“弦振动实验”实验报告
一、实验目的
1、观察弦振动形成的驻波并用实验确定弦振动时共振频率与实验条件的关系。
2、学习用一元线形回归和对数作图法对数据进行处理。
3、学习检查和消除系统误差的方法。
二、实验原理
一根柔软的弦线两端被拉紧时，加以初始打击之后，弦不再受外加激励，将以一定频率进行自由振动，在弦上产生驻波，自由振动的频率称为固有频率。如果对弦外加连学的周期性激励，当外激励频率与弦的固有频率相近的时候，弦上将产生稳定的较大振幅的驻波，说明弦振动系统可以吸收频率相同的外部作用的能量而产生并维持自身的振动，外加激励强迫的振动称为受迫振动。当外激励频率等于固有频率时振幅最大将出现共振，最小的固有频率称为基频。实验还发现，当外激励频率为弦基频的2倍，3倍或者其他整数倍时，弦上将形成不同的驻波，如图1所示，这种能以一系列频率与外部周期激励发生共振的情形，在宏观体系（如机械、桥梁等）和微观体系（如原子、分子）中都存在。弦振动能形成简单而典型的驻波。
弦振动的物理本质是力学的弹性振动，即弦上各质元在弹性力的作用下，沿垂直于弦的方向发生震动，形成驻波。弦振动的驻波可以这样简化分析：看作是两列频率和振幅相同而传播方向相反的行波叠加而成。在弦上，由外激励所产生的振动以波的形式沿弦传播，经固
定点反射后相干叠加形成驻波。固定点处的合位移为零，反射波有半波损失，即其相位与入射波相位相差π，在此处形成波节,如图1中的O和L两个端点所示。距波节处入射波与反射波相位相同，此处合位移最大，即振幅最大，形成波腹。相邻的波节或者波腹之间为半波长。两端固定的弦能以其固有频率的整数倍振动。因此弦振动的波长应满足：
式中L为弦长，N为正整数。因波长与频率之积为波的传播速度v，故弦振动的频率为：
由经验知，弦振动的频率不仅与波长有关，还与弦上的张力T和弦的密度ρ有关，这些关系可以用实验的方法研究。用波动方程可最终推出弦振动公式为：
三、实验装置
本实验使用的XY弦音计是代替电子音叉的新仪器。它带有驱动和接收线圈装置，提供数种不同的弦，改变弦的张力，长度和粗细，调整驱动频率，使弦发生振动，用示波器显示驱动波形和传感器接收的波形，观察波动的弦在节点处的效应，进行定量实验以验证弦上波的振动。
四、实验内容
1、定性的观察弦的震动：选用较粗弦，在弦长为60cm 下加一定的张力，用信号发生器和电磁起振器对弦进行策动，观察形成一个驻波、两个驻波以及更多驻波的情况，看看他们在频率上有什么关系，然后改变弦长和张力进行观察，看它们对振动频率有何影响，探讨弦振动的共振特征。
2、研究弦线的线密度、弦长、张力与波速的初步关系。
弦振动的频率与弦线密度、弦长、张力等诸多因素有关。试分别改变L 、T 、ρ的值，测量频率与它们的关系。分析有什么不同，为什么？
表1： 序号
弦的张
力T(N)
弦的密
度
弦长
L(cm
波速 (m/s 2)
波速 (m/s 2)
ρ(kg/m3) )
1 2Mg ρ350 116.60 110.16
2 2Mg ρ360 116.28 110.16
3 2Mg ρ550 63.40 77.36
4 2Mg ρ560 63.00 77.36
5 3Mg ρ350 140.20 134.92
6 3Mg ρ360 140.88 134.92
7 3Mg ρ550 76.30 94.75
8 3Mg ρ560 75.96 94.75
上表中：ρ3代表三号弦密度，ρ3 = 0.001615 kg/m3；ρ5代表五号弦密度，ρ3 = 0.003275 kg/m3。M = 1kg，g = 9.8 m/s2。
【计算过程示例】
以T = 2Mg，使用3号弦，弦线密度ρ3 = 0.001615 kg/m3，弦长L = 50cm 为例。时，m/s2。
时，m/s2。
相对偏差：
依次可计算出表格中各个数据的值。
【实验结论】
分析实验数据可得出，弦振动的频率与弦线密度、弦长、张力等因素有关。
当弦线密度和弦的张力保持不变时，弦振动的频率随着弦长的增大而减小。
当弦线密度和弦长不变时，弦振动的频率随着张力的增大而增大。
当弦的张力和弦长不变时，弦振动的频率随着弦线密度的增大而减小。
3、确定波的频率f与弦张力T的函数关系，求出未定系统误差T0的值。
设函数关系是，k、p为未知常数，根据实验数据用作图法或线性拟合法求常数k、p。数据表自拟。在测量前考虑T值存在一个未定系统误差T0，即不加砝码已经存在的张力。试用实验方法或者数据分析方法求出T0。
表2：
f(Hz)(L=60cm
T(N)
序号f(Hz)(L=50cm)
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
上表中，选取5号弦，弦长为50或60cm，线密度ρ= 0.003275kg/m3，M = 1kg
如下图1所示，当L = 50cm时，y = 16.579x0.4525，即k=16.579，p=0.4525。当L = 60cm时，y = 13.46x0.46，即k=13.46，p=0.46。
考虑到不加砝码已经存在张力，故存在系统误差T0。由公式可得：做出该曲线，用直线拟合，如下表3和图2所示
由图3拟合的直线可知，y = 0.6013x + 1.3288，即b = 0.6013，a = 1.3288。所以可知T0 = 1.3288N。
4、选做：确定弦振动频率(f)与弦线密度(ρ)之间的关系，表格自拟。
五、安装与操作说明（略）
六、思考题
1、为了尽快激发和测定弦振动，激励线圈和探测线圈应如何放置？答：激励线圈和探测线圈应尽量靠近弦线的中点处放置，因此处为波腹，振动位移最大，最易于激发震动和探测振动。但是也不能太靠近中间，以免弦线振动时碰到激励线圈和探测线圈。
2、如何尽快找出一定条件下弦振动的基频f0？总结一下你在实验中采用的方法。
答：将示波器的显示调整到CH2，即显示弦振动的波形，用手轻轻抬起弦，然后松手，弦振动时观察示波器显示的频率，待稳定后即为弦振动的基频f0的大致数值。然后在f0前后一定的范围内开始逐渐调节信号发生器的频率，寻找f0的准确数值。
