湖南省永州市2018届高三第二次模拟考试理科数学试题word版含解析

湖南省永州市2018届高考第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数1ii+对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.已知集合{}{}320,21x A x R x B x R =∈+>=∈<，则A B ⋂=（ ） A ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞3.若方程()22120162018x y k Z k k +=∈--表示双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．0x y ±=4.如图是2017年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙 两名选手打出的分数的茎叶图（其中m n 、均为数字09中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则有（ ）A ．12a a >B ．12,a a 的大小与m 的值有关C ．21a a >D ．12,a a 的大小与,m n 的值有关5.已知向量()()3,2,1,1a x b =-=，则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．0B ．22 C ．2+12D ．2+1 7.函数cos sin 23y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭具有性质（ ）A ．最大值为3，图象关于,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B.最大值为1，图象关于,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．最大值为3，图象关于直线6x π=-对称 D.最大值为1，图象关于直线6x π=-对称8.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5059.已知点12F F 、是椭圆22312x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．4C ．42D ．4310.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．27432++B ．27+10C ．107+D ．1243+ 11.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin c b a B C+=，则ABC ∆是（ ） A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形12．函数()()2,,x x a k a x a f x e x a a x⎧----≤⎪=⎨>⎪-⎩，若(]0,x a ∃∈-∞，使得()1,x a ∀∈+∞都有()()10f x f x ≤，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．[)1,+∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设102a xdx =⎰，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．14. 若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为 ．15. 不等式组1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域与22104x y x y ++-+≤表示的平面区域的公共部分面积为 ．16.某同学在研究函数()224820f x x x x =++-+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将()f x 变形为()()()()()2222002402f x x x =-+-+-++，设()()(),0,0,2,4,2P x A B -，则()f x PA PB =+.下列关于函数()f x 的描述： ①()f x 的图象是轴对称图形；②()f x 的图象是中心对称图形；③方程()()225f f x =+无实数解；④函数()f x 的值域为)42,⎡+∞⎣.则描述正确的是 ．(填上你认为正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在数列{}n a 中，()21111,31n n a a a n N n ++⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.（1）证明数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）令113n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某市为迎接“国家义务教育均衡发展”综合评估，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了n 所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分.其中x y 、分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为A (优秀)、B (良好)、C (及格）三个等级，调查结果如表所示.例如：表中“学校的基础设施建设”指标为B 等级的共有2021243++=所学校.已知两项指标均为B 等级的概率为0.21.（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关；（2）在该样本的“学校的师资力量”为C 等级的学校中，若18,1115a b ≥≤≤，记随机变量a b ξ=-，求ξ的分布列和数学期望. 附表:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，60,,//FAC AC BC AB DE ∠=︒⊥， //,2,1,5BC EF AC BC BF ===.（1）求证：BC ⊥平面ACDF ； （2）求二面角C AE F --的余弦值.20.已知()0,6P -，点R 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 在直线RQ 上，且30,2PR RM RM MQ ⋅==-，记点M 的轨迹为曲线Γ. （1）求曲线Γ的方程；（2）已知横坐标不为0的点G 在直线2y =-上，过G 作直线,GA GB 与曲线Γ相切于,A B 两点，直线AB 与y 轴交于点E ，直线GE 与曲线Γ交于,C D 两点，且四边形ABCD 的面积为4003，求直线AB 的斜率. 21.已知函数()()()211,2x f x x a e g x x ax =--=-. （1）曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值； （2）记()()()()1F x f x a g x =-+. （¡）讨论()F x 的单调性；（ⅱ）若314a -<<-，()h a 为()F x 在()()ln 1,a ++∞上的最小值，求证：()0h a <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(其中α为参数)，曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线()06πθρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知不等式2234x x a a -+-<+. （1）若1a =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集不是空集，且*a N ∈，求满足条件的最小整数a 的值.试卷答案一、选择题1-5: ACDAA 6-10: BDDBB 11、12：CC二、填空题13. 15 14.32π 15. 16π16.①③④ 三、解答题17.解:（1）由条件得()122131n n a a n n +=⋅+，又1n =时，21na n =，故数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成首项为1，公比为13的等比数列.从而2113n n a n -=，即213n n n a -=.（2）由()22121333n nn n n n n b ++=-=得 2231521135212113333333n n n nn n n n S S ++-+=+++⇒=++++， 两式相减得：2312111211233333n nn n S ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 111112221412131139333313n n n n n n n S -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+-=---12423n n ++=-，故223n nn S +=- 18.解：（1）依题意得210.21n =，得100n =，由20120.4100a ++=，得8a = 由20201122112100ab ++++++++=得15b =()2210020392021 2.23240604159K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ 因为2.027 2.232 2.706<<，所以没有90%的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关. （2）8,1115a b ≥≤≤，得到满足条件的(),a b 有：()()()()()8,15,9,14,10,13,11,12,12,11 故ξ的分布列为故211117135755555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19.（1）证明：连结CF四边形ACDF 是菱形，60FAC ∠=︒得2CF = 在BCF ∆中，2,1,5CF BC BF === 满足222BF CF BC =+得BC CF ⊥ BC CF BC BC AC ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面ACDF（2）分别以CA 为x 轴，以CB 为y 轴，连结C 与CB 中点作为z 轴()()()()0,0,0,2,0,0,1,0,3,2,1,3C A F E -，得()()2,0,0,2,1,3CA CE ==-，取AF 的中点G ，则33,0,22G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 面AEF 的法向量为：33,0,22m CG ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设面ACE 的一个法向量为：(),,n x y z =00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20230x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩得()0,3,1n = 由312cos 432m n m nθ⋅===⨯⋅20.解：（1）设(),M x y ，则由32RM MQ =-得,02x R ⎛⎫- ⎪⎝⎭又由0PR RM ⋅=得3,6,022x x y ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即28x y =（2）设()()()1122,,,,,2A x y B x y G m -由28x y =得：4xy '=，12,44GA GB x x k k ==直线GA 的方程为：()1114x y y x x -=-即：114xy x y =-直线GB 的方程为：()2224x y y x x -=- 即：224xy x y =-所以直线AB 的方程为24x m y -=- 即：24my x =+令0y =，得()0,2E ，4GE k m =-，又4AB mk =，所以AB CD ⊥ 令4mk =，则:2AB l y kx =+，2:8x y Γ= 联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，消y 整理可得28160x kx --=12128,16x x k x x +==- ()22121214AB k x x x x =++-()2221646481k k k =++=+用1k -代k 得，2181CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2211400321123ABCD S AB CD k k ⎛⎫==++= ⎪⎝⎭解得223k =，232k =，即63k =±或62k =±21.解：（1）()()x f x x a e '=- ()()11f a e '=-因为()f x 在()()1,1f 处的切线平行于x 轴，所以()10f '=，所以1a =； （2）()()()()211112x F x x a e a x a a x =---+++ （ⅰ）()()()()111x x F x e x a e a x a a '=+---+++()()()()()11x xx a e a x a x a e a ⎡⎤=--+-=--+⎣⎦若10a +≤，即1a ≤-时，则由()0F x '=得x a =当(),x a ∈-∞时，()0F x '<；当(),x a ∈+∞时，()0F x '>； 所以()F x '在(),a -∞单调递减，在(),a +∞单调递增. 若1a >-，则由()0F x '=得x a =或()ln 1x a =+ 构造函数()()()ln 11k a a a a =-+>-，则()1ak a a '=+ 由()0k a =得0a =，所以()k a 在()1,0-单调递减，在()0,+∞单调递增. ()()min 00k a k ==，所以()ln 1a a ≥+ (当且仅当0a =时等号成立）①若()()0,0,a F x F x '=≥在(),-∞+∞单调递增. ②若10a -<<或0a >，当()()ln 1,x a a ∈+时，()0F x '<；当()()(),ln 1,x a a ∈-∞+⋃+∞时，()0F x '>； 所以()F x 在()()ln 1,a a +单调递减，在()()(),ln 1,,a a -∞++∞单调递增.（ⅱ）若314a -<<-，()F x 在()()ln 1,a a +单调递减，在(),a +∞单调递增.()()()32min 12a F x f a a a e ==+-，令()()3212a h a a a e =+- 则()232a h a a a e '=+-，令()()232a a h a a a e ϕ'==+-，()310a a a e ϕ'=+-< ()232a h a a a e '=+-在31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，()11102h e '-=->，34330432h e -⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭ 所以存在唯一的031,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭使得()00h a '=，所以()h a 在()01,a -单调递增，在03,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减故当031,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()()0max h a h a = 又()02000302a h a a a e '=+-=所以()()()32200000max 1322h a h a a a a a ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭()200012202a a a =--<所以当31,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()()32102a h a a a e =+-<22.