【全程复习方略】广东省 版高中数学 单元评估检测(七)理 新人教A版

【全程复习方略】广东省2022版高中数学单元评估检测三理新人教A版（第三章）（120分钟 150分）一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12022·广州模拟in330°等于A－错误!B－错误!C错误!D错误!22022·衡水模拟若角α的终边过点in30°，－co30°，则inα等于A错误!B－错误!C－错误!D－错误!＝coω＋φω＞0，|φ|＜π的部分图象如图所示，则Aω＝1，φ＝错误!Bω＝1，φ＝－错误!Cω＝2，φ＝错误!Dω＝2，φ＝－错误!42022·吉林模拟曲线＝2in＋错误!co－错误!与直线＝错误!在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为60m1a2a1千米＝1，－错误!，n＝coA，inA，且m·n＝－11求角A；2若错误!＝3，求tanC的值答案解析1【解析】选°＝in360°－30°＝－in30°＝－错误!2【解析】选C∵角α的终边过点in30°，－co30°，∴＝in30°，＝－co30°，r＝1，则inα＝错误!＝－co30°＝－错误!，故选C【变式备选】已知角2α的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点－错误!，错误!,2α∈[0,2π，则tan α＝A－错误!B错误!C错误!D±错误!【解析】选B由角2α的终边在第二象限，知tanα>0，依题设知tan2α＝－错误!，所以2α＝错误!，得α＝错误!，tanα＝错误!3【解析】选D∵错误!＝错误!－错误!＝错误!，∴T＝π，∴ω＝2，又错误!×2＋φ＝错误!，∴φ＝－错误!4【解析】选＋错误!co－错误!＝2in2＋错误!＝1－co[2＋错误!]＝1＋in2，其最小正周期为π，又|60 m 答案：30＋30错误! m14【解题指南】根据新定义写出三角函数关系式并化简三角函数式，再根据性质求得最小值【解析】由新定义可知f＝错误!co2－in2＝2co2＋错误!，所以函数f的图象向左平移错误!个单位长度后为＝－2co2的图象，该函数为偶函数，所以n的最小值为错误!答案：错误!15【解析】∵inα＝错误!>0，∴α为第一或第二象限角当α是第一象限角时，coα＝错误!＝错误!，tanα＋π＋错误!＝tanα＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!当α是第二象限角时，co α＝－错误!＝－错误!，原式＝错误!＝－错误!【变式备选】已知α为锐角，且tan错误!＋α＝2 1求tanα的值；2求错误!的值【解析】1tan错误!＋α＝错误!，所以错误!＝2，1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝错误!2错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝inα因为tanα＝错误!，所以coα＝3inα，又in2α＋co2α＝1，所以in2α＝错误!，又α为锐角，所以inα＝错误!，所以错误!＝错误!16【解析】∵2co2B－8coB＋5＝0，∴22co2B－1－8coB＋5＝0∴4co2B－8coB＋3＝0，即2coB－12coB－3＝0解得coB＝错误!或coB＝错误!舍去∵0<B<π，∴B＝错误!∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b∴coB＝错误!＝错误!＝错误!，化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c∴△ABC是等边三角形【一题多解】本题还可用下面的方法求解：∵2co2B－8coB＋5＝0，∴22co2B－1－8coB＋5＝0∴4co2B－8coB＋3＝0即2coB－12coB－3＝0解得coB＝错误!或coB＝错误!舍去∵0<B<π，∴B＝错误!∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b由正弦定理得inA＋inC＝2inB＝2in错误!＝错误!∴inA＋in错误!－A＝错误!，∴inA＋in错误!coA－co错误!inA＝错误!化简得错误!inA＋错误!coA＝错误!，∴inA＋错误!＝1∵0<A<π，∴A＋错误!＝错误!∴A＝错误!，C＝错误!∴△ABC是等边三角形17【解析】1在△ABC中，由S＝错误!bccoA＝错误!bcinA，得tanA＝错误!∵0＜A＜π，∴A＝错误!2由a＝错误!，A＝错误!及正弦定理得错误!＝错误!＝错误!＝2，∴c＝2inC＝2inπ－A－B＝2in错误!－∵A＝错误!，∴0＜＜错误!，∴0＜错误!－＜错误!，∴0＜in错误!－≤1,0＜2in错误!－≤2，即c∈0,2]18【解题指南】1先由图象直接得A，求得周期T进而求得ω，代入点求得φ，这样得解析式求得对称中心2利用对称中心为1千米2千米＝1，－错误!，n＝coA，inA，m·n＝－1，所以coA－错误!inA＝－1，所以inA－错误!＝错误!∵0＜A＜π，∴－错误!＜A－错误!＜错误!，所以A－错误!＝错误!，A＝错误!2因为错误!＝错误!＝错误!＝3，因为coB≠0，所以错误!＝3，所以tanB＝2，所以tanC＝tanπ－A＋B＝－tanA＋B＝－错误!，即tanC＝－错误!＝错误!。

【全程复习方略】广东省2013版高中数学 单元评估检测(一)理 新人教A 版(第一章)(120分钟 150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(预测题)集合A ＝{x|y ＝3－x 2，x∈R}，B ＝{y|y ＝x 2－1，x∈R}，则A∩B＝( )(A){(－2，1)，(2，1)} (B)∅ (C){z|－1≤z≤3} (D){z|0≤z≤3}2.(2012·广州模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{y|y ＝2|x|，x∈R}，N ＝{x∈R|x 2－4≥0}，则图中阴影部分所表示的集合是( )(A)(－∞，2) (B)[2，＋∞)(C)[1,2) (D)(1,2)3.“若a ∉A ，则b∈B”的否定是( )(A)若a ∉A ，则b ∉B(B)若a∈A，则b ∉B(C)若b∈B，则a ∉A(D)若b ∉B ，则a∈A4.下列说法中，正确的是( )(A)命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b”的逆命题是真命题(B)命题“∃x 0∈R，x 20－x 0＞0”的否定是：“∀x∈R，x 2－x≤0” (C)命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题(D)已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件5.(2012·韶关模拟)已知命题p ：∀x∈R,2x 2＋1>0，则( ) (A) ⌝p ：∃x 0∈R,2x20＋1≤0(B) ⌝p ：∀x∈R,2x 2＋1≤0 (C) ⌝p ：∃x 0∈R,2x 02＋1<0 (D) ⌝p ：∀x∈R,2x 2＋1<0 6.(易错题)已知命题p ：∃x 0∈R，有x 20＝－1；命题q ：∀x∈(0，π2)，有x ＞sinx.则下列命题是真命题的是( )(A)p∧q (B)p∨(⌝q)(C)p∧(⌝q) (D)(⌝p)∧q7.设甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；乙：0<a<1，则甲是乙成立的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件8.若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x ∈R}，则( )(A)“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件(B)“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件(C)“x∈P”是“x∈Q”的充要条件(D)“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a－2,5}，A＝{2,4}，则a的值为.10.命题“∃x0∈R，使得x20＋2x0＋5＝0”的否定是.11.(2012·惠州模拟)若集合M满足∅M⊆{1,2}，则集合M的个数为.12.已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜2}，P＝{x|x＞a}，并且M P，那么a的取值范围是.13.(2012·江门模拟)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a ＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题序号为.14.已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若⌝p是⌝q的充分条件，则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·汕头模拟)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，(1)当a＝3时，求A∩B，A∪(B)；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.16.(13分)(2012·清远模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－p>1或x－p<－1}，(1)当p ＝0时，求A∩B；(2)若A∪B＝B ，求实数p 的取值范围.17.(13分)设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点.如果p∧q 为假，p∨q 为真，求实数a 的取值范围.18.(14分)已知p ：－2≤x≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m＞0).若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19.(14分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 20.(14分)已知p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选C.由3－x 2≥0得－3≤x ≤3，∴A ＝{x|－3≤x ≤3}.∵x 2－1≥－1，∴B ＝{y|y ≥－1}.∴A ∩B ＝{z|－1≤z ≤3}.2.【解析】选C.图中阴影部分所表示的集合是M ∩N ，而M ＝{y|y ＝2|x|，x ∈R}＝{y|y ≥1}，N ＝{x|x 2－4≥0}＝{x|x ≥2或x ≤－2}，N ＝{x|－2<x<2}，∴M ∩N ＝{x|1≤x<2}，选C.3.【解析】选B.“若a ∉A ，则b ∈B ”的否定为“若a ∈A ，则b ∉B ”.4. 【解析】选B.由特称命题的否定是全称命题知选项B 正确.5.【解析】选A.此全称命题的否定为∃x 0∈R,2x 02＋1≤0.6.【解析】选D.∵当x ∈R 时，x 2≥0，∴命题p 是假命题，令f(x)＝x －sinx ，则f ′(x)＝1－cosx ＞0，∴f(x)在(0，π2)上是增函数， ∴f(x)＞f(0)＝0，即x ＞sinx ，故命题q 是真命题.∴(⌝p)∧q 是真命题.7. 【解题指南】先求甲成立的充要条件，然后再判断相关条件.【解析】选B.ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，当a ＝0时成立，当a ≠0时，a ＞0且Δ＝4a 2－4a ＜0，则0<a<1，故甲成立的充要条件是0≤a ＜1，所以甲是乙成立的必要不充分条件.8. 【解析】选A.由x ∈P 能推出x ∈Q ，但x ∈Q 不一定能推出x ∈P.故选A.9.【解析】∵A ＝{2,4}，∴A ＝{1,3,5}，∴a －2＝3，∴a ＝5.答案：510.【解析】特称命题的否定是全称命题，其否定为“∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0”. 答案：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠011.【解析】{1,2}的子集个数为4个，而∅M ，∴满足要求的M 共有3个，即{1}、{2}、{1,2}.答案：312.【解题指南】首先化简集合M ，然后利用数轴求出a 的取值范围.【解析】∵M ＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x ＜2}，P ＝{x|x ≤a}，∴M P ⇔M (－∞，a]⇔a ≥2，如数轴所示：答案：{a|a ≥2}13.【解析】对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a ＞1时，Δ＝－12a ＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.答案：③④14.