广东省东莞市东华高中高考数学 重点临界辅导材料(3)理 (2)

理科数学重点临界辅导材料（3）

一、选择题

1．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝

3

4

，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．±4 3 C ．－43或－4

3 3 D. 3

2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n a n ＋1的前100项和为( )

A.

100101 B.99101 C.99100 D.101100

3．直线(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0(m ∈R )与圆x 2

＋y 2

－2x －6y ＋1＝0的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0或2 D ．1或2

4.设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )

A ．f (1)与f (－1)

B ．f (－1)与f (1)

C ．f (－2)与f (2)

D ．f (2)与f (－2)

5．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3

－ax 2

－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9

6．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2

4＋y 2

＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2

在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6

2

二、填空题

7．已知集合A ＝{x |12

<2x

<8，x ∈R }，B ＝{x |－1

x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．

8．命题“∃x ∈R,2x 2

－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．

9．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 10．已知(x ＋a x

)6(a >0)的展开式中常数项为240，则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2

项的系数为________． 三、解答题

11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2

A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；

(2)当AB →＝p m ，AC →

＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．

12．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．

13．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，且a n＋1＝a n＋2a n－1(n≥2)．

(1)设b n＝a n＋1＋λa n，是否存在实数λ，使数列{b n}为等比数列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；

(2)在(1)的条件下，求数列{a n}的前n项和S n.

参考答案

1．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3

4

，则a 的值为( ) A ．4 3

B ．±4 3

C ．－43或－4

3 3

D. 3

答案 C

解析 依题意可知角α的终边在第三象限， 点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34

， 得

－4a a 2

＋16＝34

，即3a 2

＋16a ＋163＝0，

解得a ＝－43或－4

3

3，故选C.

2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n a n ＋1的前100项和为( )

A.

100101 B.99101 C.99100 D.101100

答案 A

解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .

∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩

⎪⎨⎪

⎧

a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)

2d ＝15，

∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝1，d ＝1，

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .

∴

1

a n a n ＋1

＝

1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

，

∴数列⎩⎨

⎧

⎭

⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.

3．直线(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0(m ∈R )与圆x 2

＋y 2

－2x －6y ＋1＝0的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 答案 B

解析 将含参直线方程分离变量可得m (3x －2y ＋8)＋x ＋3y －12＝0，

不论m 取何值，直线恒过两直线⎩⎪⎨

⎪

⎧

3x －2y ＋8＝0，x ＋3y －12＝0

的交点A (0,4)，

又易知定点A 在圆内，故直线必与圆恒相交，故选B.

4.设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (－2)与f (2) D ．f (2)与f (－2)

答案 C

解析 由图象知f ′(2)＝f ′(－2)＝0. ∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0， ∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；

同理，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减， ∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C.

5．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3

－ax 2

－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )