北师大版数学九年级下册知识点总结及例题(不错!)

北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》说课稿1一. 教材分析《直线和圆的位置关系》是北师大版数学九年级下册第3.6节的内容。

这一节主要介绍了直线和圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。

通过本节课的学习，学生能够理解直线和圆的位置关系的概念，掌握判断直线和圆位置关系的方法，并能运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了直线、圆的基本概念和性质，对图形的认知和空间想象能力有一定的基础。

但是，对于直线和圆的位置关系的理解和应用还较为困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直线和圆的位置关系的概念，掌握判断直线和圆位置关系的方法。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，学生能够培养空间想象能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与学习活动，克服困难，增强对数学学习的兴趣和信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：直线和圆的位置关系的概念，判断直线和圆位置关系的方法。

2.教学难点：直线和圆位置关系的理解和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作交流、启发引导的教学方法，让学生在探究中学习，在交流中思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示直线和圆的位置关系，帮助学生理解和掌握。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引发学生对直线和圆位置关系的思考，激发学习兴趣。

2.探究新知：学生通过观察、操作、交流，探讨直线和圆的位置关系，总结判断方法。

3.巩固新知：教师通过例题和练习，帮助学生巩固直线和圆位置关系的理解和应用。

4.拓展与应用：学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

5.课堂小结：学生总结本节课的学习内容，教师进行点评和补充。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出直线和圆的位置关系的概念和判断方法。

可以采用流程图、示意图等形式，帮助学生理解和记忆。

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A L 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：(1)OA=OB=OC定在三角形内部(1)(2)OABAC心在三角形内部2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行（或重合）的直线与⊙O 有公共点, 设OP=x ，则的取值范围是（ ）.A ．－1≤≤1B ．≤≤C ．0≤≤ D ．＞【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP 的值． 【答案】C ；【解析】如图，平移过P 点的直线到P′，使其与⊙O 相切，设切点为Q ，连接OQ ，P x x x 2x 2x 2由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明． 【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ．∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ． »»CFCB =»»CBGB =»»CFBC =»»CF GB =»»CBBG =»»CBCF =»»»CF BC BG ==∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ ，， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ ，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ ，．∴ ，． ∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ． 又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系12BN BF =12CD CG =»»CFBC =»»BGBC =»»»CF BG BC ==»»BF CG =ON OD=123．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】 （1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3()332844AB cm ∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2019•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，⊙CD是⊙O切线，⊙OD⊙CD，⊙OA=CD=2，OA=OD，⊙OD=CD=2，⊙⊙OCD为等腰直角三角形，⊙⊙DOC=⊙C=45°，⊙S阴影=S⊙OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，⊙AB是⊙O直径，⊙⊙ADB=⊙ADM=90°，又⊙=，⊙ED=BD，⊙MAD=⊙BAD，在⊙AMD和⊙ABD中，，⊙⊙AMD⊙⊙ABD，⊙DM=BD，⊙DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2019•贵阳）如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊙AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，⊙B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）⊙OF⊙AB，⊙⊙BOF=90°，⊙⊙B=30°，FO=2，⊙OB=6，AB=2OB=12，又⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙AC=AB=6；（2）⊙由（1）可知，AB=12，⊙AO=6，即AC=AO，在Rt⊙ACF和Rt⊙AOF中，⊙Rt⊙ACF⊙Rt⊙AOF，⊙⊙FAO=⊙FAC=30°，⊙⊙DOB=60°，过点D作DG⊙AB于点G，⊙OD=6，⊙DG=3，⊙S⊙ACF+S⊙OFD=S⊙AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．»ABC D BC DB DC DA+=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2.已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3，则直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相切或相交3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）A．55° B．70° C．90° D．110°5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7．（2019•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．38．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是( )．A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°二、填空题9.如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为度．10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.11.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= ．12．（2019•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.14.已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2019•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝13∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2.【答案】D；3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4.【答案】D；【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=110°，∴∠ADE=110°．5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).6．【答案】C.【解析】本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，所以AB=5，而两圆半径为和，且，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，共有3条公切线.7．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．8．【答案】C；【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC＝65°；点P在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题9.【答案】24.10．【答案】99°；【解析】由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.11.【答案】83.12【解析】以CQ 为直径作⊙O，当⊙O 与AB 边相切动点P 时，CQ 最短，∴OP⊥AB，∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠POA=60°，∵OP=OQ，∴△POQ 为等边三角形，∴∠POQ=60°，∴∠APQ=30°，∴设PQ=OQ=AP=OC=r ，3r=AC=ABsin 30︒=4，∴CQ=83，∴CQ 的最小值为83．12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE ，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】； ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL，∴ ，，即正八边形的边长为．．1)a 22)a 2x 22x x a ⨯+=1)x a =1)a 2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，， 则，∴ n 条弧长的和为．16.【答案】4.【解析】解：过点O 作OC⊥AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图， ∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，∴当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =AB•CD+AB•CE=AB （CD+CE ）=AB•DE=×2×4=4．(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴ ∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF=DF，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC， ∵DC=DE， ∴DC=DE=EC，∴△DCE 是等边三角形，»»BFFC∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°， ∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． ∴ ∠MBC ＝∠NCD ．又∵ ∠DBC ＝∠ECD ＝36°， ∴ ∠DBM ＝∠ECM ． ∴ △BDM ≌△CEN ， ∴ BM ＝CN ．(2)180n n°。

北师大版九年级数学知识点汇总(总16页)第一章整式与代数式一、定义1、定义1：整式整式是由常数和未知数的乘积以及未知数的幂次构成的一个或多个项的表达式。

2、定义2：代数式代数式是数学中由常数、未知数、及他们的运算符号组成的符号表达式的总称。

二、运算1、加减运算在加减运算中，同类项要求具有相同的底数和指数，再将它们的系数相加减，整式中一些未知数有相同指数，可以合并为一项。

2、乘除运算乘除运算中，同一式子中的若干未知数及其指数要求相同，否则将它们拆开，系数则相乘、相除，未知数则相乘、相除。

三、同类因式1、定义：同类因式是指有相同底数和指数的项。

2、形式当底数相同，有两种形式出现：（1）乘积形式，如：（a+b）2；（2）对比形式，如a2：b2；当指数相同，有三种形式出现：（1）口诀形式，如：a2b2；（2）引号形式，如：(a+b)2；（3）下标形式，如：a2/b2。

第二章平方差一、定义1、定义1：平方平方是数学中指一个数的平方，也可以表示为n²。

2、定义2：差差是指在数学中表示两个或多个数之间的差，也可以表示为a-b。

二、运算1、解平方差要解方程：x²-a=b，须将a和b分别平方，变为x²-a²=b²，再根据等式左右两边分别加或减a²，变为：x²±2a x±a²=b²，再用平方根法求出x的值。

2、完全平方差要解方程：ax²+2bx+c=0，首先设：x²+2px+q=0，其中p=b/a，q=c/a，再将上式化为完全平方差的形式：（x+p）²=q-p²，最后解出 x=–p±√q–p² 。

三、巧解平方差当a、b、c的数值比较简单且不能完全平方差时，则可用巧解方法。

只要将a、b、c 做互质处理，即将a与b、c求公约数，将a、b、c分解为两个数的乘积，如果形式中乘积可以分解完全平方式，则可用巧解方法解方程。

1 2 北师大版九年级下册数学第 7 讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1. 二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式： y = ax 2 + bx + c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式： y = a (x - h )2 + k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ( x 1 ， x 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2. 确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 y = ax 2 + bx + c 或 y = a (x - h )2 + k ，或 y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ，其中 a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为y = a (x - h )2 + k ；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为 y = a (x - x )(x - x ) ．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线 经过 A ，B ，C 三点，当 时，其图象如图 1 所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.⎩∴ ⎪图 1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为 （ ）.由图象可知 A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.⎧c = 2, ⎨16a + 4b + c = 0, ⎪25a + 5b + c = -3， 解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为 .【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围 .2. （2016•丹阳市校级模拟）形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是 （0，﹣5）的抛物线的关系式为 ．【思路点拨】形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为 y=﹣2（x ﹣h ） 2+k ，其中（h ，k ）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．【答案】y=﹣2x 2﹣5．【解析】解：∵形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为 y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x ﹣0）2﹣5，即 y=﹣2x 2﹣5．∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．3.已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：，，则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1) ：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，所以抛物线的函数关系式为；解法(2) ：设抛物线的函数关系式为两点式：y =a(x + 4（)x- 2）(a≠0)，把（－1，4）代入得，所以抛物线的函数关系式为：y=-4(x+4（)x- 2）；9【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【变式】（2014•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式．【答案】y=﹣x 2﹣2x+ .提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+，将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0，解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+ ，∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+ ．类型二、用待定系数法解题⎩ ⎩4.（2015 春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1） 求二次函数的解析式；（2） 设此二次函数的顶点为 P ，求△ABP 的面积．【答案与解析】解：（1）由二次函数图象知，函数与 x 轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a （x+1）（x ﹣3），又∵函数与 y 轴交于点（0，2），代入解析式得，a ×（﹣3）=2，∴a=﹣ ，∴二次函数的解析式为：，即；（2） 由函数图象知，函数的对称轴为：x=1， 当 x=1 时，y=﹣×2×（﹣2）= ，∴△ABP 的面积 S===．【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.【答案与解析】(1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 y = - 1 x 2 + bx + c 2得⎧-2 + 2b + c = 0, 解得⎧b = 4, ⎨c = -6, ⎨c = -6. ∴ 这个二次函数的解析式为 y = - 1 x 2 + 4x - 6 ． 2(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线 x = - 4 2 ⨯⎛ - 1 ⎫= 4 ， 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ 点 C 的坐标为(4，0)，∴AC＝OC-OA＝4-2＝2．∴S△ABC =1g AC g OB =1⨯ 2 ⨯ 6 = 6 ．2 2【总结升华】求△ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A、B 两点坐标分别代入解析式求出b，c 的值．(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC 的面积．举一反三：⎛0 3 ⎫【变式】已知二次函数图象的顶点是(-1，2) ，且过点 ⎝ ，⎪．2 ⎭（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m，点M (m，-m2 ) 都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）y =-1 x 2-x +3 ；2 2（2）证明：若点M (m，-m2 ) 在此二次函数的图象上，则-m2=-1(m+1)2+2．2得m2- 2m + 3 = 0 ．△=4 -12 =-8 < 0 ，该方程无实根．所以原结论成立．。

第一章直角三角形的边角关系九年级下册第1节锐角三角函数一、锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°【说明】①三角函数表示的是两边的比值，所以它只是一个数值，没有单位。

②当用一个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sin A，cos B，tan C；当用一个希腊字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sinα，cosβ，tanθ；当用三个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠ABC，cos∠DEF，tan∠GHI；当用一个阿拉伯数字表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠1，cos∠2，tan∠3。

③如果要表示三角函数的倍数与乘方，应分别表示为2 sin A，3cos B，4tan C，sin2A，cos3B，tan4C；2 sin30°，3cos30°，4tan30°，sin230°，cos330°，tan430°。

二、坡度1、坡度的概念如图所示，我们把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比值叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示。

【说明】坡面的坡度实际上就是坡角的正切值，即i＝tanα＝hl2、三角函数与坡面的陡峭程度（1）tan A的值越大，坡面越陡。

（2）sin A的值越大，坡面越陡。

（3）cos A的值越小，坡面越陡。

三、锐角三角函数的增减性（0°~90°）1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；2、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；3、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

