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河南农大：高等数学PPT课件-第二讲 微积分基本公式

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高等数学课件：chap3_2 微积分学基本定理与基本公式

高等数学课件：chap3_2 微积分学基本定理与基本公式

f (x)
sin x
c os x
0 x
2
x
,
2 求
0 f (x) dx
2
解 :
f (x)dx
2 sin xdx cos xdx
0
0
2
cos x 2
sin
x
11 0
0
2
例 8 求由y ( x 1)3 , x 0, x 3及x轴所围成的图形的 面积A.
解 : A 01( x 1)3 dx 13( x 1)3 dx
1 ( x 1)4 1 1 ( x 1)4 3
4
04
1
1 1 (16 0 ) 17
44
4
三.不定积分的概念与基本公式
定义2 f (x)在区间 I上的全体原函数记为
f (x)dx
称之为f (x)在I上的不定积分
其中 - - - -积分号;
f (x) - - - -被积函数;
f (x)dx - - - -被积表达式 ; x - - - -积分变量.
第2节 微积分学基本定理与基本公式
一.变 上 限 的 定 积 分
x
(x) a f (t) dt
x [a, b]
定理 １ 设 f ( x) Ca,b，则( x) 在 [a, b] 上可导，且
( x) [ax f (t) dt ] f ( x) x a,b
证明：(
x)
(
xLeabharlann x)(x)
x
a
x
f (t)dt
解 :
d dx
(
x3
(x
x2
t)sin(t 2 )dt)
d dx
x
x3sin t 2dt

微积分讲解ppt课件

微积分讲解ppt课件

多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。

微积分ppt课件

微积分ppt课件

和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。

微积分基本公式优秀课件

微积分基本公式优秀课件

牛顿－莱布尼茨公式
例:求 2 x 2 d x 和 2 t 2 d t
1
1
例:求 y2cosx在 x [ 0 , ] 的平均值. 2
例:连续可导函数 f (x) 有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求
b f ( x)dx. a
积分上限函数的导数
利用牛顿—莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数 (注:此为非正规方式)
x
(x)a f(t)dt
就是 f (x) 在 [a , b] 上的一个原函数.即:
(x)f(x) 或 (x) f(x)dx
例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数 (x)
x
tdt
0
(x)f(x)x
原函数存在定理
x
(x )af(t)d t (x )f(x )
证:
xx
x
(xx)(x) f(t)dt f(t)dt
例:已知
f
(x)
x x2
0 x1 ,求 1 x2
2
f ( x)dx.
0
y
f (x)
O
1 2x
例:已知
x2 f (x) ex
1 x2
,求
0 x1
2
f ( x)dx.
0
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 cos x dx 0
例:求 sin x dx
2
例:求 1 x dx 0
2
例:求 2x 1 dx 0
F(x)(x)C, x[a,b]
当 x = a 得 F(a) (a)C,
牛顿－莱布尼茨公式
a
(a )af(x )d x0 F (a )C
( x ) F ( x ) C F ( x ) F ( a )

高等数学《微积分基本定理》课件

高等数学《微积分基本定理》课件
5.3 微积分基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数 5.3.2 微积分的基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数
1、 问题的提出
在变速直线运动中,) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为 T2v(t)dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
又由
～
b0
,得 c1 2
故a 1
例4.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
证:
x
x
f (x)0
f (t)dt
x
f (x)0 t
f (t)dt
x 0
f
(t )d t
2
x
f
(
x
)
(
0
x
t
)
f (t)dt
x
0
f
(t )d t
2
0
例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
b a
f
( x)dx
F
(
x
)
b a
F (b)
F (a)
★ 微积分基本定理
牛顿——莱布尼兹公式
b
a f ( x)dx
f ( )(b a) F ( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
通常把这一公式又叫微积分基本定理
例1 求
2 (2cos x sin x 1)dx.
所以f ( x)在[a, b]上连续
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f

微积分基本定理PPT课件

微积分基本定理PPT课件

前提条件：f(x)在[a,b]连续
（1）
f x dx 存在；
b a
（2）f(x)存在原函数.

