【成功方案】高考数学一轮复习课时检测 第八章 第二节 直线的交点坐标、距离公式与对称问题 理

第二节 直线的交点坐标与距离公式[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|12＋22＝ 5.2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8D ．6解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝(6－0)2＋(0－8)2＝36＋64＝10.3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－12C ．2D.12解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________． 解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则 2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝05．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点为(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，n 满足的条件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0， 即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n 8，l 2的方程为x ＝12，两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；当m ≠0时，由两直线相交．所以m 2≠8m ，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2，1)．又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋5＝0. ——————————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1， 即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．[例2] 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见， 过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线， 因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． ——————————————————— 求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．2．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87.[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由已知 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. ——————————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直； (2)已知点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －42，b ＋22，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为分别相等.创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[典例] (2013·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1； 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．[解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝⎛⎭⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.[答案] ① [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．2．解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．[变式训练]四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝kx ⎝⎛⎭⎫13<k <3把四边形OABC 分成两部分，S 表示靠近x 轴一侧那部分的面积．(1)求S ＝f (k )的函数表达式；(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两部分．解：(1)如图所示，由题意得k OB ＝32.①当13<k <32时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，2x ＋y ＝14，解得交点为P 1⎝⎛⎭⎫14k ＋2，14k k ＋2.因为点P 1到直线OA ：x －3y ＝0的距离为d ＝14(3k －1)10(k ＋2)，所以S ＝12|OA |·d ＝14(3k －1)k ＋2；②当32≤k <3时，直线y ＝kx 与线段BC ：y ＝6相交于点P 2⎝⎛⎭⎫6k ，6， 所以S △OP 2C ＝12|P 2C |·6＝6(3－k )k.又因为S 四边形OABC ＝S △AOB ＋S △OBC ＝14＋6＝20， 所以S ＝S 四边形OABC －S △OP 2C ＝26－18k.故S ＝f (k )＝⎩⎨⎧14(3k －1)k ＋2⎝⎛⎭⎫13<k <32，26－18k ⎝⎛⎭⎫32≤k <3.(2)若要直线y ＝kx 平分四边形OABC 的面积，由(1)，知只需14(3k －1)k ＋2＝10，解得k ＝1716.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：选C d ＝|1－(－1)×1＋1|12＋(－1)2＝322.2．(2013·海口模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．3．(2013·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．(2013·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0 解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．则m >4或m <－4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝⎛⎭⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d ＝ ⎝⎛⎭⎫x －222＋( 2－x )2＝ 2⎝⎛⎭⎫x －3242＋14≥12. 即最小值为12. 答案：128．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________． 解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，则22＝|c ＋2|12＋(－1)2，得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3 解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝|P A |＝10.1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，则M ∪N ＝________.解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2， 故M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12； 直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠36，即n ＝－2，所以N ＝{－2}． 故M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12 2．已知 A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是________________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4， 即A ′(0,4)． 故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2， 即C (－3，－2)．故直线AC 的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.法三：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522， 如图，直线l 被两平行线截得的线段为5，设直线l 与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝22， 所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为零．又因为直线l 过点D (3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)， 由已知|1＋3＋m |12＋12＝2，解得m ＝－2或m ＝－6， 故所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y ＝kx ， 由已知|k －3|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝1或k ＝－7， 故所求的直线方程为x －y ＝0或7x ＋y ＝0.综上，所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0或x －y ＝0或7x ＋y ＝0.。

8.2 直线的交点坐标与距离公式必备知识预案自诊知识梳理1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括 三种情况. (1)两直线平行①对于直线l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2,l 1∥l 2⇔k 1=k 2,且b 1≠b 2. ②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①对于直线l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2,l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.②当直线l 1,l 2中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. (3)由一般式确定两直线位置关系的方法2.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.相交⇔方程组有 ; 平行⇔方程组 ;重合⇔方程组有 . 3.三种距离线线距两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=1.两个充要条件(1)两直线平行或重合的充要条件直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)平行或重合的充要条件是A1B2-A2B1=0.(2)两直线垂直的充要条件直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.2.六种常见的对称点(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).3.三种直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.()(2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()2.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为()A.3B.4C.5D.73.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0垂直,则这两条直线的交点坐标为()A.(-25,-65) B.(25,65)C.(25,-65) D.(-25,65)4.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是()A.当a=-1时,直线l 与直线x+y=0垂直B.若直线l 与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l 过定点(0,1)D.当a=0时,直线l 在两坐标轴上的截距相等5.直线l :x=1的倾斜角为 ;点P (2,5)到直线l 的距离为 .关键能力学案突破 考点两直线的位置关系(多考向探究)考向1 判断两直线的位置关系〖例1〗(2020天津静海区联考)“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 考向2 由两直线的位置关系求参数〖例2〗(1)(2020安徽芜湖四校联考)若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m 的值为( )A.1B.0C.2D.-1或0(2)(2020陕西宝鸡中学二模)若直线x+(1+m )y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则实数m 的值为( )A.1B.-2C.1或-2D.-32考向3 由两直线的位置关系求直线方程〖例3〗经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为 .解题心得利用直线方程的一般式判断两直线的平行或垂直时可避免讨论直线斜率不存在的情况,但要注意由A 1B 2-A 2B 1=0不能推出两直线平行.根据两直线平行求参数时,要注意检验求得的参数值是否满足题意.对点训练1(1)求满足下列条件的直线方程.①过点P (-1,3)且平行于直线x-2y+3=0;②已知A (1,2),B (3,1),线段AB 的垂直平分线.(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.①当l1∥l2时,求a的值;②当l1⊥l2时,求a的值.考点与距离有关的问题〖例4〗(1)(2020广东广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为.(2)(2020福建厦门模拟)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为2√1313,则c的值是.解题心得利用距离公式应注意(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.