四、同角三角函数的关系1、互余关系：sinA ＝cos(90°－A) cosA ＝sin(90°－A)2、平方关系：s in 2A ＋cos 2A ＝13、弦切关系：tan A ＝sin cos AA4、倒数关系：tan A ·tan(90°－A)＝1第2节 30°，45°，60°角的三角函数值一、探索30°，45°，60°角的三角函数值求30°角的三角函数值，关键根据“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，可设30°的锐角的对边为a ，则斜边为2a ，由勾股定理可求得30°3a ，因此可以求出30°的锐角的各个三角函数值：sin30°＝2a a ＝12 cos30°3a3 tan30°3a 33也可以求出60°的锐角的各个三角函数值：sin60°3a ＝3 cos60°＝2a a ＝12tan60°3a 3求45°角的三角函数值，关键根据“有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形”，可设一条直角边为a ，则另一条直角边也为a 2a ，因此可以求出45°的锐角的各个三角函数值：sin45°2a 22 cos45°2a 2 tan45°＝aa ＝1二、熟记特殊角的三角函数值第3节三角函数的计算一、用计算器求任意锐角的三角函数值1、求整数度数的锐角的三角函数值首先使计算器的面板上出现DEG，然后再按sin cos tan这三个键之一，再从高位向低位按出表示度数的整数，再按键＝，就可以在显示屏上得到答案。

圆心角与圆周角的关系课前测试【题目】课前测试如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【答案】（1）M为BD的中点；（2）．【解析】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．总结：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．【难度】4【题目】课前测试如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】等边三角形；CP=BP+AP；当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，S四边形APBC=．【解析】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．总结：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB ≌△ADC 是关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版 ，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆心角与圆周角的关系是九年级下册第三章的内容，主要讲解了圆周角定理及其三条推论，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，该部分内容学习的重点是掌握同弧所对的圆周角与圆心角的关系，难点是应用圆周角定理解决简单问题。

北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理【学习目标】1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.P rPrPr要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O 的半径为r，点P 到圆心O 的距离为d，那么：点P 在圆内⇔d ＜r ；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=2（0s）0.9相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.类型二、圆的有关计算3.已知，点P 是半径为5 的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】C.【解析】作图，过点P 作直径AB，过点P 作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，由勾股定理，得，∴CD=2PC=8，又∵AB=10，∴过点P 的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P 的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，容易漏解. 举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm 或6.5cmD. 5cm 或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4.已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作：⊙O 使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB 的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC 的垂直平分线EF，交MN 于点O；3、以O 为圆心，OB 为半径作圆.所以⊙O 就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.52 - 42【变式】（2015•江干区二模）给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）A ．已知圆心B ．已知半径C ．已知直径D ．不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A 、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B 、C 、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选 D ．5. 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的 OP 的最大值与最小值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长，为 5；根据垂线段最短，可得到当 OP ⊥AB 时，OP 最短．∵直径为 10，弦 AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得 AP=4，由勾股定理的 OP= = 3 ，∴OP 最短为 3.∴OP 的长的取值范围是 3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道 OP 何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O 的半径为 13，弦 AB=24，P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 的取值范围是．【答案】 OP 最大为半径，最小为 O 到 AB 的距离．所以 5≤OP ≤13.。

北师大版九年级下册数学第 18 讲《弧长和扇形面积》知识点梳理【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.3 (3) 扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比记忆；(4) 扇形两个面积公式之间的联系： .【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1. 如图（1），AB 切⊙O 于点 B ，OA= 2，AB=3，弦 BC∥OA ，则劣弧 B»C 的弧长为（ ）． A ． 3 π B ． 3 π 3 2 C ．π D ． 3π 2A图（1）【答案】A.【解析】连结 OB 、OC ，如图（2）则∠OBA ＝90︒ ，OB= ， ∠A ＝30︒ ， ∠AOB ＝60︒ ，由弦 BC ∥OA 得∠OBC ＝∠AOB = 60︒ ，所以△OBC 为等边三角形， ∠BOC ＝60︒ .则劣弧 B»C 的弧长为 60π 3 = 3π ，故选 A. 图（2） 180 3【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料， 试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到 0.1mm)3 C B O【答案】R=40mm，n=110∴的长= = ≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．2.如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC= OC= OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形= ．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A 与BC 相切于点D，交AB 于E，交AC 于F，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．4 -4πB．4 -8πC．8 -4πD．8 -8π 9 9 9 9A PE FB D C图（1）的面积是： 【答案】连结 AD ，则 AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD= ×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形 80π 22 EAF = 8π.360 9故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形 EAF 的面积= 4- 8π． 图（2） 9故选 B ．3.（2015•ft西模拟）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，∠A=30°，BC=2，点 D 是 AB 的中点， 连接 DO 并延长交⊙O 于点 P ，过点 P 作 PF⊥AC 于点 F ．（1） 求劣弧 PC 的长；（结果保留 π）（2） 求阴影部分的面积．（结果保留 π）．【答案与解析】解：（1）∵点 D 是 AB 的中点，PD 经过圆心，∴PD⊥AB，∵∠A=30°，∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD ，∵PF⊥AC，∴∠OPF=30°，∴OF=OP ，∵OA=OC，AD=BD ，∴BC=2OD，∴OA=BC=2，∴⊙O 的半径为 2，∴劣弧 PC 的长===π；（2）∵OF=OP ，∴OF=1，∴PF== ，∴S阴影=S 扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．【总结升华】本题考查了垂径定理的应用,弧长公式以及扇形的面积公式等知识，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．类型二、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC= =2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S 扇形OBC=π×OC2= π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

二次函数学问点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++〔a b c，，是常数，0a≠〕的函数，叫做二次函数。

这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax=的性质：a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。

