上海宝茁教育中考数学压轴预测

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．2．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD 为正方形，可得出∠BAD 为90°，AB=AD ，进而得到∠BAG 与∠EAD 互余，又DE 垂直于AG ，得到∠EAD 与∠ADE 互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF ，利用AAS 可得出△ABF ≌△DAE ；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE ，由AF-AE=EF ，等量代换可得证.【详解】∵ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠BAD=90°∵DE ⊥AG ，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．3．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH ＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH ＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.4．现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B ′，过E 作EF 垂直B ′C ，交B ′C 于F ．（1）求AE 、EF 的位置关系；（2）求线段B ′C 的长，并求△B ′EC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝108 25．【解析】【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出.【详解】（1）由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B'EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°，即AE⊥EF；（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB'C三内角之和为180°，∴∠BB'C＝90°；∵点B′是点B关于直线AE的对称点，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2将AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝165cm，∴BO22AB AO125cm，∴BB′＝2BO＝245cm，∴在Rt △BB 'C 中，B ′C ＝22BC BB '-＝518cm ， 由题意可知四边形OEFB ′是矩形，∴EF ＝OB ′＝125， ∴S △B ′EC ＝*111812108225525B C EF '⨯=⨯⨯=．【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．5．如图1，若分别以△ABC 的AC 、BC 两边为边向外侧作的四边形ACDE 和BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C =90°时，求证：△ABC 与△DCF 的面积相等．（2）引申：如果∠C ≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC 的三边为边向外侧作的四边形ACDE 、BCFG 和ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC 中，AC =3，BC =4．当∠C =_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC ，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC ，所以△ABC ≌△DFC ，从而△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ．得到四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，AC=CD ，BC=CF ，∠ACP=∠DCQ ．所以△APC ≌△DQC ． 于是AP=DQ ．又因为S △ABC =12BC•AP ，S △DFC =12FC•DQ ，所以S △ABC =S △DFC ； （3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC 的面积最大，当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． （1）证明：在△ABC 与△DFC 中， ∵{AC DCACB DCF BC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC ≌△DFC ．∴△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC=CD ，BC=CF ，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ ．∴{APC DQCACP DCQ AC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC ≌△DQC （AAS ），∴AP=DQ ．又∵S △ABC =12BC•AP ，S △DFC =12FC•DQ ， ∴S △ABC =S △DFC ；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC 的面积最大，∴当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． 考点：四边形综合题6．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90°．∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AHE≌△BEF．同理可证△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．（2）过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．（3）△GFC的面积不能等于2．说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．此时，在△BEF中，．在△AHE中，，∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，∴S△GFC的最小值为．又∵，∴△GFC的面积不能等于2．7．已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB=PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为22；（2）画图见解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，PG ⊥BC ，PH ⊥DC ， ∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°． ∴PG=PH ，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°． ∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°， ∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH ． 在△PGB 和△PHE 中，PGB PHE PG PHBPG EPH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△PGB ≌△PHE （ASA ）， ∴PB=PE ．②连接BD ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP=90°． ∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°， ∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF ． ∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°， ∴∠BOP=∠PFE ． 在△BOP 和△PFE 中，PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BOP ≌△PFE （AAS ）， ∴BO=PF ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB=OC ，∠BOC=90°， ∴2OB ． ∵BC=1，∴2， ∴PF=22．∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为22．（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．同理可得：PB=PE，PF=22．（3）①若点E在线段DC上，如图1．∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45°，∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135°，∴CP=CE，∴∠CPE=∠CEP=22.5°．∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，∴∠PBR=∠CER=22.5°，∴∠ABP=67.5°，∴∠ABP=∠APB．∴AP=AB=1．∴AP的长为1．点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．8．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=BC【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可．试题解析：（1）连接AH，如图1，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH==BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如图3，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=kBC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC）2=（k2-）BC2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF=BC．考点：四边形综合题．9．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H．动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动．过点E作EF⊥AB，垂足为点F．点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．（1）CE= （含t的代数式表示）．（2）求点G落在线段AC上时t的值．（3）当S＞0时，求S与t之间的函数关系式．（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围．【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当＜t≤2时，S=t2+t-3；当2＜t≤3时，S=-t2+t-；（4）＜t＜．【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=t，证出∠GEC=90°，由三角函数求出CE==t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：①当＜t≤2时，S=△EFG的面积-△NFN的面积，即可得出结果；②当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在△EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=6，∴CE=BC-BE=6-2t；（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=t，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°-60°=30°，∴∠GEB=90°，∴∠GEC=90°，∴CE==t，∵BE+CE=BC，∴2t+t=6，解得：t=2；（3）分两种情况：①当＜t≤2时，如图2所示：S=△EFG的面积-△NFN的面积=××（t）2-××（-+2）2=t2+t-3，即S=t2+t-3；当2＜t≤3时，如图3所示：S=t2+t-3-（3t-6）2，即S=-t2+t-；（4）∵AH=AB•sin60°=6×=3，3÷2=，3÷2=，∴t=时，点P与H重合，E与H重合，∴点P在△EFG内部时，-＜（t-）×2＜t-（2t-3）+（2t-3），解得：＜t＜；即点P在△EFG内部时t的取值范围为：＜t＜．考点：四边形综合题．10．（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时= _____ __；（2）小明对问题1做了简单的变式思考．如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PC为边作□PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图4，若为上任意一点，以，为边作□．试求对角线长的最小值和PQ最小时的值．（2）若为上任意一点，延长到，使，再以，为边作□．请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值．【答案】问题1：（1）3，；（2）PQ=，=．问题2：（1）=4，．（2）PQ的最小值为．．【解析】试题分析：问题1：（1）首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形，然后根据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而可求的值．（2）由题可知：当QP⊥AC 时，PQ最小．过点C作CD⊥AB于点D．此时四边形CDPQ为矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，利用面积可求出CD=,然后可求出AD=，由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=AD-AP=，所以AP=．所以=．问题2：（1）设对角线与相交于点．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由题可知：当QP⊥AB时，PQ最小，此时=CH=4，根据条件可证四边形BPQH为矩形，从而QH=BP=AP．所以．（2）根据题意画出图形，当AB 时，的长最小，PQ的最小值为．．试题解析：问题1：（1）3，；（2）过点C作CD⊥AB于点D．由题意可知当PQ⊥AB时，PQ最短．所以此时四边形CDPQ为矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因为∠BCA=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因为AE=nPA，所以PE==CQ=PD=AD-AP=．所以AP=．所以=．问题2：（1）如图2，设对角线与相交于点．所以G是DC的中点，作QH BC，交BC的延长线于H，因为AD//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由图知，当AB时，的长最小，即=CH=4．易得四边形BPQH为矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若学生有能力从梯形中位线角度考虑，若正确即可评分．但讲评时不作要求）（2）PQ的最小值为．．考点：1．直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质；4矩形的判定与性质．。

2022年上海中考数学终极押题密卷3一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）（2021秋•新都区期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（）平方米．A．260000B．260000000C．26000D．26000002．（4分）（2021秋•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若A（a，b），M（1，0），则点B的坐标是（）A．（2﹣a，﹣b）B．（1﹣a，﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（a﹣2，﹣b）3．（4分）（2022•普陀区二模）已知||＝1，||＝2，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝2D．＝﹣24．（4分）（2021秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6B．8C．D．5．（4分）（2021秋•礼泉县期末）一组数据：1，0，4，5，x，8．若它们的中位数是3，则x的值是（）A．2B．3C．4D．56．（4分）（2022•武汉模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（）A．0B．1C．+1D．3﹣二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）（2021秋•松江区期末）已知，AB＝8，P是AB黄金分割点，P A＞PB，则P A的长为．8．（4分）（2022•庆云县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AD＝BD，则tan∠ABC的值为．9．（4分）（2022•市北区一模）某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为元．10．（4分）（2022春•金山区校级期中）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，如果，那么＝．11．（4分）（2021秋•南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差为3.5米，扶梯BC的坡度，则扶梯BC的长度为米．12．（4分）（2021秋•凤凰县期末）如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是米．13．（4分）（2021秋•中山市期末）已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A 的位置关系是．14．（4分）（2021秋•济阳区期末）如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为．15．（4分）（2022春•杨浦区校级期中）▱ABCD的周长为64cm，BC上高AE＝6cm，CD上高AF＝10cm，则△BCD的面积为．16．（4分）（2021秋•兴化市期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是．17．（4分）（2021秋•武侯区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O 与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为．18．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，将△ABC绕点A 旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）（2021秋•长宁区期末）计算：cot30°﹣．20．（10分）（2022•黄岛区一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例A处的水平距离为4米时，例水平线的高度为7米．（1）求抛物线C2的函数解析式；（2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；（3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？21．（10分）（2021秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．（1）求证：AC平分∠EAF；（2）求证：∠F AD＝∠E；（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．22．（10分）（2021•溧阳市一模）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．血型统计表：血型A B AB O人数105血型统计图：（1）本次随机抽取献血者人数为人，图中m＝；（2）补全表中的数据；（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？23．（12分）（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上两点，CE是⊙O的切线，CE⊥BD于点E，连接BC交AD于点F．（1）求证：点C是的中点；（2）若，求tan∠BAD的值．24．（12分）（2021秋•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移2个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．25．（14分）（2022春•朝阳区校级月考）【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，∠ACD＝45°，AC＝3．求四边形ABCD的面积．琪琪同学的做法是：延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积，则四边形ABCD的面积为．【应用】如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；【灵活运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，∠CAB＝∠ACB＝∠BDC＝60°，四边形ADBC的面积为，则线段CD＝．2022年上海中考数学终极押题密卷3参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）（2021秋•新都区期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（）平方米．A．260000B．260000000C．26000D．2600000【考点】比例线段．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】相似多边形的面积之比等于相似比的平方，据此求解，注意单位．【解答】解：设该地区的实际面积是xcm2，由题意得，260：x＝（1：1000）2，解得，x＝260000000，260000000cm2＝26000m2，故选：C．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．2．（4分）（2021秋•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若A（a，b），M（1，0），则点B的坐标是（）A．（2﹣a，﹣b）B．（1﹣a，﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（a﹣2，﹣b）【考点】坐标与图形性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】设点B的坐标为（x，y），利用M点为AB的中点得到1＝，0＝，然后求出x、y得到B点坐标．【解答】解：设点B的坐标为（x，y），∵AB是⊙M的直径，∴M点为AB的中点，而A（a，b），M（1，0），∴1＝，0＝，解得x＝2﹣a，y＝﹣b，∴B点坐标为（2﹣a，﹣b）．故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形性质，灵活运用线段的中点坐标公式是解决问题的关键．3．（4分）（2022•普陀区二模）已知||＝1，||＝2，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝2D．＝﹣2【考点】*平面向量．【专题】三角形．【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．【解答】解：∵||＝1，||＝2，且与的方向相反，∴＝﹣2，故选：D．【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（4分）（2021秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6B．8C．D．【考点】勾股定理．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边＝＝13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【解答】解：由题意得，斜边为＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝．故选：D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．5．（4分）（2021秋•礼泉县期末）一组数据：1，0，4，5，x，8．若它们的中位数是3，则x的值是（）A．2B．3C．4D．5【考点】中位数．【专题】统计的应用；推理能力．【分析】利用中位数的定义，只有x和4的平均数可能为3，从而得到x的值．【解答】解：除x外5个数由小到大排列为0，1，4，5，8，因为原数据有6个数，因这组数据的中位数是3；所以，只有x+4＝2×3才成立，即x＝2．故选：A．【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（4分）（2022•武汉模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（）A．0B．1C．+1D．3﹣【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【分析】根据“滋生函数”的定义可得ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，从而可得关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，进而求解．【解答】解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∵t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，∴t2﹣t﹣1＝0，∴t3﹣2t2+1＝t（t+1）﹣2t2+1＝﹣t2+t+1＝﹣1+1＝0．故选：A．【点评】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）（2021秋•松江区期末）已知，AB＝8，P是AB黄金分割点，P A＞PB，则P A的长为．【考点】黄金分割．【专题】计算题．【分析】根据黄金分割点的定义，知P A是较长线段；则P A＝AB，代入数据即可．【解答】解：由于P为线段AB＝8的黄金分割点，且P A＞PB，则P A＝8×＝4﹣4．故本题答案为：4﹣4．【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．8．（4分）（2022•庆云县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AD＝BD，则tan∠ABC的值为．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】利用线段垂直平分线的性质说明BD与CD的关系，再在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB，最后在Rt△ABC中求出∠ABC的正切．【解答】解：∵D是BC垂直平分线上的点，∴BD＝CD．设AD的长为m，则BD＝CD＝3m，AC＝4m．在Rt△ABD中，AB＝＝＝2m．在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝＝．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．9．（4分）（2022•市北区一模）某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为10元．【考点】算术平均数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以加权平均数的方法求得．【解答】解：50×+25×+20×+0×＝10（元），答：他每参与一次的平均收益为10元．故答案为：10．【点评】本题考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数．10．（4分）（2022春•金山区校级期中）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，如果，那么＝．【考点】三角形的重心；*平面向量；平行线的性质．【专题】三角形；推理能力；应用意识．【分析】连接AG，延长AG交BC于点T．由EF∥BC，推出＝＝2，推出＝，推出＝＝，可得结论．【解答】解：连接AG，延长AG交BC于点T．∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GT，∵EF∥BC，∴＝＝2，∴＝，∴＝＝，∴BC＝EF，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握三角形重心的性质，灵活运用所学知识解决问题．11．（4分）（2021秋•南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差为3.5米，扶梯BC的坡度，则扶梯BC的长度为7米．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】根据坡度的概念、正切的定义以及特殊角的三角函数值求出∠B，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：∵扶梯BC的坡度为：3，∴tan B＝，∴∠B＝30°，∴BC＝2×3.5＝7（米），故答案为：7．【点评】本题考查的是坡度的概念，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．12．（4分）（2021秋•凤凰县期末）如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是12米．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；应用意识．【分析】由正六边形的半径为2，则OA＝OB＝2米；由∠AOB＝60°，得出△AOB是等边三角形，则AB＝OA＝OB＝2米，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵正六边形的半径为2米，∴OA＝OB＝2米，∴正六边形的中心角∠AOB＝＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB，∴AB＝2米，∴正六边形的周长为6×2＝12（米）；故答案为：12．【点评】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；解决正多边形的问题，常常把多边形问题转化为等腰三角形或直角三角形来解决．13．（4分）（2021秋•中山市期末）已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A 的位置关系是在⊙A上．【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．【解答】解：∵点A的坐标为（4，3），∴OA＝＝5，∵半径为5，∴OA＝r，∴点O在⊙A上．故答案为：在⊙A上．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d＝r；当点P在圆内⇔d＜r．14．（4分）（2021秋•济阳区期末）如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为4．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【解答】解：由点A（0，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，得A（0，3）与B（m，3）关于对称轴x＝2对称，m﹣2＝2﹣0，解得m＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣2＝2﹣0是解题关键．15．（4分）（2022春•杨浦区校级期中）▱ABCD的周长为64cm，BC上高AE＝6cm，CD上高AF＝10cm，则△BCD的面积为60．【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【分析】设BC＝a，CD＝b，列出方程组即可解决问题．【解答】解：设BC＝a，CD＝b，由题意：，解得，故S△BCD＝6×20＝60．故答案为：60．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的面积等知识，解题的关键是列出方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．16．（4分）（2021秋•兴化市期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是2．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据图象可得x≤﹣2，﹣2＜x＜8，x≥8时S的取值范围，进而求解．【解答】解：当x≤﹣2时，S＝ax2+bx+c，S最小值为4，当﹣2＜x＜8时，S＝kx+m，2＜S＜4，当x≥8时，S＝ax2+bx+c，S最小值为2，∴S的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据图象求出S在不同x的取值范围时的取值范围．17．（4分）（2021秋•武侯区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O 与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为4．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，推出∠A'OB＝∠COC'，证出△OBM≌△OCN可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD和正方形A'B'C'O面积的，∴正方形A'B'C'O的面积为4．故答案为：4．．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积，要通过分割图形，利用全等知识转化三角形，使不规则图形转化为规则图形进行求解．18．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，将△ABC绕点A 旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于．【考点】旋转的性质．【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB＝4，AE＝AC＝5，∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的性质得到∠C＝∠E，DE＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，AB＝4，AC＝5，∴AD＝AB＝4，AE＝AC＝5，∠BAC＝∠DAE，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠C＝∠E，DE＝BC，∵∠BDC＝∠ADE，∴△ADE∽△BDC，∴，∴，∴BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）（2021秋•长宁区期末）计算：cot30°﹣．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：cot30°﹣＝﹣＝﹣（）＝1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（10分）（2022•黄岛区一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例A处的水平距离为4米时，例水平线的高度为7米．（1）求抛物线C2的函数解析式；（2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；（3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；（2）令﹣x2+x+1＝﹣x2+x+4，解方程即可；（3）设运动员与小山坡的高度差为h，根据题意得h＝﹣x2+x+4﹣（﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）2+，由函数的性质可以求出h的最大值．【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：，解得：，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，﹣x2+x+1＝﹣x2+x+4，整理得：x2﹣8x﹣72＝0，解得：x1＝4+2，x2＝4﹣2（舍去），∴当运动员与点A的水平距离是4+2时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；（3）设运动员与小山坡的高度差为h，则h＝﹣x2+x+4﹣（﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）2+，∵﹣＜0，∴当x＝4时，h有最大值，最大值为，∴运动员与小山坡的高度差最大是米．【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．21．（10分）（2021秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．（1）求证：AC平分∠EAF；（2）求证：∠F AD＝∠E；（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可；（3）根据三角形的内角和定理得到∠E+∠ADE＝90°，由（2）知，∠F AD＝∠E，求得∠AFD＝∠AFE＝90°，根据勾股定理得到EF＝＝4，设DF＝x，求得DF ＝，得到AD＝＝，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD＝，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵BC∥AF，∴∠CAF＝∠BCA，∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一个外角，∴∠DCA＝∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC＝∠F AD+∠CAF，∵∠CAF＝∠EAC，∴∠F AD＝∠E；（3）解：∵∠EAD＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°，由（2）知，∠F AD＝∠E，∴∠DAF+∠ADE＝90°，∴∠AFD＝∠AFE＝90°，∵AE＝5，AF＝3，∴EF＝＝4，设DF＝x，∵DE2﹣AE2＝AD2＝AF2+DF2，∴（4+x）2﹣52＝32+x2，解得x＝，∴DF＝，∴DE＝，∴AD＝＝，∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴AD＝CD＝，∴CF＝﹣＝．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．22．（10分）（2021•溧阳市一模）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．血型统计表：血型A B AB O人数1210523血型统计图：（1）本次随机抽取献血者人数为50人，图中m＝20；（2）补全表中的数据；（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？【考点】用样本估计总体；统计表．【专题】统计的应用；数据分析观念．【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；（3）用总人数乘以样本中A型血人数所占比例．【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），所以m＝×100＝20；故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），血型A B AB O人数1210523故答案为12，23；（3）1300××100%＝312（人），答：估计有312人是A型血．【点评】本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．23．（12分）（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上两点，CE是⊙O的切线，CE⊥BD于点E，连接BC交AD于点F．（1）求证：点C是的中点；（2）若，求tan∠BAD的值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】（1）由平行线的性质可证CO⊥AD，即可得解；（2）连接CD、AC、OC，OC与AD交于点G，由相似三角形的性质得，设AC＝CD＝2x，GF＝y，再证明△ACG∽△AFC，列出x、y的方程，用x表示y，再设⊙O为r，由勾股定理得出r与x的关系式，进而由三角函数定义求得结果．【解答】（1）证明：连接OC，交AD于点P，∵CE为切线，∴OC⊥CE，又∵CE⊥BD，∴CO∥BE，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴BE⊥AD，∴CO⊥AD，又∵CO是半径，∴＝，∴点C是的中点；（2）解：连接CD、AC、OC，OC与AD交于点G，如下图，∵＝，∴AC＝CD，OC⊥AD，AG＝DG，∵∠BCD＝∠BAD，∠CFD＝∠AFB，∴△CDF∽△ABF，∴，∴，设AC＝CD＝2x，GF＝y，则DF＝3x，∴AG＝DG＝3x+y，AF＝3x+2y，∵AB是直径，∴∠ACF＝90°＝∠AGF，∵∠CAG＝∠F AC，∴△ACG∽△AFC，∴，即AC2＝AG•AF，∴，∴y＝x，或y＝﹣x（舍），∴AG＝3x+y＝4x，∴CG＝，设OA＝OC＝r，则OG＝r﹣2x，∵OA2﹣OG2＝AG2，∴r2﹣（r﹣2x）2＝（4x）2，∴r＝5x，∴OG＝r﹣2x＝3x，∴tan∠BAD＝．【点评】本题主要考查了圆的切线性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理的应用，关键在于作辅助线．24．（12分）（2021秋•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移2个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【考点】二次函数综合题．【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；矩形菱形正方形；几何直观；应用意识．【分析】（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；（2）用待定系数法求出直线AB为y＝﹣x+1，即可得P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），从而得PC ＝﹣m2+4m，QD＝﹣m2+2m+3，即可求出四边形PQDC面积为PC•|x Q﹣x P|+QD•|x Q ﹣x P|＝﹣m2+3m+，根据二次函数性质即得答案．（3）由（2）知P（，﹣），根据直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y 轴交点为（0，1），两交点之间距离是，可知沿射线AB平移2个单位，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移2个单位，即得E（，﹣），抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+33，抛物线y1的对称轴为：直线x＝，当BE＝EF时，设F（，t），可得（﹣4）2+（﹣+1）2＝（﹣）2+（t+）2，即可解得F（，）或（，），由平移性质可得G（，）或G（，），当BF＝EF时，同理可得G（，﹣）．【解答】解：（1）把A（0，1），B（4，﹣1）代入抛物线y＝x2+bx+c得：。

