《微积分》(上)内容提要及补充习题(新)

经管类《微积分》（上）习题参考答案第一章 函数习题一一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否.二、1．)[()5,33,2⋃； 2．()πππ+k k 2,2； 3． 2,24>-<<-x x 或；4．[]a a -1,； 5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略）四、1(略)；2．212+x ； 3．11-+x x ． 五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++⋅x x ．六、50500,,)50(8.050)(>≤<⎩⎨⎧-+=x x x a a ax x R ．第二章极限与连续习题一一、 1．0,1,1,0； 2．e e e e ,,,231- 二、1．1； 2．0； 3．21； 4．4.三、1. (略)； 2.证明（略），极限为2 四、()1lim 0=+→x f x ，()1lim 0-=-→x f x ，()x f x 0lim →不存在. 五、都不存在. 六、15832.5,32.4,221.3,1.2,0.1 1.8,3.7,.6e .七、2,1==b a 八、2.4,32.3,21.2,2.1-习题二 一、()().1,1.4,,22,1.3,2.2,.1+∞⋃第一类二、1．为可去间断点1=x ，为第二类间断点2=x ； 2.为跳跃间断点1=x . 三、2ln ,2==b a ．四、0,0,10,00,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。

五、()()+∞⋃∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、,.4,.3,.2,2ln .1623e e e - 八、九、十 (略).第二章 测验题一、B A C A D .5,.4,.3,.2,.1.二、21.4,2.3,2.2,2.1-e .三、.31.4,3.3,1.2,61.1.四、x x x x p ++=232)(.五、为第二类间断点为可去间断点处连续21,1,2,,1===-=x x x x ．六、.3,21==b a 七、（略）. 八、a .第三章 导数与微分习题一一、),0(.2),(,)(2,)(.1000f x f x f x f '''')(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、00,,2)(<>⎩⎨⎧='x x x e x f x 三、)0(2)(g a f ='. 四、处连续且可导0=x ．五、()的有理数；互质与且)2(,201n m mna a ≠> ()互质）的有理数与且n m mna a 2(,1212-≠>. 习题二一、,ln 1.3,1.2,622ln 2.123x xx x x -++- )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y . )(4)(2.5222x f x x f ''+'二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-；x x x x x x x x cos sin ln cos 2sin .2+-+； 211arcsin 2.3xx -⋅； 21)ln (ln .4x x n x n --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；6.x x exx 1tan 1sec 221sec 22⋅⋅⋅-； )(87略-.三、1．()x f x f '⋅)(2； 2．)()(222x x x x x e f e e e f xe '+.四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 习题三一、()dx x x x 1ln .1+； ()dx e e f x x '.2；x e x e x x x ln ln ,arctan ),13sin(31,61,2.36+；4. ppQ -+2;252. 二、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x 三、1．()184-==p dpdQ，54.04-≈=P EP ED经济意义：当价格从4上升%1时，需求量从59下降%54.0；()246.04≈=P EP ER，价格从4上涨%1时总收益将从263增加%46.0.四、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ． 五、212x +. 第三章 测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π21)1()1(2.4xx f x f '-, 2ln 21.5-.二、..3,.2,.1C D D 三、1．yyxey e +-2； 2．0； 3．[]()0,,02121cos )(sin )()(),0(2=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''++-+'=''=x x g x xx g x x g x x f g a第四章 中值定理与导数的应用 习题一一、1．不满足，没有； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--.；5.不存在二、三、四、五(略)六、1.6,ln .5,21.4,21.3,0.2,21.1a -. 七、连续. 八、1.习题二一、1．单减，凹的； 2．)4,1(；3．0,0==x y ；4．29,23-；5. ac b 32≤.6.e p 1=二、单增区间为[]2,0；单减区间为]()[∞+⋃∞-,20,. 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a .五(略)六、为极大值3)3(,2==πf a .七、20000=Q ，最大利润()34000020000=L 元. 八、5.9元，购进140件时，最大利润490元. 九、十（略）.第四章 测验题 一、..3;.2;.1A B B 二、()0.4;2,1.3;3.2;1.1=x三、.1.2;61.1-四、.1;0;3==-=c b a 五、获利最大时的销售量()t x -=425，当2=t 政府税收总额最大，其税收总额为10万元.六、()1证明略； ()254.06≈=P EP ER，经济意义：当价格从6上涨%1时，总收益从156增加%54.0.第五章 不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x. 二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21． 三、1ln +=x y .四、12)(2+-=x x x G .习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(； 4．C x f +--）2cos 3(31． 二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e xx ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(； 9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x +)arctan(sin 212； 11．C x+-arcsin 1；12．C x x ++-+ln 12)ln 1(3223； 13．()()()C x x x +++++-+11ln 313123313132；14．C e x+-1arctan 2； 15．C xx ++61611ln； 16．C x x x +-+22211arccos 21. 习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2． 二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C e xe x x +------11；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．()()[]C x x x++ln sin ln cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(； 9．C x x x +-+arctan )1(； 10．C x x x x x +++-+221ln 1ln ．三、C x x x +-++21)arcsin 1(． 四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2． 五、)1(21x x +．习题四1．C x x x x x x +--+-+++|1|ln 3|1|ln 4||ln 82131232．C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2第六章 定积分及其应用习题一 一、a b a b -+-）（3331二、1．≥， 2．≥ 三、（提示：用定积分性质6证）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22． 五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2八、4π．九、)1ln(e +十（略）．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）； 4π.六、()1,11=-=-a e x f x . 七、x x sin cos -. 八、x 2ln 21.习题三一、1．332； 2．2ln 23-； 3．67； 4．49．二、62221,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S a ． 三、2ln 214+-x ．四、1．π145； 2．24π； 3．ππ564,727． 五、10/100Q Qe -． 六、31666． 七、1．2； 2．2ln 21．。

微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

《微积分》(上)复习第一部分(第一章,第二章) 函数、极限与连续一、要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和洛必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用有界闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor展式法（8）其他（微积分性质，数列的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知()x f 三阶可导,2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充练习 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二部分(第三章) 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

微积分大一上学期知识点笔记微积分是数学的一个分支，研究数学函数的变化和性质，被广泛应用于自然科学、工程学以及经济学等领域。

下面是微积分大一上学期的知识点笔记，帮助大家回顾和总结学习内容。

一、函数与极限函数是一种特殊的关系，将一个数集的每个元素与另一个数集中的唯一元素相对应。

函数的表示方式有多种，例如函数表达式、图像等。

极限是函数概念的重要部分。

设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x) = L〗。

二、导数与微分导数是描述函数在某一点的变化率，或者说切线的斜率。

设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果极限lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h) - f(a))/h = L〗存在，则称函数f(x)在点x=a处可导，L为函数f(x)在x=a处的导数，记作f'(a)。

导数的求解可以使用导数的定义或求导法则。

微分是导数的一个应用，仅在某一点附近考虑，表示函数在该点的局部变化。

记dx为自变量x的增量，dy为函数y=f(x)在x点的增量，则有dy = f'(x)dx。

微分可以近似描述函数的变化情况，例如在曲线上某一点的切线方程。

三、常用函数的导数计算1. 幂函数导数计算：设f(x) = x^n，其中n为自然数，则f'(x) = nx^(n-1)。

2. 指数函数导数计算：设f(x) = a^x，其中a为正数且a≠1，则f'(x) = a^x * ln⁡a。

3. 对数函数导数计算：设f(x) = ln⁡x，则f'(x) = 1/x。

4. 三角函数导数计算：常见的三角函数包括正弦函数sin⁡x、余弦函数cos⁡x、正切函数tan⁡x等。

它们的导数分别为cos⁡x、-sin⁡x、sec^2⁡x。

《微积分（上）》教学大纲一、基本信息二、教学目标及任务本课程是高等学校经济类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。

三、学时分配教学课时分配四、教学内容及教学要求第一章函数（4学时）本章教学目的：掌握函数的概念；了解函数的几何特性并掌握其几何特性的图形特征；了解反函数的概念并会求反函数；理解复合函数的概念并掌握将复合函数分解为简单函数的方法；理解基本初等函数的概念并熟练掌握基本初等函数的定义域、值域和基本性质；理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。

本章主要内容：函数的概念；函数的几何性质；反函数；复合函数；基本初等函数；初等函数。

重点：1、函数的定义。

2、初等函数的定义。

3、反三角函数的性质。

难点：1、复合函数的分解。

2、有界性的定义。

第一节实数1. 实数及其几何表示2. 实数的绝对值及其性质3. 区间与邻域的概念第二节函数的概念1. 常量与变量2. 函数的概念及其表示法3. 函数的定义域与值域的概念和计算4. 分段函数的概念第三节函数的性质函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的概念及其图形特征第四节反函数与复合函数1. 复合函数与反函数的概念2. 复合函数的分解与反函数的求法第五节初等函数1. 基本初等函数的概念、定义域、值域、基本性质，及其图形（这里请自行增加关于反三角函数的较详细介绍）2. 初等函数的概念第二章极限与连续（18学时）本章教学目的：了解数列与函数极限的概念；理解无穷小量与无穷大量的概念；了解无穷小量与无穷大量的关系；掌握无穷小量的性质与无穷小量的比较；了解极限存在性定理；熟练掌握极限运算法则；熟练掌握两个重要极限；掌握求极限的基本方法；理解函数连续性的概念；理解函数间断的概念；了解连续函数的性质；了解初等函数在其定义区间必连续的结论；了解闭区间上连续函数的性质；掌握用连续的定义讨论函数连续性的方法。

