人教A版高中数学选修2-1复习课件：2.4.1(共31张PPT)

①y= 1 x2.
4
②x=ay2(a≠0).
【解题探究】1.题(1)由圆与抛物线的准线相切,能得出什么结 论? 2.题(2)当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线? 【探究提示】1.可得出圆心到准线的距离等于圆的半径.
2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数应
分类讨论,再求焦点和准线.
4
2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为 __________.
【解析】1.因为焦点F为 ( 3 ， 所以抛物线方程可设为y2= 0)，
4
-2px(p＞0)，由 p 3 ，所以 p ,
2 4
3 2
故标准方程为y2=-3x. 答案：y2=-3x
2.根据抛物线的定义，点P到抛物线准线的距离为9， 设P(x0,y0)，则 x 0 p 9,
(2)若抛物线的方程为x=2ay2(a>0),则焦点到准线的距离 p= . .
(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为
【解析】(1)因为y2=4x，所以p=2，所以焦点坐标为(1，0),
准线方程为x=-1.
答案：(1,0)
x=-1
2a
(2)因为x=2ay2(a＞0)，所以 y 2 1 x,
【微思考】
(1)定义中若去掉条件“l不经过F”,则此时点的轨迹是什么?
提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直
于l的直线,而不是抛物线.
(2)确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量?
提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.
【即时练】 1.以 F( 3 ， 0) 为焦点的抛物线的标准方程是_________.
的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物 线顶点)间的距离是 .

探究一
探究二
探究三 思维辨析
探究一
探究二
探究三 思维辨析
反思感悟 利用空间向量证明面面平行的方法 (1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明; (2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
变式训练3在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4 ,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
如图①.
12
(2)直线的方向向量
图②
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方
向确定,如图②,点A是直线l上一点,向量a表示直线l的方向(方向向
量),在直线l上取 =a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数 t,使得
12
(3)平面的向量形式
图③ 空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图③,设
12345
2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB( ) A.与坐标平面xOy平行 B.与坐标平面yOz平行 C.与坐标平面xOz平行 D.与坐标平面yOz相交 解析：因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以 =(0,5,-3),而坐标平面yOz的 法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平 行.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
利用向量方法证明线面平行
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1 的中点.求证:MN∥平面A1BD.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
探究一
探究二

2
x 2 y2
栏 目 链 接
a
1 p 1 所以 2p＝－ ，所以 p＝－ ，所以准线方程为 y＝ ＝－ ＝2，所 a 2a 2 4a 1 1 以 a＝－ . 8

(2)由椭圆方程可知 a＝ 6)，所以 ＝2，得 p＝4. 2 1 答案：(1)－ 8 (2)4
第二章
圆锥曲线与方程
物 线
2． 4 抛
2．4.1 抛物线及其标准方程
栏 目 链 接

1．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画
现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
栏 目 链 接

栏 目 链 接

1 1 所以焦点坐标是0， ，准线方程是 y＝－ . 10 10 a (3)由 a＞0 知 p＝ ，所以焦点坐标是 ，0，准线方程 2 4
a
是 x＝－ . 4 点评：求抛物线的焦点坐标和准线方程，首先将抛物线 方程化为标准方程，然后再按照抛物线的定义和 p 的几何意 义求解．

点评：求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若
已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程， 求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况 讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝
栏 目 链 接
ay(a≠0)．
p
栏 目 链 接

题型二 例2
求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
栏 目 链 接
(1)顶点在原点，过点(3，－4)； (2)顶点在原点，焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解析：(1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝－2p1y(p1 ＞0)． 把点(3， －4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y， 得 (－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)． 16 9 即 2p＝ ，2p1＝ . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的方程为 y ＝ x 或 x ＝－ y. 3 4

对称轴:坐标轴;对称中心:原点
性 顶点
质轴
离心率
渐近线
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
实轴:线段 A1A2,长:2a;虚轴:线段 B1B2,长:2b;实半轴
长:a,虚半轴长:b

e= ∈(1,+∞)


y=± x

y=± x
名师点拨 1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条
c2=a2+b2,化简为参数 a,c 的关系式进行求解.
2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以

借助

=
2 -1进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求
渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦
点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况),不能忘记分类讨论.
探究一

以 c=4,故 e==2 2.
答案：2 2
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上. (
)
(2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同. (
)
(3)双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大. (
)
(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共
4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线
方程为 y=±x,离心率等于 2.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021

