中国海洋大学 《概率论》第二章-连续型随机变量及其概率密度
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连续型随机变量及其概率密度
f (x)
p l ba
l
l
1
a
ba
o
bx
分布函数
0,
x a,
F(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1
1,
x b.
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
(二) 指数分布
若连续型随机变量X 的概率密度为
1 ex
,
F
(
x
)
1
e
x
,
x 0,
0,
其他.
(4.8)
1 , 1, 2时F ( x)的图形如下
3
性质(4.9)称为无记忆性. 如果X是某一元件的 的寿命, 那么(4.9)式表明: 已知元件已使用s小时, 它总共能使用至少s t小时的条件概率, 与从开 始 使 用 时 算 起 它 至 少 能使 用t 小 时 的 概 率 相 等.这 就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆.
6当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
S1
x2 f ( x)d x
x1
1
S1
o
x1 x2
x
同时得以下计算公式
a
P{X a} F(a) f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
p l ba
l
l
1
a
ba
o
bx
分布函数
0,
x a,
F(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1
1,
x b.
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
(二) 指数分布
若连续型随机变量X 的概率密度为
1 ex
,
F
(
x
)
1
e
x
,
x 0,
0,
其他.
(4.8)
1 , 1, 2时F ( x)的图形如下
3
性质(4.9)称为无记忆性. 如果X是某一元件的 的寿命, 那么(4.9)式表明: 已知元件已使用s小时, 它总共能使用至少s t小时的条件概率, 与从开 始 使 用 时 算 起 它 至 少 能使 用t 小 时 的 概 率 相 等.这 就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆.
6当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
S1
x2 f ( x)d x
x1
1
S1
o
x1 x2
x
同时得以下计算公式
a
P{X a} F(a) f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
连续型随机变量的概率密度
解：⑴．P1 X 5 F (5) F (1)
(5 2) (1 2)
3
3
1
1 3
1 1 1
3
0.84134 0.62930 1
0.47064
⑵．PX 2 6 1 PX 2 6
1 P 6 X 2 6
x
令 u t
1
t2 x
e 2 dt
2
1
(2) (0) P( X 0) 1 2
() 1 ;() 0
引理：
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
FY
y
PY
y
P{ X
P{X y} 1
y}
y
e
t 2
2 2
dt
2
作变换
u
t
，du
dt
FY y
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
(2)若X~N(,2),
P{X x} P{ X x }
( x )
(3) 若X~N(,2),对于任意区间(x1,x2]有
P( x1
X
x2 )
P
x1
X
x2
x2
x1
【例5】 设 随 机 变 量 X ~ N 2， 9 求 ： ⑴ P1 X 5；⑵ PX 2 6；⑶ PX 0．
《概率论》第2章§4连续型随机变量及其密度函数
对于连续型随机变量，其取值充满某 一个区间，不能以列举的方式表示其 所有可能取值，因此引入密度函数的 概念。
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。
中国海洋大学 《概率论》第二章-连续型随机变量及其概率密度
故所求概率为:
P( X 2 4 0) P(X 2或X 2)
而X的密度函数为
:
p(
x)
1 5,
0,
1 x 6; 其他,
且
6
4
P( X
2)
2
p(t )dt
, P(X 5
2) 0,
因此所求概率 P( X 2 4 0) 4 . 5
2. 指数分布 若 X 的密度函数为
限. 这里，如果把概率理解为质量， p(x) 相当于线
密度.
概率论
若不计高阶无穷小，有
P{x X x x} p( x)x
表示随机变量 X 取值于 ( x, x x] 的概率近似等
于 p( x)x . p( x)x 在连续型 r .v 理论中所起的作用与
P( X xk ) pk在离散型 r .v 理论中所起的作用
Ae3xdx 1 A,
0
3
知A=3，即
3e3x , x 0; p( x)
0, x 0.