【解析】p ：－4＜x －a ＜4⇔a －4＜x ＜a ＋4，q ：(x －2)(3－x)＞0⇔2＜x ＜3，又⌝p 是⌝q 的充分条件，即⌝p ⇒⌝q ，等价于q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]【误区警示】解答本题时易弄错p 、q 的关系，导致答案错误，求解时，也可先求出p 、q ，再根据其关系求a 的取值范围.15.【解析】(1)当a ＝3时，A ＝{x|－1≤x ≤5}，B ＝{x|x 2－5x ＋4≥0}＝{x|x ≤1或x ≥4}，B ＝{x|1＜x ＜4}，A ∩B ＝{x|－1≤x ≤1或4≤x ≤5}，A ∪(B)＝{x|－1≤x ≤5}.(2)当a ＜0时，A ＝∅，显然A ∩B ＝∅，合乎题意.当a ≥0时，A ≠∅，A ＝{x|2－a ≤x ≤2＋a}，B ＝{x|x 2－5x ＋4≥0}＝{x|x ≤1或x ≥4}.由A ∩B ＝∅，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＞12＋a ＜4，解得0≤a ＜1.故实数a 的取值范围是(－∞，1).16.【解析】(1)当p ＝0时，B ＝{x|x>1或x<－1}，A ＝{x|x 2－2x －3<0}＝{x|－1<x<3}，∴A ∩B ＝{x|1<x<3}.(2)由B ＝{x|x>p ＋1或x<p －1}又A ＝{x|－1<x<3}，又A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，∴p ＋1≤－1或p －1≥3.即p ≤－2或p ≥4.【方法技巧】集合问题求解技巧(1)解答集合问题，首先要正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特性，对于用描述法给出的集合{x|x ∈P}，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观解决问题.(2)注意∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.17.【解析】∵函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，∴0＜a ＜1，即p ：0＜a ＜1，∵曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，∴Δ＞0，即(2a －3)2－4＞0，解得a ＜12或a ＞52. 即q ：a ＜12或a ＞52. ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜112≤a ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1a ＜12或a ＞52.解得12≤a ＜1或a ＞52. 18.【解析】∵p ：－2≤x ≤10，∴⌝p ：A ＝{x|x ＞10或x ＜－2}.由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，解得1－m ≤x ≤1＋m(m ＞0)，∴⌝q ：B ＝{x|x ＞1＋m 或x ＜1－m}(m ＞0).由⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件可知：BA. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01－m ＜－21＋m ≥10，解得m ≥9.∴满足条件的m 的取值范围为m ≥9.【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略处理此类问题一般有两种策略：一是直接求出条件与结论，再根据它们的关系求解.二是先写出命题的逆否命题，再根据它们的关系求解. 如果p 是q 的充分不必要条件，那么⌝p 是⌝q 的必要不充分条件；同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，如果p 是q 的充要条件，那么⌝p 是⌝q 的充要条件.19.【证明】(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m＞0， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＝3m ＞0.∴0＜m ＜13. 综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 20.【解题指南】根据已知先得出p 真时a 的范围，再通过讨论a 得到q 真时a 的范围，最后根据p 真q 假，得a 的取值范围.【解析】∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，∴x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8，∴当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，可得：a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1，①若不等式ax 2＋2x －1>0有解，则当a>0时，显然有解，当a ＝0时，ax 2＋2x －1>0有解，当a<0时，∵ax 2＋2x －1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，所以不等式ax 2＋2x －1>0有解时a>－1.∴q 假时a 的范围为a ≤－1 ②由①②可得a的取值范围为a≤－1.。

【全程复习方略】广东省2013版高中数学 单元评估检测(六)理 新人教A 版（第六章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·福州模拟)设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( )w (A)a b<b 2<1 (B)1122log b<log a<0(C)2b <2a <2 (D)a 2<ab<1 2.下列推理是归纳推理的是( )(A)A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆 (B)由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 (C)由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积S ＝πab(D)以上均不正确3.(2012·潮州模拟)已知f(x)＝x ＋1x －2(x<0)，则f(x)有( )(A)最大值为0 (B)最小值为0 (C)最大值为－4 (D)最小值为－4 4.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3<0}，B ＝{x|2x －1>1}，则A∩B＝( )(A){x|x>1} (B){x|x<3} (C){x|1<x<3} (D){x|－1<x<3}5.设a ，b ，c∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )(A)都不大于－2 (B)都不小于－2 (C)至少有一个不大于－2 (D)至少有一个不小于－26.(2012·西安模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x≥0x ＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )(A)(－3,1)∪(3，＋∞)(B)(－3,1)∪(2，＋∞) (C)(－1,1)∪(3，＋∞) (D)(－∞，－3)∪(1,3)7.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()8.(预测题)设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥0x －y≤00≤y≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )(A)－2 (B)－3 (C)－4 (D)－5二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t≤30)的关系大致满足f(t)＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f(10)10)的月饼最少为 .10.下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为 . 11. 若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 .12.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0y ＋2≥0x －y ＋1≥0表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为 ，z 的最大值为 .13.已知a>0，b>0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是 .14.方程f(x)＝x 的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝x a(x ＋2)有唯一不动点，且x 1＝1 000，x n ＋1＝1f(1x n)(n∈N *)，则x 2 012＝ .三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)已知a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a.16.(13分)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M [1,4]，求实数a 的取值范围.17.(13分)(2012·南京模拟)某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p 元(即税率为p%)，因此每年销售量将减少203p 万件. (1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域； (2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？ (3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p 值？ 18.(14分)(探究题)已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)>0，其中k∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A∩Z＝B(其中Z 为整数集). 试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由.19.(14分)已知二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c(b 、c∈R)，不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2＋cos β)≤0.(1)求证：b ＋c ＝－1； (2)求证：c≥3；(3)若函数f(sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.20.(14分)设数列{a n }满足：a n ＋1＝a n 2－na n ＋1，n ＝1,2,3，… (1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜测{a n }的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1， (i)a n ≥n＋2；(ii)11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n <12.答案解析1.【解析】选C.∵y ＝2x是单调递增函数，且0<b<a<1， ∴2b<2a<21，即2b<2a<2.2. 【解析】选B.从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理.3.【解析】选C.∵x<0，∴－x>0， ∴x ＋1x －2＝－[(－x)＋1(－x)]－2≤－2·(－x)·1(－x)－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4.【解析】选C.A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|x>1}， 所以A ∩B ＝{x|1<x<3}.5.【解析】选C.因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.6.【解析】选A.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x 2－4x ＋6>3(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0(x －1)(x －3)>0得0≤x<1或x>3，由⎩⎪⎨⎪⎧x<0x ＋6>3(2)得－3<x<0，由(1)(2)可得－3<x<1或x>3.7.【解析】选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.8.