对点训练2(1)已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A.4B.3C.2D.1(2)已知直线l 过点P (-1,2),且点A (2,3),B (-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 .考点对称问题(多考向探究)考向1 点关于点的对称〖例5〗过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x+y-8=0和l 2:x-3y+10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为 .考向2 点关于线的对称〖例6〗如图,已知两点A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上,再经直线OB 反射后又回到点P ,则光线所经过的路程是( )A.2√10B.6C.3√3D.2√5考向3 线关于线的对称〖例7〗直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是( ) A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0解题心得1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称:若点M (x 0,y 0)及N (x ,y )关于点P (a ,b )对称,则由中点坐标公式得{x =2a -x 0,y =2b -y 0,进而求解.(2)直线关于点对称:①先在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式得到所求直线方程.②先在已知直线上取一点,求出它关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线对称:若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l :Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)对称, 则由方程组{A (x 1+x22)+B (y 1+y22)+C =0,B (x 2-x 1)-A (y 2-y 1)=0,可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标.(2)直线关于直线对称:一般转化为点关于直线的对称来解决.对点训练3(1)已知直线l 1:2x+y+2=0与l 2:4x+by+c=0关于点P (1,0)对称,则b+c= .(2)设光线l 从点A (-4,√3)出发,经x 轴反射后经过点B (0,√33),则光线l 与x 轴交点的坐标为 ,若该光线l 经x 轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为 .(3)已知直线l :2x-3y+1=0,点A (-1,-2). ①求点A 关于直线l 的对称点A'的坐标;②求直线m :3x-2y-6=0关于直线l 对称的直线m'的方程; ③求直线l 关于点A (-1,-2)对称的直线l'的方程.8.2 直线的交点坐标与距离公式必备知识·预案自诊知识梳理1.平行、相交、重合2.唯一解 无解 无数个解3.√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2|Ax +By +C |√A 2+B 2|C -C |√A 2+B 2考点自诊1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.A 依题意,d=√a 2+1.√a 2+1≥1,所以d ≤3.所以d 的最大值为3.3.B 依题意,2a·1+1×〖-(a+1)〗=0,解得a=1.由{2x +y -2=0,x -2y +2=0,解得{x =25,y =65. 故这两条直线的交点坐标为(25,65).故选B .4.AC 对于A,当a=-1时,直线l 的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,故A 正确;对于B,由直线l 与直线x-y=0平行,可知a 2+a+1=1,解得a=0或a=-1,故B 不正确;对于C,当x=0时,y=1,所以直线l 过定点(0,1),故C 正确;对于D,当a=0时,直线l 的方程为x-y+1=0,此时直线l 在两坐标轴上的截距分别为-1,1,故D 不正确.故选AC . 5.π21 依题意,直线l 与x 轴垂直,故直线l 的倾斜角为π2,点P (2,5)到直线l 的距离d=2-1=1.关键能力·学案突破例1A 设直线l 1:ax+2y-8=0,直线l 2:x+(a+1)y+4=0.若l 1与l 2平行,则a (a+1)-2=0,即a 2+a-2=0,解得a=1或a=-2.当a=-2时,直线l 1的方程为-2x+2y-8=0,即x-y+4=0,直线l 2的方程为x-y+4=0,此时两直线重合,故a ≠-2.当a=1时,直线l 1的方程为x+2y-8=0,直线l 2的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.故选A . 例2(1)D (2)A (1)由题意可知m (2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故选D .(2)由题意可知2-m (1+m )=0,解得m=-2或m=1.经检验,当m=-2时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=1时,符合题意. 故m 的值为1.故选A . 例34x-3y+9=0 (方法1)由{2x +3y +1=0,x -3y +4=0,解得{x =-53,y =79.故交点的坐标为(-53,79), 因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以所求直线的斜率为43. 所以所求直线的方程为y-79=43(x +53),即4x-3y+9=0. (方法2)由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0. 由{2x +3y +1=0,x -3y +4=0,可解得交点的坐标为(-53,79). 将点(-53,79)的坐标代入4x-3y+m=0,得m=9,故所求直线的方程为4x-3y+9=0.(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0, 即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0, 解得λ=2.所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.对点训练1解(1)①设所求直线方程为x-2y+c=0(c ≠3),将P (-1,3)的坐标代入直线方程,得c=7.故所求直线方程为x-2y+7=0.②由已知得线段AB 的中点的坐标为(2,32),直线AB 的斜率k AB =2-11-3=-12,故线段AB 的垂直平分线的斜率k=2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y-5=0. (2)①依题意,{a (a -1)-1×2=0,a (a 2-1)-1×6≠0,即{a 2-a -2=0,a (a 2-1)≠6,解得a=-1.故a 的值为-1. ②依题意,a+2(a-1)=0,解得a=23.故a 的值为23.例4(1)〖0,10〗 (2)2或-6 (1)由题意得,点P 到直线的距离为√16+9=|15-3a |5.由|15-3a |5≤3,即|15-3a|≤15,得0≤a ≤10.所以a 的取值范围为〖0,10〗.(2)依题意,63=a -2≠c -1,解得a=-4,c ≠-2,则直线方程6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0.又两平行线之间的距离为2√1313,所以|c2+1|√32+(-2)=2√1313,解得c=2或c=-6.对点训练2(1)A (2)x+3y-5=0或x=-1 (1)设点C (t ,t 2).由已知得直线AB 的方程为x+y-2=0,|AB|=2√2,则点C 到直线AB 的距离d=2√2.因为△ABC 的面积为2,所以12×2√2·2√2=2,即|t 2+t-2|=2,即t 2+t-2=2或t 2+t-2=-2.解方程可知t 的值有4个,故满足题意的点C 有4个.(2)(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知√k 2+1=√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13.所以直线l 的方程为x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,又直线l 过点P (-1,2),所以直线l 的方程为x=-1.故直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.例5x+4y-4=0 设l 1与l 的交点为A (a ,8-2a ),由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a ,2a-6)在l 2上,把点B 的坐标代入l 2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A (4,0),P (0,1)在直线l 上, 所以直线l 的方程为x+4y-4=0.例6A 易得直线AB 的方程为x+y=4,则点P 关于直线AB 的对称点为P 1(4,2),点P 关于y 轴的对称点为P 2(-2,0).依题意,光线所经过的路程为P 1(4,2)与P 2(-2,0)之间的距离,即|P 1P 2|=√(4+2)2+(2-0)2=2√10.例7A 设所求直线上任意一点P (x ,y ),点P 关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x 0,y 0),由{x+x 02-y+y 02+2=0,x -x 0=-(y -y 0),得{x 0=y -2,y 0=x +2.因为点P'(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0. 故所求直线方程为x-2y+3=0.对点训练3(1)-10 (2)(-1,0) -√3 (1)在直线l 1:2x+y+2=0上取点M (-1,0),N (0,-2),则点M ,N 关于点P (1,0)的对称点分别为M 1(3,0),N 1(2,2).因为点M 1(3,0),N 1(2,2)在直线l 2:4x+by+c=0上,所以12+c=0,8+2b+c=0,解得c=-12,b=2,所以b+c=-10.(2)点A (-4,√3)关于x 轴的对称点为A'(-4,-√3),则直线A'B 的方程为y=√33x+√33,直线A'B 与x 轴交于点(-1,0),故光线l 与x 轴的交点的坐标为(-1,0).易知入射角为60°,则折射角为30°,且折射光线经过点(-1,0),故折射光线所在直线方程为y=-√3x-√3,所以折射光线所在直线的纵截距为-√3. (3)解①设A'(x ,y ),依题意,{y+2x+1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0, 解得{x =-3313,y =413.所以A'(-3313,413). ②在直线m 上取点M (2,0),则点M (2,0)关于直线l 的对称点M'必在直线m'上.设M'(a ,b ), 则{2×a+22-3×b+02+1=0,b -0a -2×23=-1,解得{a =613,b =3013.故M'(613,3013).设直线m 与直线l 的交点为N ,则由{2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又m'经过点M'(613,3013),所以直线m'的方程为9x-46y+102=0.③设P (x ,y )为l'上任意一点,则P (x ,y )关于点A (-1,-2)的对称点为P'(-2-x ,-4-y ). 因为点P'在直线l 上,所以2(-2-x )-3(-4-y )+1=0,即2x-3y-9=0. 所以直线l'的方程为2x-3y-9=0.。

第二节　两条直线的位置关系[考纲传真]　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组Error!的解．3．三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2[常用结论]1．直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5．与对称问题相关的两个结论(1)点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)；(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有Error!可求出x ′，y ′.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为.( )|kx 0＋b |1＋k 2(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为( )A. B ．2－22C.－1 D.＋122C [由题意知＝1，∴|a ＋1|＝，又a >0，∴a ＝－1.]|a －2＋3|2223．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3C [直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有＝≠，故m ＝22m m ＋134－2或－3.故选C.]4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．2　[由题意知a ·1－2(3－a )＝0，解得a ＝2.]5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________． [先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋＝0，则两平行线间的距离为d ＝＝32412|2－12|2324两条直线的平行与垂直1．(2019·梅州月考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝1时，显然l 1∥l 2，若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0，所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]2．已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．1或0　[l 1的斜率k 1＝＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝＝.因为3a －01－(－2)－2a －(－1)a －01－2a a l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直1－2a a线l 2为y 轴，A (－2,0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0.][规律方法]　解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”易错警示：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．