微积分补充习题 (16号，早上)第1章 函数的极限与连续一、单项选择题：1．函数21arccos1++-=x x y 的定义域是（ ）． （A ）]1,(-∞ （B ）]1,1[- （C ）]1,3[- （D ）)1,3(- 2．函数()231-=x e x f 在()+∞∞-,上是（ ）． （A ）单调增加函数 （B ）单调减少函数 （C ）非单调函数 （D ）有界函数 3．下列函数中为奇函数的是（ ）．（A ）()24x x x f -= （B ）()⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx x f （C ）()x x x f cos += （D ）()xxx f --=224．下列变量在给定变化过程中为无穷小的是（ ）．（A ）)0(1sin →x x （B ）)0(1→x e x （C ）)0)(1ln(2→+x x （D ）)3(932→--x x x 5．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 在点0x 处连续的（ ）． （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件二、填空题：1．函数3x y =的反函数为 ． 2．函数x y 5sin =的周期为 ． 3．当∞→x 时，()x f 与21x是等价无穷小，则()=∞→x f x x 23lim ． 4．=-→20cos 1limx xx ．5．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,20,sin x k x x xx f 在()+∞∞-,内连续，则=k ．第2章 导数与微分一、单项选择题：1．设()00=f 且极限()x x f x 0lim→存在，则()xx f x 0lim →等于（ ）． （A ）()x f ' （B ）()0'f （C ）()0f （D ）()0'21f2．设()x f 在点1=x 处可导，而且()()2111lim 0=∆-∆+→∆x f x f x ，则()1'f 等于（ ）．（A ）21- （B ）41- （C ）41 （D ）213．设()x f 在点0x 处可导，而且()10=x f ，则()x f x x 0lim →等于（ ）．（A ）1 （B ）0x （C ）()0'x f （D ）不存在 4．函数()x f 在点0x 处连续是()x f 在点0x 可导的（ ）． （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件 5．设函数()x x x f 2ln =而且()2'0=x f ，则()0x f 等于（ ）． （A ）12-e （B ）1 （C ）e 21（D ）e 二、填空题：1．设函数()()xe xf -=cos ，则()=0'f ．2．设函数()xex f sin =，则()=x f " ．3．设()()()x e x x f ϕ-=，其中()x ϕ在点e x =处连续，则()x f 在点e x =处可导，而且()=e f ' ．4．曲线x x y 2sin +=在点⎪⎭⎫⎝⎛+21,2ππ处的切线方程为 ．5．设函数()xxe x f =，则()=0"f ．第3章 中值定理与导数的应用一、单项选择题：1．在区间[]1,1-上，满足罗尔定理条件的函数是（ ）．（A ）1-=x y （B ）21x y -= （C ）xy 1=（D ）x y = 2．函数21x y -=在区间[]3,1-上满足拉格朗日中值定理条件的ξ是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）23．在区间()+∞∞-,内，函数x x y -=arctan 是（ ）． （A ）单调减少 （B ）单调增加 （C ）不单调 （D ）有界 4．以下结论正确的是（ ）．（A ）函数()x f 的不可导点，一定不是()x f 的极值点； （B ）函数()x f 的驻点，一定是()x f 的极值点； （C ）函数()x f 的极值点，一定是()x f 的驻点；（D ）0x 为()x f 的极值点且()0'x f 存在，则必有()0'0=x f ． 5．设()0"x f 存在且0x 是函数()x f 的极大值点，则必有（ ）． （A ）()0'0=x f ，()0"0>x f （B ）()0'0=x f ，()0"0=x f （C ）()0'0=x f ，()0"0<x f （D ）以上都不对一、填空题：1．设函数()()()()321---=x x x x f ，则方程()0'=x f 的实根个数为 ．2．函数()2123223+-+=x x x x f 的单调减少区间为 ．3．函数()222+-=x x x f 的极小值是 ．4．曲线133+-=x x y 的拐点是 ． 5．曲线()31-=x y 的上凸区间为 ．第4章 不定积分一、单项选择题：1．()=⎰x x f xd d d（ ）． （A ）()x f ' （B ）()⎰x x f d ' （C ）()C x f + （D ）()x f2．()=⎰dx x f '（ ）． （A ）()x f （B ）()C x x f +⎰d （C ）()C x f + （D ）()C x f +'3．函数()x f 的一个原函数是x1，则()=x f '（ ）． （A ）x 1 （B ）x ln （C ）32x （D ）21x-4．()x e x f 2-=的不定积分是（ ）．（A ）x e 221- （B ）x e 221-- （C ）C e x +-221 （D ）C e x +--2215．若())0(1'2>=x xx f ，则()=x f （ ）．（A ）C x +2 （B ）C x +2 （C ）C x +ln （D ）C x +ln 2二、填空题：1．设函数()x f 的一个原函数是2x e -，则()=⎰x x f d ．2．若()C ex x f x +=⎰33d ，则()=x f ．3．设()x e x f 2=，则()⎰x x f d '等于 ．4．=⎰x x exd cos sin ． 5．=⎰x x x d ln 1．第5章 定积分及其应用一、单项选择题：1．函数)(x f 在],[b a 上有界是函数)(x f 在],[b a 上可积的（ ）． （A ）充分必要条件 （B ）充分条件，但非必要条件 （C ）必要条件，但非充分条件 （D ）既非必要条件，也非充分条件 2．设⎰=22d sin πx x P ，⎰=2d sin πx x Q ，⎰-=222d sin 21ππx x R ，则（ ）．（A ）R P Q => （B ）R Q P <= （C ）R Q P << （D ）R Q P >> 3．变上限积分()⎰xa t t f d 是（ ）． （A ）()x f '的一个原函数 （B ）()x f '的全体原函数 （C ）()x f 的一个原函数 （D ）()x f 的全体原函数 4．下列等式中正确的是（ ）．（A ）()()x f x x f =⎰d ' （B ）()()x f t t f xba =⎰ d d d （C ）()()x f t t f x x a =⎰ d d d （D ）()()x f t t f x bx=⎰ d d d 5．下列积分中正确的是（ ）．（A ）⎰⎰=-111 d 2d 22x xe x xe x x （B ）⎰⎰=-222d sin 2d sin πππx x x x（C ）0d sin cos 32=⎰-ππx x x x （D ）34d 12d 1111=-=-⎰⎰-x x x x 二、填空题：1．若⎰=xt t y 0d sin ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6'πy ． 2．=⎰→320d 2sin limxt t xx ．3．若()7d 231=-⎰x k x ，则=k ．4．定积分()=++⎰-2 223d 1sin cos x x x x x．5．=+⎰∞+ 02d 11x x ． 第6章 多元函数微分学一、单项选择题：1．设22),(y x xyy x f -=+，则=),(y x f （ ）．（A ）x x y +-1)1(2 （B ）y x x +-1)1(2 （C ）x y y +-1)1(2 （D ）yy x +-1)1(22．二元函数()y x z +=ln 1的定义域是（ ）．（A ）0≠+y x （B ）0>+y x （C ）1≠+y x （D ）0>+y x 且1≠+y x3．()()=+++→221220,0,)1(lim y x y x y x （ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）e4．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,),(4444445y x y x y x xy x y x f ，则()=0,0x f （ ）．（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在5．设y x z +=，则=∂∂∂yx z2（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）不存在二、填空题：1．()()=→y xyy x sin lim0,2, ．2．已知二元函数()y x f z ,=在点()2,1处连续，则()()()=→y x f y x ,lim2,1, ．3．设()yxy x f arcsin,=，则()=1,'x f x ． 4．函数yx z =的全微分是=z d ．5．函数()224y x y x z ---=的极值点为 ．第8章 微分方程初步一、单项选择题：1．下列各式是微分方程的有（ ）． （A ）()'''uv uv v u =+ （B ）y y y 3'2"++（C ）()''xx e y e y +=+ （D ）13'2"=++y y y2．微分方程()0d 1d 2=--y x x y 是（ ）微分方程．（A ）一阶线性齐次 （B ）一阶线性非齐次 （C ）可分离变量 （D ）一阶线性齐次 3．下列方程中为二阶微分方程的是（ ）． （A ）1'"2=++y xy y x （B ）()0''2=+yy y（C ）x y x y y sin '22=+ （D ）()3212=-+y y x4．微分方程y y x x x y d ln d ln =满足初始条件11==x y 的特解是（ ）．（A ）0ln ln 22=+y x （B ）1ln ln 22=+y x （C ）y x 22ln ln = （D ）1ln ln 22+=y x 5．微分方程xyx y x y tan d d +=的通解是（ ）． （A ）x C x y =sin（B ）C x x y +=sin （C ）Cx x y =sin （D ）C yx=sin 二、填空题：1．设xey -=是微分方程()x y x p xy =+'的一个解，则()=x p ．2．微分方程1'"2=++y xy y x 的通解中所含的任意常数个数为 ．3．设x x e C e C y 221-+=是某一微分方程的通解，则满足()()20',10-==y y 的特解为 ． 4．方程02'=+y y 的通解为 ． 5．二阶微分方程x e y ="的通解是 ．参考答案第1章 函数的极限与连续一、单项选择题：1．C 2．A 3．D 4．C 5．A二、填空题：1．3x y = 2．52π3．3 4．21 5．1-第2章 导数与微分一、单项选择题：1．B 2．D 3．A 4．A 5．C二、填空题：1．1sin 2．()x x exsin cos2sin - 3．()e ϕ 4．1+=x y 5．2第3章 中值定理与导数的应用一、单项选择题：1．B 2．B 3．A 4．D 5．D二、填空题：1．2 2．[]1,2- 3．1 4．()1,0 5．()1,∞-第4章 不定积分一、单项选择题：1．D 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题：1．C ex +-22．3xe 3．C e x +2 4．C e x +sin 5．C x +ln ln第5章 定积分及其应用一、单项选择题：1．C 2．A 3．C 4．C 5．C二、填空题：1．21 2．32 3．411- 4．4 5．2π 第6章 多元函数微分学一、单项选择题：1．D 2．D 3．D 4．C 5．A二、填空题：1．2 2．()2,1f 3．221x x - 4．y x x x yx y y d ln d 1+- 5．()2,2-第8章 微分方程初步一、单项选择题：1．D 2．C 3．A 4．C 5．C二、填空题：1．()xe x +1 2．2 3．xey 2-= 4．xCey 2-= 5．21C x C e y x++=。

《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 dx x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。

