人教B版高中数学-必修4教学案-第二章-向量的线性运算(Word)

2.1.1 向量的概念示范教案教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．图1思路2. 创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．推进新课新知探究位移的概念提出问题1回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.2“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么？3“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．图2铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．讨论结果：(1)～(3)略．向量的概念，用向量表示点的位置提出问题 1在数学中，怎样表示向量呢？ 2什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？它们可以分别可以表示向量的什么？ 3怎样定义零向量？怎样定义单位向量？ 4满足什么条件的两个向量叫作相等向量？ 5有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量？ 6如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ 7什么是向量的模？, 8怎样用向量表示点的位置？活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A 为起点，端点B 为终点，则线段AB 就具有了从起点A 到终点B 的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．图3向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．一定要学生规范：印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.起点要写在终点的前面， 即是说AB →的方向是由点A指向点B ，点A 是向量的起点．如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB →(或a )的大小，就是向量AB→(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．图4教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．讨论结果：(1)用字母a ，b ，c ，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如AB →，CD →.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量. 但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作图5AA′→＝BB′→＝CC′→＝…＝a .一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a 平行，即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．图6(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(7)| AB →|(或|a |表示向量AB →(或a )的大小，即长度(为模))．教师进一步提醒学生注意方向的问题．方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．(8)任给一定点O 和向量a (图7)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．图7例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”．如图8，点O 表示北京的位置，点A 表示天津的位置，那么向量图8OA →＝“东偏南50°，114 km”就表示了天津相对于北京的位置．有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置．应用示例例1如图9，D ，E ，F 依次是等边△ABC 的边AB, BC, AC 的中点．在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，图9(1)找出与向量DE →相等的向量；(2)找出与向量DF →共线的向量．活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：(1)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DE →相等的向量有：AF →和FC →；(2)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DF →共线的向量有：BE →，EB →，EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.变式训练判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1) ABCD 中，AB →与CD →是共线向量；(2)单位向量都相等．解：(1)正确；(2)不正确．点评：本题考查基本概念，对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 教师引导学生画出平行四边形，如图10.因为AB∥CD，所以，AB →∥CD →.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定.图10例2一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移.解：根据题意画出示意图，如图11所示．图11|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴|CA →|＝100 m ，即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.例3如图12，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的量．图12活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．解： OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不例4(1)下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确．对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，所以有a 与b 都是非零向量，所以只有C 正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图13，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O 是AC 与BD 的交点，求证：EO →＝OF →.证明：如图13，∵AB∥CD，图13∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC.∴EO＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．备课资料一、向量中有关概念的辨析1．数量、向量、有向线段对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题．数量只有大小，没有方向，其大小可以用实数来表示，它是一个代数量，数量之间可以比较大小；向量既有大小又有方向，向量之间不可以比较大小；有向线段是向量的直观性表示，不能说向量就是有向线段．2．平行向量、共线向量、相等向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件．二、备用习题1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…a n ，则这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如图14所示，在△ABC 中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )图14A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p ：a ＝b ，命题q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要又不充分条件4．如图15所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )11图15A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a|＝|b|；②a ＝b ；③a 与b 的方向相反；④a ＝0或b ＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的有__________．(把你认为正确的命题序号全都填上)6．如图16所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.图16(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．7．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案：1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④6．解：(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →，因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故AB ＝ED ＝DC ；(2)向量EC →的模|EC →|＝6.7．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．。

人教B版数学必修4：向量线性运算（二）一教学目标1 知识与技能；（1）进一步理解掌握向量加法及减法运算法则。

（2）熟练掌握向量加法与减法法则及运算律（3）掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；（4）掌握实数与向量的积的运算律；2 过程与方法（1）通过几何直观得出各个运算法则，体会向量运算的几何意义；（2）由实例体验向量的运算在实际问题中的应用3 情感，态度，价值观：通过本节的学习，让学生认识到向量在加，减和数乘运算中的联系，体现事物普遍联系的观点二教学重点与难点1 教学重点————向量的加减和数乘运算；2 教学难点————对向量运算法则的理解三教学方法采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。

四教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习旧知识例题（1）向量加法运算法则几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）（2）加法的运算律：向量加法的交换律：a+b=b+a向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)（3）向量减法法则：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a-b = a + (-b)即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量例题1：用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。

已知：AO CO=，BO DO=，求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：设AO a=，OD b=，则OC AO a==，BO OD b==∴AD AO OD a b=+=+，教师提出问题学生认真思考后回答通过例题进一步体会向量加法与减法的运算法则，以及运算律的使用通过对旧知识的复习，使得学生能够对旧知识形成更加深刻地印象。

选讲练习引出数乘向量BC BO OC a b=+=+∴AD BC=，又∵点B不在AD∴AD平行且等于BC所以，四边形ABCD是平行四边形．例题2：（选讲）试证：对任意向量a，b都有||||||||||||a b a b a b-≤+≤+．证明：（1）当a，b中有零向量时，显然成立。

自学检测1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．()(2)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.()(3)△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．()(4)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()2．(2012·四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足P A→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．5．设a、b是两个不共线向量，AB→＝2a＋p b，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．合作探究探究（一）平面向量的概念辨析例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，由AB→＝DC→，可得四边形ABCD为平行四边形；反之也成立；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若|a|＝|b| 且a∥b .则a＝b⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；其中正确命题的序号是________．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．合作探究其中错误命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4探究（二）平面向量的线性运算例2(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→等于() A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→(2)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()A .23b＋13c B .53c－23bC .23b－13c D .13b＋23c(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→等于() A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C.23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→(2)设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则() A.P A→＋PB→＝0 B.PC→＋P A→＝0C.PB→＋PC→＝0 D.P A→＋PB→＋PC→＝0探究（三）共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．．(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于 ( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b (2)已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0（3）如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.课 堂 小 结 本节课收获：1.变量间关系有哪些？2.怎样通过散点图反应变量间的相关关系？3.求回归方程的步骤？自 查 反 馈 表自查反馈表（掌握情况可用A 、好 B 较好 C 一般 ） 学习目标达成情况 习题掌握情况 学习目标 达成情况 习题题号 掌握情况目标1 自学检测1——4 目标2 探究（一） 目标3探究（二）当堂检测1．下列命题中正确的是()A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行2．已知AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A、B、C B．A、B、DC．B、C、D D．A、C、D3．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m等于() A．2 B．3 C．4 D．5 4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．课后作业1.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ等于() A．1 B.12 C.13 D.232.（．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3 B．4 C．5 D．63、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：课后作业OP→＝OA→＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心4．设向量e1，e2不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．5．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝____________.(用a，b表示)6.．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？7.如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.(1)用a、b表示向量AD→，AE→，AF→，BE→，BF→；(2)求证：B，E，F三点共线．。

2．2.1 平面向量基本定理预习课本P96～98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么？[新知初探]1．平面向量基本定理 (1)定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.(2)基底把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a 都可以用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．直线的向量参数方程式已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，则对于直线l 上任意一点P ，存在唯一实数t (1－t )；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等(1－t )叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．当t ＝12时，＝12，此时P 点为线段AB 的中点，这是线段AB 中点的向量表达式．[点睛] 1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2答案：B3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B4．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若点O 是▱ABCD 4e 16e 2，则3e 2－2e 1＝________.解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(＝12((答案不唯一)用基底表示向量[典例] 如图，在平行四边形ABCD 中，a b ，试用基底a ，b 表示AB ，BC .[解] 法一：由题意知，AO ＝OC ＝12AC ＝12a ，BO ＝OD ＝12BD ＝12b .所以AB ＝AO ＋OB ＝AO －BO ＝12a －12b ，BC ＝BO ＋OC ＝12a ＋12b ，法二：设AB ＝x ，BC ＝y ，则AD ＝BC ＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB ＋BC ＝AC ， AD －AB ＝BD ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB ＝12a －12b ，BC ＝12a ＋12b .用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA ＝a ，BC ＝b .试以a ，b 为基底表示EF ，DF ，CD .解：∵AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，∴AD ＝13BC ＝13b .∵E 为AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝12AD ＝16b .∵BF ＝12BC ，∴BF ＝12b ，∴EF ＝BA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－(DF ＋FC )＝－(DF ＋BF )＝－⎝⎛⎭⎫16b －a ＋12b ＝a －23b .直线的向量参数方程式的应用[典例] 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外的一点)，则点C 的轨迹是什么图形？简单说明理由．[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R ，结合直线的向量参数方程式可知点C 的轨迹是直线AB .法二：将已知向量等式两边同时减去OA ，得OC －OA ＝(3λ－1) OA ＋(1－3λ) OB＝(1－3λ)( OB －OA ) ＝(1－3λ) AB ，即AC ＝(1－3λ) AB ，λ∈R ，∴A ，B ，C 三点共线，即点C 的轨迹是直线AB .直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A ，B ，C 三点共线，则有OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1；(2)若OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1，则有A ，B ，C 三点共线． [活学活用]在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：法一：∵AD ＝2DB ， ∴AD ＝23AB ＝23(CB －CA )．∵在△ACD 中，CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB ，∴λ＝23.法二：A ，B ，D 三点共线， 又∵C 在直线AB 外，则13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23[典例] NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .[解] e 1e 2，3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN 2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ＝－λe 1－3λe 2，2μe 1＋μe 2.(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3， 解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.[一题多变]1．[变设问]a b ，试用a ，b解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2CP ＝CN ＋NP ＝CN ＋25NB ＝b ＋25(―CB －CN )＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN . 解：如图，设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－2e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP ＝λAM ＝－λe 1－2λe 2，BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.故BA ＝BP ＋PA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2， 解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AP ＝23AM ，BP ＝23BN ，∴AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC (t －t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD3．若AD 是△ABC 的中线，a b ，则以a ，b ( )A.12(a －b ) B.12(a ＋b ) C.12(b －a ) D.12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从＝12(＝12(a ＋b )．4．在矩形ABCD 中，O e 1e 2( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD e 1e 2，＝12＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC ( )ABCD解析：选A＝－136．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k22＝1－5k23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD a b c ，则在以a ，b 为基底______，在以a ，c ______．解析：以a ，c B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABCa b ，试用a ，b＝13a －23b ，＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABCa b .b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．＝12b －a .＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a＝23⎝⎛⎭⎫12b －a∴G 在BE即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC a b 用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b )解析：选C＋23(＝13a ＋23b .2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AMλ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点，x ＋y ＝1) ∵N 为AM 的中点，＝12x ＋12y ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4(λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A λ，(1＋λ)又∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：EBλ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34.答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O x ，y 的值． 解：(1)可知M ，B ，C 三点共线，BM ＝AB ＋λλ＝(1－λ)λ＝14，所以S △ABM S△ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？(2)一个向量如何正交分解？(3)向量的直角坐标定义是什么？(4)如何由a ，b 的坐标求a ＋b ，a －b ，λa 的坐标？[新知初探]1．两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．2．向量的平面直角坐标的定义(1)基底：在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e 1，e 2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．(2)坐标分量：在坐标平面xOy 内，任作一向量a (用有向线段)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a＝(a 1，a 2)，其中a 1叫做向量a 在 x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在 y 轴上的坐标分量． 3．向量的坐标表示xe 1＋ye 2＝(x ，y )(x ，y )⇔点A 的坐标(x ，y )． 4．向量的直角坐标运算(1)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝(_λa 1，λa 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；线段AB 中点公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) 答案：C3(1,2)(3,4)( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)答案：A4．若点M (3,5)，点N (2,1)______.答案：(－1，－4)平面向量的坐标表示[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标．[解] 由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知O 是坐标原点，点A |OA |43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA 的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2) BA ＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).平面向量的坐标运算[典例] (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB ＋2CA ＝________，BC－2AB＝________.(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴AB＝(1,5)，CA＝(4，－1)，BC＝(－5，－4)．∴3AB＋2CA＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．BC－2AB＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．[答案](11,13)(－7，－14)(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP＝12MN，则P点坐标为______．解析：法一：设P(x，y)，MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8,1)，＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.法二：P 为MN 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32t AB ，t 为何值时，点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[解] (1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )， 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， 所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上，点P 在y 轴上，点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值．解：由典例知P (1＋3t,2＋3t )， 则⎩⎨⎧1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t ＝2.2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．解：OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，则OA ＝2i ＋3j ，OB ＝4i ＋2j ，所以AB ＝OB －OA ＝2i －j .2．已知AB ＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－18，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，3 C.⎝⎛⎭⎫18，1D.⎝⎛⎭⎫－14，－3 解析：选A ∵a ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2， ∴λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1. 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C ＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )(10－x ，－2－y )(－2－x,7－y )，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m－n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，(2,3)(－3,3)．(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A ＝6，∠xOA ＝150°________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝6cos 150°＝－33，y ＝6sin 150°＝3，即A (－33，3)(－33，3)．答案：(－33，3)9．已知a B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10， 即A 点坐标为(8，－10)．10(4,3)(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )(λ∈R)，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1， 所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1.(2)(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，(λ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.层级二 应试能力达标1(2,4)(0,2)( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D＝12＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“”为m n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“”为m n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设f ＝(p ，q )，若f ＝(5,0)，则f 等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：选B 由(1,2)⊗f ＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以f ＝(1，－2)，所以f ＝，－2)＝(2,0)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2；③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.(λ∈R)，则λ＝ ________.解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，(3－7,5－8)＝(－4，－3)，(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，＝12(＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(1)0(2)(m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n .解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，0，(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(2,3)－(1,1)＝(1,2)，(3,2)－(1,1)＝(2,1)，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1， 所以m －n ＝1.2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件预习课本P103～104，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]两向量平行的条件[点睛] 两向量的对应坐标成比例．这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，若a ∥b ，则必有a 1b 2＝a 2b 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( ) 答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(6,10) D ．(－6,10) 答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2D ．2答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12B.13C ．1D ．2(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案] A(2)(0,4)－(2,1)＝(－2,3)(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反． 综上，AB 与CD 共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式a 1b 2－a 2b 1＝0直接求解． [活学活用]已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向．∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)，∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k＝－2或k＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看AB与BC，或AB与AC，或AC与BC 是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用AC＝λBC，或AB＝λBC，或AB＝λAC都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．[活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：AB＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，CD＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由AB与CD共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又AB与CD方向相同，所以x＝2.此时，AB＝(2,1)，BC＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB与BC不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|1|DC|＝1|AB| 2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)．(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，DE ∥BC . 题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．证明：(4,3)－(1,0)＝(3,3)，(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0(－1,2)(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0 ∴四边形ABCD 是梯形．(－2,1)(－1,2)，∴＝5BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解：法一：t (4,4) ＝(4t,4t )，(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)． 法二：设P (x ，y )，(x ，y )(4,4)．∴4x －4y ＝0.①(x －2，y －6)(2，－6)，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a λ的值为( ) A ．－23B.32C.23D ．－32解析：选C 根据A ，B (3,1)，∵a 2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知A (2，－1)，B (3,1)a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D (1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75°解析：选A ∵a ∥b ， ∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线， ∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.(x ＋1，－6)(4，－1)，(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23. 答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________． 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1), (x 2，y 2)，(2,2)(－2,3)(4，－1)．(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0⎝⎛⎭⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝010．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值． 解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)， 所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)． 又因为a ＝(2,1)， 且a 与m 平行， 所以2(λ＋2)＝λ＋5， 解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴． 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D A ，B ，C 三点共线，(－8,8)(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c ∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5(6,1)(x，y)(－2，－3)x＋2y的值为________．解析：(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06(3，－4)(6，－3)(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C(3,1)，(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )(x －1，y )，(5,4)(－3,6)(4,0)．由B ，P ，D (5λ，4λ)．(5λ－4,4λ)，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，⎝⎛⎭⎫207，167，27 7，16 7.∴P的坐标为⎝⎛⎭⎫。