解：（1)由3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2213x y +=，所以曲线1C 的普通方程为2213x y += 把cos ,sin x y ρθρθ==，代入()2211x y +=- 得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+= 化简得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ= （2）依题意可设12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线1C 的极坐标方程为2222sin 3ρρθ+=^ 将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得22132ρρ+=，解得12ρ= 将()06πθρ=>代入曲线2C 的极坐标方程得23ρ= 所以1232AB ρρ=-=-23.解：（1）当1a =时，不等式即为2342x x -+-< 若4x ≥，则3102x -<，得4x <，舍去； 若 34x <<，则 22x -<，得 34x <<； 若3x ≤，则1032x -<，得833x <≤. 综上，不等式的解集为843x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）设()234f x x x =-+-，则()310,42,34103,3x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤⎩易得()min 1f x =，∴21a a +> 解得：152a -+>或152a --<∵*a N ∈，所以，满足条件的最小的整数a 的值为1.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学（理科）本试卷共5页，23 小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污.损2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A 2,1,0,1,2, B {x|R x 1x 20}，则A BA.1,0,1B.1,0C.2,1,0D.0,1,22.已知,是相异两平面，m,n是相异两直线，则下列命题中错误的是A.若m//n,m ，则n B．若m ,m ，则//C.若m ,m//，则D．若m//,n，则m//n3.变量X服从正态分布X定点N 10,2,P X 12a，P 8X10b，则直线ax by 1过A．(1,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(2,2)4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a,b分别为675,125，．．则输出的 a（）A. 0B . 25C. 50D. 755.记不等式组x y 2 2 x y 2 y 2 0表示的平面区域为 ，点 M 的坐标为 x,y．已知命题 p：M ， xy的最小值为 6；A.命题p q q： M ， p qB ． 45x 2 y 220 qC.；则下列命题中的真命题是 pq 、p q 、q D ．都是假命题6.设F , F 为椭圆 C : x 122my 21的两个焦点，若点 F 在圆 F : x122( y1 2m )2 n上， 则椭圆 C 的方程为A ． x2y 2 x 2 1 B ．x 2 2 y 2 1C.22y21D ．2 x2y217.若a20 c o s x d x ，则 ( xa x2 6) 的展开式中含 x 5 项的系数为8. 12 A ．A ．24已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 fx 满足 fC ．12x 2f x， 当 D ． 24x0,1时 ，f x 2x1，则A.f6f7f11 2B.f112f 7f 6C.f7f1111f 79.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何 图f 6D . f 6f22顶点的多边形为正五边形，且PT51AT2.下列关系中正确的是A．BP TS 5151RS B．C Q TP22TSC．ES AP 5151 BQ D．AT BQ22CR10.已知函数f(x)2sin(2x6)在[a4,a](a R)上的最大值为y1，最小值为y，则2y y12的取值范围是A．[22,2]B．[2,22]C．[ 2,2]D．[22,22]11.对于任一实数序列A a,a,a, ，定义A为序列a a,a a,a a, ，它的123213243第n项是an 1an，假定序列(A)的所有项都是1，且a a1820170，则a2018A．0B．1000 C. 1009D．201812.已知M {|f ()0}，N {|g()0}，若存在M ，N，使得||1，则称函数f(x)与g(x)互为“和谐函数”.若f(x)2x 2x 3与g(x)x2ax a 3互为“和谐函数”则实数a的取值范围为A.(2,)B.[2,)C.(2,3)D.(3,)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.设复数z22 i（其中i为虚数单位），则复数z的实部为_____，虚部为_____．14.点F为双曲线E:x2y21(a 0,b 0)a2b2的右焦点，点P为双曲线上位于第二象限的点，点P关于原点的对称点为Q，且PF 2FQ，OP 5a，则双曲线E的离心率为_____．15.在数列an 中，如果存在非零常数T，使得an Ta对于任意的正整数n均成立，那么就n称数列an 为周期数列，其中T叫数列a的周期．已知数列b满n n足:b b b (n N*)，若b 1，b a(a R,a 0)当数列b的周期最小时，该数列的前2018项的和是，_____． 1 2 n16.一个正八面体的外接球的体积与其内切球的体积之比的比值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，M为A C的中点，且4a 4b cos C 3c s in B.(Ⅰ)求cos B的大小；B(Ⅱ)若ABM 450,a 52,求ABC的面积．A M C18.(本小题满分12分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：（1）将2017年11月的空气质量指数AQI数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个AQI数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（A QI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0~50（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？19.(本小题满分12分）C如图，底面为直角三角形的三棱柱ABC A B C中，AB AC AA1111，A BA AB A AC 60 110，点D在棱BC上，且AC //1平面ADB.1（Ⅰ）求二面角A-B C-D11的余弦值；C（Ⅱ）求AB1与平面ABC所成角的正弦值.A DB20.(本小题满分12分）已知点A（0，1）,B为y轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD，使其对角线的交点恰好落在x轴上.（Ⅰ）求动点D的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点A的直线l交轨迹E于M、N两点，分别过点M、N作轨迹E的切线l、l12，且l1与l2交于点P.（ⅰ）证明：点P在定直线上，并写出定直线的方程；（ⅱ）求OMN的面积的最小值.21.(本小题满分12分）111已知函数f x l n xa Rx 1（Ⅰ）讨论函数f x的单调性；.（Ⅱ）若fx 有两个极值点x,x12，证明:fx x122fx f x122.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C:x y 41，曲线C:2x 1cosy sin(为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C,C12的极坐标方程；（II）若射线(0)与曲线C,C12的公共点分别为A,B，求OBOA的最大值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a 0，b 0，c 0，函数f x c a x x b．（I）当a b c1时，求不等式fx3的解集；（II）当 fx 的最小值为3时，求a b c的值，并求111a b c的最小值．2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）参考答案一、选择题：题号123456789101112ax二、填空题：13.31,2214.515. 134616.33三、解答题17. (Ⅰ) 由题设知：4sin( B C ) 4sin A 4sin B c os C 3sin C sin BB4cos B 3sin B 0 93c os 2 B , 即 cos B 25 5.………………4 分N AMC（II ）取 AB 的中点 N ，连 MN ，则 MN / / B C 且 MN5 22s in BNM sin B4 5，……………7 分由 BM MN MNsin BNM sin NBM sin ABM知： 4 5 2 1BM 4 5 2 sin 450……………9 分2 4 3S 2S BM BC sin( B 450 ) 4 5 2 ( ) 4 ABC MBC ………………12 分18.解：（1）系统抽样，分段间隔k 30 65， 抽出的样本的编号依次是 4 号、9 号、14 号、 19 号、24 号、29 号， 对应的样本数据依次是 分28 、56、94、48、40、221． (3)C k C 3k（2）随机变量 所有可能的取值为 0，1，2,3，且 P ( k ) 3 3 (k 0,1,2,3)C 3 61 9 9 1P ( 0) ， P (1) ， P( 2) ， P ( 3) ，20 20 20 20随机变量的分布列为：0 1 2 3P1209 20 9 20 1 20所以E () 01 9 9 11 2 31.5 20 20 20 20．……………9 分（3）2016 年 11 月AQI指数为一级的概率P 17 30，2017 年 11 月 AQI 指数为一级的概率P 217 30，PP ，说明这些措施是有效的．……………12 分2119. (Ⅰ)解：连 A B ，得 A B ABO , 连 OD ；111ZC'则 O D 平面 ADB1∵ AC / / 平面ADB11平面 A C B ,且 O 为 A B 的中点11A'B'2 5 5CDA BxY∴ A C / /O D ，且 D 为 BC 的中点……………2 分1AB AC AA 1， A ABA AC 60 11∴ A BAC A A , A D B C , AD B C1111设 BC2a ，又底面为直角三角形得 A D AD a , AB AC AA112a∴ A DA 90 10 ，即 A DA D 1，得 A D 1平面 ABC ……………4 分以 D 为原点， DA , DB , DA 分别为 x , y , z 1轴建立空间直角坐标系， 则由 A (a ,0,0) , B (0, a ,0) , C (0,a ,0) , A (0,0, a ) ，1AA / / B B / /C C 知： AABB CC (a ,0, a ) 111111，得B (a, a , a ) 1，C (a, a, a ) 1；∴BC(0, 2a ,0) , AB (2a , a , a ) , DB (a, a , a ) , DA (0,0, a ) 1 1111，………6 分设n( x , y , z ) 且 n平面 AB C 1 11 1，则n B C2ay 01 1n AB 2ax ay az 01 取 x1 得 n(1,0,2) ；设 n平面 DB C ，同理：且 n(1,0,1) 121 12 (8)分∴cos n , n123 3 105 2 10，故二面角A -BC -D 1 1的余弦值为3 10 10；…10 分又 DA 为平面 1ABC的法向量，且cos DA , AB111 666，∴ AB 与平面 ABC 所成角的正弦值 1 6 6.……………12 分20. 解：(Ⅰ)设 D ( x , y ) ，则由题设知：B (0, y ) ， 由 AB A D 知 x 2 ( y 1)2( y 1)2 ，得 x24 y ( y 0) 为动点 D 的轨迹 E 的方程；……………4 分x x 2 x 2(Ⅱ) （ⅰ）由(Ⅰ)知： y ' ，设 M ( x ,y )、N ( x ,y ) ，则 y 1 , y 2 2 4 4;AM ( x , 1 x 2 x 2 x 2 x 2 1 1)、AN ( x , 2 1) 由题设知： x ( 2 1) x ( 1 4 4 4 41)，得x x4 12；1 21 12 2 2 12切线xl : y y 1 ( x x ) 2的方程为x x 2 y 1 x 1 ; 2 4切线 l 2的方程为x x 2 y2 x 2 ; 2 4两者联立得： xx +x x x1 2 ,y 1 21；即点 P 在定直线 2 4y1上； (9)分（ⅱ）由(Ⅰ)及（ⅰ）知：S OMN 1 1 1OA x x ( x x ) 2 4 x x ( x x ) 2 2 22 16 2; 即点 P (0, 1) 时， (S) OMN min2 .……………12 分21. 解 ： （ Ⅰ ）1 a ( x 1) ax x f '(x ) x ( x 1)22 (2 a ) x 1 x ( x 1)2 ( x 0)，(a 2) 2 4 a (a 4) ；当 a 4 时， f '(x ) 0 ， f ( x ) 在 (0, )上单调递增；当a 4时 ，f ( x )在(0,a 2 a (a 4) 2)上 单 调 递 增 ， 在( a 2 a (a 4) a 2 a (a 4) a 2 a (a 4) , ) 上单调递减，在 (2 2 2, )上 单调递增；……………6 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知： a 4 且 x xa 2 , x x1 121 2ax ( x 1) ax ( x 1)f ( x ) f ( x ) ln x x 1 2 2 1 a ，(x 1)(x 1) 1 2a 2 a x x a 2 a 2 a 2而 f ( 1 2 ) f ( ) ln ln (a 2) 2 2 2 a 2 22 1x x f ( x ) f ( x ) a 2 a f ( 1 2 ) 1 2 ln 2 h (a )2 2 2 2，2 1 4 ah '(a ) ( 1) 0 a 2 2 2(a 2)，得 h (a ) 在 (4,) 上为减函数，又 h (4) 0 ，即 h (a ) 0 ；则 f ( x x f (x ) f ( x ) 1 2 ) 1 2 2 2……………12 分22．解：（I ）曲线 C 的极坐标方程为 (cos sin ) 4 ，1曲 线 C 的 普 通 方 程 为 ( x 1) 2 y 2 1 ， 所 以 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 22cos . …………4 分（II ）设设A ( , ) ，B ( , ) ，因为 A , B 是射线与曲线 124，则 ，2 cos ，42 cossinC , C 12的公共点，所以不妨1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 ， ，1 2 1 2 21 . 1 2| OB | 12 2cos | OA | 41(cossin)1 1(cos 2sin 21) 2 cos(2 ) 1 4 4 4，所以当| OB | 时， 8| OA | 2 1取得最大值 . ……………10 分4 23．解：（I ） fxx 1x 11x11x 1{ 或 { 1 2 x 3 3 3或{x 1 2x 1 3， 解 得{x | x 1或x 1}（II ） ．……………5 分fxc a x x b a x x b c a b c a b c 31 1 1 1 1 1 1 1 b a c a c ba b c 3a b c 3 a b c 3 a b a c b c，13 2 2 2 3 3．当且仅当a b c 1时取得最小值 3．……………10 分19．如图，在三棱柱ABC A B C 体，平面 A B C平面 AAC C , BAC90 1 1 11 11 1．（I ）证明：ACCA 1；（II ）若A B C 1 1是正三角形，AB 2 A C 2，求二面角A ABC 1的大小．3BB1CC1AA1。

2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合M＝{y|y＝2x，x＞0}，N＝{y|y＝}，则M∩N等于（）A．∅B．{1}C．{y|y＞1}D．{y|y≥1}2．（5分）设复数z＝1+（其中i为虚数单位），则等于（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2i D．2i3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）＝0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α＝，则sinα＝”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．（5分）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8＝25，则S9＝（）A．60B．75C．90D．1055．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位6．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||＝1，|2﹣|＝1，则||＝（）A．B．1C．D．27．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知偶函数，当时，，设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 10．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）＝2018，对任意的x∈R，都有f′（x）＜2x 成立，则不等式f（x）＜x2+2014的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（2，2）C．（﹣∞，2）D．R11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2＝1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（）A．B．C．D．2﹣3 12．（5分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n＞0，6S n＝a n2+3a n，n∈N*，b n＝，若∀n∈N*，k＞T n恒成立，则k的最小值是（）A．B．49C．D．二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上）13．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10＝．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝2sin B，且a+b＝c，则角C的大小为．15．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣xlnx+ax在区间（0，e）内是增函数，函数g（x）＝|e x﹣a|+（其中e为自然对数的底数），当x∈[0，1n3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m 的差为．则实数a＝．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）如图，在锐角三角形ABC中有f（B）＝1，若在线段BC上存在一点D使得AD＝2，且AC＝，CD＝﹣1，求三角形ABC的面积．20．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn＝设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）＝（2x﹣3）f（x），若函数y＝h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y＝|f（x）|在[0，1]上最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a＝1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合M＝{y|y＝2x，x＞0}，N＝{y|y＝}，则M∩N等于（）A．∅B．{1}C．{y|y＞1}D．{y|y≥1}【解答】解：M＝{y|y＝2x，x＞0}＝{y|y＞1}，N＝{y|y＝}＝{y|y＝＝∈[0，1]}＝{y|0≤y≤1}，则M∩N＝∅，故选：A．2．（5分）设复数z＝1+（其中i为虚数单位），则等于（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2i D．2i【解答】解：∵z＝1+＝，∴，故选：B．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）＝0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α＝，则sinα＝”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【解答】解：对于A，f（0）＝0时，函数f（x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；函数f（x）是奇函数时，f（0）不一定＝0，如f（x）＝，x≠0；是即不充分也不必要条件，A错误；对于B，命题p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；对于C，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴C错误；对于D，若α＝，则sinα＝的否命题是“若α≠，则sinα≠”，∴D正确．故选：D．4．（5分）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8＝25，则S9＝（）A．60B．75C．90D．105【解答】解：∵等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a3+a4+a8＝25，∴3a1+12d＝25，∴，∴S9＝＝9a5＝9×＝75．故选：B．5．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：由题意y＝cos2x＝sin（2x+），函数y＝sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y＝sin[2（x﹣）+]＝sin （2x﹣）的图象，故选：B．6．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||＝1，|2﹣|＝1，则||＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：∵非零向量，的夹角为60°，且||＝1，∴＝||•1•＝，∵|2﹣|＝1，∴＝4﹣4+＝4﹣2||+1＝1，∴4﹣2||＝0，∴||＝，故选：A．7．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知当x＞1或x＜﹣1时，y＞0，故排除A、B；又当x→0时，函数的值也趋近于0，故排除C，故选：D．8．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴＝＝＝＝＝＝，故选：B．9．（5分）已知偶函数，当时，，设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵当时，y＝sin x单调递增，y＝也为增函数，∴函数，也为增函数．∵函数为偶函数，∴，即函数的对称轴为x＝，即f（x）＝f（π﹣x）∴f（2）＝f（π﹣2），f（3）＝f（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），即c＜a＜b，故选：D．10．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）＝2018，对任意的x∈R，都有f′（x）＜2x 成立，则不等式f（x）＜x2+2014的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（2，2）C．（﹣∞，2）D．R【解答】解：根据题意，令g（x）＝f（x）﹣x2﹣2014，则g′（x）＝f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）＝2018，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2014＝0．∴不等式f（x）＜x2+2014，可化为g（x）＜g（﹣2），∴x＞﹣2．即不等式f（x）＞x2+2014的解集为（﹣2，+∞）；故选：A．11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2＝1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（）A．B．C．D．2﹣3【解答】解：圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2＝1的圆心坐标为（t，t﹣2），半径为1，∴|PC|2＝（t+1）2+（t﹣3）2＝2t2﹣4t+10，∴|P A|2＝|PB|2＝|PC|2﹣1＝（t+1）2+（t﹣3）2﹣1＝2t2﹣4t+9，cos∠APC＝＝，∴cos∠P AB＝2cos2∠APC﹣1＝2×（）﹣1＝＝∴•＝||•||cos∠P AB＝（2t2﹣4t+9）•＝[（t2﹣2t+5）+（t2﹣2t+4）]•，设t2﹣2t+4＝x，则x≥3，则•＝f（x）＝（x+x+1）•＝，∴f′（x）＝＞0恒成立，∴f（x）在[3，+∞）单调递增，∴f（x）min＝f（3）＝，∴•的最小值为故选：C．12．（5分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n＞0，6S n＝a n2+3a n，n∈N*，b n＝，若∀n∈N*，k＞T n恒成立，则k的最小值是（）A．B．49C．D．【解答】解：∵6S n＝a n2+3a n，∴6S n+1＝a n+12+3a n+1，∴6a n+1＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）+3（a n+1﹣a n）∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝3（a n+1+a n），∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝3，又6a1＝a12+3a1，a1＞0，∴a1＝3．∴{a n}是以3为首项，以3为公差的等差数列，∴a n＝3n，∴b n＝＝（﹣）＝（﹣），∴T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＜＝．∴k≥．故选：C．二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上）13．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10＝19．【解答】解：设数列的公差为d，（d≠0）∵S5＝a32，得：5a3＝a32，∴a3＝0或a3＝5；∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52＝a2•a14，∴（a3+2d）2＝（a3﹣d）（a3+11d）若a3＝0，则可得4d2＝﹣11d2即d＝0不符合题意，若a3＝5，则可得（5+2d）2＝（5﹣d）（5+11d），解可得d＝0（舍）或d＝2，∴a10＝a3+7d＝5+7×2＝19，故答案为：19．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝2sin B，且a+b＝c，则角C的大小为60°．【解答】解：∴sin A＝2sin B，由正弦定理：可得a＝2b．即a2＝4b2．∵a+b＝c，即3b＝c，由余弦定理：2ab cos C＝a2+b2﹣c2．可得：cos C＝．∵0＜C＜π．∴C＝60°．故答案为：60°．15．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（2，]．【解答】解：作函数f（x）＝的图象如右图，∵关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1＝0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣xlnx+ax在区间（0，e）内是增函数，函数g（x）＝|e x﹣a|+（其中e为自然对数的底数），当x∈[0，1n3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为．则实数a＝．【解答】解：∵f（x）＝﹣xlnx+ax，∴f'（x）＝﹣lnx+a﹣1∵函数f（x）＝﹣xlnx+ax在（0，e）上是增函数∴f'（x）＝﹣lnx+a﹣1≥0在（0，e）恒成立∵y＝﹣lnx是（0，e）上的减函数∴f'（x）＝﹣lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即﹣1+a﹣1≥0∴a≥2∵x∈[0，ln3]，∴e x∈[1，3]∴e x＝a时，函数取得最小值为∵x＝0时，；x＝ln3时，3＞a≥2时，函数g（x）的最大值M＝∵函数g（x）的最大值M与最小值m的差为∴3＞a≥2时，∴a＝a＞3时，x0＞ln3，此时x在[0，ln3]内单调递减，所以函数在f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，a＝不符合a大于3，所以舍去．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2＝1，⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）＝x2，当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A＝[1，4），当x∈[1，2）时，g（x）∈[2﹣k，4﹣k），即B＝[2﹣k，4﹣k），若命题p是q成立的必要条件，则B⊆A，则，即，解得：0≤k≤1．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴由正弦定理，可得：，整理可得：a2+b2﹣c2＝ab，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，∴C∈（0，π），∴C＝；（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B＝﹣A，∴由正弦定理可得：＝＝＝＝＝2sin（A+），∵0＜A＜，＜A+＜，＜sin（A+）≤1，∴从而解得：＝2sin（A+）∈（1，2]．19．（12分）已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）如图，在锐角三角形ABC中有f（B）＝1，若在线段BC上存在一点D使得AD＝2，且AC＝，CD＝﹣1，求三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx+1＝sin2ωx﹣cos2ωx+1＝sin（2ωx）∵图象的相邻两条对称轴之间的距离为．