【聚焦中考】2017版中考数学 考点聚焦 第6章 图形的性质(二)跟踪突破25 与圆有关的计算试题

备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_尺规作图_作图—复杂作图-综合题专训及答案作图—复杂作图综合题专训1、(2017北京.中考真卷) 图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；（2）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．2、(2013盐城.中考真卷) 实践操作如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；（2）以O为圆心，OC为半径作圆．（3）在你所作的图中，AB与⊙O的位置关系是；（直接写出答案）（4）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．3、(2016无锡.中考真卷) 如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC（1）线段BC的长等于；（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：以点为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于（3）连OD，在OD上画出点P，使OP的长等于，请写出画法，并说明理由．4、(2017孝义.中考模拟) 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作△ABC的外接圆O；②在AB的延长线上作一点D，使得CD与⊙O相切；（2）综合与运用：在你所作的图中，若AC=6，则由线段CD，BD及所围成图形的面积为．5、(2016山西.中考模拟) 实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，请完成下列任务：（1）在图1中作一个菱形，使得点A、B为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；在图2中作一个菱形，使点B、D为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请在图形下方横线处直接写出你按（1）中要求作出的菱形的面积．6、(2017无锡.中考模拟) 解答题（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，tanα= ，CD=5，AD=12，求BD的长．7、(2017杭州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．（2）在（1）作出点P后，写出点P的坐标．8、(2017洛宁.中考模拟) 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）若CD=4，AC=4 ，求垂线段OE的长．9、(2019孝感.中考真卷) 如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点为圆心，以为半径画弧，角于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点，作射线；②以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点.请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；（1）线段与的大小关系是.（2）过点作交的延长线于点，若，，求的值.10、(2018潮南.中考模拟) 已知：如图，在平行四边形ABCD中，（1）求作：∠A的平分线AE，交BC于点E；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：AB=BE．11、(2018汕头.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．12、(2017广州.中考模拟) 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．（3）若∠B=30°，计算S△DAC ：S△ABC的值．13、(2014贵港.中考真卷) 如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠CBD的平分线BM；②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．（2）由（1）得：BF与边AC的位置关系是．14、(2017兰州.中考真卷) 在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图：⑴在直线l上任取两点A、B；⑵分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；⑶作直线PQ．参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是：（2）已知，直线l和l外一点P，求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）15、(2019城.中考模拟) 如图,在中，,点是上一点．（1）尺规作图：作，使与、都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）若与相切于点D，与的另一个交点为点，连接、，求证：．作图—复杂作图综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

考点跟踪突破26 几何作图一、选择题 1．(2016·宜昌)任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH ，HF ，FG ，GE ，则下列结论中，不一定正确的是( B )A ．△EGH 为等腰三角形B ．△EGF 为等边三角形C ．四边形EGFH 为菱形D ．△EHF 为等腰三角形,第1题图) ,第3题图)2．(2015·福州)如图，点C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为( B )A ．80°B ．90°C ．100°D ．105°3．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P 的坐标为(2a ，b ＋1)，则a 与b 的数量关系为( B )A ．a ＝bB ．2a ＋b ＝－1C ．2a －b ＝1D ．2a ＋b ＝1点拨：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故2a ＋b ＋1＝0，整理得2a ＋b ＝－14．(2015·福建)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是( D )A ．AD ＝BDB ．BD ＝CDC ．∠A ＝∠BED D ．∠ECD ＝∠EDC,第4题图) ,第5题图)5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是( D )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC＝1∶3.A ．1B ．2C ．3D ．4点拨：①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CBA ＝30°，∴∠3＝90°－∠2＝60°，即∠ADC ＝60°.故②正确；③∵∠1＝∠B ＝30°，∴AD ＝BD ，∴点D 在AB 的垂直平分线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD 中，∠2＝30°，∴CD ＝12AD ，∴BC ＝CD ＋BD ＝12AD ＋AD ＝32AD ，S △DAC ＝12AC ·CD ＝12AC ·12AD.∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AC ·32AD ，∴S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个 二、填空题6．(2016·湖州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，相交于点E ，F ，过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长是__5__.7．(2015·北京)阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是__到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上__.8．数学活动课上，老师在黑板上画直线l 平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l 和射线AN 上各找一点B 和C ，使得以A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__3__个．点拨：如图：①AC 为直角边时，符合等腰直角三角形有2个；②AC 为斜边时，符合等腰直角三角形有1个．故这样的三角形最多能画3个9．如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于__12__．点拨：连接AB ，由画图可知：OA ＝OB ，AO ＝AB ，∴OA ＝AB ＝OB ，即三角形OAB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴cos ∠AOB ＝cos 60°＝1210．如图所示，已知线段a ，c 和∠α，求作：△ABC ，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠ABC ＝∠α，根据作图把下面空格填上适当的文字或字母．(1)如图①所示，作∠MBN ＝__∠α__；(2)如图②所示，在射线BM 上截取BC ＝__a__，在射线BN 上截取BA ＝__c__； (3)连接AC ，如图③所示，△ABC 就是__所求作的三角形__． 三、解答题11．(2015·兰州)如图，在图中求作⊙P ，使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)解：如图所示，⊙P即为所求作的圆12．(2015·青岛)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c，直线l及l外一点A.求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.解：如图，△ABC即为所求13．(2015·河池)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AD.(1)作∠A的平分线交CD于点E；(2)过B作CD的垂线，垂足为点F；(3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母)，并选择其中一对加以证明．解：(1)如图所示：AE即为所求(2)如图所示：BF即为所求(3)如图所示：△ACE ≌△ADE ，△ACE ≌△CBF ，证明：∵AE 平分∠CAD ，∴∠CAE ＝∠DAE ，在△ACE 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ，∠CAE ＝∠DAE ，AC ＝AD ，∴△ACE ≌△ADE(SAS ) 14．(导学号：01262040)(2016·怀化)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°.(1)先作∠ACB 的平分线交AB 边于点P ，再以点P 为圆心，PA 长为半径作⊙P ；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中BC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)如图所示，⊙P 即为所求作的圆 (2)BC 与⊙P 相切．理由为：过P 作PD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵CP 为∠ACB 的平分线，且PA ⊥AC ，PD ⊥CB ，∴PD ＝PA ，∵PA 为⊙P 的半径．∴BC 与⊙P 相切．。

