高考数学一轮复习第二篇函数及其应用()第2节函数的单调性与最值习题理(含解析)

第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第二节 函数的单调性与最值A 级·基础过关 |固根基|1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上是增函数． 2．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f(x)＝2x －3在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x ＝－1a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 所以0≤2x－1<13，解得12≤x<23.4．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f(－3)>f(－2)B ．f (π)>f(－2)>f(－3)C ．f (π)<f(－3)<f(－2)D ．f (π)<f(－2)<f(－3) 解析：选A 因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．5．函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象，知f(x)在(－∞，0)和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．又因为当0<a<1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(log a x)单调递减，则需log a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即0≤log a x ≤12，解得x∈[a ，1]．6．定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2； 当1<x≤2时，f(x)＝x 3－2.因为f(x)＝x 3－2，f(x)＝x －2在定义域内都为增函数，且f(1)<f(2)， 所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x≤0；当x<1时，0<2x<2，故f(x)的值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．函数f(x)＝x ＋2x －1 的值域为________． 解析：由2x －1≥0，得x≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 又函数f(x)＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)． (1)若a ＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 当a ＝－2时，f(x 1)－f(x 2)＝ x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a 的取值范围是(0，1]．10．(2019届福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)的值；(2)用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(3x －1)>2的x 的取值集合．解：(1)由f(a)＋f(b)＝f(ab)，得f(1)＋f(1)＝f(1)，则f(1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f(x 2)，所以f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. 由x 2x 1>1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(3)∵f(2)＝－1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2，又f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f(1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2.又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x<512. 故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512.B 级·素养提升 |练能力|11.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)＝a x在R 上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A ．12．已知在函数f(x)＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a>1>b>0，且a ＝b ＋1，那么f(x)>1的解集为( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，10)D ．(10，＋∞) 解析：选B 由a x－b x>0，a>1>b>0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a>1>b>0，所以y ＝a x单调递增，y ＝－b x单调递增，所以t ＝a x－b x单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f(x)＝lg(a x－b x)＋x 为(0，＋∞)上的增函数．而f(1)＝lg(a －b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以当x>1时，f(x)>1，故f(x)>1的解集为(1，＋∞)．故选B ．13．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D 因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x≥1时，f （x ）x ＝12x ＋32x －1，令g(x)＝12x ＋32x －1(x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0，得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．故选D ． 14．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy≥0，y ，xy<0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知，得f(x)＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x≤2，2x －x 2，x<0或x>2，易知函数f(x)的最大值为4. 答案：4。

第二节函数的单调性与最值命题分析预测学科核心素养从近五年的情况来看，本节是高考的热点，常考查求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式等，题型有选择题、填空题，也有解答题，多在第（1）问中考查，难度中等.本节通过函数的单调性、奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、分类讨论思想以及考生的逻辑推理和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第14页知识点一函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间.二级结论•温馨提醒•函数单调性的常用结论（1）若f（x），g（x）均为区间A上的增（减）函数，则f（x）＋g（x）也是区间A上的增（减）函数.（2）若k＞0，则kf（x）与f（x）的单调性相同，若k＜0，则kf（x）与f（x）的单调性相反.（3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）与y＝－f（x），y＝1f（x）在公共定义域内的单调性相反.必明易错1.若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f（x）在区间（－1，0）上是减函数，在（0，1）上是减函数，但在（－1，0）∪（0，1）上却不一定是减函数.2.两函数f（x），g（x）在x∈（a，b）上都是增（减）函数，则f（x）＋g（x）也为增（减）函数，但f（x）·g（x），1f（x）等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.3.易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.1.函数y＝x2－6x－6在区间〖2，4〗上是（）A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增函数D.先递增再递减函数〖解析〗函数y＝x2－6x－6的对称轴为直线x＝3，且抛物线开口向上，所以函数在〖2，3〗上为减函数，在〖3，4〗上为增函数.〖答案〗C2.函数y＝log12（x2－2x）的单调递减区间是（）A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.（2，＋∞）D.（－∞，0）〖解析〗因为函数的定义域是（－∞，0）∪（2，＋∞），令g（x）＝x2－2x，由复合函数的单调性可知，原函数的递减区间即为函数g（x）的递增区间，也即为（2，＋∞）.〖答案〗C知识点二函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件（1）对于任意x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x∈I，使得f（x）＝M（1）对于任意x∈I，都有f（x）≥M；（2）存在x∈I，使得f（x）＝M结论M为最大值M为最小值1.已知函数f （x ）＝2x －1，x ∈〖2，6〗，则f （x ）的最大值为 ，最小值为__________.〖解 析〗可判断函数f （x ）＝2x －1在〖2，6〗上为减函数，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （6）＝25. 〖答 案〗2 252.（2021·龙岩模拟）函数f （x ）＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2（x ＋4）在区间〖－2，2〗上的最大值为__________. 〖解 析〗由函数的解析式可知f （x ）＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2（x ＋4）在区间〖－2，2〗上是单调递减函数，则函数的最大值为f （－2）＝⎝⎛⎭⎫13－2－log 2（－2＋4）＝9－1＝8.〖答 案〗83.函数y ＝|x 2－4x ＋3|的单调递增区间是__________.〖解 析〗先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图像，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图像如图所示.由图像可知，函数的递增区间为〖1，2〗，〖3，＋∞）.〖答 案〗〖1，2〗，〖3，＋∞）授课提示：对应学生用书第15页题型一 函数单调性的判断与单调区间的求法1.函数f （x ）＝ln （x 2－2x －8）的单调递增区间是（ ） A.（－∞，－2） B.（－∞，1） C.（1，＋∞）D.（4，＋∞）〖解 析〗由x 2－2x －8＞0，得x ＜－2或x ＞4.因此，函数f （x ）＝ln （x 2－2x －8）的定义域是（－∞，－2）∪（4，＋∞）.注意到函数y ＝x 2－2x －8在（4，＋∞）上单调递增，由复合函数的单调性知，f （x ）＝ln （x 2－2x －8）的单调递增区间是（4，＋∞）. 〖答 案〗D2.判断并证明函数f （x ）＝ax 2＋1x （其中1＜a ＜3）在x ∈〖1，2〗上的单调性.〖解 析〗设1≤x 1＜x 2≤2，则 f （x 2）－f （x 1）＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝（x 2－x 1）⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a （x 1＋x 2）＜12，得a （x 1＋x 2）－1x 1x 2＞0，从而f （x 2）－f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），故当a ∈（1，3）时，函数f （x ）在〖1，2〗上单调递增.确定已知解析式的函数单调区间的三种方法题型二 函数的值域（最值）的求法1.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，则f （x ）的最小值是__________.〖解 析〗当x ≤1时，f （x ）min ＝0，当x ＞1时，f （x ）min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f （x ）min ＝26－6. 〖答 案〗26－62.（一题多解）对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，设函数f （x ）＝－x ＋3，g（x ）＝log 2x ，则函数h （x ）＝min{f （x ），g （x ）}的最大值是__________.〖解 析〗法一：在同一直角坐标系中，作出函数f （x ），g （x ）的图像，依题意，h （x ）的图像如图所示.易知点A （2，1）为图像的最高点， 因此h （x ）的最大值为h （2）＝1.法二：依题意，h （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h （x ）＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h （x ）＝3－x 是减函数， 所以h （x ）在x ＝2处取得最大值h （2）＝1. 〖答 案〗13.函数f （x ）＝1x －1在区间〖a ，b 〗上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝__________.〖解 析〗易知f （x ）在〖a ，b 〗上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6. 〖答 案〗64.函数y ＝3x －52x ＋1的值域为__________.〖解 析〗（分离常数法）y ＝3x －52x ＋1＝32（2x ＋1）－1322x ＋1＝32－1322x ＋1≠32，所以所求函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ∈R 且y ≠32.〖答 案〗⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ∈R 且y ≠32求函数最值（值域）的方法（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值（值域）.（2）图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点求出最值（值域），若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法求解.（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求最值（值域）.（4）导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，再结合端点值，求出最值（值域）. （5）换元法：对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（值域）.（6）分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b （a ≠0）的函数的值域，经常使用“分离常数法”求解.（7）配方法：它是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F （x ）＝a 〖f （x ）〗2＋bf （x ）＋c （a ≠0）的函数的值域问题均可使用配方法，求解时要注意f （x ）整体的取值范围.