信号与系统课件4.8LTI系统的频域分析

x(t) X ( j)
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d

2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()

j
——时域积分特性

cos 0t

1 [e j0t 2

e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)



0 0 0

例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：

2e
j ( 9 t ) 4




4e
j ( 6 t ) 2

6e
j ( 3 t ) 4

16 6e
j (3 t ) 4

4e
j (6 t ) 2

2e
j (9 t ) 4

二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：

t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1

上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0

h(t )
t
ωc Sa[ωc (t td )] π
ωc
π
可见, 可见,它实际上 是不可实现的非 因果系统. 因果系统.
td
t
π
ωc
▲ ■ 第 18 页
理想低通的阶跃响应
ωc sin[ ωc (τ td )] dτ g(t)=h(t)*ε(t)= ∫∞ h(τ ) dτ =∫∞ π ωc (τ td )
§4.8
LTI系统的频域分析 LTI系统的频域分析
傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频 率的虚指数函数之和. 率的虚指数函数之和. ∞ f (t) = ∑Fn e jnt 对周期信号: 对周期信号: 对非周期信号: 对非周期信号: f (t) = 1 ∞ F( jω) e jω t dω 2π ∫∞ 基本信号为 其基本信号为 ej ωt 基本信号e 作用于LTI系统的响应 基本信号 j ωt作用于 系统的响应 一般信号f(t)作用于 作用于LTI系统的响应 一般信号 作用于 系统的响应 频率响应H(jω 的求法 频率响应 ω)的求法 无失真传输与滤波
▲ ■ 第 2页
h(τ ) e jωτ dτ
二,一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 一般信号f 作用于LTI系统的响应
ej ωt
1 F(j 2π
ω) ej ωt d ω
齐次 1 性 F(j ω)H(j ω) ej ωt d ω 2π
H(j ω) ej ωt
1 ∞ jω t F( jω) e dω 2π ∫∞
输出
O
t
O
t
O
t
dθ (ω) = td 此系统不满足 dω ▲ 信号传输后失真
■
第 15 页
失真的有关概念

x(t)
a0 2
n1
An
cos n0t
n
其中 An an2 bn2 n arctan bn an
a0/2称为信号的直流分量，
An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
12
4.1.1 周期信号的Fourier级数表示
4. 对称特性
(1) 纵轴对称信号 ~x(t) ~x(t) ~x (t)
2. 掌握连续周期信号、连续非周期信号、离散周期信号、离 散非周期信号的频域分析方法，从数学概念、物理概念及 工程概念理解信号时域与频域的关系。
3. 掌握常见连续时间信号的频谱，以及傅里叶变换的基本性 质、物理含义及应用。
4. 深刻理解和灵活应用时域抽样定理和频域抽样定理。 5. 能够利用MATLAB进行信号的频域分析。
~x (t) 不连续时，|Cn|按1/n 的速度衰减 ~x (t)连续而其一阶导数不连续时，|Cn|按1/n2的速度衰减
29
4.1.2 周期信号的频谱
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号
的有效频带宽度,即
B
2π
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
A
t
T0 T0 / 2 0
T0 / 2 T0
an
2 T0
T0 T0
2 2
x(t)
cos(n0t)dt
4 T0
T0 0
2
x(t) cos(n0t)dt
bn
2 T0
T0 T0
2 2
x(t) sin(n0t)dt
0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中

(3)信号的有效带宽
• 0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信
号的有效频带宽度,即
B
2
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。
即 越大，其ωB越小；反之， 越小，其ωB越大
物理意义：若信号丢失。有效带宽以外的谐波成分，
不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
3. 三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有
Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
Cne jn0t
n
n1
C0
Cne jn0t Cne jn0t
n1
C0 2 Re( Cne jn0t )
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
1.2
1 N=5
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
f1(t)
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f2 (t)
1
t
f2 (t) 0.5
n1
Sa ( n ) cos(nt )
2
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34

bm ( j)(m) X ( j) bm1( j)(m1) X ( j) b1( j) X ( j) b0 X ( j)
整理上式，写出输出信号的频谱函数和输入信号的频谱函数比，并以 符合H（jω）表示。得：
H(
j)
Yzs ( j) X ( j)
bm ( an (
j)(m) j)(n)
bm1( j)(m1) an1( j)(n1)
思路1： H ( j) Yzs ( j) X ( j)
Yzs ( j) X ( j)H ( j)
yzs (t) F 1(Yzs ( j))
H ( j) 2( j) 3 ( j)2 3( j) 2
X ( j) F(e3tu(t)) 1 j 3
Yzs ( j) X ( j)H ( j)
an ( j)(n)Yzs ( j) an1( j)(n1)Yzs ( j) a1( j)Yzs ( j) a0Yzs ( j) bm ( j)(m) X ( j) bm1( j)(m1) X ( j) b1( j) X ( j) b0 X ( j)
系统频率响应
an ( j)(n)Yzs ( j) an1( j)(n1)Yzs ( j) a1( j)Yzs ( j) a0Yzs ( j)
P158表4-1
h(t) F 1(H ( j)) (et e2t )u(t)
法二：先求冲激响应，再傅里叶变换。
例： 已知描述某稳定的连续时间LTI系统的微分方程为：
y ''(t) 3y '(t) 2y(t) 2x '(t) 3x(t) 系统激励为 x(t) e3tu(t)
解：
求系统的零状态响 应 yzs（t）。
b1( j) b0 a1( j) a0