两条直线的交点与距离问题【例1】　(1)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________.(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．(1)x ＋2y －7＝0　(2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1　[(1)由Error!得Error!∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7.∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知＝，|2k －3＋k ＋2|k 2＋1|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－，13∴直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.13当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－，13直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.13当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)，∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.][规律方法]　1.求过两直线交点的直线方程的方法,求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.(1)当0<k <时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )12A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2) 若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A. B. C. D.951852910295(1)B (2)C [(1)由Error!得Error!又∵0<k <，∴x ＝<0，y ＝>0，故直线l 1：12k k －12k －1k －1kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由3648－125题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ |的最小值为|－24－5|62＋8229102910.]对称问题►考法1　点关于点的对称问题【例2】　(2018·泉州模拟)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．x ＋4y －4＝0　[设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.]►考法2　点关于直线的对称问题【例3】　如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )3105A．3B．6 C．2D．2C　[直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的62＋2210对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.]►考法3　直线关于直线的对称问题【例4】　(2019·郑州模拟)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0A　[设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由Error!得Error!由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.][规律方法]　解决两类对称问题的关键,解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．[解]　(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即×3＝－1.①y ′－y x ′－x 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②x ′＋x 2y ′＋y 2由①②得Error!把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－－2＝0，－4x ＋3y －953x ＋4y ＋35化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴＝1，x ′＝2，＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．x ′＋02y ′＋32l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.。

第二节直线的交点与距离公式课标要求考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1.高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离．2．常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目．3．题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.知识点一两条直线平行与垂直的判定知识点二两条直线的交点知识点三三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交．( × ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( √ )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( √ )解析：(1)当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合． (2)应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P 到直线的距离为|kx 0－y 0＋b |1＋k 2.(3)因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．(4)两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离．(5)根据对称性可知直线AB 与直线l 垂直且直线l 平分线段AB ，所以直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．2．小题热身(1)已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( C ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2 (2)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( D ) A ．－3 B ．－43C ．2D ．3(3)直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为23.(4)点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是(－b －1，－a －1)． (5)直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析：(1)法1：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D .法2：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5. (2)由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，代入y ＝ax －2得a ＝23.(4)设对称点的坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b x 0－a ＝1，a ＋x 02＋b ＋y 02＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝x 0－a ，x 0＋y 0＋a ＋b ＋2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－b －1，y 0＝－a －1.即对称点坐标为(－b －1，－a －1)．(5)先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.考点一 两条直线的平行与垂直问题【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2D ．－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 【解析】 (1)若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.(2)因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1.即(－1)·⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝－2. 【答案】 (1)D (2)－2 方法技巧(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.1．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( D ) A.12 B.32 C.14D.34解析：由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.2．已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为25.解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________．(2)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． (3)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．(3)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 【答案】 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0,10] (3)2或－6 方法技巧1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等．1．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( A )A ．－23B.23 C ．－32D.32解析：由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝⎛⎭⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q|的最小值为( C )A.95B.185C.2910D.295解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|P Q|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|P Q|的最小值为2910. 3．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系x O y 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.解析：解法1：设P (x ，x ＋4x )，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.解法2：由y ＝x ＋4x (x >0)得y ′＝1－4x 2，令1－4x 2＝－1，得x ＝2，则当点P 的坐标为(2，32)时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 考点三 对称问题命题方向1 点关于点对称【例3】 (1)点M (m ，－1)关于点N (－2，n )的对称点为P (4，－5)，则( ) A ．m ＝－3，n ＝8 B ．m ＝3，n ＝－8 C ．m ＝－3，n ＝－8D ．m ＝－8，n ＝－3(2)直线x －2y －3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是____________． 【解析】 (1)因为点M ，P 关于点N 对称，所以由中点坐标公式可知－2＝4＋m2，即m ＝－8，n ＝－1－52＝－3，故选D .(2)方法1：设对称的直线上的一点的坐标为(x ，y )， 则其关于点M(－2,1)对称的点的坐标为(－4－x ,2－y )． ∵(－4－x ,2－y )在直线x －2y －3＝0上， ∴(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.方法2：根据对称性知对称直线与已知直线平行，因此可设对称直线的方程为x －2y ＋λ＝0(λ≠－3)，则点M 到两条直线的距离相等，即|－2－2×1＋λ|12＋(－2)2＝|－2－2×1－3|12＋(－2)2，解得λ＝11，所以所求的直线方程为x －2y ＋11＝0. 【答案】 (1)D (2)x －2y ＋11＝0 命题方向2 点关于线对称【例4】 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线O B 上，最后经直线O B 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．2 5【解析】 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|C D |＝62＋22＝210.【答案】 C命题方向3 直线关于直线对称【例5】 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________． 【解析】 设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 【答案】 x －2y ＋3＝0 方法技巧1．(方向2)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( A )A.345B.365C.283D.323解析：由已知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.2．(方向2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为6x －y －6＝0.解析：设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x－y －6＝0.3．(方向1)过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解析：设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。

