;第四次循环,i=9,S=2×9+3=21,退出循环故答案为:215.已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:x﹣2y﹣1=0,l2:ax+by﹣1=0,则直线l1⊥l2的概率为.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;等可能事件的概率.【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件数是36,满足条件的事件是直线l1⊥l2,得到关于a,b的关系式,写出满足条件的事件数,即可得到结果.【解答】解:设事件A为“直线l1⊥l2”,∵a,b∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1),(1,2)…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(5,6),…,(6,6)共36种,而l1:x﹣2y﹣1=0,l2:ax+by﹣1=0,l1⊥l2⇔1•a﹣2b=0,∴a=2时,b=1;a=4时,b=2;a=6时,b=3;共3种情形.∴P(A)==.∴直线l1⊥l2的概率为:.故答案为:6.若变量x,y满足约束条件则w=log3(2x+y)的最大值为2.【考点】简单线性规划.【分析】先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数z=2x+y的最大值.【解答】解:由约束条件得如图所示的三角形区域,三个顶点坐标为A(3,3),(1,1),(1,6)将三个代入得z的值分别为3,1,log38,直线z=2x+y过点A(3,3)时,z取得最大值为9;w=log3(2x+y)的最大值为2故答案为:2.7.已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合,则p的值为2.【考点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】求出抛物线的准线方程,双曲线的左准线方程,建立关系,即可求出p的值.【解答】解:抛物线y2=2px的准线为:x=,双曲线x2﹣y2=2的左准线为:x==﹣,由题意可知,p=2.故答案为:2.8.在等比数列{a n}中,若a1+a2=,a3+a4=1,则a7+a8+a9+a10=12.【考点】等比数列的通项公式.【分析】由于等比数列{a n}中,从第一项开始,每相邻两项的和也构成等比数列,根据,可得a7+a8 =2,a9+a10 =4,从而求得结果.【解答】解:等比数列{a n}中,由于从第一项开始,每相邻两项的和也构成等比数列,又已知,∴a5+a6=2,a7+a8 =4,a9+a10 =8,∴a7+a8+a9+a10=4+8=12,故答案为12.9.在△ABC中,已知BC=1,B=,△ABC的面积为,则AC的长为.【考点】正弦定理.【分析】有三角形的面积公式先求|AB|,再由余弦定理求AC的长.===,【解答】解:因为S△ABC∴|AB|=4,由余弦定理得:|AC|===.故答案为:.10.已知p:x2﹣4x﹣5>0,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的最大值为2.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】求出p中x的范围,利用p是q的充分不必要条件,列出不等式组,求出m的范围,得到最大值.【解答】解:由p:x2﹣4x﹣5>0,解得x<﹣1或x>5,q:x2﹣2x+1﹣m2>0(m>0),解得x>m+1或x<1﹣m,p是q的充分不必要条件,所以,解得m≤2,所以m的最大值为:2.故答案为:2.11.函数f(x)=acos(ax+θ)(a>0)图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是2.【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】求出函数的最大值,函数的周期,通过直角三角形,利用基本不等式即可求出同一周期内的最高点与最低点之间距离的最小值.【解答】解:因为函数y=acos(ax+θ)的最大值为:|a|,周期为T=,所以同一周期内的最高点与最低点之间距离为:=≥=(当且仅当a=时等号成立).故答案为:12.已知椭圆的方程为,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则椭圆的离心率等于.【考点】椭圆的简单性质.【分析】先求出FQ 的长,直角三角形FMQ中,由边角关系得tan30°=,建立关于离心率的方程,解方程求出离心率的值.【解答】解:由已知得FQ=,MF=,因为椭圆的方程为,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,所以tan30°=====e所以e=,故答案为:.13.已知△ABC中,∠B=45°,AC=4,则△ABC面积的最大值为4+4.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】利用余弦定理表示出cosB,将B的度数,以及AC,即b的值代入,整理后再利用基本不等式求出ac的最大值,然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将ac 的最大值及sinB的值代入,即可求出三角形ABC面积的最大值.【解答】解:∵∠B=45°,AC=b=4,∴由余弦定理cosB=得:=,∴ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16,即(2﹣)ac≤16(当且仅当a=c时取等号),∴ac≤=8(2+)=16+8,∴△ABC面积S=acsinB≤(16+8)×=4+4,则△ABC面积的最大值为4+4.故答案为:4+414.设点(a,b)在平面区域D={(a,b)||a|≤1,|b|≤1}中均匀分布出现,则双曲线的离心率e满足1<e<的概率为.【考点】双曲线的简单性质;几何概型.【分析】根据双曲线的离心率e满足1<e<,可得.利用平面区域D={(a,b)||a|≤1,|b|≤1}的面积为4,,a>b>0围成区域的面积为,即可求得结论.【解答】解:∵双曲线的离心率e满足1<e<∴∵平面区域D={(a,b)||a|≤1,|b|≤1}的面积为4,,a>b>0围成区域的面积为∴双曲线的离心率e满足1<e<的概率为故答案为:二、解答题:本大题共6小题,共90分.15.已知向量=(4,5cosα),=(3,﹣4tanα),α∈(0,),⊥,求:(1)|+|;(2)cos(α+)的值.【考点】三角函数的化简求值;向量的模;平面向量数量积的运算.【分析】由两向量的坐标,以及两向量垂直时数量积为0,列出关系式,利用同角三角函数间的基本关系化简后,求出sin α的值,由α的范围,再利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值,(1)由两向量的坐标求出+的坐标表示,把cos α和tan α的值代入即可求出|+|的值; (2)把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后,将sin α和cos α的值代入即可求出值.【解答】解:∵,∴12﹣20cos αtan α=12﹣20sin α=0,∴sin α=,又α∈(0,),∴cos α==,tan α=,(1)∵,∴+=(7,1),则===5;(2)∵sin α=,cos α=,则cos (α+)=cos αcos﹣sin αsin=(﹣)=.16.如图,在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,AB=AC=5,BB 1=BC=6,D ,E 分别是AA 1和B 1C 的中点(1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求三棱锥E ﹣BCD 的体积.【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】(1)取BC 中点G ,连接AG ,EG ,通过证明四边形EGAD 是平行四边形,推出ED ∥AG ,然后证明DE ∥平面ABC .(2)证明AD ∥平面BCE ,利用V E ﹣BCD =V D ﹣BCE =V A ﹣BCE =V E ﹣ABC ,然后求解几何体的体积.【解答】解:(1)证明:取BC 中点G ,连接AG ,EG , 因为E 是B 1C 的中点,所以EG ∥BB 1,且.由直棱柱知,AA 1∥BB 1,AA 1=BB 1,而D 是AA 1的中点,所以EG ∥AD ,EG=AD所以四边形EGAD 是平行四边形,所以ED ∥AG ,又DE ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC所以DE ∥平面ABC .(2)解:因为AD ∥BB 1,所以AD ∥平面BCE ,所以V E ﹣BCD =V D ﹣BCE =V A ﹣BCE =V E ﹣ABC ,由(1)知,DE ∥平面ABC ,所以.17.现有一张长为80cm ,宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD 的一个角剪下一块铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x (cm ),高为y (cm ),体积为V (cm 3)(1)求出x 与y 的关系式;(2)求该铁皮盒体积V 的最大值.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数模型的选择与应用.【分析】(1)根据一张长为80cm ,宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ,可得x 2+4xy=4800,进而可确定x 与y 的关系式;(2)铁皮盒体积,求导函数,确定函数的极值,极大值,也是最大值.【解答】解:(1)由题意得x 2+4xy=4800,即,0<x<60.(2)铁皮盒体积,,令V′(x)=0,得x=40,因为x∈(0,40),V′(x)>0,V(x)是增函数;x∈(40,60),V'(x)<0,V(x)是减函数,所以,在x=40时取得极大值,也是最大值,其值为32000cm3.答:该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3.18.平面直角坐标系xoy中,直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程;(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【考点】直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质.【分析】(1)求出O点到直线x﹣y+1=0的距离,进而可求圆O的半径,即可得到圆O的方程;(2)设直线l的方程,利用直线l与圆O相切,及基本不等式,可求DE长最小时,直线l 的方程;(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,﹣y1),,,求出直线MP、NP分别与x轴的交点,进而可求mn的值.【解答】解:(1)因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为,所以圆O的半径为,故圆O的方程为x2+y2=2.(2)设直线l的方程为,即bx+ay﹣ab=0,由直线l与圆O相切,得,即,,当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y﹣2=0.(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,﹣y1),,,直线MP与x轴交点,,直线NP与x轴交点,,===2,故mn为定值2.19.已知函数f(x)=(ax2+x)e x,其中e是自然数的底数,a∈R.(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)若f(x)在[﹣1,1]上是单调增函数,求a的取值范围;(3)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.【考点】利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.【分析】(1)根据e x>0,a<0,不等式可化为,由此可求不等式f(x)>0的解集;(2)求导函数,再分类讨论:①当a=0时,f′(x)=(x+1)e x,f′(x)≥0在[﹣1,1]上恒成立;②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为△=(2a+1)2﹣4a=4a2+1>0,f(x)有极大值又有极小值.若a>0,可得f(x)在[﹣1,1]上不单调;若a<0,要使f(x)在[﹣1,1]上单调,因为g(0)=1>0,必须满足,从而可确定a的取值范围;(3)当a=0时,原方程等价于,构建函数,求导函数,可确定h(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,从而可确定方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[﹣3,﹣2]上,故可得k的值.【解答】解:(1)因为e x>0,所以不等式f(x)>0,即为ax2+x>0,又因为a<0,所以不等式可化为,所以不等式f(x)>0的解集为.(2)f′(x)=(2ax+1)e x+(ax2+x)e x=[ax2+(2a+1)x+1]e x,①当a=0时,f′(x)=(x+1)e x,f′(x)≥0在[﹣1,1]上恒成立,当且仅当x=﹣1时取等号,故a=0符合要求;②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为△=(2a+1)2﹣4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,因此f(x)有极大值又有极小值.若a>0,因为g(﹣1)•g(0)=﹣a<0,所以f(x)在(﹣1,1)内有极值点,故f(x)在[﹣1,1]上不单调.若a<0,可知x1>0>x2,因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[﹣1,1]上单调,因为g(0)=1>0,必须满足,即,所以.综上可知,a的取值范围是.(3)当a=0时,方程即为xe x=x+2,由于e x>0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于,令,因为对于x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)恒成立,所以h(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,又h(1)=e﹣3<0,h(2)=e2﹣2>0,,h(﹣2)=e﹣2>0,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[﹣3,﹣2]上,所以整数k的所有值为{﹣3,1}.20.设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=pS n+q(p,q为常数,n∈N*),如果:a1=2,a2=1,+1a3=q﹣3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)是否存在正整数m,n,使<成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.【考点】数列与不等式的综合;等比数列的通项公式.=pS n+q,n取1,2,可得方程组,即可求p,q的值;【分析】(1)利用S n+1(2)利用和式,再写一式,两式相减,利用等比数列的通项公式,即可求数列{a n}的通项公式;(3)先求和,再化简不等式,确定m的取值,即可求得所有符合条件的有序实数对(m,n).【解答】解:(1)由题意,知,解之得…=S n+2,①(2)由(1)知,S n+1+2,②当n≥2时,S n=S n﹣1=a n(n≥2),…①﹣②得,a n+1又a 2=a 1,所以数列{a n }是首项为2,公比为的等比数列,所以a n =.…(3)由(2)得, =,由,得,即,…即,因为2m +1>0,所以2n (4﹣m )>2,所以m <4,且2<2n (4﹣m )<2m +1+4,①因为m ∈N *,所以m=1或2或3.…当m=1时,由①得,2<2n ×3<8,所以n=1;当m=2时,由①得,2<2n ×2<12,所以n=1或2;当m=3时,由①得,2<2n <20,所以n=2或3或4,综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m ,n )为:(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).…2016年12月7日。
盐城市2018/2018学年度高三年级摸底考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是底面面积,h 是高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合{}1,2,3,4A =--,{}2|,5B x x R x =∈<,则AB = ▲ .2.已知复数34z i =-,则||z = ▲ .3.双曲线1222=-y x 的离心率是 ▲ . 4.在大小相同的4个球中,红球2个,白球2个. 若从中任意 选取2个球,则所选的2个球恰好不同色的概率是 ▲ . 5.在样本容量为120的频率分布直方图中,共有11个小长方形, 若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的13,则正中间一组的频数为 ▲ . 6.执行如图算法框图,若输入20a =,12b =,则输出的值为 ▲ .7.在ABC ∆中,已知10,||4,||5AB AC AB AC ⋅=-==, 则BAC ∠= ▲ .8.在等比数列{}n a 中,已知1232a a a ++=,3458a a a ++=,则456a a a ++= ▲ .9.函数()sin ,[0,]f x x x x π=∈的单调减区间为 ▲ .10.已知命题①:函数22x xy -=-为奇函数;命题②:函数1y x x=-在其定义域上是增函数;命题③:“,a b R ∈, 若0ab =, 则0a =或0b =”的逆命题;命题④:已知,a b R ∈,“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件. 上述命题中,真命题的序号有 ▲ .(请把你认为正确命题的序号都填上)11.已知一个三棱锥的所有棱长均相等,且表面积为34,则其体积为 ▲ .12.过点(1,A作圆222120x y x ++--=的弦,其中长度为整数的弦共有 ▲ 条.13.在等差数列{}n a 中,若0n a >,公差0d >,则有4637a a a a ⋅>⋅. 类比此性质,在等比数列{}n b 中,若0n b >,公比1q >,可得6749,,,b b b b 之间的一个不等关系为▲ .14.已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数,当0x >时,()ln f x x ax =-. 若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点,则实数a 的取值范围是 ▲.第6题二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分14分)在ABC △中,已知角,A B 所对的边分别为,a b ,且25a =,39b =,12cos 13A =-. (Ⅰ)求sinB 的值; (Ⅱ)求cos 24B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且PA PD ⊥,E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ)求证:直线EF ∥平面PAD ;(Ⅱ)求证:直线EF ⊥平面PDC .PA B CD FE 第16题17.(本小题满分14分)经市场调查,某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)销售价格()f t (元)与时间t (天)的函数关系近似满足()100(1)k f t t=+(k 为正常数),日销售量()g t (件)与时间t (天)的函数关系近似满足()125|25|g t t =--,且第25天的销售金额为13000元.(Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)试写出该商品的日销售金额()w t 关于时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式; (Ⅲ)该商品的日销售金额()w t 的最小值是多少?18.(本小题满分16分)如图,已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为8且位于x 轴上方的点. A 到抛物线准线的距离等于10,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M (O 为坐标原点). (Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)过M 作FA MN ⊥,垂足为N ,求点N 的坐标; (Ⅲ)以M 为圆心,4为半径作圆M ,点)0,(m P 是x 轴上的一个动点,试讨论直线AP 与圆M 的位置关系.O AB MNF xy 第18题19.(本小题满分16分)公差0≠d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知221+=a ,23123+=S . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a 及其前n 项和n S ;(Ⅱ)记2-=n n a b ,若自然数,...,...,,21k ηηη满足......121<<<<≤k ηηη,并且,...,...,,21kb b b ηηη成等比数列,其中3,121==ηη,求k η(用k 表示);(Ⅲ)记nS c nn =,试问:在数列}{n c 中是否存在三项t s r c c c ,,),,,(*N t s r t s r ∈<<恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分16分)对于函数(),(0,)y f xx =∈+∞,如果,,a b c 是一个三角形的三边长,那么(),(),()f a f b f c 也是一个三角形的三边长,则称函数()f x 为“保三角形函数”.对于函数(),[0,)y g x x =∈+∞,如果,,a b c 是任意的非负实数,都有(),(),()g a g b g c 是一个三角形的三边长,则称函数()g x 为“恒三角形函数”.(Ⅰ)判断三个函数“2123(),()()3f x x f x f x x ==(定义域均为(0,)x ∈+∞)”中,哪些是“保三角形函数”?请说明理由;(Ⅱ)若函数[)221(),0,1x kx g x x x x ++=∈+∞-+是“恒三角形函数”,试求实数k 的取值范围;(Ⅲ)如果函数()h x 是定义在(0,)+∞上的周期函数,且值域也为(0,)+∞,试证明:()h x 既不是“恒三角形函数”,也不是“保三角形函数”.·盐城市2018/2018学年度高三年级摸底考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.(选修4—1:几何证明选讲)如图,AB 是⊙O 的直径,C 、F 为⊙O 上的点,且CA 平分BAF ∠,过点C 作CD AF ⊥交AF 的延长线于点D .求证:DC 是⊙O 的切线.B .(选修4—2:矩阵与变换)已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=20021M ,矩阵M 对应的变换把曲线x y sin =变为曲线C ,求曲线C 的方程.C .(选修4—4:坐标系与参数方程)已知两个圆的极坐标方程分别是θρcos 6=和θρsin 8=,求这两个圆的圆心距.D.(选修4—5:不等式选讲)设x 是正数,求证:()()()2331118x xx x+++≥.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分10分)已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形,//AB DC ,090DAB ∠=,PA ⊥底面ABCD ,且1,2PA AD DC AB ====,M 是PB 的中点.(Ⅰ)求AC 与PB 所成角的余弦值;(Ⅱ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值的大小.MPABCD 第22题23.(本小题满分10分)一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这3个展览馆,又该游客参观甲、乙、丙这3个展览馆的概率分别是0.4,0.5,0.6,且是否参观哪个展览馆互不影响. 设ξ表示该游客离开上海世博会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值. (Ⅰ)求ξ的概率分布及数学期望;(Ⅱ)记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[)2,+∞上单调递增”为事件A ,求事件A 的概率.盐城市2018/2018学年度高三年级摸底数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1. {}1,2-2.53.23 5.30 6.516 7.120° 8.16± 9.5[,]6ππ(也可以写成5(,)6ππ) 10.①③ 11. 12.8 13. 6749b b b b +<+14.1 (0,)e二、解答题:本大题共6小题,计90分.15.解:(Ⅰ)在ABC△中,25s c o s1313A==…………………………3分由正弦定理,得sin sina bA B=.所以3953sin sin25135bB Aa==⨯=………………7分(Ⅱ)因为c o s0A<,所以角A为钝角,从而角B为锐角,于是4c o s n5B==……9分所以27cos22cos125B B=-=,24sin22sin cos25B B B==…………………11分∴cos2cos cos sin sin444B B Bπππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭50=…………………………14分16.证明:(Ⅰ)连结AC,在CPA∆中,因为E,F分别为PC,AC的中点,所以EF//PA…3分而PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,∴直线EF∥平面PAD……………………………7分(Ⅱ)因为面PAD⊥面ABCD,面PAD面ABCD AD=,CD⊂面ABCD,且CD AD⊥,所以CD⊥平面PAD,CD PA∴⊥………………………………………10分又PA PD⊥,CD PD D=,且CD、PD⊂面PDC,所以PA⊥面PDC…12分而EF∥PA,所以直线EF⊥平面PDC………………………………14分17.解:(Ⅰ)由题意,得(25)(25)13000f g⋅=,即100(1)1251300025k+⋅=,解得1k=…3分(Ⅱ)1()(w t ft=⋅=……………………………………………5分=100100(101)(125,)150(2530,)100(149)tt t Ntt t Ntt⎧++⎪≤<∈⎪⎨≤≤∈⎪+-⎪⎩………………………………7分(Ⅲ)①当125t≤<时,因为10020tt+≥,所以当10t=时,()w t有最小值12100 (10)分②当2530t≤≤时,∵150tt-在[25,30]上递减,∴当30t=时,()w t有最小值12400 …13分∵12100〈12400,∴当10t=时,该商品的日销售金额()w t取得最小值为12100 …14分18.解:(Ⅰ)抛物线的准线为2p x -=,于是1028=+p,4=∴p ,∴抛物线方程为x y 82=…4分(Ⅱ) 点A 的坐标为(8,8),由题意得)8,0(B ,)4,0(M ,又 )0,2(F ,34=∴FA k 6分又FA MN ⊥,43-=∴MN k ,则直线FA 的方程为)2(34-=x y ,直线MN 的方程为443+-=x y ……8分 联立方程组,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==58516y x ,∴点N 的坐标为168(,)55……10分(Ⅲ)由题意得,圆M 的圆心坐标为)4,0(,半径为4.当8=m 时,直线AP 的方程为8=x ,此时,直线AP 与圆M 相离 …………12分当8≠m 时,直线AP 的方程为)(88m x my --=,即为08)8(8=---m y m x ,所以圆心)4,0(M 到直线AP 的距离2)8(64|432|-++=m m d ,令4>d ,解得2>m ;令4d =,解得2m =;令4d <,解得2m <…………………………………………………………………………… 14分综上所述,当2>m 时,直线AP 与圆M 相离;当2=m 时,直线AP 与圆M 相切;当2<m 时,直线AP 与圆M 相交………………………………………………………………16分(说明:“当8=m 时”这种情形没有列出的,扣2分)19.解:(Ⅰ) 221+=a ,23123313+=+=d a S ,2=∴d …………… 2分所以22+=n a n ,n n S n )12(2++=………………………………………………………5分(Ⅱ)由题意,n b n 2=,首项21=b ,又数列,...,...,,21kb b b ηηη的公比313==b b q …7分 132-⋅=∴k k b η,又k k b ηη2=,13-=∴k k η…………………………………10分(Ⅲ)易知12++=n c n ,假设存在三项t s r c c c ,,成等比数列,则t r s c c c ⋅=2,即)]12()][12([)]12([2++++=++t r s ,整理得s s t r rt t r s 22)2(2--++=--…12分①当02≠--t r s 时,t r s s s t r rt ----++=2222,*,,N t s r ∈ ,tr s s s t r rt ----++∴222是14分②当02=--t r s 时,则022=--++s s t r rt ,从而220s rts r t ⎧=⎨--=⎩,解得r t =,这与t r <矛盾.