Array2.2y ax c=+的性质：上加下减。

3.()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设及x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，明显0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 确定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负确定开口方向，a 的大小确定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 确定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 确定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的断定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 确定了抛物线及y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此a 恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原那么，选择相宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系〔二次函数及x 轴交点状况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况.图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔21AB x x =-=② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象及y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大〔小〕值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：二次函数图像参考：2-322y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少y=-2x2y=-2(x-3)2二次函数考察重点及常见题型1． 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中， 如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 那么m 的值是2． 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，假如函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔 〕A B C D3． 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的对称性—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．∵∠OCA=30°，∴=tan30°，即=，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD＝∠BOC 即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B DC D B D -=-，即AD BC =， ∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴A C B D=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴A C B D=．。

北师大版数学九年级下册：二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax^2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。

性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值（a>0）。

当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值（a<0）。

2.y=ax^2+c的性质：上加下减，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。

性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值c（a>0）。

当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值c（a<0）。

3.y=a(x-h)^2的性质：左加右减，a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。

性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。

当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。

4.y=a(x-h)^2+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。

性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。

当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。

三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定其顶点坐标(h,k)处，具体平移方法如下：保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。

初中数学二次函数的解析式一、考点突破1. 掌握求二次函数解析式的方法。

2. 能够根据题目要求选择合适的求解析式的方法解决问题。

二、重难点提示重点：求二次函数解析式。

难点：根据问题选择合适的方法，求二次函数解析式。

考点精讲1.二次函数的解析式的四种形式一般式：（）。

顶点式：（）。

其中（，）为顶点，对称轴为。

交点式：（）。

其中，为抛物线与轴交点的横坐标。

对称点式：（）。

其中（，），（，）为图象上两个对称的点。

2.确定二次函数解析式的几种基本思路根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。

用待定系数法求二次函数的解析式，必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。

一般来说，有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用对称点式。

典例精讲例题1（宝安区一模）如图，已知抛物线l1：y=（x－2）2－2与x轴分别交于O、A 两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数解析式为（）A. y=（x－2）2+4B. y=（x－2）2+3C. y=（x－2）2+2D. y=（x－2）2+1思路分析：根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式，求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式，求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的。

答案：解：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=（x－2）2－2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA•AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=（x－2）2－2+4，即y=（x－2）2+2，选C。