考点04 图形的性质知识点1：线、角、相交线与平行线1. 直线、射线、线段与角（1）直线公理:经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.（2）射线:直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.（3）线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线.（4）两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.（5）1°=60',1'=60″.（6）1周角=2平角=4直角=360°.（7）余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等.2. 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.3. 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.4. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.5. 垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.6. 线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相等的点在知识归纳线段的垂直平分线上.7. 平行线（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.（2）平行线的性质:①两条直线平行,同位角相等;②两条直线平行,内错角相等;③两条直线平行,同旁内角互补.（3）平行线的判定:①同位角相等,两条直线平行;②内错角相等,两条直线平行;③同旁内角互补,两条直线平行.知识点2：全等三角形1. 全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2. 全等三角形的判定方法（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(简称“SAS”)（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简称“ASA”)（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简称“AAS”)（4）有三边对应相等的两个三角形全等.(简称“SSS”)（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)3. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边、对应角相等.（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.（3）全等三角形的周长相等、面积相等.知识点3：等腰三角形、等边三角形、直角三角形1. 等腰三角形（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,即“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.（3）判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”.2. 等边三角形（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.（2）性质:①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;②“三线合一”;③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.（3）判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3. 直角三角形（1）性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.（2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.（3）勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.知识点4：锐角三角函数1. 锐角三角函数的概念（1）锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数.（2）在△ABC 中，∠C=90°,∠A 的正弦sin A=斜边的对边A ∠,∠A 的余弦cos A=斜边的邻边A ∠,∠A 的正切tan A=的邻边的对边A A ∠∠. 2. 特殊角的三角函数值(填写下表) 三角函数30° 45° 60° sin a 21 22 23 cos a 23 22 21tan a33 1 3知识点5：解直角三角形1. 解直角三角形（1）解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.（2）直角三角形的解法直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:①已知一条直角边和一个锐角(如a ,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A ,c=Aa sin ; ②已知斜边和一个锐角(如c ,∠A ),其解法为:∠B=90°-∠A ,a=A c sin ;③已知两直角边(如a ,b ),其解法为:c 2=a 2+b 2,tan A=ba ; ④已知斜边和一直角边(如c ,a ),其解法为:b 2=c 2-a 2,sin A=c a . 2. 与解直角三角形有关的名词、术语（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.从下向上看,叫做仰角;从上往下看,叫做俯角.（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡度(或坡比),记作i=i l .坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.知识点6：多边形1. 多边形的内角和、外角和n 边形的内角和为(n -2)·180°，外角和为360°.2. 正多边形：在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.3. 多边形的对角线：在多边形中,连接互不相邻的两个顶点的线段.知识点7：平行四边形1. 平行四边形：两组对边分别平行的四边形.2. 平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行;（2）平行四边形的对边相等;（3）平行四边形的对角相等;（4）平行四边形的对角线互相平分.3. 平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形;（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知识点8：菱形1. 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.3. 判定方法:①一组邻边相等的平行四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;③四条边都相等的四边形是菱形.4. 设菱形对角线长分别为l 1,l 2,则S 菱形=21l 1l 2. 知识点9：矩形1. 定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.2. 性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.3. 判定方法:①有三个角是直角的四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③有一个角是直角的平行四边形是矩形.4. 设矩形的长和宽分别为a ,b ,则S 矩形=ab.知识点10：正方形1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.2. 正方形的性质（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.3. 正方形的判定方法（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.（3）有一个角是直角的菱形是正方形.（4）对角线相等的菱形是正方形.4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系知识点11：圆的有关概念及性质（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.（2）圆具有对称性和旋转不变性.（3）不共线的三点确定一个圆.（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧. （6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（7）弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.知识点12：*垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.知识点13：与圆有关的角及其性质（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论：① 同弧或等弧所对的圆周角相等.② 半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.③ 圆内接四边形的对角互补.知识点14：圆周长、弧长计算（1）半径为R 的圆周长：C=πd=2πR .（2）半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l ,则l=180R n π. 知识点15：圆、扇形面积计算（1）半径为R 的圆面积S=2R π （2）半径为R 的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S 扇=lR 21或S 扇=362R n π. 知识点16：圆柱、圆锥的有关计算（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh ,全面积S=2πRh+2πR 2(R 表示底面圆的半径,h 表示圆柱的高).（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl ,全面积S=πRl+πR 2(R 表示底面圆的半径,l 表示圆锥的母线).（3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR 2h. 圆锥的体积=31×底面积×高,即V=31πR 2h. 知识点17：正多边形与圆（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.（3）正多边形的内角和=(n -2)·180°;正多边形的每个内角= ()nn 1802-; 正多边形的周长=边长×边数;正多边形的面积=21×周长×边心距. 知识点18：点、线与圆的位置关系:1. 如果圆的半径为r ,某一点到圆心的距离为d ,那么:（1）点在圆外⇔d >r ;（2）点在圆上⇔d =r ;（3）点在圆内⇔d <r .2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交 位置关系相离 相切 相交 图形公共点个数 0 1 2 数量关系 d >r d =r d <r 3.切线的性质与判定（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4.*切线长定理（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.1．应用平行线巧建“三角形”求角的度数平行线可以迁租等角或者构造互补的角：平行线+1条角粉线则可以构适“等腰三角形”如图①；平行线十2角平分线，则可以构造“直角三传形”如图②2．求三角形角的度数，一般涉及以下几个知识点（1）等边对等角，把边的关系转化为角的关系（2）角平分线以及等腰三角形的三线合一（3）三角形的内角和为180.（4）直角三角形的两锐角至余（5）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．等腰三角形的性质:（1）等腰三角形的两腰相等。