综上所述,不存在满足题意的三项t s r c c c ,, ………………………………16分20.解:(Ⅰ)对于1()f x x =,它在(0,)+∞上是增函数,不妨设a b c ≤≤,则111()()()f a f b f c ≤≤,因为a b c +>,所以111()()()f a f b a b c f c +=+>=,故1()f x 是“保三角形函数”……2分对于2()f x =,它在(0,)+∞上是增函数,不妨设a b c ≤≤,则222()()()f a f b f c ≤≤,因为a b +>,所以22()()f a f b +==>> 2()f c =,故2()f x 是“保三角形函数”………………………………………………………4分对于23()3f x x =,取3,3,5a b c ===,显然,,a b c 是一个三角形的三边长,但因为222333()()3(33)35()f a f b f c +=⨯+<⨯=,所以(),(),()f a f b f c 不是三角形的三边长,故3()f x 不是“保三角形函数”…………………………………………6分(Ⅱ)法一:∵2(1)()11k xg x x x +=+-+,∴当0x =时,()1g x =;当0x >时,1()111k g x x x+=++-. ① 当1k =-时,因为()1g x =,适合题意…………………………8分②当1k >-时,因为1()11211k g x k x x +=+≤+=++-,所以(]()1,2g x k ∈+, 从而当1k >-时,()[1,2]g x k ∈+,由112k +>+,得0k <,所以10k -<<………9分③ 当1k <-时,因为1()11211k g x k x x +=+≥+=++-,所以[)()2,1g x k ∈+,从而当1k <-时,()[2,1]g x k ∈+,由20(2)(2)1k k k +>⎧⎨+++>⎩,得32k >-,所以312k -<<-, 综上所述,所求k 的取值范围是302k -<<……………………………11分法二:∵2222(2)(1)(1)(21)()(1)x k x x x kx x g x x x +-+-++-'=-+=22(1)(1)(1)(1)k x x x x ++---+, ① 当1k =-时,因为()1g x =,适合题意; ②当1k >-时,可知()g x 在[)0,1上递增,在(1,)+∞上递减,而(0)1g =,(1)2g k =+,且当1x >时, ()1g x >,所以此时()[1,2]g x k ∈+; ③当1k <-时,可知()g x 在[)0,1上递减,在(1,)+∞上递增,而(0)1g =,(1)2g k =+,且当1x >时, ()1g x <,所以此时()[2,1]g x k ∈+.(以下同法一. 按此方法求解的,类似给分.)(Ⅲ)①因为()h x 的值域为(0,)+∞,∴存在正实数,,a b c ,使得()1,()1,(h a h b h c ===,显然这样的(),(),()h a h b h c 不是一个三角形的三边长,故()h x 不是“恒三角形函数”……13分②因为()h x 是值域为(0,)+∞的周期函数,所以存在0n m >>,使得()1,()2h m h n ==, 设()h x 的最小正周期为(0)T T >,令,a b m kT c n ==+=,其中*k N ∈,且22n m k T->,则a b c +>,又显然,b c a c a b +>+>,所以,,a b c 是一个三角形的三边长,但因为()()()1,()()2h a h b h m h c h n =====,所以(),(),()h a h b h c 不是一个三角形的三边长,故()h x 也不是“保三角形函数”………………………………………16分(说明:也可以先证()h x 不是“保三角形函数”,然后据此知()h x 也不是“恒三角形函数”)数学附加题部分21.A.解:证明:连结OC ,所以∠OAC =∠OCA . 又因为CA 平分∠BAF ,所以∠OAC =∠FAC ,于是∠FAC =∠OCA ,所以OC //AD ……………………………………………………………6分又因为CD ⊥AF ,所以CD ⊥OC ,故DC 是⊙O 的切线…………………………………… 10分B. 解:设),(y x P 是所求曲线C 上的任意一点,它是曲线x y sin =上点),(000y x P 在矩阵M 变换下的对应点,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0020021y x y x ,即⎪⎩⎪⎨⎧==00221y y x x ,因此⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 21200………………5分 又点),(000y x P 在曲线x y s i n =上,故00s i n x y =,从而x y 2s i n 21=,即2sin 2y x =,所以曲线C 的方程为x y 2sin 2=…………………………………………10分 C. 解:因为θρcos 6=表示以点(3,0)为圆心,3为半径的圆…………3分θρsin 8=表示以点)2,4(π为圆心,4为半径的圆………………………………6分所以这个两个圆的圆心距为5 ……………………………………………10分D. 证明:∵0x >,∴10x +≥>, 2120x x +≥>,3120x +≥> 5分 三个同向正值不等式相乘得()()()2331118x x x x +++≥…………………………………10分22.解:以A 为坐标原点,AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则各点坐标为A (0,0,0),B (0,2,0),C (1,1,0),D (1,0,0),P (0,0,1),M (0,1,12)……2分(Ⅰ)因AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1),故|ACPBAC PB⋅=2,所以10 cos,||||AC PBAC PBAC PB⋅<>==⋅,即AC与PB所成的角的余弦值为…6分(Ⅱ)由AM=(0,1, 12),MC=(1,0, 12-),BC=(1,-1,0),设平面AMC与面BMC的法向量分别为1n =(x,y,z),2n =(p,q,v),则1n·AM=1n·MC=0,解得1n=(1,-1,2),同理2n=(1,1,2),12122cos3||||n nn nθ⋅==⋅………………8分由题意可知,二面角的平面角为钝角,所以面AMC与面BMC二面角的余弦值为23-……10分23.解:(I)分别记“客人参观甲展览馆”,“客人参观乙展览馆”,“客人参观丙展览馆”为事件A1,A2,A3. 由已知A1,A2,A3相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6.客人参观的展览馆数的可能取值为0,1,2,3. 相应地,客人没有参观的展览馆数的可能取值为3,2,1,0,所以ξ的可能取值为1,3.P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)+ P(321AAA⋅⋅)= P(A1)P(A2)P(A3)+P()()()321APAPA)=2×0.4×0.5×0.6=0.24,P(ξ=1)=1-0.24=0.76,所以ξ的概率分布表为………5分∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48…6分(Ⅱ)因为,491)23()(22ξξ-+-=xxf所以函数2()31f x x xξ=-+在区间3[,)2ξ+∞上单调递增,要使),2[)(+∞在xf上单调递增,当且仅当.34,223≤≤ξξ即从而4()()(1)0.763P A P Pξξ=≤===…………………10分。
高三年级全真模拟考试数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,把答案填写在答题卡...上相应位置上.......1. 已知集合,,则___________.【答案】【解析】分析:根据集合交集运算法则即可得出结论.解析:集合,,.故答案为:.点睛:(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.2. 命题:若,则.其否命题是___________.【答案】若,则.【解析】分析:根据否命题的定义:若原命题为:若p,则q;否命题为:若,则.即可得出答案.解析:根据否命题的定义:若原命题为:若p,则q;否命题为:若,则.原命题为:若,则.否命题为:若,则.故答案为:若,则.点睛:写一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.3. 已知直线过点,且与直线垂直,则直线的方程为___________.【答案】【解析】分析:设与直线垂直的直线方程为,根据直线过点,即可求得直线方程.解析:由题意,设与直线垂直的直线方程为,直线过点,直线的方程为:.故答案为:.点睛:1.直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,(1)若l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).(2)若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0,(m≠C),与直线Ax+By+C =0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.4. 一只口袋内装有大小相同的4只球,其中2只黑球,2只白球,从中一次随机摸出2只球,恰有1只黑球的概率是___________.【答案】【解析】分析:先求出基本事件总数,再求出有1只黑球包含的基本事件个数,由此能求出有1只黑球的概率.解析:一只口袋内装有大小相同的4只球,其中2只黑球,2只白球,从中一次随机摸出2只球,基本事件的总数为,有1只黑球包含的基本事件个数,有1只黑球的概率是.故答案为:.5. 根据如下图所示的伪代码,当输入的值为3时,输出的值为___________.【答案】9【解析】分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加,当不满足条件时退出循环,得到S的值即可.解析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加,当不满足条件时退出循环.此时.故输出的S值为9.故答案为:9.点睛:解决算法语句有三个步骤:首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次领悟该语句的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题.6. 有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验,分组后每组按照相同的间隔抽取产品,若第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为___________.【答案】31【解析】分析:根据系统抽样原理的抽样间隔相等,求出第1组抽取的数据,再求第2组抽取的产品编号.解析:据系统抽样原理,抽样间隔为.设第1组抽取数据为,则第5组抽取的产品编号为,解得.第2组抽取的产品编号为.故答案为:31.点睛:(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.7. 已知的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为___________.【答案】【解析】试题分析:设最小边为,所以另外两边为考点:余弦定理解三角形8. 已知函数若,则实数___________.【答案】或 -1【解析】试题分析:由题意可将,转化为或,解得或考点:函数求值9. 已知圆柱的底面半径为1,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的表面积为___________.【答案】【解析】试题分析:因为圆柱的表面积为,所以圆柱的表面积为考点:圆柱的侧面积10. 在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则___________.【答案】3【解析】试题分析:不等式组所围成的区域如图所示,∵其面积为2,∴,∴C的坐标为,代入,得.考点:1.线性规划;2.基本不等式.11. 如果双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】分析:先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于0,找到a和b的关系,从而推断出a和c的关系,答案即可得到.解析:已知双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得,因渐近线与抛物线相切,,即.故答案为:.点睛:双曲线离心率或离心率范围的两种方法:一种是直接建立e的关系式求e或e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,e表示,令两边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解.12. 在中,,且,为所在平面内的一点,则的最小值是___________.【答案】【解析】分析:以为坐标原点,为轴建立直角坐标系,则,设点的坐标为,可得,从而可得结果.详解:由,且,得,如图,以为坐标原点,为轴建立直角坐标系,则,设点的坐标为,则,即的最小值是,故答案为.点睛:向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单).13. 若函数在处取得极小值,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分析:求出函数的导数,通过讨论m的范围求出函数的单调区间,从而确定m 的具体范围即可.解析:,,.①当时,恒成立,即在R上递增,若时,则.若时,则.故函数在递增,在递减,故在处取得极小值,符合题意;②当时,恒成立,即在R上递减,若时,则.若时,则.故函数在递减,在递增,故在处取得极大值,不符合题意;③当时,使得,即,但当时,即,在递减,故,即在递减,不符合题意.综上所述:m的范围是.故答案为:.点睛:求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程,再判断的根是否是极值点,可通过列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨论.14. 已知数列的首项,.若对,且,不等式恒成立,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分析:,可得,即可得到数列为等比数列,公比为,首项为a,而不等式恒成立化为:,由,不等式化为:,分类讨论即可得出答案.解析:,,数列为等比数列,公比为,首项为a,即,不等式等式恒成立可化为:,即:当n为奇数时,,,即对且恒成立.,解得:.当n为偶数时,,,即对且恒成立.,解得:.综上所述:.故答案为:.点睛:本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力.二、解答题:本大题共6小题,共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图,四棱柱为长方体,点是中点,是的中点.(I)求证: 平面;(l)若,求证:平面平面.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】分析:(1)取中点为,连接,,从而可得四边形,都为平行四边形,所以,从而即可证明;(2)因为四棱柱为长方体,,所以;因为平面,所以,从而可得所以平面,所以即可证明平面平面.解析:(1)取中点为,连接,.由已知点是中点,是的中点可以证得,四边形,都为平行四边形,所以,所以.因为平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为四棱柱为长方体,,所以.因为平面,所以.因为,平面,平面,所以平面,平面,所以平面平面.点睛:面面垂直的证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.16. 在平面直角坐标系中,以轴为始边作角,角的终边经过点.(I)求的值;(Ⅱ)求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析:(1)由于角其终边经过点,故,,再利用两角和与差的正余弦公式即可;(2)直接利用公式即可.解析:(1)由于角其终边经过点,故,..(2) .则,.点睛:三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.17. 在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,分别为其左右焦点,过的直线与椭圆交于两点,直线的斜率为-1.(I)若直线与椭圆的右准线交于点且,求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若,求的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】分析:(1)设,结合的坐标,代入,即可求出答案;(2)设,,,,,为钝角,,再联立直线与椭圆方程,由韦达定理得到,,从而表示出,然后代入式子即可得到答案.解析:(1) ,,所以,椭圆的标准方程为.(2)设,,为钝角联立直线与椭圆方程,其中整理可得:,.代入,解得:舍去).点睛:在解决直线与圆锥曲线相交,所得弦端点的有关的向量问题时,一般需利用相应的知识,将该关系转化为端点坐标满足的数量关系,再将其用横(纵)坐标的方程表示,从而得到参数满足的数量关系,进而求解.18. 某市公园内的人工湖上有一个以点为圆心的圆形喷泉,沿湖有一条小径,在的另一侧建有控制台,和之间均有小径连接(小径均为直路),且,喷泉中心点距离点60米,且连线恰与平行,在小径上有一拍照点,现测得米,米,且.(I)请计算小径的长度;(Ⅱ)现打算改建控制台的位置,其离喷泉尽可能近,在点的位置及大小均不变的前提下,请计算距离的最小值;(Ⅲ)一人从小径一端处向处匀速前进时,喷泉恰好同时开启,喷泉开启分钟后的水幕是一个以为圆心,半径米的圆形区域(含边界),此人的行进速度是米/分钟,在这个人行进的过程中他会被水幕沾染,试求实数的最小值.【答案】(Ⅰ)千米;(Ⅱ);(Ⅲ)4.【解析】分析:(I) 以为坐标原点,所在直线为轴,过且垂直于的直线为轴,建立平面直角坐标系,由题意可知,,则AB所在直线即可表示,即可求出A 点坐标,从而得出答案;(Ⅱ)三点共圆,可求圆的方程为,,则距离最小值为圆心与C之间的距离减去半径;(Ⅲ) 因为在的正西方向,且千米,所以. 假设在时刻人所在的位置为,所以,则可表示,又在时,,欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染,则存在,使得,化简即可得出答案.解析:(I)以为坐标原点,所在直线为轴,过且垂直于的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由千米,,可知,直线的方程为,.所以直线的方程为,令,得,所以,千米;(Ⅱ) 三点共圆,可求圆的方程为,,则距离最小值为 (此时点为直线与点及坐标原点之间劣弧的交点);(Ⅲ)因为在的正西方向,且千米,所以.人从行驶到所需要的时间为(分钟),假设在时刻人所在的位置为,则千米,所以,则.又在时,,欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染,则存在,使得,即成立,所以存在,使得成立,当时,,当且仅当,即时取等号.所以,即实数的最小值为4.点睛:解函数应用题常见的错误:①不会将实际问题抽象转化为函数模型,或转化不全面;②在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件.19. 已知正项数列的前项和为,其中.(I)若,求数列的通项公式;(I)若,求证: 是等差数列.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】分析:(1)根据题意,有,解得,故,再利用与之间的关系式即可求出;(2)根据题意,有,设,通过求解可得,再利用与之间的关系式即可证明.解析:(1)根据题意,有,解得,故,当时有,两式相减得,又恒成立,则,所以数列是等差数列,故,(2)根据题意,有,因为,所以可设,(2)-(1)得 (4),(3)-(2)得 (5)(5)-(4)得,当时故舍,则有,代入(4)式得,代入(1)式得,所以,当时有.两式相减得,整理得.又恒成立,则,所以是等差数列.点睛:已知S n求a n的一般步骤(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换S n中的n得到一个新的关系,利用a n=S n-S n-1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式;(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时a n的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.20. 已知函数,.(I)若,求函数的单调区间;(Ⅱ)若存在极小值点,且,其中,求证: ;(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)答案见解析. 【解析】分析:(1)对进行求导计算即可得到单调区间;(2)若存在极小值点,,则,由可得,化简代入,即可得到证明;(2)设切点坐标是,依题意:,化简得:设,,故函数在上零点个数,即是曲线切线的条数.,接下来对a进行分析讨论即可.解析:(1) ,所以的单调减区间为单调增区间为;(2) ,存在极小值点,则.,则,所以代入所以,则,又,所以;(3) 时,有1条切线;时,有2条切线.设切点坐标是,依题意:即,化简得:设,故函数在上零点个数,即是曲线切线的条数.,①当时,,在上恰有一个零点1;②当时,在上恒成立,在上单调递减,且,故在上有且只有一个零点,当时,在上恰有个零点;③时,在上递减,在上递增,故在至多有两个零点,且又函数在单调递增,且值域是,故对任意实数,必存在,使,此时由于,函数在上必有一零点;先证明当时,,即证若,,而,由于若,构建函数,在为增函数,综上时,,所以,故又,,所以在必有一零点.当时,在上有两个零点综上:时,有1条切线;时,有2条切线.点睛:导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底是研究函数的性质,如单调性、极值等.(2)用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中两题,井在答题卡指..............定区域内作答,.......若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲21. 如图,过点的圆与切于点,且与分别交于点.已知为的平分.求证:【答案】证明见解析【解析】分析:由切线的性质知,再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出.解析:证明:如图,连接.因为圆与切于,所以.因为平分.所以.又,所以.所以.点睛:主要考查的是相似三角形判定及有关性质的应用,切线的性质,比较简单.B.选修4-2:矩阵与变换22. 直角坐标平面内,每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.(I)求矩阵的逆矩阵;(Ⅱ)求曲线先在变换作用下,然后在变换作用下得到的曲线方程.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】分析:(I)求出,,即可求矩阵的逆矩阵;(Ⅱ)求出,可得坐标之间的关系,代入方程整理,即可求曲线的方程.解析:(Ⅰ),,.(Ⅱ),,代入中得:.故所求的曲线方程为: .点睛:本题给出矩阵变换,求曲线在矩阵对应变换作用下得到新的曲线方程,着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识.C.选修4-4:坐标系与参数方程23. 在直角坐标平面内,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).(I)求曲线的直角坐标方程;(I)若点在曲线上,且到直线的距离为1,求满足这样条件的点的个数.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)3个.【解析】分析:(I)利用直角坐标与极坐标间的互化关系,进行代换即可;(Ⅱ)求出圆心坐标到直线l的距离,即可得出结论.解析:(I)由得,故曲线的直角坐标方程为:,即;(Ⅱ)由直线的参数方程消去参数得,即.因为圆心到直线的距离为,恰为圆半径的,所以满足这样条件的点的个数为3个.点睛:求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.使用后一种方法时,应注意若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.D.选修4-5:不等式选讲24. 已知,且.(I)试利用基本不等式求的最小值;(Ⅱ)若实数满足,求证:.【答案】(Ⅰ)3;(Ⅱ)证明见解析.【解析】分析:(I)由条件根据,利用基本不等式求得m 的最小值t;(Ⅱ)由条件利用柯西不等式求得当且仅当时,,从而证得结论. 解析:(I)由三个数的均值不等式得:(当且仅当即时取“=”号),故有.(Ⅱ),由柯西不等式得:(当且仅当即时取“=”号)整理得:,即.点睛:利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法(1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时,常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形,使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件.(2)在应用柯西不等式求最大值时,要注意等号成立的条件,柯西不等式在排列上规律明显,具有简洁、对称的美感,运用柯西不等式求解时,按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题.[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分.请把笞案写在答题纸的指定区域内.25. 如图,已知四棱锥的底面是正方形,面,且,点分别在,,.(I)求证:面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).【解析】分析:(I)建立空间直角坐标系,用向量法解决;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值借助于面的法向量来做,即分别要找出面ABN和面AMN的法向量.解析:(I)建立如图所示的空间直角坐标系.又,,,,.,.,.设,求得.,.又且,面.(Ⅱ)设平面的法向量为,,二面角的余弦值为.点睛:运用空间向量解决立体几何问题的步骤(1)建系:根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系;(2)定坐标:确定点的坐标进而求出有关向量的坐标;(3)向量运算:进行相关的空间向量的运算;(4)翻译:将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言,完成几何问题的求解.26. 袋中共有8个乒乓球,其中有5个白球,3个红球,这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出红球,则把它放回袋中;如果取出白球,则该白球不再放回,并且另补一个红球放入袋中,重复上述过程次后,袋中红球的个数记为.(I)求随机变量的概率分布及数学期望;(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式.【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ).【解析】分析:(1)由题意得到的所有取值,然后利用古典概型概率计算公式求出概率,则可得出答案;(2)设,,则则,,再把、……、用表示,得到,从而说明为等比数列,由等比数列的通项公式得答案.解析:(1)由题意可知.当时,即二次摸球均摸到红球,其概率是;当时,即二次摸球恰好摸到一红,一白球,其概率;当时,即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.所以随机变量的概率分布如下表:(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望.(Ⅱ)设,.则,.,,,,,.所以,..由此可知,.又,所以.点睛:求随机变量及其分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义.(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率;(3)按规范形式写出随机变量的分布列,并用分布列的性质验证.。