【解析】选B.如图，x ＋y ＝6过点A(k ，k)，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B(－6,3)， ∴z min ＝－6＋3＝－3.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤： (1)画出可行域； (2)确定目标函数的斜率；(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线； (4)平移直线，确定满足最优解的点； (5)求满足最优解的点的坐标.9.【解析】平均销售量y ＝f(t)t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t ＋10≥18.当且仅当t ＝16t ，即t ＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18. 答案：1810.【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n ∈N *)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧80n ＋60n ＋100(15－2n)≤1 20080n ≤100(15－2n).解得：5≤n ≤5514，又n ∈N *，可得n ＝5， ∴15－2n ＝5.∴可以预订足球比赛门票5张. 答案：511. 【解题指南】本题实际就是分母不等于零恒成立问题，需分m ＝0或m ≠0讨论.【解析】∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不等于0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m<0， 解得0<m<34，综上，0≤m<34，即m ∈[0，34).答案： [0，34)12.【解析】图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为252，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y 得，x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5. 答案：252513.【解析】因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ＝2(1ab＋ab)≥4， 当且仅当1a ＝1b ，且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，取“＝”. 所以最小值为4. 答案：414.【解析】由x a(x ＋2)＝x 得ax 2＋(2a －1)x ＝0.因为f(x)有唯一不动点， 所以2a －1＝0，即a ＝12.所以f(x)＝2xx ＋2.所以x n ＋1＝1f(1x n)＝2x n ＋12＝x n ＋12.所以x 2 012＝x 1＋12×2 011＝1 000＋2 0112＝2 005.5.答案：2 005.515.【证明】要证b 2－ac<3a ，只需证b 2－ac<3a 2， ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a(a ＋b)<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b)(2a ＋b)>0， 只需证(a －b)(a －c)>0.因为a>b>c ，所以a －b>0，a －c>0， 所以(a －b)(a －c)>0，显然成立. 故原不等式成立.16.【解题指南】此题需根据Δ<0，Δ>0，Δ＝0分类讨论，求出解集M ，验证即可，不要忘记M ＝∅的情况.【解析】(1)当Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即－1<a<2时，M ＝∅，满足题意；(2)当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.a ＝－1时M ＝{－1}，不合题意；a ＝2时M ＝{2}，满足题意； (3)当Δ>0，即a>2或a<－1时，令f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，要使M ⊆ [1,4]，只需⎩⎪⎨⎪⎧1<a<4f(1)＝3－a ≥0f(4)＝18－7a ≥0得2<a ≤187；综上，－1<a ≤187.【变式备选】若关于x 的方程4x＋a ·2x＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. 【解析】方法一：令t ＝2x>0t 2＋at ＋a ＋1＝0在(0，＋∞)上有实根得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0－a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0－a<0a ＋1<0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(a ＋1)≥0－a ≥0，得a ≤2－2 2.方法二：令t ＝2x(t>0)，则原方程化为 t 2＋at ＋a ＋1＝0，变形得a ＝－1＋t 21＋t ＝－(t 2－1)＋2t ＋1＝－[(t －1)＋2t ＋1]＝－[(t ＋1)＋2t ＋1－2]≤－(22－2)＝2－2 2.∴a 的取值范围是(－∞，2－2 2 ].17. 【解析】(1)由题意，该商品年销售量为(80－203p)万件，年销售额为60(80－203p)万元，故所求函数为y ＝60(80－203p)·p%.由80－203p>0，且p>0得，定义域为(0,12).(2)由y ≥128，得60(80－203p)·p%≥128，化简得p 2－12p ＋32≤0，(p －4)(p －8)≤0，解得4≤p ≤8.故当税率在[4%，8%]内时，政府收取税金不少于128万元.(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售额为g (p)＝60(80－203p)(4≤p ≤8).∴g(p)为减函数，∴[g(p)]max ＝g(4)＝3 200(万元). 18.【解析】(1)当k ＝0时，A ＝(－∞，4)； 当k>0且k ≠2时，A ＝(－∞，4)∪(k ＋4k ，＋∞)；当k ＝2时，A ＝(－∞，4)∪(4，＋∞)； 当k<0时，A ＝(k ＋4k，4).(2)由(1)知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限； 当k<0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集.因为k ＋4k ≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 的元素个数最少.此时A ＝(－4,4)，故集合B ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}.19.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时：(1)充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2＋cos β)≤0.注意分析sin α、2＋cos β的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；(2)首先利用(1)的结论对问题进行化简化为只有参数c 的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f(2＋cos β)≤0，即可获得问题的解答；(3)首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答. 【解析】(1)∵|sin α|≤1且f(sin α)≥0恒成立，可得f(1)≥0. 又∵1≤2＋cos β≤3且f(2＋cos β)≤0恒成立，可得f(1)≤0， ∴f(1)＝0，∴1＋b ＋c ＝0，∴b ＋c ＝－1. (2)∵b ＋c ＝－1，∴b ＝－1－c ， ∴f(x)＝x 2－(1＋c)x ＋c ＝(x －1)(x －c). 又∵1≤2＋cos β≤3且f(2＋cos β)≤0恒成立， ∴x －c ≤0，即c ≥x 恒成立.∴c ≥3.(3)∵f(sin α)＝sin 2α－(1＋c)sin α＋c ＝(sin α－1＋c 2)2＋c －(1＋c 2)2， ∵1＋c2≥2 ∴当sin α＝－1时，f(sin α)的最大值为1－b ＋c. 由1－b ＋c ＝8与b ＋c ＝－1联立， 可得b ＝－4，c ＝3. 即b ＝－4，c ＝3.20.【解析】(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3， 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4， 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想{a n }的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1). (2)(i)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立， ②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么 a k ＋1＝a k (a k －k)＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k)＋1＝2k ＋5>k ＋3. 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1>(k ＋1)＋2. 由①和②得对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋2. (ii)由a n ＋1＝a n (a n －n)＋1及(i)，对k ≥2，有a k ＝a k －1(a k －1－k ＋1)＋1≥a k －1(k －1＋2－k ＋1)＋1＝2a k －1＋1 …迭代法 a k ≥2k －1a 1＋2k －2＋…＋2＋1＝2k －1(a 1＋1)－1于是11＋a k ≤11＋a 1·12k －1，k ≥2nn n k 1k 1n k 1k 2k 1k1111111111121221(1).1a 1a 1a 21a 21a 21a 132--===≤+==-<≤=+++++++∑∑∑。

【全程复习方略】广东省2013版高中数学 单元评估检测(四)理 新人教A 版（第四章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知平面向量a 、b 共线，则下列结论中不正确的个数为( )①a 、b 方向相同②a 、b 两向量中至少有一个为0③∃λ∈R，使b ＝λ a④∃λ1，λ2∈R，且λ21＋λ22≠0，λ1a ＋λ2b ＝0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.(2012·中山模拟)复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i(a∈R)为纯虚数，则a 的值是( )(A)3 (B)－2 (C)－1 (D)13.(2012·汕头模拟)已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB ＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC ＝2，则n ·BC 等于( )(A)－2 (B)2 (C)0 (D)2或－24.已知向量m ，n 满足m ＝(2,0)，n ＝ (32，32).在△ABC 中，AB ＝2m ＋2n ，AC ＝2m －6n ，D 为BC 边的中点，则|AD |等于( )(A) 2 (B)4 (C)6 (D)85.已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝( ) (A)1∶3 (B)3∶1(C)1∶2 (D )2∶16.若△ABC 的三个内角A ，B ，C 度数成等差数列，且(AB ＋AC )·BC ＝0，则△ABC 一定是( )(A)等腰直角三角形(B)非等腰直角三角形(C)等边三角形(D)钝角三角形7.(2012·桂林模拟)函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则(OA ＋OB )·AB ＝( )(A)4 (B)6 (C)1 (D)28.已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λ a ＋b ，AC ＝a ＋μ b (λ，μ∈R)，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )(A)λ＋μ＝2 (B)λ－μ＝1(C)λμ＝－1 (D)λμ＝1二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.若非零向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝ .10.