∴，即T＝π那么：T＝，可得ω＝1那么f（x）＝sin（2x）由2x得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间为[：，]，k∈Z．（Ⅱ）由f（B）＝1，即f（B）＝sin（2B）＝1．∵，＜2B∴：2B＝解得：B＝．在△ADC中，AD＝2，且AC＝，CD＝﹣1，利余弦定理：cos C＝＝．∵，∴C＝．由A+B+C＝π，∴A＝＝由正弦定理：，可得AB＝2．那么三角形ABC的面积S＝AB•AC sin A＝．20．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn＝设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．得，解得∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，．（Ⅱ）由a1＝3，a n＝2n+1得S n＝n（n+2），则n为奇数，c n＝＝，n为偶数，c n＝2n﹣1．∴T2n＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）＝＝＝．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）＝（2x﹣3）f（x），若函数y＝h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y＝|f（x）|在[0，1]上最大值．【解答】解：（Ⅰ）若f（x）＝0恰有一解，且解不为，即a2﹣4＝0，解得a＝±2；若f（x）＝0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1＝0，解得a＝﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣＜0，即a＞0时，函数y＝|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max＝f（1）＝2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△＝a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max＝max{f（0），f（1）}＝max{1，a+2}＝，综上所述，y max＝22．（12分）已知函数f（x）＝ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a＝1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴f′（x）＝a+lnx+1≥0在区间[e，+∞）上恒成立，∴a≥（﹣lnx﹣1）max＝﹣2．∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）a＝1时，f（x）＝x+lnx，k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，∴k＜，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1）．则h′（x）＝1﹣＝＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单增，∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，存在x0∈（3，4），使h（x0）＝0．即当1＜x＜x0时h（x）＜0 即g′（x）＜0x＞x0时h（x）＞0 即g′（x）＞0g（x）在（1，x0）上单减，在（x0+∞）上单增．令h（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，即lnx0＝x0﹣2，g（x）min＝g（x0）＝＝＝x0∈（3，4）．k＜g（x）min＝x0∈（3，4），且k∈Z，∴k max＝3．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数()12ai a R i +∈-为纯虚数，则a 的值为 A ．2- B ．12- C ．2 D ．122．已知集合{}{}()22log 3,450,R A x x B x x x A C B =<=-->⋂=则 A ．[－1，8)B.(]05， C ．[－1，5) D ．(0，8)3．已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和，7153564,20a a a a S =+==，则A ．31B ．63C ．16D ．1274．设向量)()(,,3,1,//a b x c b c a b b ==-=-，若，则与的夹角为 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆．若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，测得Γ的离心率为2，则椭圆Γ的方程为 A ．221164x y += B ．2214x y +=C ．2216416x y += D ．22154x y += 6．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量()q x (单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为()1260,020,190180,x x q x x ⎧<≤⎪+=⎨⎪-<≤⎩则当该服装厂所获效益最大时A ．20B ．60C ．80D ．407.已知,x y 满足不等式组240,20,130,x y x y z x y y +-≥⎧⎪--≤=+-⎨⎪-≤⎩则的最小值为A.2B.C. D.1 8．已知函数()2110sin 10sin ,,22f x x x x m π⎡⎤=---∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取A ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9．已知()2112n x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为42-，则n = A.10 B.8 C.12 D.1110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．30π+B ．803π+ C. 923π+ D ．763π+ 11．已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线Γ右支上一点，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，且22PM MF = ，若PA的中点E 在1F M 的延长线上，则双曲线Γ的离心率是A ．3B ．2+C ．1D ．4+12．已知函数()()()222f x x x x mx n =+++，且对任意实数x ，均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范围为A ．()16,9-B ．(]16,9-C ．(]16,0-D ．(]16,5--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣2，1] D．[1，2）2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．43．为了了解长沙市居民月用电情况，抽查了该市100户居民用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据如图可得到这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是（）A．70 B．64 C．48 D．304．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x5．已知命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”和“a＜b⇔e≤f”都是真命题，那么“c≤d”是“e≤f”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知sinα+cosα=，则tanα=（）A．B．C．﹣D．﹣8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定10．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．11．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4 B．5 C．7 D．612．已知函数f（x）=x2﹣5x+3﹣，g（x）=﹣x+xlnx（k∈R），若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，则k的取值范围（）A．B．（﹣∞，﹣e3]C．（﹣∞，﹣e]D．二、填空题（每小题5分）13．若的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为______．14．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f （x）﹣1＜0的解集是______．15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|=______．16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（每小题12分）17．各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a+a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足bn=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0（0＜P0＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求P0；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？20．如图，已知椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（x0，y0）．（1）求证： +=1；（2）求△AMN面积的最大值．21．已知m∈R，函数f（x）=e mx﹣1﹣（e为自然对数的底数）（1）若m=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）的最小值为m，求m的最小值．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围．2018年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣2，1] D．[1，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）≥0，解得：x≤﹣3或x≥1，即A=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[1，2），故选：D．2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，以及复数的模的求法化简求解即可．【解答】解：复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，可得（3+4i）（3﹣4i）x=（3﹣4i）=5（3﹣4i），可得25x=5（3﹣4i）．∴x=i．则x的虚部为：．故选：C．3．为了了解长沙市居民月用电情况，抽查了该市100户居民用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据如图可得到这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是（）A．70 B．64 C．48 D．30【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；这100户居民月用电量在[150，300]的频率为（0.0180+0.0184+0.0184）×50=0.64，∴这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是100×0.64=64．故选：B．4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．5．已知命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”和“a＜b⇔e≤f”都是真命题，那么“c≤d”是“e≤f”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题的等价性，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”的逆否命题是c≤d，⇒a＜b、“a＜b c≤d，即c≤d是a＜b成立的充分不必要条件，而“a＜b⇔e≤f”得a＜b是e≤f的充要条件，则“c≤d”是“e≤f”的充分不必要条件，故选：A6．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值．【解答】解：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n==8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n==4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n==2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n==1，k=4+1=5，结束循环．输出k=5．故选B．7．已知sinα+cosα=，则tanα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式变形，分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tanα的值．【解答】解：已知等式两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+2cos2α=3，∴==3，整理得：（tanα﹣1）2=0，解得：tanα=．故选：A．8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定【考点】不等式比较大小．【分析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x﹣3y=m（2x+y）+n（﹣x﹣y）=（2m﹣n）x+（m﹣n）y，令，解得m，n，即可得出．【解答】解：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x﹣3y=m（2x+y）+n（﹣x﹣y）=（2m﹣n）x+（m﹣n）y，令，解得m=5，n=8，∴2x﹣3y=5（2x+y）+8（﹣x﹣y）＞5×8﹣5×8=0，因此2x＞3y，∴2枝玫瑰的价格高．故选：A．10．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据当a=0时，y=1，可判断图象哪个符合，当a≠0时，f（x）周期为，振幅a，分类讨论a＞1时，T＜2π；0＜a≤1，T≥2π利用所给图象判断即可得出正确答案．【解答】解：∵函数f（x）=1+asinax（1）当a=0时，y=1，函数图象为：C故C正确（2）当a≠0时，f（x）=1+asinax 周期为T=，振幅为a若a＞1时，振幅为a＞1，T＜2π，当0＜a≤1，T≥2π．∵D选项的图象，振幅与周期的范围矛盾故D错误，故选：D11．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4 B．5 C．7 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可延长AO交外接圆于点N，并连接BN，CN，从而可得到，而由M为BC中点即可得出，从而有，显然，从而便可得出的值．