第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式:锥体体积公式:13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式:S rl π=,其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知(,]A m =-∞,(1,2]B =,若B A ⊆,则实数m 的取值范围为 ▲ .2.设复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 3.设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1,则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ .4.一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同), 现从中随机摸出2个球,则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ .5.“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”).6.运行如图所示的算法流程图,则输出S 的值为 ▲ .7.若双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点,且直线PQ 经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为 ▲ . 8.函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ .9.若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍,则该圆锥的体积为 ▲ . 10.已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π,则()8f π-的值为 ▲ .11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*2()n n S a n n N =+∈,则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ . 12.如图,在18AB B ∆中,已知183B AB π∠=,16AB =,84AB =,点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点,则当9(18)i j i +=≤≤时,i j AB AB ⋅uuu r uuu r的最大值为 ▲ .13.定义:点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为0022a b+.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,直线m 过点(3,0)P ,若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ,使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0,则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ . 14.设ABC ∆的面积为2,若角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,则22223a b c ++的最小值为 ▲ .二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知底面ABCD 是菱形,,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点.(1)求证:AC ∥平面DMN ; (2)求证:平面DMN ⊥平面11BB D D .16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,AD 为边BC 上的中线. (1)若4a =,2b =,1AD =,求边c 的长;(2)若2AB AD c ⋅=uu u r uuu r ,求角B 的大小.17.(本小题满分14分)如图,是一个扇形花园,已知该扇形的半径长为400米,2AOB π∠=,且半径OC 平分AOB ∠.现拟在OC 上选取一点P ,修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏,设PAO α∠=.(1)将三条路PO ,PA ,PB 的长度之和表示为α的函数()f α,并写出此函数的定义域; (2)试确定α的值,使得()f α最小.A B CD D 1 A 1 B 1 C 1MN第15题图 第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 818.(本小题满分16分)如图,已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点(2,3)P -是椭圆C 上一点,且1PF x ⊥轴. (1)求椭圆C 的方程;(2)设圆222:()(0)M x m y r r -+=>.①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ,若2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r,且2AB =,求r的值;②设2m =-,过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点(均异于点P ).试问:是否存在这样的正数r ,使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称?若存在,求出r19.(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切,则称函数()f x 为“恒切函数”.设函数()xg x ae x pa =--,,a p R ∈. (1)讨论函数()g x 的单调性; (2)已知函数()g x 为“恒切函数”.①求实数p 的取值范围;②当p 取最大值时,若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”,求证:3016m ≤<. (参考数据:320e ≈)20.(本小题满分16分)在数列{}n a 中,已知121,a a λ==,并满足:111221222,,,,k k k k a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列(其中2,k k N ≥∈),且当k 为奇数时,公差为d ;当k 为偶数时,公差为d -. (1)当1λ=,1d =时,求8a 的值;(2)当0d ≠时,求证:数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列;(3)当1λ≠时,记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ,试求数列{}n b 的通项公式.盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题](在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)A .(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知半圆O 的半径为5,AB 为半圆O 的直径,P 是BA 延长线上一点,过点P 作半圆O 的切线PC ,切点为C ,CD AB ⊥于点D .若2PC PA =,求CD 的长.B .(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量.C .(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为A BCD O ·第21(A )图极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(单位长度相同),设曲线C 的极坐标方程为2ρ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.D .(选修4-5:不等式选讲)已知正数,,x y z 满足232x y z ++=,求222x y z ++的最小值.[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分10分)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12. (1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ,求X 的概率分布和数学期望. 23.(本小题满分10分)(1)已知*0,0()i i a b i N >>∈,比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小,试将其推广至一般性结论并证明;(2)求证:3*01213521(1)()2n nn n n n n n n N C C C C ++++++≥∈L .盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1.2m ≥ 2.1- 3.4 4.565.充分不必要 6.21 78.(2,3] 9.3 10. 11.12n - 12.1327 13.3(,]4-∞- 14.二、解答题:本大题共90小题.15.(1)证明:连接11A C ,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,因为11//AA BB ,11//BB CC , 所以11//AA CC ,所以11A ACC 为平行四边形,所以11//A C AC . ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点,所以11//MN AC ,所以//AC MN . ……4分又AC ⊄平面DMN ,MN ⊂平面DMN ,所以AC ∥平面DMN . ……6分 (2)证明:因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱,所以1DD ⊥平面1111A B C D ,而MN ⊂平面1111A B C D , 所以1MN DD ⊥. ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形,所以底面1111A B C D 也是菱形, 所以1111A C B D ⊥,而11//MN AC ,所以11MN B D ⊥.……10分 又1MN DD ⊥,111,DD B D ⊂平面1111A B C D ,且1111DD B D D =I , 所以MN ⊥平面1111A B C D . ……12分而MN ⊂平面DMN ,所以平面DMN ⊥平面11BB D D . ……14分16.解:(1)在ADC ∆中,因为11,2,22AD AC DC BC ====,所以由余弦定理,得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯. ……3分故在ABC ∆中,由余弦定理,得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=, 所以c = (6)分(2)因为AD 为边BC 上的中线,所以1()2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r,所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r221111cos 2222AB AB AC c cb A=+⋅=+uuu r uu u r uuu r ,得cos c b A =. ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅,得222b c a =+,所以ABCDD 1 A 1B 1C 1M N90B =︒. ……14分17.解:(1)在APO ∆中,由正弦定理,得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠, 即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+,从而sin()4AP α=+,400sin sin()4OP απα=+. ……4分所以()l α=400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++,故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+,3(0,)8πα∈. ……6分 (2)记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα+==∈++,因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-=+,……10分由()0f α'=,得1sin()42πα-=-,又3(0,)8πα∈,所以12πα=. ……12分列表如下:所以,当12α=时,()l α取得最小值.答:当12πα=时,()l α最小. ……14分18.解:(1)因点(2,3)P -是椭圆C 上一点,且1PF x ⊥轴,所以椭圆的半焦距2c =,由22221c y a b +=,得2b y a=±,所以2243b a a a-==, ……2分 化简得2340a a --=,解得4a =,所以212b =,所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. ……4分 (2)①因2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r ,所以2MA MP MF MB -=-uuu r uuu r uuu u r uuu r ,即2PA BF =uu r uuu r,所以线段2PF 与线段AB 的中点重合(记为点Q ),由(1)知3(0,)2Q , ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ,所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-,所以30302122m --⋅=---,解得98m =-, ……8分所以158MQ ==,故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称,设00(,)G x y ,则00(,)H x y --,不妨设00x <,因(2,3)P -,2m =-,所以两条切线的斜率均存在,设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ,则切线方程为3(2)y k x -=+,即230kx y k -++=,由该直线与圆M 相切,得r =,即k = ……12分 所以两条切线的斜率互为相反数,即PG PH k k =-,所以00003322y y x x ---=-+-+,化简得006x y =-,即006y x -=,代入220011612x y +=, 化简得420016480x x -+=,解得02x =-(舍),0x =-所以0y = ……14分所以(G -,H,所以2PG k ==,所以r ==. 故存在满足条件的r ,且7r =. ……16分 19.解:(1)()1x g x ae '=-, ……2分当0a ≤时,()0g x '<恒成立,函数()g x 在R 上单调递减;当0a >时,由()0g x '=得ln x a =-,由()0g x '>得ln x a >-,由()0g x '<得ln x a <-,得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递,在(ln ,)a -+∞上单调递增. ……4分 (2)①若函数()f x 为“恒切函数”,则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切,设切点为00(,)x y ,则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+,即0()0f x '=,0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”,所以存在0x ,使得0()0g x '=,0()0g x =,即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩, 得00x a e -=>,00(1)x p e x =-,设()(1)x m x e x =-, ……6分则()xm x xe '=-,()0m x '<,得0x >,()0m x '>,得0x <,故()m x 在(,0)-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减,从而[]max ()(0)1m x m ==, 故实数p的取值范围为(,1]-∞. ……8分②当p 取最大值时,1p =,00x =,01xa e -==,()(1)x x h x e x e m =---,()(22)x x h x e x e '=--,因为函数()h x 也为“恒切函数”, 故存在0x ,使得0()0h x '=,0()0h x =,由0()0h x '=得000(22)0xx e x e --=,00220x e x --=,设()22xn x e x =--, ……10分则()21xn x e '=-,()0n x '>得ln 2x >-,()0n x '<得ln 2x <-,故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上,(0)0n =,故00x =,由0()0h x =,得0m =; ……12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上,2(2)20n e--=>,31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<,又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断,故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ,使得00220xe x --=,故0022xx e +=, 此时由0()0h x =,得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++,函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增,(2)0r -=,33()216r -=,故3016m <<.综上1°2°所述,3016m ≤<. ……16分 20.解:(1)由1λ=,1d =,所以21a =,234,,a a a 为等差数列且公差为1-,所以4221a a =-=-,又458,,a a a L 为等差数列且公差为1,所以8443a a =+=. ……2分(2)当21n k =+时,22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ,所以2122222k k k a a d+=+,同理可得22121222k k k a a d --=-, ……4分两式相加,得212121222k k k a a d +---=;当2n k=时,同理可得2222222k kk a a d +-=-, ……6分所以222||2n n na a d +-=.又因为0d ≠,所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-, 所以数列{}2*22||()n n aa n N +-∈是以2为公比的等比数列. ……8分(3)因为2a λ=,所以4222a a d d λ=-=-,由(2)知212121222k k k a a d +--=+,所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++,依次下推,得211132321222222k k k a a d d d d +--=+++++L ,所以21222(21)3k k a d λ+=+-, (10)分当212222k k n ++≤≤时,212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--, 由2m a a =,得232233k m +=-,所以23212233k k b ++=-, 所以22233n n b +=-(n 为奇数); ……12分由(2)知222222222222222k k k kk k a a d a d d +--=-=--,依次下推,得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----L ,所以22224(21)23k k a d d λ+-=--, (14)分当222322k k n ++≤≤时,222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--, 由2m a a =,得242233k m +=+,所以24222233k k b ++=+. 所以22233n n b +=+(n 为偶数).综上所述,2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数)为奇数). ……16分 方法二:由题意知,23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅, ……10分当n 为奇数时,1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -,1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ,所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---,11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-,则由12n n b b a a a +==,得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-,即212n n n b b +++=.同理,当n为偶数时,也有212n n n b b +++=.故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈. ……12分①当n 为奇数时,由3212n n n b b ++++=,212n n n b b +++=,相减,得222n n n b b ++-=,所以532311()()(222)2nn n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--. ……14分②当n 为偶数时,同理可得22233n n b +=+. 综上所述,2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数)为奇数). ……16分附加题答案21.(A )解:连,AC BC ,因PC 为半圆O 的切线,所以PCA B ∠=∠.又P P ∠=∠, 所以PCA ∆∽PBC ∆,所以12PA AC PC BC ==, 即2AC BC =. ……5分 因AB 为半圆O 的直径,所以22225AB AC BC AC =+=,因半圆O 的半径为5,所以21005AC =,所以AC BC == 由射影定理,得2AC AD AB=⋅,解得2AD =,所以A BPCDO·4CD =. ……10分(B )解:由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,解得11a b =-⎧⎨=⎩,所以2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---,由()0f λ=,得2,1λλ==,所以矩阵M 的另一个特征值为2. ……6分此时0 1()0 1f λ=,对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩,所以0y =,所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……10分 (C )解:直线的普通方程为10x y +-=;由2ρ=,得曲线C 的普通方程为224x y +=,……5分所以d ==,所以直线l 被曲线C 截得的弦长为=. ……10分 (D )解:根据柯西不等式,有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++,因232x y z ++=,所以222222421237x y z ++≥=++, ……5分 当且仅当123x y z ==时等号成立,解得123,,777x y z ===,即当123,,777x y z ===时,222x y z ++取最小值27. ……10分 22.解:(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=.……4分(2)因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=,所以311(0)(1)28P X ==-=, 1123113(1)()(1)228P X C ==-=,2213113(2)()(1)228P X C ==-=,311(3)()28P X ===.故X 的概率分布表为:……8分所以,X的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……10分23.解:(1)22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++,因为0i a >,0i b >,所以222112120,0a b a b a a >>,则22211212122a b a b b b a a +≥=, 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+,即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+. 所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++,当且仅当22211212a b a b a a =,即2112a b a b =时等号成立. ……2分推广:已知i a >,i b >(,1i N i n*∈≤≤),则2221212n n b b b a a a +++L 21212()n nb b b a a a +++≥+++L L .……4分 证明:①当1n =时命题显然成立;当2n =时,由上述过程可知命题成立; ②假设(2)n k k =≥时命题成立,即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时,有2221212k k b b b a a a +++L 21212()k kb b b a a a +++≥+++L L 成立,则1n k =+时,222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++L L L , 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++,可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++L L L L , 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++L 2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++L L , 故1n k =+时命题也成立.综合①②,由数学归纳法原理可知,命题对一切n N ∈*恒成立. ……6分(注:推广命题中未包含1n =的不扣分)(2)证明:由(1)中所得的推广命题知01213521n n n n nn C C C C +++++L 2222012135(21)35(21)n n n n nn C C C n C +=+++++L []2012135(21)35(21)n nnnnn C C C n C+++++≥+++++LL①, ……8分记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++L ,则10(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++L ,两式相加,得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++L , 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯L ,故(1)2n n S n =+⨯ ②,又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦L ③,将②③代入①,得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++L , 所以,301213521(1)2n nn n n n n n C C C C ++++++≥L ,证毕. ……10分。