题型三 函数单调性的应用高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中.常见的命题角度有：（1）比较两个函数值或两个自变量的大小；（2）解函数不等式；（3）利用单调性求参数的取值范围或值.考法（一） 利用函数的单调性比较大小〖例1〗 已知函数f （x ）的图像关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，〖f （x 2）－f （x 1）〗（x 2－x 1）＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f （2），c ＝f （e ），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c〖解析〗 因为f （x ）的图像关于直线x ＝1对称. 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2＞x 1＞1时， 〖f （x 2）－f （x 1）〗（x 2－x 1）＜0恒成立，知f （x ）在（1，＋∞）上单调递减.因为1＜2＜52＜e ，所以f （2）＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f （e ），所以b ＞a ＞c . 〖答案〗 D利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解. 考法（二） 利用单调性解不等式〖例2〗 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f （2－x 2）＞f （x ），则实数x 的取值范围是（ ）A.（－∞，－1）∪（2，＋∞）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）C.（－1，2）D.（－2，1）〖解析〗 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零， ∴函数的图像是一条连续的曲线.∵当x ≤0时，函数f （x ）＝x 3为增函数，当x ＞0时，f （x ）＝ln （x ＋1）也是增函数，∴函数f （x ）是定义在R 上的增函数.因此，不等式f （2－x 2）＞f （x ）等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1. 〖答案〗 D利用函数的单调性求解或证明不等式若f （x ）在定义域上（或某一区间上）是增（减）函数，则f （x 1）<f （x 2）⇔x 1<x 2（x 1>x 2），在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f ”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行.需要说明的是，若不等式一边没有“f ”，而是常数，应将常数转化为函数值. 考法（三） 利用单调性求参数的取值范围〖例3〗 （1）（2021·太原模拟）若f （x ）＝－x 2＋4mx 与g （x ）＝2m x ＋1在区间〖2，4〗上都是减函数，则m 的取值范围是（ ） A.（－∞，0）∪（0，1〗 B.（－1，0）∪（0，1〗 C.（0，＋∞） D.（0，1〗（2）已知f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1〖解析〗 （1）由题意得f （x ）关于直线x ＝2m 对称， ∴2m ≤2，即m ≤1. ∵易知y ＝1x ＋1在〖2，4〗上是减函数，若2m ＜0，则g （x ）为增函数，故2m ＞0，即m ＞0，综上，0＜m ≤1.（2）∵f （x ）是（－∞，＋∞）上的减函数. ∴当x ≥1时，0＜a ＜1；当x ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，3a －1＋4a ≥0，即17≤a ＜13，综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13. 〖答案〗 （1）D （2）C利用函数的单调性求参数的取值范围根据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组）进行求解，或先得到图像的升降情况，再结合图像求解.〖注意〗 讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值.〖题组突破〗1.已知定义在R 上的函数f （x ）＝2|x－m |－1（m 为实数）为偶函数，记a ＝f （log 0.53），b ＝f （log 25），c ＝f （2m ），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a〖解 析〗∵f （x ）为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），∴m ＝0， ∴f （x ）＝2|x |－1.图像如图所示，由函数的图像可知，函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上是增函数.∵a ＝f （log 0.53）＝f （log 23），b ＝f （log 25），c ＝f （0），又log 25＞log 23＞0，∴b ＞a ＞c . 〖答 案〗C2.（2021·武汉模拟）若函数f （x ）＝2|x －a |＋3在区间〖1，＋∞）上不单调，则a 的取值范围是（ ） A.〖1，＋∞） B.（1，＋∞） C.（－∞，1）D.（－∞，1〗〖解 析〗因为函数f （x ）＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ， 因为函数f （x ）＝2|x －a |＋3在区间〖1，＋∞）上不单调，所以a ＞1.所以a 的取值范围是（1，＋∞）. 〖答 案〗B3.（2021·南阳调研）已知函数f （x ）＝x －a x ＋a 2在（1，＋∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是__________.〖解 析〗由f （x ）＝x －a x ＋a 2，得f ′（x ）＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0（x ＞1），可得a ≥－x 2，当x ∈（1，＋∞）时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是〖－1，＋∞）. 〖答 案〗〖－1，＋∞）函数单调性应用问题中的核心素养（一）逻辑推理——判断函数单调性的核心素养〖例1〗 已知函数f （x ）对定义在（－∞，2〗上的任意两个值x 1，x 2，都有x 1f （x 1）＋x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）＋x 2f （x 1）成立，且函数满足f （x ＋2）＝f （2－x ），若f （a ）≤f （3），则实数a 的取值范围是（ ） A.（－∞，1〗 B.〖3，＋∞）C.〖1，3〗D.（－∞，1〗∪〖3，＋∞）〖解析〗 由函数f （x ）对定义在（－∞，2〗上的任意两个值x 1，x 2，都有x 1f （x 1）＋x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）＋x 2f （x 1）成立可知（x 1－x 2）〖f （x 1）－f （x 2）〗＞0成立，即函数f（x）是（－∞，2〗上的增函数，又函数满足f（x＋2）＝f（2－x），则函数f（x）关于直线x＝2对称，由f（a）≤f（3）可知|a－2|≥|3－2|，所以a－2≤－1或a－2≥1，即a≤1或a≥3.所以实数a的取值范围是（－∞，1〗∪〖3，＋∞）.〖答案〗 D求解与函数的单调性有关的问题，首先应判断函数的单调性，然后根据函数的单调性求解，而判断函数的单调性需要利用推理论证法.（二）数学抽象——抽象函数中的单调性应用问题〖例2〗已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，②当x＞0时，f（x）＞－1.（1）求f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调递增函数；（2）若f（1）＝1，解关于x的不等式f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4.〖解析〗（1）令x＝y＝0，得f（0）＝－1.证明如下：在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f（x1－x2）＞－1.又f（x1）＝f〖（x1－x2）＋x2〗＝f（x1－x2）＋f（x2）＋1＞f（x2），所以函数f（x）在R上是单调递增函数.（2）由f（1）＝1，得f（2）＝3，f（3）＝5.由f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4得f（x2＋x＋1）＞f（3），又函数f（x）在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}.求解抽象函数问题的切入点与关键点切入点：（1）对于抽象函数的单调性的证明，只能考虑用定义证明；（2）将不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”.关键点：（1）根据单调性定义，赋值构造出f（x2）－f（x1），并与0比较大小；（2）根据已知条件，将所求的不等式转化为f（M）＜f（N）的形式，从而利用单调性求解.〖题组突破〗1.已知函数f（x）＝x2－（2a＋1）x＋5，若对任意的x1，x2∈（4，＋∞），当x1＞x2时，总有f（x1）－f（x2）＞x2－x1，则实数a的取值范围是__________.〖解析〗由x1＞x2时，总有f（x1）－f（x2）＞x2－x1，可知f（x1）＋x1＞f（x2）＋x2，因此函数h（x）＝f（x）＋x在区间（4，＋∞）上是增函数.因为h（x）＝f（x）＋x＝x2－2ax＋5的单调递增区间是（a，＋∞），因此a≤4.〖答案〗（－∞，4〗2.已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0.（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，＋∞）上是增函数.证明：（1）因为对定义域内的任意x1，x2都有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），令x1＝x，x2＝－1，则有f（－x）＝f（x）＋f（－1）.又令x1＝x2＝－1，得2f（－1）＝f（1）.再令x1＝x2＝1，得f（1）＝0，从而f（－1）＝0，于是有f（－x）＝f（x），所以f（x）是偶函数.（2）设0＜x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝f （x 1）－f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f （x 1）－⎣⎡⎦⎤f （x 1）＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＝－f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1， 由于0＜x 1＜x 2，所以x 2x 1＞1，从而f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0，故f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在（0，＋∞）上是增函数.。

第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。

理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。

1。

主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1．增函数、减函数的定义定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数；（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．注意以下结论1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．知识点二函数的最值1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．(√)（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（×）（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）<f（3)，则f（x)为增函数．(×)（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）解析:（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1,则f（－1)〈f(1），故应说成单调递减区间为(－∞,0）和（0,＋∞）．(3）应对任意的x1<x2，f（x1)〈f(x2）成立才可以．（4)若f（x)＝x,f（x)在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f(x）的单调递增区间是R.2．小题热身（1)下列函数中,在区间（0，＋∞)内单调递减的是（A）A．y＝错误!－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x(2）函数f（x)＝－x＋错误!在区间错误!上的最大值是(A)A．错误!B．－错误!C．－2 D．2（3)设定义在[－1，7］上的函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数y＝f（x)的增区间为［－1,1]和[5,7］．(4）函数f（x）＝错误!的值域为（－∞，2）．（5）函数f(x）＝错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析：（1）对于A,y1＝错误!在(0，＋∞）内是减函数，y2＝x在（0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在（0，＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0,＋∞）上是增函数．（2）∵函数y＝－x与y＝错误!在x∈错误!上都是减函数，∴函数f（x)＝－x＋错误!在错误!上是减函数，故f(x）的最大值为f（－2）＝2－错误!＝错误!.(3）由图可知函数的增区间为[－1，1］和［5,7]．（4）当x≥1时，f(x）＝log错误!x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f（x）＝2x是单调递增的,此时,函数的值域为（0,2)．综上，f（x)的值域是(－∞,2)．(5）函数f（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!在［2，6]上单调递减，所以f（x）min＝f（6)＝错误!＝错误!。

