清华大学微积分高等数学课件第讲定积分的应用二

M 2 1 a2 (1 cos )2 d
20
4a2 cos4 d
0
2
8a2

2 cos4 tdt

3 a2
0
2019/9/5
2
23
x 2 ( )cos
3
y

x
2019/9/5
24
M y

2 a3 3
(1 cos )3 cos d
xdl
0
质心坐标 M
L
L
L
L
y M x 0
ydl
0
ydl
2019/9/5
M
L
L
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3. 平面薄板的质心
y
设面密度 常数
y f (x)
y
2

oa
x x dx
x b
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18
质量： M
b
ydx
a
静力矩：
M x

1 2

b y2dx,
3
o
2

x
2019/9/5
20
3
M 2 sin xdx 1 3
M y 2 x ( sin x)dx
3
3
| x cos x 2 2 cos xdx 1


1
Mx 2
3
2 sin2 xdx

1 4
3
2 (1 cos 2x)dx

1
dx
x2
2l x2
从a到a 2l求 积 分, 得 到 细杆 对 质 点的 引 力
F
a2l a
km M 2l

1 x2
dx
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| km M ( 1 ) a2l kmM
2l
x a a(a 2l)
8
[例2] 细 杆 、 质 点 同 例1.质 点 位 于 细 杆
l
1
l
(x2

a
2
3
)
2
dx
kmM
a l2 a2

F 0,
km M


a l2 a2
引力大小为 F kmM a l2 a2
方 向 沿 细 杆 的 垂 直 平 分线 并 指 向 细 杆
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11
（二）变力做功问题
问题: 求物体从x a 移到x b变力f (x) 所做的功
引力F. m
[解]
o
M
x
a
x x dx 2l a
两 质 点 之 间 的 引 力, 2019/9/5 遵 循 万 有 引 力 定 律
f

k
m1 m2 r2
7
分割区间[a, a 2l]
取小区间[x, x dx],视为质点, 质量: M dx 2l

dF

k
m

(
M 2l
dx)

km M
作业
P218 综合题 6. 7. 13. 16.
复习: P198—218 预习: P220—235
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1
第二十讲 定积分的应用（二）
一、几何应用(续) 二、物理应用
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2
y
（五）旋转体的侧面积
T M
y f (x)
oa
x x dx b
x
用切线MT绕x轴 旋转所得圆台的
a
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4
[例8] 求圆x2 ( y b)2 a2 绕 x 轴旋转所得 旋转体(环体)的(表)面积 S. (0 a b)
y
[解] 上半圆方程y1 b a2 x2
下半圆方程y2 b a2 x2
b
y12

y22

y2

x2 a2 x2
x
a o a
dM dl
o
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质量微元
dl
B
x x
16
静力矩微元： dMx y dl, dM y x dl
于是得
L
L
L
L
Mx
y dl ydl,
0
0
My
x dl x dl
0
0
L
L
M 0 dl 0 dl L
L
L
x M y 0 xdl
0
a
8ab
dx
0 a2 x2
a2 x2 )]
a dx a2 x2
| 8ab arcsin x a 4 2ab
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a0
6
二、物理应用
（一）引力问题
[例1] 设有一均匀细杆,长为2l, 质量为M .另有
一质量为m的质点, 位于细杆所在直线上,
与杆的近端的距离为a. 求细杆对质点的
1 y2 a
a2 x2
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5
所 求 面 积 为 上 、 下 半 圆绕 x 轴 旋 转 的
侧 面 积 之 和, 故
S 2S1 4
a
0 y1
1 y12dx 4
a
0 y2
1 y22dx
4
a
[(b
a2 x2 ) (b
的 垂 直 平 分 线 上, 距 杆 的 中 心 为a.
求 细 杆 对 质 点 的 引 力F .
[解]
y ●b
向量加法 a dFx
l
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dFy
dF
lx
o
x x dx
9
13
设引力 F {Fx , Fy }
由于细杆均匀, 质点关于细杆的位置具有
对称性, 故 Fx 0, 只须求Fy .
b
b
W a Fy ( y)dy kmM a y
dy l2 y2
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kmM b2 l 2 l
a2 l2 l

[ln
l
b
ln
a
] 13 9
（三）静力矩和质心
1. 质点系的质心
y A3
An

yi


A1
Ai(mi ) A2


x
o
xi
质 点 Ai 对 x 轴 的 静 力 矩 mi yi

| 1 ( x 1 sin2x) 3 2
42

8
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21
x My 1
M
y Mx
M
8
重心坐标：( 1, )
8
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22
[例2] 求心脏线 a(1 cos )所围区域
图 形 的 重 心 坐 标.
[解] 由对称性知 y 0
由静力矩定律知Mx M y, My M x
n
n
x
My

mi xi
i 1
y
Mx

mi yi
i 1
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M
M
M
M 15
2. 平面曲线的质心
设线密度 常数(质量均匀分布)
分割弧长区间[0, L] y
任取一小区间
y
[l, l dl]
视为质点：( x, y)
A
侧面积近似
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3
圆台侧面积 [ y ( y dy)] dl 2ydl dy dl
当dx 0时, dy dl o(dx), 略 去 ！ 得侧面积微元：
dS 2ydl 2y 1 y2 dx
侧面积
S 2
b
y
1 y2 dx
2019/9/5 质 点 Ai 对 y 轴 的 静 力 矩 mi xi 14
n
质 点 系 对x 轴 的 静 力 矩 ：M x mi yi
i 1
n
质 点 系 对y 轴 的 静 力 矩 ：M y mi xi
n
i 1
质 点 系 总 质 量 ：M mi
i 1
设 质 心 为 ：( x, y)
a
b
My
xydx
a
质心坐标：
b
xydx
x
a b
,
a ydx
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1 b y 2dx
y 2
a b
a ydx
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[例1] 求曲线 y sin x在区间[ , 3 ]上的
2
部分与x 轴、直线x 3 所夹区域
2 图 形 的 重 心 坐 标.
[解] y
y sin x
x
a
x x dx b
功的微元 dW f ( x)dx
b
W a f ( x)dx
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[例3] 将例2中的质点沿垂直平分线由距杆的 中心为a 处移至距杆的中心为b处. 求克服 引力所做的功W .
[解] 分割区间[a, b]
取小区间[ y, y dy], 视为常力做功
功的微元dW Fy ( y)dy 由例2知
0
2 a3 (cos 3cos2 3cos3 cos4 )d 30
5 a3
4
于是 x My 5a
M6
重心直角坐标
重心极坐标
5 ( x a, y 0) 6 2019/9/5