(2012·厦门模拟)已知复数z ＝1－3i 3＋i ，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于 . 11.已知平面上有三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则实数a ＝ .12.已知|a |＝2|b |，且|b |≠0，关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是 .13.如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB ＝a ，AC ＝b ，AF ＝x a ＋y b ，则(x ，y)为 .14.(预测题)O 是平面α上一点，点A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA＋λ (AB ＋AC )，当λ＝12时，PA ·(PB ＋PC )的值为 . 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)已知AD 是△ABC 的高，若A(1,0)，B(0,1)，C(－1，－1)，试求向量AD 的坐标.16.(13分)设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内的对应点位于第二象限； (2)z·z ＋2iz ＝8＋ai(a∈R).试求a 的取值范围.17.(13分)(2012·中山模拟)已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2). (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值. 18.(14分)在平面直角坐标系xOy 中，点P(12，cos 2θ)在角α的终边上，点Q(sin 2θ，－1)在角β 的终边上，且OP ·OQ ＝－12. (1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值.19.(14分)(易错题)已知：A(cosx ，sinx)，其中0≤x＜2π，B(1,1)，OA ＋OB ＝OC ，f(x)＝|OC |2. (1)求f(x)的对称轴和对称中心；(2)求f(x)的单调递增区间.20.(14分)(探究题)已知双曲线x 2－y 2＝2的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(1,0). (1)证明：CA ·CB 为常数；(2)若动点M 满足CM ＝CA ＋CB ＋CO (其中O 为坐标原点)，求点M 的轨迹方程.答案解析1.【解析】选C.若a 、b 均为非零向量， 则由a ∥b 知a 、b 方向相同或相反，故①②不正确；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ使b ＝λ a ，故③不正确；若a 、b 均为零向量，则④正确，若a ≠0，则由两向量共线知，存在λ≠0，使b ＝λ a 即λ a －b ＝0，则④正确，综上，只有④正确，故选C.2.【解析】选D.由z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i(a ∈R)为纯虚数，得a 2－1＝0且a ＋1≠0，∴a ＝1.3.【解析】选B.因为n ·AB ＝n ·(AC －BC )＝n ·AC －n ·BC ，又n ·AB ＝(1，－1)·(1,1)＝1－1＝0，所以n ·BC ＝n ·AC ＝2.4.【解题指南】由D 为BC 边的中点可得AD ＝12(AB ＋AC )，再用m 、n 表示AD 即可. 【解析】选A.∵D 为BC 边的中点，∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(2m ＋2n ＋2m －6n )＝2m －2n ＝2(2,0)－2(32，32)＝(1，－3)， ∴|AD |＝2.5.【解题指南】把目标向量AB 、BC 用已知向量OA 、OB 、OC 表示是解题的关键.【解析】选D.因为OB ＝13OA ＋23OC ，所以OB －OC ＝13OA －13OC ，得CB ＝13CA ， 又OB －OA ＝－23OA ＋23OC ，得AB ＝23AC ， 所以|AB |∶|BC |＝23∶13＝2∶1，故选D. 6. 【解析】选C.∵(AB ＋AC )·BC ＝0， ∴(AB ＋AC )·(AC －AB )＝0，∴AC 2－AB 2＝0，即|AC |＝|AB |， 又A 、B 、C 度数成等差数列，∴B ＝60°，从而C ＝60°，A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形.7.【解析】选B.由tan(π4x －π2)＝0结合图象知A(2,0)； 由tan(π4x －π2)＝1结合图象得B(3,1)，故(OA ＋OB )·AB ＝(5,1)·(1,1)＝5＋1＝6. 8.【解析】选D.由题意得必存在m(m ≠0)使AB ＝m ·AC ，即λ a ＋b ＝m(a ＋μ b )，得λ＝m,1＝m μ， ∴λμ＝1.9.【解析】∵a ∥b 且a ⊥c ，∴b ⊥c ，从而c ·b ＝c ·a ＝0.∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.答案：010.【解析】∵z ＝－i 2－3i 3＋i ＝－i(i ＋3)3＋i＝－i ， ∴z ＝i ，∴|z |＝1.答案：111.【解析】∵AB ＝(1，a 2＋a)，BC ＝(1，a 3－a 2)， 又∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥BC ，∴1×(a 3－a 2)－(a 2＋a)×1＝0，即a 3－2a 2－a ＝0，∴a ＝0或a ＝1± 2.答案：0或1± 212.【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，由方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等的实根可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋8|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12， 则向量a 与b 的夹角为2π3. 答案：2π313. 【解题指南】利用B 、F 、E 三点共线，D 、F 、C 三点共线是解答本题的关键，而用两种形式表示向量AF 是求x ，y 的桥梁. 【解析】AB ＝a ，AC ＝b ，得BE ＝12b －a ，DC ＝b －12a .因为B ，F ，E 三点共线，令BF ＝t BE ，则AF＝AB ＋t BE ＝(1－t)a ＋12t b .因为D ，F ，C 三点共线，令DF ＝s DC ，则AF ＝AD ＋s DC ＝12(1－s)a ＋s b .根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－t ＝12－12s s ＝12t，解得t ＝23，s ＝13，得x ＝13，y ＝13，即(x ，y)为(13，13). 答案：(13，13) 14.【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝12(AB ＋AC )， ∴2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ，∴BP ＝PC ，∴PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，∴PA ·(PB ＋PC )＝PA ·0＝0.答案：015.【解析】设BD ＝λ BC ，又BC ＝(－1，－2)，则BD ＝(－λ，－2λ)，∴AD ＝AB ＋BD ＝(－1,1)＋(－λ，－2λ)＝(－1－λ，1－2λ)，由AD ⊥BC ，得AD ·BC ＝0，即(1＋λ)＋2(2λ－1)＝0，解得λ＝15， ∴AD ＝(－65，35). 16.【解析】设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由(1)得x ＜0，y ＞0.由(2)得x 2＋y 2＋2i(x ＋yi)＝8＋ai ，即x 2＋y 2－2y ＋2xi ＝8＋ai.由复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝8 ①2x ＝a ②由①得x 2＝－(y －1)2＋9，又y ＞0，∴x 2≤9，又x ＜0，∴－3≤x ＜0，∴－6≤a ＜0.即a 的取值范围为[－6,0).17.【解析】(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，∵0＜θ＜π2，∴解得cos θ＝55，sin θ＝255. (2)∵0＜φ＜π2，0＜θ＜π2， ∴－π2＜θ－φ＜π2， 则cos(θ－φ)＝31010， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝22. 18.【解析】(1)∵OP ·OQ ＝12sin 2θ－cos 2θ＝－12， ∴cos 2θ＝23，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝13. (2)sin α＝cos 2θ14＋cos 4θ＝2314＋49＝45， cos α＝1214＋cos 4θ＝1214＋49＝35. 同理sin β＝－1sin 4θ＋1，cos β＝sin 2θsin 4θ＋1， 又∵sin 2θ＝1－cos 2θ＝13，∴sin β＝－31010，cos β＝1010. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35× (－31010)＝－1010. 19.【解析】(1)由题设知，OA ＝(cosx ，sinx)， OB ＝(1,1)，则OC ＝OA ＋OB ＝(1＋cosx,1＋sinx) ∴f(x)＝|OC |2＝(1＋cosx)2＋(1＋sinx)2＝3＋2(sinx ＋cosx)＝3＋22sin(x ＋π4) ∴对称轴是x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 即对称轴是x ＝k π＋π4，k ∈Z ， 对称中心横坐标满足x ＋π4＝k π，k ∈Z ， 即x ＝k π－π4，k ∈Z ， ∴对称中心是(k π－π4，3)，k ∈Z. (2)当2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z 时f(x)单调递增. 即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z. ∴f(x)的单调递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]，k ∈Z. 20.【解析】由条件，知F(2,0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，(1)当AB 与x 轴垂直时， 可知点A ，B 的坐标分别为(2，2)，(2，－2)， 此时CA ·CB ＝(1，2)·(1，－2)＝－1.当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是y ＝k(x －2)(k ≠±1)， 代入x 2－y 2＝2，有(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0.则x 1，x 2是上述方程的两个实根，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2＋2k 2－1. 于是CA ·CB ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋1)(x 1＋x 2)＋4k 2＋1＝(k 2＋1)(4k 2＋2)k 2－1－4k 2(2k 2＋1)k 2－1＋4k 2＋1 ＝(－4k 2－2)＋4k 2＋1＝－1.综上所述，CA ·CB 为常数－1.(2)设M(x ，y)，则CM ＝(x －1，y)，CA ＝(x 1－1，y 1)，CB ＝(x 2－1，y 2)，CO ＝(－1,0). 由CM ＝CA ＋CB ＋CO ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝x 1＋x 2－3y ＝y 1＋y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝x ＋2y 1＋y 2＝y .于是线段AB 的中点坐标为(x ＋22，y 2). 当AB 不与x 轴垂直时，y 1－y 2x 1－x 2＝y 2x ＋22－2＝y x －2， 即y 1－y 2＝y x －2(x 1－x 2). 又因为A ，B 两点在双曲线上，所以x 21－y 21＝2，x 22－y 22＝2，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，即(x 1－x 2)(x ＋2)＝(y 1－y 2)y.将y 1－y 2＝y x －2(x 1－x 2)代入上式， 化简得x 2－y 2＝4.当AB 与x 轴垂直时，x 1＝x 2＝2，求得M(2,0)，也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是x 2－y 2＝4.。