2-2 函数的单调性与最值课时规X 练(授课提示：对应学生用书第219页)A 组 基础对点练1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( B ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( C ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |3．下列函数中，既是奇函数且在定义域内是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．ln 2＋x 2－x4．函数f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的递增区间是( D ) A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)解析：令t ＝x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)＞0，求得x ＜1或x ＞2，故函数的定义域为{x |x ＜1或x ＞2}，f (x )＝ln t ，由复合函数的单调性知本题即求函数t 在定义域内的增区间．结合二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(2，＋∞)． 5．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( B ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)7．(2017·某某模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( C ) A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)8．(2018·某某二模)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( D )A ．tan x ＞tan yB ．ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1) C.1x >1yD ．x 3＞y 3解析：根据题意，实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则x ＞y ，依次分析选项：对于A ，因为y ＝tan x 在其定义域上不是单调函数，故tan x ＞tan y 不一定成立，不符合题意；对于B ，若x ＞y ，则x 2＋2＞y 2＋2不一定成立，故ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1)不一定成立，不符合题意；对于C ，当x ＞y ＞0时，1x ＜1y，不符合题意；对于D ，函数y ＝x 3在R 上为增函数，若x ＞y ，必有x 3＞y 3，符合题意．9．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为( D ) A ．(－∞，1] B ．[1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)11．(2017·某某模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值X 围是( B ) A ．(0,1)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥1，得13≤a <1. 12．函数f (x )＝x ＋2x －1的最小值为 12.解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.13．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)<f (1－2m )，则m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，23.解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2m －1<1－2m⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－12<m <32m <23⇒－12<m <23.14．(2018·城关区校级模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，若m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝f (f (ln 2))，则1m ＋2n的最小值为 3＋2 2.解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，m ＋n ＝f [f (ln 2)]＝f (e ln 2－1)＝f (2－1)＝log 33＝1，则1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m 时，取得最小值3＋2 2.15．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤2，log 2x －1，x >2，则f (f (4))＝ 1 ；函数f (x )的单调递减区间是 [1,2] ． 解析：f (4)＝log 24－1＝1， ∴f (f (4))＝f (1)＝－12＋2×1＝1.x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ，对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上单调递减． ∴f (x )的单调递减区间为[1,2]．B 组 能力提升练1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值X 围是( C )A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．3．(2017·某某阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( B ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数4．(2018·某某一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0；②对定义域内任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x－xC ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x解析：由题意得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)递增，对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0，故f (x )在(0，＋∞)递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不合题意；对于C ，由x ＋1＝0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)无单调性，不合题意．5．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值X 围是( B ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1,2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：由题意知f ′(x )＝2x －12x＝2x ＋12x －12x ，易知函数f (x )在x ＝12处取得极值，所以有k －1<12<k ＋1，且k －1≥0，得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 6．(2018·铁东区校级一模)指数函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在R 上是减函数，则函数g (x )＝a －2x 2在其定义域上的单调性为( C ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减D ．在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增 解析：∵指数函数f (x )＝a x在R 上是减函数， ∴0＜a ＜1，∴－2＜a －2＜－1，函数y ＝1x2在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．∴g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增． 7．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( C ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] C ．sgn[g (x )]＝－sgn x D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]8．若f (x )＝e x －a e －x为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( A )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( B ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)10．(2018·兴庆区校级三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1－b ，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1(a ＞0，a ≠1)，在其定义域上单调，则ab 的值不可能的是( D ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由于函数f (x )在R 上单调，当x ＞1时，函数f (x )＝－log 2(x ＋1)单调递减，则当x ≤1时，函数f (x )＝a x －1－b 单调递减，所以0＜a ＜1，且a1－1－b ≥－log 2(1＋1)，即1－b ≥－1，解得b ≤2.当0＜b ≤2时，0＜ab ＜2；当b ≤0时，则ab ≤0.因此，ab ≠2，故选D.11．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x)＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( B ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x＋13x ＋2≥23x·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.12．(2018·某某二模)已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是 －16 解析：令x ＋2 012＝t ，t ∈R ，则y ＝t (t ＋2)(t ＋4)(t ＋6)＝(t 2＋6t )(t 2＋6t ＋8)＝(t 2＋6t )2＋8(t 2＋6t )＝(t 2＋6t ＋4)2－16，当t 2＋6t ＋4＝0，即t ＝－3±5时，取得最小值－16.13．(2017·某某东营广饶一中模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x ＞1是R 上的减函数，则a 的取值X 围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 . 解析：由函数f (x )为单调递减函数可得g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1]上单调递减，函数h (x )＝log a x 在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)≥h (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，7a －1≥0，∴17≤a ＜13. 14．已知函数f (x )＝则f (f (3))＝ －3 ，函数f (x )的最大值是1 . 解析：f (3)＝3＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－(－1)2－2＝－3. 当x ＞1时，f (x )＝x 为减函数，可得f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，最大值为1. 15．(2017·模拟)已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12； ③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是 3 . 解析：对于①，∵函数f (x )＝xx 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确； 对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，故②正确； 对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确； 对于④，f ′(x )＝1－x2x 2＋12，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1，∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误． 综上可知，正确结论的个数是3.。

函数的单调性与最值考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值常用结论1．∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，有f x 1－f x 2x 1－x 2>0(<0)或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f (x )在区间D 上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )在函数y ＝f (φ(x ))的定义域上，如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同，那么y ＝f (φ(x ))单调递增；如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反，那么y ＝f (φ(x ))单调递减． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若f (x )的定义域为R ，且f (－3)<f (2)，则f (x )为R 上的增函数．( × ) (2)函数f (x )在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．( × ) (3)因为y ＝x 与y ＝e x都是增函数，所以y ＝x e x在定义域内为增函数．( × ) (4)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )教材改编题1．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．y ＝|x ＋1| B ．y ＝2－x C ．y ＝1xD ．y ＝x 2－x ＋1答案 A 2．函数y ＝xx －1在区间[2,3]上的最大值是________．答案 2 解析 函数y ＝xx －1＝1＋1x －1在[2,3]上单调递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2. 3．函数y ＝ax －1在(－∞，1)上为增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)题型一 确定函数的单调性 命题点1 求具体函数的单调区间例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝e x －e －xB ．y ＝|x 2－2x | C ．y ＝x ＋cos x D ．y ＝x 2＋x －2答案 AC解析 ∵y ＝e x 与y ＝－e －x为R 上的增函数， ∴y ＝e x －e －x为R 上的增函数，故A 正确； 由y ＝|x 2－2x |的图象知，故B 不正确； 对于选项C ，y ′＝1－sin x ≥0，∴y ＝x ＋cos x 在R 上为增函数，故C 正确；y ＝x 2＋x －2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D 不正确．命题点2 判断或证明函数的单调性 例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 方法一 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 方法二 f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝a x －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 教师备选1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________．答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．2．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．