正方形的判定（4种题型）【知识梳理】一．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【考点剖析】题型一：正方形判定定理的理解例1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）满足下列条件的四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形B．对角线互相垂直的菱形C．对角线相等的矩形D．对角线互相垂直平分的四边形【答案】A【分析】根据正方形的判定方法即可求解．【详解】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项正确，符合题意；B选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故B选项错误，不符合题意；C选项，对角线相等的菱形是正方形，故C选项错误，不符合题意；D选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故D选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键． 【变式】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交O ，添加下列条件不能判定矩形ABCD 是正方形的是（ ）A ．AB BC =B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．12∠=∠【答案】B 【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断．【详解】解：A 、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；B 、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；C 、正确．∵四边形ABCD 是矩形，∴OD OB =，OC OA =，∵AC BD ⊥，∴AD AB =，∴矩形ABCD 为正方形，故不符合题意；D 、正确，∵12∠=∠，AB CD ，∴2ACD ∠=∠，∴1ACD ∠=∠，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．题型二：添加一个条件使四边形是正方形 例2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，D 是ABC 内一点，AD BC ⊥，E 、F 、G 、H 分别是AB BD CD AC 、、、的中点，添加下列哪个条件，能使得四边形EFGH 成为正方形（）A ．BD CD =B ．BD CD ⊥C ．AD BC = D ．AB AC =【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可证EF GH =，EH FG =，推出四边形EFGH 是平行四边形，再根据AD BC ⊥证明EF FG ⊥，可得四边形EFGH 是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形可得选项C 为正确答案．【详解】解： E 、F 、G 、H 分别是AB BD CD AC 、、、的中点，∴ EF 是ABD △的中位线，CH 是ADC △的中位线，FG 是DBC △的中位线，EH 是ABC 的中位线， ∴12EF AD =，EF AD ∥，12GH AD =，GH AD ∥，12FG BC =，FG BC ∥，12EH BC =，EH BC ∥， ∴EF GH =，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，EF AD ∥，FG BC ∥，AD BC ⊥，∴EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形，当AD BC =时，1122EF AD BC FG ===，可得四边形EFGH 是正方形．故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法，以及中位线的性质，即平行于三角形的第三条边，且等于第三边长度的一半．【变式】．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个以A ∠为内角的菱形吗？石雨的折法如下：第一步，折出A ∠的平分线，交BC 于点D ，第二步，折出AD 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点E 、F ，把纸片展平，第三步，折出DE 、DF ，得到四边形AEDF ，(1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF 是菱形；(2)ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据要求画出图形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据正方形与菱形的关系即可得知ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，有一个角为直角的菱形为正方形．【详解】（1）解：图形如图所示：理由：∵AD 是BAC ∠ 的平分线，∴BAD CAD ∠=∠，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴EA ED =，∴EAD EDA ∠=∠，∴EDA CAD ∠=∠，∴ED AF ∥．同理AE FD ∥，∴四边形 AEDF 是平行四边形，又EA ED =，∴四边形 AEDF 是菱形．（2）ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，理由如下：∵四边形 AEDF 是菱形，90BAC ∠=︒，∴四边形AEDF 是正方形．【点睛】本题考查作图——复杂作图，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型三：证明四边形是正方形例3.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．【分析】先判断出AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，进而求出∠AFD ＝∠AEB ＝75°，进而判断出△AEB ≌△AFD ，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°，∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．【变式1】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形CEDF是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【变式2】如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形．【分析】可通过证明△AEH，△DHG，△CGF，△BFE全等，先得出四边形EFGH是菱形，再证明四边形EFGH 中一个内角为90°，从而得出四边形EFGH是正方形的结论【解答】解：四边形EFGH是正方形．证明：∵AE＝BF＝CG＝GH，∴AH＝DG＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD．∴四边形EFGH是菱形．∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，∴∠EHA+∠GHD＝90°．∴∠EHG＝90°．∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定和性质、正方形的性质和判定，熟练掌握应用全等三角形的性质是解题的关键．题型四：根据正方形的判定与性质求线段长例4.如图所示△ABC中，∠C＝90A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形；（2）利用三角形面积求法得出EC的长．【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，∴四边形FCED是矩形，又∵∠A，∠B的平分线交于D点，∴DF＝DE＝DN，∴矩形FCED是正方形；（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB＝10，∵四边形CEDF为正方形，∴DF＝DE＝DN，∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，故EC＝＝2．【点评】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出DF＝DE是解题关键．【变式】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形；（2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a．【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，∴FC＝FD，∴∠D＝∠FCD＝45°，∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，又∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）∵FG垂直平分CD，∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，∵BG∥AD，∴∠G＝∠EFD，在△CEG和△DEF中，，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，又∵正方形ABCF中，BC＝AF，∴AF+FD＝BC+CG，∴AD＝BG＝a．【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．题型五：中点四边形 例5（2023·陕西西安·校考二模）已知四边形ABCD 为菱形，点E 、F 、G 、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E 、F 、G 、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】C【分析】连接AC BD 、，根据三角形中位线定理得到1122HG EF BD FG EH AC ====，，根据菱形的性质得到AC BD ⊥，即可判断四边形EFGH 为矩形．【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E 、F 、G 、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C ．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的性质是解题的关键．【变式】（2023·山东临沂·统考一模）四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交点O ，点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD ，四边形MNPQ 可能不是平行四边形；②若AC BD =，则四边形MNPQ 一定是菱形；③若AC BD ⊥，则四边形MNPQ 一定是矩形；④若四边形ABCD 是菱形，则四边形MNPQ 也是菱形． 所有正确推断的序号是_____________．【答案】②③【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．【详解】解：点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥且12MN AC =，PQ AC ∥且12PQ AC =，MN PQ ∴∥且MN PQ =，MNPQ ∴是平行四边形，故①错误； 点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，∴12MN AC =，12PN BD =，AC BD =，MN PN ∴=，MNPQ 是平行四边形，∴四边形MNPQ 是菱形，故②正确；点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥，MQ BD ∥，AC BD ⊥，MN MQ ∴⊥，90QMN ∴∠=︒，MNPQ 是平行四边形，∴MNPQ 是矩形，故③正确；若要四边形MNPQ 是菱形，需满足AC BD =,当四边形ABCD 是菱形，AC 不一定等于BD ，故④错误；综上，正确的有：②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【过关检测】一、单选题 A ．