概率论
概率论
x
F( x) p(t)dt
当 x 0 时, F( x)
x
p(t)dt
x
0dt
当 x 0 时,
F(x)
ax
b,0 x 0, 其它
1,且
1
P{ X
0.5}
5/8
,则
a ____1____ b ___2_____
解：
由
p( x)dx
1, 得
2.2连续型随机变量及概率密度33页PPT
教学要求：
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
第二章第四节 连续型随机变量及其密度函数 概率论课件
ba
当x b时，
x
a
b
x
F(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0 xa
F(x)P(Xx)bx1aa
axb xb
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点 后某一位小数引入的误差，例如对小数点后 第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差 服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。
P(aXb) P(aXb)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P (X R a ) f(x )d P x (X a ) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {XR{a}}并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f(x) 310, 0 x30 0, 其它
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.
f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与 P(Xxk)pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
4. 连续型r.v取区间值的概率.
对一个连续型随机变量X，若已知其密度 函数为f(x),则根据定义，可求得其分布函 数F(x)，同时，还可以求得X的取值落在 任意区间(a,b]上的概率：
b
P(aXb)F(b)F(a)f(x)d.x
2.4 连续型随机变量及其概率密度
分布函数为
F( x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
2π
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布.
其概率密度和分布函数分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
即有
易知
(x) Φ( x)
1 et2 2 , 2π
1 ex t2 2dt .
2π
Φ( x) 1 Φ( x)
正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布, 例如测
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布
正态分布有极其广泛的实际背景, 是自然界 和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如 果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那 么这个变量一般是一个正态随机变量.
二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分 布．所以，无论在实践中，还是在理论上，正态 分布是概率论中最重要的一种分布.
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U (a,b) .
概率密度函数图形
f (x)
均匀分布概率密度函数演示
•
a
o
•
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
P{X s t X s} P{X t} .
事实上
P{X s t X s} P{(X s t) ( X s)}
P{X s}
P{X s t} 1 F(s t)
概率密度及连续型随机变量(doc 8页)
概率密度及连续型随机变量(doc 8页)部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑§3 连续型随机变量除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。
在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。
粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。
例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。
对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。
一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有{}()baP a X b f x dx <<=⎰，则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞；（２）．()()1f x dx P X +∞-∞=-∞<<+∞=⎰．这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。
性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。
对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即对于任意实数a ，有()0P X a ==．即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。
从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。
即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有{}{}{}{}()b aP a X b P a X b P a X b P a X b f x dx<<=≤<=<≤=≤≤=⎰【例1】设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为其中λ为正常数． 试 确定常数A ． 解： 由概率密度函数性质，知二．几个常用的一维连续型随机变量：1. 均匀分布：如果连续型随机变量X 的概率密度为记作[,]X U a b :．因此上述定义中的概率密度可以改为其中λ为一常数，利用概率密度的性质，易得 1b aλ=-2. 指数分布:则称X 服从指数分布（参数为λ），记为 ()X E λ:若X 服从参数为λ的指数分布，则对任意0a b ≤<，有如灯泡、电子元件的寿命，电话的通话时间等都被认为是 服从指数分布的。