§8.2两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )．(4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )．(5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为()A ．25 B.55C.5D.255答案C解析点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．若直线2x ＋my ＋1＝0与直线3x ＋6y －1＝0平行，则m 等于()A ．4B ．－4C ．1D ．－1答案A解析因为直线2x ＋my ＋1＝0与直线3x ＋6y －1＝0平行，所以23＝m6≠1－1，解得m ＝4.3．直线x －2y －3＝0关于x 轴对称的直线方程为________．答案x ＋2y －3＝0解析直线x －2y －3＝0的斜率为k ＝12且与x 轴交于点(3,0)，故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)，其方程为y ＝－12(x －3)，即x ＋2y －3＝0.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件．(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a 的值是()A．0或－1B．－1或1C．－1D．1答案A解析由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是()A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合答案B解析由题意可知，直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的斜率分别为－sin A a，b sin B，又在△ABC中，asin A＝bsin B，所以－sin Aa·bsin B＝－1，所以两条直线垂直．(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.答案3或－21 7解析因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝17，经检验符合题意．题型二两直线的交点与距离问题例2(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为() A．a＝6，d＝63B．a＝－6，d＝63C．a＝－6，d＝53D．a＝6，d＝53答案D解析依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，所以两直线间的距离d＝|9－4|62＋32＝53.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为()A．y＝1B．x＝3C．y＝0D．x＝2答案AB解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B.－1＝k x－3 ，＋y＋1＝0，得－1＝k x－3 ，＋y＋6＝0，得由|AB|＝5，得＝52，解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1.综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．跟踪训练2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()A．2x－3y＋5＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－2＝0D．3x＋2y＋1＝0答案D解析x－y＋3＝0，＋2y－1＝0，＝－1，＝1，所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x ＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.(2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3B．4C．2D．6答案B解析由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方，得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝4.题型三对称问题命题点1点关于点的对称问题例3直线3x－2y＝0()A．2x－3y＝0B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0D．2x－3y－2＝0答案B解析方法一设所求直线上任一点为(x，y)x，－x，－3x－2y＝0上，所以2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.方法二在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，设点O，MO′，M′，则OM－43，－所以所求直线方程为y－ －30－ －3＝x23－即3x－2y－2＝0.命题点2点关于直线的对称问题例4(2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．213B．9 C.74D．10答案C解析依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，1，＝m＋22＋1，＝3，＝3，∴B′(3,3)，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，如图，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与C′重合时取等号，∴(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝ －4－3 2＋ 8－3 2＝74，故|AC|＋|BC|的最小值为74.命题点3直线关于直线的对称问题例5两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为() A．3x－2y－4＝0B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0D．3x－2y－6＝0答案C解析设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，y－y1x－x1＝－1，x＋x1 2－y＋y12－2＝0，x1＝y＋2，y1＝x－2，(*)∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得1，3×y－22＋1＝0，＝－3313，＝413.∴A －3313，(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则3×b ＋02＋1＝0，1，得M设直线m 与直线l 的交点为N ，x －3y ＋1＝0，x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)方法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上，易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.方法二∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．已知直线l 1经过点A (2，a －1)，B (a ,4)，且与直线l 2：2x ＋y －3＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案C解析直线l 1的斜率k 1＝ a －1 －42－a ＝a －52－a ，直线l 2的斜率k 2＝－2，所以a －52－a＝－2，解得a ＝－1，经检验符合题意．2．若直线ax －4y ＋2＝0与直线2x ＋5y ＋c ＝0垂直，垂足为(1，b )，则a ＋b ＋c 等于()A ．－6B ．4C ．－10D ．－4答案D解析因为ax －4y ＋2＝0与直线2x ＋5y ＋c ＝0垂直，故2a －20＝0，即a ＝10，因为垂足为(1，b )×1－4×b ＋2＝0，×1＋5×b ＋c ＝0，＝3，＝－17，故a ＋b ＋c ＝－4.3．(2023·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为()A ．垂直或平行B ．垂直或相交C ．平行或相交D ．垂直或重合答案D解析因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0，k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合．4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x －2y ＋1＝0和x －2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x ＋4y ＋c 1＝0和3x ＋4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|等于()A ．23B ．25C ．2D ．4答案B解析因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x －2y ＋1＝0和x －2y ＋3＝0之间的距离为|1－3|12＋ －2 2＝25，3x ＋4y ＋c 1＝0和3x ＋4y ＋c 2＝0之间的距离为|c 1－c 2|32＋42＝|c 1－c 2|5，于是有|c 1－c 2|5＝25⇒|c 1－c 2|＝25.5．(2023·牡丹江模拟)直线y ＝33x 关于直线x ＝1的对称直线为l ，则直线l 的方程是()A.3x ＋y －2＝0B.3x ＋y ＋2＝0C ．x ＋3y －2＝0D ．x ＋3y ＋2＝0答案C解析直线y ＝33x 与直线x ＝1交于点所以直线l 的斜率为－33且过点所以直线l 的方程为y －33＝－33(x －1)，即x ＋3y －2＝0.6．设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，P ，Q 分别为l 1，l 2上任意一点，M 为PQ 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则m 的值为()A ．2B ．－2C ．3D ．－3答案A解析根据题意画出图形，如图所示．直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，M 为PQ 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则PA ⊥QA ，即l 1⊥l 2，则1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2.7．(多选)已知直线l 过点P (1,2)，且点A (2,3)，B (4，－5)到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是()A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．3x ＋2y －7＝0D ．2x ＋3y －7＝0答案AC 解析由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线l ∥AB 时，因为直线AB 的斜率为3－ －52－4＝－4，所以直线l 的方程是y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；当直线l 经过线段AB 的中点(3，－1)时，l 的斜率为2－ －1 1－3＝－32，此时l 的方程是y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0.8．(多选)设直线l 1：y ＝px ＋q ，l 2：y ＝kx ＋b ，则下列说法正确的是()A ．直线l 1或l 2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B.l 1与l 2至多有无穷多个交点C ．l 1∥l 2的充要条件是p ＝k 且q ≠bD ．记l 1与l 2的交点为M ，则y －px －q ＋λ(y －kx －b )＝0可表示过点M 的所有直线答案BC 解析对于A ，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝m (m 为直线与x 轴交点的横坐标)，此时直线l 1或l 2的方程无法表示，故A 错误；对于B ，当p ＝k 且q ＝b 时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B 正确；对于C ，当p ＝k 且q ≠b 时，l 1∥l 2，故C 正确；对于D ，记l 1与l 2的交点为M ，则M 的坐标满足l 1：y ＝px ＋q 且满足l 2：y ＝kx ＋b ，则y －px －q ＋λ(y －kx －b )＝0不表示过点M 的直线l 2，故D 错误．9．过直线3x －y ＋5＝0与2x －y ＋6＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＋1＝0的直线方程是________．答案2x ＋y －10＝0解析x －y ＋5＝0，x －y ＋6＝0，＝1，＝8，直线x －2y ＋1＝0的斜率为12，故过点(1,8)且垂直于直线x －2y ＋1＝0的直线方程为y －8＝－2(x －1)，即2x ＋y －10＝0.10．已知直线l 1：2x ＋y ＋1＝0和直线l 2：x ＋ay ＋3＝0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________；若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为________．答案－25解析已知直线l 1：2x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋ay ＋3＝0，若l 1⊥l 2，则2＋a ＝0，解得a ＝－2；若l 1∥l 2，则2a ＝1，解得a ＝12，此时直线l 2：2x ＋y ＋6＝0，显然两直线不重合，故此时l 1与l 2间的距离d ＝|5|1＋4＝ 5.11．(2022·岳阳模拟)点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为________．答案(－8，－3)解析设点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为A (a ，b ),由对称性知，直线x ＋y ＋1＝0与线段PA 垂直，所以k PA ＝b －7a －2＝1，所以a －b ＝－5，又线段PA x ＋y ＋1＝0上，即2＋a 2＋7＋b 2＋1＝0,所以a ＋b ＝－11，－b ＝－5，＋b ＝－11，＝－8，＝－3，所以点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为(－8，－3)．12．已知两直线l 1：x －2y ＋4＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0.若直线l 3：ax ＋2y －6＝0与l 1，l 2不能构成三角形，则实数a ＝________.