2024年中考数学临考押题卷01考生注意：1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页。

2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号。

将核对后的条形码贴在答题纸指定位置。

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位。

在试卷上的作答⼀律不得分。

4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1．下列运算正确的是（）A ．22(3)6m m -=-B ．222(3)9m n m m -=-C ．426325m m m +=D ．523()()m m m -÷-=-【答案】D【分析】本题主要考查了积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法逐项判断即可．【详解】解：A.22(3)9m m -=，故选项A 错误，不符合题意；B.222(36)9m m n m m n --=+，故选项B 错误，不符合题意；C.4m 和2m 不是同类项，不能合并，故选项C 错误，不符合题意；D.335252()()()()m m m m m --÷---=-==，故选项D 正确，符合题意．故选：D ．2．用换元法解方程()22611711x x x x +++=++时，下列换元方法中最合适的换元方法是（）A ．设21y x =+B ．设1y x =+C ．211x y x +=+D ．211y x =+【答案】C【分析】设211x y x +=+，则原方程化为2760y y -+=，从而可得答案.【详解】解：()22611711x x x x +++=++，设211x y x +=+，∴67y y+=，整理得：2760y y -+=，故选C【点睛】本题考查的是利用换元法解分式方程，熟练的换元是解本题的关键.3．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A ．5xy =B ．5x y =-C ．5y x=D ．5y x=-【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键．【详解】A ：5x y =为一次函数，x 取所有实数，∵105>，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确；B ：5x y =-为一次函数，x 取所有实数，∵105-<，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；C ：5y x=为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；D ：5y x=-为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误；故选：A ．4．如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是（）A ．甲的平均成绩较低且稳定B ．乙的平均成绩较低且稳定C ．甲的平均成绩较高且稳定D ．乙的平均成绩较高且稳定【答案】A【分析】本题考查了折线统计图和平均成绩和波动情况，解题关键是准确根据折线统计图判断两人的平均成绩大小和波动情况．【详解】解：根据折线统计图，可知甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但是甲的成绩波动比乙的成绩波动小，计乙的成绩比甲的成绩稳定；故选：A ．5．在ABCD Y 中，AC 、BD 是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD 为菱形，这个条件可以是（）A ．AC BD =B ．AC BD ⊥C ．AB AC =D ．90ABC ∠=︒【答案】B【分析】本题考查了菱形的判定．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断．【详解】解：添加一个条件为AC BD ⊥，理由如下：四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴平行四边形ABCD 是菱形．故选：B ．6．如图，将矩形甲，乙，丙，丁拼成一个大的正方形EFGH ，其中中间阴影部分是小正方形．嘉嘉：若甲，乙，丙，丁是四个完全相同的矩形，知道AB 的长，就可求出EF 的长；琪琪：若甲，乙，丙，丁不完全相同，知道四边形ABCD 和中间阴影部分的面积，就可求出甲，乙，丙，丁周长的和．对于他俩的说法，正确的是（）A ．嘉嘉正确，琪琪错误B ．嘉嘉错误，琪琪正确C ．他俩都正确D ．他俩都错误【答案】B【分析】本题考查矩形及正方形的面积与周长、勾股定理．根据嘉嘉的说法，只知道AB 的长，如果没有其他的数据，无法求出EF 的长，琪琪的说法是正确的，具体见详解．【详解】根据嘉嘉的说法，如果只知道AB 的长，那是求不出EF 的长，若再增加EB 或EA 的长，就看用勾股定理解出，故嘉嘉错误；琪琪的说法中，知道四边形ABCD 和中间阴影部分的面积，就可以求出大的正方形EFGH 的面积，进而求出大的正方形EFGH 的边长，而甲，乙，丙，丁周长的和恰好是大的正方形EFGH 的2倍，故能求出甲，乙，丙，丁周长的和．故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．分解因式46xy xz -=．【答案】()223x y z -【分析】本题考查了用提取公因式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式．提取公因式2x ，即可解答．【详解】解：根据题意得：()46223xy xz x y z -=-，故答案为：()223x y z -．8．化简：3311x x x+--的结果为．【答案】3【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算．【详解】解：3311x x x +--原式3311x x x =---331x x -=-()311x x -=-3=故答案为：3．9．函数y =的定义域是．【答案】3x <【分析】本题考查函数的自变量取值范围，结合二次根式与分式有意义的条件解答．【详解】解：∵30x -≥0，∴3x <，故答案为：3x <．10．已知关于x 2=，则x =．【答案】3-【分析】本题考查了解无理方程．方程两边平方得出14x -=，求出方程的解，再进行检验即可．2=，方程两边平方，得14x -=，3x -=，3x =-，经检验：3x =-是方程的解．故答案为：3-．11．若关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为．【答案】0k ≥且2k ≠【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根；根据方程有实数根，则0∆≥且0a ≠求解即可；【详解】 关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，()()2Δ2420k k k ∴=---≥且20k -≠，∴0k ≥且2k ≠；故答案为：0k ≥且2k ≠．12．不透明的袋中有除了颜色外其他都相同的一些球，其中红球12个和白球m 个，经过若干次试验，发现若从袋中任摸出一个球，恰是红球的概率为34，则这个袋中白球大约有个．【答案】4【分析】本题考查了概率公式的应用，用红球的个数除以球的总个数等于34列出关于m 的方程，解之即可．【详解】解：根据题意知123124m =+，解得4m =，经检验4m =是分式方程的解，∴这个袋中白球大约有4个．故答案为：4．13．正多边形一个内角的度数是150︒，则该正多边形的边数是．【答案】12【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据题意，求出一个外角的度数，再利用外角和定理【详解】解：∵正多边形的一个内角是150︒，∴它的一个外角是：18015030︒-︒=︒，∵多边形的外角和为360︒，∴这个正多边形的边数是：3603012︒÷︒=．故答案为：12．14．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为()12-，的二次函数解析式．【答案】()212y x =--（答案不唯一）【分析】设抛物线的解析式为()212y a x =--，由条件可以得出0a >，从而即可得到答案．【详解】解：设抛物线的解析式为()212y a x =--，且抛物线的图象开口向上，0a ∴>，()212y x ∴=--，故答案为：()212y x =--（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了根据顶点式求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15．如图，D 、E 分别是ABC 边AB 、AC 上点，满足2AD BD =，ADE ABC =∠∠．记BA a = ，BC b =，那么向量BE =（用向量a 、b 表示）．【答案】1233a b+【分析】本题主要考查了平行线的判定，相似三角形的判定以及性质，向量的知识．由ADE ABC =∠∠判定出DE BC ∥，由平行线的得出23AE AC =，再根据向量得知识即可得出BE．【详解】解：∵ADE ABC =∠∠，∴DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽,∵2AD BD =，∴2AE EC =，∴23AE AC =，∴()22123333BE BA AE BA AC BA AB BC BA BC =+=+=++=+，∵BA a = ，BC b= ∴1233BE a b =+ ，故答案为：1233a b +．16．某校共有1200名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取100名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是．【答案】288【分析】本题考查的是条形统计图，用总人数乘样本中立定跳远成绩优秀的学生人数所占的百分比即可，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．【详解】解：根据题意得：241200288100⨯=（人)，即该校立定跳远成绩优秀的学生人数大约是288人．故答案为：288．17．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，将ABC 绕着点B 旋转α（0180α︒<<︒）至EBD △，旋转后的点C 落在AC 上的点D 处，BD 是ABC ∠的角平分线，则α=．【答案】40︒/40度【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、等边对等角、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，观察图形、分析角的关系是解题的关键，根据旋转的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、等边对等角，得出CBD α∠=，30C BDC α∠=∠=︒+，然后根据三角形的内角和定理，得出180C BDC CBD ∠+∠+∠=︒，则3030180ααα︒++︒++=︒，求解即可．【详解】解：∵将ABC 绕着点B 旋转α（0180α︒<<︒）至EBD △，∴BC BD =，CBD α∠=，∵BD 是ABC ∠的角平分线，∴ABD CBD α∠=∠=，∵30BDC A ABD α∠=∠+∠=︒+，BC BD =，∴30C BDC α∠=∠=︒+，∵180C BDC CBD ∠+∠+∠=︒，∴3030180ααα︒++︒++=︒，解得：40α=︒，故答案为：40︒．18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，53AB BC ==，，以点C 为圆心作半径为1的圆C ，P 是AB 上的一个点，以P 为圆心，PB 为半径作圆P ，如果圆C 和圆P 有公共点，那么BP 的取值范围是．【答案】1057BP ≤≤【分析】本题考查了圆和圆的位置关系，解直角三角形的应用．分圆P 与圆C 外切和圆P 与圆C 内切时，两种情况讨论，画出图形，解直角三角形即可求解．【详解】解：当圆P 与圆C 外切时，如图，作PD BC ⊥，垂足为D ，设BP x =，∵90C ∠=︒，53AB BC ==，，∴4AC =，∴4sin 5PD AC B BP AB ===，3cos 5BD BC B BP AB ===，∴45PD x =，35BD x =，335CD x =-，1CP x =+，由勾股定理得()222341355x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得107x =，即107BP =，当圆P 与圆C 内切时，如图，此时107BP =，∴圆C 和圆P 有公共点，那么BP 的取值范围是1057BP ≤≤．故答案为：1057BP ≤≤．三、解答题：（本大题共7题，共78分）19．（本题满分10分）计算：()02024113π2⎛⎫---- ⎪⎝⎭．32【分析】首先计算乘方、零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．【详解】解：()02024113π2⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭11212=-++(11212=---++11212=--++32=-．20．（本题满分10分）解不等式组：()523112x xx⎧--≤⎪⎨->⎪⎩．【答案】113x≥【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．正确掌握一元一次不等式组解集确定方法是解题的关键．【详解】解：解()523x x--≤，得113x≥，解112x->，得3x>，∴该不等式组的解集是113x≥．21．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）如图，O经过平行四边形ABCD的顶点B,C,D，点O在边AD上，3AO=，5OD=．(1)求平行四边形ABCD的面积；(2)求D∠的正弦值．【答案】(1)24(2)sin D=【分析】（1）过点O作OE BC⊥于点E，连结OC，则12CE BC=，根据平行四边形的性质及勾股定理，即可求出OE 的长，进而得到答案；（2）过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明四边形OECF 是矩形，得到4OF =，3CF =，所以1DF =，再利用勾股定理求出CD =【详解】（1）过点O 作OE BC ⊥于点E ，连结OC ，则12CE BC =， 四边形ABCD 是平行四边形，8BC AD AO OD ∴==+=，142CE BC ∴==，在Rt OEC △中，5OC OD ==，3OE ∴===，平行四边形ABCD 的面积8324BC OE =⨯=⨯=；（2）过点C 作CF AD ⊥于点F ，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EC CF ∴⊥，∴四边形OECF 是矩形，4OF CE ∴==，3CF OE ==，1DF OD OF ∴=-=，CD ∴===，sin10CF D CD ∴==．【点睛】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数等知识，掌握垂径定理的辅助线添法是解题的关键．22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）某款轿车每行驶100千米的耗油量y 升与其行驶速度x 千米/小时之间的函数关系图像如图所示，其中线段AB 的表达式为()1132510025y x x =-+≤≤，点C 的坐标为（140，14），即行驶速度为140千米/小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．（1）求线段BC 的表达式；（2）如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少升？【答案】（1）()1710014082y x x =-≤≤；（2）24.6升．【分析】（1）根据线段AB 的表达式可得出点B 坐标，利用待定系数法即可得线段的解析式；（2）根据一次函数的性质可得在省道和高速公路上行驶时耗油量最小时的速度，根据解析式即可得出每行驶100千米的耗油量，进而可得答案．【详解】解：（1）∵线段AB 的表达式为()1132510025y x x =-+≤≤，∴当x ＝100时，110013925y =-⨯+=，即B （100，9）．令BC 的表达式为y kx b =+，∵点C 的坐标为（140，14），∴910014140k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1872k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴线段BC 的表达式为()1710014082y x x =-≤≤．（2）∵在()1132510025y x x =-+≤≤中，125-<0，∴y 随x 的增大而减小，∵省道限速50千米/小时，∴当x ＝50时，耗油量最低，即150131125y =-⨯+=，∵在()1710014082y x x =-≤≤中，18>0，∴y 随x 的增大而增大，∵高速公路限速120千米/小时，∴当x=100时，耗油量最低，即y=1710082⨯-=9，∵有60千米的省道和200千米的高速公路，∴从甲地行驶到乙地至少需要耗油6020011+9100100⨯⨯＝24.6（升）．答：至少耗油24.6升．【点睛】本题考查一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，正确识图并熟练掌握一次函数的性质是解题关键．23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图，在ABCD Y 中，E 、F 为对角线DB 的三等分点，延长CE ，CF 分别交DA ，AB 于点G ，H．(1)求证：DG GA =；(2)若8DA =，5DC =，4tan 3CDA ∠=，求四边形EFHG 的面积．【答案】(1)见解析(2)203【分析】（1）先证明DEG BEC ∽，可得DE DG BE BC=，再结合三等分点与平行四边形的性质可得结论；（2）过C 作CM DA ⊥，证明::3:4:5DM CM CD =，可得3DM =，4CM =，求解184162DBC S =⨯⨯=△，可得1161633CEF S =⨯=△，证明DCF BHF △∽△，再利用相似三角形的性质可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形DABC 是平行四边形，∴BC DA ∥，AD BC =，∴DEG BEC ∽，∴DE DG BE BC=，∵F ，E 分别是DB 的三等分点，∴12DE BE =，∴12DG BC =，∴12DG AD =，∴DG AG =；（2）过C 作CM DA ⊥，∵4tan 3CDA ∠=，∴::3:4:5DM CM CD =，∵5CD =，∴3DM =，4CM =，∴184162DBC S =⨯⨯=△，∵13EF DB =，∴1161633CEF S =⨯=△，∵DC AB ∥，∴DCF BHF △∽△，∴2CF DF FH BF==，同理可得：2CE EG =，∴23CE CF CG CH ==，∵ECF GCH ∠=∠，∴ECF GCH △∽△，∴22439CEF GCH S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴45CEF EFHG S S =△四边形，∴16520343EFHG S =⨯=四边形．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键．24．（本题满分12分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）抛物线212y x bx c =-++与x 轴的交点为(2,0),(6,0)A B -，顶点为E ，对称轴与x 轴的交点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AE ，点F 在线段DE 上，若AE 上存在点G ，使得90AFG ∠=︒，且AF FG =，求点F 的坐标；(3)点P 是抛物线上的一个动点（不与点,,A B E 重合），直线,AP BP 分别与抛物线的对称轴相交于点,M N ，求证：PEM △与PEN △的面积相等．【答案】(1)21262y x x =-++(2)4(2,)3F (3)见解析【分析】本题主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，（1）把(2,0),(6,0)A B -代入212y x bx c =-++得出2b =，6c =，即可得解；（2）过点G 作GH DE ⊥于H ，证出(AAS)ADF FGH ≌得出4,HF AD DF GH ===，设DF GH t ==，则844EH t t =--=-，由EGH EAD ∽得出448t t -=，求出t 值，即可得解；（3）如图，设点1,(2)(6)2P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，分别含m 的式子表示出EM ，EN 的长，证出EM EN =，进而即可得解；熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．【详解】（1）把(2,0),(6,0)A B -代入212y x bx c =-++得，221220216602b c b c ⎧-⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得：26b c =⎧⎨=⎩所求抛物线的解析式为21262y x x =-++；（2）如图，抛物线21262y x x =-++的对称轴2x =，顶点(2,8)E ，∴4,8AD DE ==，过点G 作GH DE ⊥于H ，∵90AFG ADF ∠=∠=︒，∴90AFD FAD ∠+∠=︒，90AFD GFH ∠+∠=︒，∴FAD GFH ∠=∠，∵AF FG =，∴()AAS ADF FHG ≌，4,HF AD DF GH ∴===，设DF GH t ==，则844EH t t =--=-，∵CH AD ∥，EGH EAD ∴ ∽，∴GH EH AD ED =，即448t t -=，解得：43t =，∴42,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）如图，设点1,(2)(6)2P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则2m ≠-且6m ≠，设直线AP 解析式y px q =+，依题意：201(2)(6)2p q mp q m m -+=⎧⎪⎨+=-+-⎪⎩，解得：1(6)2(6)p m q m ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，∴直线AP 解析式1(6)(6)2y m x m =----，当2x =时，1(6)(6)2122y m x m m =----=-+，∴点M 的坐标为(2,212)m -+，8(212)24EM m m =--+=-，同理可求直线BP 的解析式为1(2)3(2)2y m x m =-+++，当2x =时，1(2)3(2)242y m x m m =-+++=+，∴点N 的坐标为(2,24)m +，24824EN m m =+-=-，设点P 到直线MN 的距离为h ，则12PEM S EM h =⋅⋅ ，12PEN S EN h ∆=⋅⋅，∵24EM EN m ==-，∴PEM PEN S S = ，即PEM △与PEN △的面积相等．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 上（点C 不与A ，B 两点重合），点D 是弧AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ，连接OF ，过点D 作半圆O 的切线DP 交BA 的延长线于点P ．(1)求证：AC DP ∥；(2)求证：2AC DE =；(3)连接CE ，CP ，若:1:2AE EO =，求CE CP的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)23【分析】（1）连接OD ，由垂径定理得OD AC ⊥，由切线的性质得出OD DP ⊥，可推证结论；（2）求证ODE OAM ≅ ,由全等性质得出DE AM =，可推证结论；（3）连接OD ，OC ，CE ，CP ，可证DOE POD ，由相似性质得OD OE OP OD=；求证COE POC ，得CE OE CP OC =，可推证结论．【详解】（1）如图，连接OD∵D 是弧AC 的中点∴OD AC ⊥又∵DP 是O 的切线∴OD DP⊥∴AC DP∥（2）证明：∵DE AB⊥∴90DEO ∠=︒由（1）知，OD AC ⊥，设垂足为M ，∴90OMA ∠=︒∴DEO OMA ∠=∠，2AC AM=又∵DOE AOM ∠=∠，OD OA=∴ODE OAM≅ ∴DE AM=∴22AC AM DE==（3）解：连接OD ，OC ，CE ，CP∵90ODP OED ∠=∠=︒，DOE DOP∠=∠∴DOE POD∴OD OE OP OD=∴2OD OE OP=⋅∵OC OD=∴2OC OE OP=⋅∴OC OP OE OC=又∵COE POC ∠=∠∴COE POC∴CE OE CP OC=∵:1:2 AE EO=∴23 OE OA=∴23 OE OC=∴23 CE CP=【点睛】本题主要考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；灵活运用相似三角形的判定和性质确定线段间数量关系是解题的关键．。