【解答】解：如图，延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN；∵M为边BC中点；∴，且；∴====5．故选B．12．已知函数f（x）=x2﹣5x+3﹣，g（x）=﹣x+xlnx（k∈R），若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，则k的取值范围（）A．B．（﹣∞，﹣e3]C．（﹣∞，﹣e]D．【考点】二次函数的性质．【分析】若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，即为：f （x1）≥g（x2）min在x＞1上恒成立，可先求出g（x）的最小值，再由在x＞1上恒成立．即为k≤（x﹣4）e x在x＞1上恒成立，令h（x）=（x﹣4）e x运用导数求极小值，也是最小值，只要k不大于最小值，即可求得k 的取值范围．【解答】解：对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，即为：f（x1）≥g（x2）min在x＞1上恒成立，对于g（x）=﹣x+xlnx则：g′（x）=﹣1+lnx﹣1=lnx令g′（x）＞0，则x＞1，g′（x）＜0，则0＜x＜1即在x=1为极小值且g（﹣1）=﹣1则有在x＞1上恒成立，即，即有k≤（x﹣4）e x令h（x）=（x﹣4）e x则：h′（x）=（x﹣3）e x当x＞3时，h′（x）＞0，当1＜x＜3时，h′（x）＜0在x=3时，h（x）取极小值，即为最小值．h（3）=﹣e3则有：k≤﹣e3故选：B二、填空题（每小题5分）13．若的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为15．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式中，所有二项式系数和为2n，求出n=6，再利用二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：∵的二项展开式中，所有二项式系数和为64，∴2n=64⇒n=6，∵的二项展开式的通项T r+1=×x2（6﹣r）×x﹣r=，令12﹣3r=0⇒r=4，∴展开式中的常数项为==15．故答案是15．14．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】求出f（x）的解析式，带入不等式解出．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x+2，∵y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．∴f（x）=，（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，解得0＜x＜．（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，解得x＜﹣．综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．故答案为．15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|=2P．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先假设方程与抛物线方程联立，借助于求出点的坐标，从而求出线段长，进而求出|AF|﹣|BF|．【解答】解：设AB方程为：y=k（x﹣）（假设k存在），与抛物线y2=2px（p＞0）联立得k2（x2﹣px+）=2px，即k2x2﹣（k2+2）px+=0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∠CBF=90°即（x1﹣）（x1+）+y12=0，∴x12+y12=，∴x12+2px1﹣=0，即（x1+p）2=p2，解得x1=，∴B（，），|BC|=，|BF|=，∵x1x2=，x1=，∴x2=∴A（，﹣），|AF|=，∴|AF|﹣|BF|=2P，故答案为2P．16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC ，b=2rsinB=2sinB ， ∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA （2sinC ﹣sinB ）=2sinCcosA ﹣sinBcosA ， 即sinAcosB +cosAsinB=sin （A +B ）=sinC=2sinCcosA ，∵sinC ≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b 2+c 2﹣a 2=b 2+c 2﹣（2rsinA ）2=b 2+c 2﹣3≥2bc ﹣3， ∴bc ≤3（当且仅当b=c 时，取等号），∴△ABC 面积为S=bcsinA ≤×3×=，则△ABC 面积的最大值为：．故答案为：．三、解答题（每小题12分）17．各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a +a n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足bn=（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过2S n =a+a n 与当n ≥2时2S n ﹣1=+a n ﹣1作差，进而整理可知a n ﹣a n﹣1=1，求出首项、利用等差数列的通项公式计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知b n =﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵2S n =a +a n ， ∴当n ≥2时，2S n ﹣1=+a n ﹣1，两式相减得：2a n =+a n ﹣﹣a n ﹣1，整理得：（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1）=a n +a n ﹣1，∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，又∵2S 1=+a 1，即a 1=1，∴数列{a n}的通项公式a n=n；（2）由（1）可知b n==﹣（n∈N*），∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，﹣1，a）．取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是n=（2，﹣2，﹣2），=（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0（0＜P0＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求P0；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式，结合X≤3的概率为，即可求P0；（Ⅱ）设张三、李四两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，张三、李四两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，P0），利用贝努利概率的期望公式计算，再分类讨论，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为P0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=5”，因为P（X=5）=×P0，所以P（A）=1﹣P（X=5）=1﹣×P0=，所以．（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，P0），所以E（X1）=2×=，E（X2）=2×P0，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=6P0．若E（2X1）＞E（3X2），则＞6P0，所以0＜P0＜；若E（2X1）＜E（3X2），则＜6P0，所以＜P0＜1；若E（2X1）=E（3X2），则=6P0，所以P0=．20．如图，已知椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（x0，y0）．（1）求证： +=1；（2）求△AMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得F（1，0），N（4，0），设A（m，n），则B（m，﹣n），n≠0，则，AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）﹣（m﹣4）y=0，由此能证明=1．（2）设AM的方程为x=ty+1，代入，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△AMN的面积的最大值．【解答】证明：（1）∵椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，∴F（1，0），N（4，0），设A（m，n），则B（m，﹣n），n≠0，则，①AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）﹣（m﹣4）y=0，∵直线AF与BN交于点M（x0，y0），∴有，由②③得，，∴=+===1．（2）由（1）知M在椭圆上，设AM的方程为x=ty+1，代入，得（3t2+4）y2+6ty ﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，y1y2=，|y1﹣y2|==，令3t2+4=λ（λ≥4），则|y1﹣y2|==4=4，∵λ≥4，0＜，∴，即λ=4，t=0时，|y1﹣y2|有最大值3，∵AM过点F，∴△AMN的面积S△AMN=|FN|•|y2﹣y1|=|y1﹣y2|有最大值．21．已知m∈R，函数f（x）=e mx﹣1﹣（e为自然对数的底数）（1）若m=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）的最小值为m，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为xe mx﹣1﹣mx﹣lnx≥0恒成立且“=”可取，令g（x）=xe mx﹣1﹣mx﹣lnx即g （x）min=0，根据函数的单调性求出m的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），m=1时，f（x）=e x﹣1﹣，f′（x）=e x﹣1﹣，x＞1时，f′（x）＞1﹣=＞0，0＜x＜1时，f′（x）＜1﹣=＜0，∴f（x）在（0，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）由题意得：e mx﹣1﹣≥m时对x＞0恒成立且“=”可取，即xe mx﹣1﹣mx﹣lnx≥0恒成立且“=”可取，令g（x）=xe mx﹣1﹣mx﹣lnx即g（x）min=0，g′（x）=（mx+1）（e mx﹣1﹣），由e mx﹣1﹣=0得：m=，设p（x）=，p′（x）=，x＞e2时，p′（x）＞0，0＜x＜e2时，p′（x）＜0，p（x）在（0，e2）递减，在（e2，+∞）递增，∴p（x）min=p（e2）=﹣，m≤﹣时，m≤，即e mx﹣1﹣≤0，在（0，﹣）上，mx+1＞0，g′（x）≤0，g（x）递减，在（﹣，+∞）上，mx+1＜0，g′（x）≥0，g（x）递增，∴g（x）min=g（﹣），令t=﹣∈（0，e2]，g（﹣）=h（t）=﹣lnt+1，h′（t）=﹣≤0，h（t）在（0，e2）递减，∴h（t）≥h（e2）=0，∴方程g（x）min=g（﹣）=0有唯一解e2=﹣，即m=﹣，综上，m≤﹣时，仅有m=﹣满足f（x）的最小值为m，∴m的最小值为﹣．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的意义，求函数y=f（x）的最小值；（2）由题意可得|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值，而的最小值等于2，故x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解，根据数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集．【解答】解：（1）x≥2，f（x）≥1；1＜x＜2，f（x）=1；x≤1，f（x）=3﹣2x≥1，∴函数y=f（x）的最小值为1；（2）解：由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]．2018年9月14日。

湖南省永州市零陵中学2018年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆的方程为，过点的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为 ( ).参考答案：C略2. 三个数之间的大小关系是（）。

A. B. C. D..参考答案：C3. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）A. [－x] ＝－[x]B.[2x] ＝ 2[x]C.[x＋y]≤[x]＋[y]D.[x－y]≤[x]－[y]参考答案：D4. 如图，正方形的边长为，延长至，使，连接，则A．B．C．D．参考答案：B略5. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入×个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方，记阶幻方的对角线上数的和为，如图1的幻方记为，那么的值为（）A. 869B. 870 D. 875C. 871参考答案：B略6. 设集合，，若，则的取值范围是 ( )A． B． C． D．参考答案：D7. 曲线在点(2,3)处的切线与直线平行，则a=（）A．B．C．－2 D．2参考答案：CD8. 曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．参考答案：C略9. 已知函数的一段图象如图所示，顶点与坐标原点重合，是的图象上一个最低点，在轴上，若内角所对边长为，且的面积满足，将右移一个单位得到，则的表达式为（）A．B．C．D．参考答案：D10. 是虚数单位，复数等于（）A． B． C． D．-参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是参考答案：答案:π12. 已知数列的首项，其前项和为，若，则.参考答案：13. 如图，在矩形中，，，在上，若，则的长=____________参考答案：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝，故ED＝. 14. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 .参考答案：因为函数为偶函数，所以，所以。

2018届高考模拟试卷二参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 0 . 由{}0,1A B ⋂=,可得21x =，所以，0x =2. 1. 法一：由()(1i)1i (1)(1)i z a a a =+-=++-，所以z =222(1)(1)2a a ++-=，所以21a =，即1a =±，所以20162016()()1ai i ==法二：由(1i)1i 2z a =+-=，所以212a +=，所以21a =，即1a =±， 所以20162016()()1ai i ==.3. 45-. 因为tan 2=α，所以，22220162sin cos 2tan 4sin(2)sin 23sin cos 1tan 5παααααααα-=-=-=-=-++. 4. 600. 设高二女生人数为x 人，所以，0.192000x=，即380x =，所以，高三人数为 2000-650-370-380=600人。