江苏省盐城市2017-2018学年高三第三次模拟考试数学试题一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 已知全集,集合,则___________.【答案】【解析】因为,所以2. 设复数满足(为虚数单位),则___________.【答案】2【解析】3. 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人,为了解不同年级学生的眼睛近视情况,现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本,则高三年级应抽取的学生人数为___________.【答案】35【解析】由题意结合抽样比可得,高三年级应抽取的学生人数为. 点睛:进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1)=;(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.4. 若命题“,”是假命题,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】为真命题,所以5. 甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测试中的成绩分别为:甲组:88、89、90;乙组:87、88、92,如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是___________.【答案】【解析】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意,由对立事件概率公式可知:这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.6. 执行如图所示的伪代码,输出的值为___________.【答案】77. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则___________.【答案】【解析】由题意可知:抛物线的焦点坐标为,在双曲线中:.8. 设满足,则的最大值为___________.【答案】1【解析】绘制不等式组所表示的可行域如图所示,由目标函数的几何意义可得,目标函数在线段AB上取得最大值,考查点B的坐标可得目标函数的最大值为.点睛:求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.9. 将函数的图象向左平移个单位后,恰好得到函数的的图象,则的最小值为___________.【答案】【解析】由题意可得:,由诱导公式的结论可知:,取可得:.点睛:由y=sin x的图象,利用图象变换作函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是个单位.10. 已知直三棱柱的所有棱长都为2,点分别为棱的中点,则四面体的体积为___________.【答案】【解析】解:,当作为三棱锥的底面时,三棱锥的高是边长为2的等边三角形的边上的高,四面体的体积为.11. 设数列的首项,且满足,与,则___________.【答案】2056【解析】由递推关系可知该数列的奇数项构成一个首项为1,公比为2的等比数列,偶数项由其前项加1而得,前20项和中:.点睛:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.12. 若均为非负实数,且,则的最小值为___________.【答案】3...【解析】由题意可知:,故:当且仅当时等号成立.13. 已知四点共面,,,,则的最大值为__________.【答案】10【解析】解:设,由题意可得:,则:,ABC构成三角形,则:,解得:,由余弦定理:,当时,取得最大值为10.点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.14. 若实数满足,则__________.【答案】二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. 如图,在四棱柱中,平面底面,且.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)利用题意由可得平面.(2)由面面平行的判断定理,平面,则平面.试题解析:证明:(1)在四棱柱中,有.又平面,平面,所以平面. ... (2)因为平面底面ABCD,交线为,底面ABCD,且,所以平面.又平面,所以平面平面.16. 设面积的大小为,且.(1)求的值;(2)若,,求.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)利用题意结合数量积的定义可得;(2) 利用(1)的结论有:,结合题意和正弦定理可得:.试题解析:解:(1)设的三边长分别为,由,得,得. 即,所以. 又,所以,故.(2)由和,得,又,所以,得①. 又,所以.在△中,由正弦定理,得,即,得②. 联立①②,解得,即.17. 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施,其轴截面如图中实践所示,是等腰梯形,米,(在的延长线上,为锐角),圆与都相切,且其半径长为100-80米,是垂直于的一个立柱,则当的值设计为多少时,立柱最矮?【答案】当时,立柱最矮.【解析】试题分析:利用题意建立直角坐标系,得到关于的函数:,求导之后讨论函数的单调性可知时取得最值.试题解析:解:方法一:如图所示,以所在直线为轴,以线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系.因为,,所以直线的方程为,即.设圆心,由圆与直线相切,得,...所以.令,,则,设,. 列表如下:所以当,即时,取最小值. 答:当时,立柱最矮.方法二:如图所示,延长交于点,过点作于,则,.在中,. 在中,.所以.(以下同方法一)点睛:解函数应用题的一般程序:第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论;第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.18. 已知分别是椭圆的左顶点、右焦点,点为椭圆上一动点,当轴时,.(1)求椭圆的离心率;...(2)若椭圆存在点,使得四边形是平行四边形(点在第一象限),求直线与的斜率之积;(3)记圆为椭圆的“关联圆”. 若,过点作椭圆的“关联圆”的两条切线,切点为,直线的横、纵截距分别为,求证:为定值. 【答案】(1)(2)(3)49【解析】试题分析:(1)利用题意得到关于的齐次方程,求解方程组可得椭圆的离心率;(2) 由题意,,,则,结合(1)的结论可得.(3) 由(1)知椭圆方程为,圆的方程为.四边形的外接圆方程为,所以,因为点在椭圆上,则.试题解析:解:(1)由轴,知,代入椭圆的方程,得,解得.又,所以,解得. (2)因为四边形是平行四边形,所以且轴,所以,代入椭圆的方程,解得,因为点在第一象限,所以,同理可得,,所以,由(1)知,得,所以.(3)由(1)知,又,解得,所以椭圆方程为,圆的方程为①. 连接,由题意可知,,,所以四边形的外接圆是以为直径的圆,设,则四边形的外接圆方程为,即②.①-②,得直线的方程为,令,则;令,则. 所以,因为点在椭圆上,所以,所以.19. 设函数.(1)若函数是奇函数,求实数的值;(2)若对任意的实数,函数(为实常数)的图象与函数的图象总相切于一个定点.①求与的值;②对上的任意实数,都有,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)① .②【解析】试题分析:...(1)由奇函数的定义得到关于实数a的方程,解方程可得a=0;(2)由导函数研究函数的切线可得切点为,切线的方程为,则.(3)由题意分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是.试题解析:解:(1)因为函数是奇函数,所以恒成立,即,得恒成立,. (2)① ,设切点为,则切线的斜率为,据题意是与无关的常数,故,切点为,由点斜式得切线的方程为,即,故.② 当时,对任意的,都有;当时,对任意的,都有;故对恒成立,或对恒成立.而,设函数.则对恒成立,或对恒成立,,当时,,,恒成立,所以在上递增,,故在上恒成立,符合题意.当时,令,得,令,得,故在上递减,所以,而设函数,则,恒成立,在上递增,恒成立,在上递增,恒成立,即,而,不合题意.综上,知实数的取值范围.20. 已知数列都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列.(1)设数列分别为等差、等比数列,若,,,求;(2)设的首项为1,各项为正整数,,若数列是等差数列,求数列的前项和;(3)设(是不小于2的正整数),,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是?若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.【答案】(1).(2)或. (3)首项,公差的等差数列符合题意.【解析】试题分析:...(1)由题意可得;(2)由题意可得等比数列的项都是等差数列中的项,所以. 数列的前项和或.(3) 存在等差数列,只需首项,公差.利用题中的结论可证得此命题成立.试题解析:解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由题意得,,解得或,因数列单调递增,所以,所以,,所以,. 因为,,,,所以. (2)设等差数列的公差为,又,且,所以,所以. 因为是中的项,所以设,即.当时,解得,不满足各项为正整数;当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列中的项,所以;当时,,此时,只需取,由,得,是奇数,是正偶数,有正整数解,所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以. 综上所述,数列的前项和或.(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数,都有,即成立.由,.所以首项,公差的等差数列符合题意.点睛:学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点,它题目新颖,考察全面,摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等,是考察学生素质能力的典型题目,应引起广大师生的关注,学习有两个过程:一个是“从薄到厚”,一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程,是“量”的积累;“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强,能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力,需要平时结合所学的知识多联想和多类比,注意知识的活学活用,才能够处理好这类问题. (在四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内)21. A.(选修4-1:几何证明选讲)已知是圆两条相互垂直的直径,弦交的延长线于点,若,,求的长.【答案】【解析】试题分析:利用题意由割线定理和勾股定理列方程可求得.试题解析:...解:设半径为r,由切割线定理,得即,在三角形DOF中,由勾股定理,得,即.由上两式解得.22. B.(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵所对应的变换把曲线变成曲线:,求曲线的方程. 【答案】【解析】试题分析:利用变换矩阵求得变换为,据此可得的方程为.试题解析:设曲线C上任一点为(x,y),经过变换T变成,则,即 .又,得 .23. C.(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(为参数),若直线与圆相切,求的值. 【答案】1【解析】试题分析:化简为直角坐标方程,利用圆心到直线的距离等于半径列方程求得半径.试题解析:解:由题意得,直线的直角坐标方程为,圆的直角坐标方程为.则直线和曲线相切,得.24. D.(选修4-5:不等式选讲)已知为正实数,且,证明:.【答案】见解析【解析】试题分析:利用题中不等式的特点写出三个不等式,将不等式相加即可得到结论. 试题解析:证:因为,所以由基本不等式,得. 三式相加,得.又,所以. (第22、23题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内)25. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,面底面,且是边长为2的等边三角形,,在上,且平面....(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】(1)直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .(2)平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.【解析】试题分析:利用题意建立空间直角坐标系,据此可得:(1) 直线PC与平面BDM所成角的正弦值为(2) 平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.试题解析:解:因为,作AD边上的高PO,则由,由面面垂直的性质定理,得,又是矩形,同理,知,,故.以AD中点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,AD的垂直平分线y轴,建立如图所示的坐标系,则,连结AC交BD于点N,由,所以,又N是AC的中点,所以M是PC的中点,则,设面BDM的法向量为,,,得,令,解得,所以取.(1)设PC与面BDM所成的角为,则,所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .(2)面PAD的法向量为向量,设面BDM与面PAD所成的锐二面角为,则,故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.26. 一只带中装有编号为1,2,3,…,的个小球,,这些小球除编号以外无任何区别,现从袋中不重复地随机取出4个小球,记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为,如,或4,或4或5,记的数学期望为.(1)求;(2)求.【答案】(1),(2)【解析】试题分析:(1)利用题意求得,(2)利用题意归纳推理并进行证明可得...试题解析:解:(1)的概率分布为:则.的概率分布如下:则.(2) 方法一:,………………6分方法二:得猜想. 下面用数学归纳法证明.证明:①时猜想显然成立;...②假设时猜想成立,即,则,当时即时命题也成立.综上①②,对一切猜想都成立.。
江苏省盐城中学2018届高三年级第二次模拟考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第一卷从第1页到第2页,第二卷从2页到第3页.考试结束后,将答题卡和答题纸一并交回.满分150分.考试时间120分钟.第一卷 (选择题,共50分)注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型(A )填涂在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知{|1}A x x =<,}0))(2(|{≤--=a x x x B ,若1≤a 则=B A (A ){|2}x x ≤ (B ){|1}x x ≤ (C ) {|2}x x ≥ (D ){|1}x x ≥2.设21cos ),0,2(=-∈απα,则=+)6tan(πα (A )3 (B )33 (C )3- (D )33- 3.设等差数列}{n a 的前n 项和是n S ,且0864=++a a a ,则6S 与5S 的大小关系是 (A )56S S < (B ) 56S S > (C ) 56S S = (D )无法确定 4.设b a 、表示直线,βα、表示平面,则βα//的充分条件是 (A )b a b a //,,βα⊂⊂ (B )βα⊥⊥b a b a ,,// (C )αββα//,//,,b a b a ⊂⊂ (D )αβ⊥⊥⊥b a b a ,,5.与直线34-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是(A )04=-y x (B )044=--y x(C )024=--y x (D )04=-y x 或044=--y x6.将函数x y 2cos =的图象沿向量a平移得到函数1)62sin(--=πx y 的图象,则向量a可以是 (A ))1,3(-π(B ))1,6(π (C ))1,3(--π (D ))1,6(π-7.若实数y x 、满足:⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ,则y x +2的最小值是 (A )2-(B )22-(C )5- (D )52- 8.某水电站的蓄水池有2个进水口,1个出水口,每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示,出水口出水量与时间的关系如图乙所示.已知某天0点到6点进行机组试运行,且该水池的蓄水量与时间(时间单位:小时)的关系如图丙所示:丙乙甲给出以下三个判断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点,不进水只出水;③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是(A )① (B )② (C )①③ (D )②③ 9.设函数xxx x f -+⋅=11ln)(,若)()(21x f x f >,则下列不等式必定成立的是 (A )21x x > (B )21x x < (C )2221x x > (D )2221x x < 10.已知数列{}n a 的通项公式是)193)(72(10--=n n a n ,则该数列的最大项和最小项的和为 (A )73- (B )75- (C )79- (D )1-第二卷 (非选择题,共100分)注意事项:1. 请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔在答题纸上指定区域内作答,在试题上作答一律无效.2. 作图题可先用2B 铅笔作答。
……01 、…此时f (九)= ,对应方程组为0 1所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10分(C)解:直线的普通方程为x + y—1 = 0 ;由p = 2,得曲线C 的普通方程 2 2x + y =4 , ........................... 5 分所以, 所以直线l被曲线C截得的弦长2 22;2"(f)2 =应. ••…10 分2 2 2 2 2 2 2(D)解:根据柯西不等式,有(x+2y+3z)主(1 +2+3)(x +y +z),因x+2y+3z=2 , 所4122232当且仅当-=1=-时等号成立,解得x = 1,y=2,z=3,1 2 3 7 7 7… 1 2 3…即当x = —,y =—,z =—时,77 710分2 1 2 1 322.解:(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为C3(—)(1——) = —.……2 2 84分2 1 2 1 13 1 一 1 3 1 (2)因为每人可被录用的概率为C3(一)(1-一)+(一)=一,所以P(X=0) = (1——)=—,2 2 2 2 2 8_ -1 1 1 1 2 3 _ -2 1 2 1 1 3P(X =1) =03(3(1 =)2二, P(X =2)=C2(京2(1 二)1=匕2 2 8 2 2 81 3 1P(X =3)=(二)=;•2 8故X的概率分布表为:8分所以,X 的数学期望13 3 13E(X) =0乂一十1 x一十2乂—+3尺一 =一 .-••…10分所以y = 0,23.解:(1)(里+ ^)01+a?) =W +房a 〔 a 2a十餐,a 22 2 a2。
a^----- 0,--------- 0 a i a2a2b2i a ba〔a2I』2 2ab2ab治--- 乂----- = 2D i b2 ,a〔a2b2 b2(4也)(a a2) _b; b22bb2 =(b b2)a a2b b(—+—)(a〔+a2)兰(加 +烷) a i a2.2.2 2b| b2(b| b2)所以—+—> — -------- -- , 当且仅a i a2 立. ……2分推广:2 2 2b b2bn2■ H I ■工a a2 a n(2) a i a2 a ia i bfa2,即a2 b i = a i b时等号成已知司》0(b i b2 川町)2a〔a?川a”b i 0证明:①当n=i时命题显然成立;当n=2时,由上述过程可知命题成立;②假设n=k(k芝2)时命题成立,即已知a^>0,b^>0(^ N*,i W 主k)时,有《堕.川b2 (b b2川b k)a i a2则n=k +1时,由W b2由—•一a i 球b2故a i 故na2b2a2b2 (b b2 |l| b k)2+——>------------------ 成*a k a a2 HI a k(b2 十房+川+ &)+*♦兰(b+B+lll + b k)2^ 隽a a2 a k a k ia a2 川a k(b+烷)2可知(b b2 b k)2况*' a k a k< b ki)2a k ia i a2b k b《ia k a k ik i时命题也成立.(b ia ia2b2a2 ak综合①②,由数学归纳法原理可知,命题对一切2_+=a ki '(b b2 b k b ki)2a k a k i 'a i a2恒成立.(注:推广命题中未包含n i的不扣分)证明:由(i)中所得的推广命题知\ 3 5 2n「C n C n C n C ni23252(2n i)2H 3 5 (2n i)? ①C。
第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.参考公式:锥体体积公式:13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高.圆锥侧面积公式:S rl π=,其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知(,]A m =-∞,(1,2]B =,若B A ⊆,则实数m 的取值范围为 ▲ . 2.设复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 3.设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1,则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ . 4.一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同), 现从中随机摸出2个球,则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ . 5.“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲ 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既 不充分又不必要”).6.运行如图所示的算法流程图,则输出S 的值为 ▲ .7.若双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的两条渐近线与抛 物线24y x =交于,,O P Q 三点,且直线PQ 经过抛物 线的焦点,则该双曲线的离心率为 ▲. 8.函数()ln(13)f x x =-的定义域为 ▲ .9.若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍,则该圆锥的体积为 ▲ . 10.已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π,则()8f π-的值为 ▲ .11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*2()n n S a n n N =+∈,则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ . 12.如图,在18AB B ∆中,已知183B AB π∠=,16AB =,第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 884AB =,点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点,则当9(18)i j i +=≤≤时,i j AB AB ⋅的最大值 为 ▲ .13.定义:点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,直线m 过点(3,0)P ,若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ,使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0,则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ . 14.设ABC ∆的面积为2,若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,则22223a b c ++的最小值 为 ▲ .二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知底面ABCD 是菱形,,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点.(1)求证:AC ∥平面DMN ;(2)求证:平面DMN ⊥平面11BB D D .16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,AD 为边BC 上的中线. (1)若4a =,2b =,1AD =,求边c 的长; (2)若2AB AD c ⋅=,求角B 的大小.ABCD D 1A 1B 1C 1MN 第15题图17.(本小题满分14分)如图,是一个扇形花园,已知该扇形的半径长为400米,2AOB π∠=,且半径OC 平分AOB ∠.现拟在OC 上选取一点P ,修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏,设PAO α∠=.(1)将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α,并写出此函数的定义域; (2)试确定α的值,使得()l α最小.18.(本小题满分16分)如图,已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点(2,3)P -是椭圆C上一点,且1PF x ⊥轴. (1)求椭圆C 的方程;(2)设圆222:()(0)M x m y r r -+=>.①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ,若2MA MB MP MF +=+,且2AB =,求r 的值;②设2m =-,过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点(异于点P ).试问:是否存在这样的正数r ,使得G 出r 的值;若不存在,请说明理由.AO BCPα第17题图19.(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切,则称函数()f x 为“恒切函数”.设函数()xg x ae x pa =--,,a p R ∈. (1)讨论函数()g x 的单调性; (2)已知函数()g x 为“恒切函数”.①求实数p 的取值范围;②当p 取最大值时,若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”,求证:3016m ≤<. (参考数据:320e ≈)20.(本小题满分16分)在数列{}n a 中,已知121,a a λ==,满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列(其中2,n n N ≥∈),且当n 为奇数时,公差为d ;当n 为偶数时,公差为d -. (1)当1λ=,1d =时,求8a 的值;(2)当0d ≠时,求证:数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列;(3)当1λ≠时,记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ,试求数列{}n b 的通项公式.盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题](在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) A .(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知半圆O 的半径为5,AB 为半圆O 的直径,P 是BA 延长线上一点,过点P 作半圆O 的切线PC ,切点为C ,CD AB ⊥于D .若2PC PA =,求CD 的长.B .(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量.C .(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(单位长度相同),设曲线C 的极坐标方程为2ρ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.D .(选修4-5:不等式选讲)已知正数,,x y z 满足232x y z ++=,求222x y z ++的最小值.[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分10分)A BCD O ·第21(A )图某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12.(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ,求X 的概率分布和数学期望.23.(本小题满分10分)(1)已知*0,0()i i a b i N >>∈,比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小,试将其推广至一般性结论并证明;(2)求证:3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈.盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.2m ≥ 2.1- 3.4 4.565.充分不必要 6.21 78.(2,3] 9.3 1011.12n - 12.1327 13.3(,]4-∞- 14.二、解答题:本大题共90小题.15.