二次函数图像与几何变换
1 求某点的平移、对称点的坐标：
一个点A(-2,-5)作如下变化：
（1）把点A先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位；
（2）把点A沿x轴翻折；
（3）把点A绕坐标系原点旋转180?；
（4）把点A绕点P(1,0)旋转180?；
分别求出点的坐标.
2：已知；抛物线y =-x 2 + 2x + 3，回答下列问题：
(1)分别写出此抛物线的顶点P，与x轴的两个交点A、B ( A点在B点的左侧)，与y轴的交
点C的坐标.，并画出函数图像。
(2)若将抛物线y =-x 2 + 2x + 3
向左平移2 个单位长度，且向下平移3 个单
位长度，求所得抛物线的解析式.
(3)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3
关于y轴对称的抛物线的解析式.
(4)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3
关于x轴对称的抛物线的解析式.
(5)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3关于原点O对称的抛物线的解析式.
思考：对比以上几问,你能总结出: 图象变换背景下，求函数解析式的一般方法吗？
一、二次函数图象的平移变换
【例1】函数y = 3(x + 2)2 -1的图象可由函数y = 3x2 的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）
A.右移两个单位，下移一个单位
B. 右移两个单位，上移一个单位
C. 左移两个单位，下移一个单位
D. 左移两个单位，上移一个单位
【例2】函数y =-2(x - 1)2 - 1 的图象可由函数y =-2(x + 2)2 + 3 的图象平移得到，那么平移的步骤
是（）
A. 右移三个单位，下移四个单位
B. 右移三个单位，上移四个单位
C. 左移三个单位，下移四个单位
D. 左移四个单位，上移四个单位
【例3】二次函数y =-2x2 + 4x +1 的图象如何移动就得到y =-2x2 的图象（）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.
【例4】将函数y =x2 +x 的图象向右平移a(a > 0)个单位，得到函数y =x2 -3x + 2 的图象，则a 的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、二次函数图象的对称变换
【例5】函数y =x2 与y =-x2
的图象关于
对称，也可以认为
y =x2 是函数y =-x2 的图象绕旋转得到．
【例6】已知二次函数y =x2 - 2x -1，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【例7】在平面直角坐标系中，先将抛物线y =x2 +x - 2 关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为
A y =-x2 -x + 2
C．y=-x2 +x + 2 三、应用练习：B．y =-x2 +x - 2 D．y =x2 +x + 2
例1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式
2、如图，若将抛物线y=（x+1）2-7沿x轴平移经过P（-2，2），则平移后抛物线的解析式为（）
例 3、已知抛物线 C ：y=x 2+2x+4，将抛物线 C 平移到 C′．若两条抛物线 C ，C′关于直线 x=1 对称，则平移后的抛物线 C′的解析式是
．
例 4、如图，在直角坐标系中，已知点 A （-1，0）、B （0，2），将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向 90°至 AC ．
（1）点 C 的坐标为 ；
（2）若 y= 1 x 2-ax-2 的图象经过点 C ．
2
①求 y= 1 x 2-ax-2 的关系式； 2
②在此的图象上是否存在点 P （点 C 除外），使△ABP 是以 AB
为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
运用：研究思考题：
1、如图， ABCD 中，AB = 4 ，点 D 的坐标是(0 ，8) ，以点C 为顶点的抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过 x 轴上的点 A ， B ．
⑴ 求点 A ， B ， C 的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点 D ，求平移后抛物线的解析式．
2、 如图，已知抛物线C 1 : y = a (x + 2)2 - 5 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点 （ A 点在点B 的左边），点B 的横坐标是 1．
（1）求点B 坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线C 2 抛物线C 1 关于x 轴对称，将抛物线C 2 向右平移，平移后的抛物 线记为C 3 ，C 3 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3 的解析式；
(选做)
*（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1 绕点Q 旋转180?后得到抛物线C 4 ．抛 物线C 4 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．
图 图2
C 1
y N A B Q
O E F x P C 4 图 2 C 1 y
M A B
O x P C 2 C 3 图 1