5.()1,3-. 根据偶函数的性质，可得2323x x -<-<，从而可得13x -<<，从而不等式的解集为()1,3-.6. 6. 根据算法流程图， 2112(13)12(1333)6(31)201713k k k s --=++++==-≥-，所以6k =故输出结果为6. 7.34. 所有基本事件共12个：(2,1)--，(2,0)-，(2,1)-，(2,2)-，(1,1)--，(1,0)-，(1,1)-，(1,2)-， (0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2). 其中，b a A B -∈的事件共有9个，分别为(2,1)--，(2,0)-，(1,1)--，(1,0)-，(1,1)-，(0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2).所以，概率93()124P E ==. 8.1008. 显然数列{}n a 中通项0n a ≠，由1111n n n n n n a a a a a a --++-=-可得，1111n n n n n n n n a a a aa a a a -+-+⋅⋅=-- 两边取倒数可得：111111n n n n a a a a -+-=-,所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,首项1112a =,公差d =11122-=， 所以()1111222n nn a =+-=,即2n a n =，所以，由20172n a a =可得2222016n =⨯，所以1008n =. 9. 73π.()sin 2sin()3f x x x a x a π=-=+-，函数在区间[]0,2π上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a =令sin()3x π+=，所以233x k πππ+=+或者233x k ππππ+=+-，所以2x k π=或者23x k ππ=+，所以10x =，23x π=，32x π=，即12373x x x π++=.10.22143x y +=.依题意知()21,0F ，设()11,M x y ，由椭圆的定义可得253MF =，由抛物线定义得21513MF x =+=，即123x =，将123x =代入抛物线方程得1y =，进而由2222231a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=及221a b -=，解得224,3a b ==，故椭圆1C 的方程为22143x y +=.11.102m -≤<.法一：由题意得：当0m ≥时，函数2()222f x x mx =+-的对称轴02m -≤，且(0)1f =-，所以，此时()f x 在[]0,1上至多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞没有零点.所以，0m ≥不符合 题意．当0m <时，函数2()221f x x mx =+-的对称轴02m->，且(0)1f =-，所以，此时()f x 在[]0,1 上至多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞至多有一个零点，若()f x 在[)0,+∞有且只有2个零点， 则要求012221020m m m ⎧<-≤⎪⎪+-≥⎨⎪+>⎪⎩，解之可得102m -≤<.综上：102m -≤<法二：由题意得：x ＝0不是函数f (x )的零点.当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得12m x x=-，此时函数12y x x =-在(]0,1上单调递减，从而1122y x x =-≥-，所以，当m ≥－12时，f (x )在(]0,1上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得2m x =-，此时函数2y x=-在()1,+∞上单调递增，从而()22,0y x=-∈-，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在()1,+∞上有且只有一个零点，若()f x 在[)0,+∞有且只有2个零点，则要求1220m m ⎧≥-⎪⎨⎪-<<⎩，解之可得102m -≤<.综上，102m -≤<.12.32.令2,2(0,0)x y m x y n m n +=+=>>，则问题转化为6,m n +≤求41m n+的最小值，而41()()9m n m n ++≥，即41932m n m n +≥≥+故知最小值为32.13.5.以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系.设BM CN BCCD==λ（0≤λ≤1），所以，BM λ=，2CN λ=，所以，(2)2M λ+，)23,225(λ-N ，所以，2535444AM AN λλλλ⋅=-+-+2225(1)6λλλ=--+=-++，因为[01]λ∈，，所以，[25]AM AN ⋅∈，，所以AM AN ⋅的取值范围是]52[，，即最大值为5.14.1a ≥.仅考虑函数()f x在0x >时的情况，可知3312()12x x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩，，≥函数()f x 在2x =时，取得极大值16．令31216x x -=，解得，4x =．作出函数的图象（如右图所示）．函数()f x 的定义域为[0,]m ，值域为2[0]am ，，分为以下情况考虑：（1）当02m <<时，函数的值域为2[0(12)]m m -，，有22(12)m m am -=，所以12a m m =-，因为02m <<，所以4a >；（2）当24m ≤≤时，函数的值域为[016]，，有216am =，所以216a m=，因为24m ≤≤，所以14a ≤≤；（3）当4m >时，函数的值域为2[0(12)]m m -，，有22(12)m m am -=，所以12a m m =-，因为4m >，所以1a >；综上所述，实数a 的取值范围是1a ≥．二、解答题15．（11sin()62C π-=，因为()0,C π∠∈，所以5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以66C ππ-=或56π,即3C π=或π（舍去）.（2）因为2sin cR C=，所以24R =, 要使三角形周长最大，即要求a b +最大.所以，2(sin sin )4(sin sin())3a b R A B A A π+=+=++14(sin sin ))26A A A A π=+=+因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当3A π=时，a b +有最大值.此时，ABC∆为等边三角形，c =所以12ABCS=⨯=.16．（1）连AC交BD于O，连CO；因为AB∥CD，2AB DC=，所以2AO CO=，又因为2EM CM=，所以，AE∥MO，又因为AE⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以AE∥面BDM.（2）设1DC=，因为DC⊥BC，1BC=，所以BD，在梯形ABCD中，//AB CD，所以45ABD BDC︒∠=∠=，因为2AB DC=，所以在ABD∆中，由余弦定理知AD因为AB=2，所以AD2+BD2=AB2，所以∠ADB=90°，所以，AD⊥BD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，BD⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊂面ABCD 所以BD⊥平面ADEF，因为BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ADEF.17.（1）过O作直线OE AB⊥于E，则10,OE=设,EOAα∠=则3,(),442EOBπππαα∠=-<<故310tan,10tan(),4AE BEπαα==-3sin()3sin410tan tan()10()34cos cos()4ABπαπαααπαα-=+-=+-310sin4,3cos cos()4ππαα=⋅-又31cos cos()cos()sin(2)424ππαααααα⋅-=⋅+=-，由42ππα<<，得32(,),444πππα-∈故max32cos cos()44παα⋅-=，当且仅当32,428πππαα-==时取等号．此时，AB有最小值为1)．即两出入口之间距离的最小值为1) .（2）由题意可知直线AB是以O为圆心，10为半径的圆O的切线，根据题意，直线AB与圆C要相离，其临界位置为直线AB与圆C相切，设切点为F此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线． 因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xoy 由CF=5，OE=10，因为圆O 的方程为22100x y +=，圆C 的方程为22(30)25x y ++=， 设直线AB 的方程为(0)y kx t k =+>，则10,(1)5,(2)==，所以，（1）/（2）得230t k t =-+， 所以20t k =或60t k =，所以此时(20,0)A -或(60,0)A -（舍去），此时20OA =， 又由（1）知当//AB ON时，OA =综上，(60,).OA ∈+∞即设计出入口A 离市中心O的距离在到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 18．（1）设点P (x ，y )，x 2 + y 2 = 4，P A = (x - a)2 + (y - 2)2，PB = (x - m)2 + (y - 1)2，因为PAPB= k ，所以(x –a )2 + (y –2)2 = k 2[(x –m )2 + (y –1)2]，又x 2 + y 2 = 4，化简得2ax + 4y – a 2 – 8 = k 2(2mx + 2y – m 2 – 5)，因为P 为圆O 上任意一点，所以⎩⎨⎧2a = 2mk24 = 2k2a2 + 8 = k2(m2 + 5)，又m > 0，k > 0，解得⎩⎨⎧k = 2a = 2m = 1，所以常数k = 2．（2）法一：设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0 – 2，2y 0 – t )，又MN 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x02 + y02 = 1(2x0 -2)2 + (2y0 - t)2 = 1有解，化简得⎩⎨⎧x02 + y02 = 18x0 + 4t y0 - t2 - 7 = 0有解，即直线n ：8x + 4t y –t 2– 7 = 0与圆C ：x 2 + y 2 = 1有交点， 则d o -n =|t2 + 7|64 + 16t2≤1，化简得：t 4 – 2t 2 – 15 ≤0，解得t ∈[5，5]．法二：设过E 的切线与圆C 交于切点F ，EF 2 = EM ·EN ， 又M 是线段NE 的中点，所以EN = 2MN ，EM = MN ，所以EF 2 = 2MN 2， 又EF 2 = EO 2 – OF 2 = 22 + t 2 – 1 = t 2 + 3，所以MN ≤ 2，t 2 + 3 ≤ 8，所以t ∈[-5，5]．19．(1)由已知，得f '(x )1221x a x=---+，据题意，f '(1) = 0，得到1a =-.所以2()ln f x x x x =-++， f '(x )(21)(1)121x x x xx+-+=-++=.由0x >，令f '(x )0>，得01x <<，令f '(x )0<，得1x >，所以函数()f x 在1x =处取得极值，所以1a =-， ()f x 的单调增区间为(0)，1，()f x 的单调减区间为(1+)，∞.(2)257()()ln 22x x g x f x b x x b =-+=-++-，(0,2016)x ∈.则g '(x ) 7122x x =-++， 令g '(x )0=，得2x =，负舍.当02x <<时，g '(x )0>，g (x )在(02)，上递增， 当22016x <<时，g '(x )0<，g (x )在(22016)，上递减，所以函数5()()2g x f x b x =-+在区间(0,2016)上只有一个零点，等价于(2)0g =，解得ln23b =+. (3) 由条件可得2ln ()x kh x x x x=-- 因为12()()0h x h x ==，所以2211222ln 2ln x x x x -=-令2()2ln x x x ϕ=-，所以222(1)()2x x x x x-'ϕ=-=当01x <<时，()0x 'ϕ>，当1x >时，()0x 'ϕ<，所以()x ϕ在()0,1上递增，在()1,+∞上递减， 所以()x ϕ在1x =处有极大值，所以1201x x <<< 令()()()2s x x x =--ϕϕ，()0,1x ∈， ()()242440222s x x x x x '=->-=-+-⎛⎫⎪⎝⎭()s x 在()0,1上单调递增，()()10s x s <=有()()21x x =ϕϕ()12x <-ϕ，因为，()x ϕ在()1,+∞上递减，且211,21x x >->所以211222x x x x >-⇒+>． 20．（1）①因为211112a a a a =+∆=-，322114a a a a =+∆=-，且{}n a 为等比数列. 所以2213a a a =⋅，即211111()()24a a a -=-，解得113a =.当113a =时，当2n ≥时，1n n a a -=∆+……111111()1()11122()13321()2n n a a --⎡⎤---⎢⎥⎣⎦+∆+=+=⋅---. 1n =适合上式，所以{}n a 为等比数列，即113a =.②因为n m a a -=1n a -∆+……m a +∆11()1()21122[()()]13221()2m n m n m -⎡⎤---⎢⎥⎣⎦==⋅-----所以||n m a a -=211|()()|322n m ⋅---211[()()]322n m ≤⋅+41()32m ≤⋅， 令41()32m t ⋅≤，则24log 3m t ≥， 故可取k 不小于24log 3t的正整数， 则对任意,,n m k n N m N **>≥∈∈，||n m a a -41()32m t ≤⋅≤.（2）因为n a ∆=21n a -∆+ (12)1113(13)2(1)13n a a n a --+∆+∆=--+∆-131222n n a =-++∆231222n n a =-+-. 由23-20n n a ∆=>知 {}n a ∆递增，所以4n a a ≥对n N *∈恒成立当且仅当满足23234300a a a a a a ∆=-≤⎧⎨∆=-≥⎩，即22070a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得2-70a ≤≤. 所以2a 的取值范围是[7,0].-2018届高考模拟试卷一参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）1.22.四3.284.35.8π 6.a ＞2 7.6π 8.54 9.6π10.3π11.448 12.2 13.24 14.()5333， 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，四边形DCEF为梯形，EF ∥CD ，FB FD =．（1）若2CD EF =，求证：OE ∥平面ADF ； （2）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ．【解析】（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连接OG 、FG ，因为O 为对角线AC 与BD 的交点，则O 为AC 中点， 所以OG ∥CD ，且12OGCD =． 又因为EF ∥CD ，且2CD EF =，所以OG ∥EF ，OG EF =，则四边形OGFE 为平行四边形，----------3分 所以OE ∥FG ．又因为FG ⊂平面ADF ，OE ⊄平面ADF ，OE ∥FG ，所以OE ∥平面ADF ；-------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以OC BD ⊥，--------------------------7分又因为FB FD =，O 是BD 的中点，所以OF BD ⊥，------------------8分又有OFOC O OF =⊂，平面ACF ，OC ⊂平面ACF ,所以BD ⊥平面ACF ，----------------------------------------------12分 又因为BD ⊂平面ABCD ， 所以平面ACF⊥平面ABCD ．