2.1.1向量的概念学习目标：(1)体会向量的实际背景，知道平面向量的概念和向量的几何表示．(2)知道向量的模、零向量、相等向量、平行向量等概念．(3)学会区分相等向量和平行向量．重点：向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念．难点：向量的概念，平行向量、相等向量区别和联系．【情景导学】：1．在日常生活中有很多量，既有大小又有方向，如面积、质量、力、长度、速度、位移等，哪些量是既有大小又有方向的量？2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？探究点一、向量的概念阅读教材77页—78页，完成下列问题1、向量的要素是什么？向量之间能否比较大小？向量与数量的区别是什么？2．向量的表示方法：（1）图形表示；（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）如果=a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长（或模），记作|a|两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a=b（2）通过有向线段的直线，叫做向量的基线.如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行.（3）什么是零向量？什么是单位向量？单位向量是否一定相等？探究点二、位置向量任给一定点O 和向量a ，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 唯一确定，这时向量OA →叫做点A 相对于点O 的位置向量．变式2.下列说法正确的是（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相等向量；（3）向量a 和b 是共线向量，a ||b ，则a 和c 是方向相同的向量；（4）相等向量一定是共线向量；（5）两个长度相等的向量一定相等；（6）相等的向量始点必相同；（7）若向量a 的模小于b 的模，则a <b例2：如图所示，O是正六边形ABC DEF的中心，且＝a，＝b(1)与a相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与b相等的向量．变式3： (1)写出与向量相等的向量．(2)写出与向量共线的向量；。

一. 创设情境李白《早发白帝城》从白帝城出发，千里之外是哪里？【设计意图】布鲁诺认为“知识的获取是一个主动的过程，学习者应是知识获得的参与者.”创设情景，激发学生学习兴趣，位移是既有大小又有方向的量.思考：在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄，身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力，质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？表示例3. 在54⨯方格纸中有一个向量AB ,以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个?【设计意图】进一步体会相等向量、共线向量的概念，以及相等向量与共线向量的区别. 【解答】与AB 相等的向量有7个.与AB 长度相等的共线向量有15个.注：相等向量必共线向量，共线向量未必相等向量.例4. 根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状. (1) BC AD = (2) DC AB =,且AD AB =.【设计意图】进一步体会向量平行与线段（直线）平行的区别. 【解答】(1) 四边形ABCD 是平行四边形. (2) 四边形ABCD 是菱形.注：直线平行必向量平行，向量平行未必直线平行.五．小结 1.知识结构图2.学习一个数学新概念的基本思路从同类事物中抽象本质特征-----定义------表示--------特殊对象-------特殊关系.【设计意图】学生概括本节课所学的知识内容，教师进行提炼，并总结学习新概念的基本思路. 六．呼应情景李白《早发白帝城》从白帝城出发，顺着长江水滚滚东去，千里之外是江陵.七．拓展-----向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学，被称为矢量，很多物理量，如力，速度，位移，电场强度，磁场强度等都是向量.大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量，向量一词来自力学，解析几何中的有向线段. 最先使用有向线段表示力学的是英国大科学家牛顿.、平面向量的概念及表示大小（模）方向零向量 单位向量 相等向量平行向量（共线向量）。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

相等向量=，且a b（二）平面向量的线性运算知识梳理1.向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ．求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定．③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =，以OA,OB 为邻边作，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。

说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )2. 向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学目标： 1. 知识与技能：理解相反向量的含义；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义. 2．过程与方法：通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，将向量的减法运算转化为向量的加法运算，使学生掌握向量的减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比转化的教学方法。

3. 情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：让学生自己去感受向量减法的形成过程，向量加法与向量减法的类比和转化则为本节课的教学重点教学难点：减法运算时方向的确定及向量减法的实际应用 教学过程： 一复习巩固思考1已知非零向量a ，b ，如何作出两个向量的和向量？ 答 用向量加法的平行四边形法则和三角形法则 向量加法的平行四边形法则：如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线上的向量OC →＝a ＋b 。

即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，这里强调的是共起点。

向量加法的三角形法则：如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB→＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和。

即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这里强调的是首尾相接，第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

思考2：如果非零向量a ，b 共线，上述两个法则是否还适用？答：如果非零向量a ，b 共线，加法的平行四边形法则就不在适用，但三角形法则还使用。

可见加法的三角形法则不是为了构成三角形，而是为了首尾相接。

思考3：如果向量a ，b 有零向量呢？答 ：对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . 二引入新课正如教材的第二章扉页上所说：“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限。

”通过向量加法的学习，我们已经初步感受到了运算给予向量的力量，在此基础上我们学习向量的减法。

第二章第二节 平面向量的线性运算第二课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现． 推进新课新知探究 提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算，必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量． 于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法． (2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：①向量也有减法运算．②定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫做a 的相反向量，记作－a .③向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 规定：零向量的相反向量是零向量．④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．提出问题①上图中，如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ ②改变上图中向量a 、b 的方向使a ∥b ，怎样作出a －b 呢？讨论结果：①AB →＝b －a . ②略． 应用示例例1如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . 则BA →＝a －b ，DC →＝c －d . 变式训练在ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →－BC →＝0分析：A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →－BC →＝AD →＋DA →＝0正确． 答案：C例2如图4，在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .变式训练1．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C.a ＋b －c D ．a －b －c解析：如图5，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .图5答案：B2．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ ②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线且AB ＝a ，AD ＝b .图6由平行四边形法则，得 AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . 由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|) ②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直) ③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等) ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.例3判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点． (4)|a ＋b|≥|a －b |.活动：根据向量的加、减法及其几何意义．解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同； 若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形． (4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |；当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |. 综上所述，只有(2)正确．例4若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13. 答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解. 变式训练已知a 、b 、c 是三个非零向量，且两两不共线，顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a ＋b ＋c ＝0.证明：已知a ≠0，b ≠0，c ≠0，且两两不共线，(1)必要性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则由假设CA →＝c ，另一方面a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.由于CA →与AC →是一对相反向量，∴有AC →＋CA →＝0， 故有a ＋b ＋c ＝0.(2)充分性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，又由条件a ＋b ＋c ＝0， ∴AC →＋c ＝0.等式两边同加CA →，得CA →＋AC →＋c ＝CA →＋0.∴c ＝CA →，故顺次将向量a 、b 、c 的终点和始点相连接成一三角形. 知能训练 课本本节练习 解答：1．直接在课本上据原图作(这里从略)． 2.DB →，CA →，AC →，AD →，BA →.点评：解题中可以将减法变成加法运算，如AB →－AD →＝DA →＋AB →＝DB →，这样计算比较简便．3．图略． 课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论． 作业课本习题2.2 A 组6、7、8.设计感想1．向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →. 二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：B2．如图7，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )图7A.FD →B.FC →C.FE →D.BE → 答案：D3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C.MB →＋AD →－BM → D.OC →－OA →＋CD → 答案：C4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 答案：A。

第二章第二节 平面向量的线性运算第一课时教学过程导入新课问题引入(约5分钟)引例：有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000牛，F 2＝2 000牛，牵绳之间的夹角θ＝60°.如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力的大小和方向．图1 在物理中，我们已知道，两个不在一条直线的共点力OA →与OB →的合力是以OA →、OB →为邻边的平行四边形OACB 的对角线OC →所表示的力．这就是说，OC →是OA →与OB →相加所得到的和．设计说明引导学生利用物理中合力的概念，来解决这个实际问题，以现有的知识为出发点培养学生的知识类比、迁移能力．学情预设把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点．概念形成(约5分钟)一般地，把以OA →、OB →为邻边的平行四边形OACB 的对角线OC →，叫做OA →与OB →两个向量的和，记作OA →＋OB →.求两个不平行向量的和可按平行四边形法则进行．问题1：如何求两个平行向量的和向量？问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？求两个向量的和的运算叫做向量的加法．设计说明补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想．概念深化(约15分钟)练习：根据图2中所给向量a ，b ，c 画出向量：(1)a ＋b ；(2)a ＋b ＋c .图2解法一：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量．解法二：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向量． 设计说明1．学生通过练习题(1)可加深对向量加法概念的理解．另外，可由此引出向量加法的三角形法则．图32．通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行．在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则．引申：求n (n >3)个向量的和向量．设计说明求n (n >3)个向量的和向量时，让学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性． 学情预设学生对从特殊到一般的理解较抽象．结论：求n 个向量的和向量可应用多边形法则．运算律的归纳问题：向量的加法既然是一种运算，它应该具有哪些运算律？如何进行验证呢？ 设计说明引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学生的类比、迁移归纳能力．应用举例(约10分钟)(1)已知平面内有三个非零向量OA →、OB →、OC →，它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，求证：OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)在平面内能否构造三个非零向量a 、b 、c ，使a ＋b ＋c＝0；(3)能否说出(2)的实际模型？设计说明题(1)是基本的例题；题(2)是题(1)的拓展；题(3)能体现数学来源于实际又应用于实际的思想．研究讨论(约5分钟)已知a 、b 是非零向量，则|a ＋b|与|a|＋|b |有什么关系？设计说明设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗透分类的思想． 小结归纳(约4分钟)让学生自主回顾和归纳本节的内容．设计说明1．向量加法的意义；2.理解实际问题数学化的思想，增强数学的应用意识；3.理解分类讨论等数学思想，培养类比、迁移等能力．学情预设要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体现的数学思想方法及数学能力进行总结，有一定的难度．作业(约1分钟)课本本节练习1,2,3,4.设计说明1．巩固所学的内容.2.对所学内容的检测、反馈与及时补充不足．教学反思本节课采用“探究——讨论”教学法．“探究——研讨”教学法是美国哈佛大学教育专家兰本达所倡导的．“探究——研讨”教学法把教学过程分为两个步骤：第一步骤是“探究”．我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，将有关材料有层次地提供给学生，让学生独立地支配它，进而探索、研究它．学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对向量加法的感性认识和形成各自对向量加法概念的了解．第二步骤是“研讨”，即在探究的基础上，组织学生研讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对向量加法的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念．这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研．”的研讨式学习方法．这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法．使学生真正成为教学的主体．也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”．学生才会逐步感到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要．。

2．1.1 向量的概念预习课本P77～79，思考并完成以下问题(1)向量是如何定义的？怎样表示向量？(2)向量的相关概念有哪些？[新知初探]1．向量的概念及表示概念具有大小和方向的量称为向量具有方向的线段，叫做有向线段，以A为始点，B为终点的有向线段记作AB，表示AB的长度记作|AB|.用有向线段AB表示向量，读作向量AB代数印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头表示量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．与向量有关的概念名称定义记法向量的若AB＝a，则AB的长度为向量的长度(模)|a|长度(模)零向量长度等于0的向量0相等向量两个向量a和b同向且等长a＝b 向量的基线通过有向线段AB的直线向量共线或平行向量的基线互相平行或重合a∥b 规定：零向量与任意向量都平行0∥a位置向量任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量OA叫做点A相对于点O的位置向量 [点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．( )(2)向量的模是一个正实数．( )(3)向量AB与向量BA是相等向量．( )答案：(1)×(2)×(3)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的个数( )A．1 B．2C．3 D．4答案：B3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )A．也可以用MN表示B．方向是由M指向NC．始点是M D．终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有______．答案：AB，DC向量的有关概念[典例] 有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[解析] 对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．[答案] ①(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手①是否有大小；②是否有方向．(2)理解零向量应注意的问题零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A 对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．向量的表示[典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC |＝6，点C在点B北偏东30°.[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如图所示．共线向量或相等向量[典例] 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，EA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C 向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是( )A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C 由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为( )A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量AC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选 C 根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FC，共3个．5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|解析：选D 由于a与b的方向不知，故AO与BO无法判断是否相等，故A、B选项均错．又AO与BO均为模为1的向量．∴|AO|＝|BO|，故C错D对．6．已知|AB |＝1，|AC |＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝AC2－AB2＝3，所以|BC|＝ 3.答案： 37.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC平行且长度为22的向量个数是______．解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为22，在其中一个正方形中，与AC平行且长度为22的向量有2个，所以共8个．答案：88．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a ∥b.答案：①③④9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PE解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．2．下列说法正确的是( )A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．终点相同的两个向量不共线C．若a≠b，则a一定不与b共线D．零向量的长度为0解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A．一组 B．二组C．三组 D．四组解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( )A．与AB相等的向量只有一个(不含AB)B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)C．BD的模为DA模的3倍D．CB与DA不共线解析：选D A项，由相等向量的定义知，与AB相等的向量只有DC，故A正确；B 项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与AB的模相等的向量除AB外有9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝32DA，所以BD＝3DA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以CB与DA共线，故D项错误，选D.5．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC |＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AC|＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量AD相等的向量为________；与向量OA共线的向量为__________；与向量OA的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与AD 相等的向量为OC ；与OA 共线的向量为DC ，EB ；与OA 的模相等的向量为OB ，OC ，DC ，EB ，AD .答案：OC DC ，EB OB ，OC ，DC ，EB ，AD 7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量． 解：(1)与DE 长度相等的向量是EF ，FD ，AF ，FC ，BD ，DA ，CE ，EB .(2)与FD 相等的向量是CE ，EB(3)与DE 共线的向量是AC ，AF ，FC ； 与FD 共线的向量是CE ，EB ，CB .8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，|AB |＝1.解：(1)要使AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有 |AB 1|2＝|OA |2＋|OB 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1， 即|AB 1|＝1.同理可得，当B 2的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－2时，|AB 2|＝1. 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2时，|AB |＝1.2．1.2 向量的加法预习课本P80～83，思考并完成以下问题 (1)向量的加法如何定义？(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？(3)向量加法的运算律有哪两条？[新知初探]1．向量的加法(1)三角形法则原理已知向量a，b，在平面上任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC图示[点睛] (1)和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．(2)零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.(2)平行四边形法则原理已知两个不共线向量a，b，作AB＝a，AD＝b，则A，B，D三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形，则对角线上的向量AC＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则图示原理已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则图示2.向量加法的运算律运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．( )(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )答案：(1)×(2)×(3)×2．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于BC的是( ) A．BA＋AC B．BD＋DA＋AC C．AB＋BD＋DC D．DC＋BA＋AD答案：C3．边长为1的正方形ABCD中，|AB＋BC|＝( )A．2 B. 2C．1 D．2 2答案：B4．NQ＋QP＋MN＋PM＝______.答案：0向量加法及其几何意义[典例] 如图1，图2，图3所示，求作向量和．[解] 如图中①，②所示，首先作OA＝a，然后作AB＝b，则OB＝a＋b.如图③所示，作AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，再作CD＝c，则AD＝AC＋CD ＝(a＋b)＋c，即AD＝a＋b＋c.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．[活学活用]如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.向量加法运算[典例] 化简或计算：(1) CD＋BC＋AB；(2) AB＋DF＋CD＋BC＋FA.[解] (1) CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD.(2) AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.[活学活用]如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则①AB＋CD＝________；②AB＋AF＋BC＝________；③OC＋OD＋EF＝________.解析：①AB＋CD＝AB＋AF＝AO.②AB＋AF＋BC＝AO＋BC＝AO＋OD＝AD③OC＋OD＋EF＝OC＋OD＋OA＝OC.答案：①AO②AD③OC1．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝a B．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0 D．CA＋AC＝OA＋CO＋AC解析：选B 由向量加法可知AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC.2．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于( )A．BC B．ABC．AC D．AM解析：选C 原式＝AB＋MB＋BO＋BC＋OM＝(AB＋BC)＋(MB＋BO＋OM)＝AC＋0＝AC.3．下列各式不一定成立的是( )A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝aC．AC＋CB＝AB D．|a＋b|＝|a|＋|b|解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.4．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于( ) A．2 5 B．4 5C．12 D．6解析：选B 因为AB＋AD＝A AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是4 5.5．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是( ) A．①③ B．②③C．②④ D．①②解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．6．PQ＋OM＋QO＋MQ＝________.解析：原式＝PQ＋QO＋OM＋MQ＝PQ＋QM＋MQ＝PQ.答案：PQ7．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋AC|＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.答案：2 28.如图，在平行四边形ABCD中，(1) AB＋AD＝________；(2) AC＋CD＋DO＝________；(3) AB＋AD＋CD＝________；(4) AC＋BA＋DA＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC.(2) AC＋CD＋DO＝AD＋DO＝AO.(3)A AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD.(4) AC＋BA＋DA＝BA＋AC＋DA＝BC＋DA＝0.答案：(1) AC(2) AO(3) AD(4)09.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：①DG＋EA＋CB；②EG＋CG＋DA＋EB.解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋BE ＝CB ＋BE GE .②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝i i A A 1＋ (i ＝1,2，…，7)，b j ＝j OA (j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.解：因为OA 3＋OA 7＝0， 所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝23A A ＋56A A ＋OA 2＋OA 5＋OA 7 ＝(OA 2＋23A A )＋(OA 5＋56A A )＋OA 7 ＝OA 6＝b 6.层级二 应试能力达标1.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )A ．FD ＋DA ＝FAB ．FD ＋DE ＋EF ＝0C ．DE ,＋DA ＝ECD ．DA ＋DE ＝FD解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，DA ＋DE ＝DF ≠FD . 2．下列命题错误的是( ) A ．两个向量的和仍是一个向量B ．当向量a 与向量b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不同向，且|a ＋b |＜|a |＋|b |C ．当向量a 与向量b 同向时，a ＋b ，a ，b 都同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．如果向量a ＝b ，那么a ，b 有相同的起点和终点解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有AB＝DC，起点和终点都不相同．3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是( )A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．4．下列命题正确的是( )A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同B．若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥bD．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0解析：选C 当a＋b＝0时，A选项不正确；若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a 不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)，故D选项不正确．5．O为三角形ABC内一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是三角形ABC的________心．解析：∵OA＋OB＋OC＝0，∴OA＋OB＝－OC＝CO，此时OA与OB共起点，∴以OA，OB为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，则OA＋OB＝2OD，即2OD＝CO，∴O是三角形ABC的重心．答案：重6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b 的方向是________．解析：如图所示，设AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|AC|＝82，∠BAC＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.8.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为模为1的向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB，因为e为模为1的向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.2．1.3 & 2.1.4 向量的减法数乘向量预习课本P84～89，思考并完成以下问题(1)a的相反向量是什么？(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？(3)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(4)向量数乘运算满足哪三条运算律？[新知初探]1．相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.[点睛] 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法已知向量a，b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则b＋BA＝a.向量BA叫做向量a与b的差，并记作a－b，即BA＝a－b＝OA－OB .由定义可知：(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；(2)一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O，或简记为“终点向量减始点向量”；(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．[点睛] 在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．3．数乘向量(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.(2)长度：|λa|＝|λ||a|.(3)方向：λa(a≠0)的方向：当λ＞0时，与a同方向；当λ＜0时，与a反方向．特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.λa中的实数λ叫做向量a的系数．(4)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．(5)运算律：设λ，μ∈R，则①(λ＋μ)a＝λa＋μ a．②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a ＋b)＝λa＋λb.[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a 均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.4．向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．( )(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．( )(4)相反向量是共线向量．( )(5)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反答案：A3.34(a ＋2b )－12(4a －3b )可化简为( ) A.54a B ．－54a C ．－54a ＋3b D.54a －3b答案：C4．在平行四边形ABCD 中，向量AB 的相反向量为______． 答案：BA ，CD向量的运算与化简[典例] 化简下列各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)( AB －CD )－(AC －BD )；(4)( AC ＋BO ＋OA )－(DC －DO －OB )． [解] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)(AB －CD )－(AC －BD )＝(AB ＋BD )－(AC ＋CD )＝AD －AD ＝0. (4)( AC ＋BO ＋OA )－(DC －DO －OB ) ＝(AC ＋BA )－(OC －OB )＝BC －BC ＝0.(1)向量减法运算的常用方法(2)向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]22a ＋8b －44a －2b.解：(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .向量的减法及其几何意义[典例] 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .[解] 法一：如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，AB ＝b ，则OB ＝a ＋b ，再作OC ＝c ，则CB ＝a ＋b －c .法二：如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，AB ＝b ，则OB ＝a ＋b ，再作CB ＝c ，连接OC ，则OC ＝a ＋b －c .求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可． (2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[活学活用]在本例的条件下作出向量： ①a －b ＋c ；②a －b －c . 解：如图所示．用已知向量表示未知向量[典例] 是DE ，BC 的中点，已知BC ＝a ，BD ＝b ，试用a ，b 分别表示DE ，CE ，MN .[解] 由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE ＝12BC ，即DE ＝12a .CE ＝CB ＋BD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ＝MD ＋DB ＋BN ＝12ED ＋DB ＋12BC＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．[活学活用]如图，四边形OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN .解：∵BM ＝13BC ＝16BA ＝16(OA －OB )＝16(a －b )，∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .∵CN ＝13CD ＝16OD ，∴ON ＝OC ＋ON ＝12OD ＋16OD＝23OD ＝23(OA ＋OB )＝23(a ＋b )． ∴MN ＝ON －OM ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .层级一 学业水平达标1．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( )A．5e B．－5eC．23e D．－23e解析：选C 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.2．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|BC－AC|的值为( )A．0 B．1C. 3 D．2解析：选B |BC－AC|＝|BC＋CA|＝|BA |＝1.3．若|OA|＝8，|OB|＝5，则|AB|的取值范围是( )A．[3,8] B．(3,8)C．[3,13] D．(3,13)解析：选C AB＝OB－OA.根据三角形法则，当OA，OB共线且同向时，|AB|＝3；当OA，OB共线且反向时，|AB|＝13；当OA，OB不共线时，3＜|AB|＜13.故|AB|∈[3,13]．4．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量OD等于( ) A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a－b＋c.5．下列各式能化简为AD的个数是( )①(AB－DC)－CB②AD－(CD＋DC)③－(CD ＋MC )－(DA ＋DM ) ④－DM －DA ＋MB A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①中，(AB －DC )－CB ＝AB ＋CD ＋BC ＝AB ＋BD ＝AD ； ②中，AD －(CD ＋DC )＝AD －0＝AD ；③中，－(CD ＋MC －(DA ＋DM )＝－MD －DA －DM ＝DM ＋AD －DM ＝AD ；④中，－BM －DA ＋MB ＝MB ＋AD ＋MB ＝AD ＋2MB . 6．若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 解析：由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， ∴x ＋3a －4b ＝0，∴x ＝4b －3a . 答案：4b －3a7．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝__________，|a －b |＝________. 解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0， 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1，∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2. 答案：0 28.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b )表示．解析：MN ＝MC ＋CN ＝MC －NC ＝12AD －14AC＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a )9．化简：(1)MN －MP ＋NQ －PQ ；＋DC＋AB－AC.解：＋NQ－＝＋NQ)－MQ－MQ＝0.(2) BD＋BC＋AB＋0.10．设O是△ABC a b c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴OD＝OA＋OB＝a＋b，c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴OH＝OC＋OD＝c＋a＋b，a＋b＋c－b＝a＋c.层级二应试能力达标1．平面上有三点A，B，C，设m n m，n的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C∵|m |＝|n |，AB ＋BC ＝AB －CB ，AB －BC ＝AB ＋CB ， ∴|AB －CB |＝|AB ＋CB |，如图． 即▱ABCD 的对角线相等，∴▱ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，选C.2．如图所示向量OA ，OB ，OC 的终点在同一直线上，且AC ＝－3CB ，设OA ＝p ，OB ＝q ，OC ＝r ，则下列等式中成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p解析：选A ∵AC ＝－3CB ， ∴AB ＝－2CB ＝2BC .∴r ＝OC ＝OA ＋AB ＋BC ＝OA ＋AB ＋12AB ＝OA ＋32(OB －OA )＝32OB－12OA ＝－12p ＋32q. 3．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB |＝2，则|BC ＋DC |＝( ) A. 3 B ．2 3 C. 2D ．2 2解析：选B 如图，设菱形对角线交点为O ， ∵BC ＋DC ＝AD ＋DC ＝AC ，∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形． 又∵AB ＝2，∴OB ＝1.在Rt △AOB 中， |AO |＝|AB |2－|OB |2＝3，∴|AC |＝2|AO |＝2 3.4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：选D ∵AB ＝PB －PA ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB －PA ，即2PA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，故AP ＝12PC ，∴P 是AC 边的一个三等分点．5.如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OB ＝b ，OC ＝c ，则EF 等于________．解析：EF ＝OA ＝CB ＝OB －OC ＝b －c . 答案：b －c6．对于向量a ，b ，当且仅当_______________________________________________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |＞||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向7.如图，已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，OF ＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量：(1) AC；(2) AD；(3) DF＋FE＋ED.解：(1) AC＝OC－OA＝c－a.(2) AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.(3) DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0.8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.解：(1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC＝c，所以延长AC到E，使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2 2.所以|a＋b＋c|＝2 2.(2)作BF＝AC，连接CF，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－b，所以a－b＋c＝DB＋BF＝DF，且|DF |＝2，所以|a－b＋c|＝2.2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？。

课题：2.2.2向量的减法及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2．向量加法的交换律：a+b=b+a3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：1︒“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a+ (-a) =0如果a、b互为相反向量，则a= -b, b= -a, a+ b= 03︒向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a-b= a+ (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b+ x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a-b) + b= a+ (-b) + b= a+0= a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作OA= a, OB= b, 则BA= a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1︒AB表示a-b强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b= a+ (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一三、讲解范例：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d解：在平面上取一点O，作OA= a, OB= b, OC= c, OD=d, 作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2平行四边形ABCD中，AB a=，AD b=，用a，b表示向量AC、DB 解：由平行四边形法则得：AC= a+ b,DB= AB AD-= a-b变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a, b互相垂直）变式三：a+b与a-b 可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）,3,,,ABCD AB a DA b OC cb c a OA===+-=如图平行四边形证明：例b c DA OC OC CB OBb c a OB AB OB BA OA+=+=+=∴+-=-=+=证明：四、课堂练习：五、小结向量减法的定义、作图法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；二、过程与方法：1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2．体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．[教学重点]向量加法定义的理解；向量加法的运算律．[教学难点]向量加法的意义一、复习回顾，新课导入[实例1] 2006年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，在上海生活的台胞一家人只好从上海经过香港，再抵达台北，请问这两次位移之和是什么？思考：该实际问题与向量有何关系？[实例2]两辆汽车牵引一辆大卡车，他们的牵引力分别是F1=3000N，F2=4000N，牵绳间的夹角θ=90°。