(1)证明:连接11A C ,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,因为11//AA BB ,11//BB CC ,所以11//AA CC ,所以11A ACC 为平行四边形,所以11//A C AC . ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点,所以11//MN AC ,所以//AC MN . ……4分又AC ⊄平面DMN ,MN ⊂平面DMN ,所以AC ∥平面DMN . ……6分 (2)证明:因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱,所以1DD ⊥平面1111A B C D ,而MN ⊂平面1111A B C D , 所以1MN DD ⊥. ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形,所以底面1111A B C D 也是菱形, 所以1111A C B D ⊥,而11//MN AC ,所以11MN B D ⊥.……10分 又1MN DD ⊥,111,DD B D ⊂平面1111A B C D ,且1111DD B D D =,所以MN ⊥平面1111A B C D . ……12分而MN ⊂平面DMN ,所以平面DMN ⊥平面11BB D D . ……14分 16.解:(1)在ADC ∆中,因为11,2,22AD AC DC BC ====,所以由余弦定理, 得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯. ……3分 故在ABC ∆中,由余弦定理,得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=, 所以6c =……6分(2)因为AD 为边BC 上的中线,所以1()2AD AB AC =+,所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+,得cos c b A =. ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅,得222b c a =+,所以90B =︒. ……14分17.解:(1)在APO ∆中,由正弦定理,得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠,A BCDDABCM N即400sin sin sin()44APOP ππαα==+,从而sin()4AP πα=+,400sin sin()4OP απα=+. ……4分所以()l α=400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++,故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+,3(0,)8πα∈. ……6分 (2)记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα+==∈++,因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-+=+, ……10分 由()0f α'=,得1sin()42πα-=-,又3(0,)8πα∈,所以12πα=. ……12分 列表如下:所以,当12α=时,()l α取得最小值.答:当12πα=时,()l α最小. ……14分18.解:(1)因点(2,3)P -是椭圆C 上一点,且1PF x ⊥轴,所以椭圆的半焦距2c =,由22221c y a b+=,得2b y a =±,所以2243b a a a -==, ……2分化简得2340a a --=,解得4a =,所以212b =,所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. ……4分 (2)①因2MA MB MP MF +=+,所以2MA MP MF MB -=-,即2PA BF =,所以线段2PF 与线段AB 的中点重合(记为点Q ),由(1)知3(0,)2Q ,……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ,所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-,所以30302122m --⋅=---,解得98m =-, ……8分 所以158MQ ==,故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称,设00(,)G x y ,则00(,)H x y --,不妨设00x <,因(2,3)P -,2m =-,所以两条切线的斜率均存在,设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ,则切线方程为3(2)y k x -=+,即230kx y k -++=,由该直线与圆M相切,得r =,即k =12分所以两条切线的斜率互为相反数,即PG PH k k =-,所以00003322y y x x ---=-+-+,化简得006x y =-,即006y x -=,代入220011612x y +=, 化简得420016480x x -+=,解得02x =-(舍),0x =-0y = (14)分所以(G -,H,所以2223PG k ==-+,所以r ==. 故存在满足条件的r ,且7r =. ……16分 19.解:(1)()1xg x ae '=-, ……2分当0a ≤时,()0g x '<恒成立,函数()g x 在R 上单调递减;当0a >时,由()0g x '=得ln x a =-,由()0g x '>得ln x a >-,由()0g x '<得ln x a <-, 得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递,在(ln ,)a -+∞上单调递增. ……4分 (2)①若函数()f x 为“恒切函数”,则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切,设切点为00(,)x y ,则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+,即0()0f x '=,0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”,所以存在0x ,使得0()0g x '=,0()0g x =,即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩, 得00x a e -=>,00(1)x p e x =-,设()(1)x m x e x =-, (6)分则()xm x xe '=-,()0m x '<,得0x >,()0m x '>,得0x <,故()m x 在(,0)-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减,从而[]max ()(0)1m x m ==, 故实数p 的取值范围为(,1]-∞. ……8分②当p 取最大值时,1p =,00x =,01x a e-==,()(1)x x h x e x e m =---,()(22)x x h x e x e '=--,因为函数()h x 也为“恒切函数”,故存在0x ,使得0()0h x '=,0()0h x =, 由0()0h x '=得000(22)0xx e x e --=,00220x e x --=,设()22x n x e x =--, (10)分则()21xn x e '=-,()0n x '>得ln 2x >-,()0n x '<得ln 2x <-, 故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上,(0)0n =,故00x =,由0()0h x =,得0m =;…12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上,2(2)20n e--=>,31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<,又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断,故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ,使得00220xe x --=,故0022x x e+=,此时由0()0h x =,得0000022(1)(1)22x x x x m e x e x ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++,函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增,(2)0r -=,33()216r -=,故3016m <<.综上1°2°所述,3016m ≤<. ……16分20.解:(1)由1λ=,1d =,所以21a =,234,,a a a 为等差数列且公差为1-,所以4221a a =-=-, 又458,,a a a 为等差数列且公差为1,所以8443a a =+=. (2)分(2)当21n k =+时,22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ,所以2122222k k ka a d +=+,同理可得22121222k k k a a d --=-, ……4分两式相加,得212121222k k k a a d +---=;当2n k =时,同理可得2222222k k ka a d +-=-, ……6分 所以222||2n n na a d +-=.又因为0d ≠,所以21122122||22(2)||2n n n n nn a a n a a ++---==≥-, 所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列. ……8分(3)因为2a λ=,所以4222a a d d λ=-=-,由(2)知212121222k k k a a d +--=+,所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++,依次下推,得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++,所以21222(21)3k ka d λ+=+-, ……10分 当212222k k n ++≤≤时,212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--,由2m a a =,得232233k m +=-,所以23212233k k b ++=-, 所以22233n n b +=-(n 为奇数); ……12分由(2)知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--, 依次下推,得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----,所以22224(21)23k k a d d λ+-=--, ……14分当222322k k n ++≤≤时,222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--,由2m a a =,得242233k m +=+,所以24222233k k b ++=+. 所以22233n n b +=+(n 为偶数). 综上所述,2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数)为奇数). ……16分方法二:由题意知,23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅, (10)分当n 为奇数时,1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -,1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ,所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---,11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-,则由12n n b b a a a +==,得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-,即212n n n b b +++=.同理,当n 为偶数时,也有212n n n b b +++=.故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈. ……12分①当n 为奇数时,由3212n n n b b ++++=,212n n n b b +++=,相减,得222n n n b b ++-=,所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--.……14分②当n 为偶数时,同理可得22233n n b +=+. 综上所述,2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数)为奇数). ……16分附加题答案21.(A )解:连,AC BC ,因PC 为半圆O 的切线,所以PCA B ∠=∠.又P P ∠=∠,所以PCA ∆∽PBC ∆,所以12PA AC PC BC ==, 即2AC BC =. ……5分因AB 为半圆O 的直径,所以22225AB AC BC AC =+=,因半圆O 的半径为5,所以21005AC =,所以AC BC ==由射影定理,得2AC AD AB =⋅,解得2AD =,所以4CD ==. (10)分(B )解:由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,解得11a b =-⎧⎨=⎩,所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---,由()0f λ=,得2,1λλ==,所以矩阵M 的另一个特征值为2. ……6分此时0 1()0 1f λ=,对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩,所以0y =,所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……10分 (C )解:直线的普通方程为10x y +-=;由2ρ=,得曲线C 的普通方程为224x y +=, ………………………5分所以2d ==,所以直线l 被曲线C截得的弦长为=. (10)A BCDO·分(D )解:根据柯西不等式,有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++,因232x y z ++=,所以222222421237x y z ++≥=++, ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立,解得123,,777x y z ===, 即当123,,777x y z ===时,222x y z ++取最小值27. ……10分22.解:(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=. ……4分 (2)因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=,所以311(0)(1)28P X ==-=, 1123113(1)()(1)228P X C ==-=,2213113(2)()(1)228P X C ==-=,311(3)()28P X ===.故X 的概率分布表为: (8)分所以,X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……10分23.解:(1)22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++,因为0i a >,0i b >,所以222112120,0a b a b a a >>,则22211212122a b a b b b a a +≥=, 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+,即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+.所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++,当且仅当22211212a b a b a a =,即2112a b a b =时等号成立. ……2分推广:已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤),则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++. ……………………………4分证明:①当1n =时命题显然成立; 当2n =时,由上述过程可知命题成立; ②假设(2)n k k =≥时命题成立,即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时,有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立, 则1n k =+时,222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++, 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++,可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++,故2222112121kk k k b bb b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++, 故1n k =+时命题也成立.综合①②,由数学归纳法原理可知,命题对一切n N ∈*恒成立. ……6分 (注:推广命题中未包含1n =的不扣分) (2)证明:由(1)中所得的推广命题知01213521nn n nnn C C C C +++++2222012135(21)35(21)nn n nnn C C C n C +=+++++[]2012135(21)35(21)n n n n n n C C C n C +++++≥+++++ ①, …8分 记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++,则1(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++,两式相加,得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++,012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯,故(1)2n n S n =+⨯ ②,又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③,将②③代入①,得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++, 所以,301213521(1)2nnnn nn n n C C C C ++++++≥,证毕. ……10分。
第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式:锥体体积公式:13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式:S rl π=,其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知(,]A m =-∞,(1,2]B =,若B A ⊆,则实数m 的取值范围为 ▲ .2.设复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 3.设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1,则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ .4.一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同), 现从中随机摸出2个球,则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ .5.“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”).6.运行如图所示的算法流程图,则输出S 的值为 ▲ . 7.若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛 物线24y x =交于,,O P Q 三点,且直线PQ 经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为 ▲ .8.函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ .9.若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍,则该圆锥的体积为 ▲ .10.已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π,则(8f π-的值为 ▲ .11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*2()n n S a n n N =+∈,则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ . 12.如图,在18AB B ∆中,已知183B AB π∠=,16AB =,84AB =,点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点,则当9(18)i j i +=≤≤时,i j AB AB ⋅的最大值 为▲ .13.定义:点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,直线m 过点(3,0)P ,若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ,使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0,则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ .14.设ABC ∆的面积为2,若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,则22223a b c ++的最小值为 ▲ .二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知底面ABCD 是菱形,,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点. (1)求证:AC ∥平面DMN ;(2)求证:平面DMN ⊥平面11BB D D .16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,AD 为边BC 上的中线. (1)若4a =,2b =,1AD =,求边c 的长; (2)若2AB AD c ⋅=,求角B 的大小.A B CD D 1A 1B 1C 1M N第15题图 第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7817.(本小题满分14分)如图,是一个扇形花园,已知该扇形的半径长为400米,2AOB π∠=,且半径OC 平分AOB ∠.现拟在OC 上选取一点P ,修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏,设PAO α∠=.(1)将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α,并写出此函数的定义域; (2)试确定α的值,使得()l α最小.18.(本小题满分16分)如图,已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点(2,3)P -是椭圆C 上一点,且1PF x ⊥轴. (1)求椭圆C 的方程;(2)设圆222:()(0)M x m y r r -+=>.①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ,若2MA MB MP MF +=+,且2AB =,求r 的值; ②设2m =-,过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点(异于点P ).试问:是否存在这样的正数r ,使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称?若存在,求出r 的值;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切,则称函数()f x 为“恒切函数”.设函数()xg x ae x pa =--,,a p R ∈.(1)讨论函数()g x 的单调性; (2)已知函数()g x 为“恒切函数”.①求实数p 的取值范围;②当p 取最大值时,若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”,求证:3016m ≤<. (参考数据:320e ≈)20.(本小题满分16分)在数列{}n a 中,已知121,a a λ==,满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列(其中2,n n N ≥∈),且当n 为奇数时,公差为d ;当n 为偶数时,公差为d -. (1)当1λ=,1d =时,求8a 的值;(2)当0d ≠时,求证:数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列;(3)当1λ≠时,记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ,试求数列{}n b 的通项公式.AO BCPα第17题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题](在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)A .(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知半圆O 的半径为5,AB 为半圆O 的直径,P 是BA 延长线上一点,过点P 作半圆O 的切线PC ,切点为C ,CD AB ⊥于D .若2PC PA =,求CD 的长.B .(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量.C .(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(单位长度相同),设曲线C 的极坐标方程为2ρ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.D .(选修4-5:不等式选讲)已知正数,,x y z 满足232x y z ++=,求222x y z ++的最小值.[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分10分)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12. (1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ,求X 的概率分布和数学期望. 23.(本小题满分10分)(1)已知*0,0()i i a b i N >>∈,比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小,试将其推广至一般性结论并证明;(2)求证:3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈. A BCDO· 第21(A )图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.2m ≥ 2.1- 3.4 4.565.充分不必要 6.21 78.(2,3] 9.3 1011.12n - 12.1327 13.3(,]4-∞- 14.二、解答题:本大题共90小题.15.(1)证明:连接11A C ,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,因为11//AA BB ,11//BB CC , 所以11//AA CC ,所以11A ACC 为平行四边形,所以11//A C AC . ……2分 又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点,所以11//MN AC ,所以//AC MN . ……4分 又AC ⊄平面DMN ,MN ⊂平面DMN ,所以AC ∥平面DMN . ……6分 (2)证明:因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱,所以1DD ⊥平面1111A B C D ,而MN ⊂平面1111A B C D , 所以1MN DD ⊥. ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形,所以底面1111A B C D 也是菱形, 所以1111A C B D ⊥,而11//MN AC ,所以11MN B D ⊥.……10分 又1MN DD ⊥,111,DD B D ⊂平面1111A B C D ,且1111DD B D D =,所以MN ⊥平面1111A B C D . ……12分 而MN ⊂平面DMN ,所以平面DMN ⊥平面11BB D D . ……14分16.