填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数设函数2=÷÷øöççèæîíì<£+<<-=p f x xx x x f f代入函数可得答案,220££p答案：412p+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2¹³x x答案：](()¥+È-¥-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x f x g f x x g5.()()()x f d c b a dcx bax x f 1求反函数为常数,,,设-++= ()可知反函数,--,--,0--,a cy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx bax y ===+++=答案：acx dxb --6._________1sin lim 3310=®xx x答案：07.______sinlim =+¥®xx x x答案:是有界的由于x xxx x sin 1sin lim=+¥®8.()0______1lim 0>=-®a xa x x 答案:a a a xa x x x x ln 1ln lim 1lim 00==-®® 9.()_____1lim 1=-®x x x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==®m xmx x答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=ïïïîïïïíì>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin lim k 0==®xx x12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()¥+È-È-¥-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-®b a b x ax x x 解：()34lim 145lim ,5,04lim 12121=+=+++===++-®-®-®x x x x b a ax x x x x 。

《微积分》上考试大纲试卷题型：一、填充题（每题3分,共15分）二、选择题（每题3分,共18分）三、计算下列极限（每题6分，共12分）四、求下列函数的导数或积分（每题6分，共36分五、解下列各题（共19分）第一章：函数基本内容：1．函数：定义域、表示法、分段函数2．函数的4个常见性态：有界性、单调性、奇偶性、周期性3．反函数4．复合函数5．基本初等函数6．初等函数题型：1.求函数的定义域（具体、抽象）2.求复合函数（1）已知（2）已知3.求函数的反函数4.函数的奇偶性的判断第二章：极限与连续基本内容：1．数列极限(1)定义(2)收敛数列的重要性质：收敛→有界2．函数的极限3．函数的极限（1）定义（2）单侧极限（3）充要条件（4）保号性定理4．无穷大量与无穷小量(1)定义(2)无穷小的运算(3)无穷大与无穷小的关系(4)无穷小量的阶5．极限运算及性质（+，-，×，÷，及无穷小运算）6．重要极限7．在处连续的定义8．初等函数的连续性9．闭区间上连续函数性质（有界、最值、介值）题型：1．求极限（包括数列极限）方法：（1）用连续函数性质、定义（2）用罗比塔法则(注意条件)（3）利用重要极限（4）等价无穷小代换（5）分段函数分段点用充要条件2．已知极限求待定系数3．无穷小阶的比较（包括找无穷小,无穷大）4. 求连续区间（1）间断点的判断（第几类什么名称）(2)已知连续求待定系数第三章：导数、微分、边际与弹性基本内容：1．导数的定义2．可导与连续的关系4．导数公式5．导数运算法则（+，-，×，÷，复合，隐函数，对数求导法）6．高阶导数（二阶）7．微分定义8．微分公式题型：1.求函数的导数或微分（包括高阶导数）（1）一般函数（公式，四则运算）（2）复合函数（3）隐函数（4）对数求导法（5）变上限函数的导数2.求在某点的切线方程第四章：中值定理及导数应用基本内容：1．三个中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理2．函数单调性的判定定理3．极值的概念（1）极值的定义（2）极值的必要条件（3）极值的判定定理（第一、二充分条件）4．曲线凹凸性的概念（1）凹凸性的定义（2）凹凸性的判断5．函数的渐进线（1）水平渐进线（2）垂直渐进线题型：1.中值定理及应用（条件判断，证明不等式）2.判断函数的单调区间方法：（1）求定义，（2）求一阶导数，（2）列表，用定理判断3.求极值。

微积分补充习题第1章 函数的极限与连续一、单项选择题：1．函数()()22ln 1-=x x f 的定义域为（ ）．（A ）()()+∞⋃∞-,22, （B ）()()+∞⋃∞-,11,（C ）()()()+∞⋃⋃∞-,33,22, （D ）()()()()+∞⋃⋃⋃∞-,33,22,11, 2．函数()231-=x e x f 在()+∞∞-,上是（ ）． （A ）单调增加函数 （B ）单调减少函数 （C ）非单调函数 （D ）有界函数 3．下列函数中为奇函数的是（ ）．（A ）()24x x x f -= （B ）()⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx x f （C ）()x x x f cos += （D ）()xxx f --=224．下列变量在给定变化过程中为无穷小的是（ ）．（A ）)0(1sin →x x （B ）)0(1→x e x （C ）)0)(1ln(2→+x x （D ）)3(932→--x x x5．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 在点0x 处连续的（ ）． （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件二、填空题：1．函数3x y =的反函数为 ． 2．函数x y 5sin =的周期为 ． 3．当∞→x 时，()x f 与21x是等价无穷小，则()=∞→x f x x 23lim ． 4．=-→20cos 1limxxx ． 5．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,20,sin x k x x x x f 在()+∞∞-,内连续，则=k ．第2章 导数与微分一、单项选择题：1．设()00=f 且极限()x x f x 0lim→存在，则()xx f x 0lim →等于（ ）． （A ）()x f ' （B ）()0'f （C ）()0f （D ）()0'21f2．设()x f 在点1=x 处可导，而且()()2111lim 0=∆-∆+→∆x f x f x ，则()1'f 等于（ ）． （A ）21- （B ）41- （C ）41 （D ）213．设()x f 在点0x 处可导，而且()10=x f ，则()x f x x 0lim →等于（ ）．（A ）1 （B ）0x （C ）()0'x f （D ）不存在 4．函数()x f 在点0x 处连续是()x f 在点0x 可导的（ ）． （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件 5．设函数()x x x f 2ln =而且()2'0=x f ，则()0x f 等于（ ）． （A ）12-e （B ）1 （C ）e 21（D ）e 二、填空题：1．设函数()()xe xf -=cos ，则()=0'f ．2．设函数()xex f sin =，则()=x f " ．3．设()()()x e x x f ϕ-=，其中()x ϕ在点e x =处连续，则()x f 在点e x =处可导，而且()=e f ' ．4．曲线x x y 2sin +=在点⎪⎭⎫⎝⎛+21,2ππ处的切线方程为 ．5．设函数()x xe x f =，则()=0"f ．第3章 微分中值定理与导数的应用一、单项选择题：1．在区间[]1,1-上，满足罗尔定理条件的函数是（ ）． （A ）1-=x y （B ）21x y -= （C ）xy 1=（D ）x y =2．函数21x y -=在区间[]3,1-上满足拉格朗日中值定理条件的ξ是（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）23．在区间()+∞∞-,内，函数x x y -=arctan 是（ ）． （A ）单调减少 （B ）单调增加 （C ）不单调 （D ）有界 4．以下结论正确的是（ ）．（A ）函数()x f 的不可导点，一定不是()x f 的极值点； （B ）函数()x f 的驻点，一定是()x f 的极值点； （C ）函数()x f 的极值点，一定是()x f 的驻点；（D ）0x 为()x f 的极值点且()0'x f 存在，则必有()0'0=x f ． 5．设()0"x f存在且0x 是函数()x f 的极大值点，则必有（ ）．（A ）()0'0=x f ，()0"0>x f （B ）()0'0=x f ，()0"0=x f （C ）()0'0=x f ，()0"0<x f （D ）以上都不对一、填空题：1．设函数()()()()321---=x x x x f ，则方程()0'=x f 的实根个数为 ．2．函数()2123223+-+=x x x x f 的单调减少区间为 ．3．函数()222+-=x x x f 的极小值是 ．4．曲线133+-=x x y 的拐点是 ． 5．曲线()31-=x y 的上凸区间为 ．第4章 不定积分一、单项选择题：1．()=⎰dx x f dx d（ ）． （A ）()x f ' （B ）()⎰dx x f ' （C ）()C x f + （D ）()x f2．()=⎰dx x f '（ ）． （A ）()x f （B ）()C dx x f +⎰ （C ）()C x f + （D ）()C x f +'3．函数()x f 的一个原函数是x1，则()=x f '（ ）． （A ）x 1 （B ）x ln （C ）32x （D ）21x-4．()xe xf 2-=的不定积分是（ ）．（A ）x e 221- （B ）x e 221-- （C ）C e x +-221 （D ）C e x +--2215．若())0(1'2>=x xx f ，则()=x f （ ）．（A ）C x +2 （B ）C x +2 （C ）C x +ln （D ）C x +ln 2二、填空题：1．设函数()x f 的一个原函数是2x e -，则()=⎰dx x f ．2．若()C edx x f x +=⎰33，则()=x f ．3．设()xe xf 2=，则()⎰dx x f '等于 ．4．=⎰xdx e xcos sin ．5．=⎰dx x x ln 1．第5章 定积分一、单项选择题：1．函数)(x f 在],[b a 上有界是函数)(x f 在],[b a 上可积的（ ）． （A ）充分必要条件 （B ）充分条件，但非必要条件 （C ）必要条件，但非充分条件 （D ）既非必要条件，也非充分条件2．设⎰=20 2d sin πx x P ，⎰=20 d sin πx x Q ，⎰-=2 22d sin 21ππx x R ，则（ ）．（A ）R P Q => （B ）R Q P <= （C ）R Q P << （D ）R Q P >> 3．变上限的定积分()⎰xa t t f d 是（ ）． （A ）()x f '的一个原函数 （B ）()x f '的全体原函数 （C ）()x f 的一个原函数 （D ）()x f 的全体原函数 4．设()()22d -=⎰x f t t f xa ，且()10=f ，则()=x f （ ）．（A ）2x e （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 221 5．下列积分中正确的是（ ）． （A ）⎰⎰=-111d 2d 22x xe x xe x x （B ）⎰⎰=-222d sin 2d sin πππx x x x（C ）0d sin cos 32=⎰-ππx x x x （D ）34d 12d 1111=-=-⎰⎰-x x x x 二、填空题：1．若⎰=xt t y 0d sin ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6'πy ． 2．定积分()=++⎰-2 223d 1sin cos x x x x x．3．=⎰→320d 2sin lim xt t xx ．4．若()7d 231=-⎰x k x ，则=k ．5．=+⎰∞+ 02d 11x x． 第6章 多元函数微分学一、单项选择题：1．设22),(y x xyy x f -=+，则=),(y x f （ ）．（A ）x x y +-1)1(2 （B ）y x x +-1)1(2 （C ）xy y +-1)1(2 （D ）y y x +-1)1(22．二元函数22221arcsin 4lnyx y x z +++=的定义域是（ ）． （A ）4122≤+≤y x （B ）4122≤+<y x （C ）4122<+≤y x （D ）4122<+<y x （A ）0= （B ）不存在，但不是∞ （C ）1= （D ）∞= 3．=+→→22)(lim 220y x y x y x （ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）e4．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,),(4444445y x y x y x xy x y x f ，则()0,0x f （ ）．（A ）0= （B ）不存在，但不是∞ （C ）1= （D ）∞= 5．设vu u z =，则=∂∂uz（ ）． （A ）1-⋅v u vuu （B ）)1ln (1+⋅-u v u uv u v （C ）u u v u ln （D ）)1(ln 1+⋅⋅-u u u v v u u二、填空题：1．=→→yxyy x sin lim2 ．2．已知二元函数()y x f z ,=在点()2,1处连续，则()=→→y x f y x ,lim 21 ．3．设()yx y x f arcsin,=，则()=1,'x f x ． 4．函数yx z =的全微分是=dz ．5．函数()224y x y x z ---=的极值点为 ．第9章 微分方程与差分方程一、单项选择题：1．下列各式是微分方程的有（ ）． （A ）()'''uv uv v u =+ （B ）y y y 3'2"++ （C ）()''xxe y e y +=+ （D ）13'2"=++y y y 2．微分方程()012=--dy x dx y 是（ ）微分方程．（A ）一阶线性齐次 （B ）一阶线性非齐次 （C ）可分离变量 （D ）一阶线性齐次 3．下列方程中为二阶微分方程的是（ ）． （A ）1'"2=++y xy y x （B ）()0''2=+yy y（C ）x y x y y sin '22=+ （D ）()3212=-+y y x4．微分方程ydy x xdx y ln ln =满足初始条件11==x y的特解是（ ）．（A ）0ln ln 22=+y x （B ）1ln ln 22=+y x （C ）y x 22ln ln = （D ）1ln ln 22+=y x 5．微分方程xyx y dx dy tan +=的通解是（ ）．（A ）x C x y =sin（B ）C x x y +=sin （C ）Cx xy=sin （D ）C y x =sin二、填空题：1．设xey -=是微分方程()x y x p xy =+'的一个解，则()=x p ．2．微分方程1'"2=++y xy y x 的通解中所含的任意常数个数为 ． 3．设xxeC e C y 221-+=是某一微分方程的通解，则满足()()20',10-==y y 的特解为 ．4．方程02'=+y y 的通解为 ．5．一阶线性非齐次微分方程)()('x q y x p y =+的通解是 ．参考答案第1章 函数的极限与连续一、单项选择题：1．D 2．A 3．D 4．C 5．A二、填空题：1．3x y = 2．52π 3．3 4．215．1- 第2章 导数与微分一、单项选择题：1．B 2．D 3．A 4．A 5．C二、填空题：1．1sin 2．()x x exsin cos2sin - 3．()e ϕ 4．x +1 5．2第3章 微分中值定理与导数的应用一、单项选择题：1．B 2．B 3．A 4．D 5．D二、填空题：1．2 2．[]1,2- 3．1 4．()1,0 5．()1,∞-第4章 不定积分一、单项选择题：1．D 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题：1．C ex +-22．3x e 3．C e x +2 4．C e x +sin 5．C x +ln ln第5章 定积分一、单项选择题：1．C 2．A 3．C 4．A 5．C二、填空题：1．21 2．4 3．32 4．411- 5．2π 第6章 多元函数微分学一、单项选择题：1．D 2．A 3．A 4．C 5．B二、填空题：1．2 2．()2,1f 3．221x x - 4．xdy x dx yxy y ln 1+- 5．()2,2-第9章 微分方程与差分方程一、单项选择题：1．D 2．C 3．A 4．C 5．A二、填空题：1．()xe x +1 2．2 3．xey 2-= 4．xCey 2-= 5．()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dxx p dx x p。