AC BD =B ．【答案】B 【分析】已知四边形ABCD 是矩形，要使它成为正方形只有两种方法：（1）一组邻边相等；（2）对角线互相垂直，据此求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴当AC BD ⊥或当AD AB =或AB BC =或BC CD =或AD CD =时，四边形ABCD 是正方形；故选：B.【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练地掌握正方形的判定方法是解题的关键．（1）一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．2．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）下列命题正确的是（）A．对角线垂直的四边形是菱形B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形C．顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半【答案】D【分析】利用平行四边形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面积计算方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；B、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；C、顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是对角线相等且互相垂直的四边形，故原命题错误，不符合题意；D、对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面积计算方法等知识．【答案】B【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键．A ．①③B ．①②【答案】C 【分析】①根据正方形的性质和中位线定理可以解决问题；②利用①中结论可以证明OM MP ≠，可以解决问题；③利用①③中的结论，确定四边形EFNB 的面积与OMP 的面积比，正方形ABCD 面积与OMP 的面积比，可以解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线∴45ABO ADB CBD BDC ∠=∠=∠=∠=︒，90BAD BCD ∠=∠=︒∴ABD △、BCD △是等腰直角三角形∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴EF BD ∥，12EF BD =，CE CF =∵90ECF ∠=︒,CE CF =∴CEF △是等腰直角三角形∵AP EF ⊥，EF BD ∥∴90AOD AOB ∠=∠=︒又∴45ABO ADB ∠=∠=︒∴ABO 、ADO △是等腰直角三角形∴AO BO =，AO DO =∴BO DO =∴AOB AOD △≌△∴AO BD ⊥又∵OP BD ⊥∴A 、O 、P 三点共线 ∴12PE PF EF ==又∵M ，N 分别为BO ，DO 的中点∴F O P M MB ON P ND E =====连接PC ，如图，∵FD CF =，ON ND =∴NF 是CDO 的中位线，∴NF AC ∥∵90DNF ∠=︒，45FDB ∠=︒∴DNF △是等腰直角三角形∴NF ND ON ==∵90ONF NOP OPF ∠=∠=∠=︒∴四边形FNOP 是矩形∵NF ON =∴四边形FNOP 是正方形∴OM OP =∴OMP 是等腰直角三角形∴图中的三角形都是等腰直角三角形故①正确；∵OMP 是等腰直角三角形∵45FDB ∠=︒∴MP BC ∥∴四边形MPEB 是平行四边形，在Rt OMP △中，MP OM ＞即BE BM ＞∵BE BM ≠∴四边形MPEB 不是菱形故②错误；∵OM BM ON ==，SBEPM BM OP =⨯，1S 2OMP OM OP =⨯⨯，S ONFP ON OP =⨯ ∴S S 2S BEPM ONFP OMP == ∴S S S S 5S BEPM OMP OMP ONFP EFNB =++=正方形四边形 ∵11S 2222AOB OB OA OM OP =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 即1S 44S 2AOB OMP OM OP =⨯⨯⨯= 又∵S 4S AOB ABCD =正方形 ∴S 16S OMP ABCD =正方形5S S 16ABCD EFNB =正方形四边形故③错误；故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题【答案】【分析】四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=，如图所示，过点E作EH AD⊥于H，交BC于Q，AE与BC交于点P，可证(SAS)BCG QEC△≌△，(SAS)EQP ABP△≌△，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=∴1122BG AG AB===，∴在Rt BCG中，52CG===，如图所示，过点E作EH AD⊥于H，交BC于Q，AE与BC交于点P，∵四边形CEFG为正方形，∴CE CG=，∵12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，在,BCG QEC△△中，1390EQC B CE CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)BCG QEC △≌△，∴EQ BC ==CQ GB ==，即Q 为BC 中点， 同理，可证(SAS)EQP ABP △≌△，∴1122QP BP BQ ====，12EP AP AE ==∴在Rt ABP 中，AP ====，∴22AE AP ===，故答案为：．【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON OM ⊥，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是5，则AB 的长为______．【答案】【分析】如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，证明()ASA EOM FON ≌，则EOM FON S S =，5OEDF MOND S S ==四边形，即25OE =，解得OE =，根据2AB OE =，计算求解即可．【详解】解：如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，∴OE OF =，90EOF EOM MOF ∠=︒=∠+∠，∵90MON FON MOF ∠=︒=∠+∠，∴EOM FON ∠=∠，∵EOM FON ∠=∠，OE OF =，90OEM OFM ∠=∠=︒，∴()ASA EOM FON ≌， ∴EOM FON SS =，∴5OEDF MOND S S ==四边形，即25OE =，解得OE =OE =，∴2AB OE ==故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（2023·四川凉山·统考一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，,E F 分别是,AD AB 边上一点，且AE BF =，连接,BE CF 交于点P ，则线段DP 的最小值为___________1【分析】如图所示，线段DP 中，点P 运动的路径是以BC 中点为圆心，12BC 为半径的半圆，分类讨论，①当E F 、在线段AD AB 、上时；②当E F 、在线段AD AB 、延长线上时；图形结合，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，线段DP 中，点P 运动的路径是以BC 中点为圆心，12BC 为半径的半圆，①当E F 、在线段AD AB 、上时，如图所示，∴当BE CF ⊥时，DP 的值最小，∵正方形ABCD 的边长为2，∴如图所示，由此，对角线的长为AC BD ===∴1122DP AB ===②当E F 、在线段AD AB 、延长线上时，如图所示，∴当BE CF ⊥时，即点,,O P D 在一条直线，DP 的值最小，如图所示，连接OP ，∵BE CF ⊥，∴90BPC ∠=︒， ∵112122OB OP OC BC ====⨯=，2CD AB ==，∴在Rt OCD △中，OD =∴1DP OD OP =−=；综上所示，DP 1，1． 8．（2023·安徽安庆·校考一模）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E 为AB 边上一点，将BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处．当AEF △为直角三角形时，AE =___________．【答案】2或5/5或2【分析】分90,90,90AEF AFE FAE ∠=︒∠=︒∠=︒三种情形计算．【详解】解：当90AFE ∠=︒时，连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6AD =，∴90ABC CFE ∠=∠=︒，10AC ==，6AD BC ==，∵90AFE ∠=︒，∴180AFE CFE ∠+∠=︒，∴,,A F C 三点共线，根据折叠的性质，得6,CF BC EF EB ===，∴4AF AC CF =−=，设AE x =，则8EF EB x ==−，根据勾股定理，得()22284x x =−+，解得5x =，故5AE =；当90AEF ∠=︒时，∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6AD =，∴90ABC CFE ∠=∠=︒，6AD BC ==，∵90AFE ∠=︒，∴四边形BCFE 是矩形，根据折叠的性质，得6,CF BC EF EB ===，∴四边形BCFE 是正方形，∴6CF BC EF EB ====，∴862AE AB BE =−=−=，故2AE =；当90=︒∠FAE 时，∵CD CF ＞，∴F 点不可能落到AD 上，故90=︒∠FAE 不成立，故2AE =或5AE =，故答案为：2或5．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．9．（2023·福建·模拟预测）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AC 、AE 是两条对角线，则∠CAE 的度数为_________°．【答案】45【分析】连接AG 、GE 、EC ，易知四边形ACEG 为正方形，根据正方形的性质即可求解．【详解】解：连接AG 、GE 、EC ，如图所示：∵八边形ABCDEFGH 是正八边形∴AB BC CD DE EF FG GH HA=======，(82)1801358ABC BCD CDE DEF EFG FGH GHA HAB −︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠==︒∴ABC CDE EFG GHA ∆≅∆≅∆≅∆∴AC CE EG GA ===∴四边形ACEG 是菱形又1(180135)22.52BAC BCA ∠=∠=︒−︒=︒，1(180135)22.52HAG HGA ∠=∠=︒−︒=︒∴13522.522.590CAG BAH BAC HAG ∠=∠−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴四边形ACEG 为正方形，∵AE 是正方形的对角线，∴∠CAE=119022CAG ∠=⨯︒=45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．二、解答题 10．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，CD 为角平分线，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．求证：四边形DECF 是正方形．【答案】见解析 【分析】先证明四边形DECF 是矩形，再由角平分线的性质得出DE DF =，即可得出结论．