连续型随机变量及其概率密度
B
A
A，B间真实距离为，测量值为X。
X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量X的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
（其中 ，为实数，>0） 则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为X～N(, 2)。
f(x)的图像为
正态分布密度函数f(x)的性质
(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即 f( +x)=f( -x)，x∈(-∞,+∞)
X～N(, 2)，p∈(0,1)，若实
数up满足P(X〉 up)=p,
p
则称up为标准正态分布的p分 位点。
O Up
x
定义 (1)标准正态分布的与下侧概率p对应的分位数up
满足条件P（X〈 up）= p，0〈 p〈1， X~N(0,1) （2）标准正态分布的与上侧概率α对应的分位数uα
满足条件P（X〉 u α ）= α，0〈 α〈1， X~N(0,1) （3）标准正态分布的与双侧概率p/2对应的分位数u p/2
解 设A—乘客候车时间超过10分钟， X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P(A) P(10 X 15) P(25 X 45) P(55 X 60) 5 20 5 1 60 2
2、正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。
P( X
x)
x
证明
x
FX (x) P( X x)
1
e dt
(
t) 2 2
2
A
A，B间真实距离为，测量值为X。
X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量X的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
（其中 ，为实数，>0） 则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为X～N(, 2)。
f(x)的图像为
正态分布密度函数f(x)的性质
(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即 f( +x)=f( -x)，x∈(-∞,+∞)
X～N(, 2)，p∈(0,1)，若实
数up满足P(X〉 up)=p,
p
则称up为标准正态分布的p分 位点。
O Up
x
定义 (1)标准正态分布的与下侧概率p对应的分位数up
满足条件P（X〈 up）= p，0〈 p〈1， X~N(0,1) （2）标准正态分布的与上侧概率α对应的分位数uα
满足条件P（X〉 u α ）= α，0〈 α〈1， X~N(0,1) （3）标准正态分布的与双侧概率p/2对应的分位数u p/2
解 设A—乘客候车时间超过10分钟， X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P(A) P(10 X 15) P(25 X 45) P(55 X 60) 5 20 5 1 60 2
2、正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。
P( X
x)
x
证明
x
FX (x) P( X x)
1
e dt
(
t) 2 2
2
中国海洋大学 《概率论》第二章-随机变量的分布函数
解
F(x) = P(X x)
X的所有可能取值为：X 0,1,2
P{ X
0}
C133 C135
22 35
P{X 1}
C123C21 C135
12 35
P{ X
2}
C113C22 C135
1 35
当 x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0
概率论
当 0 x < 1 时， F(x) = P{Xx} = P{X 0} 22
1
1 x2
B）F ( x) 1 1 arctan x
2
C） F (
x)
0.5(1
e
x
),
x0
0,
x0
D） ，其中 x
F ( x) p(t)dt
p(t )dt 1
解：由F ( x)的性质 0 F ( x) 1 F ( x) 不减
F() 0 F () 1 F( x) 右连续
以及 p(x) 0 得 B 正确
例2 设随机变量 X 的分布函数为
Fx A Barctgx x
试求常数A、B。
解： 由分布函数的性质，我们有
0 lim Fx lim A Barctgx A B
x
x
2
1 lim Fx lim A Barctgx A B
解 设 F(x) 为 X 的分布函数，
当 x < 0 时，F(x) = P(X x) = 0
当 x > a 时，F(x) =1
当 0 x a 时， P(0 X x) = kx
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
概率论与数理统计Probability and Statistics —概率论与数理统计教学组—2.4 连续型随机变量及其概率密度函数第2章随机变量及其分布学习要点常见的连续型随机变量的分布连续型随机变量及概率密度函数：；：例3 在区间(0,5)上随机取一数X ，（1）写出X 的概率密度函数和分布函数；（2）该数X 的取值不小于2的概率为多少？解（1）随机变量X 在区间(0,5)上服从均匀分布，故其概率密度函数和分布函数为1,05()50,x f x ，其他 000,()(),05551,5x x x dt x F x f x dx x x（2）随机变量X 的取值不小于2，即25521()03{2}55P X d f x dx dx x 或 23{2}1{2}1{2}1(2)155P X P X P X F ． 连续型随机变量及概率密度函数例4 设顾客在银行窗口接受服务的时间（单位：分）服从参数为0.1的指数分布. 如果某人刚好在你前面到窗口接受服务，试求你将等待（1）不超过10分钟,（2）10分钟到20分钟之间的概率.解 令X 表示顾客在银行窗口接受服务的时间，则X 的概率密度为101,0()100,0xe xf x x 101001011010001(1){10}()0()110x x P X f x dx dx e dx e e ； 202012101010101(2){1020}10x x P X e dx e e e .