答案－1或83或－2解析由题意可得，①当l 3∥l 1时，不能构成三角形，此时a ×(－2)＝1×2，解得a ＝－1；②当l 3∥l 2时，不能构成三角形，此时a ×3＝4×2，解得a ＝83；③当l 3过l 1与l 2的交点时，不能构成三角形，此时联立l 1与l 2－2y ＋4＝0，x ＋3y ＋5＝0，＝－2，＝1，所以l 1与l 2的交点为(－2,1)，将(－2,1)代入l 3，得a ×(－2)＋2×1－6＝0，解得a ＝－2，综上，当a ＝－1或83或－2时，不能构成三角形．13．(多选)(2022·保定模拟)已知两条直线l 1，l 2的方程分别为3x ＋4y ＋12＝0与ax ＋8y －11＝0，下列结论正确的是()A ．若l 1∥l 2，则a ＝6B ．若l 1∥l 2，则两条平行直线之间的距离为74C ．若l 1⊥l 2，则a ＝323D ．若a ≠6，则直线l 1，l 2一定相交答案AD 解析若l 1∥l 2，则4a ＝3×8，∴a ＝6，故A 正确；由A 知，l 2：6x ＋8y －11＝0，直线l 1的方程可化为6x ＋8y ＋24＝0，故两条平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72，故B 不正确；若l 1⊥l 2，则3a ＋4×8＝0，∴a ＝－323，故C 不正确；由A 知，当a ＝6时，l 1∥l 2，∴若a ≠6，则直线l 1，l 2一定相交，故D 正确．14．设△ABC 的一个顶点是A (－3,1)，∠B ，∠C 的角平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为__________.答案2x －y －5＝0解析∵∠B ，∠C 的角平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ，∴直线AB 与直线BC 关于x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于y ＝x 对称．A (－3,1)关于x ＝0的对称点A ′(3,1)在直线BC 上，A (－3,1)关于y ＝x 的对称点A ″(1，－3)也在直线BC 上．由两点式，所求直线BC 的方程为2x －y －5＝0.15．(2023·临沂模拟)已知光线从点A (6,1)射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的点C ，再被y 轴反射，这时反射光线恰好经过点D (4,4)，则CD 所在直线的方程为________．答案x －2y ＋4＝0解析如图，由题意知点B 在原点O 的右侧，直线BC 一定过点A (6,1)关于x 轴的对称点(6，－1)，且一定过点D (4,4)关于y 轴的对称点(－4,4)，所以BC 所在直线的方程为y －4＝4＋1－4－6(x ＋4)，即x ＋2y －4＝0，令x ＝0，则y ＝2，所以C 点坐标为(0,2)，所以CD 所在直线的方程为y ＝4－24－0x ＋2，即x －2y ＋4＝0.16.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到直线l 1，l 2的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为__________.答案6解析以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b ,3)．∵AC ⊥AB ，∴AC →·AB →＝0，即ab －6＝0，∴ab ＝6，b ＝6a.Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a 2≥12×72＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．∴△ABC 的面积的最小值为6.。

第二节直线的交点与距离公式1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识点一两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为______．2．两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔____.答案1．k1＝k2平行 2.k1·k2＝－11．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )答案：(1)×(2)×(3)√2．已知直线(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为( ) A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2解析：法1：把k＝1代入已知两条直线，得－2x＋3y＋1＝0与－4x－2y＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D.法2：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32k －3＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5.答案：C知识点二 两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的________就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．(1)若方程组有唯一解，则两条直线______，此解就是______；(2)若方程组无解，则两条直线________，此时两条直线______，反之，亦成立．答案交点坐标 (1)相交 交点的坐标 (2)无公共点 平行3．经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y －7＝0的直线方程为________．答案：4x －3y －6＝04．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b x 0－a ＝1，a ＋x 02＋b ＋y 02＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝x 0－a ，x 0＋y 0＋a ＋b ＋2＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－b －1，y 0＝－a －1.即对称点坐标为(－b －1，－a －1)．答案：(－b －1，－a －1) 知识点三 两种距离 1．点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝______________.2．两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝____________.答案1.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 2.|C 1－C 2|A 2＋B 25．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________．解析：先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.答案：3246．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B ．12或－6 C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，所以|3m ＋5|＝|m －7|.所以3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m . 所以m ＝－6或m ＝12.故应选B.答案：B热点一 两条直线的平行与垂直【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．【解】 (1)方法1：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．方法2：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0.∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)方法1：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a＝－1⇒a＝23. 方法2：由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.【总结反思】(1)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则直线l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.如果有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2的必要条件是A 1B 2＝A 2B 1.(不充分)；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(1)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2(2)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2，故选D. (2)由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件． 答案：(1)D (2)B热点二 两条直线相交问题【例2】 经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________．【解析】 法1：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， ∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法2：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0， 即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.【答案】 x ＋2y ＝0 【总结反思】 1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．2．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.(1)(2017·河南六市一联)已知P (x 0，y 0)是直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与L 垂直的直线B ．过点P 且与L 平行的直线C ．不过点P 且与L 垂直的直线D ．不过点P 且与L 平行的直线(2)对任意实数a ，直线y ＝ax －3a ＋2所经过的定点是( ) A ．(2,3) B ．(3,2) C ．(－2,3)D ．(3，－2)解析：(1)因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 和B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C.(2)直线y ＝ax －3a ＋2变为a (x －3)＋(2－y )＝0.又a ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，2－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，得定点为(3,2)．答案：(1)D (2)B 热点三 距离问题【例3】 (1)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.(2)已知两条平行直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5，则直线l 1的方程为________．【解析】 (1)由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6.(2)∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或18.故所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0. 把l 2的方程写成为4x －8y －2＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或22.故所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0. 【答案】 (1)－2或4或6 (2)2x ±4y －11＝0或2x ±4y ＋9＝0已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________． 解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 热点四 对称问题对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题方向：考向1 点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称 【例4】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)， 则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.故选A.答案：A考向2 对称的应用【例5】 光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在直线的方程．【解】设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，作出草图，如图所示，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与点C，故BC所在的直线方程为y－6－4－6＝x－1－2－1，即10x－3y＋8＝0.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.答案：210【总结反思】对称关系的两类问题中，中心对称的本质是“中点”，体现在中点公式的运用上；轴对称的本质是“垂直、平分”，即“对称点连线与对称轴垂直，对称点连线的中点在对称轴上”．在使用这些关系解题时，如能充分挖掘问题的几何特征，运用数形结合思想，就能使问题更轻松地解决.1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.2．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题．3．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点．4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．。

第二节 直线的交点与距离公式三种距离 三种距离 条件公式 两点间的距离A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2点到直线的距离P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为dd ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2两平行线间的距离直线Ax ＋By ＋C 1＝0到直线Ax＋By ＋C 2＝0的距离为dd ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21.点到直线的距离公式的注意点 (1)直线方程为一般式． (2)公式中分母与点无关． (3)分子与点及直线方程都有关． 2．两平行直线间的距离的注意点(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离．1．(基础知识：点到直线的距离)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．12B ．32C ．22D ．322〖答 案〗D2．(基本能力：直线的交点)直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．〖答 案〗233．(基本方法：两平行线间的距离)已知两平行线l 1：2x ＋3y ＝6，l 2：2x ＋3y －1＝0，则l 1与l 2间的距离为________．〖答 案〗513134．(基本应用：点到直线距离的应用)已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．〖答 案〗－4或125．(基本应用：点关于直线对称)已知点A 与点B (1，2)关于直线x ＋y ＋3＝0对称，则点A 的坐标为________．〖答 案〗(－5，－4)题型一 直线的交点及应用〖典例剖析〗〖典例〗 (1)(2020·山西太原模拟)若直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )与原点之间的距离的最小值为( )A ．5B ．6C ．23D ．25〖解 析〗由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0，可得m ＋2n ＋5＝0，∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )与原点之间的距离d ＝m 2＋n 2 ＝（5＋2n ）2＋n 2 ＝5（n ＋2）2＋5 ≥5 ，当且仅当n ＝－2，m ＝－1时取等号．∴点(m ，n )与原点之间的距离的最小值为5 .〖答 案〗A(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．〖解 析〗法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得x ＝0，y ＝2，即P (0，2).因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43 ，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：因为直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.因为l ⊥l 3，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.〖答 案〗4x ＋3y －6＝0 方法总结求过两直线交点的直线方程的方法(1)直接法：①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式．(2)直线系法：①设过两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.②利用题设条件，求λ的值，得出直线方程． ③验证所得直线方程是否符合题意． (3)数形结合法：求直线截得的线段长．〖对点训练〗1．经过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且与点P (0，4)的距离为2的直线方程为________．〖解 析〗由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2的交点为(1，2).由题意知直线斜率存在，故设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y ＋2－k ＝0.∵点P (0，4)与所求直线的距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴所求直线的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 〖答 案〗y ＝2或4x －3y ＋2＝02．已知直线l 经过点P (3，1)，且被两条平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．〖解 析〗法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别为A ′(3，－4)，B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1，x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1 ， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1，x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1 . 由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋1 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1 2＝52. 解得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：如图所示，作直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0.l 1与x ，y 轴的交点分别为A (－1，0)，B (0，－1)，l 2与x ，y 轴的交点分别为C (－6，0)，D (0，－6). 所以|BD |＝5，|AC |＝5.过点(3，1)与l 1、l 2截得的线段长为5， 即平行于x 轴或y 轴．所以所求直线方程为x ＝3或y ＝1.题型二 距离问题〖典例剖析〗〖典例〗 (1)已知两条平行直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5 ，则直线l 1的方程为________________．〖解 析〗因为l 1∥l 2，所以m 2 ＝8m ≠n－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， 所以|n ＋2|16＋64＝5 ，解得n ＝－22或18. 故所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0， 把l 2的方程写成4x －8y －2＝0， 所以|－n ＋2|16＋64＝5 ，解得n ＝－18或22. 故所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0. 〖答 案〗2x ±4y ＋9＝0或2x ±4y －11＝0(2)已知正方形的中心为点M (－1，0)，一条边所在直线方程是x ＋3y －5＝0.求正方形其他三边所在直线的方程．〖解析〗如图所示，过M作边AD所在直线x＋3y－5＝0的垂线，垂足为E.|ME|＝|（－1）＋3×0－5|1＋32＝3510.设直线BC的方程为x＋3y－m＝0，则M到BC的距离是|（－1）＋3×0－m|1＋32.令|（－1）＋3×0－m|1＋32＝3510.解得m＝－7或m＝5.所以直线BC的方程为x＋3y＋7＝0.因为直线AB与AD垂直，所以设它的方程为3x－y－n＝0.则M到AB的距离是|3×（－1）－0－n|32＋1.令|3×（－1）－0－n|32＋1＝3510，解得n＝3或n＝－9.所以直线AB，CD的方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.综上得，其余三边所在直线的方程分别是3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.方法总结1．用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；2．用两平行线间的距离公式，两直线方程中x ，y 的系数分别相同； 3．两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化；4．点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |.〖对点训练〗1．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．2910D ．295〖解 析〗因为36 ＝48 ≠－125 ，所以两直线平行．将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910 ，所以|PQ |的最小值为2910.〖答 案〗C2．过点P (2，－1)且与原点距离为2的直线l 的方程为________． 〖解 析〗①当l 的斜率k 不存在时，此时l 的方程为x ＝2，满足题意； ②当l 的斜率k 存在时，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由点到直线的距离公式得|－2k －1|1＋k 2 ＝2，∴k ＝34 ，∴l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，所求l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0. 〖答 案〗x ＝2或3x －4y －10＝0题型三 对称问题〖典例剖析〗 类型 1 点关于点对称〖例1〗 过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．〖解 析〗设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.〖答 案〗x ＋4y －4＝0 类型 2 点关于直线对称〖例2〗 如图所示，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．33B ．6C ．210D ．25〖解 析〗直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22 ＝210 .〖答 案〗C类型 3 直线关于直线对称〖例3〗 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________． 〖解 析〗设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－（y －y 0），得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，∵点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 〖答 案〗x －2y ＋3＝0 方法总结有关对称问题的规律方法方法解读中心 对 称点关于点点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，利用中点⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1直线关于点l 1关于A 对称的直线：取B ∈l 1，求B 关于A 的对称点B ′，利用斜率相等，求点斜式轴 对 称点关于直线对称点A 关于l 1的对称点A ′，利用A ′A 的中点在l 1上，且AA ′⊥l 1，求A ′点直线l 1关于直线l 对称，l 1∩l ＝A利用A ∈l 2，且取B ∈l 1，求B 关于l 的对称点B ′，由A 和B ′求方程若l 1∥l利用平行线l 1与l ，l 与l 2之间的距离相等或者利用斜率相等〖题组突破〗1．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C ．83D ．43〖解 析〗以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示． 则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4). 设△ABC 的重心为D ， 则D 点坐标为⎝⎛⎭⎫43，43 .设P 点坐标为(m ，0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m ，0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4，4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴kP 1D ＝kP 2D ，即4343＋m ＝43－4＋m 43－4 ，解得m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴m ＝43 .〖答 案〗D2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 〖解 析〗(1)设对称点A ′的坐标为(m ，n )， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2m ＋1×23＝－1，2×m －12－3×n －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3313，n ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413 . (2)在直线m 上取一点，如B (2，0)，则B 关于l 的对称点必在m ′上，设对称点为B ′(a ，b )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1， 得B ′⎝⎛⎭⎫613，3013 . 设m 与l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4，3).设直线m ′上任意一点的坐标为(x ，y )，由两点式得直线m ′的方程为y －33013－3 ＝x －4613－4 ，即9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1，1)，N (4，3).则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设直线l 关于点A 的对称直线l ′上的任意一点P (x ，y )，则点P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y ).∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.重温经典构造距离求最值1．设x ＞0，y ＞0，满足2x ＋y ＝1，则x ＋ x 2＋y 2 的最小值为( ) A ．45B ．25C ．1D ．1＋23〖解 析〗因为x >0，y >0，满足2x ＋y ＝1，设z ＝x ＋x 2＋y 2 ，其可表示为直线2x ＋y ＝1在第一象限的点P (x ，y )到y 轴的距离d 与到原点的距离|PO |的和．设原点关于直线2x ＋y ＝1的对称点为O 1(m ，n )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧2·m ＋02＋n ＋02－1＝0，（－2）·n －0m －0＝－1， 解得⎩⎨⎧m ＝45，n ＝25，所以O 1⎝⎛⎭⎫45，25 .由对称性可得|PO 1|＝|PO |，所以z ＝|PO 1|＋d ，故当PO 1⊥y 轴时z 最小． 