2017-2018年宁波市高三十校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 参考公式:柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高．锥体的体积公式13V sh =其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高．台体的体积公式()1213V h s s =,其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高． 球的表面积公式24S R π=． 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径．第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.条件:p 2450x x --<是条件2:650q x x ++>的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分又非必要条件2.已知直线m 和平面α、β，则下列结论一定成立的是 A.若α//m ，βα//，则β//m B.若α⊥m ，βα⊥，则β//m C.若α//m ，βα⊥，则β⊥m D.若α⊥m ，βα//，则β⊥m3.已知等差数列{}n a 的公差为2,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为25,则这个数列的项数为A.10B.20C.30D.40 4.直线0y +-=截圆422=+y x 所得劣弧所对的圆心角的大小为A.6π B.4π C.3π D.2π5．双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+有且仅有一个公共点,则双曲线的离心率为A.B.2C.5D.546．设两个向量22(2,cos )a λλα=+- 和,sin 2m b m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中m λα，，为实数, 若2a b =，则λ的取值范围是A.3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．设ABC∆的内角,,A B C所对的边,,a b c成等比数列,则sin cos tan sin cos tan A A CB B C+⋅+⋅的取值范围是A.()0,+∞B.⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.⎛ ⎝⎭D.⎝⎭8.已知函数()()()log 1,1121,13a x x f x f x a x +-<<⎧⎪=⎨-+-<<⎪⎩(0,1)a a >≠,若12x x ≠,且()()12f x f x =,则12x x +与2的大小关系是A.恒大于2B.恒小于2C.恒等于2D.与a 相关.非选择题部分(共110分)二、 填空题: 本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．9.全集U R =,{}|21A x x =-≤≤，{}|13B x x =-≤≤, 则A B =______ ,()U B A = ð_________.10．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于_______，全面积为_________. 11.若()2,02,xx f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,则()()1f f -=_____ ,()()1f f x ≥的解集为_____.12．已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y满足0200y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩,则满足条件点P 所形成的平面区域的面积为_____,||OA OP OA ⋅的最大值是 __.13．设P 为椭圆221169x y +=上的点,12,F F 为其左、右焦点,且12PF F ∆的面积为6,则21PF PF ⋅=______.14.设二次函数()24f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，且()14f ≤， 则2244a cu c a =+++的取值范围是____________. 15．设()f x 是周期为4的周期函数，且当(]1,3x ∈-时，()1112,13x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩,若函数()()3g x f x x =-有且仅有五个零点，则正实数m 的取值范围是______.三、解答题: 本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.16．(本小题满分15分)已知ABC △的面积为3，且满足60≤∙≤，设AB和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．(本小题满分15分)如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在线段AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面ABC 所成角为060， 求二面角1A AB C --的平面角的余弦值． 18．(本小题满分15分)已知动点(),P x y 到直线:2l x =-的距离是它到定点()1,0F -的距离(I)求动点P 的轨迹C 的方程；(II)过()1,0F -作与x 轴垂直的直线与轨迹C 在第三象限的交点为Q ，过()1,0F -的动直线与轨迹C 相交于不同的两点,A B ，与直线l 相交于点M ，记直线,,QA QB QM 的斜率依次为123,,k k k ，试证明：123k k k +为定值．19.(本小题满分15分)已知数列{}n a 满足11a =，点()1,n n a a +在直线21y x =+上．数列{}n b 满足11b a =,121111()n n n b a a a a -=+++ （2n ≥且*n N ∈）． (I)(i)求{}n a 的通项公式 ;(ii) 证明111nnn n b a b a +++=（2n ≥且*n N ∈）；(II)求证：12111101113n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 20. (本小题满分14分)设二次函数()()2y f x ax bx c a b c ==++>>，()10f =，且存在实数m 使得()f m a =-.(I)求证：(i)0b ≥ ； (ii) ()30f m +>;(II) 函数()()y g x f x bx ==+的图象与x 轴的两个交点间的距离记为d ，求d 的取值范围．命题：北仑中学 吴文尧 审题：奉化中学 范璐婵2017-2018年宁波市高三“十校联考”数学(理科)试题参考答案一．选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADACAADA二、填空题：本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分9. (1)A B = []2,3- (2)()U B C A = ()[),21,-∞--+∞10. (1)83, (2)2(3 11.(1)12,(2)([),4,-∞+∞12. (1), (2)13.514.1724u ≤≤15.m << 三、解答题: 本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．16.（I ）因为60≤∙≤AC AB ，所以0||||cos 6AB AC θ≤⋅≤，------2分又因为1sin 32ABC S AB AC θ∆=⋅= ，所以6sin AB AC θ⋅=，----------5分所以6cos 06sin θθ≤≤，即cos 01sin θθ≤≤，由于0θπ≤≤，所以42ππθ≤≤．---7分（II ）2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭πsin 21θθ=+2sin(2)13πθ=-+----------------1１分 由42ππθ≤≤可知：22633πππθ≤-≤，所以232ππθ-=，即512πθ=时，()max 3f θ=------------13分236ππθ-=，即4πθ=时，()min 2f θ=．----------15分．平17.