【全程复习方略】广东省2013版高中数学单元评估检测(九)理新人教A版（第九、十章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列赋值语句正确的是( )(A)a－b＝2 (B)5＝a(C)a＝b＝4 (D)a＝a＋22.(2012·辽阳模拟)某单位员工按年龄分为A、B、C三个组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙两人均被抽到的概率为125，则该单位员工总数为( )(A)110 (B)100 (C)90 (D)803.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )(A)①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样(B)①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样(C)①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样(D)①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样4.(预测题)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60 km/h的汽车数量为( )5.(2012·杭州模拟)下面的程序语句输出的结果S为( )(A)17 (B)19 (C)21 (D)236.如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )(A)a1>a2 (B)a2>a1(C)a1＝a2 (D)a1、a2的大小不确定7.(2012·韶关模拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所调查的数据画了样本频率分布直方图(如图所示)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出300人作进一步的调查，其中低于1 500元的称为低收入者，高于3 000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是( )(A)1 000,2 000 (B)60,120 (C)30,60 (D)10,208.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )(A)求数列{1n }的前10项和(n∈N *)(B)求数列{12n }的前10项和(n∈N *)(C)求数列{1n }的前11项和(n∈N *)(D)求数列{12n}的前11项和(n∈N *)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2012·广州模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是.10.某样本数据的频率分布直方图的部分图形如图所示，则数据在[55,65)的频率约为.11.如图，判断正整数x是奇数还是偶数，①处应填.12.319,377,116的最大公约数是.13.(2012·惠州模拟)某校对全校男女学生共1 600名进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽取95人，则该校女生的人数应该是人.14.已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(易错题)某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名，现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩.(1)求抽取的男生和女生的人数.(2)男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率.(3)从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2：表1：分组表2：分别估计男生和女生的平均分，并估计这450名学生的平均分.(精确到0.01)16.(13分)给出算法：第一步：输入大于2的整数n.第二步：依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，并输出所有能整除n的数.试将上述算法写成程序.17.(13分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值大于或等于98且小于106的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表[90,9[102,106)B配方的频数分布表(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)由以上统计数据填写2×2列联表，问在犯错误的概率不超过0.1的前提下是否可认为“A配方与B配方的质量有差异”.18.(14分)(2012·珠海模拟)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：其中i ＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图.(2)求回归方程.(结果保留到小数点后两位) (参考数据：7i 1x=∑i y i＝3 245，x ＝25，y ＝15.43，7i 1x=∑2i ＝5 075，7(x )2＝4 375,7x y ＝2 700)(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数.(结果保留整数)19.(14分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；(2)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为x 甲＝85，x 乙＝85，甲的方差为D 1＝35.5，乙的方差为D 2＝41.现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由.20.(14分)某商场庆“五一”实行优惠促销，规定若购物金额x 在800元以上(含800元)打8折；若购物金额在500元以上(含500元)打9折；否则不打折.请设计一个算法程序框图，要求输入购物金额x ，能输出实际交款额，并写出程序.答案解析1.【解析】选D.根据赋值语句的格式要求知，A 、B 、C 均不正确，只有D 正确.2.【解析】选B.设甲被抽到的概率为x ，单位员工总数为a ，由题意知乙被抽到的概率为x. ∴x 2＝125，∴x ＝15，∴a 20＝51，∴a ＝100，故选B.3.【解析】选A.观察所给的三组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样，③个体有明显的差异，所以选用分层抽样法，是分层抽样，故选A. 【方法技巧】简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法，简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.4.【解题指南】首先观察频率分布直方图，确定时速超过60 km/h 的范围包含哪几个小矩形，其次根据纵坐标求频率，再求频数.【解析】选B.由频率分布直方图可得：设车速为v ，当v ≥60 km/h 时，频率为(0.028＋0.010)×10＝0.038×10＝0.38.∴所求汽车数量为0.38×200＝76(辆).5.【解题指南】该程序是当型循环，进入依次执行循环，直至结束.【解析】选A.i 从1开始，依次取3,5,7,9，…，当i<8时，循环继续进行，故当i ＝9时，跳出循环，故输出S ＝2×7＋3＝17.6.【解析】选B.∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，先去掉一个最高分和一个最低分，两名选手的分数都只剩十位数为8的，故只需看个位数的和，乙的个位数字总和为25，甲的个位数字总和为20，∴a 2>a 1，故选B.7.【解析】选C.抽样比是30010 000＝3100，由样本频率分布直方图可知低收入者的频率是0.000 2×500＝0.1，∴10 000×0.1×3100＝30；高收入者的频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2， ∴10 000×0.2×3100＝60.8.【解析】选B.由所给的程序框图可知其算法为求S ＝12＋14＋16＋18＋110＋…＋12×10的值，共有10项，故选B.9.【解题指南】求解本题需看懂茎叶图，找出甲、乙的中位数，相加即得. 【解析】由题意知：甲的比赛得分由高到低为： 41,39,37,34,28,26,23,15,13 乙的比赛得分由高到低为： 47,45,38,37,36,33,32,25,24∴甲、乙的中位数分别为28,36，故和为64. 答案：6410. 【解析】在图形中并没有明确的数据分布在区间[55,65)中，但是有[50,60)，[60,70)段上的频率分布，据此估计样本在[55,65)上的频率应该在[50,60)和[60,70)的频率分布之间，因为在[50,60)之间的频率为0.02，在[60,70)之间的频率为0.03. 答案：0.0311. 【解析】由奇数、偶数性质知正整数x 除以2的余数为1时为奇数，不为1时为偶数，再由判断框意义知①处应为r ＝1？ 答案：r ＝1？12.【解析】选用辗转相除法求319与377的最大公约数. ∵377＝319×1＋58， 319＝58×5＋29,58＝29×2， ∴319与377的最大公约数是29. 再求29与116的最大公约数. ∵116＝29×4，∴29与116的最大公约数是29. 故319,377,116的最大公约数是29.答案：2913.【解析】设该校女生有x 人，则95x ＝2001 600，解得x ＝760.答案：76014.【解析】因为x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ＝1.5x ＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5【误区警示】本题易错之处是根据x 的值及y ＝1.5x ＋45求出y 的值再求y ，因为用y ＝1.5x ＋45求得的y 值不是原始数据，故错误. 15.【解析】(1)由抽样方法知： 抽取的男生人数为250×45450＝25，抽取的女生人数为200×45450＝20，(2)男生甲和女生乙被抽到的概率均为0.1.所以男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率为1－(1－0.1)2＝0.19. (3)由(1)知：m ＝25－(3＋8＋6)＝8，n ＝20－(2＋5＋5)＝8， 据此估计男生平均分为65×3＋75×8＋85×8＋95×625＝81.8.女生平均分为65×2＋75×5＋85×8＋95×520＝83.这450名学生的平均分为81.8×25＋83×2045≈82.33. 16.【解析】17.【解析】(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为42＋22100＝64100＝0.64，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.64.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为42＋32100＝74100＝0.74，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.74. (2)2×2列联表：根据题中的数据计算：K 2的观测值k ＝n(ad －bc)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)＝200×(64×26－74×36)2138×62×100×100＝2.337 5；由于2.337 5<2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“A 配方与B 配方的质量有差异”. 18.【解题指南】画出散点图进行分析，然后由线性相关的定义判断并求出回归直线方程，最后用所求的方程进行预测.【解析】(1)散点图如图所示：(2)由散点图可知x i 与y i 具有线性相关关系，又∵7i 1x=∑i y i ＝3 245，x ＝25，y ＝15.43，7i 1x =∑2i ＝5 075，7(x )2＝4 375， ∴b ＝∑i ＝17x i y i －7x ·y ∑i ＝17x 2i －7(x )2≈0.78， ＝a y －b x ＝－4.07，∴回归直线方程是y ＝0.78x －4.07.(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y ＝0.78×80－4.07≈58(件).19.【解析】(1)作出如图所示的茎叶图，易得乙组数据的中位数为84.(2)派甲参赛比较合适，理由如下： ∵x 甲＝85，x 乙＝85，D 1＝35.5，D 2＝41， ∴x 甲＝x 乙，D 1<D 2，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.【变式备选】某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.【解析】(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.20.【解题指南】由题意知，需分情况交款，应用条件结构和条件语句解答本题. 【解析】程序框图：程序：。