2 ． ———————————— y M
．
OF
x
四、点与抛物线的位置关系
y
F
.
o
x
五、抛物线定义的应用
1，求抛物线标准方程 2，涉及抛物线的最值问题
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
1、通径：
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
F
O
x
B (x2, y2)
焦点弦公式： ABx1x2p
焦点弦的性质
y 1、抛物线的焦点弦AB的长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
O Fx B
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛 物线的通径，其长度为2p．
2、A、B两点的坐标是否存在相关关
系？若存在，其坐标之间的关系如
何？
yA
O Fx B
2
p 1
1 k2
p tan
d 2
1 tan 2
1 1 tan 2
S 2p 2
tan 2
p tan
2
p2
1 tan 2 2 sin
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0), l的 方 程 为 ： yx1 yy2x4x1x26x10

探究一
探究二
探究三
规范解答
含逻辑联结词的命题的真假判断
【例2】 分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“¬p”形 式的命题的真假. (1)p:2是奇数,q:2是合数; (2)p:函数f(x)=3x-3-x是偶函数,q:函数f(x)=3x-3-x是单调递增函数; (3)p:点(1,2)在直线2x+y-4=0上,q:点(1,2)不在圆x2+(y-3)2=2上; (4)p:不等式x2-x+2<0没有实数解,q:函数y=x2-x+2的图象与x轴没 有交点. 思路分析分析判断出每个简单命题的真假,然后结合真值表得到 每个复合命题的真假.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练1指出下列命题的构成形式,以及构成它的简单命题: (1)48是16与12的公倍数; (2)方程x2+x+3=0没有实数根; (3)相似三角形的周长相等或对应角相等; (4)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两段弧. 解(1)这个命题是p∧q形式,其中p:48是16的倍数,q:48是12的倍数. (2)这个命题是¬p形式,其中p:方程x2+x+3=0有实数根. (3)这个命题是p∨q形式,其中p:相似三角形周长相等,q:相似三角 形对应角相等. (4)这个命题是p∧q形式,其中p:垂直于弦的直径平分这条弦,q:垂 直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.
1
2
解析：(1)因为¬p是假命题,所以p是真命题. 又p∧q是假命题,所以q是假命题. (2)4是8的约数但不是16的倍数,①是假命题;2<5成立,5<2不成立, 所以②是真命题;方程x2-3=0的根为± 3,不是有理数,③为真命题; 函数f(x)=sin 2x既是周期函数又是奇函数,④是真命题. 答案：(1)B (2)②③④

②有一个交点,
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
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探究一
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探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
课堂篇探究学习
探究一
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探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向 向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴

为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
划
，
有
的
计
划
《
几
乎
不
去
做
或
者
做
了
坚
持
不
了
多
久
。
其
实 我
成
功
的
关
键
是
做
很
坚
持
。
上
帝
没
有
在
我 是
们
出
生
的
时
候
给
我
们
什
么
额
外
的
装
备
， 算
也
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
•
•
《
极
，
那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，

线方程为 x=- .
128
2
2
(4)当 a>0 时,抛物线开口向右,焦点在 x 轴的正半轴上,2p=a,


所以 p=2 , 2 = 4,因此焦点坐标为

,0
4

,准线方程为 x=-4.
当 a<0 时,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半轴上,2p=-a,
所以


p=-2 , 2=-4,因此焦点坐标为 4 ,0
的距离等于它到定直线 3x-4y+2=0 的距离,且定点(1,0)不在定直
线 3x-4y+2=0 上,故动点 M 的轨迹是以(1,0)为焦点,以 3x-4y+2=0
为准线的抛物线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案：D
反思感悟 根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合
两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当
距离等于 6,即 p=6,2p=12,故所求抛物线方程为 y2=12x 或 y2=-12x
或 x2=12y 或 x2=-12y.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 1.求抛物线标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓
“定型”,是指确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆
圆心M的轨迹方程是
.
解析：设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又

探究二
探究三
变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:
(1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.
证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建
立如图所示的空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
设正方体的棱长为 1,则 B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),
又因为1 , 1 不共线,因此 D1M⊥平面 EFB1.
探究一
探究二
探究三
(方法 2)分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建
立空间直角坐标系.
则 D1(0,0,1),M
1
11,1,2,B1(1,1,1),E
1
1
1, ,0
2
,F
1
1
,1,0
2
,于是
1 = 1,1,- 2 , 1 = 0,- 2 ,-1 , 1 = - 2 ,0,-1 ,因此1 ·
C(1,0,0),B(0,√3,0),E(0,-√3,0),D(1,0,1),A(0,√3,2).
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:04:05 AM
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21
探究一
探究二
探究三
(方法 2)因为点 E 在边 BC 上,可设=λ ,
于是 · =( +