（I ）证明：因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊂面1A AC ，所以二面角1A AC B --为直二面角，BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11ACC A ，----------2分所以1BC AC ⊥，平行四边形11ACC A 中，12AC CC ==，所以11ACC A 为菱形，所以11AC AC ⊥，------4分 所以1AC ⊥平面1CBA ，----------6分 而1A B ⊂平面1CBA ，所以11AC A B ⊥．------------7分 （II ）（解法一）由于1A D ⊥平面ABC ，所以1A AD ∠即为直线1AA 与平面ABC 所成的角，故1A AD ∠=060，------------------9分作DK AB ⊥于K ，连结1A K ，则1A K AB ⊥，所以1A KD ∠即为二面角1A AB C --的平面角，-------------------------------11分1Rt A AD ∆中，011sin60A D A A ==分 Rt AKD ∆中，sinDK AD CAB =∠=分1Rt A KD ∆中，111tan A DA KD D DK∠===，---------14分所以11cos 4A KD ∠=即二面角1A AB C --的平面角的余弦值为14-------------15分（解法二）由于1A D ⊥平面ABC ， 所以1A AD ∠即为直线1AA 与平面ABC 所成的角，故1A AD ∠=060，1AD DC ==，1DA -----------------9分在平面ABC 内，过点D 作AC 的垂线Dy ，则1,,Dy DA DA 两两垂直，建立空间直角坐标系如图，则()1,0,0A ，()1,1,0B -，(1A --------11分所以()2,1,0AB =-，(1AA =- ，平面1A AB 的一个法向量为)m =平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =-------13分1cos ,4m n m n m n ⋅==---------------------14分即二面角1A AB C --的平面角的余弦值为14-------------15分18.(I)作PN ⊥直线l 于N，则由题意可知：PN ，---------1分 由于2PN x =+，PF =-------------------------------3分所以2x +=点P的轨迹C的方程为：2212x y +=---6分(II)易得1,Q ⎛- ⎝⎭， （1） 当动直线AB 的斜率0k =时，())(),,2,0A BM -此时11k =-，21k =3k =，此时，1232.k k k +=-------------------8分（2） 当动直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为1,x ty =-（其中1tk =）令2x =-得，1y t=-，所以12,M t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以312k t=---------10分设()()1122,,,A x y B x y ，则111x ty =-，221x ty =-11121y k x +=+111112y ty t y +==，2211k ty =+所以1212211()k k ty y +=++-----------------12分把1,x ty =-代入方程2212x y +=可得：()222210t y ty +--=所以1222,2t y y t +=+1221,2y y t -⋅=+所以12112t y y +=-------------14分 所以1212211()k k t y y +=+2t=，所以1232.k k k +=成立．--------15分19.(I)因为点()1,n n a a +在直线21y x =+上，所以121n n a a +=+， 所以112(1)n n a a ++=+，所以()111212n n n a a -+=+= 所以21n n a =-----------------------4分 (II)因为121111()n n n b a a a a -=+++ 所以121111nnn b a a a a -=+++ ，111211111n n n nb a a a a a ++-=++++ ，所以有1111n n nn nn nb b b a a a a +++=+=，所以111nnn n b a b a +++=成立．-----8分（III ）由(I) 、(II)可知，111b a ==，223b a ==，2n ≥时，111n n n n ba b a +++=12111111n n T b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3121231111n n b b b b b b b b ++++=⋅⋅ 3121123411111n n n b b b b b b b b b b ++++++=⋅⋅⋅ 3121123411n n n a a b a b b b a a a +++=⋅⋅⋅ 112121(1)n n b b a b b a +++=⋅112n n b a ++=⋅12111112()n na a a a -=++++ -------------10分 又因为1211111n n a a a a -++++= 1111132121n n -++++-- 所以1121k k a =-()1121(21)21k k k ++-=--()112(21)21k k k ++<--()11(21)(21)2(21)21k k k k ++---=⋅-- 1112()2121k k +=---（其中2,3,4,,k n = ）---------------13分 所以121111112n n n T a a a a -=++++2334111111112212121212121n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 211125*********n +⎛⎫<+-<+= ⎪--⎝⎭所以有12111101113n n T b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立．-------------15分．20.(I) （i ）因为()10f a b c =++=，且a b c >>，所以0,0a c ><，且a c b +=-，因为存在实数m 使得()f m a =-，即存在实数,m 使20am bm c a +++=成立，所以()240b a a c ∆=-+≥，即()2440b ab b a b +=+≥---------2分 因为4330a b a a b a c +=++=->，所以0b ≥．-------------------4分（ii ）由题意可知()0f x =的两根为1,c a， 所以可设()()1c f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a >，0c a<，---------５分 因为()f m a =-，所以()1c a m m a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即()110c m m a ⎛⎫--=-< ⎪⎝⎭所以必有1c m a<<，-------------------------６分 由于0a c b +=-≤，0,0a c ><，所以10c b a a +=-≤，即1c a ≤- 又因为a b a c >=--，所以2c a >-，所以21c a -<≤------------７分 所以33321c m a+>+>-= 所以()()310f m f +>=，即()30f m +>成立．----------８分． (II) 由(I)可知21c a -<≤-， 因为()()0y g x f x bx ==+=220ax bx c ⇔++=， ()224440b ac b ac ∆=-=->，所以函数()()y g x f x bx ==+的图象与x 轴必有两个交点，记为()()12,0,,0x x ，则12d x x =-，122,b x x a+=-12,c x x a ⋅= ()()2222112124d x x x x x x =-=+-=2244b c a a -=224()4a c c a a +--------１０分 241c c a a ⎡⎤⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦213424c a ⎡⎤⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （其中21c a -<≤-）---------１２分所以2412d ≤<，所以2d ≤<１４分．。