解:(1)在ADC ∆中,因为11,2,22AD AC DC BC ====,所以由余弦定理,得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯. ……3分 故在ABC ∆中,由余弦定理,得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,所以c = ……6分(2)因为AD 为边BC 上的中线,所以1()2AD AB AC =+,所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+,得cos c b A =. ……10分 则2222b c a c b bc+-=⋅,得222b c a =+,所以90B =︒. ……14分17.解:(1)在APO ∆中,由正弦定理,得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠, 即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+,从而sin()4AP πα=+,400sin sin()4OP απα=+. ……4分 所以()l α=400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA απαα++=+=+++,故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+,3(0,)8πα∈. ……6分(2)记3()(0,)8sin()4f πααα==∈+,因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-=+, ……10分 由()0f α'=,得1sin()42πα-=-,又3(0,)8πα∈,所以12πα=. ……12分列表如下:所以,当12πα=时,()l α取得最小值.答:当12πα=时,()l α最小. ……14分18.解:(1)因点(2,3)P -是椭圆C 上一点,且1PF x ⊥轴,所以椭圆的半焦距2c =,由22221c y a b+=,得2b y a =±,所以2243b a a a -==, ……2分 化简得2340a a --=,解得4a =,所以212b =,所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. ……4分 (2)①因2MA MB MP MF +=+,所以2MA MP MF MB -=-,即2PA BF =,ABCDDABCM N所以线段2PF 与线段AB 的中点重合(记为点Q ),由(1)知3(0,)2Q , ……6分 因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ,所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-,所以303021m --⋅=-,解得98m =-,……8分 所以158MQ ==,故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称,设00(,)G x y ,则00(,)H x y --,不妨设00x <,因(2,3)P -,2m =-,所以两条切线的斜率均存在,设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ,则切线方程为3(2)y k x -=+,即230kx y k -++=,由该直线与圆M 相切,得r =,即k =12分 所以两条切线的斜率互为相反数,即PG PH k k =-,所以00003322y y x x ---=-+-+,化简得006xy =-,即006y x -=,代入220011612x y +=, 化简得420016480x x -+=,解得02x =-(舍),0x =-0y ……14分所以(G -,H,所以332PG k -==, 所以r ==. 故存在满足条件的r ,且7r =. ……16分 19.解:(1)()1xg x ae '=-, ……2分当0a ≤时,()0g x '<恒成立,函数()g x 在R 上单调递减;当0a >时,由()0g x '=得ln x a =-,由()0g x '>得ln x a >-,由()0g x '<得ln x a <-, 得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递,在(ln ,)a -+∞上单调递增. ……4分 (2)①若函数()f x 为“恒切函数”,则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切,设切点为00(,)x y ,则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+,即0()0f x '=,0()0f x =. 因为函数()g x 为“恒切函数”,所以存在0x ,使得0()0g x '=,0()0g x =,即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩, 得00x a e -=>,00(1)x p e x =-,设()(1)x m x e x =-, ……6分则()xm x xe '=-,()0m x '<,得0x >,()0m x '>,得0x <,故()m x 在(,0)-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减,从而[]max ()(0)1m x m ==,故实数p 的取值范围为(,1]-∞. ……8分 ②当p 取最大值时,1p =,00x =,01x a e-==,()(1)x x h x e x e m =---,()(22)x x h x e x e '=--,因为函数()h x 也为“恒切函数”, 故存在0x ,使得0()0h x '=,0()0h x =,由0()0h x '=得000(22)0xx e x e--=,00220x e x --=,设()22x n x e x =--, ……10分则()21xn x e '=-,()0n x '>得ln 2x >-,()0n x '<得ln 2x <-, 故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上,(0)0n =,故00x =,由0()0h x =,得0m =;…12分 2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上,2(2)20n e--=>,31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<,又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断,故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ,使得00220x e x --=,故0022xx e +=,此时由0()0h x =,得00000022(1)(1)22x xx x m e x e x ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++,函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增,(2)0r -=,33()216r -=,故3016m <<.综上1°2°所述,3016m ≤<. ……16分20.解:(1)由1λ=,1d =,所以21a =,234,,a a a 为等差数列且公差为1-,所以4221a a =-=-,又458,,a a a 为等差数列且公差为1,所以8443a a =+=. ……2分(2)当21n k =+时,22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ,所以2122222k k k a a d +=+,同理可得22121222k k k a a d --=-, ……4分两式相加,得212121222k k k a a d +---=;当2n k =时,同理可得2222222k k ka a d +-=-, ……6分 所以222||2n n na a d +-=.又因为0d ≠,所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-, 所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列. ……8分(3)因为2a λ=,所以4222a a d d λ=-=-,由(2)知212121222k k k a a d +--=+,所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++,依次下推,得211132321222222k k k a a d d d d +--=+++++,所以21222(21)3k ka d λ+=+-, ……10分当212222k k n ++≤≤时,212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--, 由2m a a =,得232233k m +=-,所以23212233k k b ++=-, 所以22233n n b +=-(n 为奇数); ……12分 由(2)知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--,依次下推,得22224222222222k k ka a d d d d +-=-----,所以22224(21)23k ka d d λ+-=--, ……14分 当222322k k n ++≤≤时,222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--, 由2m a a =,得242233k m +=+,所以24222233k k b ++=+. 所以22233n n b +=+(n 为偶数). 综上所述,2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数)为奇数). ……16分方法二:由题意知,23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅, ……10分当n 为奇数时,1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -,1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d , 所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---,11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-,则由12n n b b a a a +==,得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-,即212n n n b b +++=.同理,当n 为偶数时,也有212n n n b b +++=.故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈. ……12分 ①当n 为奇数时,由3212n n n b b ++++=,212n n n b b +++=,相减,得222n n n b b ++-=, 所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--.……14分②当n 为偶数时,同理可得22233n n b +=+. 综上所述,2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数)为奇数). ……16分附加题答案21.(A )解:连,AC BC ,因PC 为半圆O 的切线,所以PCA B ∠=∠.又P P ∠=∠, 所以PCA ∆∽PBC ∆,所以12PA AC PC BC ==, 即2AC BC =. ……5分 因AB 为半圆O 的直径,所以22225AB AC BC AC =+=,因半圆O 的半径为5,所以21005AC =,所以AC BC ==由射影定理,得2AC AD AB =⋅,解得2AD =,所以4CD ==. ……10分(B )解:由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,解得11a b =-⎧⎨=⎩,所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---,由()0f λ=,得2,1λλ==,所以矩阵M 的另一个特征值为2. ……6分 此时0 1()0 1f λ=,对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩,所以0y =,所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……10分 (C )解:直线的普通方程为10x y +-=;由2ρ=,得曲线C 的普通方程为224x y +=, ………………………5分所以2d ==,所以直线l 被曲线C截得的弦长为=. ……10分(D )解:根据柯西不等式,有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++,因232x y z ++=,所以222222421237x y z ++≥=++, ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立,解得123,,777x y z ===,即当123,,777x y z ===时,222x y z ++取最小值27. ……10分22.解:(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=. ……4分A BCDO·(2)因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=,所以311(0)(1)28P X ==-=, 1123113(1)()(1)228P X C ==-=,2213113(2)()(1)228P X C ==-=,311(3)()28P X ===.故X 的概率分布表为:…………8分所以,X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……10分23.解:(1)22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++,因为0i a >,0i b >,所以222112120,0a b a b a a >>,则22211212122a b a b b b a a +≥=, 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+,即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+. 所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++,当且仅当22211212a b a ba a =,即2112a b a b =时等号成立. ……2分 推广:已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤),则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++. ……………………………4分证明:①当1n =时命题显然成立;当2n =时,由上述过程可知命题成立; ②假设(2)n k k =≥时命题成立, 即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时,有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立, 则1n k =+时,222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++, 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++,可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++, 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++, 故1n k =+时命题也成立.综合①②,由数学归纳法原理可知,命题对一切n N ∈*恒成立. ……6分(注:推广命题中未包含1n =的不扣分)(2)证明:由(1)中所得的推广命题知01213521nn n nnn C C C C +++++2222012135(21)35(21)nn n n n n C C C n C +=+++++[]2012135(21)35(21)n n n n nn C C C n C +++++≥+++++ ①, …8分 记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++,则10(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++,两式相加,得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++,012(22)()(22)2n n n n n n n C C C C n =+++++=+⨯,故(1)2n n S n =+⨯ ②,又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③,将②③代入①,得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22nn nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++, 所以,301213521(1)2n nn n nn n n C C C C ++++++≥,证毕. ……10分。
市、市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的、号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式:柱体体积公式:V Sh =,其中S 为底面积,h 为高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1.已知集合{}|(4)0A x x x =-<,{}0,1,5B =,则AB = ▲ .2.设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位),若(1)i z +⋅为纯虚数,则a 的值为 ▲ .3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)的学生人数为 ▲ .4.执行如图所示的伪代码,若0x =,则输出的y 的值为 ▲ .5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ .6.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合,则实数p 的值为 ▲ . 7.设函数1x x y e a e=+-的值域为A ,若[0,)A ⊆+∞,则实数a 的取值围是 ▲ .时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 第4题图8.已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=,则αβ+的值为 ▲ . 9.若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增,则实数ω的取值围是 ▲ . 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018,则2017S 的值为 ▲ .11.设函数()f x 是偶函数,当x ≥0时,()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩,若函数()y f x m =-有四个不同的零点,则实数m 的取值围是 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中,若直线(33)y k x =-上存在一点P ,圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ,满足3OP OQ =,则实数k 的最小值为 ▲ .13.如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则CD AB ⋅的最大值为 ▲ .14.若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立,则实数k 的最小值为 ▲ .二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域) 15.(本小题满分14分)如图所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,点,M N 分别是11,AB A B 的中点.(1)求证:BN ∥平面1A MC ; (2)若11A M AB ⊥,求证:11AB AC ⊥.16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. (1)若2C B =,求cos B 的值; (2)若AB AC CA CB ⋅=⋅,求cos()4B π+的值.17.(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB 长为6分米,另一边足够长.现从中截A第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图取矩形ABCD (如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好..能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形,且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N . (1)当BE 长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;(2)当BE 的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ,点,M N 是椭圆上异于点B 的动点,直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ,且点Q 是线段OP 的中点.当点N运动到点处时,点Q的坐标为. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线MN 交y 轴于点D ,当点,M N 均在y 轴右侧,且2DN NM =时,求直线BM 的方程.第17题-图甲 F 第17题-图乙19.(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-,其中2n ,且n N ∈,λ为常数.(1)若{}n a 是等差数列,且公差0d ≠,求λ的值;(2)若1231,2,4a a a ===,且存在[3,7]r ∈,使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立,求m 的最小值;(3)若0λ≠,且数列{}n a 不是常数列,如果存在正整数T ,使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20.(本小题满分16分)设函数()ln f x x =,()bg x ax c x=+-(,,a b c R ∈). (1)当0c =时,若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线,求,a b 的值; (2)当3b a =-时,若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈,总存在不相等的正实数12,x x ,使得120()()()g x g x f x ==,求c 的最小值;(3)当1a =时,设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点.求证:122121x x x b x x x -<<-.市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.{}1 2.1 3.1200 4.1 5.236.6 7.(,2]-∞8.34π 9.1(0,]4 10.4034 11.9[1,)412. 13.24 14.100二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域. 15.证明:(1)因为111ABC A B C -是直三棱柱,所以11//AB A B ,且11AB A B =,又点,M N 分别是11,AB A B 的中点,所以1MB A N =,且1//MB A N . 所以四边形1A NBM是平行四边形,从而1//A M BN . ……………4分又BN ⊄平面1A MC ,1A M ⊂平面1A MC ,所以BN ∥面1A MC . ……………6分(2)因为111ABC A B C -是直三棱柱,所以1AA ⊥底面ABC ,而1AA ⊂侧面11ABB A ,所以侧面11ABB A ⊥底面ABC .又CA CB =,且M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥.则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ,侧面11ABB A 底面ABC AB =,CM AB ⊥,且CM ⊂底面ABC,得CM ⊥侧面11ABB A . ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ,所以1AB CM ⊥. ……………10分又11AB A M ⊥,1,A M MC ⊂平面1A MC ,且1A M MC M =,所以1AB ⊥平面1A MC . ……………12分又1AC ⊂平面1A MC,所以11AB A C ⊥. ……………14分16.解:(1)因为52c b =,则由正弦定理,得5sin C B =. ……………2分 又2C B=,所以5sin 2B B =,即4sin cos 5B B B =. ……………4分又B是ABC ∆的角,所以sin 0B >,故5cos B =. ……………6分(2)因为AB AC CA CB ⋅=⋅, 所以cos cos cb A ba C =,则由余弦定理,得222222b c a b a c +-=+-,得a c =. ……………10分从而2223cos 25a cb B ac+-===, (12)分又0B π<<,所以4sin 5B ==. 从而34cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-. (14)分17.解:(1)在图甲中,连接MO 交EF 于点T .设OE OF OM R ===,在Rt OET ∆中,因为1602EOT EOF ∠=∠=︒,所以2ROT =,则2RMT OM OT =-=. 从而2R BE MT ==,即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=……………4分又所得柱体的高4EG =,所以V S EG =⨯=163π-答:当BE 长为1分米时,折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分(2)设BE x =,则2R x =,所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-,所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+,其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈,则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=, 解得2x =. …………………12分答:当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18.解:(1)由N Q,得直线NQ的方程为32y x=…………………2分令0x=,得点B的坐标为(0,.所以椭圆的方程为22213x ya+=.…………………4分将点N的坐标)22(213+=,解得24a=.所以椭圆C的标准方程为22143x y+=. (8)分(2)方法一:设直线BM的斜率为(0)k k>,则直线BM的方程为y kx=在y kx=0y=,得Pxk=,而点Q是线段OP的中点,所以2Qxk=.所以直线BN的斜率2BN BQk k k===.………………10分联立22143y kxx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩,消去y,得22(34)0k x+-=,解得234Mxk=+.用2k代k,得Nx=.………………12分又2DN NM=,所以2()N M Nxx x=-,得23M Nx x=.………………14分故23=0k>,解得k=.所以直线BM的方程为2y x =-. ………………16分 方法二:设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .由(0,B ,得直线BN的方程为1y x =0y =,得P x =.同理,得Q x =.而点Q 是线段OP的中点,所以2P Qx x =,故=…………………10分 又2DN NM =,所以2122()x x x =-,得21203x x =>4=解得2143y y =+ …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中,得2211(41927x y ++=. 又22114(1)3y x =-,所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=, 解得1y =(舍)或1y =.