押上海卷第11-15题押题方向一：概率5年上海真题考点命题趋势2023年上海卷第12题概率公式从近五年上海卷的概率真题分析，其知识点主要考查学生概率的基本定义、概率的计算方法、频率估计概率等，并且注重思维能力和创新意识的考查。

预计2024年上海卷仍将继续对概率计算方法和频率估计概率等方面进行考查。

2022年上海卷第11题列表法与树状图法2021年上海卷第13题概率公式2020年上海卷第11题概率公式2019年上海卷第11题概率公式1.（2023·上海）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为25．【答案】25．【考点】概率公式【专题】概率及其应用；数据分析观念【分析】从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为42105=，故答案为：25．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．2．（2022•上海）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为13．【答案】1 3．【考点】列表法与树状图法【专题】推理能力；概率及其应用【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中分到甲和乙的结果有2种，∴分到甲和乙的概率为21 63=，故答案为：1 3．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．（2021•上海）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为1 3．【答案】1 3．【考点】概率公式【专题】概率及其应用；数据分析观念【分析】用偶数的个数除以数的总数即可求得答案．【解答】解： 共有9个数据，其中偶数有3个，∴从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为31 93=，故答案为：1 3．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．4．（2020•上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是1 5．【考点】4X ：概率公式【专题】543：概率及其应用；65：数据分析观念【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解： 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是21105=．故答案为：15．【点评】此题主要考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键．5．（2019•上海）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是13．【考点】4X ：概率公式【专题】543：概率及其应用【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．【解答】解： 在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为2163=，故答案为：13．【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．（1）随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P （必然事件）＝1．（3）P （不可能事件）＝0．1．不透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为3 7．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解： 透明袋子中装有7个球，其中有3个绿球、4个红球，∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率为3 7，故答案为：3 7．【点评】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．随机概率公式是解题的关键．2．一个不透明的口袋中装有除颜色外其余均相同的4个红球和3个白球，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是3 7．【分析】根据概率公式解答即可．【解答】解：袋子中球的总数为437+=，而白球有3个，则摸到白球的概率是3 7．故答案为：3 7．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）m n =．3．一个不透明的布袋中装有3个白球和n个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是13，则n=6．【分析】根据白球的概率公式3133n=+列出方程求解即可．【解答】解：一个不透明的布袋中中装有3个白球和n个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，共有(3)n+个球，其中白球3个，根据古典型概率公式知：P（白球）3133 n==+，解得：6n=．故答案为：6．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）m n =．4．有四张正面分别标有数字2-，12-，0，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：2-12-022-1(2,)2--(2,0)-(2,2)-12-1(2-，2)-1(2-，0)1(2-，2)0(0,2)-1(0,)2-(0,2)2(2,2)-1(2,)2-(2,0)共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果有：(2,2)-，1(2-，2)，(2,2)-，1(2,)2-，共4种，∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是41123=．故答案为：13．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．5．在一个不透明的袋子中放有10个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分揽匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋中．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球约有30个．【分析】根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.25，根据概率公式即可求出小球的总数，从而求出红球的个数．【解答】解： 通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，∴摸到白球的概率为0.25，∴小球的总数约为：100.2540÷=（个)，则红球的个数为：401030-=（个)．故答案为：30．【点评】本题考查的是用频率估计概率，正确记忆概率公式是解题关键．6．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：抽取的产品数n5001000150020002500300035004000合格的产品数m476967143119262395288333673836合格的产品频率mn0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959估计这批产品合格的产品的概率为0.96．【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即可估计这批产品合格的产品的概率．【解答】解：由图表可知合格的产品频率mn都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为0.96，故答案为：0.96．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此三维码中黑色阴影的面积为9.6．【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为160.69.6⨯=．故答案为：9.6．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为3m，宽为2m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为 2.12m．【分析】根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为x ，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．【解答】解：据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为2326()m ⨯=，设不规则图案的面积为x ，则0.356x=，解得： 2.1x =，∴不规则图案的面积约为22.1m ，故答案为：2.1．【点评】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．押题方向二：统计5年上海真题考点命题趋势2023年上海卷第16题扇形统计图上海中考数学统计命题趋势将更加注重基础知识的应用、能力的考查、实践性和创新性以及德育教育的考查，同时可能会减少机械记忆题目的比重，增加跨学科题目的比重，并加强对学生思维能力的考查。

上海中考数学压轴题解题方法总结上海中考数学压轴题各题型解题方法总结18题题型一：翻折问题；性质：翻折前后两个图形全等：边相等，角相等折痕垂直平分对应点的连线学会找等腰画图：已知折痕：过对应点做折痕的垂线并延长已知对应点：做对应点连线的垂直平分线【解题策略分析】解决动态问题需要我们运用运动与变化的观点去观察与研究图形，把握图形运动与变化的全过程，在动中找出不变的因素，利用不变的因素来解决变化的问题。

1）通过翻折后与原图形全等找出等量关系；2）联结原点和翻折后的点，必定关于折痕对称（或者用折痕是对称点的垂直平分线）；3）跟其他线段中点结合构造中位线；4）做垂线运用“双勾股”。

图形翻折之“翻折边长”题型解题方法与策略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻觅翻折相等的线段或角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件找到隐含条件；5.勾股定理、三角比、相似三角形构造方程；6.部分题目注意分类讨论。

图形翻折之“翻折角度”题型解题办法与战略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻找翻折相等的线段或角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件解题（比如平行、垂直等）；5.利用好三角形的内角和、外角性质。

图形翻折之“翻折面积”题型解题办法与战略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻觅翻折相等的线段和角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件（比如平行、垂直）解题；5.利用好勾股定理、相似、等高三角形面积干系等转化成线段干系。

运题型二：旋转问题；旋转三要素旋转中心旋转偏向：顺时针；逆时针旋转角度性质：旋转前后两个图形全等：边相等，角相等会找新的相似：以旋转角为顶角的两个等腰三角形相似，相似后对应角相等注意题目中的暗示：画图：点的旋转图形的旋转：可以把图形的旋转转化为点的旋转，从而画圆旋转后点落在边上、直线上、射线上1.寻找旋转中心;2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论;3.挖掘题目中的特殊条件:题目中有哪些角相等？哪些边相等？4.准确画出旋转后的图形是解题的关键.图形旋转之“旋转边长”题型解题方法与策略：1.寻找旋转中心；2.寻觅旋转的偏向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有申明则分类会商；3.寻觅旋转前后相等的线段或角度，根据题意准确画图；4.利用旋转并结合题目中的特殊条件解题；5.勾股定理、三角比、相似三角形构造方程；6.部分题目注意分类会商；图形旋转之“旋转面积”题型解题方法与策略：1.寻觅旋转中心；2.寻觅旋转的偏向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有申明则分类会商；3.寻觅旋转前后相等的线段或角度，根据题意准确画图；4.观察所求图形面积形状，结合面积公式、相似、等高模型求解；5.部分题目注意分类讨论；图形旋转之“旋转角度”题型解题方法与策略：1.寻觅旋转中心；2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论；3.寻觅旋转旋转角、旋转前后相等的线段、相等的角度，根据题意准确画图；4.利用内角和、外角性质并结合题目中的特殊条件解题；5.部分题目注意分类讨论；题型三：平移问题平移图形的特征1.平移前后的图形全等2.图形上每一个点平移的距离和偏向都是相同的平移之“函数中的图象平移”题型解题办法与战略：1.寻找平移方法和距离；2.化简原函数解析式，并在坐标系中画出原函数大致图象；3.根据请求画出平移后函数的图象；4.结合平移前后对应点坐标以及二次函数对称轴和举行相关计算和求解；5.部分题目注意分类讨论。

考试时间：1002024年中考数学押题卷分钟考生注意：1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.√a 2＋b 2 B.√(a ＋b )2 C.√4a ＋4b D.√a 2(b ＋4)2.下列方程中，有实数解的是（ ） A.x 2－x ＋1＝0B.√x －2＝1－xC. 1－xx 2－x ＝1D. 1－xx 2－x ＝03.关于抛物线y ＝x 2＋2x －3的判断，下列说法正确的是（ ）A.抛物线的开口方向向上B.抛物线的对称轴是直线x ＝－1C.抛物线对称轴左侧部分是下降的D.抛物线顶点到x 轴的距离是24.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼. 小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位：分钟)，并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）A.平均数为70分钟B.众数为67分钟C.中位数为67分钟D.方差为05.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ）A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆6.如果线段AM 和线段AN 分别是△ABC 边BC 上的中线和高，那么下列判断正确的是（ ）A. AM ＞AN B. AM ≥AN C.AM ＜AN D. AM ≤AN二、选择题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题卡的相应位置上】7.分解因式：x 2－10x ＋24＝8.方程组{2x －y ＝0x 2＋y 2＝5的解是9.正n 边形的内角等于外角的5倍，那么n ＝10.我国新修订的未成年人保护法自2021年6月1日起施行，新修订的未成年人保护法，首次对学生欺凌进行了定义，学生欺凌是指发生在学生之间，一方蓄意或者恶意通过肢体、语言及网络等手段实施欺压、侮辱，造成另一方人身伤害、财产损失或者精神损害的行为．某校为了解本校学生对于防欺凌知识的掌握程度，在全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行防欺凌知识测试，将测试成绩分为优秀、良好、及格不及格四个等级并进行统计，根据统计的信息，绘制了如图两幅不完整的统计图，则该校学生掌握防欺凌知识的等级为“不及格”的学生大约为 人．11.已知二次函数y ＝a x 2＋bx －3，当x ＝1与x ＝2020时，函数值相等．则当x ＝2021时，函数值等于12.已知直线y ＝kx ＋b （k ≠0）与x 轴和y 轴的交点分别是（1，0）和（0，－2），那么关于x 的不等式kx ＋b ＜0的解集是13.《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱. 那么根据条件，该物品值 钱14.在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．下表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数：那么这些国家获得金牌数的中位数是枚15.如果一个等腰直角三角形的面积是1，那么它的周长是16.如图，已知AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，如果设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，那么向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b⃗ 表示为17.如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，sinA ＝45，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）后，点A 的对应点是点A ＇，联结A ＇C ，如果A ＇C ⊥BC ，那么cos α的值是18.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，AD ＝2√2，E 是AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点（点F 不与点AD 重合），将△AEF 沿EF 所在直线翻折，点A 的对应点为A ＇，连接A ＇D 、A ＇C ，当△A ＇DC 是等腰三角形时，AF 的长为三、解答题：（本大题共7题，共78分）【请将结果直接填入答题卡的相应位置上】 19.（本题满分10分） 计算：√3＋√2＋π0＋∣√2－1∣－121220.（本题满分10分）解方程：22312111x x x x −−=−+−上海市“第2024届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由22.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，O1O2与AB交于点C，O1O2的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1于点D（1）联结O1A、O2A，如果AB＝AD＝AP，求证：O1A⊥O2A（2）如果P O1＝3P O2，求证：PA＝AD已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是对角线AC上一点，EA＝ED，且∠DAB＝∠DEC＝∠DCB（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）延长DE分别交线段AB、CB的延长线于点F、G，如果GB＝BC，求证：AD2＝2EF·GDyxO新定义：已知抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c （其中abc ≠0，我们把抛物线y ＝c x 2＋ax ＋b 称为y ＝a x 2＋bx ＋c 的“轮换抛物线”，例如：抛物线y ＝2x 2＋3x ＋1的“轮换抛物线”为y ＝x 2＋2x ＋3已知抛物线C 1：y ＝4m x 2＋（4m －5）x ＋m 的“轮换抛物线”为C 2，抛物线C 1、C 2，与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线C 2的顶点为P （1）如果点E 的坐标为（0，1），求抛物线C 2的表达式（2）设抛物线C 2的对称轴与直线y ＝3x ＋8相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标（3）已知点M （（－4，n ）在抛物线C 2上，点N 坐标为（（－2，－712 ），当△PMN ∽△PEF 时，求m 的值如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝3，DC＝5，BC＝6，以点B5为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F（1）求sin∠BDC的值（2）联结BE，设点G是射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长（3）如图2，点P、Q分别为AD、BC上的动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D＇F＇经过点B与AB上的一点H（点D、F对应点分别是D＇、F＇），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数解析式（不需要写解析式）2024年中考数学押题卷考试时间：100分钟一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有考生注意：1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.√a 2＋b 2B.√(a ＋b )2C.√4a ＋4bD.√a 2(b ＋4)2.下列方程中，有实数解的是（ ） A.x 2－x ＋1＝0B.√x －2＝1－xC. 1－xx 2－x ＝1D. 1－xx 2－x ＝03.关于抛物线y ＝x 2＋2x －3的判断，下列说法正确的是（ ）A.抛物线的开口方向向上B.抛物线的对称轴是直线x ＝－1C.抛物线对称轴左侧部分是下降的D.抛物线顶点到x 轴的距离是24.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼. 小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位：分钟)，并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）A.平均数为70分钟B.众数为67分钟C.中位数为67分钟D.方差为05.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ）A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆6.如果线段AM 和线段AN 分别是△ABC 边BC 上的中线和高，那么下列判断正确的是（ ）A. AM ＞AN B. AM ≥AN C.AM ＜AN D. AM ≤AN二、选择题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题卡的相应位置上】7. 分解因式：x 2－10x ＋24＝8. 方程组{2x －y ＝0x 2＋y 2＝5的解是9. 正n 边形的内角等于外角的5倍，那么n ＝10. 我国新修订的未成年人保护法自2021年6月1日起施行，新修订的未成年人保护法，首次对学生欺凌进行了定义，学生欺凌是指发生在学生之间，一方蓄意或者恶意通过肢体、语言及网络等手段实施欺压、侮辱，造成另一方人身伤害、财产损失或者精神损害的行为．某校为了解本校学生对于防欺凌知识的掌握程度，在全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行防欺凌知识测试，将测试成绩分为优秀、良好、及格不及格四个等级并进行统计，根据统计的信息，绘制了如图两幅不完整的统计图，则该校学生掌握防欺凌知识的等级为“不及格”的学生大约为 人．11. 已知二次函数y ＝a x 2＋bx －3，当x ＝1与x ＝2020时，函数值相等．则当x ＝2021时，函数值等于12. 已知直线y ＝kx ＋b （k ≠0）与x 轴和y 轴的交点分别是（1，0）和（0，－2），那么关于x 的不等式kx ＋b ＜0的解集是13.《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.” 意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱. 那么根据条件，该物品值 钱14. 在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．下表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数：那么这些国家获得金牌数的中位数是 枚15. 如果一个等腰直角三角形的面积是1，那么它的周长是16. 如图，已知AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，如果设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，那么向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为17. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，sinA ＝45，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）后，点A 的对应点是点A ＇，联结A ＇C ，如果A ＇C ⊥BC ，那么cos α的值是18. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，AD ＝2√2，E 是AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点（点F 不与点AD 重合），将△AEF 沿EF 所在直线翻折，点A 的对应点为A ＇，连接A ＇D 、A ＇C ，当△A ＇DC 是等腰三角形时，AF 的长为三、解答题：（本大题共7题，共78分）【请将结果直接填入答题卡的相应位置上】 19.（本题满分10分） 计算：√3＋√2＋π0＋∣√2－1∣－121220.（本题满分10分）解方程：22312111x x x x −−=−+−上海市“第2024届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由22. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，O1O2与AB交于点C，O1O2的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1于点D（1）联结O1A、O2A，如果AB＝AD＝AP，求证：O1A⊥O2A（2）如果P O1＝3P O2，求证：PA＝AD已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是对角线AC上一点，EA＝ED，且∠DAB＝∠DEC＝∠DCB（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）延长DE分别交线段AB、CB的延长线于点F、G，如果GB＝BC，求证：AD2＝2EF·GDy xO 新定义：已知抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c （其中abc ≠0，我们把抛物线y ＝c x 2＋ax ＋b 称为y ＝a x 2＋bx ＋c 的“轮换抛物线”，例如：抛物线y ＝2x 2＋3x ＋1的“轮换抛物线”为 y ＝x 2＋2x ＋3已知抛物线C 1：y ＝4m x 2＋（4m －5）x ＋m 的“轮换抛物线”为C 2，抛物线C 1、C 2， 与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线C 2的顶点为P（1）如果点E 的坐标为（0，1），求抛物线C 2的表达式（2）设抛物线C 2的对称轴与直线y ＝3x ＋8相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标（3）已知点M （（－4，n ）在抛物线C 2上，点N 坐标为（（－2，－71 2 ），当△PMN ∽△PEF 时，求m 的值如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝3，DC＝5，BC＝6，以点B5为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F（1）求sin∠BDC的值（2）联结BE，设点G是射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长（3）如图2，点P、Q分别为AD、BC上的动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D＇F＇经过点B与AB上的一点H（点D、F对应点分别是D＇、F＇），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数解析式（不需要写解析式）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 【解析】A2. 【解析】解∶A ．1430∆=−=−<∴原方程无实数根B ．当10x −<，即1x >时，原方程无实数根C ．当20x x −=，即1x =，或0x =时，原方程无实数根D ．211x x x −=−1. x ∴=−故选∶D3. 【解析】D4. 【解析】B5. 【解析】A6. 【解析】B二、选择题：（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 【解析】（x －4）（x －6）8. 【解析】{x ＝1y ＝2或{x ＝－1y ＝－29. 【解析】解：正n 边形的内角等于1(2)180n n −⨯︒，外角等于1360n ⨯︒ 又正n 边形的内角等于外角的5倍∴11(2)1805360n n n −⨯︒=⨯⨯︒解得：n ＝12经检验得n ＝12是该分式方程的根故答案为：1210. 【解析】解：被调查的总人数为1230%40÷=（人）∴及格对应的百分比为6100%15%40⨯=∴不及格对应的百分比为150%30%15%5%−−−=∴该校学生掌握防欺凌知识的等级为“不及格”的学生大约为12005%60⨯=（人） 故答案为：6011. 【解析】解：二次函数23y ax bx =+−，当1x =与2020x =时，函数值相等 ∴该函数的对称轴为直线12020202122x +==2021x ∴=和20212202102x =⨯−=时的函数值相等当0x =时，3y =−∴当2021x =时，3y =−故答案为：3−12. 【解析】x ＜113. 【解析】5314. 【解析】815. 【解析】16. 【解析】17. 【解析】18. 【解析】解：①当A D DC '=时，连接ED ，如图：点E 是AB 的中点，2AB =，BC =ABCD 是矩形，1AE ∴=，AD BC ==90A ∠=︒，3DE ∴==，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到△A EF '，1A E AE ∴'==，2A D DC AB '===，3DE A E A D ∴=='+'，∴点E ，A '，D 三点共线，90A ∠=︒，90FA E FA D ∴∠'=∠'=︒，设AF x =，则A F x '=，FD x =，在Rt △FA D '中，222A D A F DF ''+=，2222)x x ∴+=，解得：x =，2AF ∴=；②当A D A C '='时，如图：A D A C '='，∴点A '在线段CD 的垂直平分线上，∴点A '在线段AB 的垂直平分线上，点E 是AB 的中点，EA ∴'是AB 的垂直平分线，90AEA ∴∠'=︒，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到△A EF '，90A EA F ∴∠=∠'=︒，AF FA ='，∴四边形AEA F '是正方形，1AF AE ∴==；③当A C DC '=时，连接EC ，FC ，如图：点E 是AB 的中点，2AB =，BC =ABCD 是矩形，1BE ∴=，90B ∠=︒，3CE ∴=，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到△A EF '，1A E AE ∴'==，2A C DC AB '===，3CE A E A C ∴=='+'，∴点E ，A '，C 三点共线，90A ∠=︒，90FA E FA C ∴∠'=∠'=︒，设AF x =，则A F x '=，FD x =，在Rt △FA C '中，222A C A F FC ''+=，在Rt DFC ∆中，222FD DC FC +=，2222A C A F FD DC ''∴+=+，即22222)2x x +=+，解得：x =，AF ∴=；综上所述，AF 的长为或1三、解答题：（本大题共7题，共78分）19. 【解析】解：原式11+−=20. 【解析】解：去分母得：23(1)2(1)x x x −−−=+解得：4x =−经检验，把4x =−代入得：(1)(1)0x x +−≠∴分式方程的解为4x =−21. 【解析】解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地，小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，总路程为：15345⨯=（千米），第二次到达考场所需时间为：45600.75÷=（小时），0.75小时45=分钟，4542>，∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地；（2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回接到步行的4人的后再载他们前往考场，先将4人用车送到考场所需时间为15600.25÷= ()15h =（分钟），50.25 1.25()km ⨯=，∴此时他们与考场的距离为15 1.2513.75()km −=，设汽车返回t ()h 后与步行的4人相遇，则：5t 十6013.75t =， 解得1152t =， 此时汽车与考场的距离为117155516513.755()525213km −−⨯==， ∴汽车由相遇点再去考场所需时间为1651160()1352h ÷=，用这一方案送这8人到考场共需111526040.452+⨯⨯≈（分钟）．40.442∴<， ∴采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场22. 【解析】证明：（1）连接1O B ，2O B ，BD ，BP ，如图：AD AB AP ==，DBP ∴∆为直角三角形，90D APB ∠+∠=︒，由圆周角定理可知，12AO B D ∠=∠，22AO B APB ∠=∠， AB 是1O 与2O 的公共弦，12O O ∴垂直平分AB ，1112AO C AO B ∴∠=∠，2212AO C AO B ∠=∠，1290AO C AO C D APB ∴∠+∠=∠+∠=︒，12AO AO ∴⊥；（2）过1O 作1O E DP ⊥于E ，过2O 作2O F DP ⊥于F ，如图：12//O E O F ∴， ∴2113PO PF PO PE ==， 3PE PF ∴=，由垂径定理可知，AE DE =，PF AF =，32AE PE PA PF PF PF ∴=−=−=，22AD AE PF AP ∴===．23. 【解析】（1）证明：//AD BC ，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，CAD ACB ∠=∠，DAB DCB ∠=∠，180DCB ABC ∴∠+∠=︒，//AB CD ∴，∴四边形ABCD 是平行四边形，EA ED =，EDA CAD ∴∠=∠，2DEC EDA CAD CAD ∴∠=∠+∠=∠，DAB DEC ∠=∠，2DAB CAD ∴∠=∠，CAB CAD ACB ∴∠=∠=∠，AB CB ∴=，∴四边形ABCD 是菱形．（2）证明：如图，延长DE 分别交线段AB 、CB 的延长线于点F 、G ， 四边形ABCD 是菱形，AB AD BC CD ∴===，AD BC =，GB BC =，AD GB ∴=，//AD GB ，ADF BGF ∴∆∆∽，∴1AF AD BF GB ==，1122AF BF AB CD ∴===，//AF CD ，AEF CED ∴∆∆∽， ∴12EF AF ED CD ==，2ED EF ∴=，ECD CAD ∴∠=∠，G EDA ∠=∠，且CAD EDA ∠=∠， ECD G ∴∠=∠，EDC CDG ∠=∠，EDC CDG ∴∆∆∽， ∴CD ED GD CD =， ∴2AD EF GD AD =，22AD EF GD ∴=⋅．24.【解析】解：（1）将点E 的坐标代入24(45)y mx m x m =+−+得：1m =，则451m −=−，则抛物线2C 的表达式为：241y x x =+−； （2）由抛物线1C 的表达式知，点(0,)E m ，则2C 的表达式为：24(45)y mx mx m =++−．则2C 和y 轴的交点(0,45)F m −，则抛物线2C 的对称轴为直线422m x m =−=−，当2x =−时，24(45)5y mx mx m =++−=−， 即2C 的顶点P 的坐标为：(2,5)−−， 当2x =−时，382y x =+=，故抛物线2C 的对称轴和38y x =+的交点(2,2)Q −， 点E 在点F 的上方，故45m m >−， 解得：53m <， 则(45)53EF m m m =−−=−，四边形PQEF 为平行四边形，则PQ EF =，即2(5)53m −−=−，解得：23m =−， 即点2(0,)3E −； （3）点M 在抛物线2C 上，当4x =−时，24(45)45y mx m x m m =+−+=−， 即点(4,45)M m −−，点1(2,7)2N −−、点(2,5)P −−、(0,)E m 、(0,45)F m −，则222125(22)(57)24PN =−++−+=， 同理可得：22416PF m =+，11||(53)25322PEF P S EF x m m ∆=⨯⨯=−⨯=−，1115||(57)(42)2222PMN M P S PN x x ∆=⨯⨯−=⨯−+⨯−=， ~PMN PEF ∆∆，则2()PEF PMN S PF S PN ∆∆=，即25341652524m m −+=，解得：1m =−或173225.【解析】。

隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：(1)定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；(2)定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。

当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。

(3)四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

隐圆常与线段最值结合考查。

类型1：定点定长1(2023•新城区校级三模)圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB=　35°　．如图，RtΔABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．(2)已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．【分析】(1)利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．(2)根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．(3)因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】(1)以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，，∵∠AOB =70°，∴∠ACB =35°，故答案为35°．(2)连接PB ，PE ，如图，Rt ΔABC 中，∠ABC =90°，∠BCA =30°，AB =2．∴AC =4，∠BAC =60°，BC =23．∵P 为Rt ΔABC 斜边AC 中点，∴BP =12AC =2，线段AC 平移到DF 之后，AB =AD =PE =2，BP =AE =2，∴四边形ABPE 为菱形，∵∠BAC =60°，∴∠BEA =30°，∵CF ⎳BD ，且∠ABC =90°，∴四边形BDFC 为直角梯形，∴S =12(BD +CF )×BC =12×6×23=63，(3)如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足∠BQA =45°且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与⊙O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH ⊥AD 于H ，则∠AHO =∠OHG =∠DQG =90°，∠OAH =45°，∠GDQ =30°，∵∠ABC =90°，∠BCA =30°，AB =2，∴BC =23，OA =OB =OQ =2，∴AH =OH =1，HG =33，OG =233，∴GQ =2-233，DG =2GQ =22-433，∴AD =AH +HG +GD =1+33+22-433=1+22-3，∴a =1+22-3，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：S =12×(BF +AD )×AB =12×(23+1+22-3+1+22-3)×2=42+2．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2(2024•兰州模拟)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为平面内一点(点A ，B ，D 三点不共线)，AE 为ΔABD 的中线．【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM =AC ；②∠MDA +∠DAB =180°；【类比探究】(2)如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE =12CF ，请你帮他证明；【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动(AD >AB )，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若AB =4，请直接写出BG 的最大值．【分析】(1)利用SAS 证明ΔABE ≅ΔMDE ，可得AB =DM ，再结合AB =AC ，即可证得DM =AC ；由全等三角形性质可得∠BAE =∠DME ，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA +∠DAB =180°；(2)延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．利用SAS 证得ΔACF ≅ΔDMA ，可得CF =AM ，再由AE =12AM ，可证得AE =12CF ；(3)延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得ΔACF ≅ΔABM (SAS )，利用三角形中位线定理可得AE ⎳BM ，即AG ⎳BM ，利用直角三角形性质可得GP =12AC =12AB =2，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的⊙P 上运动，连接BP 并延长交⊙P 于G ′，可得BG ′的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】(1)证明：①∵AE 为ΔABD 的中线，∴BE =DE ，在ΔABE 和ΔMDE 中，BE =DE∠AEB =∠MED AE =ME，∴ΔABE ≅ΔMDE (SAS )，∴AB =DM ，∵AB =AC ，∴DM =AC ；②由①知ΔABE ≅ΔMDE ，∴∠BAE =∠DME ，∴AB ⎳DM ，∴∠MDA +∠DAB =180°；(2)证明：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∵∠BAC =90°，∠DAF +∠BAC +∠BAD +∠CAF =360°，∴∠BAD +∠CAF =180°，由(1)②得：∠MDA +∠DAB =180°，DM =AB =AC ，∴∠CAF =∠MDA ，在ΔACF 和ΔDMA 中，AF =AD∠CAF =∠MDA AC =DM，∴ΔACF ≅ΔDMA (SAS )，∴CF =AM ，∵AE =12AM ，∴AE =12CF ；(3)如图3，延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∴AF =AM ，∠MAF =180°-90°=90°，∵∠BAC =90°，∴∠MAF +∠CAM =∠BAC +∠CAM ，即∠CAF =∠BAM ，在ΔACF 和ΔABM 中，AC =AB∠CAF =∠BAM AF =AM，∴ΔACF ≅ΔABM (SAS )，∴∠AFC =∠AMB ，即∠AFN =∠KMN ，∵∠ANF =∠KNM ，∴∠FAN =∠MKN =90°，∴BM ⊥CF ，∵E 、A 分别是DB 、DM 的中点，∴AE 是ΔBDM 的中位线，∴AE ⎳BM ，即AG ⎳BM ，∴AG ⊥CF ，∴∠AGC =90°，∵点P 是AC 的中点，∴GP =12AC =12AB =2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在RtΔABP中，BP=AB2+AP2=42+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3(2022•番禺区二模)已知抛物线y=ax2+bx-32(a>0)与x轴交于点A，B两点，OA<OB，AB=4．其顶点C的横坐标为-1．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点D在抛物线第一象限的图象上，DE⊥AC垂足为E，DF⎳y轴交直线AC于点F，当ΔDEF面积等于4时，求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，FM⊥FN交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长．【分析】(1)利用对称性，求得A和B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)证明ΔCGA和ΔDEF都为等腰直角三角形，利用等面积法求得DF=4，再求得直线AC的解析式为y =x-1，设点D的坐标，得到点F的坐标，然后求解即可；(3)先求得∠BDF=45°，推出点P的运动路径时H1N1的中点绕点F逆时针旋转90°得到N2H的中点之间的弧长，证明四边形DN2FE为正方形，即可求解．【解答】解：(1)∵点A，点B两点关于直线x=-1对称，AB=4，∴A(1,0)，B(-3,0)，代入y=ax2+bx-32得，a+b-32=09a-3b-32=0，解得：a=12b=1，∴抛物线的解析式为y=12x2+x-32．(2)如图1所示：∵DF⎳y轴⎳GC，∴∠GCA=∠DFE，∵抛物线的解析式为y=12x2+x-32=12(x+1)2-2，∴顶点C(-1,-2)，∵A(1,0)，∴AG=2，CG=2，∴ΔCGA为等腰直角三角形，∴∠GCA=∠DFE=45°，∵DE⊥AC，∴ΔDEF为等腰直角三角形，∴DE=EF，DF=2DE，∵SΔDEF=12DE⋅EF=4，∴DE=22，∴DF =2×22=4，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则k +b =0-k +b =-2 ，解得：k =1b =-1 ，∴直线AC 的解析式为y =x -1，设点D x ,12x 2+x -32 ，则F (x ,x -1)，∴DF =12x 2+x -32-(x -1)=12x 2-12=4，解得：x =3或x =-3(舍)，∴D (3,6)，F (3,2)．(3)如图2所示，∵ΔNFH 是直角三角形，∴ΔNFH 的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△N 1FH 1，其外心是斜边H 1N 1的中点，当点M 位于点C 时，得△N 2FE ，其外心是斜边N 2H 2的中点，即N 2E 的中点，∵D (3,6)，B (-3,0)，∴tan ∠BDF =3+36=1，∴∠BDF =45°，由(2)得，∠FDE =45°，∴∠DBA =∠BAC =45°，∴BD ⎳AC ，∴FN ⊥BD ，∴DF 平分∠BDE ，∠BDE =90°，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在N 2E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．∵∠DN 2F =∠N 2DH =∠DHF =90°，FN 2=FE ，∴四边形DN 2FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且EP =2；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为P 2，且FP 2=EP 2=2，由题意，BN 2=BD -DN 2=4，BF =210，N 2F =22，FN 2⎳DH 1，∴ΔBFN 2∽△BH 1D ，∴BN 2BD =BF BH 1，解得FH 1=10，∴FP 1=5，由勾股定理可得：P 1P 2=1，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4(2021•红谷滩区校级模拟)(1)学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是ΔABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=　40°　．(2)问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．(3)问题拓展：抛物线y=-14(x-1)2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ⎳BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点B，点Q不重合，求点P的坐标．【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．(2)由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，(3)①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D、C、Q、E共圆，得出∠CQB=∠OED=45°，求出CQ，再求点Q的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C重合时，Ⅱ、当60°的角的顶点与点C重合时，运用点D、C、Q、E共圆，求出CQ即点P的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，即可求出点P的坐标．【解答】解：(1)∵AB=AC，AD=AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC=40°，(2)如图2，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BDC=25°，∴∠BAC=25°，(3)①如图3∵点B为抛物线y=-14(x-1)2+3的顶点，∴点B的坐标为(1,3)，∵45°角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =45°，∴CQ =BC =3，∴OQ =4，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C 重合时，∵直角三角板30°角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =60°，∴CQ =33BC =3，∴OQ =1+3，∴把1+3代入y =-14(x -1)2+3得y =94，∴点P 的坐标是1+3，94Ⅱ、如图5，当60°的角的顶点与点C 重合时，∵直角三角板60°角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =30°，∴CQ =3BC =33，∴OQ =1+33，∴把1+33代入y =-14(x -1)2+3得y =-154，∴点P 的坐标是1+33，-154综上所述，点P 的坐标是1+3，94 或1+33，-154 ．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角5(2022•雁塔区校级三模)问题提出(1)如图①，已知ΔABC 为边长为2的等边三角形，则ΔABC 的面积为　3　；问题探究(2)如图②，在ΔABC 中，已知∠BAC =120°，BC =63，求ΔABC 的最大面积；问题解决(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽AB =20米，长BC =24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角∠AMB =45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】(1)作AD ⊥BC 于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；(2)作ΔABC 的外接圆⊙O ，可知点A 在BC上运动，当A O ⊥BC 时，ΔABC 的面积最大，求出A H 的长，从而得出答案；(3)以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且∠AOB =90°，过O 作HG ⊥AB 于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而⊙O 上存在点M ，满足∠AMB =45°，此时满足条件的有两个点M ，过M 1作M 1F ⊥AB 于F ，作EO ⊥M 1F 于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：(1)作AD ⊥BC 于D ，∵ΔABC 是边长为2的等边三角形，∴BD =1，∴AD =AB 2-BD 2=3，∴ΔABC 的面积为12×2×3=3，故答案为：3；(2)作ΔABC 的外接圆⊙O ，∵∠BAC =120°，BC =63，∴点A 在BC 上运动，当A O ⊥BC 时，ΔABC 的面积最大，∴∠BOA =60°，BH =CH =33，∴OH =3，OB =6，∴A H =OA -OH =6-3=3，∴ΔABC的最大面积为1×63×3=93；2(3)存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=102米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵102>14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF=OH=10米，OM1=102米，∴EM1=14米，∴OE=OM12-M1E2=2米，∴CM1=BF=8米，同理CM2=BH+OE=10+2=12(米)，∴MC的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．6(2023•灞桥区校级模拟)问题提出：(1)如图①，ΔABC为等腰三角形，∠C=120°，AC=BC=8，D 是AB上一点，且CD平分ΔABC的面积，则线段CD的长度为4．问题探究：(2)如图②，ΔABC 中，∠C =120°，AB =10，试分析和判断ΔABC 的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：(3)如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足BC =600米，CD =300米，∠C =60°，∠A =60°，主办方打算过BC 的中点M 点(入口)修建一条径直的通道ME (宽度忽略不计)其中点E (出口)为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由题意可知，CD 是ΔABC 的中线，利用等腰三角形的性质推出CD ⊥AB ，利用三角函数求解即可解决问题；(2)当ΔABC 的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；(3)连接DM ，BD ．首先证明∠BDC =90°，求出BD ，推出ΔBDC 的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ΔABD 的面积最大即可，因为BD 为定值，∠A 为定角=60°，推出当ΔABD 是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出∠MDE =90°，构建方程解决问题即可．【解答】解：(1)如图①，∵CD 平分ΔABC 的面积，∴AD =DB ，∵AC =BC =8，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =12∠ACB =60°，∴CD =AC cos ∠ACD =8cos60°=4，∴CD 的长度为4，故答案为：4；(2)存在．如图②，∵AB =10，∠ACB =120°都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在AB的中点时，ΔABC 的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD ⊥AB ，AD =BD =12AB =5，∠ACD =12∠ACB =60°，∴tan ∠ACD =AD CD ，CD =AD tan60°=533，∴S ΔABC =12AB ⋅CD =2533，答：ΔABC 的面积最大值是2533；(3)存在．如图③，连接DM ，BD ，∵M 是BC 的中点，∴CM =12BC =300，∴CM =CD ，又∵∠C =60°，∴ΔCMD 是等边三角形，∴∠MDC =∠CMD =60°，CM =DM =BM ，∴∠CBD =∠MDB =30°，∴∠BDC =90°，∴BD =CD ⋅tan60°=3003米，在ΔABD 中，BD =3003米，∠A =60°为定值，由(2)可知当AB =AD 时，即ΔABD 为等边三角形时ΔABD 的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(ΔBDC 的面积不变)，S max =S ΔBDC +S ΔBDA =12×300×3003+34(3003)2=1125003；∵ΔABD 是等边三角形，∴∠ADB =60°，∴∠ADM =∠ADB +∠BDM =90°，由S ΔEMD +S ΔCDM =12S max ，得：12DE ×300+34×3002=12×1125003，解得：DE =2253，∴AE =AD -DE =3003-2253=753(米)，答：点A 距出口的距离AE 的长为753米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．7(2023•柯城区校级一模)如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．(1)使∠APB =30°的点P 有无数个；(2)若点P 在y 轴上，且∠APB =30°，求满足条件的点P 的坐标；(3)当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】(1)已知点A 、点B 是定点，要使∠APB =30°，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P 有无数个．(2)结合(1)中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是(1)中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB 最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得∠APB 最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：(1)以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作⊙C ，交y 轴于点P 1、P 2．在优弧AP 1B 上任取一点P ，如图1，则∠APB =12∠ACB =12×60°=30°．∴使∠APB =30°的点P 有无数个．故答案为：无数．(2)①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，如图1．∵点A (1,0)，点B (5,0)，∴OA =1，OB =5．∴AB =4．∵点C 为圆心，CG ⊥AB ，∴AG =BG =12AB =2．∴OG =OA +AG =3．∵ΔABC 是等边三角形，∴AC =BC =AB =4．∴CG =AC 2-AG 2=42-22=23．∴点C 的坐标为(3，23)．过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，连接CP 2，如图1，∵点C 的坐标为(3，23)，∴CD =3，OD =23．∵P 1、P 2是⊙C 与y 轴的交点，∴∠AP 1B =∠AP 2B =30°．∵CP 2=CA =4，CD =3，∴DP 2=42-32=7．∵点C 为圆心，CD ⊥P 1P 2，∴P 1D =P 2D =7．∴P 2(0，23-7)．P 1(0，23+7)．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：P3(0,-23-7)．P 4(0,-23+7)．综上所述：满足条件的点P的坐标有：(0，23-7)、(0，23+7)、(0,-23-7)、(0,-23+7)．(3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=2AE得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH=EA2-AH2=32-22=5∴OP=5∴P(0,5)．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P(0,-5)．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)，连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是ΔAMN的外角，∴∠ANB>∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB>∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为(0,5)和(0,-5)．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆8(2022•中原区校级模拟)阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线)．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图(1)，已知ΔABC 内接于⊙O ，点P 在⊙O 上(不与点A ，B ，C 重合)，过点P 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足分别为点D ，E ，F ．求证：点D ，E ，F 在同一条直线上．如下是他们的证明过程(不完整):如图(1)，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ．QF ，则EQ =FQ =12PC =PQ =CQ ，(依据1)∵点E ，F ，P ，C 四点共圆，∴∠FCP +∠FEP =180°．(依据2)又∵∠ACP +∠ABP =180°，∴∠FEP =∠ABP ．同上可得点B ，D ，P ，E 四点共圆，⋯⋯任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P 是BC 的中点时，BD =CF ，请你利用图(2)证明该结论的正确性．【分析】(1)利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；(2)利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E ，F ，P ，C 和点B ，D ，P ，E 四点分别共圆，再说明∠FEP +∠DEP =180°，可证明结论；(3)连接PA ，PB ，PC ，利用HL 证明Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF ，从而得出结论．【解答】(1)解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；(2)解：如图(1)，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ．QF ，则EQ =FQ =12PC =PQ =CQ ，∴点E ，F ，P ，C 四点共圆，∴∠FCP +∠FEP =180°，又∵∠ACP +∠ABP =180°，∴∠FEP =∠ABP ，同上可得点B ，D ，P ，E 四点共圆，∴∠DBP =∠DEP ，∵∠ABP +∠DBP =180°，∴∠FEP +∠DEP =180°，∴点D ，E ，F 在同一直线上；(3)证明：如图，连接PA ，PB ，PC ，∵点P 是BC的中点，∴BP =PC ，∴BP =PC ，∠PAD =∠PAC ，又∵PD ⊥AD ，PF ⊥AC ，∴PD =PF ，∴Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF (HL )，∴BD =CF ．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF 是解题的关键．9(2021•哈尔滨模拟)(1)【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是ΔABC 外一点，且AD =AC ，求∠BDC 的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助⊙A ，则点C 、D 必在⊙A 上，∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，从而可容易得到∠BDC =45°．(2)【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，∠BDC =25°，求∠BAC 的度数．(3)【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．(2)由A 、B 、C 、D 共圆，得出∠BDC =∠BAC ，(3)根据正方形的性质可得AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，然后利用“边角边”证明ΔABE 和ΔDCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS ”证明ΔADG 和ΔCDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB =90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =12AB =1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：(1)如图1，∵AB =AC ，AD =AC ，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在⊙A 上，∵∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，∴∠BDC =12∠BAC =45°，故答案为：45；(2)如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．∵∠BAD =∠BCD =90°，∴点A 、B 、C 、D 共圆，∴∠BDC =∠BAC ，∵∠BDC =25°，∴∠BAC =25°，(3)如图3，在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，在ΔABE 和ΔDCF 中，AB =CD∠BAD =∠CDA AE =DF，∴ΔABE ≅ΔDCF (SAS )，∴∠1=∠2，在ΔADG 和ΔCDG 中，AD =CD∠ADG =∠CDG DG =DG，∴ΔADG ≅ΔCDG (SAS )，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH +∠3=∠BAD =90°，∴∠1+∠BAH =90°，∴∠AHB =180°-90°=90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH =AO =12AB =1，在Rt ΔAOD 中，OD =AO 2+AD 2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH +DH >OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=OD-OH=5-1．(解法二：可以理解为点H 是在Rt ΔAHB ，AB 直径的半圆AB上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小)故答案为：5-1．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．10(2022•潢川县校级一模)如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC= 90°，且AB=AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．(1)小亮在研究这个图形时发现，∠BAC=∠BDC=90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为45°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；(3)在旋转过程中，若CD长为1，当ΔABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【分析】(1)由∠BAC=90°，且AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=45°，由∠BAC=∠BDC=90°，推出A、B、C、D四点共圆，所以∠ADB=∠ACB=45°；由题意知ΔEAB≅ΔDAC，所以BE=CD，由AE=AD，∠EAD=90°，可知ΔADE是等腰直角三角形，推出CD+DB=EB+BD=DE=2AD；(2)如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．易证ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，则BE=CD，由AE=AD，∠EAD=90°，所以ΔADE是等腰直角三角形，则DE=2AD，由BD-CD=BD-BE=DE，推出BD-CD=2AD；(3)当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ΔABD的面积最大．【解答】解：(1)①如图，在图1中．∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵∠BAC=∠BDC=90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°；②由题意可知，∠EAD=∠BAC=90°，∴∠EAB=∠DAC，又AE=AD，AB=AC，∴ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，∴BE=CD，∵AE=AD，∠EAD=90°，∴ΔADE是等腰直角三角形，∴DE=2AD，∵CD+DB=EB+BD=DE，∴CD+DB=2AD；故答案为45°，CD+DB=2AD；(2)线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD-CD=2AD．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．则∠DAE=∠CAB=90°，∴∠DAC=∠EAB，又AD=AE，AC=AB，∴ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，∴BE=CD，∵AE=AD，∠EAD=90°，∴ΔADE是等腰直角三角形，∴DE=2AD，∵BD-CD=BD-BE=DE，∴BD-CD=2AD；(3)由(2)知，ΔCDA≅ΔBEA，∴∠CDA=∠AEB，∵∠DEA=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°，∴∠CDA=∠AEB=135°，∴∠CDA+∠ABC=135°+45°=180°，∴A、B、C、D四点共圆，于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ΔABD的面积最大．作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，∵∠ADB=∠ACB=45°，∴∠GDB=22.5°，∠DBG=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°，∠HCB=∠DHC-∠HBC=45°-22.5°=22.5°，∴∠HCB=∠HBC，∴HB=CH=2，∴AD=BD=DH+BH=1+2．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

上海中学2024学年中考押题数学预测卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（）A．110°B．120°C．125°D．135°2．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD 于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．对于非零的两个实数a、b，规定11a bb a⊗=-，若1(1)1x⊗+=，则x的值为（）A．32B．13C．12D．12-4．方程2131xx+=-的解是（）A．2-B．1-C．2D．45．小华和小红到同一家鲜花店购买百合花与玫瑰花，他们购买的数量如下表所示，小华一共花的钱比小红少8元，下列说法正确的是（）百合花玫瑰花小华6支5支小红8支3支A．2支百合花比2支玫瑰花多8元B．2支百合花比2支玫瑰花少8元C．14支百合花比8支玫瑰花多8元D．14支百合花比8支玫瑰花少8元6．某中学篮球队12名队员的年龄如下表：年龄：（岁）13 14 15 16 人数 1 5 4 2 关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是( )A．众数是14岁B．极差是3岁C．中位数是14.5岁D．平均数是14.8岁7．下列事件中为必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放茂名新闻B．早晨的太阳从东方升起C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D．下雨后，天空出现彩虹8．估算18的值是在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间9．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为13，则a等于（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________. 12．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为__．13．如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=6x的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是_________ .14．一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第_____个．15．已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为________．16．下列对于随机事件的概率的描述：①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5，所以抛掷该硬币100次时，就会有50次“正面朝上”；②一个不透明的袋子里装有4个黑球，1个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是0.2；③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率总是在0.85附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中9环以上”的概率是0.85其中合理的有______（只填写序号）．17．计算xx x111的结果是__________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？19．（5分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．求证：EF＝ED；若AB＝22，CD＝1，求FE的长．20．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=1．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（10分）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：1322x x+=--.她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x=，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？22．（10分）如图，过点A（2，0）的两条直线1l，2l分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=13.求点B的坐标；若△ABC的面积为4，求2l的解析式．23．（12分）解方程：252112xx x+--＝1．24．（14分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN 于E．求证：DE是⊙O的切线；若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，∴∠FBE+∠FDE=12（∠ABE+∠CDE）=12（360°﹣90°）=135°，∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．故选D．【题目点拨】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．2、C【解题分析】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB，∵AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．【题目点拨】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质3、D【解题分析】试题分析：因为规定11a bb a⊗=-，所以11(1)111xx⊗+=-=+，所以x=12-，经检验x=12-是分式方程的解，故选D.考点：1.新运算；2.分式方程.4、D【解题分析】按照解分式方程的步骤进行计算，注意结果要检验. 【题目详解】解：2131xx+= -213(1)x x+=-2133x x+=-2313x x-=--4x-=-4x=经检验x=4是原方程的解故选：D【题目点拨】本题考查解分式方程，注意结果要检验.5、A【解题分析】设每支百合花x元，每支玫瑰花y元，根据总价＝单价×购买数量结合小华一共花的钱比小红少8元，即可得出关于x、y的二元一次方程，整理后即可得出结论．【题目详解】设每支百合花x元，每支玫瑰花y元，根据题意得：8x+3y﹣（6x+5y）＝8，整理得：2x﹣2y＝8，∴2支百合花比2支玫瑰花多8元．故选：A．【题目点拨】考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．6、D【解题分析】分别利用极差以及中位数和众数以及平均数的求法分别分析得出答案．解：由图表可得：14岁的有5人，故众数是14，故选项A正确，不合题意；极差是：16﹣13=3，故选项B正确，不合题意；中位数是：14.5，故选项C正确，不合题意；平均数是：（13+14×5+15×4+16×2）÷12≈14.5，故选项D错误，符合题意．故选D．“点睛”此题主要考查了极差以及中位数和众数以及平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键．7、B【解题分析】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．故选B．8、C【解题分析】，推出4＜5，即可得出答案．【题目详解】∴4＜5，4和5之间．故选：C．【题目点拨】，题目比较好，难度不大．9、B【解题分析】分析: 根据抛物线y=ax 2+bx+c 与反比例函数y=b x的图象在第一象限有一个公共点，可得b ＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b ，可得a ，c 互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac 的图象.详解: ∵抛物线y=ax 2+bx+c 与反比例函数y=b x 的图象在第一象限有一个公共点， ∴b ＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c=b ，∴a+c=0，∴ac ＜0，∴一次函数y=bx+ac 的图象经过第一、三、四象限．故选B.点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b ＞0，ac ＜0.10、A【解题分析】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：21233a =++， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、75【解题分析】因为△AEF 是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AB=AD ，∠B=∠D=∠BAD=90°. 所以Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），所以∠BAE=∠DAF.所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°. 故答案为75.12、2【解题分析】首先利用勾股定理计算出AB2，BC2，AC2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC的正弦值．【题目详解】解：连接ACAB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5，∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABC2故答案为：22．【题目点拨】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．13、y=32x-3【解题分析】【分析】由已知先求出点A、点B的坐标，继而求出y=kx的解析式，再根据直线y=kx平移后经过点B，可设平移后的解析式为y=kx+b，将B点坐标代入求解即可得.【题目详解】当x=2时，y=6x=3，∴A(2，3)，B（2，0），∵y=kx过点A(2，3)，∴3=2k，∴k=32，∴y=32x，∵直线y=32x平移后经过点B，∴设平移后的解析式为y=32x+b，则有0=3+b，解得：b=-3，∴平移后的解析式为：y=32x-3，故答案为：y=32x-3.【题目点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是解题的关键.14、5【解题分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张.【题目详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则＝，解得x=3，所以另一段长为18-3=15，因为15÷3=5，所以是第5张．故答案为：5.【题目点拨】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答. 15、47【解题分析】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为322437-=；②长为3、322435+=；74．考点：3．勾股定理；4．分类思想的应用．16、②③【解题分析】大量反复试验下频率稳定值即概率.注意随机事件发生的概率在0和1之间.根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可.【题目详解】解：①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5，所以抛掷该硬币100次时，大约有50次“正面朝上”，此结论错误；②一个不透明的袋子里装有4个黑球，1个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是10.241=+，此结论正确；③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率总是在0.85附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中9环以上”的概率是0.85，此结论正确；故答案为：②③．【题目点拨】本题考查了概率的意义,解题的关键在于掌握计算公式.17、1【解题分析】分析：利用同分母分式的减法法则计算，分子整理后分解因式，约分即可得到结果．详解：原式111.111x xx x x-=-== ---故答案为：1.点睛：本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）1；（3）；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．【解题分析】试题分析：（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到30﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（3）由于根据（1）得到x≤1，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；（3）首先把函数变为y==，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．试题解析：（1）设一次购买x只，则30﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=1．答：一次至少买1只，才能以最低价购买；（3）当10＜x≤1时，y=[30﹣0.1（x﹣10）﹣13]x=，当x＞1时，y=（16﹣13）x=4x；综上所述：；（3）y==，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤1时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当x=46时，y1=303.4，当x=1时，y3=3．∴y1＞y3．即出现了卖46只赚的钱比卖1只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为30﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；分类讨论．19、（1）见解析；（2）EF＝5 3 .【解题分析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．【题目详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴DE＝EF（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵CD＝1，∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，∵∠ABF＝∠ABC＝45°，∴∠EBF＝90°，∴BF 2+BE 2＝EF 2，∴1+（3﹣EF ）2＝EF 2，∴EF ＝53【题目点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．20、（2）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=2时，x 2=x 2=﹣2．【解题分析】分析：（2）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（2）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.21、（1）0x =;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【解题分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【题目详解】（1）方程两边同时乘以()2x -得()5321x +-=-解得 0x =经检验，0x =是原分式方程的解.（2）设？为m ，方程两边同时乘以()2x -得()321m x +-=-由于2x =是原分式方程的增根，所以把2x =代入上面的等式得()3221m +-=-1m =-所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【题目点拨】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．22、（1）（0，3）；（2）112y x =-． 【解题分析】（1）在Rt △AOB 中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B 的坐标；（2）由ABC S ∆=12BC•OA ，得到BC=4，进而得到C （0，-1）．设2l 的解析式为y kx b =+， 把A （2，0），C （0，-1）代入即可得到2l 的解析式．【题目详解】（1）在Rt △AOB 中，∵222OA OB AB +=，∴2222OB +=，∴OB=3，∴点B 的坐标是（0，3） ．（2）∵ABC S ∆=12BC•OA ， ∴12BC×2=4， ∴BC=4，∴C （0，-1）．设2l 的解析式为y kx b =+，把A （2，0），C （0，-1）代入得：20{1k b b +==-， ∴1{21k b ==-，∴2l 的解析式为是112y x =-． 考点：一次函数的性质．23、12x =- 【解题分析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可得分式方程的解.【题目详解】 原方程变形为2532121x x x -=--， 方程两边同乘以（2x ﹣1），得2x ﹣5＝1（2x ﹣1）， 解得12x =- ． 检验：把12x =-代入（2x ﹣1），（2x ﹣1）≠0， ∴12x =-是原方程的解， ∴原方程的12x =-． 【题目点拨】本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根.24、解：（1）证明见解析；（2）⊙O 的半径是7.5cm ．【解题分析】（1）连接OD ，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D 在⊙O 上，故DE 是⊙O 的切线． （2）由直角三角形的特殊性质，可得AD 的长，又有△ACD ∽△ADE ．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【题目详解】（1）证明：连接OD ．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴2235AD DE AE=+=连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴AD AC AE AD=．∴35335=则AC=15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．。