1. 极限求极限的方法1) 利用极限的四则运算法则 2) 利用极限存在准则3) 利用关于无穷小量的定理（如有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量等） （这个知识点每年必考）4) 利用极限存在的充要条件()()0000f x f x -=+（这个知识点适用于三种情形：“分段函数、绝对值函数和指数函数） 5) 利用等价无穷小代换定理（要熟记八对等价无穷小） 6) 利用函数的连续性 7) 利用恒等变形8) 利用两个重要极限及一些常用的极限①00sin tan lim1,lim 1x x x xx x→→== ②1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或 ()10l i m 1x x x e →+= ③110110,lim 0,,n mn n n n m m x m m a m n b a x a x a m n b x b x b m n---→∞-⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩当当 当 ④()0ln 1lim1x x x→+=⑤201cos 1lim 2x x x →-= 9) 利用洛比达法则求极限① 在极限式子中，如果出现非零的极限因子，则用极限的乘法把它分离出去，然后使用洛比达法则，可使计算变得简单.② 在0""0未定型中,如果能用简单的等价无穷小替换,则先替换,然后应用洛比达法则,可使求导计算简单. 10) 利用导数定义凡已知函数可导或在某一点可导求此式极限时,一般考虑用导数的定义,如已知()f x 在0x 处可导,则此式的极限()()()()()000000'limlim .x x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--==∆- 问题的关键是将所求比式的极限转化为上述其中的一种形式,注意自变量的改变量x ∆的表达式多样性即可. （有时为,x ∆有时为,2x ∆或h 等）例1.求 2211sin sin 10lim lim 111x x x x x x x x x →∞→∞---===++例2.求=→x x x x sin ln 1lim 2020sin ln lim x x x x →（洛必达）x x x x x x x x 2sin .cos .sin lim 20⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→ （注意到1sin lim0=→x x x ，故非零因子xxsin 的极限可以提前拿到极限号外面去，这是个重要的简化技巧）30sin .cos lim 21x x x x x -=→（洛必达()203cos sin cos lim 21x x x x x x --=→ .61sin lim 610-=-=→x x x类似的题再举一个：()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-+→→→x x x x x x x x e x x x x x x x 11ln 11lim 1lim 1lim 2101010 .232lim 20ex x x e x -=+-=→ 例3．求()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+++ 解:原式=()20013sin cos1limlim1cos ln 1x x x x x x x →→+⋅++（注意到,1cos 11lim0=+→xx 及()0~1ln →+x x x ，但要注意上式中的x sin 不可用x 来代替，为什么？）2013sin cos1lim 2x x x x x→+=0013sin 13lim lim cos 22x x x x x x →→⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦（注意倒数第二步用到).01cos lim 0=→xx x 例4. 求().1ln cos sin 1lim2xxx x x +-+→ 解:原式xx x x x x x x cos sin 11.cos sin 1lim20++-+=→ （注意上式用到21cos sin 11lim=++→x x x x 及()().0~1ln 22→+x x x ）.4321121cos 1sin lim 2120=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=→x x x x x 例5. 求()122lim 2sin cos x x x x→+解：原式=()222sin 12sin 0lim[1sin ]x x xx xe →+=（关于三角函数，三个“1”和两个倍角公式必须记住，最好还要记住加法公式及和差化积，积化和差公式）. 例6．求22lim sin1x xx x→∞+ 解：由于()∞→++x xxx x 2212~12sin，故 原式=222lim 21x x x →∞=+例7．求21cos 0limln(1)t xx x e dtt dt-→+⎰⎰解：原式()()x x e xx +'-=-→1ln cos lim 2cos 0=22(cos )(cos )100sin sin limlim ln(1)x x x x e x e x e x x---→→==+ 例8．若1lim ()x f x →存在，且31()24lim ()x f x x x f x →=++，求()f x解：两边求极限可得31111lim ()lim lim24lim ()x x x x f x x x f x →→→→=++，则可得1lim ()1x f x →=-，故()32 4.f x x x =+-例9．若213lim 1x x ax b x →-+=-，求,a b解：（这里用到一个重要结论： 若()()lim(x x f x C C g x →=为常数，也可以为0），且()0lim 0,x x g x →=则 ()0lim 0.x x f x →=考试必考）由题意知，21lim(3)0x x ax →-+=，则4a =；故211143(3)(1)lim lim lim(3)211x x x x x x x x b x x →→→-+--==-=-=-- 例10．21lim2x x x →+-解：21lim2x x x →-+- ()()()()xx x x x x ++--+-=→131.1212lim1()().62131.22lim1-=++-+-=→xx x x例11．求22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：（此题考察数列极限存在的夹逼准则）由于22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++， 而221(1)1212lim lim 2n n n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++，221(1)1212lim lim 112n n n n nn n n n →∞→∞++++==++++， 由夹逼定理知，原式=12.例12．已知()2,'()3f a f a ==，求220(2)()lim h f a h f a h h→+--解：原式00(2)()lim[(2)()](2)()()()2()lim[2]26()'()36h h f a h f a h f a h f a h hf a h f a f a h f a f a h hf a f a →→+--=++-+---=+-==例13．设2301sin ,0(),0x t dt x f x x ax ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，求a 的值.解：由于()f x 在0x =处连续，则()320sin limlim x dt t x f a xx x ⎰→→==（洛必达）.313sin lim220==→x x x 例14．若11),0()1,0(2),0xa x x f x xb e x -⎧<⎪⎪=⎨=⎪⎪+>⎩在0x =处连续，求,a b 的值.解：（此题考察可导必连续的知识点，考试必考）由于()f x 在0x =处连续，则01)1lim ()lim lim 2x x x a af x x ---→→→-==== 11lim ()lim (2)2xx x f x b e b ++-→→==+=故12,2a b ==2. 导数(微分)及其应用（1） 讨论分段函数在分界点处的可导性，必须用导数定义情形一 设0(),()(),x x x f x x x x ϕψ≥⎧=⎨<⎩，讨论0x x =点的可导性由于分界点0x x =处左、右两侧所对应的函数表达式不同，按导数的定义，需分别求0'()f x -，0'()f x +.当0'()f x -=0'()f x +时，()f x 在0x x =可导，且0'()f x =0'()f x -=0'()f x +；当0'()f x -0'()f x +≠时，()f x 在0x x =不可导. 情形二 设00(),(),g x x x f x A x x ≠⎧=⎨=⎩，讨论0x x =点的可导性.由于分界点在0x x =处左、右两侧所对应的函数表达式相同，按导数的定义，000000()()()()'()limlim x x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--==∆-. （2）若讨论分段函数在定义域内的可导性，由于非分界点处的可导性显然，只需用定义讨论其分界点处的可导性即可.（3）因为可导的必要条件是连续，所以在做这类题目时，可首先观察分界点处的连续性，若不连续则必不可导，若在该点连续，则按（1）中的方法讨论其可导性.（4）计算复合函数的导数，关键是弄清复合函数的构造，即该函数是由哪些基本初等函数或简单函数经过怎样的过程复合而成的，求导时要按复合次序由外向内一层一层求导，直至对自变量求导数为止.（5）对于抽象函数的求导，关键是记号的意义，如对[()]y f x ϕ=而言，([()])'f x ϕ表示y 对自变量x 的导数，而'[()]f x ϕ表示y 对中间变量()x ϕ的导数，故()[]()()[]()x x f x f y ϕϕϕ''='='.（6）对数求导法常用于对下面两类函数求导：①形如()[()]g x f x 的幂指函数；②由乘除、乘方、开方混合运算所构成的函数.（7）欲求由方程(,)0F x y =所确定的隐函数()y f x =的一阶导数，有下面三种方法：①要把方程中的x 看作自变量，而将y 视为x 的函数，方程中关于y 的函数便是x 的复合函数.用复合函数的求导法则，便可得到关于'y 的一次方程，从中解出'y 即为所求.②利用微分的四则运算和一阶微分形式不变性求解. （8）由参数方程所确定的函数的一阶导数一般都是参变量t 的函数，而所求函数的二阶导数22d y dx 是dydx再对x 求导，事实上是一种复合函数求导问题.复合关系图为dy t x dx→→.故dt dx dy dt d dx dt dx dy dt d dx y d ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=.22. （9）变限函数的导数.①()()x a d f t dt f x dx =⎰，②()()(())'()x a d f t dt f x x dx ϕϕϕ=⎰， ③()()()(())'()(())'()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx=-⎰.（注意：()()a f dadt t f d x a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰） 例1．设1()sin ,0()0,0g x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中(0)'(0)0g g ==，求'(0)f . 解：'(0)f ()()=--=→00limx f x f x ()().01sin .00lim 0=--→xx g x g x （因为()()()0000lim0='=--→g x g x g x ，而且11sin ≤x）例2．设,0()sin 2,0ax e x f x x b x ⎧≤=⎨+>⎩，在0x =可导，求,a b 的值.解：因为()f x 在0=x 处可导，从而()f x 在0=x 处也连续.又因为()1lim 0=-→x f x ；();lim 0b x f x =+→故.1=b 再由于()f x 在0=x 处可导，则()().00+-'='f f又();lim 1lim 000a a axxe f x ax x ==-='→→--()();22sin lim 112sin lim 000==-+='++→→+x x x x f x x 所以，.2=a . 例3．设221(),'()ln(1)1x y f f x x x -==++，求'(0)y . 解：='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'='112.112x x x x f y ().13.1122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'x x x f 所以，()().2ln 33.10=-'='f y例4．设arctan y x x =-，求''y .解：[]()[]'+-'='21ln 21arctan x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=2212211arctan x x x x x ;arctan x = .112x y +='' 例5．y =，求''(0)y . 解：解：()()[]()();1ln 211ln 211ln 1ln 2122x x x x y +--=+--=();111.2112.21111.2122xx x x x x y +--=+---='所以， ().231210-=--=''y例6．