证明 方法一 (定义法)设x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－ax 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 当x 1，x 2∈(0，a ]时，0<x 1x 2<a ， ∴x 1x 2－a <0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(0，a ]上单调递减， 当x 1，x 2∈[a ，＋∞)时，x 1x 2>a ， ∴x 1x 2－a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[a ，＋∞)上单调递增． 方法二 (导数法)f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2(x >0)，令f ′(x )>0⇒x 2－a >0⇒x >a ， 令f ′(x )<0⇒x 2－a <0⇒0<x <a ，∴f (x )在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． 思维升华 确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 答案 D解析 f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的定义域为(－1,4)． 令t ＝4＋3x －x 2，对称轴为x ＝32，故单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－1，32， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4， 因为y ＝ln t 为增函数，所以f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.(2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________． 答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )的大致图象(如图所示)，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]． 题型二 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小例3 (2022·成都模拟)已知函数f (x )为R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，若a ＝f (ln 2)，b ＝f (133)，c ＝f (13e )，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b答案 B解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)， 均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减， ∵f (x )是偶函数，∴当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增， 又f (x )＝13x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增， ∴1<13e <133， 又0<ln 2<1， ∴ln2<13e <133，∴133f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>13e f ⎛⎫⎪⎝⎭>f (ln 2)，即a <c <b .命题点2 求函数的最值例4 (2022·深圳模拟)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．答案 25解析 令x 2＋4＝t ，则t ≥2， ∴x 2＝t 2－4，∴y ＝t t 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t，则h (t )在[2，＋∞)上为增函数， ∴h (t )min ＝h (2)＝52，∴y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 的最大值为25.命题点3 解不等式例5 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)，若f (a －2)>3，则a 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)知，f (x )在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f (－1)＝3，由f (a －2)>3，得f (a －2)>f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2<－1，a －2>－2，解得0<a <1.命题点4 求参数的取值范围例6 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1，且满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[4,8)B ．(4,8)C ．(1,8]D ．(1,8)答案 A解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1是R 上的增函数，则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a <8，所以实数a 的取值范围为[4,8)． 教师备选1．(2022·嘉峪关模拟)函数f (x )＝ln(x 2－ax －3)在(1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)答案 A解析 函数f (x )＝ln(x 2－ax －3)为复合函数，令u (x )＝x 2－ax －3，y ＝ln u 为增函数，故只要u (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上单调递增即可，只要⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤1，u 1≥0，解得a ≤－2.2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______． 答案 1解析 方法一 在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象为如图所示的实线部分．易知点A (2,1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.方法二 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 单调递增， 当x >2时，h (x )＝3－x 单调递减， 因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.思维升华 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 跟踪训练 2 (1)(2022·天津静海区模拟)已知函数f (x )＝e |x |，记a ＝f (log 23)，b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f (2.11.2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C解析 函数f (x )＝e |x |，其定义域为R ， 且f (－x )＝e|－x |＝e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝e x，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，0<log 32<log 33＝1,2.11.2>2.11＝2.1>2， ∴2.11.2>log 23>log 32>0， ∴f (2.11.2)>f (log 23)>f (log 32)， 即f (2.11.2)>f (log 23)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，则b <a <c .(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)答案 D解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4的图象，如图，由图可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)，∵函数在(a ，a ＋1)上单调递增， ∴a ＋1≤2或a ≥4， ∴a ≤1或a ≥4.(3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f (2x －1)>f (x ＋1)的解集为________． 答案 (0,2)解析 依题意f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f (2x －1)>f (x ＋1)⇔(2x －1)2<(x ＋1)2，即4x 2－4x ＋1<x 2＋2x ＋1，即x 2－2x ＝x (x －2)<0⇒x ∈(0,2)．课时精练1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x－xB ．y ＝x 2－x C ．y ＝ln x －x D ．y ＝e x答案 A解析 当x ∈(0，＋∞)时，y ＝1x 与y ＝－x 单调递减，∴y ＝1x－x 在(0，＋∞)上单调递减．2．若函数f (x )＝2x 2＋31＋x 2，则f (x )的值域为( )A ．(－∞，3]B ．(2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)答案 C解析 f (x )＝2x 2＋31＋x 2＝2＋1x 2＋1， ∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1， ∴0<1x 2＋1≤1， ∴f (x )∈(2,3]．3．(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－2，则满足－2≤f (x －2)≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[1,3] D ．[0,4]答案 C解析 因为f (x )为奇函数， 若f (1)＝－2，则f (－1)＝2， 所以不等式－2≤f (x －2)≤2可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3.4．(2022·南通模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －e －x ，x >0，－x 2，x ≤0，若a ＝50.01，b ＝log 32，c ＝log 20.9，则有( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (a )>f (c )>f (b )D ．f (c )>f (a )>f (b )答案 A解析 y ＝e x 是增函数，y ＝e －x 是减函数，因此在(0，＋∞)上y ＝e x －e －x 单调递增，且此时f (x )>0.f (x )＝－x 2在x ≤0时单调递增，所以f (x )在R 上单调递增．c ＝log 20.9<0，b ＝log 32，所以0<b <1，a ＝50.01>1，即a >b >c ，所以f (a )>f (b )>f (c )．5．(多选)已知函数f (x )＝x －a x (a ≠0)，下列说法正确的是( )A ．当a >0时，f (x )在定义域上单调递增B ．当a ＝－4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C ．当a ＝－4时，f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．当a >0时，f (x )的值域为R答案 BCD解析 当a >0时，f (x )＝x －a x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A 错误；又x →－∞时，f (x )→－∞，x →0－时，f (x )→＋∞，∴f (x )的值域为R ，故D 正确；当a ＝－4时，f (x )＝x ＋4x ，由其图象(图略)可知，B ，C 正确．6．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ＋2x ，x >0，21－x，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )在R 上为增函数B ．f (e)>f (2)C ．若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，则a ≤－1或a ≥0D ．当x ∈[－1,1]时，f (x )的值域为[1,2]答案 BC解析 易知f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A 错误，B 正确；若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，则a ≥0或a ＋1≤0，即a ≤－1或a ≥0，故C 正确；当x ∈[－1,0]时，f (x )∈[1,2]，当x ∈(0,1]时，f (x )∈(－∞，2]，故x ∈[－1,1]时，f (x )∈(－∞，2]，故D 不正确．7．函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析 由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数的图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．8．(2022·山东师大附中质检)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －a ，x ≥a ，e a －x ，x <a ，当x ≥a 时，f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以a ≤1.9．已知函数f (x )＝ax －1ax ＋2a(a >0)，且f (x )在(0,1]上的最大值为g (a )，求g (a )的最小值． 解 f (x )＝ax －1ax ＋2a (a >0)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a ＋1a ，∴g (a )＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a 即a ＝1时取等号，∴g (a )的最小值为2.10．已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的取值范围．解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)f (x )在R 上单调递增．证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －1221x +－a ＋2221x +＝()()()12122221212x x x x ⋅-++，∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<12x <22x ，∴12x －22x <0,12x ＋1>0,22x ＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在R 上单调递增．(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1.∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2.∴x 的取值范围是(－∞，2)．11．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ,2x －3,6－x }，则M 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 画出函数M ＝max{2x,2x －3,6－x }的图象(如图)，由图可知，函数M 在A (2,4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M 的最小值为4.12．