x
a
f(t)dt 是它的原函数
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a,b]上 的定积分等于它的任意一个原函数在区 间[a,b]上的增量，求定积分问题转化 为求原函数的问题. 注意：当a>b时， b f (x)dx F(b) F(a) a 成立.
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学重难点
重点
直观了解微积分定理的基本含 义, 能利用定理计算简单的定积分.
难点
微积分基本定理的推导过程.
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体
的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可
知，它在任意时刻t的速度 v t = y' .设 t
这个物体在时间段[a,b]内的位移为s， 你能分别用y(t),v(t)表示s吗？
导数 是刻画函数变化快慢程度的 一个一般概念，由于变量和函数在自然 界和社会中有着几乎无处不在的实际背 景，所以它是高等学校许多专业的一门 重要基础课. 定积分 的最本质思想：在每个局 部小范围内“以直代曲”，“以不变代 变”和逼近的思想，这也是应用定积分 解决实际问题的思想方法.
新课导入
学习微积分，数学和思维水平都 将进入一个新的阶段，能切实地训练学 生的辨证思维.毫不夸张地说，不学或未 学懂微积分，思维难以达到较高的水平， 难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本 定理，我们就能轻松解决首页的问题.

定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】

定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t

f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt

d dx

a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t

f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x

h) h
(x)

1
o
x
0
例6
设
f
(x)

2x 5
0 1

x x

1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx

2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1

微积分的基本公式PPT幻灯片课件

微积分的基本公式PPT幻灯片课件

一个原函数, 则
b a
f
(x)d x

F ( x)
b a

F (b)
于是
0 | F(x) | |
x x
f (t)dt |
xx
| f (t) | dt Mx
x
x
由夹逼定理及点 x 的任意性, 即可得 F (x) C([a,b]) .
7
定理1说明: 定义在区间[a,b] 上的 积分上限函数是连续的.
积分上限函数是否可导?
8
由 F(x x) F(x)
xx
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
x0
推论2 基本初等函数在其定义域内原函数存在.
推论3 初等函数在其有定义的区间内原函数存在.
17
2. 微积分基本公式
如果 f (x) C([a,b]), 则
x
f (t)dt
为 f (x) 在[a,b] 上
a
的一个原函数.
若已知 F (x) 为 f (x) 的原函数, 则有
x
a f (t)dt F (x) C0.
( x)
F(x) ( a f (t)dt ) f ((x)) (x) .
14
例3
e1 t2 d t
计算 lim x0
cos x
x2
.
解
e1 t2 d t
cos x et2 d t

微积分讲解ppt课件

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3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为

x 1

1

x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)

1 x
dx

ln
x

C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数

大学微积分课件幻灯片版

大学微积分课件幻灯片版

不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性 、常数倍性质和积分与微分互逆 性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函 数、对数函数等基本初等函数的 不定积分公式，以及分部积分法 、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划 分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的 形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为 可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一 确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实 数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割 及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。

《高等数学微积分》课件

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实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。

微积分第二版课件第二节微积分基本公式

微积分第二版课件第二节微积分基本公式

y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合， 由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函 数的连续性，有

高等数学课件D5_2微积分基本公式 牛莱公式 18页PPT文档

高等数学课件D5_2微积分基本公式 牛莱公式 18页PPT文档

二、积分上限的函数及其导数
定理2. 若 f (x) C[a, b] , 则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数 .
y f (x)
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x

h) h
t

d dx

a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t

f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 et2 d t
例1. 求 lim cos x
0
x0
x2
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a) ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证:
根据定理 2,
x
a
f
( x) dx
是
f
( x) 的一个原函数
,
故
x
F(x) a f (x)dx C
令 x a, 得C F(a), 因此
x
a
f
(x)
dx

F ( x)

F
(a)
再令 x b, 得
x0
2x
2e
例3. 设 f (x)在[0, )内连续,且 f (x) 0, 证明
x
F
(x)
0
t
f
(t)
d
t
x
0
f
(t)

高等数学微分基本公式-PPT精选文档

高等数学微分基本公式-PPT精选文档
当 x b时， F dt ( b ) f( t ) F ( a ) 故有： f x ) d x F ( b ) F ( a ). (
a b

x
a

b

x
a
a
牛顿—莱布尼茨公式
14
b b dx x ) F ( b ) F ( a ) F (x ) F( x) a f(
x
d 2 cos x. F(x) costd t d x
x 2 0
x
( x). F d t, 求 ( x ) cos( 2 t 1 ) 例3 已知 F x