2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质一．选择题（共14小题）1．（2021•杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ 2．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π3．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4 4．（2021•衢州）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）A．6B．9C．12D．15 5．（2021•台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线6．（2020•温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA 的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．7．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形8．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．9．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD 为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（2020•衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．11．（2020•湖州）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（）A．DC＝DT B．AD＝DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC 12．（2020•嘉兴）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5 13．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH14．（2021•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC 面积为S2，则的值是（）A．B．3πC．5πD．二．填空题（共6小题）15．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．16．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为．17．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的（填序号）．①，②1，③﹣1，④，⑤．18．（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆P A＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．19．（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是．20．（2019•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P 在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是．三．解答题（共2小题）21．（2020•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）求证：△BEF∽△BCA；（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．22．（2020•衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2021•杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【考点】垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．2．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π【考点】扇形面积的计算．【专题】常规题型；运算能力．【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案．【解答】解：扇形面积＝，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：是解决本题的关键．3．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】转化思想；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．4．（2021•衢州）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）A．6B．9C．12D．15【考点】三角形中位线定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出AD、DE、EF、AF，根据四边形的周长公式计算即可．【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝9，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．5．（2021•台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线【考点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，故选：A．【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．6．（2020•温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA 的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．【考点】切线的性质；菱形的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，∵OB＝1，∴BD＝OB＝，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练正确切线的性质定理是解题的关键．7．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【考点】菱形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可．【解答】解：如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形．故选：B．【点评】本题主要考查菱形在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意画出图形并熟练掌握菱形的判定．8．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．【考点】勾股定理的证明．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，则可得出答案．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．9．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD 为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．【点评】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出∠C的度数．10．（2020•衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．11．（2020•湖州）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（）A．DC＝DT B．AD＝DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；切线的性质．【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．【分析】如图，连接OD．想办法证明选项A，B，C正确即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD．∵OT是半径，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切线，∵DC是⊙O的切线，∴DC＝DT，故选项A正确，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵DC是切线，∴CD⊥OC，∴∠ACD＝90°，∴∠A＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD＝DT，∴AC＝CD＝DT，故选项B正确，∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，∴△DOC≌△DOT（SSS），∴∠DOC＝∠DOT，∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，∴∠AOT＝∠BOT＝45°，∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，∴BO＝BD，故选项C正确，根据筛选法，故选：D．【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2020•嘉兴）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；垂径定理．【专题】作图题；应用意识．【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设OA交BC于T．半径为r，∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，∴AT＝＝＝2，在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】如图，连接DG，AH，过点O作OJ⊥DE于J．证明S△DGH＝S△AEH，S△DGC＝S，可得结论．△ADH【解答】解：如图，连接DG，AH，过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF，EF＝GH，∠HEF＝90°，∵OJ⊥DE，∴∠OJH＝∠HEF＝90°，∴OJ∥EF，∵HO＝OF，∴HJ＝JE，∴EF＝GH＝2OJ，∵S△DHO＝•DH•OJ，S△DHG＝•DH•GH，∴S△DGH＝2S△DHO，同法可证S△AEH＝2S△AEO，∵S△DHO＝S△AEO，∴S△DGH＝S△AEH，∵S△DGC＝•CG•DH，S△ADH＝•DH•AE，CG＝AE，∴S△DGC＝S△ADH，∴S△DHC＝S△ADE，∴S1＝S2，故A选项符合题意；S3＝HE•EF≠S1，故B选项不符合题意；AB＝AD，EH＝GH均不成立，故C选项，D选项不符合题意，故选：A．【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是证明S△DGH＝S△AEH，S△DGC＝S△ADH．14．（2021•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC 面积为S2，则的值是（）A．B．3πC．5πD．【考点】勾股定理；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】先设Rt△ABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设⊙O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．【解答】解：如图，取AB的中点为O，AC的中点为D，连接OE，OG，OD，OC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2，①取AB的中点为O，∵△ABC是直角三角形，∴OA＝OB＝OC，∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，∴O为圆心，连接OC，OG，OE，作OD⊥AC，则OG，OE为半径，由勾股定理得：，②由①②得a＝b，∴，∴，，∴，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键在找到圆心，依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即斜边的中点为圆心，用字母表示多条边，然后找它们的关系是中考经常考的类型，平时要多加练习此类题型．二．填空题（共6小题）15．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．【点评】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．16．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为4．【考点】正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：＝，故阴影部分的面积是：＝4，故答案为：4．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的①②③④（填序号）．①，②1，③﹣1，④，⑤．【考点】矩形的性质；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解．【解答】解：如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①，②1，③﹣1，④，不可以是．故答案为：①②③④．【点评】考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出图形是解题的关键．18．（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆P A＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为160cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．【考点】勾股定理的应用；菱形的性质；轨迹；等腰三角形的性质．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．解直角三角形求出PT即可．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．解直角三角形求出HT即可．【解答】解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP＝OQ＝50cm，PQ＝P A﹣AQ＝140﹣60＝80（cm），PM＝P A+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN，∵OH⊥PQ，∴PH＝HQ＝40（cm），∵cos∠P＝＝，∴＝，∴PT＝160（cm），∴点P到MN的距离为160cm，故答案为160．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．由题意AT＝PT﹣P A＝160﹣140＝20（cm），OA＝P A﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，∵QH⊥OA，∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2，解得x＝，∴HT＝AH+AT＝（cm），∴点Q到MN的距离为cm．故答案为．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．19．（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．【考点】平面镶嵌（密铺）；整式的加减．【专题】整式．【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解．【解答】解：如图所示：图1的周长为1+2+3+2＝6+2；图2的周长为1+4+1+4＝10；图3的周长为3+5++＝8+2．故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．故答案为：6+2或10或8+2．【点评】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．20．（2019•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P 在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4．【考点】七巧板．【专题】图表型；矩形菱形正方形．【分析】如图2中，连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可．【解答】解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．在Rt△EMG中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，∴EG＝＝＝4，∴EH＝＝4，解法二：如图，连接EG交MN于点O．由题意，EN＝MN＝4，GM＝8，∵∠EON＝∠GOM，∠N＝∠M＝90°，∴△EON∽△GOM，∴＝＝，∴ON＝MN＝，∴OE＝＝，OG＝2OE＝，∴GF＝EG＝（OE+OG）＝4．故答案为4．【点评】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三．解答题（共2小题）21．（2020•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）求证：△BEF∽△BCA；（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）想办法证明∠BEF＝90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．（3）证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ＝BD＝，EF＝m，由△ABC∽△CBM，可得BM＝，由△BEJ∽△BME，可得BE＝，由△BEF∽△BCA，推出＝，由此构建方程求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠EFB＝∠EDB，∠EBF＝∠EDF，∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴△BEF是直角三角形．（2）证明：∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠EFB＝∠EDB，∴∠EFB＝∠BCD，∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠BCD＝∠CAB，∴∠BFE＝∠CAB，∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA．（3）解：设EF交AB于J．连接AE．∵EF与AB互相平分，∴四边形AFBE是平行四边形，∴∠EF A＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，∵BD⊥AD，∴EF∥BD，∵AJ＝JB，∴AF＝DF，∴FJ＝BD＝，∴EF＝m，∵△ABC∽△CBM，∴BC：MB＝AB：BC，∴BM＝，∵△BEJ∽△BME，∴BE：BM＝BJ：BE，∴BE＝，∵△BEF∽△BCA，∴＝，即＝，解得m＝2（负根已经舍弃）．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．22．（2020•衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可．（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．首先证明OG＝OL，再证明BF＝2OL即可解决问题．（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．（4）设OG＝a，AG＝k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，又∵BF＝2OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2017中考数学知识点一、相似三角形(7个考点)考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小.考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用.考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义.考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用.考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用.考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比(2个考点)考点8：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值.考点9：解直角三角形及其应用考核要求：(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形.三、二次函数(4个考点)考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义.考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法.注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原.考点12：画二次函数的图像考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像.考点13：二次函数的图像及其基本性质考核要求：(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质.注意：(1)解题时要数形结合;(2)二次函数的平移要化成顶点式.四、圆的相关概念(6个考点)考点14：圆心角、弦、弦心距的概念考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断.考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.考点16：垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.考点18：正多边形的有关概念和基本性质考核要求：熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.考点19：画正三、四、六边形.考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.五、数据整理和概率统计(9个考点)考点20：确定事件和随机事件考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件.考点21：事件发生的可能性大小，事件的概率考核要求：(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率.注意：(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小;(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确.考点22：等可能试验中事件的概率问题及概率计算本考点的考核要求是(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率;(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题;(3)形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题.在求解概率问题中要注意：(1)计算前要先确定是否为可能事件;(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整.考点23：数据整理与统计图表本考点考核要求是：(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别;(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息.考点24：统计的含义本考点的考核要求是：(1)知道统计的意义和一般研究过程;(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法.考点25：平均数、加权平均数的概念和计算本考点的考核要是：(1)理解平均数、加权平均数的概念;(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式.注意：在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率.考点26：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算考核要求：(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念;(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题.注意：当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平;(2)求中位数之前必须先将数据排序.考点27：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图考核要求：(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式;(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题.解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数;频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1.考点28：中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用本考点的考核要是：(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法;(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测;(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决.2017年中考数学易错知识点数学失分点集中在以下几个方面：考查简单二次根式的化简求值，函数中自变量取值范围，易出错。