连续型随机变量及概率密度函数人们编制了()x的函数表，可供查用. 例如，可查(1.12)0.86864.连续型随机变量及概率密度函数例5 设随机变量X ～(3,9)N ，求：（1） {25},{36};P X P X （2）确定常数a ，使得{}{}P X a P X a .解 （1）令3~(0,1)3X Y N2335312{25}{}{}33333X P X P P Y2121()()()[1()]0.3779,3333393333{36}{9}{3}{}{}3333X X P X P X P X P P{2}{2}1(2)(2)2[1(2)]0.0456.P Y P Y(2) 由 {}{}P X a P X a ,得 1{}{}P X a P X a33131{}{},()33232X a a P X a P ，3=03a 所以，即有3a .连续型随机变量及概率密度函数例6随机变量~(0,1)X N ，求0.005z 和0.0052z ．解 0.0050.005{}1{}0.005P X z P X z ， 0.005{}0.995P X z ，即 0.005()0.995z ， 查表可得， 0.005 2.575z . 另外 0.0050.00252z z ，即 0.0025()10.00250.9975z ，查表可得， 0.0025 2.81z ，也就是 0.00522.81z ．x()x 0y 0.0025z 0.005=0.002520.0025z 2连续型随机变量及概率密度函数小结连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度常见的连续型随机变量的分布Harbin Engineering University。
概率论--连续型随机变量及其概率密度
f ( x)
f ( x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
F ( x) P{ X x}
F ( x) f ( x)dx
x
导数关系
x
f ( x)dx
若f ( x)在x处连续，则F ( x) f ( x)
P(a X b) F (b) F (a) f ( x)dx
（2）密度函数为
2x 0 x 1 f ( x) F ( x) 0 otherwise
均匀分布
Uniform Distribution
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 a xb f ( x) b a 0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
5 1
1 1 dx 0 (5 1) 1 4 4
x1 0 1 F ( x ) ( x 1) 1 x 5 4 x5 1
1
0
1
5
例：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0
x
2 其它
F ( x2 ) F ( x1 ) P{x1 X x2} 0
F () lim F ( x) 0,
x
F () lim F ( x) 1
x
F () P{X } F () P{X }
不可能事件
必然事件
F(x)在 (, ) 内是左连续的，即 x0 (, ) 有
a
b
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
f ( x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
F ( x) P{ X x}
F ( x) f ( x)dx
x
导数关系
x
f ( x)dx
若f ( x)在x处连续，则F ( x) f ( x)
P(a X b) F (b) F (a) f ( x)dx
（2）密度函数为
2x 0 x 1 f ( x) F ( x) 0 otherwise
均匀分布
Uniform Distribution
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 a xb f ( x) b a 0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
5 1
1 1 dx 0 (5 1) 1 4 4
x1 0 1 F ( x ) ( x 1) 1 x 5 4 x5 1
1
0
1
5
例：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0
x
2 其它
F ( x2 ) F ( x1 ) P{x1 X x2} 0
F () lim F ( x) 0,
x
F () lim F ( x) 1
x
F () P{X } F () P{X }
不可能事件
必然事件
F(x)在 (, ) 内是左连续的，即 x0 (, ) 有
a
b
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
连续型随机变量及其概率密度函数
f ( x ) e 0
x 100
当x 0 当x 0
e
x 100 150 50
(1) 的值. (2) 50 到 150 小时 (3) 少于100小时 概率统计
0.384
1 (3) P ( X 100) 0 100e dx 1 e 0.633
100
x 100
一般称:
若 X 具有概率密度:
1 x e f ( x ) 0
x0 x0
0
则 称 X 为服从参数 的 指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数 定义: 若定义在 (, ) 上的可积函数 f ( x ) 满足： (1). f ( x ) 0
概率统计
[证 ]: 证法1
1 X xk X x k n X x k n 1
让 “交” 往 xk 方 向 “挤”
0
xk
1 P ( X xk ) lim P ( X xk ) P ( X xk ) n n 1
第四节
连续型随机变量及其概率密度
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负 函数 f(x)，使得对于任意实数 x 有:
F ( x)
x
f (t )dt ( P ( X x ))
则称 X 为连续型变量，f (x)为 X 的概率密度函数 注: ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别 离散型： P ( X x ) 0 k 连续型：P( X xk ) 0
概率统计
但要注意的是：密度函数 f (x)在某点处 a 的高度， 并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大， 则 X 取 a 附近的值的概 率就越大. 也可以说， 在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点 附近的程度.