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数y ＝x －1－2－x 的值域为________，则与y 是“同域函数”的一个解析式为________． 答案 [－1,1] y ＝2x －3，x ∈[1,2] 或y ＝sin(2πx )，x ∈[1,2]或y ＝3x －1－2，x ∈[1,2](答案不唯一)解析 因为y ＝x －1－2－x ，所以x ≥1且x ≤2，所以函数的定义域为[1,2]．显然，函数y ＝f (x )＝x －1－2－x 在[1,2]上单调递增，所以f (x )∈[－1,1]，所以函数的值域为[－1,1]．只要满足定义域为[1,2]，且值域为[－1,1]的函数均符合题意，例如y ＝sin(2πx )，x ∈[1,2]或y ＝2x －3，x ∈[1,2]或y ＝3x －1－2，x ∈[1,2]． 13．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a， 定义域为{x |x ≠－2a }，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，a ≥1，所以a ≥1.14．(2022·沧州模拟)设函数f (x )＝x 3－sin x ＋x ，则满足f (x )＋f (1－2x )<0的x 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 f (x )＝x 3－sin x ＋x ，∵f (－x )＝(－x )3－sin(－x )＋(－x )＝－(x 3－sin x ＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x 2－cos x ＋1≥0，∴f (x )为R 上的增函数，∴f (x )＋f (1－2x )<0可化为 f (x )<－f (1－2x )＝f (2x －1)，∴x <2x －1，即x >1，∴满足f (x )＋f (1－2x )<0的x 的取值范围是(1，＋∞)．15．(2022·厦门模拟)函数g (x )＝ax ＋2(a >0)，f (x )＝x 2－2x ，对∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)成立，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B ．[1,2) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 C 解析 若对∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)成立，只需函数y ＝g (x )的值域为函数y ＝f (x )的值域的子集即可．函数f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[－1,2]的值域为[－1,3]．当a >0时，g (x )＝ax ＋2单调递增，可得其值域为[2－a ,2＋2a ]，要使[2－a ,2＋2a ]⊆[－1,3]，需⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥－1，2＋2a ≤3，a >0，解得0<a ≤12， 综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 16．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，且当x >0时，f (x )>－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数；(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4.解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，所以f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数．(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，因为函数f (x )在R 上是增函数，所以x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。

第二节 函数的单调性与最值[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．(对应学生用书第11页)1．增函数、减函数若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．函数的最值 函数单调性的常用结论 (1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝x 2－2x 在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间为[3，＋∞)．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]上的图象，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D ．当直线y ＝t 与y ＝f (x )的图象有三个交点时－1＜t ＜2C [由图象知，函数f (x )在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C.] 3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )m ax ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.] 4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )m ax ＝________.[1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )m ax ＝f (－2)＝8.](对应学生用书第12页)【例1】 ( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)D [由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数．欲求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D.](2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－1x1＝(x 2－x 1)·x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．f x的单调性相反；x的单调性相同．，则该函数的单调递增区间为A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞) (2)(2019·郑州模拟)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞(1)B (2)B [(1)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． 所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．(2)令t ＝2x 2－3x ＋1，则t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t是减函数，因此函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.故选B.](3)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x1x 1－x 2－，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：f ′(x )＝a x －－ax x －2＝－ax －2，所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数．1．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 3 [函数f (x )在区间[－1,1]上是减函数，则f (x )m ax ＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13-1－log 21＝3.]2．函数f (x )＝3x －1x ＋2，x ∈[－5，－3]的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，10 [f (x )＝3x －1x ＋2＝x ＋－7x ＋2＝3－7x ＋2，则函数f (x )在区间[－5，－3]上是增函数． 所以f (x )m ax ＝f (－3)＝3－7－3＋2＝10，f (x )min ＝f (－5)＝3－7－5＋2＝163. 因此函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，10.] 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．2 [当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.]若所给函数能够判断单调性，可直接利用单调性求解形如求函数的值域或最值，可先将函数解析式变为式，再用单调性求解.分段函数的最值，分段函数的最大值，各个区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值求复合函数g x的值域，可先求g x 的值域，再求f g x的值域.,特别地：若函数解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等或函数图象易作出，可用数形结合法求解►考法1 【例2】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜52＜3，所以f (2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f (3)，所以b ＞a ＞c .] ►考法2 解函数不等式【例3】 (2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)，则满足f (a 2－1)＋f (a －1)＞0的a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(1，2)C ．(1,2)D ．(0，2)B [由题意知f (－x )＝(－x )3＋sin(－x )＝－x 3－sin x ＝－(x 3＋sin x )＝－f (x )，x ∈(－1,1)，∴f (x )在区间(－1,1)上是奇函数． 又f ′(x )＝3x 2＋cos x ＞0， ∴f (x )在区间(－1,1)上单调递增， ∵f (a 2－1)＋f (a －1)＞0， ∴－f (a －1)＜f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜a 2－1＜1，1－a ＜a 2－1，解得1＜a ＜2，故选B.]►考法3 求参数的值或取值范围【例4】 (1)若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0. (2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．]比较大小解不等式函数的定义域利用单调性求参数①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间 (1)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)(3)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (a )＞f (c )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＜0，a －x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(1,2]C ．(1,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (1)D (2)D (3)C (4)A [(1)因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，所以a ＞0，所以0＜a ≤1.(2)因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零， 所以函数的图象是一条连续的曲线． 因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.(3)由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π＞1，|b |＝(ln π)2＞|a |，|c |＝12ln π，且0＜12ln π＜|a |，故|b |＞|a |＞|c |＞0，∴f (|c |)＞f (|a |)＞f (|b |)，即f (c )＞f (a )＞f (b )．(4)由题意知，函数f (x )在R 上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0≥4a ，解得0＜a ≤14，故选A.](对应学生用书第13页)1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ A [法一：分析f (x )的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化． ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x＋1<0⇔13<x <1.故选A.法二：(特殊值排除法)令x ＝0，此时f (x )＝f (0)＝－1<0，f (2x －1) ＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e>0，∴x ＝0不满足f (x )>f (2x －1)，故C 错误．令x ＝2，此时f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)＝ln 4－110.∵f (2)－f (3)＝ln 3－ln 4－110，其中ln 3<ln 4，∴ln 3－ln 4－110<0，∴f (2)－f (3)<0，即f (2)<f (3)，∴x ＝2不满足f (x )>f (2x －1)， 故B ，D 错误．故选A.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________- 11 -。

2.2 函数的单调性与最值[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 答案 B解析 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.故选B.2．(2017·武汉调研)若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)答案 B解析 ∵f (x )＝ax ＋1在R 上递减，∴a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a . ∵a <0，∴在(－∞，2)上g (x )递增．故选B.3．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞)答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2×2－3)＝log a 5，∴y ＝log a 5>0，∴a >1.由复合函数单调性知，单调递减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x <－1，解之得x <－3.故选A.4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0.∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．故选A.5．(2018·太原模拟)已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6) 答案 B解析 ∵f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．∴f (－0.5)＝f (0.5)．又∵f ′(x )＝2x ＋sin x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1)上是增函数，∴f (0)<f (0.5)<f (0.6)，即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)．故选B.6．(2018·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.故选C.7．(2018·天津质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )为R 上的减函数， ∴由f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1>f (1)得1x －1<1.解得x <1或x >2.∴x 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．故选D.8．已知a >0，设函数f (x )＝2018x ＋1＋20102018x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2018B ．2019C ．4028D ．4027 答案 C解析 由题意得f (x )＝2018x ＋1＋20102018x＋1 ＝2018－82018x＋1. ∵y ＝2018x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， ∴f (x )＝2018－82018x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， ∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4036－82018a ＋1－82018－a＋1＝4028.故选C.9．(2017·集宁期末)函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 ∵当a ＝0时，f (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，故a ＝0舍去， ∴a ≠0，此时f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a x ＋＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2， 又因为y ＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 而函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增， ∴1－2a <0，即a >12.故选B.10．(2018·山西联考)若函数f (x )＝log 0.2(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递减，且b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 D解析 f (x )定义域为{x |－1<x <5}，令u ＝5＋4x －x 2，y ＝log 0.2u ，u (x )在(－1,2)上单调增，且y ＝log 0.2u 为单调减函数，由复合函数单调性知f (x )在(－1,2)上为减函数，(a －1，a ＋1)⊆(－1,2)即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤2，a －1≥－1⇒0≤a ≤1，又由于b ＝lg 0.2<0，所以a >b ，c ＝20.2>20＝1，c >a >b .故选D.二、填空题11．(2017·山东济宁模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，0<a <1，log aa －－2a⇒22≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 12．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝－x ＋m ＋e x 的保值区间为[0，＋∞)，则m 的值为________．答案 －1解析 由定义知，g (x )＝－x ＋m ＋e x 保值区间为[0，＋∞)，又∵g ′(x )＝－1＋e x≥0，∴g (x )为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x ＝0时，g (0)＝0，即m ＋1＝0，∴m ＝－1.13．(2017·济南期中)已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，16]解析 ∵函数f (x )＝x 2＋a x在x ∈[2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立， ∴a ≤2×23＝16.∴实数a 的取值范围为(－∞，16]．14．(2018·濮阳模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． 答案 ②③④解析 对于①，若f (x )＝x 2，则f (x 1)＝f (x 2)时x 1＝x 2，或x 1＝－x 2，故①错误；对于②，f (x )＝2x 是R 上的增函数，当f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，故②正确；对于③，由单函数的定义，可知其逆否命题：f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；对于④，假若f (x 1)＝f (x 2)时，有x 1≠x 2，这与单调函数矛盾，故④正确．三、解答题15．(2017·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解 (1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f (－3＋3)＝0， ∴f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 16．已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意，a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.∵1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1， ∴2－1x 1x 2>0，∴h (x 1)<h (x 2)，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围是(－∞，3].。

第2节函数的单调性与最值基础巩固(时间:30分钟)1.(2016·北京卷)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( D )(A)y= (B)y=cos x(C)y=ln(x+1) (D)y=2-x解析:函数y=2-x=()x在(-1,1)上为减函数.故选D.2.若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m的值为( B )(A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)1解析:因为f(x)=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为增函数,且f(x)在[3,+∞)上的最小值为1,所以f(3)=1,即22+m-1=1,m=-2.故选B.3.(2017·西宁二模)若偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(),则a,b,c满足( B )(A)a<b<c (B)b<a<c(C)c<a<b (D)c<b<a解析:因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为2>log23=log49>log45,>2,所以f(log45)<f(log23)<f(),所以b<a<c.故选B.4.函数f(x)=的单调增区间是( C )(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)(C)(-∞,1),(1,+∞) (D)(-∞,-1),(1,+∞)解析:f(x)==-1+,所以f(x)的图象是由y=-的图象沿x轴向右平移1个单位,然后沿y轴向下平移一个单位得到,而y=-的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);所以f(x)的单调增区间是(-∞,1),(1,+∞).故选C.5.(2017·河北唐山二模)函数y=,x∈(m,n]最小值为0,则m的取值范围是( D )(A)(1,2) (B)(-1,2)(C)[1,2) (D)[-1,2)解析:函数y===-1,且在x∈(-1,+∞)时单调递减,在x=2时,y=0;根据题意x∈(m,n]时y的最小值为0,所以-1≤m<2.故选D.6.(2017·四川南充三模)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是( D )(A)(0,3) (B)(1,3)(C)(1,+∞) (D)[,3]解析:由题意得解得≤a<3.故选D.7.(2017·江西上饶二模)函数y=lo(-x2+2x+3)的单调增区间是( C )(A)(-1,1] (B)(-∞,1)(C)[1,3) (D)(1,+∞)解析:令t=-x2+2x+3,由-x2+2x+3>0,得-1<x<3.函数t=-x2+2x+3的对称轴方程为x=1,二次函数t=-x2+2x+3在[1,3)上为减函数,而函数y=lo t为定义域内的减函数,所以函数y=lo(-x2+2x+3)的单调增区间是[1,3).故选C.·北京石景山区一模)已知函数f(x)=若f(a)>f(2-a),则a的取值范围是.解析:函数f(x)=在R上单调递增,因为f(a)>f(2-a),所以a>2-a,所以a>1.答案:(1,+∞)能力提升(时间:15分钟)9.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定( D )(A)有最小值(B)有最大值(C)是减函数 (D)是增函数解析:由题意知a<1,又函数g(x)=x+-2a在[,+∞)上为增函数.故选D.·福建龙岩一模)已知f(x)=x3,若x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是( C )(A)(-∞,1] (B)[1,+∞)(C)[,+∞) (D)(-∞,]解析:f(-x)=-f(x),且f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.所以由f(x2-ax)+f(1-x)≤0得:f(x2-ax)≤f(x-1),所以x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0;设g(x)=x2-(a+1)x+1,则所以a≥.故选C.11.函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.解析:由于y=()x在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.答案:312.(2017·北京朝阳区二模)设函数f(x)=则f(1)=;若f(x)在其定义域内为单调递增函数,则实数a的取值范围是.解析:因为函数f(x)=则f(1)=1+1=2;若f(x)在其定义域内为单调递增函数,则a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]13.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.解析:依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数,当x>2时,h(x)=3-x是减函数,所以h(x)在x=2时,取得最大值h(2)=1.答案:114.已知函数f(x)= - (a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在[,2]上的值域是[,2],求a的值. (1)证明:设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,因为f(x2)-f(x1)=( -)-(-)=-=>0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)解:因为f(x)在[,2]上的值域是[,2],又由(1)得f(x)在[,2]上是单调增函数,所以f()=,f(2)=2,解得a=.。

第2节函数的单调性与最值【选题明细表】知识点、方法题号单调性的判断证明1,11,12单调区间的求法4,8函数的最值(值域) 5,7,13,14,16函数的单调性的应用2,3,6,9,10,15基础对点练(时间:30分钟)1.若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( B )(A)增函数(B)减函数(C)先增后减 (D)先减后增解析:由y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,知a<0,b<0,所以函数y=ax2+bx的对称轴x=-<0,因此函数y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数.2.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( A )(A)f(π)>f(-3)>f(-2) (B)f(π)>f(-2)>f(-3)(C)f(π)<f(-3)<f(-2) (D)f(π)<f(-2)<f(-3)解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),又f(x)在[0,+∞)上为增函数,且2<3<π,所以f(2)<f(3)<f(π),即f(π)>f(-3)>f(-2).故选A.3.(2015皖北协作区高三联考)若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,又有f(-2)=0,则不等式x·f(x)<0的解集为( A )(A)(-∞,-2)∪(2,+∞) (B)(-2,0)∪(0,2)(C)(-2,0)∪(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(0,2)解析:由f(x)是奇函数及f(-2)=0得,f(2)=-f(-2)=0;又f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数,当x∈(-∞,-2),x∈(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0),x∈(2,+∞)时,f(x)<0,故不等式x·f(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).4.函数y=()的递减区间为( D )(A)(1,+∞) (B)(-∞,](C)(,+∞) (D)[,+∞)解析:令g(x)=2x2-3x+1,则y=()g(x),由于g(x)在[,+∞)上单调递增,所以函数y=()的递减区间是[,+∞).5.(2015某某模拟)函数y=x+,x∈[,4]的值域是( D )(A)[5,8] (B)[5,] (C)[4,8] (D)[4,]解析:y=x+≥2=4,当x=2∈[,4]时“=”成立,所以y min=4,y max=+8=.6.(2015某某模拟)已知函数f(x)=若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值X围为( C )(A)(1,2) (B)(2,3) (C)(2,3] (D)(2,+∞)解析:函数为增函数,由题意得所以2<a≤3.7.(2016某某模拟)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.解析:依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数;当x>2时,h(x)=3-x是减函数,所以h(x)=min{f(x),g(x)}在x=2时,取得最大值h(2)=1.答案:18.函数y=lo(x2-4x+3)的单调增区间为.解析:令u=x2-4x+3,原函数可以看作y=lo u与u=x2-4x+3的复合函数,令u=x2-4x+3>0,则x<1或x>3.