----------------------------------------14分16．（本小题满分14分）已知函数()2sin()cos 6f x x x π=-.（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且c =，1()2f C =，若sin 2sin B A =，求边a ，b 的值.【解析】（Ⅰ）因为)2()2sin()cos 612cos cos 2cos cos 1cos 2221sin(2)62f x x xx x x x x x x x x ππ=-=-=-+=-=---------------------------------------------------------------------4分当且仅当,3x k k Z ππ=+∈时，max 1()2f x =--------------------------------------6分 最小正周期分别为和22T ππ==.------------------------------------------------7分 （Ⅱ）因为11()sin(2)622f C C π=--=，即sin(2)16C π-=，因为0C π<<，所以 112666C πππ-<-<，于是262C ππ-=，即3C π=.------------------------------10分 因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，-------------------------------------12分 由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即2212a b ab +-=，联立22212b aa b ab =⎧⎨+-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩.-------------------------------------------14分17．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，且点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；-（2）设P 为椭圆上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD PQ λ=，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，求实数λ的值.【解析】17.解:(1)因为点222，在椭圆C 上，则222112a b+=，------------------------------1分 又椭圆C 的离心率为32，可得32ca，即32ca ， 所以2222223124bacaa a ，代入上式，可得22221a a +=， 解得24a ，故22114ba .所以椭圆C 的方程为2214x y += ...............................................................................................5分(2)设P (x 0，y 0)，则A (-x 0，-y 0)，Q (x 0，-y 0). 因为=λ,则(0，y D -y 0)=λ(0，-2y 0)，故y D =(1-2λ)y 0.所以点D 的坐标为(x 0，(1-2λ)y 0). ..................................................................................................7分 设B (x 1，y 1)，221222*********210101010114414PB BAx x y y y y y y k k x x x x x x x x...............................9分 又0000121BA ADy y y k k x x x故001441PBBAx k k y .----------------------------------------------------------------------11分又PA ⊥PB ，且0PAx k y ， D QBPxAOy第17题所以1PB PA k k ，即0000141x y x y ，解得34. 所以34....................................................................................................................................14分 18．（本小题满分16分） 一块圆柱形木料的底面半径为12cm ，高为32cm ，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，要求笔筒底面的厚度超过2cm ． （1）求r 与h 的关系，并指出r 的取值范围；（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a （元/ cm 2），桶内侧面喷漆费用为2a （元/cm 2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a （元/ cm 2）（其中a 为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用y （元）表示为r 的函数；②求出当r 取何值时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，并求出y 的最小值．【解析】（Ⅰ）据题意，221(1232)3r h ππ=⋅⋅，所以23248h r ⨯=，----------------------3分 因为322h ->，所以30h <即2324830r ⨯<，解得r >----------------------------------------------------------5分 又012r <<，所以125r <<；----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用22272(2)(1221232)y a r a rh a r πππππ=++⋅-⋅+⋅⋅，整理得2226412763248641276y a r a rh a a r a r a rππππππ=++⨯⨯=+⋅+⨯ 232326(152)a r rπ⨯=++，定义域为；----------------------11分 ②由①知，33/22323286(2)12r y a r a r rππ⨯-=-=⋅，令/0y =得8(,12)5r =∈，由表知，当8r =时，y 取极小值即最小值2064a π.------------------------15分答：当8r cm =时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，最小值为2064a π元．----16分19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，首项11a =，2a a =，12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求实数a 的值； （2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项n a ，1n a +，2n a +按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）． 【解析】（Ⅰ）当12k =时，由12()n n n a k a a ++=+得121()2n n n a a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，--------------------1分 公差为211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和为(1)(1)2n n n S n a -=+⋅-，由18171S =得18(181)17118(1)2a -=+⋅-， 解得2a =；---------------------------------------------------------3分（Ⅱ）设数列{}n a 为等比数列，则其公比为21a q a a ==，1n n a a -=，1n n a a +=，12n n a a ++=． 1︒若1n a +为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，解得1a =，与已知不符，舍去； 2︒若n a 为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，即220a a +-=，解得2a =-或1a =（舍），此时由12()n n n a k a a ++=+得11()n n n a k aa -+=+即2(1)a k a =+，故2215a k a ==-+；3︒ 若2n a +为等差中项，则212n n n a a a ++=+即112n n n a a a +-=+，即2210a a --=，解得12a =-或1a =（舍），仿2︒得2215a k a ==-+．---------------------------------------------------8分 综上，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-；---------------------------------9分（Ⅲ）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，所以211()n n n n a a a a ++++=-+，于是32n n a a +++=211()n n n n a a a a +++-+=+．----------------------------------------11分1︒ 当n 为偶数时，123456112(1)()()()()()22n n n n n a S a a a a a a a a a a -+=++++++++=+=； ---------------------------------------------------------------------------------13分2︒ 当n 为奇数时，1234511231()()()()2n n n n S a a a a a a a a a a --=+++++++=++ 11211[()]1(1)22n n a a a a --=+⋅-+=-+（2n ≥），当1n =时，也适合该式， 所以11(1),2(1),2n n a n S n a n -⎧-+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数．-----------------------------------------------16分20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在两条直线1y ax b =+，2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线，求实数a 的取值范围；（3）若{}|()0(0,1)x f x ⊆≤，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）/2211()a ax f x x x x-=-=（0x >）. 当0a <时，/()0f x <，()f x 的递减区间为(0,)+∞；----------------------------1分 当0a >时，由/()0f x =得1x a=，列表得：所以，函数()f x 的递减区间为1(0,)a ，递增区间为1(,)a+∞；-----------------------4分 （Ⅱ）因为存在两条直线1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线， 所以/()f x a =至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分 令/21()ax f x a x-==，得210ax ax -+=，记其两个根为1x 、2x （12x x <）， 则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，------------------------------------------------------------------------------------7分 而当4a >时，曲线()y f x =在点11(,())x f x 、22(,())x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-，设()()F x f x ax =-（0x >），由2//1222()()1()()a x x x x ax ax F x f x a x x----+-=-==知，当12x x x <<时，/()0F x >即()F x 在区间12[,]x x 上是单调函数，因此12()()F x F x ≠，所以11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-不重合，即1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）是曲线()y f x =的两条不同的切线，故4a >；----------------10分（Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数，因为11111()ln()10aaaaf ea e e e---=+=-<，而1(0,1)ae-∉，不符合题意；----------------------------------------------------------12分当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 的最小值为1()ln (1ln )f a a a a a a=-+=-.1︒若1()0f a>即0a e <<时，{}|()0(0,1)x f x φ≤=⊆，所以0a e <<符合题意；2︒若1()0f a =即a e =时，{}1|()0(0,1)x f x e ⎧⎫≤=⊆⎨⎬⎩⎭，所以a e =符合题意；3︒若1()0f a <即a e >时，101a <<，而(1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内递增，所以当1x ≥时，()0f x >，又因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以{}|()0(0,1)x f x ≤⊆，符合题意.综上，实数a 的取值范围为(0,)+∞.----------------------------------------------16分。