x 100
当x 0 当x 0
e
x 100 150 50
(1) 的值. (2) 50 到 150 小时 (3) 少于100小时 概率统计
0.384
1 (3) P ( X 100) 0 100e dx 1 e 0.633
100
x 100
一般称:
若 X 具有概率密度:
1 x e f ( x ) 0
x0 x0
0
则 称 X 为服从参数 的 指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数 定义: 若定义在 (, ) 上的可积函数 f ( x ) 满足： (1). f ( x ) 0
概率统计
[证 ]: 证法1
1 X xk X x k n X x k n 1
让 “交” 往 xk 方 向 “挤”
0
xk
1 P ( X xk ) lim P ( X xk ) P ( X xk ) n n 1
第四节
连续型随机变量及其概率密度
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负 函数 f(x)，使得对于任意实数 x 有:
F ( x)
x
f (t )dt ( P ( X x ))
则称 X 为连续型变量，f (x)为 X 的概率密度函数 注: ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别 离散型： P ( X x ) 0 k 连续型：P( X xk ) 0
概率统计
但要注意的是：密度函数 f (x)在某点处 a 的高度， 并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大， 则 X 取 a 附近的值的概 率就越大. 也可以说， 在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点 附近的程度.
连续型随机变量及其概率密度
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
对于任意s, t 0, 有 P{ X s t | X s} P{ X t }. 证明
P{ X s t | X s} P{( X s t ) ( X s )} P{ X S } 1 x e dx x P{ X s t )} s t e |s t x 1 P{ X S } x e |s e dx
(３) 对 f(x)的进一步理解 若x是 f(x)的连续点，则： x x f ( t )dt P ( x X x x ) lim lim x x 0 x 0 x x =f(x) 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x, x x ] 上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
s
e ( st ) s t }
1
t
t e x dx e x | e t
于是 P{ X s t | X s} P{ X t }.
1
o
S
a
b
x
3) X落入区间［a,b］内的概率＝ 牛牛文档分 享ba
f ( x )dx
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 P{ X a } 0.
这是因为
P ( X a) lim P ( a X a x )
则称X是连续型随机变量， f ( x ) 称为X的概率密度函 数,简称概率密度. 牛牛文档分 享概率密度函数的性质
1) 2)
f ( x) 0
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所求概率为：
P{10 X 15} P{25 X 30}
1105
1 dx 30
2350
1 dx 30
1 3
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
例3 设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求 概率论 一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.
解: 因为当 X 2 4 0时, t 2 Xt 1 0有实根.
e (t s) et
s P{X s}
即产品已使用t小时，则能至少再使用s小时的概 率与从一开始至少能使用s小时的概率相等。
------无记忆性
例4
设
打
一
次
电
话
所
用
的
时间
X（
单
位
：
分
钟
）
是
概率论
以 1
10
为 参 数 的 指 数 随 机 变 量． 如 果 某 人 刚 好 在 你 前面 走 进 公
2.P{1 X 3}; 2
3.P{ X 1 1 X 3}. 0
1
2
2
概率论
2
解： 当 x 0时，Fx
x
pt dt
0
概率论
x
0
x
当0 x 1时，Fx ptdt ptdt ptdt
0
x
tdt
1 dx
l
c ba ba
2 . X的 分 布 函 数 为 ：
0,
xa
F(x)
PX
x
x b
a a
,
a xb
1
xb
概率论
由1°知均匀分布是区间上的几何概率的严格化表示。
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差；
0.5
8 28
解得： a 1, b 1 2
概率论
2 设 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 p(x) Ae x ( x ),求（1）系数 A; (2) P{0 X 1};(3) 分布函数F( x).
概率论
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
X ～ N(, 2)
概率论
1 px具有下述性质:
1 px 0 ;
2
pxdx 1 ;
x2
e 2 dx 2
ex2 dx
概率论
3 曲线 px 关于 轴对称；
P μ h X μ P μ X μ h h 0
0
1
2
x
ptdt ptdt ptdt ptdt
0
1
2
1
2
tdt 2 tdt 1
0
1
0
x2
Fx
x2
2 2x
1
2
1
x0 0 x1
1 x2 2 x
（2）
P{1
X
x
p(t )dt
0
0dt
x 3e3t dt
0
x
x0
x
x
1 e3x , x 0;
F( x) p(t)dt
0,
x 0.
例2 设随机变量X的密度函数为
x 0 x1
px 2 x 1 x 2
0
其它
试 求1.X 的 分 布 函 数 ；
ax
b,0 x 0, 其它
1,且
1
P{ X
0.5}
5/8
,则
a ____1____ b ___2_____
解：
由
p( x)dx
1, 得
1 ax
0
bdx
a 2
b
1
又P{X 0.5} 1 ax bdx 3a b 5 ,
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．
p(x)
p(x)
概率论
---位置参数：决定了图形的中心位置，
---形状参数：决定了图形中峰的陡峭程度.