上海市闵行区2024学年中考押题数学预测卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图是某零件的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是（）A．2003503x x=-B．2003503x x=+C．2003503x x=+D．2003503x x=-3．当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（）A．7 B．3 C．1 D．﹣74．已知一组数据2、x、8、1、1、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（）A．3.1；B．4；C．2；D．6.1．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA的值为（）A．B．C．D．6．如图的几何体中，主视图是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．如图，A，C，E，G四点在同一直线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ的面积是（）A．38B．34C．12D．328．如图是婴儿车的平面示意图,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．102°9．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝35，则AB＝( )A．15 B．12 C．9 D．610．化简(﹣a2)•a5所得的结果是( )A．a7B．﹣a7C．a10D．﹣a10二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同. 求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为_______.12．科学家发现，距离地球2540000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2540000用科学记数法表示为_____．13．三人中有两人性别相同的概率是_____________.14．关于x的不等式组3515-12xx a->⎧⎨≤⎩有2个整数解，则a的取值范围是____________.15．已知关于x的方程有解，则k的取值范围是_____．16．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标______．17．计算xx x111的结果是__________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且AD=AB，过点C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点H．（1）如图1，若∠BAC=60°．①直接写出∠B 和∠ACB 的度数；②若AB=2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB+AC 之间的数量关系，并证明．19．（5分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．求证：△ABC≌△AED；当∠B=140°时，求∠BAE的度数．20．（8分）已知，平面直角坐标系中的点A（a，1），t＝ab﹣a2﹣b2（a，b是实数）（1）若关于x的反比例函数y＝2ax过点A，求t的取值范围．（2）若关于x的一次函数y＝bx过点A，求t的取值范围．（3）若关于x的二次函数y＝x2+bx+b2过点A，求t的取值范围．21．（10分）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C 处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）3 1.73，2 1.41≈）22．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留≈≈）．小数点后一位，参考数据：2 1.41,?3 1.7323．（12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由24．（14分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．求证：EF＝ED；若AB＝22，CD＝1，求FE的长．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】物体的俯视图，即是从上面看物体得到的结果；根据三视图的定义，从上面看物体可以看到是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，由此可以确定答案.【题目详解】从上面看是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆.故答案选C.【题目点拨】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握几何体三视图的定义.2、B【解题分析】试题分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可．考点：由实际问题抽象出分式方程3、B【解题分析】因为当x=1时，代数式的值是7，所以1+1+m=7，所以m=5，当x=-1时，=-1-1+5=3，故选B．4、A【解题分析】∵数据组2、x、8、1、1、2的众数是2，∴x=2，∴这组数据按从小到大排列为：2、2、2、1、1、8，∴这组数据的中位数是：(2+1)÷2=3.1.故选A.5、C【解题分析】先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．【题目详解】如图，根据勾股定理得，BC==12，∴sinA=．故选C．【题目点拨】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．6、C【解题分析】解：球是主视图是圆，圆是中心对称图形，故选C．7、A【解题分析】根据等边三角形的性质得到FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，根据三角形的内角和得到∠AFG＝90°，根据相似三角形的性质得到AEAG=EJGF=36，ACAE=CIEF=13，根据三角形的面积公式即可得到结论．【题目详解】∵AC＝1，CE＝2，EG＝3，∴AG＝6，∵△EFG是等边三角形，∴FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，∵AE＝EF＝3，∴∠FAG＝∠AFE＝30°，∴∠AFG＝90°，∵△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠AJE＝90°，JE∥FG，∴△AJE∽△AFG，∴AEAG=EJGF=36，∴EJ ＝13， ∵∠BCA ＝∠DCE ＝∠FEG ＝60°，∴∠BCD ＝∠DEF ＝60°，∴∠ACI ＝∠AEF ＝120°，∵∠IAC ＝∠FAE ，∴△ACI ∽△AEF ， ∴AC AE =CI EF =13， ∴CI ＝1，DI ＝1，DJ ＝12，∴IJ∴DIJ S =12•DI•IJ ＝12×12 故选：A ．【题目点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．8、A【解题分析】分析：根据平行线性质求出∠A ，根据三角形内角和定理得出∠2=180°-∠1−∠A ，代入求出即可． 详解：∵AB ∥CD.∴∠A =∠3=40°，∵∠1=60°，∴∠2=180°-∠1−∠A =80°，故选：A.点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等.三角形内角和定理：三角形内角和为180°. 9、A【解题分析】根据三角函数的定义直接求解.【题目详解】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，∵sinACBAB =，∴935 AB=，解得AB＝1．故选A10、B【解题分析】分析:根据同底数幂的乘法计算即可,计算时注意确定符号.详解: (-a2)·a5=-a7.故选B.点睛:本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂相乘，底数不变，指数相加是解答本题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、26170 {?38x yx y+==【解题分析】分析：设A款魔方的单价为x元，B魔方单价为y元，根据“购买两个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解．解：设A魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，根据题意得：26170 38x yx y+=⎧⎨=⎩故答案为26170 38x yx y+=⎧⎨=⎩点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12、2.54×1【解题分析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【题目详解】2540000的小数点向左移动6位得到2.54，所以，2540000用科学记数法可表示为：2.54×1，故答案为2.54×1．【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13、1【解题分析】分析：由题意和生活实际可知：“三个人中，至少有两个人的性别是相同的”即可得到所求概率为1.详解：∵三人的性别存在以下可能：（1）三人都是“男性”；（2）三人都是“女性”；（3）三人的性别是“2男1女”；（4）三人的性别是“2女1男”，∴三人中至少有两个人的性别是相同的，∴P（三人中有二人性别相同）=1.点睛：列出本题中所有的等可能结果是解题的关键.14、8⩽a<13；【解题分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【题目详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，解不等式5x−a⩽12,得：x⩽125a+，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4⩽125a+<5，解得：8⩽a<13，故答案为：8⩽a<13【题目点拨】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键15、k≠1【解题分析】试题分析：因为，所以1-x+2（x-2）=-k，所以1-x+2x-4=-k，所以x=3-k，所以，因为原方程有解，所以，解得．考点：分式方程．16、（2，2）．【解题分析】连结OA，根据勾股定理可求OA，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B的坐标．【题目详解】如图，连结OA，OA＝2234+＝5，∵B为⊙O内一点，∴符合要求的点B的坐标（2，2）答案不唯一．故答案为：（2，2）．【题目点拨】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长．17、1【解题分析】分析：利用同分母分式的减法法则计算，分子整理后分解因式，约分即可得到结果．详解：原式111.111x xx x x-=-== ---故答案为：1.点睛：本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）①45°3+3（2）线段AH 与AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC．证明见解析.【解题分析】（1）①先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD=30°，由等腰三角形的性质得∠B=75°，最后利用三角形内角和可得∠ACB=45°；②如图1，作高线DE，在Rt△ADE 中，由∠DAC=30°，AB=AD=2 可得DE=1，3在Rt△CDE 中，由∠ACD=45°，DE=1，可得EC=1，AC= 3，同理可得AH 的长；（2）如图2，延长AB 和CH 交于点F，取BF 的中点G，连接GH，易证△ACH≌△AFH，则AC=AF，HC=HF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得AG=AH，再由线段的和可得结论．【题目详解】（1）①∵AD 平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵AB=AD，∴∠B=180302︒︒-=75°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣75°=45°；②如图1，过 D 作DE⊥AC 交AC 于点E，在Rt△ADE 中，∵∠DAC=30°，AB=AD=2，∴DE=1，AE=3，在Rt△CDE 中，∵∠ACD=45°，DE=1，∴EC=1，∴AC=3+1，在Rt△ACH 中，∵∠DAC=30°，∴CH=12AC=3+12∴AH=222231(31)2AC CH⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭=332+；（2）线段AH 与AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC．证明：如图2，延长AB 和CH 交于点F，取BF 的中点G，连接GH．易证△ACH≌△AFH，∴AC=AF ，HC=HF ，∴GH ∥BC ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴∠AGH=∠AHG ，∴AG=AH ，∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2（AB+BG ）=2AG=2AH ．【题目点拨】本题是三角形的综合题，难度适中，考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，第（2）问构建等腰三角形是关键．19、（1）详见解析；（2）80°．【分析】（1）根据∠ACD =∠ADC ，∠BCD =∠EDC =90°，可得∠ACB =∠ADE ，进而运用SAS 即可判定全等三角形； （2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE 的度数．【解题分析】（1）根据∠ACD=∠ADC ，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE ，进而运用SAS 即可判定全等三角形； （2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE 的度数．【题目详解】证明：（1）∵AC=AD ，∴∠ACD=∠ADC ，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴∠ACB=∠ADE ，在△ABC 和△AED 中，BC ED ACB ADE AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△AED （SAS ）；解：（2）当∠B=140°时，∠E=140°，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴五边形ABCDE 中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．【题目点拨】考点：全等三角形的判定与性质．20、（1）t≤﹣34；（2）t≤3；（3）t≤1．【解题分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得a的值；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围．（2）把点A的坐标代入一次函数解析式求得a=1b；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围．（3）把点A的坐标代入二次函数解析式求得以a2+b2=1-ab；然后利用非负数的性质得到t的取值范围．【题目详解】解：（1）把A（a，1）代入y＝2ax得到：1＝2aa，解得a＝1，则t＝ab﹣a2﹣b2＝b﹣1﹣b2＝﹣（b﹣12）2﹣34．因为抛物线t＝﹣（b﹣12）2﹣34的开口方向向下，且顶点坐标是（12，﹣34），所以t的取值范围为：t≤﹣34；（2）把A（a，1）代入y＝bx得到：1＝ab，所以a＝1b，则t＝ab﹣a2﹣b2＝﹣（a2+b2）+1＝﹣（b+1b）2+3≤3，故t的取值范围为：t≤3；（3）把A（a，1）代入y＝x2+bx+b2得到：1＝a2+ab+b2，所以ab＝1﹣（a2+b2），则t＝ab﹣a2﹣b2＝1﹣2（a2+b2）≤1，故t的取值范围为：t≤1．【题目点拨】本题考查了反比例函数、一次函数以及二次函数的性质．代入求值时，注意配方法的应用．21、解：设OC=x，在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x．在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴OB OC?tan30=︒=．∵AB=OA﹣OB=3x x=23-，解得x=3+31+1.73=4.735≈≈．∴OC=5米．答：C处到树干DO的距离CO为5米．【解题分析】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．【分析】设OC=x，在Rt△AOC中，由于∠ACO=45°，故OA=x，在Rt△BOC中，由于∠BCO=30°，故3OB OC?tan30x3=︒=，再根据AB=OA－OB=2即可得出结论．22、5.7米．【解题分析】试题分析：由题意，过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED 中，求出CE的长．试题解析：解：如答图，过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6.在Rt△ACH中，CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×3233=，∵DH=1.5，∴CD=23+1.5.在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，∴CE=23 1.55.7sin6032CD+=≈︒（米）.答：拉线CE的长约为5.7米．考点：1.解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.矩形的判定和性质．23、(1) w＝－10x2＋700x－10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;(3) A方案利润更高.【解题分析】试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较. 【题目详解】解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000.（2）∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250∴当x＝35时，w有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.（3）A方案利润高,理由如下：A方案中：20＜x≤30，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而增大，∴当x=30时，w有最大值，此时，最大值为2000元.B方案中：10x50010x2025-+≥⎧⎨-≥⎩，解得x的取值范围为：45≤x≤49.∵45≤x≤49时，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而减小，∴当x=45时，w有最大值，此时，最大值为1250元.∵2000＞1250，∴A方案利润更高24、（1）见解析；（2）EF＝5 3 .【解题分析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．【题目详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴DE＝EF（2）∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵CD＝1，∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，∵∠ABF＝∠ABC＝45°，∴∠EBF＝90°，∴BF2+BE2＝EF2，∴1+（3﹣EF）2＝EF2，∴EF＝5 3【题目点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．。