所以函数y=lo(x2-4x+3)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞).又u=x2-4x+3的图像的对称轴为x=2,且开口向上,所以u=x2-4x+3在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数.而函数y=lo u在(0,+∞)上是减函数,所以y=lo(x2-4x+3)的单调递增区间为(-∞,1).答案:(-∞,1)9.设函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值X围是.解析:因为f(x)==a-,函数f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,所以解得a≥1.答案:[1,+∞)10.(2015某某质检)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1.(1)求f(9),f(27)的值;(2)若f(3)+f(a-8)<2,某某数a的取值X围.解:(1)由原题条件,可得到f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=1+1=2,f(27)=f(9×3)=f(9)+f(3)=1+2=3.(2)f(3)+f(a-8)=f(3a-24),又f(9)=2,所以f(3a-24)<f(9),函数在定义域上为增函数,所以解得a的取值X围为(8,11).11.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值X围.(1)证明:任取x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)内单调递增.(2)解:任设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.综上所述,a的取值X围是(0,1].能力提升练(时间:15分钟)12.(2015某某模拟)已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( B )(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0解析:因为函数f(x)=log2x+在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,所以当x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0,当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0,即f(x1)<0,f(x2)>0.13.(2015某某模拟)函数f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值X围是( B )(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)[0,2]解析:当a>0时,由数形结合可知,f(0)显然不是f(x)的最小值,当a≤0时,f(0)=a2,故只需a2≤(x++a)min=a+2,解得-1≤a≤2,所以-1≤a≤0.14.函数y=的值域为.解析:法一y==1-.因为x2-x+1=(x-)2+,所以-≤1-<1,即-≤y<1.故值域为[-,1).法二去分母,整理,得(y-1)x2-(y-1)x+y=0.易知y≠1,故上式可看作是关于x的二次方程.因为x∈R,所以方程有实根,所以Δ=(y-1)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y≤1.又y≠1,故值域为[-,1).答案:[-,1)15.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,满足f(x)+f(y)=f(xy).(1)求证:f(x)-f(y)=f();(2)若f(4)=-4,解不等式f(x)-f()≥-12.(1)证明:由条件f(x)+f(y)=f(xy)可得f()+f(y)=f(·y)=f(x),所以f(x)-f(y)=f().(2)解:因为f(4)=-4,所以f(4)+f(4)=f(16)=-8,f(4)+f(16)=f(64)=-12.由第(1)问可得f(x)-f()=f(x(x-12)),又f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,所以⇒x>12,由f(x)-f()≥-12,即f(x(x-12))≥f(64),所以x(x-12)≤64,所以x2-12x-64=(x-16)(x+4)≤0,得-4≤x≤16,又x>12,所以x∈(12,16].16.(2015某某模拟)已知函数f(x)=lg(x+-2),其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域;(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值X围.解:(1)由x+-2>0,得>0,当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞),当a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1},当0<a<1时,定义域为{x|0<x<1-或x>1+}.(2)设g(x)=x+-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1-=>0恒成立,所以g(x)=x+-2在[2,+∞)上是增函数.所以f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上是增函数.所以f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg .(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立.所以a>3x-x2,令h(x)=3x-x2,而h(x)=3x-x2=-(x-)2+在x∈[2,+∞)上是减函数,所以h(x)max=h(2)=2.所以a>2.故a的取值X围是(2,+∞).精彩5分钟1.设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f(f(x)-e x)=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)的值等于( C )(A)1 (B)e+1 (C)3 (D)e+3解题方法:本题利用转化与化归思想将函数解析式求出,再代入求解.解析:设t=f(x)-e x,则f(x)=e x+t,则条件等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,因为函数f(x)为单调递增函数,所以t=1,所以f(x)=e x+1,即f(ln 2)=e ln 2+1=2+1=3.2.(2015沭阳质检)已知函数f(x)=(a≠±1)在区间(0,1)上是减函数,则a的取值X 围是.解题方法:本题利用分类讨论的思想进行判断a的X围.解析:当a>0时函数在(0,1)上为减函数需满足所以1<a≤3,当a<0时需满足a2-1<0,所以-1<a<0,当a=0时不合题意,综上a的取值X围是(-1,0)∪(1,3].答案:(-1,0)∪(1,3]3.(2015某某质检)函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题:①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;②指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数;③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是.(写出所有真命题的编号)解题关键:本题求解的关键是明确“单函数”的概念进行判断.解析:因为f(-1)=f(1),所以①错;指数函数在定义域R上是单调函数满足单函数的定义,所以②正确;由单函数的定义可知③④正确.答案:②③④。

第2讲函数的单调性与最值[考纲解读] 1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．(重点)2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．(重点)3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.1．函数的单调性(1)增函数、减函数(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)□06单调性．区间D叫做函数y＝f(x)的□07单调区间．2．函数的最值1．概念辨析(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么f (x )在[a ，b ]上是增函数⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔(x 1－x 2)[f(x 1)－f (x 2)]>0.( )(3)函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则函数y ＝f (x )的增区间为[0，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－3x 2答案 A解析 y ＝|x |在(0,1)上是增函数，y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－3x 2在(0,1)上都是减函数．(2)设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案 [－1,1]，[5,7]解析 由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．(3)函数f (x )＝2－x 2，x ∈[－1,2]的最大值为________，最小值为________． 答案 2 －2解析 f (x )＝2－x 2在[－1,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，f (－1)＝1，f (0)＝2，f (2)＝－2，所以最大值为2，最小值为－2.(4)函数y ＝2k ＋1x在(0，＋∞)上是增函数，则k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析 因为函数y ＝2k ＋1x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2k ＋1<0，解得k <－12.题型 一 确定函数的单调性(区间)1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞)答案 A解析 f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，x ≥2，－x x ，x <2.作出此函数的图象如下．观察图象可知，f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是[1,2]．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8在定义域内的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. 3．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 解法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ·x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－x 2－.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．解法二：f ′(x )＝axx －－ax x －x －2＝a x －－ax x －2＝－ax －2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．条件探究 将举例说明1中“f (x )＝|x －2|x ”改为“f (x )＝x 2－2|x |”，试写出其单调区间．解 f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.作出此函数的图象如右：观察图象可知，此函数的单调递减区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递增区间是(－1,0]，(1，＋∞)．1．确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f (x 1)－f (x 2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．如举例说明3解法一．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．如举例说明1.(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．如举例说明3解法二． 2．熟记函数单调性的三个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．如举例说明2.1．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4)答案 B解析 因为函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，所以a <0，所以g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a [(x －2)2－1]的增区间是(－∞，2)．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.判断f (x )的单调性．解 设x 1>x 2>0，则x 1x 2>1，∵当x >1时，f (x )>0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数． 题型 二 求函数的最值(值域)1．(2018·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83 C ．－2 D ．2 答案 A解析 因为函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上是减函数，所以f (x )max ＝f (－2)＝2－12＝32.2．函数y ＝x －x －1的最小值为________． 答案 34解析 令t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝t 2＋1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34，t ≥0，所以当t ＝12时，y min ＝34.3．函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤2，103解析 y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝x 2－x ＋＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1， 由x ∈R 得x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，所以1x 2－x ＋1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43，所以y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.4．(2018·石家庄模拟)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 解法一：在同一坐标系中， 作函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2,1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.解法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.条件探究1 将举例说明1中“f (x )＝－x ＋1x”改为“f (x )＝－x －1x”，其他条件不变，如何解答？