中考数学考点聚焦专题04 图形的性质第1 页共15 页聚焦1几何初步知识及相交线、平行线锁定目标：锁定考点：考点一直线、射线、线段1．直线的基本性质(1)两条直线相交，只有一个交点．(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．2．线段的性质所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短．3．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．4．直线、射线、线段的区别与联系：考点二角的有关概念及性质1．概念：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．2．角的单位与换算：1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．3．余角与补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．4．对顶角：在两相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．考点三垂线的性质与判定第2 页共15 页1．垂线及其性质：垂线：两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)2．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．3．判定：若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．考点四平行线的性质与判定1．概念：在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．4．判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．聚焦2三角形与全等三角形锁定目标：中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力．锁定考点：考点一三角形的概念及性质1．概念：(1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．2．性质：(1)三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小第3 页共15 页于第三边．考点二三角形中的重要线段1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．2．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点．3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点．4．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半．考点三全等三角形的性质与判定1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．考点四定义、命题、定理、公理1．定义：对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．2．命题：判断一件事情的语句．(1)命题由题设和结论两部分组成．命题通常写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．(2)命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．考点五证明1．证明：从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过逻辑推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．第4 页共15 页2．证明的一般步骤：(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．3．反证法：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．聚焦3等腰三角形锁定目标：锁定考点：考点一等腰三角形1．等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．2．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．考点二等边三角形的性质与判定1．等边三角形的性质：(1)等边三角形的内角相等，且都等于60°；(2)等边三角形的三条边都相等．2．等边三角形的判定：(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．考点三线段的垂直平分线1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．第5 页共15 页3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．考点四角平分线的性质及判定1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合．聚焦4直角三角形锁定目标：考点一直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角互余．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．考点二直角三角形的判定1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形．2．有两角互余的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．聚焦5多边形与平行四边形锁定目标：第6 页共15 页锁定考点：考点一多边形的有关概念及性质1．多边形的概念定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．2．性质：n边形的内角和为(n－2)·180°，外角和为360°.考点二平面图形的密铺(镶嵌)1．密铺的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．2．平面图形的密铺：正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺．考点三平行四边形的定义和性质1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行．(2)平行四边形的对角相等．(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)平行四边形是中心对称图形．考点四平行四边形的判定1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．第7 页共15 页4．对角线相互平分的四边形是平行四边形．5．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．聚焦6矩形、菱形、正方形锁定目标：锁定考点：考点一矩形的性质与判定1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．性质：(1)矩形的四个角都是直角．(2)矩形的对角线相等．(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是对角线的交点．3．判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形．(2)对角线相等的平行四边形是矩形．考点二菱形的性质与判定1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．性质：(1)菱形的四条边都相等．(2)菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角．3．判定：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(2)四条边都相等的四边形是菱形．考点三正方形的性质与判定第8 页共15 页第 9 页 共 15 页1．定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形． 2．性质：(1)正方形的四条边都相等，四个角都是直角．(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． (2)一组邻边相等的矩形是正方形． (3)对角线互相垂直的矩形是正方形． (4)有一个角是直角的菱形是正方形． (5)对角线相等的菱形是正方形．聚焦7 梯形锁定目标：锁定考点：考点一 梯形的有关概念及分类1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的两边叫做底，两底间的距离叫做梯形的高．2．两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 3．梯形的分类梯形⎩⎨⎧一般梯形特殊梯形⎩⎨⎧直角梯形等腰梯形4．梯形的面积等于12(上底＋下底)×高．考点二 等腰梯形的性质与判定能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、 等腰梯形的性质和判定是中考考查的重点，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用．第 10 页 共 15 页1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行． (2)等腰梯形同一底上的两个角相等． (3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴． 2．判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． (3)对角线相等的梯形是等腰梯形． 考点三 梯形问题的解决方法梯形问题常通过――→转化辅助线三角形或平行四边形来解答，转化时常用的辅助线有： 1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形． 2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形． 4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形． 5．过一腰中点作辅助线．(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．聚焦8 圆的有关性质锁定目标：1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论.锁定考点：考点一 圆的有关概念及其对称性 1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做半径．第 11 页 共 15 页2．圆的对称性：(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 考点二 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 考点三 圆心角、弧、弦之间的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．考点四 圆心角与圆周角1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角． 2．性质：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等． (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．聚焦9 点与圆、直线与圆的位置关系锁定目标：锁定考点：考点一 点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．2．点和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么点在圆外d ＞r ；点在圆上d＝r；点在圆内d＜r .3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心．考点二直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系：相离、相切、相交．2．概念：(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．3．直线和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d＝r；直线l和⊙O相离d＞r.考点三切线的判定和性质1．切线的判定方法：(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．考点四三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．2．三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．聚焦10圆与圆的位置关系锁定目标：1.了解圆与圆的位置关系，并会判断两圆的位置关系．2.掌握两圆位置关系的相关性质，并能运用这些性质进行证明与计算.锁定考点：第12 页共15 页第 13 页 共 15 页考点 圆与圆的位置关系1．概念：①两圆外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部；②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部；③两圆相交：两个圆有两个公共点；④两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．2．圆与圆位置关系的判断：设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为O 1O 2＝D ．两圆外离d＞R ＋r ；两圆外切d ＝R ＋r ；两圆相交R －r ＜d ＜R ＋r (R ≥r )；两圆内切d ＝R －r (R ＞r )；两圆内含0≤d ＜R－r (R ＞r )．聚焦11 与圆有关的计算锁定目标：锁定考点：考点一 弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝180n r. 2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝n πr 2360或S ＝12lr .考点二 圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h .如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S侧＝12l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.考点三不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．聚焦12尺规作图锁定目标：锁定考点：考点一尺规作图1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法．考点二五种基本作图1．作一线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；第14 页共15 页5．作已知线段的垂直平分线．考点三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．第15 页共15 页。