又10x >,所以点M 的坐标为M .……………14分故直线BM 的方程为y x =-. …………………16分19.解:(1)由题意,可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+,化简得2(1)0d λ-=,又d ≠,所以1λ=. ………………4分(2)将1231,2,4a a a ===代入条件,可得414λ=⨯+,解得0λ=,所以211n n n a a a +-=,所以数列{}n a 是首项为1,公比2q =的等比数列,所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈,使得12n m n r -⋅-,即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立,则172n n m --⋅,所以172n n m --对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=,则11678222n n nn n n n nb b +-----=-=, 所以当8n >时,1n n b b +<;当8n =时,98b b =;当8n <时,1n n b b +>.所以n b 的最大值为981128b b ==,所以m 的最小值为1128. ………………10分 (3)因为数列{}n a 不是常数列,所以2T .①若2T =,则2n n a a +=恒成立,从而31a a =,42a a =,所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩, 所以221()0a a λ-=,又0λ≠,所以21a a =,可得{}n a 是常数列.矛盾.所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =,取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩(*),满足3n n a a +=恒成立. ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-,得7λ=. 则条件式变为2117n n n a a a +-=+.由221(3)7=⨯-+,知223132321()k k k a a a a a λ--=+-;由2(3)217-=⨯+,知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-; 由21(3)27=-⨯+,知223133221()k k k a a a a a λ++=+-.所以,数列(*)适合题意. 所以T的最小值为3. ………………16分20.解:(1)由()ln f x x =,得(1)0f =,又1()f x x'=,所以(1)1f '=,. 当c =时,()bg x ax x=+,所以2()bg x a x'=-,所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线,所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩,即10a b a b -=⎧⎨+=⎩,解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分 (2)当01x >时,则0()0f x >,又3b a =-,设0()t f x =,则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x . ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x .所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩,得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩, 所以c t>对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立. ………………8分因为03a <<,所以)2(3a +⨯=(当且仅当32a =时取等号), 又0t -<,所以t 的取值围是(,3)-∞,所以3c .故c 的最小值为3. ………………10分(3)当1a =时,因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点,所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩,两式相减,得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-,即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--, 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-,即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分 令21x t x =,则1t >,此时即证11ln 1t t t-<<-. 令1()ln 1t t t ϕ=+-,所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>,所以当1t >时,函数()t ϕ单调递增.又(1)0ϕ=,所以1()ln 10t t tϕ=+->,即11ln t t-<成立; 再令()ln 1m t t t =-+,所以11()10tm t t t-'=-=<,所以当1t >时,函数()m t 单调递减,又(1)0m =,所以()ln 10m t t t =-+<,即ln 1t t <-也成立.综上所述,实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21.(A )解:如图,连接AE ,OE ,因为直线DE 与⊙O 相切于点E ,所以DE OE ⊥,又因为AD 垂直DE 于D ,所以//AD OE ,所以DAE OEA ∠=∠,① 在⊙O 中OE OA =,所以OEA OAE ∠=∠,② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠,即DAE ∠FAE =∠, 又ADE AFE ∠=∠,AE AE =,所以ADE AFE ∆≅∆,所以DE FE =,又4DE =,所以4FE =, 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分(B )解:设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点,则22001x y +=,设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ,则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即002x x y y =⎧⎨=⎩,解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩, ………………5分 代入22001x y +=,得2214x y +=,即为所求的曲线方程. ………………10分(C )解:以极点O 为原点,极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系,ABE DF O · 第21(A)图由cos()13πρθ+=,得(cos cossin sin )133ππρθθ-=, 得直线的直角坐标方程为20x -=. ………………5分曲线r ρ=,即圆222x y r +=,所以圆心到直线的距离为1d ==.因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切,所以r d =,即1r =. ……………10分(D)解:由柯西不等式,得22222[)][1](1x x ++≥⨯+, 即2224(3)()3x y x y +≥+. 而2231x y +=,所以24()3x y +≤,所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩,得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以当且仅当26x y ==时,max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为2x =. ………………10分 22.解:(1)因为ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥.又OP ⊥底面ABCD ,以O 为原点,直线,,OA OB OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系. 则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -. 所以(2,0,4)AP =-,(1,1,2)BM =--,10AP BM ⋅=,||25AP =,||6BM =.则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===. 故直线AP 与BM . ………5分 (2)(2,1,0)AB =-,(1,1,2)BM =--.C第22题图设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩,令2x =,得4y =,3z =.得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =.又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =,所以n 4OB ⋅=,||29n =,||1OB =.则4cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23.解:(1)由条件,()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①,在①中令1n =,得()011111f C C ==. ………………1分在①中令2n =,得()011222222226f C C C C =+=,得()23f =. ………………2分在①中令3n =,得()011223333333332330f C C C C C C =++=,得()310f =. ………………3分(2)猜想()f n =21nn C -(或()f n =121n n C --). ………………5分 欲证猜想成立,只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立.方法一:当1n =时,等式显然成立,当2n 时,因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----(),故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==.故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+. 而11r n r n n C C --+=,故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②. 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得,左边nx 的系数为21n n C -.而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++,所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上,()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二:构造一个组合模型,一个袋中装有21n -个小球,其中n 个是编号为1,2,…,n的白球,其余n -1个是编号为1,2,…,n -1的黑球,现从袋中任意摸出n 个小球,一方面,由分步计数原理其中含有r 个黑球(n r -个白球)的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --,01r n ≤≤-,由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++.另一方面,从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -.故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++,即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三:由二项式定理,得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++ ③.两边求导,得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④.③×④,得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤.左边n x 的系数为21nn nC -.右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.由⑤恒成立,可得011211212n r r n n n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.故()21nn f n C -=成立. ………………10分。
高三数学期末试卷一、填空题1. 已知集合,则__________.【答案】【解析】因为,,所以,故填.点睛:集合是高考中必考的知识点,一般考查集合的表示、集合的运算比较多.对于集合的表示,特别是描述法的理解,一定要注意集合中元素是什么,然后看清其满足的性质,将其化简;考查集合的运算,多考查交并补运算,注意利用数轴来运算,要特别注意端点的取值是否在集合中,避免出错.2. 复数,其中为虚数单位,则的虚部为__________.【答案】5【解析】因为,所以的虚部为5.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数,共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化,转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.3. 在平面直角坐标系中,双曲线的焦距为__________.【答案】10【解析】由双曲线方程知,所以,即焦距为10. 4. 某校对全校1200名男女学生进行健康调查,采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本,已知女生抽了95人,则该校的男生数是__________.【答案】630【解析】每层的抽样比为,女生抽了95人,所以男生抽取105人,因此共有男生人,故填630.5. 运行如图所示的伪代码,则输出的结果为__________.【答案】9【解析】运行程序一次,,第二次运行后,第三次运行后,第四次运行后,不满足条件,跳出循环,输出,故填9.点睛:处理此类问题时,一般模拟程序的运行,经过几次运算即可跳出循环结束程序,注意每次循环后变量的变化情况,寻找规律即可顺利解决,对于运行次数比较多的循环结构,一般能够找到周期或规律,利用规律或周期确定和时跳出循环结构,得到问题的结果.6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有,,,,,个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和不小于10的概率为__________.【答案】【解析】先后抛掷一颗骰子,共得到基本事件个,其中向上点数之和不小于10的基本事件有,共6个,所以其发生的概率为,故填.7. 在等差数列中,若,则其前9项和的值为__________.【答案】27【解析】根据等差数列的性质知,,所以,又,故填27.8. 若,则的最小值是__________.【答案】9【解析】因为,所以,化简得,所以,当且仅当时等号成立,故填9.点睛:解决此类问题,重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式,很多情况下,要根据一正、二定、三取等的思路去思考,本题根据条件,构造研究的式子乘以1后变形,即可形成所需条件,应用均值不等式.9. 已知椭圆与圆,若椭圆上存在点,由点向圆所作的两条切线,且,则椭圆的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】因为,所以,在RT 中,由得,由点在椭圆上知,,所以,解得,又知,故填.10. 设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是______.①若则②若,则③若,则;④若,则【答案】①②【解析】对于①,则正确;②若,则正确;③若,可能,故错误;④若,则也可相交,故错误,综上填①②.11. 已知,,且,则______.【答案】-2【解析】因为,,所以,由得:,所以,故填.12. 已知函数,其中为自然对数的底数,若函数与的图像恰有一个公共点,则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】因为,所以函数在上为增函数且,所以当时,与有一个公共点,当时,令有一解即可,设,令得,即当时,有极小值,故当时有一公共点,故填或.13. 已知函数,若关于的不等式的解集为空集,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由,当时,无解,适合题意;当时,的解为,此时只需恒成立,即恒成立,所以只需,解得;当时,的解为,此时只需恒成立,即恒成立,所以只需,解得,综上知,故填.14. 已知的周长为6,且成等比数列,则的取值范围是______.【答案】【解析】因为成等比数列,所以,从而,所以,又,即,解得,故.二、解答题15. 如图,在四棱锥中,底面,,是以为斜边的等腰直角三角形,是上的点求证:(1)平面(2)平面平面【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)由可得线面平行;(2)要证面面垂直,找线面垂直,AC可证与PC、CD垂直,其中利用勾股定理逆定理可证得......................试题解析:(1)∵,平面,平面,∴平面.(2)底面,底面由题意可知,且是等腰直角三角形,即又平面平面平面平面16. 如图,在点在边上,为垂足.(1)若的面积为,求的长(2)若,求角的大小【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意,根据三角形的面积公式,求出,再根据余弦定理得,求出的值,由,求得的值;(2)由题意,根据角的正弦值,得,由题意,又根据正弦定理,即,从而可求得角的值.试题解析:(1)∵的面积为,,∴,∴.在中,由余弦定理可得由题意可得.∴.(2)∵,∴,在中,由正弦定理可得.∵,∴,∴.∴.点睛:此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用,属于中档题型,也是常考考点.在解决此类问题过程中,常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形,再运用三角公式进行恒等变形及运算,以已知角为线索,寻找合适的正弦定理、余弦定理,从而解决问题.17. 我校为丰富师生课余活动,计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为(平方米)的矩形健身场地,如图,点在上,点在上,且点在斜边上,已知,米,米,.设矩形健身场地每平方米的造价为元,再把矩形以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为元(为正常数)(1)试用表示,并求的取值范围;(2)求总造价关于面积的函数;(3)如何选取,使总造价最低(不要求求出最低造价)【答案】(1) (2) 选取的长为12米或18米时总造价最低【解析】试题分析:(1)在中,显然,,根据面积公式写出矩形面积;(2)矩形健身场地造价,又的面积为,即草坪造价,写出总造价即可;(3)根据均值不等式即可求出造价的最小值.试题解析:(1)在中,显然,,矩形的面积于是为所求(2)矩形健身场地造价又的面积为,即草坪造价,由总造价(3)当且仅当即时等号成立,此时,解得或答:选取的长为12米或18米时总造价最低.18. 给定椭圆,称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点(1)若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点,求被椭圆的伴随圆所截得的弦长:(2)是椭圆上的两点,设是直线的斜率,且满足,试问:直线是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由。
盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.参考公式:..一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1的取值范围为▲.2的值为▲.31的方差为▲.4.一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同),现从中随机摸出2个球,则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为▲.5.”成立的▲条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”).6.运行如图所示的算法流程图,则输出S的值为▲.7线的焦点,则该双曲线的离心率为▲.8的定义域为▲.9.若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍,则该圆锥的体积为▲.10且其图象的的值为▲.11127等为▲.13142为▲.二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.(本小题满分14分)在直四棱柱,已知底菱形别是棱(1(216.(本小题满分14分)(1(217.(本小题满分14分)如图,是一个扇形花园,已知该扇形的半径长为(1)并写出此函数的定义域;(218.(本小题满分16分)如图,右焦点,(1(2求的值;19.(本小题满分16分)(1(2.“恒切函数”,20.(本小题满分16分)(1(2(3盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题](在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) A .(选修4-1:几何证明选讲)5B .(选修4-2:矩阵与变换)1C .(选修4-4:坐标系与参数方程)D.(选修4-5:不等式选讲)[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)22.(本小题满分10分)(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;(223.(本小题满分10分)(1性结论并证明;(2盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.123.4 45.充分不必要6.21 7891011121314二、解答题:本大题共90小题.15.(1所以,所以为平行四边形,所以……2分分别是棱的中点,所以,所以……6分(2……8分10分所以平面B C D……12分平面,所以平面N平面……14分16.解:(1……以 (6)(2)因为为边上的中线,所以,所以,得A分则,得a,所以……14分17.解:(1……4分故所求函数为(2s,……6分 (2c……10分由,得),又),所以……12分列表如下:答:当时,最小. ……14分18.解:(1,得,所以……2分,解得,所以,所以椭圆的方程为(2所以线段与线段的中点重合(记为点),由(1)知)……6分所以,解得……8分所以,故……10分②即,由该直线与圆M相切,得,即……12分……14分存在满足条件的,且……16分解:(1)……2分得函数在上单调递,在上单调递增.(2)“恒切函数”,设切,得,,设故实数的取值范围为……8分,得,,设-……10分x1……12分2在上递增,,,故上1°2°所述,……16分20.解:(1为等差数列且公差为,所以……2分(2所以,同理可得……4分时,同理可得……6分所以数列是以2为公比的等比数列.(32以 (10)所以(为奇数);……12分由(2以 (14).所述,……16分意知,122n……10分同理,当为偶数时,也有.故恒有……12分以……14分综上所述,……16分附加题答案21.(A……5分5,得,解得,所以……10分(B)解:由题意得,解得,所以1 (2)分由,得1,所以矩阵的另一个特征值为2.……6分所以另一个特征值2对应的一个特征向量为……10分(C )解:直线的普通方程为得曲的普通方程为5分,所以直线被曲线截得的弦长为 ……10分(D,所以……5分即当3时,z 取最小值……10分 1)甲恰好通过两个项目测试的概率为……4分(2,,……8分的数学期望……10分23.解:(1因为,,所以,则2112,即所以,当且仅当,即2时等号成立.,(),则4分时,立,综合①②,由数学归纳法原理可知,命题对一切恒成立. ……6分(2)证明:由(1②,③,所以,21(,证毕.。
市、市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的、号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式:柱体体积公式:V Sh =,其中S 为底面积,h 为高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1.已知集合{}|(4)0A x x x =-<,{}0,1,5B =,则A B =I ▲ .2.设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位),若(1)i z +⋅为纯虚数,则a 的值为 ▲ .3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)的学生人数为 ▲ .4.执行如图所示的伪代码,若0x =,则输出的y 的值为 ▲ .5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ .6.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合,则实数p 的值为 ▲ . 7.设函数1x x y e a e=+-的值域为A ,若[0,)A ⊆+∞,则实数a 的取值围是 ▲ .8.已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=,则αβ+的值为 ▲ . 9.若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增,则实数ω的取值围是 ▲ .10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018,则2017S 的值为 ▲ .时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 第4题图11.设函数()f x 是偶函数,当x ≥0时,()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩,若函数()y f x m =- 有四个不同的零点,则实数m 的取值围是 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中,若直线(33)y k x =-上存在一点P ,圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ,满足3OP OQ =u u u r u u u r,则实数k 的最小值为 ▲ .13.如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则⋅的最大值为 ▲ .14.若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立,则实数k 的最小值为 ▲ .二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域) 15.(本小题满分14分)如图所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,点,M N 分别是11,AB A B 的中点.(1)求证:BN ∥平面1A MC ; (2)若11A M AB ⊥,求证:11AB A C ⊥.16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知5c =. (1)若2C B =,求cos B 的值;(2)若AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,求cos()4B π+的值.A第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB 长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD (如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好..能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形,且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N . (1)当BE 长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;(2)当BE 的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ,点,M N 是椭圆上异于点B 的动点,直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ,且点Q 是线段OP 的中点.