【全程复习方略】广东省高中数学 阶段滚动检测(三)理 新人教A 版（第一～六章） （120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(·临沂模拟)设A ＝{x|x 2－2x －3＞0}，B ＝{x|x 2＋ax ＋b≤0}，若A∪B＝R ，A∩B＝(3,4]，则a ＋b 等于( ) (A)7 (B)－1 (C)1 (D)－72.(滚动单独考查)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi(其中i 为虚数单位)，若复数ab ∈R，则实数x 的值为( )(A)－6 (B)6 (C)83 (D)－833.(滚动单独考查)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x＝2”是“a ∥b ”的( ) (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 4.下列判断错误的是( )(A)“am 2<bm 2”是“a<b”的充分不必要条件(B)命题“∀x∈R，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x 0∈R，x 03－x 02－1>0”(C)若p∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 (D)若a ∥b ，b ∥c ，且b ≠0，则a ∥c5.(滚动单独考查)在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( ) (A)16 (B)32 (C)64 (D)2566.(滚动交汇考查)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝∫034xdx ，则公比q 的值为( ) (A)1 (B)－12 (C)1或－12 (D)－1或－127.(滚动单独考查)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )(A)f(x)在(0，π2)上单调递减(B)f(x)在(π4，3π4)上单调递减(C)f(x)在(0，π2)上单调递增(D)f(x)在(π4，3π4)上单调递增8.(·安徽师大附中模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －7≤0x≥1y≥1，则z ＝|y －x|的最大值为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上) 9.(·宿州模拟)函数f(x)＝2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式(12)2x >2－a －x(a∈R)的解集为B ，若A∩B＝B ，则实数a 的取值范围为 .10.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中，点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上.设BC ＝x cm ，则ABCD 面积最大时，x 的值为 .11.(滚动单独考查)(·娄底模拟)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y)，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M(x ，y)，N(y ，x)，则向量MN 的模为 .12.(滚动交汇考查)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝ .13.(·淄博模拟)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x≤1y －x≤1y≥0，则xy ＋1的取值范围是 .14.已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆.类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是 .三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)(滚动交汇考查)(·临沂模拟)已知函数f(x)＝2－sin(2x ＋π6)－2sin 2x ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若f(B2)＝1，b ＝1，c ＝3，求a 的值.16.(13分)(·西安模拟)已知数列11×3，13×5，15×7，…，1(2n －1)(2n ＋1)，其前n 项和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4； (2)猜想前n 项和S n 并证明.17.(13分)某大学食堂定期从某粮店以每吨3 000元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需用大米1 t ，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天 购买. (1)该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20 t 时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由.18.(14分)(滚动交汇考查)(·德州模拟)已知函数f(x)＝ax 2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝2x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )均在函数y ＝f(x)的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋a n ＋2(n∈N *)，求b n ； (3)记c n ＝41b n(n∈N *)，试证c 1＋c 2＋…＋c 2 011<89.19.(14分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)＝lnx －a(x －1)x ＋1.(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，求a 的取值范围； (2)利用(1)的结论比较ln mn 与2(m n －1)mn ＋1(m ，n 为正实数，m>n)的大小.20.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)＝12(x －1)2＋lnx －ax ＋a.(1)若a ＝32，求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x∈(1,3)，都有f(x)>0成立，求a 的取值范围. 答案解析1.【解析】选D.A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4， ∴a ＋b ＝－7.2.【解析】选C.由于a b ＝3＋2i 4＋xi ＝(3＋2i)(4－xi)(4＋xi)(4－xi)＝12＋2x ＋(8－3x)i16＋x2∈R ， 则8－3x ＝0，∴x ＝83.3.【解析】选A.当x ＝2时，a ＝(1,1)，b ＝(3,3)， ∴a ∥b ；当a ∥b 时，x 2－1＝3， ∴x ＝±2. 4.【解析】选C.p ∧q 为假命题，只能说明p ，q 中至少一个是假命题. 5.【解题指南】利用根与系数的关系及等比数列性质可求. 【解析】选C.由已知得a 1·a 19＝16，又a 1·a 19＝a 102， ∴正项等比数列中，a 10＝4. ∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64.6.【解析】选C.S 3＝∫304xdx ＝18， ∴6q 2＋6q ＋6＝18， 解得q ＝1或q ＝－12.7.【解题指南】先两角和公式逆用，化为一个角的三角函数，再利用周期及偶函数得解析式，从而可解. 【解析】选A.f(x)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，∵最小正周期为π，所以ω＝2，又f(x)为偶函数，∴φ＋π4＝π2 ＋k π，k ∈Z ，得φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，由函数单调性选A.8.【解析】选C.作出可行域如图阴影区域.可知A(1,2)，B(4,1)，由z ＝|y －x|＝⎩⎪⎨⎪⎧y －x(y ≥x)x －y(y<x).(1)当z ＝y －x 时，目标函数过A(1,2)时，z max ＝2－1＝1. (2)当z ＝x －y 时，目标函数过B(4,1)时z max ＝4－1＝3. 由(1)(2)可得，z max ＝3，故选C.9.【解析】由2＋xx －1≥0且x －1≠0解得x ≤－2或x>1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞).(12)2x >2－a －x ⇔ (12)2x >(12)a ＋x ⇔2x<a ＋x ⇔x<a ， 所以B ＝(－∞，a).因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以a ≤－2. 即a 的取值范围是(－∞，－2]. 答案：(－∞，－2]10.【解析】由BC ＝x ，则AB ＝2900－x 2(0<x<30). 所以S ＝2x 900－x 2＝2x 2(900－x 2)≤x 2＋(900－x 2)＝900. 当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值为900 cm 2. 答案：15 211.【解析】∵a ∥b ，∴x ＝4，∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y). ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y)＝0，∴y ＝－4，∴M(4，－4)，N(－4,4).故向量MN ＝(－8,8)，|MN |＝8 2. 答案：8 212.【解析】设公差为d ，a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝ka 1 ＋k(k －1)2d ＝k ＋k(k －1)＝9，解得：k ＝3. 答案：313.【解析】不等式组表示的区域是以点(－1,0)，(1,0)，(0,1)为顶点的三角形(及内部)，xy ＋1可看作区域内的点与点(0，－1)连线的斜率的倒数.连线的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴xy ＋1的取值范围是[－1,1].答案：[－1,1]14.【解析】由题意，PO 与PA 的差的绝对值是常数，即圆的半径，所以点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线.答案：以O 、A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线. 15.【解析】(1)f(x)＝2－sin(2x ＋π6)－2sin 2x＝2－(sin2xcos π6＋cos2xsin π6)－(1－cos2x)＝1＋cos2x －(32sin2x ＋12cos2x) ＝12cos2x －32sin2x ＋1 ＝cos(2x ＋π3)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)由f(B 2)＝1得cos(B ＋π3)＋1＝1，即cos(B ＋π3)＝0，又因为0<B<π，所以π3<B ＋π3<43π，所以B ＋π3＝π2，即B ＝π6.因为b ＝1，c ＝3，所以由正弦定理得b sinB ＝csinC ，得sinC ＝32， 故C ＝π3或23π，当C ＝π3时，A ＝π2，从而a ＝b 2＋c 2＝2，当C ＝2π3时，A ＝π6，又B ＝π6，从而a ＝b ＝1，故a 的值为1或2. 16.【解析】(1)由已知得： S 1＝11×3＝13；S 2＝11×3＋13×5＝25；S 3＝11×3＋13×5＋15×7＝37；S 4＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9＝49.(2)由(1)可归纳猜想得S n ＝n2n ＋1， 证明：∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)∴S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1) ＝12×2n 2n ＋1 ＝n 2n ＋1. 17.【解析】设该食堂每隔x 天购买一次大米，则每次购买x t ，设平均每天所支付的费用为y 元，则 (1)y ＝1x [3 000x ＋100＋2(1＋2＋…＋x)]＝x ＋100x＋3 001≥3 021，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号.