考点追踪打破 17线段、角、订交线和平行线一、选择题1．把一条曲折的公路改成直道，能够缩短行程．用几何知识解说其道理正确的选项是( C) A．两点确立一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边2．如图， C， D是线段 AB 上两点， D 是线段 AC的中点，若 AB＝ 10 cm， BC＝ 4 cm，则AD的长等于 ( B )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm3．( 2016·陕西 ) 如图， AB∥ CD， AE均分∠ CAB交 CD于点 E，若∠ C＝ 50°，则∠AED＝ ( B )A．65°B．115°C．125°D．130°,第3题图),第 4题图) 4． ( 2016·十堰 ) 如图， AB∥ EF， CD⊥ EF于点 D，若∠ ABC＝ 40°，则∠ BCD＝( B ) A．140°B．130°C．120°D．110°5．( 2015·内江 ) 将一副直角三角板如图搁置，使含30°角的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠ 1 的度数为 ( A )A．75°B．65°C．45°D．30°6． ( 2016·西宁 ) 将一张长方形纸片折叠成如下图的形状，则∠ABC＝ (A )A．73°B．56°C．68°D．146°,第 6题图),第7题图)7．( 2016·威海 ) 如图，AB∥ CD，DA⊥ AC，垂足为 A，若∠ ADC＝ 35°，则∠ 1 的度数为 ( B ) A．65°B．55°C．45°D．35°8． ( 2015·金华 ) 以下四种沿AB 折叠的方法中，不必定能判断纸带两条边线a， b 相互平行的是 ( C)A．如图①，睁开后测得∠1＝∠ 2B．如图②，睁开后测得∠1＝∠ 2 且∠ 3＝∠ 4C．如图③，测得∠1＝∠ 2D．如图④，睁开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得 OA＝ OB，OC＝ OD二、填空题9． ( 2015·吉林 ) 图中是对顶角量角器，用它丈量角的原理是__对顶角相等 __．,第9题图),第10题图) 10．( 2016 ·广安 ) 如图，直线l 1∥ l 2，若∠ 1＝130°，∠ 2＝ 60°，则∠ 3＝ ___70° __．11．( 2016·绥化 ) 如图， AB∥ CD∥ EF，若∠ A＝ 30°，∠ AFC＝ 15°，则∠ C＝ __15° __．,第11题图),第12题图) 12． ( 2015·宜宾 ) 如图，直线a∥ b，∠ 1＝ 45°，∠ 2＝ 30°，则∠ P＝__75° __．13． ( 2016·衡阳 ) 如下图， 1 条直线将平面分红 2 个部分， 2 条直线最多可将平面分成 4 个部分，3 条直线最多可将平面分红7 个部分，4 条直线最多可将平面分红11 个部分．现有 n 条直线最多可将平面分红56 个部分，则n 的值为 __10__．14．( 2016 ·湖州 ) 如图①是我们常用的折叠式小刀，图②中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，此中刀片的两条边沿线可当作两条平行的线段，转动刀片刻会形成如图②所示的∠1 与∠ 2，则∠ 1 与∠ 2 的度数和是 __90__度．15．( 2016 ·菏泽 ) 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按以下方式摆放，两个三角板的向来角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个极点在纸条的另一边上，则∠ 1 的度数是 ___15° __．三、解答题16． ( 2016·厦门 ) 如图， AE 与 CD交于点 O，∠ A＝ 50°， OC＝OE，∠ C＝ 25°，求证：AB∥ CD.证明：∵ OC ＝ OE ，∴∠ E ＝∠ C ＝ 25°，∴∠ DOE ＝∠ C ＋∠ E ＝50°，∵∠ A ＝50°，∴∠ A ＝∠ DOE ，∴ AB ∥ CD17． ( 导学号： 01262027) 如图， OM 是∠ AOC 的均分线， ON 是∠ BOC 的均分线．(1) 如图①，当∠ AOB 是直角，∠ BOC ＝ 60°时，∠ MON 的度数是多少？ (2) 如图②，当∠ AOB ＝ α，∠ BOC ＝ 60°时，猜想∠ MON 与 α 的数目关系；(3) 如图③，当∠ AOB ＝ α ，∠ BOC ＝ β时，猜想∠ MON 与 α ， β有数目关系吗？假如有，指出结论并说明原因．解： (1) 如图①，∵∠ AOB ＝90°，∠ BOC ＝ 60°，∴∠ AOC ＝90°＋ 60°＝ 150°，∵ OM11均分∠ AOC ，ON 均分∠ BOC ，∴∠ MOC ＝ 2∠ AOC ＝ 75°，∠ NOC ＝ 2∠ BOC ＝ 30°∴∠MON ＝∠ MOC －∠ NOC ＝ 45°1(2) 如图②，∠ MON ＝ 2α ，原因是：∵∠ AOB ＝ α ，∠ BOC ＝ 60°，∴∠ AOC ＝ α ＋ 60°，∵OM 均分∠ AOC ，ON 均分∠ BOC ，∴∠ MOC ＝1∠ AOC ＝11∠ BOC ＝ 30°∴∠2 2α ＋ 30°， ∠ NOC ＝ 211MON ＝∠ MOC －∠ NOC ＝ ( 2α ＋ 30°) － 30°＝ 2α1(3) 如图③，∠ MON ＝ 2α ，与 β 的大小没关．原因：∵∠ AOB ＝ α ，∠ BOC ＝β ，∴∠ AOC11 ＝α ＋ β .∵ OM 是∠ AOC 的均分线，ON 是∠ BOC 的均分线， ∴∠ MOC ＝ 2∠ AOC ＝ 2( α1 1 111＋ β ) ，∠ NOC ＝∠ BOC ＝β ，∴∠ MON ＝∠ MOC －∠ NOC ＝ 2( α ＋ β ) －β ＝ 2 α ，22 21即∠ MON＝α。