当点N 运动到点2处时,点Q的坐标为(,0)3. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线MN 交y 轴于点D ,当点,M N 均在y 轴右侧,且2DN NM =u u u r u u u u r时,求直线BM 的方程.第17题-图甲 F H 第17题-图乙设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-,其中2n …,且n N ∈,λ为常数.(1)若{}n a 是等差数列,且公差0d ≠,求λ的值;(2)若1231,2,4a a a ===,且存在[3,7]r ∈,使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立,求m 的最小值;(3)若0λ≠,且数列{}n a 不是常数列,如果存在正整数T ,使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20.(本小题满分16分)设函数()ln f x x =,()bg x ax c x=+-(,,a b c R ∈). (1)当0c =时,若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线,求,a b 的值;(2)当3b a =-时,若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈,总存在不相等的正实数12,x x ,使得120()()()g x g x f x ==,求c 的最小值;(3)当1a =时,设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点.求证:122121x x x b x x x -<<-.市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题](在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域)A .(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知AB 为⊙O 的直径,直线DE 与⊙O 相切于点E ,AD 垂直DE 于点D . 若4DE =,求切点E 到直径AB 的距离EF .B .(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C .(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切,求r 的值.D .(选修4-5:不等式选讲)已知实数,x y 满足2231x y +=,求当x y +取最大值时x 的值.A B ED F O· 第21(A)图[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域) 22.(本小题满分10分)如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,AC 与BD 交于点O ,OP ⊥底面ABCD ,点M 为PC 中点,4,2,4AC BD OP ===.(1)求直线AP 与BM 所成角的余弦值;(2)求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.23.(本小题满分10分)已知n N *∈,()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.(1)求()1,f ()2,f ()3f 的值;(2)试猜想()f n 的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.M B C D O P 第22题图市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1.{}1 2.1 3.1200 4.1 5.236.6 7.(,2]-∞ 8.34π 9.1(0,]4 10.4034 11.9[1,)412.3.24 14.100 二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域. 15.证明:(1)因为111ABC A B C -是直三棱柱,所以11//AB A B ,且11AB A B =,又点,M N 分别是11,AB A B 的中点,所以1MB A N =,且1//MB A N .所以四边形1A NBM 是平行四边形,从而1//A M BN . ……………4分 又BN ⊄平面1A MC ,1A M ⊂平面1A MC ,所以BN ∥面1A MC . ……………6分 (2)因为111ABC A B C -是直三棱柱,所以1AA ⊥底面ABC ,而1AA ⊂侧面11ABB A ,所以侧面11ABB A ⊥底面ABC .又CA CB =,且M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥.则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ,侧面11ABB A I 底面ABC AB =,CM AB ⊥,且CM ⊂底面ABC ,得CM ⊥侧面11ABB A . ……………8分 又1AB ⊂侧面11ABB A ,所以1AB CM ⊥. ……………10分又11AB A M ⊥,1,A M MC ⊂平面1A MC ,且1A M MC M =I ,所以1AB ⊥平面1A MC . ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ,所以11AB A C ⊥. ……………14分 16.解:(1)因为5c =,则由正弦定理,得5sin C B =. ……………2分 又2C B =,所以5sin 22B B =,即4sin cos 5B B B =. ……………4分 又B 是ABC ∆的角,所以sin 0B >,故5cos 4B =. ……………6分(2)因为AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r, 所以cos cos cb A ba C =,则由余弦定理,得222222b c a b a c +-=+-,得a c =. ……………10分从而222()35cos 25c c c a c b B ac +-+-===, ……………12分又0B π<<,所以24sin 1cos 5B B =-=.从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-. ……………14分17.解:(1)在图甲中,连接MO 交EF 于点T .设OE OF OM R ===,在Rt OET ∆中,因为1602EOT EOF ∠=∠=︒,所以2ROT =,则2R MT OM OT =-=.从而2RBE MT ==,即22R BE ==. ……………2分 故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-分又所得柱体的高4EG =,所以V S EG =⨯=163π-答:当BE 长为1分米时,折卷成的包装盒的容积为163π-分(2)设BE x =,则2R x =,所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-,所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+,其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈,则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=,解得2x =. …………………12分列表如下:所以当x =答:当BE 的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18.解:(1)由2N Q ,得直线NQ 的方程为32y x = …………………2分 令0x =,得点B 的坐标为(0,.所以椭圆的方程为22213x y a +=. …………………4分 将点N的坐标2213=,解得24a =. 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. …………………8分 (2)方法一:设直线BM 的斜率为(0)k k >,则直线BM 的方程为y kx =-在y kx =0y =,得P x =,而点Q 是线段OP 的中点,所以Q x = 所以直线BN 的斜率2BN BQk k k ===. ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,消去y,得22(34)0k x +-=,解得M x =. 用2k 代k,得2316N x k =+. ………………12分又2DN NM =u u u r u u u u r ,所以2()N M N x x x =-,得23M N x x =. ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++,又0k >,解得2k =. 所以直线BM的方程为2y x =. ………………16分 方法二:设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .由(0,B ,得直线BN的方程为1y x =0y =,得P x =同理,得Q x =.而点Q 是线段OP 的中点,所以2P Q x x ==…………………10分 又2DN NM =u u u r u u u u r ,所以2122()x x x =-,得21203x x =>4=,解得2143y y =. …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中,得2211(41927x y ++=. 又22114(1)3y x =-,所以214(1)319y -+=21120y +=,解得1y =1y =.又10x >,所以点M的坐标为(3M .……………14分 故直线BM的方程为y x =-. …………………16分 19.解:(1)由题意,可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+,化简得2(1)0d λ-=,又0d ≠,所以1λ=. ………………4分 (2)将1231,2,4a a a ===代入条件,可得414λ=⨯+,解得0λ=,所以211n n n a a a +-=,所以数列{}n a 是首项为1,公比2q =的等比数列,所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈,使得12n m n r -⋅-…,即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立,则172n n m --⋅…,所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分 令172n n n b --=,则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=,所以当8n >时,1n n b b +<;当8n =时,98b b =;当8n <时,1n n b b +>.所以n b 的最大值为981128b b ==,所以m 的最小值为1128. ………………10分(3)因为数列{}n a 不是常数列,所以2T ….①若2T =,则2n n a a +=恒成立,从而31a a =,42a a =,所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩, 所以221()0a a λ-=,又0λ≠,所以21a a =,可得{}n a 是常数列.矛盾.所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =,取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩(*),满足3n n a a +=恒成立. ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-,得7λ=. 则条件式变为2117n n n a a a +-=+.由221(3)7=⨯-+,知223132321()k k k a a a a a λ--=+-;由2(3)217-=⨯+,知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-; 由21(3)27=-⨯+,知223133221()k k k a a a a a λ++=+-.所以,数列(*)适合题意.所以T 的最小值为3. ………………16分20.解:(1)由()ln f x x =,得(1)0f =,又1()f x x'=,所以(1)1f '=,. 当0c =时,()b g x ax x =+,所以2()bg x a x'=-,所以(1)g a b '=-. ………………2分 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线,所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩,即10a b a b -=⎧⎨+=⎩,解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分(2)当01x >时,则0()0f x >,又3b a =-,设0()t f x =,则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x . ………………6分 即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x .所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩,得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩,所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立. ………………8分因为03a <<,所以23=(当且仅当32a =时取等号), 又0t -<,所以t 的取值围是(,3)-∞,所以3c …. 故c 的最小值为3. ………………10分 (3)当1a =时,因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点,所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩,两式相减,得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分 要证明122121x x x b x x x -<<-,即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--, 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-,即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分 令21x t x =,则1t >,此时即证11ln 1t t t-<<-. 令1()ln 1t t t ϕ=+-,所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>,所以当1t >时,函数()t ϕ单调递增.又(1)0ϕ=,所以1()ln 10t t t ϕ=+->,即11ln t t-<成立;再令()ln 1m t t t =-+,所以11()10tm t t t-'=-=<,所以当1t >时,函数()m t 单调递减,又(1)0m =,所以()ln 10m t t t =-+<,即ln 1t t <-也成立.综上所述, 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21.(A )解:如图,连接AE ,OE ,因为直线DE 与⊙O 相切于点E ,所以DE OE ⊥,又因为AD 垂直DE 于D ,所以//AD OE ,所以DAE OEA ∠=∠,① 在⊙O 中OE OA =,所以OEA OAE ∠=∠,② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠,即DAE ∠FAE =∠, 又ADE AFE ∠=∠,AE AE =,所以ADE AFE ∆≅∆,所以DE FE =,又4DE =,所以4FE =, 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分(B )解:设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点,则22001x y +=,ABE DF O · 第21(A)图设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ,则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即002x x y y =⎧⎨=⎩,解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩, ………………5分代入2201x y +=,得2214x y +=,即为所求的曲线方程. ………………10分 (C )解:以极点O 为原点,极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系,由cos()13πρθ+=,得(cos cossin sin )133ππρθθ-=,得直线的直角坐标方程为20x --=. ………………5分曲线r ρ=,即圆222x y r +=,所以圆心到直线的距离为1d ==.因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切,所以r d =,即1r =. ……………10分(D)解:由柯西不等式,得22222[)][1(](1)33x x ++≥⨯+⨯, 即2224(3)()3x y x y +≥+. 而2231x y +=,所以24()3x y +≤,所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩,得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x y ==时,max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为2x =. ………………10分 22.解:(1)因为ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥.又OP ⊥底面ABCD ,以O 为原点,直线,,OA OB OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系.则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -.所以(2,0,4)AP =-u u u r ,(1,1,2)BM =--u u u u r,10AP BM ⋅=u u u r u u u u r ,||AP =u u u r ,||BM =u u u u r. 则cos ,6||||AP BM AP BM AP BM ⋅<>===u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r . 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分 (2)(2,1,0)AB =-u u u r ,(1,1,2)BM =--u u u u r.设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r,C第22题图则0n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ,得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩,令2x =,得4y =,3z =.得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r.又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =u u u r ,所以n r 4OB ⋅=u u u r,||n =r ||1OB =u u u r .则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur 故平面ABM 与平面PAC………………10分23.解:(1)由条件,()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①,在①中令1n =,得()011111f C C ==. ………………1分 在①中令2n =,得()011222222226f C C C C =+=,得()23f =. ………………2分 在①中令3n =,得()011223333333332330f C C C C C C =++=,得()310f =. ………………3分(2)猜想()f n =21nn C -(或()f n =121n n C --). ………………5分 欲证猜想成立,只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立.方法一:当1n =时,等式显然成立,当2n …时,因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----(),故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==.故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+. 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+. 而11r n r n n C C --+=,故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②. 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得,左边nx 的系数为21n n C -.而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++L L , 所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上,()21n n f n C -=成立. ………………10分 方法二:构造一个组合模型,一个袋中装有21n -个小球,其中n 个是编号为1,2,…,n 的白球,其余n -1个是编号为1,2,…,n -1的黑球,现从袋中任意摸出n 个小球,一方面,由分步计数原理其中含有r 个黑球(n r -个白球)的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --,01r n ≤≤-,由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++L . 另一方面,从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -.故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++L ,即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三:由二项式定理,得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++L ③.两边求导,得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++L L ④.③×④, 得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++L L L ⑤.左边n x 的系数为21nn nC -.右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.由⑤恒成立,可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.故()21n n f n C -=成立. ………………10分。
盐城市时杨中学2018届高三年级12月月考数学试题班级_____________ 姓名______________一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题纸相应的位置上)1.集合{}{}52|,7,5,3,2,1≤≤=x x B A ,则=⋂B A ▲ . 2.已知i 是虚数单位,且复数,21,221i z bi z -=+=若21z z 是实数,则实数=b ▲ . 3.设x ∈R ,则“30x -≥”是“|1|2x -≤”的 ▲ 条件. (用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空)4.执行如图所示的算法流程图,则输出k 的值是 ▲ .5.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若46822,1a a a a +==,则7a 的值是 ▲ .6.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ,且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n,则=-n m ▲ .7.3,,的夹角为 60-= ▲ .8.函数()y f x =是定义在R 上的偶函数,且在(,0]-∞上是增函数,若()()4f a f ≥,则实数a 的取值范围是 ▲ .9.在正三棱柱111C B A ABC -中,已知4,21==AA AB ,若F E ,分别是棱1BB 和1CC 上的点,则三棱锥EF A A 1-的体积是 ▲ .10.在锐角三角形ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,已知b a ,是方程03322=+-x x 的两个根,且03)sin(2=-+B A ,则=c ▲ .11137cos sin =-x x ,则24sin cos cos x x x -的值为 ▲ .12.已知函数⎩⎨⎧<≤-+>=04,30,log )(x x x x x f a ,其中0>a 且1≠a ,)(x f y =的图像上有且只有两对点关于y 轴对称,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知点P 为矩形ABCD 4231===,则PD = ▲ .14.已知0x >,0y >,22x y +=,则222121x y x y --++的最大值为 ▲ . 二、解答题(本大题共6小题,共90分。
2018年高考模拟试卷(6)
一.填空题:
1. 已知集合{}
2,1 0 2 3
U=--,,,,{}
2,1,3
A=--,{}
1,2
B=-,则()
U
A B=
ðU .
2. 已知复数(2)2
z i i
-=-(i为虚数单位),则复数z的模为 .
3. 某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的x值是 .
4.如图所示茎叶图是甲乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分~99分),若甲乙两组的平均成绩一样,则a= ;甲乙两组成绩中相对整齐的是 .
5. 假设在6分钟内的任意时刻,两架相同型号的飞机机会均等地进入同一飞机场,若这两架飞机进入机场的时间之差不小于2分钟,飞机不会受到干扰;则飞机受到干扰的概率为_______.
6. 若将函数y=sin⎝
⎛
⎭⎪
⎫
ωx+
π
4
(ω>0)的图象向左平移
π
6
个单位长度后,与函数
cos()
4
y x
p
w
=+的图象重合,则ω的最小值为_____________.
7. 实数x,y满足
1
21,
y
y x
x y m
≥
⎧
⎪
≤-
⎨
⎪+≤
⎩
如果目标函数z=x—y的最小值为-2,则实数m的值为______.
8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,
轴截面的面积等于2,母线与轴的夹角为30,则这个圆台的高为____________.
9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为22420
x y x y
+-+=.若直线3
y x b
=+上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数b的取值范围是__________.
10. 在矩形ABCD中,
已知2
AB AD=,点E是BC的中点,点F在CD上,若3
AB AF
⋅=
则AE BF
⋅的值是 .
11.曲线2
()(2)ln(1)2
f x f x f x x
'
=-+在点(1,(1))
f处的切线方程为________.
甲乙
5 7 6
9 8 8 5 9
a 8 9 8 7
12.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2,c B a b =-若ABC ∆的面积为
S =
,则ab 的最小值为_________.
二、解答题:
13.在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知向量(sin(),cos )m C C π=-,
(sin(),sin )2n B B π
=+,且sin 2m n A ⋅=. (1)求A ;
(2)若
4c b b c
+=,求sinBsinC 的值.
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
⑴求证:PA∥平面BDE;
⑵求证:平面BDE⊥平面PBC.。