应用场合
概率论
各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；
正态分布的重要性
概率论
概率密度的充要条件
p(x)
面积为1
o
x
概率论
3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2 }
p(x)
x2 p( x)dx
x1
0 x1 x2 x
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
4 若 p(x) 在点 x 处连续 , 则有
F( x) p( x)
相类似.
p (x)
概率论
oa
x
注 意：密度函数 p(x) 不是r.v.X在x点取值的概率. 但是， p(x)越大，则X取a附近的值的概率就越大， 即反映了概率集中在该点附近的程度.
请注意:
概率论
(1) 连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
PX a 0 .
PX a Fa Fa 0
由F(x)是连续函数得
PX a 0 .
由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出B=S
(2) 对连续型 r.v X , 有
概率论
P(a X b) P(a X b)
P(a X b) P(a X b)
PX G pxdx 任意区域G
F(
x)
x a
,
0 xa
1,
xa
p( x)
1 a
,
0 X a
0, 其他
F(x)
0
a
p( x)
x
F( x) p(t)dt
0a
概率论
一、 连续型随机变量及其概率密度的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 p(x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
故所求概率为:
P( X 2 4 0) P(X 2或X 2)
而X的密度函数为
:
p(
x)
1 5,
0,
1 x 6; 其他,
且
6
4
P( X
2)
2
p(t )dt
, P(X 5
2) 0,
因此所求概率 P( X 2 4 0) 4 . 5
2. 指数分布 若 X 的密度函数为
x2
0
2
x
当1 x 2时，Fx ptdt
0
12
0
1
x
பைடு நூலகம்
ptdt ptdt ptdt
0
1
1
x
tdt 2 tdt
1 x2 2x 1 2
0
1
x
当x 2时，Fx ptdt
概率论
10 10
x
e 10
20
1
2
0.2325
10
3. 正态分布
概率论
若连续型 r .v X 的概率密度为
p( x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
其中 和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为 和 2
的正态分布或高斯分布. 记作
概率论
§2.3 连续型随机变量 及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量
例子：在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 概率论
表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意
小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求
X 的分布函数.
0, x 0
4 函数 px 在 (, μ] 上单调增加,在 [μ,) 上
单调减少,在 x μ取得最大值；
p(x)
概率论
5 x = μ σ为 p(x) 的两个拐点的横坐标；
6 p(x) 以 x 轴为渐近线
p(x)
当x→ ∞时，p(x) → 0.
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
概率论
对 p(x)的进一步理解:
若 x 是 p(x) 的连续点，则
F( x x) F( x)
p( x) lim
x0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X的密度 p(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间( x, x x]上的概率与区间长度 x 之比的极
解 以7:00为起点0，以分为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )
p(
x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
概率论
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
P{10 X 15} P{25 X 30}
1105
1 dx 30
2350
1 dx 30
1 3
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
例3 设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求 概率论 一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.
解: 因为当 X 2 4 0时, t 2 Xt 1 0有实根.
e (t s) et
s P{X s}
即产品已使用t小时，则能至少再使用s小时的概 率与从一开始至少能使用s小时的概率相等。
------无记忆性
例4
设
打
一
次
电
话
所
用
的
时间
X（
单
位
：
分
钟
）
是
概率论
以 1
10
为 参 数 的 指 数 随 机 变 量． 如 果 某 人 刚 好 在 你 前面 走 进 公
2.P{1 X 3}; 2
3.P{ X 1 1 X 3}. 0
1
2
2
概率论
2
解： 当 x 0时，Fx
x
pt dt
0
概率论
x
0
x
当0 x 1时，Fx ptdt ptdt ptdt
0
x
tdt
1 dx
l
c ba ba
2 . X的 分 布 函 数 为 ：
0,
xa
F(x)
PX
x
x b
a a
,
a xb
1
xb
概率论
由1°知均匀分布是区间上的几何概率的严格化表示。
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差；
0.5
8 28
解得： a 1, b 1 2
概率论
2 设 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 p(x) Ae x ( x ),求（1）系数 A; (2) P{0 X 1};(3) 分布函数F( x).