中考数学知识点图形性质定理3篇提高学习效率并非一朝一夕之事,需要长期的探索和积累。

特别是图形这一块，做得多了，懂得也就多了。

前人的经验是可以借鉴的,但必须充分结合自己的特点。

下面是小编给大家带来的中考数学知识点图形性质定理，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!初中数学知识点：平行四边形1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形用符号“□ABCD，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作ABCD”。

3、平行四边形的性质：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等。

(2)平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

平行四边形的性质：主要性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

)(1)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)(2)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补(简述为“平行四边形的邻角互补”)(4)夹在两条平行线间的平行线段相等。

(5)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

(推论)(7)平行四边形的面积等于底和高的积。

(可视为矩形)(8)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

(9)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.(10)平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。

注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

专题6：函数的图像与性质一、选择题1.(2017北京第9题)小苏和小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y （单位：m ）与跑步时间t （单位：s ）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（ ）A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B ．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前15s 跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程 D ．小林在跑最后100m 的过程中，与小苏相遇2次 【答案】D. 【解析】试题分析：由图可看出小林先到终点，错误；B.全程路程一样，小林用时短，所以小林的平均速度大于小苏的平均速度，错误；C.第15 秒时，小苏距离起点较远，两人都在返回起点的过程中，据此可判断小林跑的路程大于小苏跑的路程，错误；D.由图知两条线的交点是两人相遇的点，所以是相遇了两次，正确. 故选D. 考点：函数图象2. (2017天津第10题)若点),1(1y A -，),1(2y B ，),3(3y C 在反比例函数xy 3-=的图象上，则321,,y y y的大小关系是（ ）A ．321y y y <<B ．132y y y << C. 123y y y << D ．312y y y << 【答案】B. 【解析】试题分析：把),1(1y A -，),1(2y B ，),3(3y C 分别代入xy 3-=可得，1233,3,1,y y y ==-=-即可得132y y y <<，故选B.3.(2017天津第12题)已知抛物线342+-=x x y 与x 轴相交于点B A ,（点A 在点B 左侧），顶点为M .平移该抛物线，使点M 平移后的对应点'M 落在x 轴上，点B 平移后的对应点'B 落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．122++=x x yB ．122-+=x x y C. 122+-=x x y D ．122--=x x y 【答案】A.4.(2017福建第9题)若直线1y kx k =++经过点(,3)m n +和(1,21)m n +-，且02k <<，则n 的值可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由已知可得3121(1)1n km k n k m k +=++⎧⎨-=+++⎩①②，②-①得k=n-4，又0<k<2，则有0< n-4<2，解得4< n<6，因此只有选项C 的数值是符合条件的数值，故选C. 5. （2017广东广州第10题） 0a ≠，函数a y x=与2y ax a =-+在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）【答案】D考点： 二次函数与反比例函数的图像的判断.6. （2017湖南长沙第8题）抛物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．)4,3( B ．)4,3(- C ．)4,3(- D ．)4,2( 【答案】A 【解析】试题分析：根据二次函数的顶点式y=a （x-h ）2+k 的顶点为（h ，k ），可知此函数的顶点为（3，4）. 故选：A 。