*
LTI hHale Waihona Puke t)傅里叶变换法=
变换 y(t) ③傅氏 Y (j ω ) 反变换
②傅氏 H(jω )
×
＝
频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变 换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即
Y ( j ) j[ y ( ) f ( )] Y ( j ) j ( ) H ( j ) e e H ( j ) F ( j ) F ( j )
|H(jω)| 1 ω - ωC 0 ωC θ (ω)
j t d , C e j t d H ( j ) g 2C ( ) e C 0,
(1)冲激响应
h(t ) F g 2c ( )e
1 jtd
c Sa[ ( t t )] c d
f (t )
FT FT
F ( )
1 2
相乘
1 Fs ( ) F ( ns ) Ts n
s
相卷积
T (t )
n
(t nT )

y(t ) K f (t td ) Y ( j ) Ke
其频谱关系为
jtd
F ( j)
(2)无失真传输条件：
系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是： (a)对h(t)的要求： |H(jω)| K h(t)=K(t–td) (b)对H(j)的要求： ω H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 0 即 θ (ω)
例：某LTI系统的H(j)和θ()如图，
若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的 响应。
θ(ω) π 1 -10 0 -π |H(jω)|

但回顾电路基础课程中使用的相量 概念就可明白，复指数函数或即复正弦 信号是实正弦信号的一种表示方式。
在随后的分析中，读者还将会发现，复指 数形式的傅里叶级数实际上更易进行操作，正 因为如此，这一形式在分析中更常使用。
还必须指出的是，各次谐波的系数 Cn现在不仅反映了谐波分量的幅度，也 反映了其相位，即Cn是个复数，可以进 jn 一步表示为 Cn Cn e ，因此，式（38）中的 Cne jt 就是一个幅度为 Cn ，初 始相位为n而频率为的复正弦信号。
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
第3章 信号通过LTI系统的频域分析
3.1
引言
3.2
周期信号的频域分解—傅里叶级数
3.3
复正弦信号通过LTI系统
3.4
信号频谱、带宽与系统带宽的概念
3.5
周期信号通过LTI的频域分析
3.6
非周期信号的频域分解
3.7
重要的例和傅里叶变换的性质
3.1 引言
图3-1
矩形脉冲通过一阶RC滤波电路
由图3-1可见，随着信号参数τ与系统 中的参数RC之间关系的不同，输出y(t)的 波形与输入x(t)波形的相似程度将会不同 ，也即x(t)经过系统h(t)后产生的失真不 同。
傅里叶级数表达式的物理意义是， 周期信号可以分解为由基波及其各次谐 波组成的正弦波的线性组合，这也就是 通常所称的谐波分析。

9
③收敛性。理论上说周期信号中包含无穷多个 谐波分量，各谐波分量的幅度（即幅度谱）虽然不 一定随 n的增大而单调减小，但总的趋势都是按照 一定规律衰减的。当 n→∞ 时，|Fn|→0，这体现了 周期信号频谱的收敛性。
10
4.3 非周期信号的频谱密度 4.3.1 非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的时间函数表达式为非周期函数， 因此不能进行傅里叶级数展开。但是，可以将非周 期信号视为周期 T→∞ 的周期信号，从而得到类似 的分解表达式。 周期信号的傅里叶系数为
27
4.5.1 基本周期信号的傅里叶变换 基本周期信号主要指的是正弦信号和复简谐信 号。周期信号都是功率信号，因此一定不满足绝对 可积条件，不能用定义求其傅里叶变换。为此，可 利用直流信号的傅里叶变换，根据频移性质求得。
8
4.2.2 周期信号频谱的特点 观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦 信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际 上，所有周期信号的频谱都具有如下特点： ①离散性。周期信号的频谱 An，φn 或 Fn 都以 整数变量 n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构 成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱 都为离散谱。 ②谐波性。周期信号的频谱中自变量 n的取值 对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的 频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。
16
4.4.1 线性性质
17
4.4.2 时移性质
时移性质说明，信号在时域中沿着时间轴的平 移，只是使信号的频谱密度在相位谱密度上有附加 的相移 -ωt0，而幅度谱密度不会发生变化。
18
4.4.3 尺度变换性质
19
4.4.4 对称性质 若 f（t）F（jω），则
20
4.4.5 频移性质

T
2 T
2
f
(t) cos(nt) d t
j1 T
T
2 T
2
f (t) sin(nt) d t
1 T
T
2 T
f (t) e d jnt t
2

f (t) Fn e jnt n
Fn

1 T
T
2 T
f (t) e jntd t
2 n = 0, ±1, ±2，…
第4-13页
■
信号与系统
4.2 傅里叶级数
可从三角形式推出指数形式的傅里叶级数：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
f (t)

A0 2

n1
An
cos(nt
n)
A0 An [e j(ntn ) e j(ntn ) ]
2 n1 2

第4-8页
Ki
t2 t1
i2
(t
)
d
t
■
信号与系统
4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数
f (t)

a0 2

1 T

2

e
jnt
dt
2
1 e jnt
T jn

2
2

2
sin( n
2
)
T n


T
sin n