概率论
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
X ～ N(, 2)
概率论
1 px具有下述性质:
1 px 0 ;
2
pxdx 1 ;
x2
e 2 dx 2
ex2 dx
概率论
3 曲线 px 关于 轴对称；
P μ h X μ P μ X μ h h 0
0
1
2
x
ptdt ptdt ptdt ptdt
0
1
2
1
2
tdt 2 tdt 1
0
1
0
x2
Fx
x2
2 2x
1
2
1
x0 0 x1
1 x2 2 x
（2）
P{1
X
x
p(t )dt
0
0dt
x 3e3t dt
0
x
x0
x
x
1 e3x , x 0;
F( x) p(t)dt
0,
x 0.
例2 设随机变量X的密度函数为
x 0 x1
px 2 x 1 x 2
0
其它
试 求1.X 的 分 布 函 数 ；
ax
b,0 x 0, 其它
1,且
1
P{ X
0.5}
5/8
,则
a ____1____ b ___2_____
解：
由
p( x)dx
1, 得
1 ax
0
bdx
a 2
b
1
又P{X 0.5} 1 ax bdx 3a b 5 ,
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．
p(x)
p(x)
概率论
---位置参数：决定了图形的中心位置，
---形状参数：决定了图形中峰的陡峭程度.
应用场合
概率论
各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；
正态分布的重要性
概率论
概率密度的充要条件
p(x)
面积为1
o
x
概率论
3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2 }
p(x)
x2 p( x)dx
x1
0 x1 x2 x
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
4 若 p(x) 在点 x 处连续 , 则有
F( x) p( x)
相类似.
p (x)
概率论
oa
x
注 意：密度函数 p(x) 不是r.v.X在x点取值的概率. 但是， p(x)越大，则X取a附近的值的概率就越大， 即反映了概率集中在该点附近的程度.
请注意:
概率论
(1) 连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
PX a 0 .
PX a Fa Fa 0
由F(x)是连续函数得
PX a 0 .
由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出B=S
(2) 对连续型 r.v X , 有
概率论
P(a X b) P(a X b)
P(a X b) P(a X b)
PX G pxdx 任意区域G
F(
x)
x a
,
0 xa
1,
xa
p( x)
1 a
,
0 X a
0, 其他
F(x)
0
a
p( x)
x
F( x) p(t)dt
0a
概率论
一、 连续型随机变量及其概率密度的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 p(x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
故所求概率为:
P( X 2 4 0) P(X 2或X 2)
而X的密度函数为
:
p(
x)
1 5,
0,
1 x 6; 其他,
且
6
4
P( X
2)
2
p(t )dt
, P(X 5
2) 0,
因此所求概率 P( X 2 4 0) 4 . 5
2. 指数分布 若 X 的密度函数为
x2
0
2
x
当1 x 2时，Fx ptdt
0
12
0
1
x
பைடு நூலகம்
ptdt ptdt ptdt
0
1
1
x
tdt 2 tdt
1 x2 2x 1 2
0
1
x
当x 2时，Fx ptdt
概率论
10 10
x
e 10
20
1
2
0.2325
10
3. 正态分布
概率论
若连续型 r .v X 的概率密度为
p( x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
其中 和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为 和 2
的正态分布或高斯分布. 记作
概率论
§2.3 连续型随机变量 及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量
例子：在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 概率论
表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意
小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求
X 的分布函数.
0, x 0
4 函数 px 在 (, μ] 上单调增加,在 [μ,) 上
单调减少,在 x μ取得最大值；
p(x)
概率论
5 x = μ σ为 p(x) 的两个拐点的横坐标；
6 p(x) 以 x 轴为渐近线
p(x)
当x→ ∞时，p(x) → 0.
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
概率论
对 p(x)的进一步理解:
若 x 是 p(x) 的连续点，则
F( x x) F( x)
p( x) lim
x0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X的密度 p(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间( x, x x]上的概率与区间长度 x 之比的极
解 以7:00为起点0，以分为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )
p(
x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
概率论
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，