八不等式选讲(B)
1.(2018·呼伦贝尔一模)已知a>0,b>0,且a+b=1.
(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;
(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.
2.(2018·梅州二模)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
3.(2018·葫芦岛二模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-1|.
(1)若f(x)≥+(m>0,n>0)对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值;
(2)若f(x)≥ax-2+a恒成立,求实数a的取值范围.
4.(2018·上饶三模)已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4. (1)当k=-3时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)设k>-1,且当x∈-,时,都有f(x)≤g(x),求k的取值范围.
1.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,
所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时“=”成立,
由ab≤m恒成立,故m≥.
(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5++≥5+2=9, 当且仅当a=2b时取等号,
故若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,
当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,
当-2<x<,不等式化为1-2x-x-2≤9,解得-2<x<,
当x≥时,不等式化为2x-1-x-2≤9,解得≤x≤12,
综上所述,x的取值范围为[-6,12].
2.解:(1)因为f(x)=|x+1|-|x-2|=f(x)≥1,
所以当-1≤x≤2时,2x-1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)-x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)-x2+x]max.
设g(x)=f(x)-x2+x.
由(1)知,g(x)=
当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,其开口向下,对称轴方程为
x=>-1,
所以g(x)≤g(-1)=-1-1-3=-5;
当-1<x<2时,g(x)=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴方程为
x=∈(-1,2),
所以g(x)≤g()=-+-1=;
当x≥2时,g(x)=-x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2, 所以g(x)≤g(2)=-4+2+3=1;
综上,g(x)max=,
所以m的取值范围为(-∞,].
3.解:(1)由题意可知,f(x)=
函数f(x)的图象如图:
由图知f(x)min=,
所以+≤,即≤,
即m+n≤mn≤()2,
当且仅当m=n时等号成立,
因为m>0,n>0,解得m+n≥,
当且仅当m=n时等号成立,
故m+n的最小值为.
(2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为a的直线, 则f(x)≥g(x)表示函数y=f(x)恒在函数y=g(x)图象的上方,
由图象可知-3≤a≤.
4.解:(1)当k=-3时,f(x)=
故不等式f(x)≥4可化为
或或
解得x≤0或x≥,
所以所求解集为{x x≤0或x≥}.
(2)当x∈[-,)时,
由k>-1有3x-1<0,3x+k≥0,
所以f(x)=1+k,
不等式f(x)≤g(x)可变形为1+k≤x+4,
故k≤x+3对x∈[-,)恒成立,
即k≤-+3,
解得k≤,而k>-1,故-1<k≤.
所以k的取值范围是(-1,].。