设2()ln ()y f x f x =+，其中()0f x >且''()f x 存在，求''y . 解：()()();2.2x f x f x x f y '+'=' ()()[]()()()[]()..24.22222x f x f x f x f xf x x f y '-''+'+''=''例7．设()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+所确定，求x dy dx=.解：方程两边对x 求导得：23221(2)3cos dy dy x x y x x x y dx dx+=+++ 不必整理出dx dy的表达式，直接让0,1x y ==代入上式，得01x dy dx==.例8．设()y y x =由方程012=-⎰+-dt e x x y t 所确定，求'(0)y .解：方程两边对x 求导得：()().0112='+-+-y e x y 让0,1x y ==代入上式，得'(0)y =1e -.例9．设()f x 为连续函数，且ln 1()()xx F x f t dt =⎰，求'()F x .解：()()()'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='x x f x x f x F 1.1ln .ln ().1.1ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x x f x例10．求202(cos )xd x t dt dx ⎰. 解：注意到，由于积分变量为t ，故在积分中x 为常数，可以提到积分号的外面去.由于⎰⎰=020222cos cos xxdt t x dt t x ，所以202(cos )xd x t dt dx ⎰=220024224cos (2cos )cos 2cos x x t dt x x x t dt x x +⋅-⋅=-⋅⎰⎰()().1111212222xx x y +--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=''例11．设()f x 为连续函数，求0()().xd x t f t dt dx -⎰解：由于()()()()dt t tf dt t f x dt t f t x xx x ⎰⎰⎰-=-0，所以，()()()()()().000dt t f x xf x xf dt t f dt t f t x dx d x x x ⎰⎰⎰=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=- 例12．求20sin().xd x t dt dx -⎰解：由于02220sin()sin ()sin xxxx t dtx t uu du u du --=-=⎰⎰⎰，所以22200sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx-==⎰⎰. （被积函数中含有参数x ，要么能提到积分号面去，要么能通过变量替换，使之化为变限函数）.例13．设()y y x =由方程组2tt yx tee e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩所确定，求0.t dy dx =解：方程2=+y t e e 两边关于t 求导，得：,0.=+dt dy e e yt故 ;y tee dt dy -=又.t t te e dt dx += 所以，().11t e dt dx dt dy dx dy y +-== 当0=t 时，由方程2=+y t e e ，得：,0=y 故.1|0-==t dx dy例14．设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定，求曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程.解：方程两边对x 求导得：()()(),0sin 22='++'++y x y xy y e y x 将0,1x y ==代入得01'2x y y ===-，故()y f x =在点(0,1)处的法线方程为：11(0)2y x -=-.即：220.x y -+=例15．求曲线sin 2cos t tx e ty e t⎧=⎨=⎩在点(0,1)处的切线方程.解：cos sin cos sin sin 22cos2sin 22cos2t t t tdy dy e t e t t t dt dx e t e t t t dt --===++ 当0x =时，0t =，1.2t dy dx == 故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0).2y x -=-即：220x y -+= 例16．1(1)xy x =+，求dy . 解：()xx ey +=1ln ，()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='+x x ey xx 1ln 1ln ()()21ln 1ln .11x x x x e xx +-+=+()()()().11ln .1121x x x x x x x +++-+=所以，()()()()..11ln .1121dx x x x x x x dx y dy x+++-+='= 例17．设ln(tan )cos (0)22sin t x tt y tπ⎧=+⎪<<⎨⎪=⎩，求22d y dx 例18．设()()3232.1-+-=x x x y ，求'.y解：()()().3ln 312ln 321ln ln --++-=x x x y上式两边关于x 求导得：.31.3121.32111--++-='x x x y y 所以 ，()().31.3121.3211.32.132⎪⎭⎫⎝⎛--++--+-='x x x x x x y例19．求23()23(1)f x x x =--+的单调区间及极值. 解：（一）()+∞∞-=,D ;（二）()()3331121112---=+--='-x x x x f ; （三）令()901=⇒='x x f .在12=x 处不可导.（四）列表判断：x （)1,∞- 1 ()9,1 9 ()+∞,9()f x '+ 0 — 0 + ()x f ↑ 极大 3 ↓ 极小-1 ↑ 例20. 求曲线()2211xy x =+-的凹凸区间及拐点.解：（一）()()+∞⋃∞-=,11,D ；（二）()()()()342122112.212---=----='x x x x x x y ，()().1244-+=''x x y （三）令()201-=⇒=''x x f .无二阶不可导点. （四）列表判断：x （)2,-∞- -2()1,2-1()+∞,1 ()f x ''— 0 + 不存在+ ()x f 拐点（-2，95） 不存在例21. 已知曲线32y ax bx cx =++上点()1,2处有水平切线,且原点为该曲线的拐点,求,,.a b c解：c bx ax y ++='232；.26b ax y +=''由题意知：()()().01,01,21=''='=y y y 即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++.026,023,2b a c b a c b a 解之，得：.6,6,2=-==c b a 例22. 设在[]0,1上,()''0f x >,试给出()()()().01,1,0f f f f -''的大小顺序. 解：因为在[]0,1上()''0f x >，所以()x f '在[]0,1上单调增加，故()()10f f '<'；由微分中值定理知：存在()1,0∈ξ，使得 ()()()()()ξξf f f f '=-'=-0101，又()()()10f f f '<'<'ξ，所以，有： ()()()().1010f f f f '<-<'例23．求()2412x y x+=-的水平与垂直渐近线. 解：因为()2214limlim 2-=-+=∞→∞→x x y x x ，故2-=y 是水平渐近线； 又因为 ()∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=→→214lim lim 200x x y x x ，故0=x 是垂直渐近线. 3. 不等式证明的方法(1) 利用拉格朗日中值定理可证明联合不等式,步骤为: ① 从中间表达式确定出()f x 及区间[],a b , ② 验证()f x 在[],a b 上满足拉氏定理的条件,得:()()()()()'f b f a f b a a b ξξ-=-<<③ 分别令,a b ξξ==破坏这个等式得不等式. (2) 利用函数的单调性证明不等式一般步骤为:① 移项(有时需作其它简单变形),使不等式一端为零,另一端为()f x② 求()'f x 并验证()f x 在指定区间的增减性,若()'f x 的符号判定不了,再求()''f x ,③ 求区间端点的函数值(或极限值)，作比较既得所证. (3) 利用最大值与最小值证明不等式. ① 求()'f x ,② 令()'0f x =可得驻点0x x =,若0x x =是区间内唯一的驻点且是极值点,则0x x =一定是最值点.(4) 利用凹凸性证明不等式. (5) 利用定积分证明不等式.例1.证明:|arctan arctan |||b a b a -≤-.证明：令 ().a r c t a n x x f =由拉格朗日中值定理，得：存在()b a ,∈ξ，使得 ()()()()a b f a f b f -'=-ξ，即()a b a b -+=-.11arctan arctan 2ξ故 ..11arctan arctan 2a b a b a b -≤-+=-ξ 例2． 证明:当02παβ<<<时,22tan tan cos cos βαβαβααβ--<-<.证明：令 ().t a n x x f =由拉格朗日中值定理，得：存在()βαξ,∈，使得()()()()αβξαβ-'=-f f f ，即()()αβξαβξαβ-=-=-.cos 1.sec tan tan 22 又由于 βξαπβξα222c o s c o s c o s 20>>⇒<<<<，所以有：22tan tan cos cos βαβαβααβ--<-<例3．证明:当0x >时,11cos .xe x x -->-证明：令 ()()()2c o s c o s 11-+-=----=x x e x x e x f x x ，()+∞∈,0x则 ();s i n 1x e x f x --='().c o s x e x f x +=''注意到，当()+∞∈,0x 时，,1cos ,1-≥>x e x 故(),0>''x f 因此()x e x f x sin 1--='在[)+∞,0上单增.所以当()+∞∈,0x 时，有：()(),00='>'f x f 即(),0>'x f 因此()()()x x e x f x cos 11----=在[)+∞,0上单增.所以当()+∞∈,0x 时，有：()(),00=>f x f 即有：11cos .xe x x -->-例4．证明:当()+∞∞-∈,x 时,.11≤-x xe 证明：令 ().1x xe x f -=则()().11x e x x f --=' 令()0='x f ，得()x f 在()+∞∞-,内的唯一驻点.1=x又当()1,∞-∈x 时，()0>'x f ；而当()+∞∈,1x 时，(),0<'x f 所以()11=f 为()x f 在()+∞∞-,内的最大值，故对于任何的()+∞∞-∈,x ,有：()(),1f x f ≤即当()+∞∞-∈,x 时,.11≤-x xe 例5．证明:当02x π<<时,cos 1sin xe x x >-.证明：令，().1sin cos -+=x x e x f x故原不等式等价于 x x e x t a n s e c->. 则 ()();s i n c o s x x e x f x -='()().12.sin +-='x x e e x x f因为(),0<'x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，故()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是凸函数.又因为 (),020=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f 故由凸函数的几何意义知：当02x π<<时, (),0>x f 即当02x π<<时,cos 1sin xe x x >-例6．设()f x 在[]0,1上连续单减,证明:当01λ<<时,()()1.f x dx f x dx λλ>⎰⎰证法一：原不等式等价于证明：()().011>-⎰⎰dx x f dx x f λλ().1,0∈λ令 ()()().11dx x f dx x f F ⎰⎰-=λλλ则 ()()()()()200211λλλλλλλλλ⎰⎰-=+-='dxx f f f dx x f F由积分中值定理知，()()()().0.0ξλλξλf f dx x f =-=⎰().,0λξ∈ 故 ()()()[]2λξλλλf f F -=' 又由题设，()f x 在[]0,1上单减知，()(),ξλf f <故有 (),0<'λF 故()λF 单减，()().01=>⇒F F λ().1,0∈λ 即有()().011>-⎰⎰dx x f dx x f λλ().1,0∈λ证法二：设 ,t x λ=则.d dx λ=当0=x 时，;0=t 当λ=x 时，.1=t则()().1dt t f dx x f ⎰⎰=λλλ又因为,010t t <<⇒<<λλ且在[]0,1上单减，故有()()t f t f >λ， 所以有：()()().110dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰>=λλλλ证法三：原不等式等价于证明：()().01>-⎰⎰dx x f dx x f λλ事实上，()dx x f ⎰1()dx x f ⎰=λ0()dx x f ⎰+1λ（1）由积分中值定理知()dx x f ⎰1λ()()λξ-=1.1f （其中(),1,1λξ∈）（2） 将（2）代入（1）式，有()dx x f ⎰10()dx x f ⎰=λ()()λξ-+1.1f （3） 故()()dx x f dx x f ⎰⎰-1λλ（由（3）式）()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰100.1ξλλλλf dx x f dx x f ()()()().1.110ξλλλλf dx x f ---=⎰ （4）又由积分中值定理知()dx x f ⎰λ()()().0.22ξλλξf f =-= （其中 ().,02λξ∈） （5） 将（5）代入（4）式，有()()dx x f dx x f ⎰⎰-1λλ()()()[]12.1ξξλλf f --= （6）（注意到01λ<<；()f x 在[]0,1上单减，且12ξξ<()()[],012>-⇒ξξf f ） 所以，()()()[].0.112>--ξξλλf f 因此由（6）式得到()().01>-⎰⎰dx x f dx x f λλ例7．