【详解】CD 是角平分线，DE AC ⊥，DF BC ⊥，DE DF ∴=，90CED CFD ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，∴四边形DECF 是矩形，又DE DF =，∴四边形DECF 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定方法、矩形的判定方法、角平分线的性质；熟练掌握正方形的判定方法，11．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）已知，如图，矩形ABCD 中，6AD =，7DC =，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，2AH =，连接CF ．(1)如图1，若2DG =，求证四边形EFGH 为正方形；(2)如图2，若4DG =，求△FCG 的面积；(3)当DG 为何值时，△FCG 的面积最小．【答案】(1)见解析(2)3(3)当DG =△FCG 的面积最小为7【分析】（1）由于四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，那么90D A ∠=∠=︒，HG HE =，而2AH DG ==，易证AHE DGH ≌，从而有DHG HEA ∠=∠，等量代换可得90AHE DHG ∠+∠=︒，易证四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ，由于AB CD ，可得AEG MGE ∠=∠，同理有HEG FGE ∠=∠，利用等式性质有AEH MGF ∠=∠，再结合90A M ∠=∠=︒，HE FG =，可证AHE MFG △△≌，从而有2FM HA ==（即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2)，进而可求三角形面积；（3）先设DG x =，由第（2）小题得，7FCG S x ∆=−，在AHE 中，7AE AB ≤=，利用勾股定理可得253HE ≤，在Rt DHG 中，再利用勾股定理可得21653x +≤，进而可求x ≤，从而可得当x GCF ∆的面积最小．【详解】（1）四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，90D A ∴∠=∠=︒，HG HE =，又2AH DG ==，()Rt Rt HL AHE DGH ∴≌，DHG HEA ∴∠=∠， 90AHE HEA ∠+∠=︒，90AHE DHG ∴∠+∠=︒，90EHG ∴∠=︒，∴四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ， ∥AB CD ，AEG MGE ∴∠=∠，HE GF ∥，HEG FGE ∴∠=∠，∴∠=∠AEH MGF ，在AHE 和MFG 中，90A M ∠=∠=︒，HE FG =，AHE MFG ∴≌，2∴==FM HA ，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2， 因此()11274322FCG S FM GC =⨯⨯=⨯⨯−=；（3）设DG x =，则由第（2）小题得，7FCG S x ∆=−，在AHE ∆中，7AE AB ≤=，253HE ∴≤，21653x ∴+≤，x ∴FCG S ∆∴的最小值为7DG∴当DG =FCG ∆的面积最小为(7．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，点E ，F 在AC 上，且AE CF =，连接BE DF ，．(1)求证：BOE DOF ≌；(2)连接BF DE ，，若AB AD =，线段OE 满足什么条件时，四边形BEDF 为正方形．【答案】(1)证明见解析(2)当OE OD =时，四边形BEDF 为正方形，理由见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得到OD OB OA OC ==，，再证明OE OF =即可利用SAS 证明BOE DOF ≌；（2）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ，相交于点O ，∴OD OB OA OC ==，，∵AE CF =，∴OA AE OC CF −=−，即OE OF =，又∵DOF BOE ∠=∠，∴()SAS BOE DOF ≌△△；（2）解：当OE OD =时，四边形BEDF 为正方形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD OD OB OA OC ==⊥，，，∵AE CF =，∴OA AE OC CF −=−，即OE OF =，又∵OE OD =，∴OE OD OF OB ===，∴EF 与BD 互相垂直平分且相等，∴四边形BEDF 为正方形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键． (1)求证：①EFB EBF ∠=∠②矩形DEFG 是正方形；(2)求AG AE +的值．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①过E 作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N 利用正方形的性质和角平分线的性质得到()SAS ADE ABE ≌，EM EN =进而得到DE BE =，再证明四边形ANEM 是矩形，又四边形DEFG 是矩形和全等三角形的判定证明()ASA EMD ENF ≌，得到EF BE =，利用等腰三角形的性质可证得结论；②根据正方形的判定可得结论；（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明()SAS ADG CDE ≌△△得到AG CE =，进而得到AG AE AC +=即可求解．【详解】（1）证明：过E 作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N ，则90EMA EMD ENF ENB ∠=∠=∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45EAD EAB ∠=∠=︒，AD AB =，又AE AE =，∴()SAS ADE ABE ≌，EM EN =，∴DE BE =，∵90EMA ENA DAB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ANEM 是矩形，又四边形DEFG 是矩形，∴90MEN DEF ∠=∠=︒，∴90DEM FEN MEF ∠=∠=︒−∠，又90EMD ENF ∠=∠=︒，EM EN =，∴()ASA EMD ENF ≌，则DE EF =，∴EF BE =，则EFB EBF ∠=∠；②∵四边形DEFG 是矩形，DE EF =，∴四边形DEFG 是正方形；（2）解 ：∵四边形DEFG 是正方形，四边形ABCD 是正方形，∴DG DE =，DC DA =，90GDE ADC ∠=∠=︒，∴ADG CDE ∠=∠，∴()SAS ADG CDE ≌△△，∴AG CE =，∴AG AE CE AE AC +=+===【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答的关键．14．（2023·山东聊城·统考三模）如图，已知四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．(1)求证：矩形DEFG 是正方形；(2)求证：CG 平分DCF ∠．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）过点E 分别作EM BC ⊥于点M ，EN CD ⊥于点N ，先证出四边形EMCN 为正方形，根据正方形的性质可得EM EN =，90MEN ∠=︒，再根据矩形的性质可得90DEF ∠=︒，从而可得DEN FEM ∠=∠，然后根据ASA 定理证出DEN FEM ≅，根据全等三角形的性质可得ED EF =，最后根据正方形的判定即可得证；（2）先根据正方形的性质可得,DE DG AD CD ==，ADE CDG ∠=∠，再根据SAS 定理可得ADE CDG ≅，根据全等三角形的性质可得45DCG DAE ∠=∠=︒，由此即可得证．【详解】（1）证明：如图，过点E 分别作EM BC ⊥于点M ，EN CD ⊥于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ∠=︒，45ECN ∠=︒，∴90EMC ENC BCD ∠=∠=∠=︒，∴NE NC =，∴四边形EMCN 为正方形，∴EM EN =，90MEN ∠=︒，∵四边形DEFG 是矩形，∴90DEF ∠=︒，∴90DEN NEF FEM NEF ∠+∠=∠+∠=︒，DEN FEM ∴∠=∠，在DEN 和FEM △中，90DNE FME EN EM DEN FEM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA DEN FEM ≅，∴ED EF =，∴矩形DEFG 为正方形．（2）证明：∵矩形DEFG 为正方形，DE DG ∴=，90EDC CDG EDG ∠+∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADE EDC ADC ∠+∠=∠=︒，45DAE =︒∠，∴ADE CDG ∠=∠，在ADE V 和CDG 中，AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ADE CDG ≅，∴45DCG DAE ∠=∠=︒，∵90DCF ∠=︒，∴CG 平分DCF ∠．【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．(2)应用（1）中的结论解决问题：如图2，中山公园有一块菱形场地，其面积为19200m地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为________m．+【答案】(1)a b(2)48【分析】（1）连接CE ，利用等积法解答即可；（2）如解析图，设菱形CDEF 的两条对角线分别为2,2CE a DF b ==，根据菱形的性质可求出2009600a b ab +=⎧⎨=⎩，然后判定OPGQ 为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”，再根据（1）的结论求解．【详解】（1）解：连接CE ，如图，设正方形DEFC 的边长为x ，则DE EF x ==，∵在ACB △中，90C ∠=︒，AC b BC a ==，， ∴()111111222222ABC S AC DE BC EF bx ax x a b ab =⋅+⋅=+=+=， ∴abx a b =+； 故答案为：aba b +；（2）如图，设菱形CDEF 的两条对角线交于点O ，且其长度分别为2,2CE a DF b ==，则,,CE DF CO EO a FO DO b ⊥====， 根据题意可得：22400122192002a b a b +=⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，整理得：2009600a b ab +=⎧⎨=⎩，若正方形MNGH 为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得,GN DF GH CE ⊥⊥，则四边形OPGQ 也为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”， 则由（1）的结论可得：这个正方形的边长960048200ab a b ===+m ；故答案为：48．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展、菱形的性质以及正方形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质、合理利用所求的相关结论作答是解题的关键． (1)求证：ABF ECF ≌；(2)若AE AD =，连接BE ，当线段OF 与【答案】(1)证明见解析(2)当BD =时，四边形ABEC 为正方形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ABF ECF ∠=∠，BAF CEF ∠=∠，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）首先判定四边形ABEC 是平行四边形，进而利用矩形的判定定理可得四边形ABEC 是矩形，结合BD =，证明BE CE =，从而可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，OA OC =，。