x cos( 2 t 1 ) d t ( x ) cos( 2 t 1 ) d t 解F x
1
x3 1
f (t )dt =x,
2 3 3 x f ( x 1 ) 1 , 解 对所给条件两边关于x求导得， 1 令 x 2, 得 f (7 ) 12 . d 0 2 95年考研题 x cos t d t . 例9 计算 dx x2 2 0 x 2 2 x c o s td t x c o s td t , 解 2 x 0 x2 d d 0 2 2 t) 2 xc o st d t (x cost d 0 d x d x x
cos( 2 x 1 ).
6
(x ) si t n d t,求 F(x) 例4 已知F 3
( u ) sin t d t, 则F 解 令 2x u， 3
u
u
2 x
( sin t d t ) ( 2 x ) F(x) F (u )u u x x 3
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证
f ( x ) ( x ) ( t ) dt 又 也 是 的 一 个 原 函 数 , f
a x
F ( x ) f ( x ) 已 知 是 的 一 个 原 函 数 ，
x [ a ,b ]令 F ( x ) ( x ) C ,
a
x a F ( a ) ( a ) C ,
第二讲 微积分基本公式
• 内容提要
1. 变上限的定积分；
2.牛顿－莱布尼兹公式 。
• 教学要求
1.理解作为变上限的函数的定积分及求导方法； 2.熟悉牛顿－莱布尼兹公式 。
一、变上限的定积分
v ( t)， 则在 时间间隔 设物体作直线运动， 其速度 v
v(t )dt [T 1,T 2]内所经过的路程为 T
f( t) dt
由定积分中值定理， [ x , x x ], 至少存在一点 使得 x x ) f ( t ) dt f( ) x f( x x ( x ) f ( x ). lim lim f( ) lim ) f( ) f(x x 0 x 0 x x
(e2x e) 2 e2x
2 x f(x )2 2 e e2x 即f (x)
2 cos tdt 0 lim 例3 求极限 x0 x
x
0 （ 型） 0
x
解
2 cos tdt ( cos tdt ) lim 0 lim 0 x 0 x0 x x
x
2
lim cosx 1
d x f ( t ) dt f ( x ) a dx x 2 例 1 . 计算 ( x ) sin t dt 在 x 0 处的导
0
d x 2 2 x 解 (x) sin t dtsin 0 dx
2 0 0 (0) sin
练习
1 .求 ( x ) 2
( x ) t ) dt . 记为 f(
a
x
y
y f( x )
x [ a ,b ]
o a
x x xb x
(x)
则变上限定积分 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 定理1 如果函数
( x ) f ( t ) dt在 [ a , b ] 上可导， a
b
牛顿（1642. 12. 25—1727. 3. 20）生平简介
牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。 牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3 磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头 脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。 牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础，被益为“有史以来 最伟大的科学家”。在60 多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本 ，其中科学著作6本，年代学2本，宗教著作4本。作为数学家，牛 顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何， 有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面， 都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在从世界开始到牛顿 生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。” 牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁的法国大文 豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样 隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是：“他是人类的真正骄 傲，让我们为之欢呼吧！”
b a
在解决这个问题之前，先讨论原函数存在问题.
当 x 取 [a,b ] 上任一定值时 , 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,
f( t) dt 有唯一确定值与 x 对应 , 因此 f( t) dt 在 a a
x
x
[ a ,b ] 上确定了一个 x 的函数 .
称它为变上限定积分所确定的函数, (变上限定积分)
x
证
dx 且 ( x ) f( t ) dt f(x ) a dx x x x f( t) dt f (t) dt ( x x ) ( x ) a
a
a
x x
dt f( t) dt x f (t) x
a
x x
F ( x ) ( x ) F ( a ) . 0 C F ( a ) . ( a ) f ( t ) dt a
即 f (t) dt 故 f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) F ( b ) Fb ) F ( a ) 再令 x ( b ) F ( b ) F ( a )
1
T2
若已知路程函数 s(t ) , 则在 时间间隔 [T 1,T 2 ]内经过 的路程也可表示为 s ( T ) s ( T ) 2 1
( t ) dt s ( T ) s ( T ). 其中 s ( t ) v ( t ). 2 1 v
T 1 T 2
? ( x ) f ( x ) f 一般地，若 F ( x ) dx F ( b ) F ( a )
2 x 0
练习
x t2 e dt 0 求极限 lim 2 x 0

x
0 （ 型） 0
( 解 原式 lim
x0
x t 2 e dt ) 0 2
( x )
e lim x0 2 x
x2
二、牛顿—莱布尼兹公式
牛顿：英国数学家 莱布尼兹： 德国数学家
F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上 定理2 如果 b f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 任一原函数 ， 则 a
ln t x t
dt 的导数
d 解 dx
ln x d xln t ( dt ) 2 x dx t
2 x 例 2 已知 f ( t ) dt e e ，求 f ( x ). x
a
解
d d a x f( t) dt ) (x f (t)dt ) ( a dx dx
d x f ( x ) ( f ( t ) dt ) dxa