当()f x 在[],a b 上连续单增时,()()2b baa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 证明：令 ()()().2dt t f x a dt t tf x F xa xa ⎰⎰+-=[]b a x ,∈ 则 ()()()()x f xa dt t f x xf x F x a 221+--='⎰ ()()dt t f x f a x x a⎰--=212由积分中值定理知，()()()..a x f dt t f xa-=⎰ξ().,x a ∈ξ故 ()()()[]ξf x f ax x F --='2又由题设，()f x 在[]b a ,上单增，()(),ξf x f >⇒故有(),0>'x F 故()x F 单增，()().0=>⇒a F b F即有 ()()02>+-⎰⎰dt t f b a dt t tf ba ba ，亦即：()()2b b a aa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 4. 不定积分求不定积分有三大法则:分项积分法,换元积分法和分部积分法.而udv uv =⎰vdu -⎰,选择u 的次序按“反﹑对﹑幂﹑三﹑指”进行.例1． 求()()2211x dx x x-+⎰.解：()()2211x dx x x -+⎰()()dx x x x x ⎰+-+=22121dx x ⎰=1.arctan 2ln 1122c x x dx x +-=+-⎰ 例2． 求21sin .1cos 2xdx x++⎰解：dx x x ⎰++2cos 1sin 12()dx x x⎰-++=1cos 21sin 122dx x x ⎰-=22cos cos 221 dx x ⎰=2sec .2tan 21c xx +-=-例3． 求.cos sin 12cos dx x x x⎰+ 解：=+⎰dx x x x cos sin 12cos dx x x x ⎰+cos sin 222cos 2dx x x⎰+=2sin 22cos 2 ().2sin 2ln 2sin 22sin 21c x xd x ++=++=⎰ 例4． 求.12dxe e xx⎰+ 解： dx e e x x ⎰+12()dx e e x x ⎰++-=1112()+-=⎰dx e x1dx e x ⎰+11 ⎰⎰-=dx dx e xdx ee x x ⎰--++1x e x-=()x x e d e --++-⎰111 x e x -=().1ln c e x ++--另解：令 ,t e x =则dt tdx t x 1,ln ==dt t t t dx e e x x ⎰⎰+=+1.1122()dt tt ⎰+-+=111dt t dt ⎰⎰+-=111 c t t +++=1ln ().1ln c e e x x ++-=例5． 求2sin sin 21cos x x dx x ++⎰解：2sin sin 21cos x x dx x++⎰dx x x ⎰+=2cos 1sin dx x x⎰++2cos 12sin ()x d x cos cos 112⎰+-=()x d x22cos 1cos 11++-⎰ ()x cos arctan-=().cos 1ln 2c x ++- 例6． 设()22'sin cos 2tan ,f x x x =+求()f x . 解：由题设：()22'sin cos 2tan ,f x x x =+即().sin 1sin sin 21sin 2222xxx x f -+-='故得： ().211121x xx x x x f --=-+-='所以 ().1ln 2112c x x dx x x x f +---=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎰例7． 求dx xx⎰+2211.解法一（三角代换）：令,tan t x =则.sec 2tdt dx =dx x x⎰+2211dt t tt ⎰=22sec .sec .tan 1dt t t ⎰=2sin cos ()t d t sin sin 12⎰= .1sin 12c xx c t ++-=+-=解法二（倒代换）：令,1t x =则.12dt tdx -=dt t t dt t tt dx x x⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+22222211.11.1111()c xc t td t ++-=++-=++-=⎰22221112.2111121.12c x x ++-= 解法三（直接凑微分）：dx xx⎰+2211dx x x ⎰+=23111⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎰221111121x d x=++-=c x 2112.21.12c x x ++-例8．求.解：令,2t x =+则,22-=t x .2tdt dx =()dt t tt ⎰+-=2.212()dt t t t ⎰-+-+=21122dt t t t ⎰-++=2122()()dt t t ⎰+--211 ()22122-+-+=⎰t t d t t dt t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211131()2ln 2-+=t t c t t +++--2ln 311ln 31()222ln -+++=x x .2212ln31c x x +++-+- 例9． 求解：令,sin t x =则,cos tdt dx =tdt ttcos .cos 3⎰=dt t t ⎰=2sec .()t d t tan ⎰=（分部） antdt t t t ⎰-=tan .c t t t ++=cos ln tan ..1ln 1.arcsin 22c x x x x +-+-=例10．若()f x 的原函数为ln xx,求()xf x dx ⎰. 解：因为ln xx是()f x 的一个原函数，所以 ().ln 1ln .1ln 22x x x xx x x x x f -=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故()xf x dx ⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x xd dx x x x ln ln .（分部） ⎰+=dx x xx x x ln ln .()⎰+=x xd x ln ln ln .ln 21ln 2c x x ++=例11．求.tan 2⎰xdx x解：⎰xdx x 2tan ()⎰-=dx x x 1sec 2⎰⎰-=xdx xdx x 2sec()2tan 2x x xd -=⎰2tan tan .2x x xd x x --=⎰.2cos ln tan .2c x x x x +-+=例12．求.arctan 122xdx xx ⎰+ 解：xdx x x arctan 122⎰+()xdx x x arctan 11122⎰+-+= dx x ⎰=arctan xdx xarctan 112⎰+- 其中xdx arctan ⎰（分部）()x d x x x arctan arctan .⎰-=dx x x x x ⎰+-=21arctan .()2211121arctan .x d x x x ++-=⎰ ().1ln 21arctan .2c x x x ++-=其中=+⎰xdx x arctan 112().arctan 21arctan arctan 2c x x d x +=⎰ 所以xdx x x arctan 122⎰+()21ln 21arctan .x x x +-=.arctan 212c x +-例13．求()()2232ln 11ln 12x dx x d xx +⎛⎫=+-=⎪⎝⎭⎰⎰解：()dx x x ⎰+321ln ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰2211ln 21x d x （分部） ()()()22221ln 1211ln .1.21x d xx x +++-=⎰()()dx x x x x x ⎰+++-=222211ln .1.21其中()dx x x x ⎰+221dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111dx x ⎰=1dx x x ⎰+-21()2211121ln x d x x ++-=⎰().1ln 21ln 2c x x ++-= 所以()dx x x ⎰+321ln ()221ln .1.21x x +-=().1ln 21ln 2c x x ++-+例14．求.cos dx x ⎰解：令,t x =则,2,2tdt dx t x ==⎰⎰=tdt t dx x 2.cos cos()⎰=t td sin 2（分部）⎰-=tdt t t sin 2sin .2c t t t ++=cos 2sin .2.cos 2sin 2c x x x ++=例15．已知x e -是()f x 的一个原函数,求()dx x xf ⎰. 解：因为x e -是()f x 的一个原函数，所以()().x x e e x f ---='=故()xf x dx ⎰()()⎰⎰--='=xx e xd dx e x .（分部） ()⎰-+=--x d e e x x x ...c e e x x x ++=--例16．求.112dx x x x ⎰+++解：dx x x x ⎰+++112()dx x x x ⎰++++=12112212dx x x x ⎰+++=112212dx x x ⎰+++11212 ()1112122++++=⎰x x d x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰2143211212x d x ()1ln 212++=x x c x +++2321arctan .231.21()1ln 212++=x x .312arctan .31c x +++ 例17．已知xe -是()f x 的一个原函数,求().2dx x x f x ⎰'⎪⎭⎫ ⎝⎛解：因为x e -是()f x 的一个原函数，所以()().x x e e x f ---='=故()dx x x f x ⎰'⎪⎭⎫ ⎝⎛2()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f d x 2（分部） ()()()⎰-=22.x d x x f x x f x ⎰--+-=dx e x e x x x 2.2.2c e xe x x +--=-- 例18．求()dx x x ⎰2cos sin ln .解：()dx xx ⎰2cos sin ln ()dx x x ⎰=2sec .sin ln ()()x d x tan sin ln ⎰=（分部） ()()()x d x x x sin ln tan sin ln .tan ⎰-=()dx xxx x x sin cos .tan sin ln .tan ⎰-=()dx x x ⎰-=1sin ln .tan ().sin ln .tan c x x x +-=例19．求()dx e x x 2122-⎰-.解：()dx e x x 2122-⎰-dx e x x 222-⎰=dx e x ⎰--2其中()⎰⎰---=2222x x exd dx ex （分部）.22dx exex x ⎰--+-=所以()dx e xx 2122-⎰-()dx e xe x x ⎰--+-=22dx e x ⎰--2.2c xe x +-=-例20．求()dx x x ⎰-211. 解：()dx x x ⎰-211()()dx x x x x ⎰-+-=211()dx x x ⎰--=11()dx x ⎰-+211 dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111()dx x ⎰-+211dx x x d x ⎰⎰+---=1)1(11())1(112--+⎰x d x .11ln 1ln c x x x +--+--= 5. 定积分瓦里斯公式： ()()22001!!,!!2sin cos 1!!.!!n nn n n xdx xdx n n n πππ-⎧⋅⎪⎪==⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数，，为奇数例1． 求.2212dx x x ⎰--解：()()d x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-+-=---22012212222|01233-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x .3834343|2032=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 例2． 