微分中值定理与导数的应用(1)

在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
则由费马引理得 f ( ) 0 . 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, y
A
x
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拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则
y f ( x0 x)x
(0 1)
则

推论: 若函数 在区间 I 上满足
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
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1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 4 . _____
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
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2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
y
1
o
1
x y
o 1 x x 2) 通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点）.
1
o
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有且仅有一个小于1 的 例1. 证明方程 正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) x 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
f (b) f (a) 弦 AB 的斜率为 , F (b) F (a) f ( ) dY 而在点 x 处, dX F ( )
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证
f (b) f (a ) j( x ) f ( x ) f (a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) j( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
f ( ) sin f ( ) cos .
xБайду номын сангаас
分析: 要证 即 f ( x ) sin x
0
证明 设 F ( x ) f ( x ) sin x 容易验证证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件. 由罗尔定理定理得.至少存在一个, 使得 即
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
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例5. 设
至少存在一点 证: 结论可变形为 使
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一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y
o
x0
x
0 0
证毕
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罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 则至少存在一点 •几何意义
f (b) f (a ) f ( ) . 使 F (b) F (a ) F ( )
在曲线弧AB上至少有 一点C ( F ( ), f ( )), 在 该点处的切线平行于 弦AB.
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 j() 0. f (b) f (a ) 即 f ( ) F ( ) 0, F (b) F (a )
f (b) f (a ) f ( ) . F ( b ) F ( a ) F ( )
当 F ( x ) x,
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x ln(1 x) x ( x 0) . 例4. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
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三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
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例3. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
F ( ) 0 f ( ) sin f ( ) cos 0 .
f ( ) sin f ( ) cos .
从而
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二、拉格朗日中值定理
•观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不 相等 问题： 直线AB的斜率k=? f (x)? 提示： 直线AB的斜率
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
(3) 证明有关中值问题的结论
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思考与练习
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第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 微分中值定理 洛必达法则 泰勒公式 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的极值与最大值最小值 函数图形的描绘 曲率
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第一节
微分中值定理
罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理
相差f(a)=f(b)
M
B
弦AB方程为 A f (b) f (a ) 2b y f (a ) ( x a ). o a 1 x ba 几何解释：在曲线弧AB上 曲线 f ( x ) 减去弦 AB, 所得曲线在a，b两端点 函数值相等。
至少有一点C，在该点处的 切线平行于弦
N
D
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
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例2. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存 在一点 ( 0 , ) , 使
x
0
作辅助函数 F ( x) e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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作业：p-132 习题3-1
4 , 7 , 8, 10, 11(1) , 12
x
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二、拉格朗日中值定理 y 满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
C
M N
y f ( x)
B
D
则至少存在一点 a 1 x 2b o f (b) f (a ) f ( ) . ba f (b) f (a) (xa) 证明 令 j(x)f (x)f (a) ba 则函数j(x)在区间[a, b]上满足罗尔定理的条件, 于是至少存在一点(a, b), 使j ()0, 即 f (b) f (a) j ()f () ba 由此得 f(b)f(a)f ()(ba)
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
F (1 ) 0 F (0) 1
即
F ( )
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
f (b) f (a) k , ba f (b) f (a) f () ba
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二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) f (a ) 则至少存在一点 使 f ( ) . ba y 证 分析:条件与罗尔定理 C y f ( x)