故当且仅当x ＝310 ，y ＝25 时，z ＝x ＋x 2＋y 2 取最小值45.〖答 案〗A2．已知实数x 满足|2x ＋1|＋|2x －5|＝6，则x 的取值范围是________．〖解 析〗由|2x ＋1|＋|2x －5|＝6可得⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎫－12 ＋⎪⎪⎪⎪x －52 ＝3，它表示数轴上的动点x 到定点－12 与52 的距离之和为3.又定点－12 与52之间的距离恰好为3，故有x ∈⎣⎡⎦⎤－12，52 . 〖答 案〗⎣⎡⎦⎤－12，52 3．求函数y ＝x 2－2x ＋2 ＋x 2－6x ＋13 的最小值．〖解 析〗此类问题直接用代数方法求解，困难较大，我们注意到x 2－2x ＋2 和x 2－6x ＋13 可分别变形为（x －1）2＋（0－1）2 和（x －3）2＋（0－2）2 ，便可分别看成是点(x ，0)到另两点(1，1)和(3，2)的距离，即问题化为x 轴上一动点(x ，0)到另两定点(1，1)和(3，2)的距离之和的最小值．结合图形(图略)，易得y min ＝13 .素养升华新定义问题(2020·上海松江区模拟)对于直角坐标平面内任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“新距离”：|AB |＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|AC |＋|CB |＝|AB |； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则|AC |2＋|CB |2＝|AB |2； ③在△ABC 中，|AC |＋|CB |>|AB |.其中的真命题为()A．①②③B．①②C．①D．②③〖解析〗对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”：|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|.对于①，若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1，x2之间，y0在y1，y2之间，则|AC|＋|CB|＝|x0－x1|＋|y0－y1|＋|x2－x0|＋|y2－y0|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝|AB|成立，故①正确；对于②，平方后不能消除x0，y0，命题不成立；对于③，在△ABC中，|AC|＋|CB|＝|x0－x1|＋|y0－y1|＋|x2－x0|＋|y2－y0|≥|(x0－x1)＋(x2－x0)|＋|(y0－y1)＋(y2－y0)|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝|AB|，故③不一定成立．只有命题①成立．〖答案〗C。

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 8.2 直线的交点坐标与距离公式(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·揭阳模拟)点P(x ，y)是直线5x －12y ＋8＝0上的点，O 为原点，|OP|的最小值为( )(A)513 (B)813(C)8 (D)13 2.(2012·合肥模拟)平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )(A)y ＝2x －1 (B)y ＝－2x ＋1(C)y ＝－2x ＋3 (D)y ＝2x －33.设两直线l 1：x ＋y 1－cosθ＋b ＝0，l 2：xsinθ＋y 1＋cosθ－a ＝0，θ∈(π，32π)，则直线l 1和l 2的位置关系是( )(A)平行 (B)平行或重合(C)垂直 (D)相交但不一定垂直4.设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( )(A)y ＝2x ＋5 (B)y ＝2x ＋3(C)y ＝3x ＋5 (D)y ＝－12x ＋525.设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c＝0的两个实数根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) (A)12，24 (B)2，22 (C)2，12 (D)22，126.(易错题)若点A(3,5)关于直线l ：y ＝kx 的对称点在x 轴上，则k 是( ) (A)－1±52(B)± 3 (C)－1±304 (D)－3±345二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，则点(0，b)到直线3x －4y －a ＝0的距离的最小值是 . 8.(2012·深圳模拟)已知点P 在直线x －4y ＋10＝0上，O 为坐标原点，A(3，-1)，则|OP|＋|AP|的最小值为 .9.(2012·广州模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与(－2,0)重合，且点(2012,2013)与点(m ，n)重合，则m －n 的值为 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，求(x 0－a)2＋(y 0－b)2的最小值.11.两互相平行的直线分别过A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行线间的距离为d.(1)求d 的变化范围；(2)求当d 取得最大值时的两条直线方程.【探究创新】(16分)在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数f(x)＝k(x －2)＋3的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，探究正实数m 取何值时，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；仅有两条；仅有三条；仅有四条.答案解析1.【解析】选B.|OP|的最小值即为点O 到直线5x －12y ＋8＝0的距离：|8|52＋(－12)2＝813. 【变式备选】点P(m －n ，－m)到直线x m ＋y n＝1的距离等于( ) (A)m 2＋n 2 (B)m 2－n 2 (C)－m 2＋n 2 (D)m 2±n 2【解析】选A.因为直线x m ＋y n＝1可化为 nx ＋my －mn ＝0，则由点到直线的距离公式得d ＝|(m －n)n ＋(－m)m －mn|n 2＋m 2＝m 2＋n 2.2.【解析】选D.在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，B 关于点(1,1)对称的点为N(1，－1).由两点式求出对称直线MN 的方程y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3，故选D. 3. 【解析】选C.∵θ∈(π，32π)，∴sin θ＜0， 又∵sin θ·1＋1－cos θ·1＋cos θ＝sin θ＋|sin θ|＝sin θ－sin θ＝0，故两直线垂直.4.【解题指南】利用角平分线的性质，分别求出点A 关于∠B ，∠C 的平分线的对称点坐标，由两点式得BC 方程.【解析】选A.点A (3，－1)关于直线x ＝0，y ＝x 的对称点分别为A ′(－3，－1)，A ″(－1,3)，且都在直线BC 上，故得直线BC 的方程为：y ＝2x ＋5.5.【解析】选D.∵两条直线x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0间的距离d ＝|b －a|2. 又∵a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，∴a ＋b ＝－1，ab ＝c ，从而|b－a|＝1－4c. 又∵0≤c ≤18，∴0≤4c ≤12，∴－12≤－4c ≤0， ∴12≤1－4c ≤1，∴d max ＝22 ，d min ＝12.6.【解析】选D.由题设点A(3,5)关于直线l ：y ＝kx 的对称点为B(x 0,0)，依题意得005013x k 3x 50k 22-⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩， 解得k ＝－3±345. 7.【解题指南】先利用点到直线的距离公式将距离表示为关于a ，b 的关系式，将已知条件代入，利用不等式求最值.【解析】点(0，b)到直线3x －4y －a ＝0的距离为d ＝|3×0－4b －a|32＋(－4)2＝a ＋4b 5＝a ＋4b 5·(1a ＋1b ) ＝15(5＋4b a ＋a b )≥15×(5＋4)＝95.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝3，b ＝32时取等号. 答案：958.【解析】设点A(3，-1)关于直线x －4y ＋10＝0的对称点是A ′(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋1x －3＝－4x ＋32－4·y －12＋10＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝7，即A ′(1,7)， ∴|OP|＋|AP|的最小值是|OA ′|＝1＋49＝5 2.答案：5 29.【解析】∵点(0,2)与点(－2,0)沿某一直线对称，可判断此对称轴为y ＝－x ，故点(2012,2013)关于y ＝－x 对称的点应为(－2013，－2012).∴m －n ＝－1.答案：－110.【解析】(x 0－a)2＋(y 0－b)2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b)的距离，而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a)2＋(y 0－b)2的最小值为点(a ，b)到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b|a 2＋b2＝a 2＋b 2. 【方法技巧】与直线上动点有关的最值的解法与直线上动点坐标有关的式子的最值问题，求解时要根据式子的结构特征，弄清其表示的几何意义，一般为两点连线的斜率，两点间的距离，或点到直线的距离.从而利用数形结合的思想求解.11.【解析】(1)方法一：当两直线的斜率都不存在时，两直线方程分别为x ＝6，x ＝－3，此时d ＝9；当两直线斜率存在时，设两条直线方程分别为y ＝kx ＋b 1，和y ＝kx ＋b 2，则1226k b 13k b =+⎧⎨-=-+⎩即12b 26k b 3k1=-⎧⎨=-⎩， 而d，∴d 2＋d 2k 2＝81k 2－54k ＋9，即(81－d 2)k 2－54k ＋9－d 2＝0，由于k ∈R ，∴Δ＝542－4(81－d 2)(9－d 2)≥0，整理得4d 2(90－d 2)≥0，∴0＜d ≤310. 综上0＜d ≤310.方法二：画草图可知，当两平行线均与线段AB 垂直时，距离d ＝|AB|＝310最大，当两平行线重合，即都过A ，B 点时距离d ＝0最小，但平行线不能重合，∴0＜d ≤310.(2)因为d ＝310时，k ＝－3，故两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.【探究创新】【解析】显然直线f(x)＝k(x －2)＋3与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A(2－3k，0)，B(0,3－2k)；当k ＜0时，△AOB 的面积为12(2－3k )(3－2k)，依题意得，12(2－3k)(3－2k)＝m ， 即4k 2－(12－2m)k ＋9＝0.又因为Δ＝[－(12－2m)]2－4×4×9，且m ＞0，所以，m ＝12时，k 值唯一，此时直线l 唯一；m ＞12时，k 值为两个负值，此时直线l 有两条；当k ＞0时，△AOB 的面积为－12(2－3k )(3－2k)，依题意得，－12(2－3k)(3－2k)＝m ，即 4k 2－(12＋2m)k ＋9＝0，又因为Δ＝[－(12＋2m)]2－4×4×9＝4m 2＋48m ，且m ＞0，所以Δ＞0，对于任意的m ＞0，方程总有两个不同的解且都大于零，此时有两条直线；综上可知：不存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；当0＜m ＜12时，直线l 有两条；当m ＝12时，直线l 有三条；当m ＞12时，直线l 有四条.。

第八章 第二节 直线的交点坐标、距离公式与对称问题一、选择题1．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值等于 ( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m . ∴m ＝－6或m ＝12.答案：B2．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是 ( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0x ＝1得交点A (1,1)，且可知所求直线斜率为－12.∴方程为x ＋2y －3＝0.答案：D3．(2012·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为 ( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2， ∴x ＝1或x ＝2，∴P (1,2)或(2，－1)． 答案：C4．直线l 1：3x ＋4y －7＝0与直线l 2：6x ＋8y ＋1＝0间的距离为 ( ) A.85 B.32 C ．4D ．8解析：因为直线l 2的方程可化为3x ＋4y ＋12＝0.所以直线l 1与直线l 2的距离为|12＋7|32＋42＝32. 答案：B5．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可． 若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4； 若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16；若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 值不存在；若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，则m ＝－1或m ＝23.综上可知，m 值最多有4个． 答案：D6． (2012·济南模拟)当直线y ＝kx 与曲线y ＝|x |－|x －2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得，当x <0时，y ＝－x ＋(x －2)＝－2；当0≤x ≤2时，y ＝x ＋(x －2)＝2x －2；当x >2时，y ＝x －(x －2)＝2.在直角坐标系中画出该函数的图象(如图)，将x 轴绕着原点沿逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图象都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图象都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k 的取值范围是(0,1)．答案：A 二、填空题7．