如果只用一辆汽车来牵引，牵引力为F，而产生的效果跟原来相同。

思考：F1、F2与F有何关系？引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

二、师生互动，新课讲解1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC+=求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相接，首尾连”。

以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。

作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b.作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。

2.1.2向量的加法一、教材分析向量的加法是《普通高中课程标准试验书》人教B版必修4第二章2.1.2的内容，设置为1课时.向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它最突出的特色是对它可以实施运算，而向量的加法正是运算中最基本的运算，它为后续学习向量减法、数乘向量以及平面向量基本定理等知识奠定了基础，并在选修2-1空间向量有普遍的应用.所以本课对“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位，起着承上启下的重要作用.向量的加法具有很好的“化繁为简”的特性，利用求和法则，既能使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又使得学生能从繁琐的问题中快速解脱出来.加法运算教材主要体现的是符号语言运算和图形语言运算两种，不同求和法则在解题的通用性和有效性上略有异同.教材在对培养学生逻辑思维和形象思维相互转化的能力和提高学生应用意识、创新意识方面有着重大的意义，同时渗透了分类讨论、从特殊到一般，类比推理、归纳等数学思想方法.二、学情分析1、知识储备：由于之前物理已学过力、速度、位移等矢量的合成和分解，因此学生对向量加法的学习已具有一定的基础.2、学生情况：我所任教的班级是年级的平行班，学生的思维方式和思维水平差异较大，多数学生能主动参与小组的研究和讨论，少数学生的学习主动性还需要通过营造一定的学习氛围来加以带动，且在知识细节的处理上略微粗糙.根据上述分析，制定如下教学目标和重点难点.三、教学目标1、知识与技能：①理解向量加法的定义及其几何意义，能灵活运用向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则、向量求和的多边形法进行运算.②会用向量加法的交换律和结合律简化过程，能够利用向量的符号语言和图形语言两种方式进行加法运算.③会用向量方法处理简单的物理问题.2、过程与方法：①经历概念的形成过程，培养学生用运动变化的位移观点理解向量，并将实例通过建模抽象为向量符号语言的能力；培养学生观察、抽象的能力，提高学生形象思维（几何图形）与逻辑思维（数学符号）相互转化的能力.②经历运算律证明的过程，提高学生的推理论证能力，培养学生对分类讨论、从特殊到一般、类比推理、归纳的数学思想方法的运用.③通过例题的训练，提高学生应用向量理解问题，解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：①通过实例，体会向量在解决数学问题和实际问题中的工具作用.②通过本节课的学习，感知引入向量解题的简单美和结构美,提升数学学习的幸福感，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.四、教学重点和难点学的重点：掌握向量加法的法则，加法运算时时法则的选取.学的难点：向量加法的三角形法则的定义，反向共线向量和的运算.教的重点：向量求和法则的区别和联系.教的难点: 向量的图形语言和符号语言进行加法运算.五、学法、教法及教学用具1、学法：a b +（1）合作学习：学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题，培养学生团队合作意识，和竞争意识. （2）自主学习：引导学生通过独立思考，亲身经历，动口、动脑、动手主动参与到教学中. （3）探究学习；引导学生发挥主观能动性，主动探索新知，掌握认识和解决问题的方法和步骤. 2、教法：本着“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想.教法采用“创设情境，引入新课——合作探究，层层剖析——典例剖析，成果展示——归纳小结，内化知识——布置作业，能力提升”的教学模式.把位移放在新鲜好奇的情境中，引出向量加法，激发学生学习的兴趣，拓展学生的视野.通过设问的方式，对加量求和的概念层层设疑，进行剖析，引导学生合作探究，互帮互助，充分调动学生的积极性.通过适当引导，学生对例题进行自主探究，懂得发现和应用解题技巧，展示学生的解题过程，规范解题步骤．教学中突出位移对向量加法的重要地位，突出向量的工具性特点，和应用的广泛性.培养学生的解题能力，提高解题速度，发现向量加法的的简单美和结构美，最后让学生独立概括总结向量加法的法则间的不同和相同之处. 3、教学用具：《向量的加法》学案、多媒体课件、投影仪 六、教学过程 我们发现向量之间也能像数与式那样进行加法计算的符号表达式 abBabba向量加法的三角形法则的和（或和向量），记作a b +BC AC +=强调“任取”的意义，分层加深理解法则内涵. (1) 适合对象 ，作出向量①向量加法的三角形法则具有“任意性”.0a +=?谈谈你的看法教a b bab量求和的平行四边形法则的作图法则. 符号语言：AB AD+A的向量AC a b=+.(1)适合对象符号语言行四边形法则，强念ab a b +Ba b a b +① 除了具有交换律还有结合律呢？：向量加法满足结合律AB AD CD ++= AC BA DA ++= ba ab c++=DE CD AC+++AB ED DB BE：某人先位移向量a：“向东走”,求a b+. 课堂总结。

2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件教学目标：1.掌握平面向量坐标运算的共线条件。

2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并且能用它解决向量平行（共线）、直线平行及点共线的有关问题。