上海中考数学压轴题近年来，上海中考数学压轴题备受关注。

这些题目难度较大，出题精细，考察学生对数学知识的理解和应用能力。

下面我们来分析一下近年来的上海中考数学压轴题的特点和解题技巧。

首先，上海中考数学压轴题在难度上相对较高。

这是因为上海地区的中考要求学生掌握更高层次的数学知识和技能。

压轴题往往涉及多个知识点的综合运用，需要学生具备较强的分析和解决问题的能力。

例如，一道常见的压轴题可能涉及到几何、代数、概率等多个领域的知识，考察学生对数学的综合应用能力。

其次，上海中考数学压轴题注重思维的拓展。

在解题过程中，学生需要进行逻辑推理、问题转化和数学模型的建立等思维活动。

这些题目往往需要学生灵活运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学思维和创新能力。

因此，学生在备考中需要注重培养解决问题的思维方式，通过多做一些综合性的题目来提高解题能力。

另外，上海中考数学压轴题注重实践能力的考察。

在解题过程中，学生需要将数学知识运用到实际生活中的问题中去。

这样的题目能够培养学生的实际运用能力和解决实际问题的能力。

例如，一道压轴题可能涉及到购物打折、旅行路线规划等实际问题，学生需要将数学知识应用到这些问题中去解决。

因此，学生在备考中需要注重实际问题的练习，多思考数学知识与实际问题的联系。

最后，上海中考数学压轴题注重数学思想的培养。

这些题目旨在培养学生的数学思维方式和解决问题的能力，而不仅仅是对知识的简单记忆和运用。

学生在解题过程中需要思考问题的本质，从中抽象出数学模型，并运用数学知识解决问题。

因此，学生在备考中需要注重培养数学思维的培养，通过多做一些思维拓展的题目来提高数学思维的能力。

综上所述，上海中考数学压轴题在难度、思维拓展、实践能力和数学思想的培养等方面具有一定的特点。

学生在备考中需要注重综合能力的培养，多做一些综合性的题目，培养解决问题的思维方式，提高数学的应用能力和创新能力。

只有这样，才能在上海中考数学压轴题中取得较好的成绩。

一、规律问题数字变化类1．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A ．第504个正方形右上角顶点处B ．第505个正方形右下角顶点处C ．第505个正方形右上角顶点处D ．第504个正方形右下角顶点处答案：B解析：B 【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解． 【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角； 第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角； 第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角； 第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角； 第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环 ∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处． 故选：B 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键． 2．有一列数：3591724816、、、它有一定的规律性．若把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，……．第n 个数记为a n ，则1232020a a a a ++++的值是（ ）A ．2020B ．2021-202012C ．2020-202012 D ．2021-202112答案：B解析：B 【分析】分析数据可得a n = 212n n+= 112n +；从而得到1232020a a a a ++++的表达式为232020111111112222++++++++,根据等比数列的特征即可求和.【详解】解：观察可知∵a n =212n n+= 112n +, 设1232020a a a a ++++=b,则b=232020111111112222++++++++ =23202011112020()2222+++++∴2b=23201911114040(1)2222++++++ ∴2b-b=23201911114040(1)2222++++++-[23202011112020()2222+++++]∴b=202012020(1)2+-=2020120212-,即1232020a a a a ++++=2020120212-,故选:B. 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题找到a n 的表达式是解题关键. 3．将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐弯处，3在第2个拐弯处，5在第3个拐弯处，7在第4个拐弯处，……．那么，在第200个拐弯处的数是（ ）A ．10101B ．10001C ．399D ．398答案：A解析：A 【分析】观察图形，依次得到每一个拐弯处的数字与拐弯数n的个数之间的关系，得到相应规律，代入计算即可．【详解】解：第1个拐弯处：1+1=2第2个拐弯处：1+1+1=3第3个拐弯处：1+1+1+2=5第4个拐弯处：1+1+1+2+2=1+(1+2)×2=7第5个拐弯处：1+1+1+2+2+3=1+(1+2)×2+3=10第6个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3=1+(1+2+3)×2=13第7个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+4=1+(1+2+3)×2+4=17……第200个拐弯处：1+1+1+2+2+3+3+…+99+99+100+100=1+(1+100)×100÷2×2=10101故选：A【点睛】本题考查数字的变化规律；得到第n(n为奇数)个拐弯处=1+[1+2+3+…+(n+1)÷2] ×2+(n+1) ÷2,第n(n为偶数)个拐弯=1+1+1+2+2+…+n÷2+n÷2的规律是解决本题的关键．4．有依次排列的三个数：6，2，8，先将任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新的数串：6，-4，2，6，8，这称为第一次操作，第二次操作后同样可以产生一个新数串：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，继续操作下去，问：第2021次操作后所产生的新数串的所有数之和是（）A．4054 B．4056 C．4058 D．4060答案：C解析：C【分析】首先根据题意，分别求出前三次操作得到的数分别是多少，再求出它们的和各是多少；然后总结出第n次操作：求和结果是16+2n，再把n=2021代入，求出算式的值是多少即可．【详解】解：第一次操作：6，-4，2，6，8，求和结果：18，第二次操作：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，求和结果：20，第三次操作：6，-16，-10，6，-4，10，6，-4，2，2，4，2，6，-4，2，6，8，求和结果：22，……第n次操作：求和结果：16+2n，∴第2021次结果为：16+2×2021=4058．故选：C．【点睛】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数字的变化规律，要熟练掌握．5．下列图形是按一定规律排列的．依照此规律，第⑥个图形需（ ）根火柴棒A ．40B ．41C ．42D ．43答案：C解析：C 【分析】根据图形找出图形中的规律即可求解； 【详解】 第一个图形：12； 第二个图形：18； 第三个图形：24； ……则第n 个图形有6+6n 个， 故第六个图形有：6+36=42个 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律探索的题目，关键是仔细观察图形，找到规律； 6．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1=-112-，-1的差倒数是11=1(1)2--．如果12a =-，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么12100a a a +++的值是（ ）A ．-7.5B ．7.5C ．5.5D ．-5.5答案：A解析：A 【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以2-，13，32依次循环，且1312326-++=-，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【详解】解：∵12a =-，∴2111(2)3a ==--，3131213a ==-，412312a ==--，……∴这个数列以-2，13，32依次循环，且1312326-++=-， ∵1003331÷=，∴121001153327.562a a a ⎛⎫+++=⨯--=-=- ⎪⎝⎭，故选A ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．7．若线段122A A =，在线段12A A 的延长线上取一点3A ，使2A 是13A A 的中点；在线段13A A 的延长线上取一点4A ，使3A 是41A A 的中点；在线段41A A 的延长线上取一点5A ，使4A 是15A A 的中点……，按这样操作下去，线段2021A A 的长度为（ ）A ．182B ．192C ．202D ．212答案：B解析：B 【分析】根据线段中点的定义，和两点之间的距离，找出题目中的规律，即可得到结论． 【详解】 由题意可知：如图写出线段的长，A 1A 2=2，A 2是 A 1A 3 的中点得A 1A 2=A 2A 3=2， A 1A 3=4，A 3是 A 1A 4的中点得A 1A 3=A 3A 4=4， A 1A 4=8，A 4是 A 1A 5的中点得A 1A 4=A 4A 5=8，…… 根据线段的长，找出规律，∵A 1A 2=2，A 2A 3=2=21，A 3A 4=4=22，A 4A 5=8=23， A 5A 6=16=24，A 7A 8=……， 总结通项公式，∴线段 A n A n+1=2n-1（n 为正整数） ∴线段 A 20A 21=219 故此题选：B 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键. 8．a 是不为2的有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”，如：3的“哈利数”是2223=--，－2的“哈利数”是()21222=--，已知13a =，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，…，依次类推，则2018a =（ ） A ．3B ．-2C ．12D ．43答案：B解析：B 【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】 解：∵a 1＝3， ∴a 2＝223-＝﹣2， a 3＝22(2)--＝12，a 4＝2122-＝43， a 5＝2423-＝3， ∴该数列每4个数为一周期循环， ∵2018÷4＝504……2， ∴a 2018＝a 2＝﹣2， 故选B ． 【点睛】本题主要考查数字的变换规律，根据题意得出该数列每4个数为一周期循环是关键． 9．观察下列等式：12=1，22=4，32=9，42 =16，52=25，．．．，若22222212345...n ++++++的个位数字是1（02020n <≤，且n 为整数），则n 的最大值是( ) A ．2001B ．2006C ．2011D ．2019答案：B解析：B 【分析】通过计算得到个位数字为10个一循环，再分别验证选项中的个位数字，将符合个位数字为1的数比较大小可得． 【详解】解：12=1，22=4，32=9，42 =16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，102=100，112=121，122=144，∴个位数是10个数为一个循环， A 、2001÷10=200...1，则200×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+1=9001， B 、2006÷10=200...6，则200×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+（1+4+9+6+2+6）=9031， C 、2011÷10=201...1，则201×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+1=9046， D 、2019÷10=201...9，则201×（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）=9090， ∵2001＜2006， 故选B ． 【点睛】本题考查了数字型规律以及有理数的混合运算，解题的关键是找到个位数字为10个一循环．10．将正偶数按下表排成5列则2004应该排在（ ） A ．第251行，第3列 B ．第250行，第1列 C ．第500行，第2列D ．第501行，第5列答案：A解析：A 【分析】观察各行各列的规律，首先分析两端的规律：第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，因为20041612522=⨯+⨯，200482504=⨯+，所以2004在第251行第3列. 【详解】规律为第一列是偶数行有，且数是16的2n倍，第五列是奇数行有，且数是8的n 倍，所以2004在第251行第3列. 故选：A. 【点睛】此题考查数字的规律，观察表格得到数字的排列规律，得到特定行列的数字规律并运用解决问题是解题的关键.二、规律问题算式变化类11．求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S －S ＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（ ）A ．2020202012020-B ．2021202012020-C ．2021202012019-D ．2020202012019-答案：C 【分析】由题意可知S ＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S ＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①解析：C 【分析】由题意可知S ＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S ＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S 的值． 【详解】解：设S ＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020① 则2020S ＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021② 由②－①得： 2019S ＝20202021－1∴2021202012019S -=．故答案为：C ． 【点晴】本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算． 12．观察下列各式及其展开式 (a +b )2＝a 2+2ab +b 2 (a +b )3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3 (a +b )4＝a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4 (a +b )5＝a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 ……请你猜想(2x ﹣1)8的展开式中含x 2项的系数是（ ）A．224 B．180 C．112 D．48答案：C【分析】观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8 的等式右边各项的系数，结合括号内含x项的次数为2，即可得出答案解析：C【分析】观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8 的等式右边各项的系数，结合括号内含x项的次数为2，即可得出答案．【详解】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．故选：C．【点睛】本题考查了二项式展开式中的系数规律问题，发现题中所列各式的系数规律是解题的关键．13．探索：2(1)(1)1-+=-x x x23-++=-x x x x(1)(1)1324-+++=-(1)(1)1x x x x x4325(1)(1)1-++++=-x x x x x x……判断22020+22019+22018+…+22+2+1的值的个位数是几？（）A．1 B．3 C．5 D．7答案：A【分析】仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解．【详解】解：观察所给等式得出如下规律：变形得 令其x=解析：A 【分析】仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解． 【详解】解：观察所给等式得出如下规律：211(1)(1)1n n n n x x x x x x --+-++++=-……变形得121111n nn n x x xxx x +---++++=-…… 令其x =2，n =2020得 22020+22019+22018+…+2+1= =（22021-1）÷（2-1） =22021-1，∵2n 的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505， ∴22020的个位数字是6， ∴22021的个位数字为2， ∴22021-1的个位数字是1，∴22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是1． 故选：A ． 【点睛】此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问题的关键． 14．计算111111122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果为（ ）． A ．67 B ．67-C ．17-D ．17答案：D 【分析】将式子进行变形，然后计算即可． 【详解】 解： = = 【点睛】本题考查有理数的计算，关键在于进行变形．解析：D【分析】将式子进行变形，然后计算即可．【详解】 解：111111122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =111111111111()()()()()22334455667----------- =17【点睛】本题考查有理数的计算，关键在于进行变形．15．计算：2222211111(1)(1)(1)...(1)(1)56799100-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-的结果是（ ） A ．101200 B ．101125 C ．101100 D ．1100答案：B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式====．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常解析：B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式=111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=46576898100991015566779999100100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=4101 5100⨯=101 125．故选：B．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．16．如图，已知ABC的面积是12，6BC=，点E，I分别在边AB，AC上，在边BC上依次作了n个全等的小正方形，DEFG，GFMN，，KHIJ，则每个小正方形的边长为（）A．1211B．1223n-C．125D．1223n+答案：D【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可.【详解】当作了1个正方形时，如图所示，过A作AM⊥BC，垂足为M，交解析：D【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可.【详解】当作了1个正方形时，如图所示，过A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，交GH 于N ，∴∠AMC=90°，∵四边形EFGH 为正方形，∴GH ∥BC ，GH=GF ，GF ⊥BC ，∴∠AGH=∠B ，∠ANH=∠AMC=90°，∵∠GAH=∠BAC ，∴△AGH~△ABC ，∴AN:AM=GH:BC ，∵△ABC 面积为12，BC 为6， ∴1161222ABC s BC AM AM ∆===， ∴AM=4，设GH=x ， ∵GF=NM=GH ，∴AN=AM−NM=AM−GH= 4x -，∴464x x -=， ∴125x =， 同理，当2n =时，根据正方形性质可得：DN=2DE ， ∴244DN DE BC -=， ∴127DN =， 以此类推，当为第n 个正方形时，每个小正方形边长为：1223n +， 故选：D.【点睛】本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.17．当x 分别取-2019、-2018、-2017、…、-2、-1、0、1、12、13、…、12017、12018、12019时，分别计算分式2211x x -+的值，再将所得结果相加，其和等于( ) A ．-1 B ．1 C ．0 D ．2019答案：A【分析】设a 为负整数，将x=a 代入得：，将x=-代入得：，故此可知当x 互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可．【详解】∵将x=a 代入得：，将x=-代入得：，∴，当x=0时，解析：A【分析】设a 为负整数，将x=a 代入得：2211a a -+，将x=-1a 代入得：2211a a -+，故此可知当x 互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可．【详解】∵将x=a 代入得：2211a a -+，将x=-1a 代入得：2222222*********a a a a a a a a ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭==++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴222211011a a a a --+=++， 当x=0时，2211x x -+=-1， 故当x 取-2019，-2018，-2017，……，-2，-1，0，1，12，13，……，12017，12018，12019时，得出分式2211x x -+的值，再将所得结果相加，其和等于：-1． 故选A ．【点睛】本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x 的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．18．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和()na b +的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”设()na b +的展开式中各项系数的和为n a ，若10102x =，则1232020a a a a ++++的值为（ ）A ．22xB ．222x -C ．20202x -D ．2020x 答案：B【分析】由的展开式中各项系数的和为求出， 可知，设，两边都乘2得，由②-①得，由，利用幂的乘方变形后代入即可．【详解】解：∵的展开式中各项系数的和为，，，设，∴，∴②-①得，∵解析：B【分析】由()na b +的展开式中各项系数的和为n a 求出100212=122,422n n a a a a =====，， 可知12320201232020=2+2+2++2a a a a ++++，设123202020202+2+2++2S =①，两边都乘2得234202120202+2+22+2S =②，由②-①得20211220120022-2=22S =-，由10102x =，利用幂的乘方变形后代入()210102202022222S x =-=-即可．解：∵()na b +的展开式中各项系数的和为n a ， 012120=121122,121422n n a a a a ==+===++===，， 12320201232020=2+2+2++2a a a a ++++， 设123202020202+2+2++2S =①， ∴234202120202+2+22+2S =②， ∴②-①得20211220120022-2=22S =-， ∵10102x =，∴()210102202022222S x =-=-．故选择：B ．【点睛】 本题考查杨辉三角两项和的乘方展开规律，数列求和，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，掌握杨辉三角两项和的乘方展开规律，数列求和的方法，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，关键是利用倍乘算式再相减方法化简数列的和．19．2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，….依此类推，一直减到余下的12020，则最后剩下的数是（ ） A ．20202019 B ．1 C ．20192020 D ．0答案：B【分析】根据题意，可列式2020×（1−）×（1−）×（1−）×…×（1−），先算括号里的减法，再约分即可．【详解】解：2020×（1−）×（1−）×（1−）×…×（1−）＝2020×××解析：B【分析】根据题意，可列式2020×（1−12）×（1−13）×（1−14）×…×（1−12020），先算括号里的减法，再约分即可．【详解】解：2020×（1−12）×（1−13）×（1−14）×…×（1−12020）＝2020×12×23×34…×20192020＝1．故选：B ．此题考查有理数的混合运算，首先要根据题意列式，总结规律是解题的关键．20．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1的计算结果的个位数字是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案：B【分析】原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字．【详解】解：原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）…（216+1）+1＝（22﹣1）•解析：B【分析】原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字．【详解】解：原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）…（216+1）+1＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）…（216+1）+1＝（24﹣1）•（24+1）…（216+1）+1＝232﹣1+1＝232，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴其结果个位数以2，4，8，6循环，∵32÷4＝8，∴原式计算结果的个位数字为6，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键．三、规律问题图形变化类21．如图，8AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P 不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；…按照这样的方法一直画下去，得到点n P ，若之后就不能再画出符合要求的点1n P +，则n 等于（ ）A ．13B ．12C ．11D ．10解析：C【分析】 先观察题目，可知画出的三角形为等腰三角形，可依次算出第一个第二个第三个等腰三角形的底角的度数，发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒，再根据等腰三角形的底角度数小于90°，即可算出答案．【详解】解：根据题意可得出：∵11223OP PP PP P P === ∴画出的三角形为等腰三角形∵8AOB ∠=︒ ∴18AOB PPO ∠=∠=︒∴121216PPP PP P ∠==︒∴21323132P PP P P P ∠==︒依次推算可发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒∵等腰三角形的底角度数小于90°∴(8)90n ︒<︒ ∴908n <（n 为正整数） ∴11n =．故选：C ．【点睛】本题主要考查规律探索和等腰三角形的性质，知道三角形的外角度数等于其它两个内角和的度数以及等腰三角形的底角小于90°是解题的关键．22．如图，在坐标系中放置一菱形 OABC ，已知∠ABC =60°，点 B 在 y 轴上，OA =1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2019次，点 B 的落点依次为 B 1，B 2，B 3，…，则 B 2 019 的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5， 3)C ．(1345， 3)D ．(1346，0)解析：D【分析】 连接AC ，根据条件可以求出AC ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364 ）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．【详解】连接AC ，如图所示．∵四边形OABC 是菱形，∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1，∴AC =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019．∵B 3的坐标为(2，0)，∴B 2019的坐标为(1346，0)，故选：D【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．23．按如图方式摆放餐桌和椅子：桌子张1234…n数可坐人6810…数A．n+5 B．2n+6 C．2n D．2n+4解析：D【分析】根据桌子左右总有4把椅子，前后的椅子数是桌子的2倍，表示出n张桌子时的椅子数目即可．【详解】解：由图可得1张桌子时，有4+2＝6把椅子；2张桌子时，有4+2×2＝8把椅子；3张桌子时，有4+3×2＝10把椅子；4张桌子时，有4+4×2＝12把椅子；…n张桌子时，有（4+n×2）把椅子．故选：D．【点睛】本题考查了图形的规律性问题；得到不变的量及变化的量与n的关系是解决本题的关键．24．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2020对应的字是（）A．振B．兴C．中D．华解析：A【分析】找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得．【详解】由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”是除以4余3的，“振”是能被4整除的，“兴”是除以4余1的，÷=，因为20204505所以数2020对应的字是“振”，故选：A．【点睛】本题考查了图形变化的规律型问题，正确找出一般规律是解题关键．25．如图．ABC ∆的面积为1．分别取,AC BC 两边的中点11A B 、，则四边形11A ABB 的面积为34，再分别取的11,A C B C 中点2222,,,A B A C B C 的中点33,A B ，依次取下去…．利用这一图形．计算出233333 (4444)n ++++的值是（ ）A ．11414n n --- B ．414n n- C ．212n n- D ．1212n n-- 解析：B 【分析】由△CA 1B 1∽△CAB 得出面积比等于相似比的平方，得出△CA 1B 1的面积为14，因此四边形A 1ABB 1的面积为1-14，以此类推．四边形的面积为21144-，231144-，，根据规律求出式子的值． 【详解】∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点， 且△ABC 的面积为1， ∴△A 1B 1C 的面积为114⨯， ∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积=31144=-， ∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=△A 1B 1C 的面积-△A 2B 2C 的面积=22113444-=， …，∴第n 个四边形的面积1113444n n n --=， 故2321333311111···(1)()()444444444n n n -++++=-+-++- 114n=-414n n -=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．26．如图，点Q 在线段AP 上，其中10PQ =，第一次分别取线段AP 和AQ 的中点1P ，1Q 得到线段11PQ ；再分别取线段1AP 和1AQ 的中点2P ，2Q 得到线段22P Q ；第三次分别取线段2AP 和2AQ 的中点3P ，3Q 得到线段33PQ ；连续这样操作11次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和1122331111PQ P Q PQ P Q ++++=（ ）A ．1010102- B ．1110102-C ．1010102+D ．1110102+解析：B 【分析】根据线段中点定义先求出P 1Q 1的长度，再由P 1Q 1的长度求出P 2Q 2的长度，从而找到P n Q n 的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵线段PQ=10，线段AP 和AQ 的中点P 1，Q 1， ∴P 1Q 1=AP 1-AQ 1 =12AP-12AQ =12（AP-AQ ） =12PQ =12×10 =5．∵线段AP 1和AQ 1的中点P 2，Q 2； ∴P 2Q 2=AP 2-AQ 2 =12AP 1-12AQ 1 =12（AP 1-AQ 1） =12P 1 Q 1=12×12×10 =212×10 =52． 发现规律：P n Q n =12n ×10 ∴P 1Q 1+P 2Q 2+…+P 11Q 11=12×10+212×10+312×10+…+1112×10 =10（12+212+312+…+1112）=10（1111212 ）=10（1-1112） =10-11102故选：B ． 【点睛】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 27．如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，……，依次规律，图6表示数字（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52解析：C 【分析】通过前4个图形找出一般性规律，即可得出图6表示的数． 【详解】解：第1个图形有1个点； 第2个图形有5=2+3个点； 第3个图形有12=3+4+5个点； 第4个图形有22=4+5+6+7个点； 第5个图形有35=5+6+7+8+9个点；第6个图形有6789101151+++++=个点； 故选：C ． 【点睛】本题考查探索与表达规律，解决此题的关键是善于观察，找出图形上的点与序号之间的关系．28．如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3，…是分别以A 1，A 2，A 3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1（x 1，y 1），C 2（x 2，y 2），C 3（x 3，y 3），…均在反比例函数y 4x=（x >0）的图象上．则y 1+y 2+…+y 10的值为（ ）A ．10B ．6C ．2D ．7解析：A 【分析】先利用等腰直角三角形的性质、反比例函数的解析式分别求出1234,,,y y y y 的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】如图，分别过点123,,,C C C 作x 轴的垂线，垂足分别为123,,,D D D ，11OA B 是等腰直角三角形， 1145A B O ∴∠=︒，11OC D ∴是等腰直角三角形，同理：122233,,AC D A C D 都是等腰直角三角形，11x y ∴=，点111(,)C x y 在反比例函数()40y x x=>的图象上， 114x y ∴=，将11x y =代入114x y =得：214y =，解得12y =或120y =-<（不符题意，舍去），112x y ∴==，点111(,)C x y 是1OB 的中点，111(2,2)B x y ∴， 1124OA x =∴=，设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +， 将点2(4,4)C a +代入()40y x x=>得：(4)4a a +=， 解得222a =-或2220a =--<（不符题意，舍去），2222y a ∴==-，同理可得：32322y =-，42423y =-，归纳类推得：221n y n n =--，其中n 为正整数， 则1210y y y +++()()()2222232221029=+-+-++210=，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的性质等知识点，正确归纳出一般规律是解题关键．29．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆下去，若第n 个图案需要317颗黑色棋子，则n 的值（ ）A ．108B ．105C ．106D ．无法确定解析：B 【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多3枚棋子，然后写成第n 个图案的通式，再列式求解即可． 【详解】解：根据图案可知：图2中，需要棋子2×3+2=8， 图3中，需要棋子2×4+3=11， 图4中，需要棋子2×5+4=14， …图n 中，需要棋子2×（n +1）+n =3n +2， ∴3n +2=317， 解得：n =105. 故选：B ． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．30．观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（ ）A ．210B ．236C ．249D ．251解析：C 【分析】设图中第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数），然后列出各个图形星星的个数，去判断星星个数的规律，然后计算第20个图形的星星个数． 【详解】解：第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数）则a 1=2=1+1，a 2=6=1+2+3，a 3=11=1+2+3+5，a 4=17=1+2+3+4+7∴a n =1+2+3+……+n +（2n -1）=2(1)15(21)1222n n n n n ++-=+- 令n =20，则2215151?20+?20-12222n n +-==249故选：C 【点睛】本题主要考查根据图形找规律，解题的关建是找出图形规律，然后计算．。

2024年中考考前押题密卷（上海卷）数学（考试时间：150分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）1．下列各数中，是有理数的是（）A ．1464-B 5C ．2πD 3272．下列关于x 的方程一定有实数解的是（）A ．20x x n --=B 23210x -+=C ．210x nx --=D ．210x x -+=3．平面直角坐标系xOy 中，若点12(),A x 和2(,4)B x 在反比例函数(0)ky k x=>图像上，则下列关系式正确的是（）A ．120x x >>B ．210x x >>C ．120x x <<D ．210x x <<4．某篮球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）年龄（单位：岁）1415161718人数33532A ．16，17B ．16，16C ．16，16.5D ．3，175．下列命题中，假命题是（）A ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形B ．有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形C ．一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形D ．有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形6．如图，在平面内1O ，2O ，3O 两两外切，其中1O 的半径为8，2O ，3O 的半径都为5．用一张半径为R 的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R 的最小值为（）A ．403B ．10C ．13D ．15二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）7．计算：()223x xy⋅-=．8121824346是同类二次根式的是．9．函数12024y x =-的定义域是．10．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为．11．已知线段3a =，4b =，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c 的长度，那么a ，b ，c 不能．．组成三角形的概率是．12．如果抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x ＝1，那么2a +b 的值为．13．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金两．14．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AD 和CB 相交于点O ，点A 、B 之间的距离为1.2米，AB CD ∥，根据图②中的数据可得C 、D 之间的距离为米．15．如图，已知点G 是ABC 的重心，设,CA a CB b == ，那么AG 用a b、可表示为．16．如图，正六边形ABCDEF 的顶点B ，C 分别在正方形AMNP 的边AM ，MN 上．若AB ＝4，则CN ＝．17．如图，梯形ABCD 中，90D Ð=°，AB CD ，将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD延长线上的点E 处．联结AE 、BE ，设BE 与边AD 交于点F ，如果4AB =，且12AEF ABF S S =△△，那么梯形ABCD 的中位线等于．18．阅读：对于线段MN 与点O （点O 与MN 不在同一直线上），如果同一平面内点P 满足：射线OP 与线段MN 交于点Q ，且12OQ OP =，那么称点P 为点O 关于线段MN 的“准射点”．问题：如图，矩形ABCD 中，4,5AB AD ==，点E 在边AD 上，且2AE =，联结BE ．设点F 是点A 关于线段BE 的“准射点”，且点F 在矩形ABCD 的内部或边上，如果点C 与点F 之间距离为d ，那么d 的取值范围为．三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（本题满分10分）计算：(01tan602024202432-+-+．20．（本题满分10分）解不等式组：()3222132x x x x ⎧+>-⎪⎨+-≤⎪⎩并将解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝45°，cot B ＝32，BC ＝10．（1）求AB 的长；（2）如果CD 为边AB 上的中线，求∠DCB的正切值．22．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各3分，第（3）小题满分4分）2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A ．十分清楚；B ．清楚；C ．不太清楚；D ．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．(1)此次接受随机抽样调查的人数是___________人；(2)由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有___________人；(3)根据本次调查结果，为促进居民对《中华人民共和国民法典》的了解，做好普法工作，计划两年后将该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的总人数增加到3600人，如果这两年的年增长率相同，求年增长率.23．（本题满分12分，第（1）、小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图，已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，AB ＝AC ，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，E 、F 分别是OM 、ON 上的点．(1)求证：∠AOM ＝∠AON ；(2)如果AE ∥ON ，AF ∥OM ，求证：212OE OM AO ⋅=．24．（本题满分12分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线2y x =-+与y 轴交于点A ，抛物线()21(0)y x t t =-->的顶点为B ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；(2)将线段OB 绕点B 顺时针旋转90︒，点O 落在点C 处，如果点C 在抛物线上，求点C 的坐标；(3)设抛物线的对称轴与直线2y x =-+交于点D ，且点D 位于x 轴上方，如果45BOD ∠=︒，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）、小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图1，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，5AB AC ==，6BC =.点E 在BC 的延长线上，且CE BC =，点F 在射线CE 上，联结AF ，DE ，直线AF 与直线DE 交于点M ．(1)如图2，点F 在线段CE 的延长线上，求证：ACF MDA ∽△△；(2)当EFM △为等腰三角形时，求EFM △的面积；(3)如果1EM =，求tan AFC ∠的值．。