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________．解析：设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0， 整理，得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0.由点到直线距离公式，得λ＝±3. ∴所求直线为x ＝1和4x －3y ＋5＝0. 答案：x ＝1或4x －3y ＋5＝08．(2012·苏州检测)已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为 解析：x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5. 答案： 5 9．函数y ＝a2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________．解析：法一：由指数函数的性质可得：函数y ＝a 2x －2(a >2，a ≠1)的图象恒过点A (1,1)，而A ∈l ，∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，由基本不等式可得：m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＝12.O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n2≤122＝2，∴O 到直线l 的距离的最大值为 2.法二：∵直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A (1,1)， ∴坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为|OA |＝ 2. 答案： 2 三、解答题10．已知直线l 经过点P (3,1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A (3，－4)和B (3，－9)，截得的线段AB 的长|AB |＝|－4＋9|＝5.符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋1＝0， 得A (3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋6＝0，得B (3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1)由|AB |＝5，得(3k －2k ＋1－3k －7k ＋1)2＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52.解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：由题意，直线l 1、l 2之间的距离为d ＝|1－6|2＝522，且直线l 被平行直线l 1、l 2所截得的线段AB 的长为5(如图所示)，设直线l 与直线l 1的夹角为θ，则sin θ＝5225＝22，故θ＝45°.由直线l 1：x ＋y ＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点P (3,1)，故直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.11．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0. 求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a1－a . 故l 1和l 2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋a －a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等． ∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．解：(1)当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，最大值为d＝|AB|＝＋2＋＋2＝310，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d≤310，即所求的d的变化范围是(0,310]．(2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－1k AB＝－12－－6－－＝－3，故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6) 和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.。

【优化探究】2015届高考数学一轮复习 8.2 直线的交点坐标与距离公式备选练习 文 新人教A 版[B 组 因材施教·备选练习]1．(2014年烟台调研)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：∵y ′＝x －1－x －1x －12＝－2x －12，∴曲线在点(3,2)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝3＝－12，又该切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直， ∴－a ·k ＝－1，∴a ＝－2，故选B. 答案：B2．点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x . 设P (t 2,2t )，则22＝|t 2－2t |2，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个．答案：C3．设s ，t 为正整数，直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n >1)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则数列{x n }的通项公式为x n ＝( )A.2sn ＋1 B.sn ＋1C.3s n ＋1D.4s n ＋1解析：由题意得直线l 1和l 2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫s ，12t ，所以x 1＝s .过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l的方程为y＝－tx n－1x＋t，与l2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧t2s x－y＝0y＝－tx n－1x＋t，消去y可得1x＝12s＋1x n－1，即1x n＝12s＋1x n－1.所以1x n－1x n－1＝12s，又1x1＝1s，所以数列{1x n}是首项为1s，公差为12s的等差数列，则1x n＝1s＋(n－1)12s＝n＋12s，故x n＝2sn＋1.答案：A。

第二节 直线的交点坐标与距离公式[全盘巩固]1．(2014·北京模拟)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：选B 因为|AB |＝α＋2＋sin 2α＝2＋2cos α＝ 3.所以cos α＝12，sin α＝±32，k AB ＝±3212＋1＝±33.即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)． 2．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：选A 因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率k 为12. 3．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意知，直线l 的斜率存在，故设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0.由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2. 所以k ＝2或k ＝－23.即所求直线方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 4．(2014·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2， 即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)． 5．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，当l 的斜率不存在时，不合题意，所以设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0，依题意有|5k －1＋2－2k |k 2＋1＝10，解得k ＝3.所以l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，令y ＝0，则x ＝－m 2，所以－m 2<－2或－m2>2，所以m >4或m <－4.7．(2014·金华模拟)直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．解析：直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，由l 2⊥l 1得直线l 2的斜率为－3，直线l 2的方程是y ＝－3(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋，y ＝－3x －，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，因此直线l 1与l 2的交点坐标是(1，3)．答案：(1，3)8．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋－2＝21313，因此c ＝2或－6. 答案：2或－69．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k ＋4)＋12×2k 2×4＝4k 2－k ＋8＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －182＋12716，故面积最小时，k ＝18. 答案：1810．(2014·孝感模拟)已知a 为实数，两直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －a ＝0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x 轴上．证明：若a ＝1，则l 1∥l 2，不符合题意，所以a ≠1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＋1＝0，x ＋y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋11－a ，y ＝－a 2＋11－a，所以两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋11－a，－a 2＋11－a ，显然，－a 2＋11－a ≠0，故交点不可能在x 轴上．当a >1时，a ＋11－a <0，－a 2＋11－a ＝a 2＋1a －1>0，此时交点在第二象限；当－1<a <1时，a ＋11－a >0，－a 2＋11－a ＝a 2＋1a －1<0，此时交点在第四象限；当a ＝－1时，a ＋11－a ＝0，－a 2＋11－a ＝－1，此时交点在y 轴上；当a <－1时，a ＋11－a<0，－a 2＋11－a ＝a 2＋1a －1<0，此时交点在第三象限． 综上所述，交点不可能在第一象限及x 轴上．11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.12．m 为何值时，直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能围成三角形？解：先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．①若m ≠0，则k 1＝－4，k 2＝－m ，k 3＝23m，当m ＝4时，k 1＝k 2；当m ＝－16时，k 1＝k 3；而k 2与k 3不可能相等．②若m ＝0，则l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：y ＝0，l 3：x －2＝0，此时三条直线能围成三角形．则当m ＝4或m ＝－16时，三条直线不能围成三角形．再考虑三条直线共点的情况，此时m ≠0且m ≠4且m ≠－16.将y ＝－ mx 代入4x ＋y －4＝0，得x ＝44－m ，即l 1与l 2交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m ，将点P 坐标代入l 3的方程得84－m ＋12m 24－m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝23.∴当m ＝－1或m ＝23时，l 1，l 2，l 3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m 为－1或－16或23或4时，三条直线不能围成三角形．[冲击名校]1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析：选B 因为直线l ：y ＝kx －3过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴的交点为A (3,0)，B (0,2)，若l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k >0＋33－0＝33，因此，直线的倾斜角的取值范围为π6<α<π2. 2．若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式， 得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.[高频滚动]1．(2013·辽宁高考)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析：选C 若△OAB 为直角三角形，则∠A ＝90°或∠B ＝90°.当∠A ＝90°时，有b ＝a 3；当∠B ＝90°时，有b －a 30－a ·a 3－0a －0＝－1，得b ＝a 3＋1a .故(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0.2．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．解析：很明显直线l 1∥l 2，直线l 1，l 2间的距离为d ＝|1－3|2＝2，设直线m 与直线l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |＝22，过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |＝d ＝2，则在Rt △ABC 中，sin ∠ABC ＝|AC ||AB |＝222＝12，所以∠ABC ＝30°，又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.答案：①⑤。