专题二图形变换图形的平移、轴对称、旋转是近年中考的热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力、探索与实践能力，因此在解题时应注意：熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法；结合具体问题大胆尝试，动手操作，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法.典例诠释1.图形变换——平移例(2014·海淀二模)在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a<b.将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A，B，D的对应点分别为点F，C，E.连接BE.(1)如图2-2-1，若D在△ABC内部，请在图①中画出△FCE；(2)在(1)的条件下，若AD⊥BE，求BE的长(用含a,b的式子表示)；(3)若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为 (用含α的式子表示).备用图①②图2-2-1【解】 (1)如图2-2-2.图2-2-2(2)如图2-2-3,连接BF.图2-2-3∵将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，∴AD∥EF,AD=EF,AB∥FC,AB=FC.∵∠ABC=90°，∴四边形ABCF为矩形.∴AC=BF.∵AD⊥BE,∴EF⊥BE.∵AD=a，AC=b，∴EF=a，BF=b.∴BE=.(3)180°－α；α.提示：当线段BE的长度最大时，点E在BF的延长线上.由题意可知△ABD≌△FCE,所以∠BAD=∠EFC.又因为∠BFC=∠BAC=α，所以BE的长度最大时，∠BAD=180°－α.当线段BE的长度最小时，点E在BF上.由题意可知△ABD≌△FCE,所以∠BAD=∠EFC.又因为∠BFC=∠BAC=α,所以BE的长度最小时，∠BAD=α.【名师点评】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、图形平移的性质.解答本题关键是要掌握图形平移后边的大小，形状不变.(1)把A，D向右平移BC的距离即可得到对应点F，E,然后连接EF，FC，EC即可；(2)易证四边形ABCF为矩形，则AC=BF.在直角△BEF中，利用勾股定理即可求解.(3)当线段BE的长度最大时，点E在BF的延长线上；当线段BE的长度最小时，点E在BF上.2.图形变换——轴对称例1 (2016·石景山一模)在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE.(1)请你在图2-2-4①中画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；(2)若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2-2-4②中探究∠ABF与∠CBE的数量关系，并证明；(3)在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<DE，请写出求cos∠FED的思路.(可．以不写出计算结果．．．．．．．．).备用图①②③图2-2-4【解】 (1)补全图形，如图2-2-5所示．图2-2-5(2)∠ABF与∠CBE的数量关系为∠ABF+∠CBE=45°．证明如下：如图2-2-6,连接BF,EF，延长DC到G，使得CG=AF，连接BG．图2-2-6∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠A=∠BCG=∠ABC=90°．∴△BAF≌△BCG．∴BF=BG，∠ABF=∠CBG．∵AF+CE=EF，∴EF=GE．∴△BEF≌△BEG．∴∠FBE=∠GBE=∠ABF+∠CBE．∴∠ABF+∠CBE=45°．(3)求解思路如下：a．设正方形的边长为3a，AF为x，则EF=x+a，DF=3a－x；b．在Rt△EFD中，由,可得,从而得到x与a的关系2x=3a；c．根据cos∠FED==，可求得结果．【名师点评】本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识，解答本题关键是利用轴对称的性质得出对应边相等.(1)根据题意直接画出图形即可；(2)方法一：连接BF，EF，延长DC到G，使得CG=AF，连接BG.可证△BAF≌△BCG，从而可证△BEF≌△BEG，可得答案；方法二：连接BF，EF，在EF上截取EH=CE，连接BH，再证明三角形全等,此题得解.(3)设正方形的边长为3a，AF为x，则可表示EF，DF；在Rt△EFD中，利用勾股定理得出x与a的关系，可求得结果.提示：要求写思路的题，要写清关键步骤.例2 (2015·怀柔一模)在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图2-2-7①；(2)若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；(3)如图2-2-7②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.①②图2-2-7【解】 (1)补全图形，如图2-2-8①所示.①②③图2-2-8(2)如图2-2-8②，连接AD.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°.∵AB=AC,∠BAC=60°，∴AD=AC,∠DAC=120°.∴ 2∠ACE+60°+60°=180°，∴∠ACE=30°.(3)线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.证明如下：连接AD，EB，如图2-2-8③.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，DE=BE，可证得∠EDA=∠EBA.∵AB=AC,AB=AD,∴AD=AC,∴∠ADE=∠ACE.∴∠ABE=∠ACE.设AC，BE交于点F,又∵∠AFB=∠CFE,∴∠BAC=∠BEC=60°,∴线段AB,CE,ED可以构成一个含60°角的三角形.【名师点评】本题主要考查了轴对称作图以及等腰三角形的性质.解答本题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质.(1)根据题意作出图形；(2)根据题意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根据AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根据三角形的内角和公式求解；(3)由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD，EB，根据对称可得∠EDA=∠EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°.3.图形变换——旋转例1 (2015·朝阳二模)数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,连接PB，那么PA,PB,PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA的延长线上(如图2-2-9①)，得到了一个猜想:.小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB,并且可推出△PBP′,△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法.这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：(1)如图2-2-9②，点P在∠ABC的内部，①PA=4，PC=2，PB= .②用等式表示PA，PB，PC之间的数量关系，并证明.(2)对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.①②图2-2-9【解】 (1)①2；②.证明如下：如图2-2-10，作∠PBP′＝∠ABC＝60°，且使BP′＝BP，连接P′C，P′P,∴∠1＝∠2.图2-2-10∵AB＝CB，∴△ABP≌△CBP′.∴PA＝P′C，∠A＝∠BCP′.在四边形ABCP中，∵∠ABC＝60°，∠APC＝30°，∴∠A＋∠BCP＝270°.∴∠BCP′＋∠BCP＝270°.∴∠PCP′＝360°－(∠BCP′＋∠BCP)＝90°.∵△PBP′是等边三角形.∴PP′＝PB.在Rt△PCP′中，,∴ .(2)点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：如图2-2-11，当点P在CB的延长线上时，结论为.(说明：答案不唯一)图2-2-11【名师点评】本题主要考查了旋转变换问题.