教学重点：平面向量坐标表示向量共线的条件教学难点：平面向量共线条件的应用授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：1.平面向量的坐标运算？2.向量共线(平行)?共线向量的方向如何?3.平行向量基本定理？二、问题情景：思考1: 下列几组向量中，向量a , b 有什么关系？)1-,21-(),1,21()4()12-,3(),4,1-()3()6,4(),3,2()2()6,0(),3,0()1(========b a b a b a b a思考2: 以上几组向量中， 向量a , b 共线吗？思考3: 当a//b 时，向量a , b 的坐标成比例吗？探究: 设),,(),,(2121b b b a a a ==若)0(//≠b b a ，则这两个向量的坐标应满足什么关系？三、讲解新课：推导过程： 由b a λ= 得(a 1，a 2)＝λ(b 1，b 2)即a 1＝λb 1且a 2＝λb 2探究：消去 λ 能不能两式相除?①×b 2，②×b 1得a 1b 2＝λb 1b 2且a 2b 1＝λb 2b 1两式相减得 a 1b 2-a 2b 1=0上式是在假设0≠b 的条件下推出的。

我们规定：零向量与任一向量平行，在上式中当0=b 时也成立。

探究：如何将上式化为2211b a b a = ，什么条件下成立? 当b 不平行于坐标轴时，即b1≠0，b2≠0 上式可以化为2211b a b a = 向量共线的坐标表示： 设),,(),,(2121b b b a a a ==若b a //，则（1）b a //<==>a 1b 2-a 2b 1=0（2）若b 不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0，则 b a //<==>2211b a b a = 即两个向量平行的条件是相应坐标成比例四、讲解范例：类型一 向量共线的判定与证明练习 (1)下列各组向量中，共线的是 ( )A.a ＝(-2，3)，b ＝(4，6)B.a ＝(2，3)，b ＝(3，2)C.a ＝(1，-2)，b ＝(7，14)D.a ＝(-3，2)，b ＝(6，-4)(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5,-3)。

2.2 平面向量的线性运算教学目标1.通过物理中的位移合成、力的合成等实例，认识、理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程。

2．理解、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义. 会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力.3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；4.通过由实例到概念，由具体到抽象，使学生学会如何用数学方法描述问题、解决问题。

教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量及向量加法的运算律．教学难点：对向量加法意义的理解．教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合．学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．教学准备教师准备：课件、直尺．学生准备：练习本、直尺.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断．数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移、力的合成来学习向量的加法运算及其几何意义.二、主题探究，合作交流1. 师生互动：教师引导学生回顾物理中位移的概念，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移、的结果，与A点直接到C点的位移结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图（2）表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．你能发现F与F1、F2之间的关系吗？力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力．合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．讨论结果：1. 向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b= + = ．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2. 向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．3.下面请同学们来体验一下如何用所学的向量加法的两条法则作图师生合作完成例一：例1 如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作=a，=b，则=a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作=a，=b．以OA、OB为邻边作OACB，连接OC，则=a+b．小练习：学生动手完成课本84页练习1（1）和(2)、2，然后展示结果，老师给予点评．（学生通过自己动手作图进一步体验如何区分用两种向量加法法则作图的的方法）．4.观察教材82页图2.2-10，师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算.提问:当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？用哪条法则进行求和？（讨论结果：两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．用的是三角形法则来求两个共线向量的和）类比数的加法，数0与任意实数a 的和仍得实数a．对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a．5.思考|a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？由例一发现：当a，b不共线时，|a+b|<|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）;当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）．6 .数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．如下左图，作=a，=b，以AB、AD为邻边作ABCD，则=b，=a．因为= + =a+b，= + =b+a，所以a+b=b+a．如上右图，因为= + =（+ ）+ =（a+b）+c，= + = +（+ ）=a+（b+c），所以（a+b）+c=a+（b+c）．综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。

《向量加法运算及其几何意义》教学设计教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．一、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．二、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．三、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了5个教学环节：一、创设情境引入课题师：在前一节课中我们学习了一个新的量——向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，活动设计：学生参与讨论来看一个问题：在两岸通航之前，要从北京到达台湾，我们需要从北京乘飞机抵达香港，然后转机才能到达，如今通航后呢？我们可以直接到达，节省了大量的时间和金钱．从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移，如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和．同学们，请思考问题1：【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．学生活动：学生讨论，自主探究位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的——向量．那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？于是，我们顺利的进入了本节课的第二个环节：二、实践探究 总结规律我首先提出了问题2：【问题2】如图所示，对于向量a 和b 如何求解它们的和呢？活动设计：小组探究、代表汇报和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何处理呢？对于这个问题我没有急于给出问题的答案，而是鼓励学生大胆试验和探究，我深入学生中与他们交流，了解学生思考问题的进展过程，帮助他们突破思维的障碍，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．最终，由他们自己得出问题的答案：生：“在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b 使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量a 的起点与向量b 的终点”．此时，教师鼓励学生自己给出定义：加法的定义：已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，a b a b a b OA B作,OA a AB b ==，则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b O A A B O +=+=．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．至此，已经了解了加法定义与三角形法则，同时，我们也应该注意到在物理中矢量合成时的平行四边形法则．我创设了情景：“观察小猴过河的动画短片”．对于平行四边形法则学生已经非常熟悉，他们关心的是两个法则之间的联系与区别，于是，我提出了问题4．【问题3】平行四边形法则有何特点？生：是平移两个向量至共起点．【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？活动设计：学生以小组为单位讨论，小组汇报比比谁的例子最多，最贴切． 完成了这个探究，接着，我进入第三个环节．三、 类比联想 探究性质首先我设计了问题5：【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论．活动设计：师生探究、课件演示通过和实数加法性质进行类比，学生很容易得出向量加法的性质，对于交换律的验证我让学生通过画图自己动手验证，而对于结合律的验证，则由师生借助于多媒体共同完成． )()c a b c +=++至此，本节课的概念教学已经完成，于是我引导学生进入第四环节：四、 数学运用 深化认识在这个环节，我设置了2道例题和2道练习．接下来，为了检验对于概念的理解和掌握，我设置了一道例题来强化概念： 例1：如图，已知a 、b ，作出a b +通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．例2：根据图示填空（1）a b +=； （2）c d += ；（3）a d b ++= ；（4）DE CD AC ++= ；（5）AB BC CD DE +++= ．在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n 个向量相加的形式．即n n n A A A A A A A A A A 01322110=++++-例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A 点出发，以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时3公里．（1） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（保留两位有效数字）（2） 求船实际航行的速度大小与方向．（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）五、 回顾反思 拓展延伸本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：课堂小结：【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？ab b a a b新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我设置一个开放性的问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．作业布置：在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．（1）作业：P66 习题2．2的1．2．3．（2）拓展探究：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？。