2024年上海市中考数学模拟押题预测试题一、单选题1x 的取值范围是（ ）A ．x ≥12B ．x ≥－12C ．x ＞12D ．x ≠122．若关于x 的一元二次方程 220kx x +-=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．18k ≤-B ．18k >-且0k ≠C ．18k ≥-且0k ≠D ．14k ≥-且0k ≠3．对于抛物线()213y x =-+-，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x =1；③顶点坐标是()13-，；④1x >-时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ） A ．13B ．23C ．19D ．295．有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ） A ．方差B ．平均数C ．众数D ．中位数6．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边BC 上两个动点，BE CF =．连接AE ，BD 交于点G ，连接CG ，DF 交于点M ．若正方形的边长为2，则线段BM 的最小值是（ ）A ．1B 1C 1D 1二、填空题7．已知3m a =，9n a =，则3m n a -=． 8．分解因式：22xy x y -=． 9．不等式11132x x +-<+的解集为．10x =的解是．11．2024年3月12日是我国第46个植树节，截至2023年，全国完成新增种植和低产林改造10180000亩，将数据10180000用科学记数法表示为．12．为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞200条鱼，发现其中25条有记号，则鱼塘中鱼的总条数大约为．13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于大约1500年前，其中一道题的原文：“今三人共车，两车空；两人工车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人乘车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各有多少？上述问题中车有辆．14．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 、F 分别是三边中点，若5CD =，则EF 的长是．15．如图，已知O e 的内接正六边形ABCDEF 的边长为4，H 为边AF 的中点，则图中阴影部分的面积是．16．如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别为边BC 、CD 上一点，且OE OF ⊥，连接EF ．若150∠=︒AOE ，DF =EF 的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在函数()20y x x =>的图象上，点B 在函数()0k y x x=>的图象上．若OC AC =，则k 的值为．18．如图，已知线段13AB =．①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点P ，Q ；②画直线PQ 交AB 于点O ，以O 为圆心，OA 为半径画圆；③在O e 上取一点C ，连接BC 交PQ 于点D ，连接AC ，AD ．当5tan 12B =时，ACD V 的周长是．三、解答题19．计算：()112024π12-⎛⎫-- ⎪⎝⎭20．解方程：2124x x x x -=--．21．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于点(,4)A a 和点(2,2)B --，连接OA ，OB ．(1)求一次函数的表达式； (2)求AOB V 的面积．22．如图，某处有一座塔AB ，塔的正前方有一平台DE ，平台的高5DG =米，斜坡CD 的坡度5i =：12，点A ，C ，G ，F 在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C 处测得塔顶部B 的仰角为54.5︒，在斜坡D 处测得塔顶部B 的仰角为26.7︒，求塔高AB ．(精确到0.1米)(参考数据：tan54.5 1.40︒≈，sin54.50.81︒≈，cos54.50.58︒≈，tan26.70.50︒≈，sin26.70.45︒≈，cos26.70.89︒≈)23．如图，AB 是O e 的直径，点C ，E 在O e 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF 与O e 相切；(2)若45BF AFE =∠=，求BC 的长． 24．以x 为自变量的两个函数y 与g ，令h y g =-，我们把函数h 称为y 与g 的“相关函数”例如：以x 为自变量的函数2y x =与21g x =-它们的“相关函数”为221h y g x x =-=-+．()222110h x x x =-+=-≥恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x 取何值，y g ≥恒成立．(1)已知函数2y x mx n =++与函数41g x =+相交于点()1,3--、()3,13，求函数y 与g 的“相关函数”h ；(2)已知以x 为自变量的函数3y x t =+与2g x =-，当1x >时，对于x 的每一个值，函数y 与g 的“相关函数”0h >恒成立，求t 的取值范围；(3)已知以x 为自变量的函数2y ax bx c =++与2g bx c =--（a 、b 、c 为常数且0a >，0b ≠），点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，点()12,B y -、()21,C y 是它们的“相关函数”h 的图象上的三个点，且满足212c y y <<，求函数h 的图象截x 轴得到的线段长度的取值范围．25．已知AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上不与A 、B 重合的点，将弧AC 沿直线AC 翻折，翻折所得的弧交直径AB 于点D ，E 是点D 关于直线AC 的对称点．(1)如图，点D 恰好落在点O 处．①用尺规作图在图中作出点E （保留作图痕迹），连接AE 、CE 、CD ，求证：四边形ADCE 是菱形；②连接BE ，与AC 、CD 分别交于点F 、G ，求FGBE的值； (2)如果101AB OD ==,，求折痕AC 的长．。

绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题四考生注意：1.本试卷共25题。

2.试卷满分150分，考试时间100分钟。

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）2.下列方程中，有实数根的是（ ）A. 210x +=B. 210x -= 1=- D.101x =- 3．下列函数中，函数值y 随自变量x 增大而减小的是（ ）A ．y ＝4xB ．y =12x ﹣5C ．y ＝3x +6D ．y ＝﹣1.6x +44．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是2.8．下列说法中正确的是（ ）A ．甲的众数与乙的众数相同B ．甲的成绩比乙稳定C ．乙的成绩比甲稳定D ．甲的中位数与乙的中位数相同5.下列命题中，假命题是（ ）A. 顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形B. 顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形C. 顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形D. 顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形6．已知，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，CD ⊥AB ，且CD ＝1．若以点A 为圆心，√3为半径作⊙A ，以点B 为圆心，1为半径作⊙B ，则⊙A 与⊙B 的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：（﹣x 3y ）2＝ ．8．已知f （x ）＝x 2﹣1，那么f （﹣1）＝ ．9.分解因式：223m m +-=_______．10.方程组22205x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是_______． 11．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是 ．12．用1块A 型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B 型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A 、B 两种型号的钢板共 块．13．碚碚用新买的50元5G 电话卡打长途电话，按通话时间3分钟内收1.2元，3分钟后每超过1分钟加收0.3元钱的方式缴纳话费．若通话时间为t 分钟（t 大于等于3分钟），那么电话费用w （元）与时间t （分钟）的关系式可以表示为 ．14．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克．15.如图，O 的弦AB 和直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ，已知AB=8，CE=2，那么O的半径长是______．16．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，如果AC →=x →，那么CD →= （用x →表示）．17．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点．将△ABE 沿直线BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么∠EDF 的正切值是 ．18.如图，在ABCD 中，AD=3，AB=5，4sin 5A =，将ABCD 绕着点B 顺时针旋转()090θθ︒<<︒后，点A 的对应是点'A ，联结'AC ，如果'A C BC ⊥，那么cos θ的值是______．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：116tan 60|23-⎛⎫+- ⎪⎝⎭20．（本题满分10分）解不等式组：()3247133x x x x ⎧-->--⎪⎨---≤⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知经过点M （1，4）的直线y ＝kx +b （k ≠0）与直线y ＝2x ﹣3平行．（1）求k ，b 的值；（2）若直线y ＝2x ﹣3与x 轴交于点A ，直线y ＝kx +b 交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，求△MAC 的面积．22．（本题满分10分）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？23.已知：△ABC ，AC AB =，∠BAC =90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上（点E 不与点A 、B 重合），点F 在边AC 上，联结DE 、DF .（1）如图6-1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ；（2）如图6-2，当∠EDF =45°时，求证：.CFBE DF DE =2224.如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2yx bx 经过点A (2，0)．直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线2yx bx 向右平移，使平移后的抛物线经过点B ，求平移后抛物线的表达式； （3）将抛物线2y x bx 向下平移，使平移后的抛物线交y 轴于点D ，交线段BC 于点P 、Q ，（点P 在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M ，如果DP ∥x 轴，求∠MCP 的正弦值．xOy25.如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．（1）求sin∠BDC的值；（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题四考生注意：1.本试卷共25题。

押上海卷第24-25题押题方向一：二次函数综合题5年上海真题考点命题趋势2023年上海卷第24题二次函数综合题从近5年上海中考命题来看，二次函数五年五考，难度较难。

预计2024年上海卷还将继续考查二次函数综合体，为避免丢分，学生应扎实掌握。

2022年上海卷第24题二次函数综合题2021年上海卷第24题二次函数综合题2020年上海卷第24题二次函数综合题2019年上海卷第24题二次函数综合题1．（2023.上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线2:M y ax bx c =++经过点B ，点C 不与点B 重合．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求b ，c 的值；（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且//CD x 轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．2.（2022•上海）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =++过点(2,1)A --，(0,3)B -．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为(P m ，)(0)n m >．ⅰ．如果3OBP S ∆=，设直线x k =，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k 的取值范围；ⅱ．点P 在原抛物线上，新抛物线交y 轴于点Q ，且120BPQ ∠=︒，求点P 的坐标．3．（2021•上海）已知抛物线2(0)y ax c a =+≠经过点(3,0)P 、(1,4)Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A 在直线PQ 上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC ．①当Q 与A 重合时，求C 到抛物线对称轴的距离；②若C 在抛物线上，求C 的坐标．4．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy 中，直线152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上的另一点C ，且BC =，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于AOB ∆内，求a 的取值范围．5.（2019•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线22y x x =-，其顶点为A ．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线22y x x =-的“不动点”的坐标；②平移抛物线22y x x =-，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．1．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线211:3C y x bx c =++经过点B 和点(1,0)C ，顶点为D ．（1）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，若点P 在y 轴上，当90PED ∠=︒时，求点P 的坐标；（3）将抛物线1C 平移，得到抛物线2C ．平移后抛物线1C 的顶点D 落在x 轴上的点M 处，将MAB ∆沿直线AB 翻折，得到QAB ∆，如果点Q 恰好落在抛物线2C 的图象上，求平移后的抛物线2C 的表达式．2．已知二次函数222(1)23y x k x k k =-++--与x 轴有两个交点．（Ⅰ）求k 取值范围；（Ⅱ）当k 取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y x m =+有三个不同公共点时m 的值．3．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知开口向下的抛物线224y ax x =-+经过点(0,4)P ，顶点为A ．（1）求直线PA 的表达式；（2）如果将POA ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点A 落在抛物线上的点Q 处，求抛物线的表达式；（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA 平移，平移后抛物线的顶点为B ，与y 轴交于点C ．如果PC =，求tan PBC ∠的值．4．在平面直角坐标系xOy （如图）中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 、(2,3)B -两点，与y 轴的交点为C 点，对称轴为直线l ．（1）求此抛物线的表达式；（2）已知以点C 为圆心，半径为CB 的圆记作圆C ，以点A 为圆心的圆记作圆A ，如果圆A 与圆C 外切，试判断对称轴直线l 与圆A 的位置关系，请说明理由；（3）已知点D 在y 轴的正半轴上，且在点C 的上方，如果BDC BAC ∠=∠，请求出点D 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线244(0)y ax ax a =-+>与x 轴交于点(1,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）已知点(0,)M m ，联结BC ，过点M 作MG BC ⊥，垂足为G ，点D 是x 轴上的动点，分别联结GD 、MD ，以GD 、MD 为边作平行四边形GDMN ．①当32m =时，且GDMN 的顶点N 正好落在y 轴上，求点D 的坐标；②当0m 时，且点D 在运动过程中存在唯一的位置，使得GDMN 是矩形，求m 的值．6．若二次函数21111y a x b x c =++与22222y a x b x c =++的图象关于点(1,0)P 成中心对称图形，我们称1y 与2y 互为“中心对称”函数．（1）求二次函数263y x x =++的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数22(0)y ax ax c a =++>的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当24c a a cxa a+-时，y 最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数21(0)y ax bx c a =++<的图象顶点为M ，与x 轴负半轴的交点为A 、B ，它的“中心对称”函数2y 的顶点为N ，与x 轴的交点为C 、D ，从左往右依次是A 、B 、C 、D ，若2AB BP =，且四边形AMDN 为矩形，求24b ac -的值．7．小聪同学在解决抛物线2y x bx c =++平移问题时，发现了一些几何结论：如图1，抛物线2y x bx c =++的顶点为A ，沿右上方平移后，所得抛物线的顶点B 落在原抛物线上，且与原抛物线的对称轴交于点C ，连结BA ，BC ，延长BC 交原抛物线于点D ，则BA BC =．（1）如图2，当0b c ==时，请说明该结论成立．（2）当0b =，3c =-，ABC ∠=︒时，求点D 的坐标．（3）过点D 作//DE x 轴，交原抛物线的对称轴于点E ，若2ABC S ∆=，直接写出CDE ∆的面积．8．已知抛物线22(y mx mx n m =++，n 为常数，0)m >与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交点C ，顶点为D ，4AB =．（1）求3m n +的值；（2）如图，连接BD 交AC 于点E ，求证：2BE DE =；（3）设M 是x 轴下方抛物线上的动点（不与C 重合），过点M 作//MN x 轴，交直线AC 于点N ．由线段MN 长的不同取值，试探究符合条件的点M 的个数．9．如图，已知抛物线2y ax =，点(2,1)A -，(8,)B m 在此函数图象上，动点P 位于点O 、B 之间的抛物线上（不与点O ，B 重合），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）如图1，求该二次函数的解析式；（2）尺规作图：当AQ BQ ⋅最大时，在图2中作出此时的点P ；（3）如图3，连接OB ，交直线AP 于点M ，直接写出QMAM的最大值．10．如图，二次函数2(1)y x m x m =-+-+（其中1)m >的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 为ABC ∆的外心．（1）填空：点A 的坐标为，ABC ∠=︒；（2）记ACD ∆的面积为1S ，ABD ∆的面积为2S ，试探究12S S -是否为定值？如果是，求出这个定值；（3）若在第一象限内的抛物线上存在一点E ，使得以B 、D 、C 、E 为顶点的四边形是菱形，则m =．押题方向二：几何综合1．（2023.上海）如图（1）所示，已知在ABC ∆中，AB AC =，O 在边AB 上，点F 是边OB 中点，以O 为圆心，BO 为半径的圆分别交CB ，AC 于点D ，E ，连接EF 交OD 于点G ．（1）如果OG DG=，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果90BAC∠=︒，OFE DOE∠=∠，4AO=，求边OB的长；（3）连接BG，如果OBG∆是以OB为腰的等腰三角形，且AO OF=，求OGOD的值．2．（2022•上海）如图，在 中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．（1）如果AE CE=．ⅰ．求证：ABCD为菱形；ⅱ．若5AB=，3CE=，求线段BD的长；（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE=，求ABBC的值．3．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，//AD BC，90ABC∠=︒，AD CD=，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．（1）当点E在CD上，①求证：DAC OBC∆∆∽；②若BE CD⊥，求ADBC的值；（2）若2DE=，3OE=，求CD的长．4．（2020•上海）如图，ABC∆中，AB AC=，O是ABC∆的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：2BAC ABD∠=∠；（2）当BCD∆是等腰三角形时，求BCD∠的大小；（3）当2AD=，3CD=时，求边BC的长．5．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是ABC∆的内角BAC∠、ABC∠的平分线，过点A作AE AD⊥，交BD的延长线于点E．（1）求证：12E C ∠=∠；（2）如图2，如果AE AB =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；（3）如果ABC ∠是锐角，且ABC ∆与ADE ∆相似，求ABC ∠的度数，并直接写出ADE ABC S S ∆∆的值．1．三角形综合题涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查2．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．3．圆的综合题考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．4．相似形综合题主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．1．如图1，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，6AC=，60BAC∠=︒，点D在线段BC上，将ACD∆沿AD折叠使得点C落在AB上C点处．（1）则CD的长为；（2）过点D作//DE AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．①如图2，若点M是线段AD的中点，求EFDF的值；②请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得60CPG∠=︒？请说明理由．2．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4:5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（1）如图1，在ABC ∆中，8AC =，5BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC ∆是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（2）如图2，ABC ∆是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC ∆沿BC 翻折得到DBC ∆，AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD ∆的重心，求AB BC的值．（3）如图3，12//l l ，且直线1l 与2l 之间的距离为4，“准黄金”ABC ∆的“金底”BC 在直线2l 上，点A在直线1l 上，AB BC =ABC ∠是钝角，将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转得到△A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．当点B '落在直线1l 上时，则AD CD 的值为．3．【问题发现】如图1所示，将ABC∆绕点A逆时针旋转90︒得ADE∆，连接CE、DB，根据条件填空：①ACE∠的度数为︒；②若2CE=，则CA的值为；【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足45EAF∠=︒，1BE=，2DF=，求正方形ABCD的边长；【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD CB=，90BAD BCD∠+∠=︒，AC、BD为对角线，且满足32AC CD=，若3AD=，4AB=，请直接写出BD的值．4．在ABC∆中，10BC=，以BC为直径的O交AC于点D，过点D作//DE AB，交BC于点E．（1）如图1，若90ABC∠=︒，2:3EC=，求DE的长．（2）如图2，若90ABC∠<︒，AB与O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，①求证：FD DC=；②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．5．综合与实践【模型探究】（1）如图1，在ABC⊥于点N．求∆中，点O为边BC的中点，作射线AO，CM AO⊥于点M，BN AO证：OM ON=．【尝试建构】（2）如图2，在ABC∆中，点O为边BC的中点，点P在边BC上（不与点B，C，O重合），作射线AP，⊥于点N．连接OM，ON．猜想OM与ON的数量关系，并证明你的猜想．CM AP⊥于点M，BN AP【迁移应用】（3）如图3，在ABC⊥∆中，点D，E在边BC上，2⊥于点M，BN AD==，作射线AD，CM ADBD DE EC于点N．连接EM，EN．若1EM=，EN=tan CDA∠的值．6．如图，ABC∠=∠．上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，CAD BAO ∆内接于O，点D在O（1）如图1，求证：AD BC ⊥．（2）如图1，若//AO CD ，求证：CA CF =．（3）如图2，在（2）的条件下，①若5,CD BF ==，求BC 的长．②若CF k FB=，求tan ACE ∠的值．7．如图，在ABCD 中，B ∠是锐角，AB =，10BC =．在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．（1）当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．（2）如图3，已知O 与射线BA F ，将BEF ∆沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．8．四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，连结BD 交AC 于点G ，AF BD ⊥，垂足为E ．（1）如图1，若AF交BC于点F．①求证：BAF CAD∠=∠；②若O的直径为10，4cos5BCA∠=，:3:5BF CG=，求AF的长．（2）如图2，若AF交CD于点F，连结OD，若//OD AB，AE=2DF CF=，求O的直径．9．定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．（1）①写出一种你学过的伪矩形：．②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是．A．正方形B．矩形C．菱形D．无法确定（2）如图1，在伪矩形ABCD中，90BCD∠=︒，3AC=，2CD=，求BC的长．（3）如图2，在伪矩形ABCD 中，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =，AC CD =，求这个伪矩形的面积．。