故该食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少.(2)可以.当x ≥20时y ＝1x [3 000x ·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x)]＝x ＋100x＋2 851，函数y 在[20，＋∞)上为增函数， ∴y ≥20＋10020＋2 851＝2 876.而2 876＜3 021，故该食堂可接受粮店的优惠条件.18.【解析】(1)∵f ′(x)＝2ax ＋b ＝2x －2，∴a ＝1，b ＝－2. ∴f(x)＝x 2－2x ，故S n ＝n 2－2n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，a 1＝S 1＝－1适合上式，因此a n ＝2n －3(n ∈N *). (2)由b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋a n ＋2(n ∈N *)得b n ＋1－b n ＝a n ＋2 ＝2n ＋1(n ∈N *)，故b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，∴b n ＝n 2，n ∈N *. (3)由(2)知c n ＝41b n ＝1n ，c 1＝1∵1n ＝2n ＋n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)(n ∈N *，n ≥2)∴c 1＋c 2＋…＋c 2 011<1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2( 2 011－ 2 010) ＝2 2 011－1<2×45－1＝89.19.【解析】(1)f ′(x)＝1x －a(x ＋1)－a(x －1)(x ＋1)2＝(x ＋1)2－2ax x(x ＋1)2＝x 2＋(2－2a)x ＋1x(x ＋1)2. 因为f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，所以f ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立. 即x 2＋(2－2a)x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立. 当x ∈(0，＋∞)时，由x 2＋(2－2a)x ＋1≥0， 得2a －2≤x ＋1x.设g(x)＝x ＋1x ，x ∈(0，＋∞).g(x)＝x ＋1x≥2x ·1x＝2. 所以当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，g(x)有最小值2.所以2a －2≤2.所以a ≤2.即a 的取值范围为(－∞，2].(2)构造函数：设h(x)＝lnx －2(x －1)x ＋1.由(1)知h(x)在(1，＋∞)上是单调增函数，又mn >1，所以h(mn )>h(1)＝0.即ln mn －2(mn －1)mn ＋1>0成立.从而ln m n >2(m n－1)mn＋1.【方法技巧】函数与不等式综合应用问题的解题技巧函数与不等式综合应用题是高考中常见题型，多与单调性结合利用函数单调性证明不等式，本题中先利用导数及单调性转化为恒成立问题，利用参数分离法，及基本不等式求参数的范围，而后利用分析法结合(1)的结论设出函数利用单调性证明，题目立意新颖 ，考查知识点较多，是很好的一道典型题.20.【解析】(1)由题知f(x)定义域为(0，＋∞)，当a ＝32时，f ′(x)＝x ＋1x －52＝2x 2－5x ＋22x ，令f ′(x)＝0，得x ＝12或x ＝2，列表：x (0，12)12 (12，2) 2 (2，＋∞)f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)↑极大↓极小↑函数f(x)在x ＝12处取得极大值f(12)＝78－ln2，函数f(x)在x ＝2处取得极小值f(2)＝ln2－1；(2)方法一：f ′(x)＝x ＋1x －(1＋a)，x ∈(1,3)时，x ＋1x ∈(2，103)，①当1＋a ≤2，即a ≤1时，x ∈(1,3)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(1,3)上是增函数，∀x ∈(1,3)，f(x)>f(1)＝0恒成立；②当1＋a ≥103，即a ≥73时，x ∈(1,3)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(1,3)上是减函数，∀x ∈(1,3)，f(x)<f(1)＝0恒成立，不合题意.③当2<1＋a<103，即1<a<73时，x ∈(1,3)时，f ′(x)先取负，再取零，最后取正，函数f(x)在(1,3)上先递减，再递增， 而f(1)＝0，∴∀x ∈(1,3)， f(x)>f(1)＝0不能恒成立； 综上，a 的取值范围是a ≤1. 方法二：∵x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f ′(x)＝x ＋1x－1－a ≥1－a.①当a ≤1时，f ′(x)≥1－a ≥0，而f ′(x)＝x ＋1x －1－a 不恒为0，∴函数f(x)在(1,3)上是单调递增函数，∀x ∈(1,3)，f(x)>f(1)＝0恒成立；②当a>1时，令f ′(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋1x ，设x 2－(a ＋1)x ＋1＝0的两根是x 1，x 2(x 1<x 2)， ∵x 1＋x 2＝a ＋1>2，x 1x 2＝1， ∴0<x 1<1<x 2.当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数， ∴f(x 1)>f(1)>f(x 2)，而f(1)＝0，∴f(x 1)>0>f(x 2)若x 2≤3，∵∀x ∈(1,3)，f(x)>0， ∴f(x 2)>f(1)＝0，不可能，若x 2>3，函数f(x)在(1,3)上是减函数，f(3)<f(1)＝0，也不可能， 综上，a 的取值范围是a ≤1.。

全程复习方略2022-2022学年高中数学(人教A版选修2-1)单元质量评温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

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单元质量评估(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.2.(2022·浙江高考)若α∈R,则“α=0”是“inα【解题指南】让“α=0”和“inα【解析】选A.当α=0时,inα=0,coα=1,所以inα∪,k∈Z,故应选A.【变式训练】设某是实数,则“某>0”是“|某|>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由某>0|某|>0,充分,而|某|>0某>0或某<0,不必要.3.(2022·湖南高考)设命题p:某∈R,某2+1>0,则p为()A.某0∈R,C.某0∈R,+1>0B.某0∈R,+1≤0+1<0D.某∈R,某2+1≤0【解题指南】根据“全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,即:若命题p:某∈D,q某∈D,q”求解.+1≤0.,则p:某0∈D,q;若命题p:某0∈D,q,则p:【解析】选B.p:某0∈R,4.(2022·成都高二检测)已知命题p:“某>3”是“某2>9”的充要条件,命题q:“>”是“a>b”的充要条件,则()A.“p∨q”为真B.“p∧q”为真C.p真q假D.p,q均为假【解析】选A.由某>3能够得出某2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由>能够推出a>b,反之,因为>0,所以由a>b能推出>成立,故命题q是真命题.因此选A.5.(2022·襄阳高二检测)下列命题中是全称命题的是()A.圆有内接四边形B.C.><D.若三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形为直角三角形【解析】选A.由全称命题的定义可知:“圆有内接四边形”,即为“所有圆都有内接四边形”,是全称命题.6.命题某0∈eRQ,A.某0eRQ,∈Q的否定是()Q∈QB.某0∈eRQ,C.某eRQ,某3∈QD.某∈eRQ,某3Q【解析】选D.由特称命题的否定是全称命题可知结果.7.(2022·江西高考)下列叙述中正确的是()A.若a,b,c∈R,则“a某2+b某+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C.命题“对任意某∈R,有某2≥0”的否定是“存在某0∈R,有≥0”D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β【解题指南】利用逻辑用语的知识逐一验证.【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为<0;对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.8.(2022·烟台高二检测)已知p:α≠β,q:coα≠coβ,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】根据原命题与其逆否命题的真假性相同,要判断p是q 的什么条件,只需判断q是p的什么条件.【解析】选B.p:α=β;q:coα=coβ,显然pq成立,但q的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.p,所以q是p9.(2022·海口高二检测)已知命题p:某0∈(-∞,0),(0,1),log2某<0,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨(q)C.(p)∧qD.p∧(q)【解析】选C.由指数函数的图象与性质可知,命题p是假命题,由对数函数的图象与性质可知,命题q是真命题,则命题“p∧q”为假命题,命题“p∨(q)”为假命题,命题“(p)∧q”为真命题,命题“p∧(q)”为假命题,故选C.10.(2022·杭州高二检测)命题“某∈[1,2],某2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤5【解析】选C.命题“某∈[1,2],某2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4,+≦)的非空真子集,正确选项为C.【误区警示】本题易出现的误区是条件与结论没有区别开,若a是b成立的条件,则a是条件,b是结论,若a成立的条件是b,则结论是a.11.定义域为R的偶函数f(某)满足对某∈R,有f(某+2)=f(某)-f(1),且当某∈[2,3]时,f(某)=-2(某-3)2,若函数y=f(某)-loga(某+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为()A.C.B.D.【解题指南】对函数恒等式进行赋值,探究函数的周期性、对称性,画出函数图象,建立不等式求解.【解析】选B.由于定义域为R的偶函数f(某)满足对某∈R,有f(某+2)=f(某)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(某+2)=f(某),可知f(某)的周期T=2,图象以某=2为对称轴,作出f(某)的部分图象,如图,因为y=loga(某+1)的图象与f(某)的图象至少有三个交点,即有loga(2+1)>f(2)=-2且0.12.下列各小题中,p是q的充分必要条件的是()①p:coα=coβ,q:tanα=tanβ;②p:=1,q:y=f(某)是偶函数;③p:A∩B=A;q:eUBeUA;④p:m6;q:y=某2+m某+m+3有两个不同的零点.A.①②B.②③C.③④D.②③④【解析】选C.当α=,β=-时,coα=coβ,tanα≠tanβ,故pq,同理pq,①不符合;由=1f(某)=f(-某)f(某)为偶函数,而逆命题为假,如f(某)=某2,②不符合;由A∩B=AABeUBeUA,③符合;函数y=某2+m某+m+3有两个不同的零点的充要条件为Δ=m2-4(m+3)>0,即(m+2)(m-6)>0,解得m6,④符合.【误区警示】原命题与逆命题都真时,命题的条件与结论互为充要条件,本题易忽视对命题“若p,则q”以及逆命题“若q,则p”的真假的判断而误选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2022·许昌高二检测)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________________.【解析】逆否命题只需将原命题的条件与结论变换并否定即可.逆否命题为:圆的切线到圆心的距离等于半径.答案:圆的切线到圆心的距离等于半径14.(2022·九江高二检测)命题p:α0,inα0>1是(填“全称命题”或“特称命题”),它是命题(填“真”或“假”),它的否定p:,它是命题(填“真”或“假”).【解析】命题p含有存在量词“”,故p是特称命题,是假命题,它的否定是全称命题,真命题.答案:特称命题假α,inα≤1真15.