解 f (x )＝－x －1x 在[－2，－1]上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13上是增函数，且f (－2)＝52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103，所以f (x )max ＝103.条件探究2 将举例说明2中“y ＝x －x －1”改为“y ＝x ＋1－x 2”，其他条件不变，如何解答？解 由1－x 2≥0可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故所求函数的最小值是－1.条件探究3 将举例说明3中“y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1”改为“y ＝1－x21＋x 2”，其他条件不变，如何解答？解 由y ＝1－x 21＋x 2得x 2＝1－y 1＋y ， 由x 2≥0知1－y 1＋y ≥0，解得－1<y ≤1，故所求函数的值域为(－1,1]．求函数的最值(或值域)的常用方法(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．如举例说明1. (2)有界性法：利用代数式的有界性(如x 2≥0，x ≥0，2x>0，－1≤sin x ≤1等)确定函数的值域．(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．如举例说明4.(4)换元法：形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．如举例说明2.(5)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．如举例说明3.另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．1．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．答案 2解析 因为f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上为单调函数，所以由题意可得f (1)＋f (2)＝a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，所以a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，所以a ＝2.2．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．答案 9解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.题型 三 函数单调性的应用角度1 比较函数值的大小1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，且2<52<3，所以b >a >c .角度2 解不等式2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(－1，2＋1)C ．(0，2＋1)D ．(－1，2－1) 答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图所示．则不等式f (1－x 2)>f (2x )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x >0，1－x 2>2x ，解得－1<x <2－1.角度3 求参数的值或取值范围3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋5，x ≤1，2a －log a x ，x >1，对于任意x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(1,2]D ．(1,2) 答案 C解析 根据题意，由f x 1－f x 2x 1－x 2<0，易知函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a >1，a －＋5≥2a ，解得1<a ≤2.故选C.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．如举例说明1.(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．如举例说明2.(3)利用单调性求参数①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意：若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如举例说明3.1．(2019·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3答案 C 解析 y ＝x －5x －a －2＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a ＋，所以当a －3<0时，y ＝x －5x －a －2的单调递增区间是(－∞，a ＋2)，(a ＋2，＋∞)；当a－3≥0时不符合题意．又因为y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，所以(－1，＋∞)≤(a＋2，＋∞)，所以a ＋2≤－1，即a ≤－3，综上知，a 的取值范围是(－∞，－3]．2．(2018·河南百校联盟质检)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－ 14 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97 15 ，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a ) 答案 B解析 a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－ 14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97 14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫9715 >1，c ＝log 279<0，所以c <b <a .因为f (x )＝2x －2－x ＝2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递增，所以f (c )<f (b )<f (a )．3．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2，且f (－3)＝－4，则不等式f (log 12 |3x－1|)>log 12|3x－1|－1的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(－∞，0)∪(0,2)答案 D解析 由对任意x 1<x 2，都有f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2，得f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2.令g (x )＝f (x )－x ，则有对任意x 1<x 2，都有g (x 1)<g (x 2)，所以g (x )在R 上单调递增，因为f (－3)＝－4，所以g (－3)＝f (－3)－(－3)＝－1，所以f (log 12 |3x－1|)>log 12|3x－1|－1等价于g (log 12 |3x－1|>g (－3)，所以log 12 |3x－1|>－3＝log 12 8，所以0<|3x－1|<8，解得x <2且x ≠0，故所求不等式的解集是(－∞，0)∪(0,2)．。

第2章 函数、导数及其应用 第2讲A 组 基础关1．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln (x ＋1) 答案 A解析 由已知得，所选函数在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A 中的函数满足要求． 2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞答案 B解析 令μ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18，因为μ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13μ在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增． 3．已知f (x )在R 上是减函数，a ，b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )] B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )] D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 答案 D解析 a ＋b ≤0可转化为a ≤－b 或b ≤－a ，由于函数f (x )在R 上是减函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，两式相加得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －3x，x ≤0，2x ＋1，x >0，若函数f (x )有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)答案 A解析 当x ≤0时，f (x )＝a －3x单调递减，其最小值为f (0)＝a －1，当x >0时，f (x )＝2x ＋1单调递增，f (x )>1，无最小值，要使函数f (x )在R 上有最小值，则必有a －1≤1，即a ≤2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2]．5．函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．(2，＋∞) 答案 C解析 题中隐含a >0，∴2－ax 在区间[0,1]上是减函数．∴y ＝log a u 应为增函数，且u＝2－ax 在区间[0,1]上应恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1<a <2.6．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案 C解析 由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．7．已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则－a ≥－1，即a ≤1.函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则a >1，则綈p ：a >1，q ：a >1，则綈p 成立是q 成立的充要条件．8．函数y ＝log 12 |x －3|的单调递减区间是________．答案 (3，＋∞)解析 令u ＝|x －3|，则在(－∞，3)上u 为x 的减函数，在(3，＋∞)上u 为x 的增函数．又∵0<12<1，y ＝log 12 u 是减函数，∴在区间(3，＋∞)上，y 为x 的减函数．9．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是______． 答案 (3，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝ln x ＋x 的定义域为(0，＋∞)，且为单调递增函数，∴f (a 2－a )>f (a ＋3)同解于⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得a >3.所以a 的取值范围是(3，＋∞)．10．已知函数f (x )＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1,4]解析 由题意可得4－mx ≥0，x ∈(0,1]恒成立，所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x min ＝4.当0<m ≤4时，4－mx 单调递减，所以m －1>0，解得1<m ≤4.当m <0时，4－mx 单调递增，所以m －1<0，解得m <1，所以m <0.故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(1,4]．B 组 能力关1．(2019·安徽合肥模拟)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B解析 原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，记函数f (x )＝2x－5－x，则原不等式可化为f (x )≤f (－y )．又因为函数f (x )在R 上单调递增，所以x ≤－y ，即x ＋y ≤0.2．(2018·河南天一大联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >3，mx ＋8，x ≤3.若f (2)＝4，且函数f (x )存在最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，3] B ．(1,2] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 D ．[3，＋∞)答案 A解析 因为f (2)＝2m ＋8＝4，所以m ＝－2，所以当x ≤3时，f (x )＝－2x ＋8.此时f (x )≥f (3)＝2.因为函数f (x )存在最小值，所以当x >3时，f (x )单调递增，且log a 3≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 3≥log a a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2≤3，解得a ∈(1，3]．3．(2018·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.4．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解 (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.5．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1.(1)当x ∈[1,2]时，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝|f (x )|(a ≥0)在[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当x ∈[1,2]时，ax 2－2x ＋1>0恒成立， 所以当x ∈[1,2]时，a >－1x 2＋2x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1恒成立，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12＋1在x ∈[1,2]上的最大值为1，所以a >1.(2)当a ＝0时，g (x )＝|2x －1|在[1,2]上是增函数， 当a >0时，g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a ，①若1－1a ≥0，即a ≥1时，1a≤1，g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a 在[1,2]上是增函数；②若1－1a<0，即0<a <1时，设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2且x 1<x 2，此时g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1，1a 和[x 2，＋∞)上是增函数．a ．若[1,2]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1，1a ，则⎩⎪⎨⎪⎧1a≥2，f 1＝a －1≤0，解得0<a ≤12；b ．若[1,2]⊆[x 2，＋∞)，则⎩⎪⎨⎪⎧1a<1，f 1＝a －1≥0，解得a >1，无解，综上所述，0≤a ≤12或a ≥1.。