设()f x 是连续函数，且()()13201,1f x x f x dx x =++⎰求()f x . 解：设 ()dx x f a ⎰=10，则()32.11x a xx f ++=（1） （1）两边积分，得： ()dx x a dx x dx x f ⎰⎰⎰++=10310210.11，即 .344ππ=⇒+=a a a故 ()32.311x x x f π++= 例3． 设()24x dt t f x=⎰，40f ⎰.解：()24x dt t f x=⎰两边关于x 求导，得：().23x x f =所以4f⎰()==⎰dx xx f 4().1622|44243===⎰⎰x xdx dx xx例4． 设()21,0,0x x x f x e x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,求()312f x dx -⎰.解：令 ,2-=x t 则,dt dx =当1=x 时，;1-=t 当3=x 时，.1=t()312f x dx -⎰()==⎰-dt t f 11()+⎰-dt t f 01()dt t f ⎰10()+=⎰-dx x f 01()dx x f ⎰1()++=⎰-dx x 0121dx e x⎰10.313||10013e e x x x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=- 例5． 求()dx x xx ⎰-++2222cos 1sin ππ 解：()dx x x x ⎰-++2222cos 1sin ππ()++=⎰-dx x x 222cos 1ππ()dx x x ⎰-+2222cos 1sin ππ其中();0cos 1222=+⎰-dx x xππ()=+⎰-dx x x 2222cos 1sin ππ()dx x x ⎰+2022cos 1sin 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰x d x cos 11sin 220π（分部） ()x d x x x sin cos 112cos 1sin 22020|⎰+-+=ππdx x x ⎰+-=20cos 1cos 22πdx x⎰--=2222cos212cos 222πdx ⎰-=20122πdx x ⎰+2022sec ππ-=2⎪⎭⎫⎝⎛+⎰22sec 2202x d x ππ-=2.42tan 2|20ππ-=+x所以 ()dx x xx ⎰-++2222cos 1sin ππ.4π-= 例6． 求dx ex⎰-11.解：令 x t -=1，则,2,12tdt dx t x -=-=当0=x 时，;1=t 当1=x 时，.0=tdx ex⎰-11dt te t⎰-=012dt te t⎰=12()t e d t ⎰=12（分部）dt e et tt ⎰-=101|.2-=e 2().112|1+=--=e e e e t例7． 求().ln .ln 1143dx xx x e e⎰-解：令 x t ln =，则,,dt e dx e x tt==当e x =时，;21=t 当43e x =时，.43=t()dx x x x e e⎰-43ln .ln 11()dt e t t et t..114321⎰-=dt t t ⎰+-=432121 ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰212141143212t d t .62121arcsin |4321π=-=t例8．求2222=⎰⎰（令1sin x t -=）()2221sin t dt ππ-=+=⎰解一：dx xx x ⎰-2222()dx x x ⎰--=22211令 t x s i n 1=-，则,c o s ,s i n1t d dx t x =+=当0=x 时，;2π-=t 当2=x 时，.2π=t =-⎰dx x x x 2222()=-+⎰-tdt tt cos .sin 1sin 12222ππ()dt t ⎰-+222sin 1ππ +=⎰-dt 221ππdt t ⎰-22sin 2ππ.234.20sin 222ππππ=++=+⎰dt t 解二：=-⎰dx xx x 2222()=-+-⎰dx xx x x x222222+--⎰dx x x 222dx xx x ⎰-2222其中()()()()()|202222221111arcsin 211112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+--=----=--⎰⎰x x x x d x dx x x ;2π-=dx xx x ⎰-2222()dx xx x ⎰--+--=222222dx xx x ⎰-+--=22222dx xx ⎰-+22212()222221x x d xx ---=⎰()()11112202---+⎰x d x|2222x x --=().2201arcsin 2|20ππ=+=-+x所以=-⎰dx x x x 2222.2322πππ=+-例9．求1xdx ⎰.解：令 t x s i n=，则,cos tdt dx =当0=x 时，0=t 当1=x 时，.2π=t1xdx ⎰=-=⎰tdt t tt cos ..sin 1sin 22πtdt t sin .20⎰π()t d t cos 2⎰-=π（分部）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰2020cos cos .|ππtdt t t.1sin 0|20=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=πt例10． 证明方程221021sin 0sin xxt dt dt t ππ+=⎰⎰在,102ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一实根. 证明：令 ()⎰=xdt t x f 102sin π.s i n122⎰+xdt t π则()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,10ππ上连续，在,102ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导.（一） ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛10102sin 10πππdt t f ⎰+1022sin 1ππdt t ⎰+=1022sin 10ππdt t ;0s i n 12102<-=⎰ππdt t ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛2102sin 2πππdt t f ⎰+222sin 1ππdt t ⎰>+=2102.00sin ππdt t 所以()x f 在区间,102ππ⎛⎫⎪⎝⎭至少有一个实根；（二）又因为()2sin x x f =',0sin 12>+x 故()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,10ππ上单调增加，所以()x f 在区间,102ππ⎛⎫⎪⎝⎭至多有一个实根.综合（一）、（二）知，()x f 在区间,102ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一实根.例11． 证明:()dx dt t f x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡100()().110dx x f x ⎰-= 证法一：由分部积分公式()()()111000000.|x x x f t dt dx x f t dt xd f t dt ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰()()()()1111f t dt xf x dx f x dx xf x dx =-=-⎰⎰⎰⎰()()11.x f x dx =-⎰证法二：左端()dx dt t f I x⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100可看作二重积分()dxdt t f I D⎰⎰=化成的两次定积分，其中积分区域 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.10,0:x x t D 为三角形区域.改变积分次序后()⎰⎰=101tdx dt t f I ()()11.x f x dx =-⎰例12． 证明:()()()2002a a f x dx f x f a x dx =+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰,并求20sin 2sin x xdx x π-⎰. 证明：（一）()dx x f a⎰20()+=⎰dx x f a().2dx x f aa⎰其中 为计算 ()dx x f aa⎰2，令 t a x -=2，则,dt dx -=当a x =时，a t =当a x 2=时，0=t()dx x f aa⎰2()dt t a f a⎰--=02()dt t a f a⎰-=02().20dx x a f a⎰-=所以()dx x f a ⎰20()+=⎰dx x f a()dx x f aa⎰2()+=⎰dx x f a()dx x a f a⎰-02()()[].20dx x a f x f a ⎰-+= （1） （二）由已证过的（一）令 (),s i n 2s i n 2x x x x f -=.2π=a 则()()()()x x x x x x x f x f ----+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+ππππ22sin 2sin sin 2sin 2.2 ()xx x x xx 22sin 2sin sin 2sin --+-=π.sin 2sin 2x x -=π 由（1）式，得：=-⎰dx xxx π2sin 2sin =-⎰dx xx202sin 2sin ππdx xx⎰+22cos 1sin ππ()().440cos arctan cos cos 11220202|πππππππ=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=+-=⎰x x d x例13． 证明:2200sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x x ππ=++⎰⎰,并计算)00a a >⎰ 解：（一）令 t x -=2π，则,dt dx -=当0=x 时，2π=t 当2π=x 时，0=t 则=+⎰dx x x x 20cos sin sin πdt t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--022cos 2sin 2sin ππππ dt t t t ⎰+=20sin cos cos π.cos sin cos 20dx xx x⎰+=π（二）为计算⎰-+ax a x dx 022，令 t a x s i n=，则,cos t dt a dx =当0=x 时，0=t 当a x =时，.2π=t所以⎰-+=ax a x dx I 022=+=⎰dt ta t a ta 2cos sin cos πdx xx x⎰+20cos sin cos π；由已证的（一），知：dx xx x I ⎰+=2cos sin cos πdx x x x⎰+=20cos sin sin π故dx x x x I ⎰+=20cos sin sin 2πdx xx x⎰++20cos sin cos π.42cos sin cos sin 2020ππππ=⇒==++=⎰⎰I dx dx x x x x 例14． 求曲线[]sin ,0,y x x π=∈与x 轴所围成图形绕x 轴,y 轴旋转所得的立体 的体积. 解：（一）绕x 轴旋转所得的立体的体积..22sin 41222cos 1sin 2002|πππππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰x x dx x xdx V （一）绕x 轴旋转所得的立体的体积.()x d x xdx x V cos 2sin 20⎰⎰-==ππππ（分部）.2sin 2cos cos .22000||πππππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰x xdx x x 例15． 证明:()()0aaf x dx f a x dx =-⎰⎰,并计算41sin 2.1sin 2xdx xπ-+⎰解：（一）令 t a x -=，则,dt dx -=当0=x 时，a t =当a x =时，0=t 则()dx x f a⎰0()dt t a f a⎰--=0().0dx x a f a⎰-=（二） 令 (),2s i n 12s i n 1x x x f +-=.4π=a则()⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x x f x f 42sin 142sin 12sin 12sin 14πππ x x x x 2cos 12cos 12sin 12sin 1+-++-=.sin 2sin 2x x-=π 故 =+-⎰dx x x 402sin 12sin 1π=+-⎰dx x x 402cos 12cos 1πdx x x ⎰4022cos 2sin 2π()().41tan 1sec |40402πππ-=-=-=⎰x x dx x例16． 证明:()1122111,011xx dt dt x t t =>++⎰⎰. 证明：令 t u 1=，则,12du u dt -=当x t =时，xu 1=当1=t 时，.1=u。