北师大版九年级下册数学第 5 讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理【学习目标】1.经历探索二次函数y=ax2 和y=ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2.会作出y=ax2 和y=ax2＋c 的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3.能说出y=ax2＋c 与y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=a x2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y 轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x 的值，求出相应的y 值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x 和y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.3.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴.要点二、二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象与性质1.二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象（1）a 0yy = ax 2+ c (c > 0)c Oxyy = ax 2 + c (c < 0) Oc x（2） a < 0yc OxyOcx2.二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象的性质y = ax 2 + c (c > 0)y = ax 2 + c (关c < 0于) 二 次 函 数y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数y= ax 2 + c (a > 0, c > 0)y = ax 2 + c (a < 0, c > 0)图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大.最大（小）当x = 0 时，y最小值=c当x = 0 时，y最大值=c 值【典型例题】类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．(2014 秋•青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 的图象交于点P（1，m）（1）求a，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．【思路点拨】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 即可求出未知数的值；（2）把a 代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P（1，m）在y=2x﹣1 的图象上∴m=2×1﹣1=1 代入y=ax2∴a=1（2）二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y 轴，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．举一反三：【变式1】二次函数y =ax2与y =-2x2的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a=．【答案】2.【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点【答案】A.2.已知y=(m+1)x m2+m 是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax2（a≠0）的图象性质来解答.【答案与解析】⎩⎧m 2 + m = 2由题意， ⎨m +1＞0 ，解得 m=1，∴二次函数的解析式为：y= 2x 2 .【总结升华】本题中二次函数还应该有 m+1≠0 的限制条件，但当 m +1＞0 时，一定存在 m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象与性质3. 求下列抛物线的解析式：（1） 与抛物线 y = - 1 x 2+ 3 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； 2（2） 顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于 y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则| a | 相同，再由开口方向可确定 a 的符号，由顶点坐标可确定 c 的值，从而确定抛物线的解析式 y = ax 2 + c ．【答案与解析】（1） 由于待求抛物线 y = -1x 2 + 3 21形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为 ， 2又顶点坐标是（0，-5），故常数项 k = -5 ，所以所求抛物线为 y = 1x 2 - 5 ．2（2） 因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为 y = ax 2 +1 ，又∵该抛物线过点（3，-2），∴ 9a +1 = -2 ，解得 a = - 1．3∴所求抛物线为 y = - 1x 2 +1．3【总结升华】本题考察函数 y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4. 在同一直角坐标系中，画出 y = -x 2 和 y = -x 2 +1的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y =-x2+1向平移个单位得到抛物线y =-x2；(2)抛物线y =-x2+1开口方向是，对称轴为，顶点坐标为；(3)抛物线y =-x2+1，当x时，随x 的增大而减小；当x时，函数y 有最值，其最值是．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答.【答案与解析】函数y =-x2与y =-x2+1的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y 轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大； 1.【总结升华】本例题把函数y =-x2+1与函数y =-x2的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数y =ax2+c(a ≠ 0) 与y =ax2 (a ≠ 0) 的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．y =ax2+c(a ≠ 0) 可以看作是把y =ax2 (a ≠ 0) 的图象向上(k > 0) 或向下(k < 0) 平移| k | 个单位得到的．举一反三：【变式】函数y = 3x2可以由y = 3x2-1 怎样平移得到？【答案】向上平移1 个单位.。

一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。

2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。

3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。

二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。

难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。

考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。

这个圆叫做该正多边形的外接圆。

② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。

AOB 叫做这个正五边形的中心角。

A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。

（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。

D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。

典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。

重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米）， 故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ． 故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3， 同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18， 故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=， 同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”， 点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12． 故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14． 即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形； （2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。