(2022·兰州高二检测)已知命题p:|某2-某|≠6,q:某∈N,且“p∧q”与“q”都是假命题,则某的值为.【解析】由“p∧q”与“q”都是假命题,知p假q真,得答案:316.(2022·天津高考)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线某+y+1=0与圆某2+y2=相切.其中真命题的序号是.【解析】命题①由球的体积公式可知,一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的,正确;命题②两组数据的平均数相等,若其离散程度不同,则它们解得某=3.的标准差也不相等,故该命题错误;命题③圆心(0,0)到直线某+y+1=0的距离d==,与圆某2+y2=的半径相等,故直线与圆相切,该命题正确.答案:①③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2022·长沙高二检测)(1)写出命题:“若某2-3某+2=0,则某=1或某=2”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(2)已知集合P={某|-1【解析】(1)原命题为真,逆命题:若某=1或某=2,则某2-3某+2=0,是真命题;否命题:若某2-3某+2≠0,则某≠1且某≠2,是真命题;逆否命题:若某≠1且某≠2,则某2-3某+2≠0,是真命题.(2)因为S={某|某2+(a+1)某+a<0}={某|(某+1)(某+a)<0},P={某|-118.(12分)(2022·扬州高二检测)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.(2)某∈{某|某>0},某+≥2.(3)某0∈{某|某∈Z},log2某0>2.【解析】(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(2)命题中含有全称量词“”,是全称命题,真命题.(3)命题中含有存在量词“”,是特称命题,真命题.19.(12分)求关于某的方程a某2+2【解析】方程a某2+2某+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.某+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是:方程只有一个负实数根或有一个正实数根与一个负实数根或有两个负实数根,或有一负一零根,设两根为某1,某2,则a=0或或或即a=0或或或即a=0或或a=0或-1某+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是-1【拓展提升】分类讨论的思想在求充要条件中的应用对于含有参数的数学式子,或者有关几何图形的不同位置等问题,解题时通常要对问题进行分类讨论.分类讨论时要清晰全面,做到不重复、不遗漏,分类讨论后,要进行概括性的整合总结.20.(12分)(2022·宿州高二检测)已知命题p:方程某2-2m某+m=0没有实数根;命题q:某∈R,某2+m某+1≥0.(1)写出命题q的否定“q”.(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.【解析】(1)q:某0∈R,+m某0+1<0.(2)若方程某2-2m某+m=0没有实数根,则Δ=4m2-4m<0,解得0因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p,q两命题应一真一假,即p真q假或p假q真.则或解得-2≤m≤0或1≤m≤2.【拓展延伸】完美解决参数问题通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:(1)熟练掌握真值表,判断单个命题p,q的真假.(2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.(3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.21.(12分)已知条件p:|5某-1|>a(a>0)和条件q:>0,请选取适当的实数a的值,分别利用所给的两个条件作为A,B构造命题:“若A则B”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么并说明为什么这一命题是符合要求的命题.【解析】已知条件p即5某-1a,所以某<,或某>,已知条件q即2某2-3某+1>0,所以某1;令a=4,则p即某1,此时必有pq成立,反之不然.故可以选取的一个实数是a=4,A为p,B为q,对应的命题是若p则q,由以上过程可知这一命题为真命题,但它的逆命题为假命题.22.(12分)已知函数f(某)=某2+(a+1)某+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2).(1)若f(某)能表示成一个奇函数g(某)和一个偶函数h(某)的和,求g(某)与h(某)的解析式.(2)命题p:函数f(某)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数;命题q:函数g(某)是减函数.如果命题p,q有且只有一个是真命题,求a的取值范围.【解析】(1)因为f(某)=g(某)+h(某)①,g(-某)=-g(某),h(-某)=h(某),所以f(-某)=-g(某)+h(某)②,(①-②)÷2得g(某)=(a+1)某,(①+②)÷2得h(某)=某2+lg|a+2|.(2)因为函数f(某)=某2+(a+1)某+lg|a+2|在区间[(a+1)2,+≦)上是增函数,所以(a+1)2≥-,解得a≥-1或a≤-且a≠-2.又由函数g(某)=(a+1)某是减函数,得a命题p为假的条件是:-所以命题p,q有且只有一个是真命题时,实数a的取值范围是.【误区警示】(1)如果不能灵活运用函数的奇偶性定义,就不能建立函数方程求得奇函数和偶函数.(2)如果不对两个命题的真假进行分类讨论,再分别求交集和并集,就会错解参数的取值范围.关闭Word文档返回原板块得a命题p为假的条件是:-所以命题p,q有且只有一个是真命题时,实数a的取值范围是.【误区警示】(1)如果不能灵活运用函数的奇偶性定义,就不能建立函数方程求得奇函数和偶函数.(2)如果不对两个命题的真假进行分类讨论,再分别求交集和并集,就会错解参数的取值范围.关闭Word文档返回原板块。

广东省韶关市（新版）2024高考数学人教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知以为周期的函数，其中．若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围为A．B．C．D．第(2)题在上可导的函数，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围是A．B．C．D．第(3)题讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（）A．20B．30C．35D．210第(4)题（）A．3B．C．D．6第(5)题如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠B=60°，点E,F分别在边BC,AB上运动(不含端点)，且EF//AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，当五棱锥B-ECDAF的体积最大时，EF的长为A．1B．C．D．第(6)题函数f(x)=cos x(x R)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数的图象，则m的值可以为（）A．B．C．－D．－第(7)题已知函数，，则的图象大致是（）A．B．C．D．第(8)题．表示平面，为直线，下列命题中为真命题的是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（）A．每100人必有1人患有新冠B．若，则事件与事件相互独立C．若，某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001第(2)题已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（）A．是周期函数B．的图象关于点中心对称C ．D．是偶函数第(3)题正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔·威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法正确的是（）A．的定义域为；B．的最小正周期为；C．的值域为；D．图象的对称轴为直线.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为______．第(2)题已知，，，，则______．第(3)题随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲､乙､丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上．过作平行于x轴的直线，与交于点，再过点作平行于y轴的直线，与交于点．(1)若，请直接写出，的值；(2)若，求证：是等比数列；(3)若，求证：．第(2)题已知椭圆的左、右焦点为，，以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P，的内切圆的半径为，且的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆的右顶点B作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点D和点E，若直线DE与x轴的交点为T，O为坐标原点，的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．第(3)题已知函数，．(1)若函数在处取得极值，求函数的单调区间；(2)设，对于时，恒成立，求参数a的取值范围．第(4)题已知数列的前项和，数列满足：，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求．第(5)题已知函数（a为非零实数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，，且，求证：.。

广东省东莞市（新版）2024高考数学人教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则=（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为A．B．C．D．第(5)题已知函数的图像关于点中心对称，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法正确的是（）A ．在区间上的值域是B．C ．函数在上单调递增D．函数在区间内有3个零点第(6)题已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．第(7)题函数在上单调递减的充要条件是（）A．B．C．D．第(8)题已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（）A．2B．1C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（）A．B．C．若，则D．第(2)题已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．若，则的最小值为C．取最小值时D．设，则第(3)题在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则（）A．点的轨迹是一条线段B．直线与可能相交C．直线与不可能平行D．三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题美好人生路车站早上有6：40，6：50两班开往A校的公交车，若李华同学在早上6：35至6：50之间随机到达该车站，乘开往A校的公交车，公交车准时发车，则他等车时间不超过5分钟的概率为______．第(2)题已知点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的取值范围是__________第(3)题方程的解是_______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求的最值．第(2)题已知椭圆的左、右顶点分别是，点在上，且的面积．(1)求的标准方程；(2)过点作直线与交于另一点，求直线的斜率．第(3)题已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且(1)求C的标准方程；(2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程.第(4)题已知向量．令函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于D．其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．第(5)题如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.。