微积分大一上册知识点总结微积分是数学的一个重要分支，广泛应用在物理、工程、经济学等领域。

大一上册微积分的学习内容主要包括导数、微分、积分和应用等方面的知识。

下面将对这些知识点进行总结。

第一部分：导数导数是微积分的基础概念，它描述了函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，其导数表示为f'(x)或dy/dx（读作“y对x的导数”）。

1. 导数的定义：导数的定义是极限的一种形式，即f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx，也可以理解为函数曲线上某一点切线的斜率。

2. 基本导数公式：常见的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数规则。

特别地，对于常数函数f(x) = C，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n（n为常数），其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

3. 导数的运算法则：导数具有一些运算法则，例如，对于函数f(x)和g(x)的和、差、积和商函数，其导数满足f'(x) ± g'(x)，[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，以及 [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。

第二部分：微分微分是导数的一个重要应用，可以用于近似计算和优化问题。

微分表示函数在某一点附近的局部线性逼近。

1. 微分的定义：对于函数f(x)，它在点x处的微分表示为df(x) = f'(x)dx，其中df(x)表示函数值的微小变化，dx表示自变量x的微小变化。

2. 高阶导数和高阶微分：函数的二阶导数表示为f''(x)，三阶导数表示为f'''(x)，依此类推。

同样地，高阶微分表示为d^2f(x)、d^3f(x)等。

《微积分》第一学期复习纲要注：(*仅限于了解，不做考试内容)【指】：《微积分学习指导》【教】：《微积分》P：页码考试题型分布：一、选择题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）三、简答题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）四．证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）五．应用题（本大题共1小题，每小题11分，共11分）第一章预备知识（第一章知识不考，主要是高中知识的复习）1.函数的有界性概念, 类基本初等函数的定义域值域及图像特点, 初等函数的概念.2.求函数的定义域, 将指定初等函数分解为简单函数的复合运算.第二章极限与连续1.数列极限与6种函数极限的形象定义.（不要求严格定义）2.无穷小量与无穷大量【指】P24例2，例3，P25例6.3.*极限的局部分析性质, 极限的运算性质的准确条件结论, 以及相关易错命题.4.*夹逼定理与单调有界定理的条件及结论 .5.求极限的常用方法：（与第四章L’Hospital法则合并）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∞⇓⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒∞∞.,,,Hospital 'L ..,,,.,,结合初等方法解决问题以及能灵活了解该法则的失效情况后再使用确保为标准不定型先准确判断法则：穷小量替换两个重要极限或等价无或上下同除有理化因式分解因子法：或消初等方法：再设法定型或均可转化为不定型：或无穷小量乘有界量初等函数的连续性极限的四则运算法则定型：一定要先判断000 【指】P47三、计算题1.3，一、选择题1.2. P48选择题5P112一、填空 8.9 ，P88 例8-11， P48二、填空1.4， P47三、计算1.3【教】P26例2.3.4-2.3.5连续函数的严格定义 , 初等函数连续性的准确含义 .【教】P32定义2.6.16. 实行函数的连续性【教】P34例2.6.4-2.6.67. *在定理的应用第三章 1. 线上的应用.2. 连续性、可导性、导函数的连续性的关系与区别. 【指】P51 内容提要6.3. 求导数：要小心使用哦！()()00lim .,.1,12.2f x f x x x x y ⎧--'⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩分段函数求导：在分段点处一定严格按导数（单侧导数）两边对求导解出）分清四则、复合运算层次后利用相关求导法则及个求导公式初等函数求导：显函数：）乘除运算较多的函数及幂指型函数：对数求导法（要充分利用对数性质化简再求导） 4. 微分的概念及作用, 可微与可导的关系. 【指】P69内容提要25. 微分的求解. 【指】P69内容提要36. *微分的在常见近似计算中的应用.7. *经济函数的边际与弹性的概念及其经济解释.常见经济函数的边际求法及解释, 需求价格弹性的求法及经济解释.【教】P70 例3.2.8【指】P71例4，例6 P74一、填空1.2.4.6.10 P7三(2)P75选择5.6 ，P78二、填空4.5【教】P81例3.4.8-3.4.10第四章 微分中中值定理与导数的应用1. Rolle 、Lagrange 中值定理的条件结论. 【指】P79一内容提要：1.22. 利用Rolle 中值定理与辅助函数构造法证明某些含导数的方程的根存在性. 【指】P80例23. Lagrange 中值定理的推论在恒等式证明上的使用. 【指】P80例104. *熟记f(x)在x 0处的n+1阶泰勒公式的形式，并能写出较简单的函数在x 0处的n+1阶泰勒公式.5. L’Hospital 法则的应用. （参照第二章“求极限”部分）【指】P87例2，例36. 函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线的概念及判定方法. 【指】P96内容提要1---57. 利用单调性证明不等式. 【指】P100三、强化训练7(1)8.求实际问题（经济函数）的最值. 【指】P106例15【教】P98例4.1.5 P100 例4.4.6，4.4.7 P112例4.4.8例4.4.9 P110例4.4.6 例4.4.7【指】P112 一填空：8.10P113二选择4.7.9 P116 二、填空1四、应用题。

《微积分的认识》知识点归纳与典型习题
微积分的认识：知识点归纳与典型题
微积分是数学中的一门重要学科，它研究函数的变化规律和求
解面积、体积等问题。

本文将对微积分的主要知识点进行归纳，并
提供一些典型题供练。

1. 导数和微分
导数是描述函数变化趋势的工具，它表示函数在某一点处的变
化速率。

微分则是导数的一种表示方式，常用于求解函数的近似值。

主要概念有：
- 导数的定义和性质
- 基本函数的导数规则
- 高阶导数和导数的几何意义
- 微分的定义和应用
2. 积分与定积分
积分是导数的逆运算，它求解函数的面积、体积和累积量等问题。

定积分是对函数在一定区间上的积分运算，常用于求解曲线下的面积。

主要概念有：
- 定积分的定义和性质
- 基本函数的积分规则
- 曲线下面积和定积分的几何意义
- 反常积分和应用
3. 微分方程
微分方程是描述变化规律的数学方程，它在物理、工程和生命科学等领域具有广泛应用。

主要概念有：
- 一阶微分方程和高阶微分方程
- 常微分方程和偏微分方程
- 微分方程的解和初值问题
- 常见微分方程的应用案例
典型题
1. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 的导函数和导数值。

2. 计算定积分∫[0, 1] x^2 dx 的结果。

3. 解一阶线性微分方程 dy/dx + 2y = 0，并给出其通解。

4. 应用微分方程解析法求解简谐振动问题。

以上仅是微积分的部分知识点归纳和题示例，希望对您的研究有所帮助。

详情请参考相关教材和课程资料。