解答本题的关键是正确作出旋转后的图形、熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性质.(1)根据结论代入即可填写；(2)根据△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA，PB，PC之间的数量关系；(3)当点P在CB的延长线上时，得出结论.(说明：答案不唯一)①②备用图图2-2-12例2 (2015·海淀一模)如图2-2-12，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，点E是对角线AC 上一点，连接DE，∠DEC=50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG=BC；(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系： .(1)【解】补全图形，如图2-2-13①所示．①②图2-2-13(2)【证法一】连接BE，如图2-2-13②．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∵∠ADC=120°,∴∠DCB=60°.∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠DCA=∠DCB=30°.∴∠EDC=180°－∠DEC－∠DCA=100°.由菱形的对称性可知，∠BEC=∠DEC=50°,∠EBC=∠EDC=100°.∴∠GEB=∠DEC+∠BEC=100°,∴∠GEB=∠CBE.∵∠GBC=50°,∴∠EBG=∠EBC－∠GBC=50°,∴∠EBG=∠BEC.在△GEB与△CBE中，∴△GEB≌△CBE,∴EG=BC.【证法二】连接BE，设BG与EC交于点H，如图2-2-13②．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∵∠ADC=120°,∴∠DCB=60°.∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠DCA=∠DCB=30°，∴∠EDC=180°－∠DEC－∠DCA=100°.由菱形的对称性可知，∠BEC=∠DEC=50°,∠EBC=∠EDC=100°.∵∠GBC=50°，∴∠EBG=∠EBC－∠GBC=50°=∠BEC．∴BH=EH．在△GEH与△CBH中，∴△GEH≌△CBH,∴EG=BC．(3)AE+BG=EG.【名师点评】本题主要考查了旋转变换问题、菱形的性质.解答本题的关键是正确作出旋转后的图形，根据题意证明三角形全等.(1)根据题意可以补全图形；(2)连接BE，根据已知条件和图形可以证明△GEB≌△CBE，得到答案.(3)根据△GEB≌△CBE，得到EC=BG，EG=BC，根据等腰三角形的性质和∠BAC=30°，求出AB,BC的关系，得到答案.真题演练1.(2016·北京)在等边△ABC中：(1)如图2-2-14①，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.①依题意将图2-2-14②补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK……请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).①②图2-2-14【解】 (1)∵AP=AQ,∴∠AQB=∠APC.而∠APC=∠B+∠BAP=60°+20°=80°,∴∠AQB=80°.(2)①补全图如图2-2-15.图2-2-15②证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.又AP=AQ,∴∠APQ=∠AQB.∵∠BAP+∠ABC=∠APQ,∠AQB=∠CAQ+∠ACB,∴∠BAP=∠CAQ.∵点Q,M关于直线AC对称,∴AQ=AM，∠CAQ=∠MAC.∴∠PAM=∠PAC+∠MAC=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°,且AP=AQ=AM,∴△APM为等边三角形.∴PA=PM.2.(2015·北京)在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.(1)若点P在线段CD上，如图2-2-16①.①依题意补全图①；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；(2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)①②图2-2-16【解】 (1)①如图2-2-17.图2-2-17②如图2-2-17，连接CH.∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ,∠HQD＝∠HDQ=45°.∵△BCQ是由△ADP平移得到的，∴DP=CQ.在△HDP与△HQC中，∵∴△HDP≌△HQC(SAS)，∴PH=CH，∠HPC=∠HCP.∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，∴∠HPC=∠DAH.∵∠HPD+∠HPC=180°,∴∠HPD+∠DAH=180°,∴∠ADP+∠AHP=360°－(∠HPD+∠DAH)=360°－180°=180°，∴∠AHP=180°－∠ADP=180°－90°=90°，∴AH=PH，AH⊥PH.(2)如图2-2-18，连接CH.图2-2-18∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形.∵△BCQ由△ADP平移得到，∴PD=QC.过点H作HR⊥PC于点R.∵QH⊥BD,∴∠BHQ=90°.∵∠AHQ=152°，∴∠AHB=∠AHQ－∠BHQ=152°－90°=62°.∵∠ABD=45°,又∠ABH+∠AHB+∠HAB=180°,∴∠HAB=180°－∠AHB－∠ABH=180°－62°－45°=73°.又∵∠DAH+∠HAB=90°,∴∠DAH=90°－∠HAB=90°－73°=17°.由(1)同理可得∠HCD=∠DAH=17°.设DP=x，则DR=HR=RQ=，∴CR=CQ+RQ=x+=.在Rt△HRC中，tan∠HCR=,即tan 17°=，即tan 17°=，∴x=.3.(2014·北京)在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图2-2-19①；(2)若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；(3)如图2-2-19②，若45°<∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明.①②图2-2-19【解】 (1)补全图形如图2-2-20所示.图2-2-20 图2-2-21(2)如图2-2-21，连接AE.∵四边形ABCD是正方形，点B和点E关于直线AP对称，∴AB=AD=AE，∠PAB=∠PAE.∵∠PAB=20°,∴∠EAD=∠BAD+∠BAE=90°+40°=130°.∵AD=AE，∴∠ADF==25°..证明如下：如图2-2-22，作点D关于直线AP的对称点D′，连接FD′，AD′，ED′,图2-2-22设∠PAB=α，则∠EAD=360°－2α－90°=270°－2α.由轴对称可知△D′AF≌△DAF，∴AD=AD′，D′F=DF,∠DAF=∠D′AF=90°－α，∴AE=AD′.∵AB=AD=AE,∴∠ADE==α－45°.∴∠EFA=∠ADE+∠DAF=45°.∴∠DFD′=2∠EFA=90°，∴DF⊥D′F.∵∠EAD′=180°－∠EAP－∠D′AF=90°,∴△EAD′是等腰直角三角形，∴ .在Rt△EFD′中，.∵AE=AB,D′F=DF,∴ .4.(2016·海淀二模)已知：AB=BC，∠ABC=90°.将线段AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段AD.点C关于直线BD的对称点为E，连接AE，CE.(1)如图2-2-23.①补全图形；②求∠AEC的度数；图2-2-23(2)若AE=，CE=－1，请写出求α度数的思路.(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)【解】 (1)①补全图形，如图2-2-24所示．图2-2-24②如图2-2-24，连接BE.∵AB=BC，EC关于直线BD对称，∴AB=BC=BE．∴∠BCE=∠BEC，∠BAE=∠BEA．∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEC+∠BCE=270°．∴∠AEC=135°．(2)求解思路如下：a．如图2-2-25,连接AC，过点A作AF⊥CE，交CE的延长线于点F；b．由(1)可求∠AEC=135°，由AE=可求AF=EF=1；c．由CE=－1，可求AC=2,AB=BC=，可证△ABE为等边三角形；d．由C,E两点关于直线BD对称，AB=AD，可求∠EBD=15°，∠ABD=75°，α=30°.图2-2-25。