湖南省永州市2018届高考第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】，对应点坐标为，在第一象限，故选A.2. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故选C.3. 若方程表示双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方程表示双曲线，，双曲线方程为渐近线方程为，故选D.4. 如图是2017年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则有（）A. B. 的大小与的值有关C. D. 的大小与的值有关【答案】A【解析】由茎叶图可得，，，故选A.5. 已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A6. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】执行程序框图，；；；；，所以周期性出现，周期为，时与时的相等，所以，结束循环，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 函数具有性质（）A. 最大值为，图象关于对称B. 最大值为1，图象关于对称C. 最大值为，图象关于直线对称D. 最大值为1，图象关于直线对称【答案】D【解析】，函数最大值为，由时，函数最大值为，关于对称，故选D.8. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则（）A. 1020B. 1010C. 510D. 505【答案】D【解析】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共有行，每行的和为，即，故选D.9. 已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A. 0B. 4C.D.【答案】B10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中三角形与为全等的直角三角形，其面积为为等腰直角三角形面积为为腰直角三角形面积为表面积是，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 已知的内角的对边分别是，若，则是（）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】由正弦定理可得，，，当时，“=”成立，是等腰直角三角形，故选C.12. 函数，若，使得都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，使得都有，设，，只需，由二次函数的性质可得，，由，得，由，得，，，，得，得，，的取值范围是，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及不等式恒成立问题，属于难题. 解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设，则二项式展开式中的常数项为__________．【答案】15【解析】的通项为，令常数项为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14. 若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为__________．【答案】【解析】正方体的外接球的表面积为正方体的棱长为，外接球直径等于正方体对角线，即，体积为，故答案为.15. 不等式组表示的平面区域与表示的平面区域的公共部分面积为__________．【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图，由可得，，可化为，表示以为圆心，以为半径的圆内各点，由图可知不等式组表示的平面区域与表示的平面区域的公共部分面积为以为圆心，以为半径的圆四分之一，其面积为，故答案为.16. 某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，设，则.下列关于函数的描述：①的图象是轴对称图形；②的图象是中心对称图形；③方程无实数解；④函数的值域为.则描述正确的是__________．(填上你认为正确的序号）【答案】①③④【解析】对于①，，，，的图象关于对称，①正确；对于④，设，则，即的值域为，④正确；对于②，值域是，不可能是中心对称图形，②错误；对于③，设，解得或，无解，无解，无解，③正确，故答案为①③④.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在数列中，.（1）证明数列成等比数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】试题分析：（1）可化为，由此数列构成首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法可得数列的前项和.试题解析：（1）由条件得，又时，，故数列构成首项为1，公比为的等比数列.从而，即.（2）由得，两式相减得：，，故18. 某市为迎接“国家义务教育均衡发展”综合评估，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分.其中分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为 (优秀)、(良好)、(及格）三个等级，调查结果如表所示.例如：表中“学校的基础设施建设”指标为等级的共有所学校.已知两项指标均为等级的概率为0.21.（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关；（2）在该样本的“学校的师资力量”为等级的学校中，若，记随机变量，求的分布列和数学期望.附表:【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由，得，由，得，由得，由此可得列联表，利用列联表数据根据公式，求得，与临界值比较即可得结果；（2）的可能取值为，根据古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）依题意得，得，由，得由得因为，所以没有的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关.（2），得到满足条件的有：故的分布列为故19. 如图，在以为顶点的多面体中，四边形是菱形，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质，根据勾股定理可得，结合条件，由线面垂直的判定定理可得平面；（2）分别以为轴，以为轴，连结与中点作为轴建立坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）证明：连结四边形是菱形，得在中，满足得平面（2）分别以为轴，以为轴，连结与中点作为轴，得，取的中点，则面的法向量为：设面的一个法向量为：得得由【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知横坐标不为0的点在直线上，过作直线与曲线相切于两点，直线与轴交于点，直线与曲线交于两点，且四边形的面积为，求直线的斜率.【答案】(1);(2)或.【解析】试题分析：（1）设，则由得，又由得即；（2）利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程，再得到直线的方程为，令，则，，联立消整理可得，根据弦长公式与三角形面积公式可得，从而可得直线的斜率.试题解析：（1）设，则由得又由得即（2）设由得：，直线的方程为：即：直线的方程为：即：所以直线的方程为即：令，得，，又，所以令，则，联立，消整理可得用代得，解得，，即或21. 已知函数.（1）曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（2）记.（¡）讨论的单调性；（ⅱ）若，为在上的最小值，求证：.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求出，由可得；（2）化简，求出），（ⅰ）讨论时，两种情况，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，（ⅱ）若，在单调递减，在单调递增.，令，只需利用导数研究函数的单调性，求出证明其为负值即可.试题解析：（1）因为在处的切线平行于轴，所以，所以；（2）（ⅰ）若，即时，则由得当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增.若，则由得或构造函数，则由得，所以在单调递减，在单调递增.，所以 (当且仅当时等号成立）①若在单调递增.②若或，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增.（ⅱ）若，在单调递减，在单调递增.，令则，令，在单调递减，，所以存在唯一的使得，所以在单调递增，在单调递减故当时，又所以所以当时，【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性进而求函数最值，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；（2）若射线与曲线分别交于两点，求.【答案】(1)的普通方程为，的极坐标方程为；(2).【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数可得曲线的普通方程，把，代入，化简即可得到曲线的极坐标方程；（2）将分别代入曲线的极坐标方程分别求得，，根据极径的几何意义可得.试题解析：（1)由得，所以曲线的普通方程为把，代入得化简得曲线的极坐标方程为（2）依题意可设，曲线的极坐标方程为^将代入曲线的极坐标方程得，解得将代入曲线的极坐标方程得所以23. 已知不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集不是空集，且，求满足条件的最小整数的值.【答案】(1)；(2)1.【解析】试题分析：（1）当时，不等式即为，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）将函数写成分段函数形式，利用函数的单调性可得到，解不等式即可求得满足条件的最小整数的值.试题解析：（1）当时，不等式即为若，则，得，舍去；若，则，得；若，则，得.综上，不等式的解集为.（2）设，则易得，∴解得：或∵，所以，满足条件的最小的整数的值为1.。

岳阳市2018届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|15,|560A x N x B x x x =∈-<<=-++>，则AB =（ ）A ．{}1,0,1,3-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2,3,4 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()212i z i =-，则z 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．．53. 设数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若5532,4S a a ==，则9a =（ ） A ． 4 B ．-22 C ． 22 D ． 804. 函数()[]()cos ,xf x xex ππ=∈-的图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．5.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===则球O 的表面积等于 （ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π 6. 若直线22p y x =+与抛物线()220x py p =>相交于,A B 两点，则AB 等于（ ） A ．5p B ．11p C. 10p D ．12p7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）A．4+．3+4+ D．3+8. 执行如下图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ． 1B ．20162017 C. 20182017 D ．201820199. 已知点()4,3P -在角ϕ的终边上，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象上与y 轴最近的两个对称中心间的距离为2π，则8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） AB．．10. 设0a >，若关于,x y 的不等式组202020ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域与圆()2229x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（ ）A ．[]8,10B ．()6,+∞ C. (]6,8 D ．[)8,+∞11. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ B ．52ln 2,ln 24⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5ln 2,2ln 24⎛⎤+- ⎥⎝⎦D ．(]2ln2,2-12. 已知直线1l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，且AB 中点M 的横坐标为b ，过M 且与直线1l 垂直的直线2l 过双曲线C 的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）A B 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题，第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.13.如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为 ．14.若点(),θθ是函数()sin 3cos f x x x =+的一个对称中心，则cos 2sin cos θθθ+= ．15.已知函数()()2,0ln 1,0x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩，若()f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是 ．16.已知函数()2sin2xf x x π=，数列{}n a 中，()()()*1n a f n f n n N =-+∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos 3b C a c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若b =ac 的取值范围.18. 某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”水价，将该市每户居民的月用水量划分为三档：月用水量不超过4吨的部分按2元/吨收费，超过4吨但不超过8吨的部分按4元/吨收费，超过8吨的部分按8元/吨收费.（1）求居民月用水量费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：吨）的函数解析式；（2）为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得今年3月份100户居民每户的用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年3月份用水费用不超过16元的占66%，求,a b的值；（3）在满足条件（2）的条件下，若以这100户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用水量的概率.且同组中的数据用该组区间的中点值代替.记为该市居民用户3月份的用水费用，求y的分布列和数学期望.19.如图所示，正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，//,24BE CD BE CD==，BE BC⊥，F为棱AE的中点.（1）求证://DF平面ABC；（2）求证：DF⊥平面ABE；（3）若直线AD与平面BCDE所成角的正切值为5，求二面角B CF D--的余弦值.20.已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过)P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，与圆22:6O x y +=相交于D E 、两点，当OAB ∆的面积最大时，求弦DE 的长.21.已知函数()()2112x f x x e x ax =+--(,a R e ∈是自然对数的底数)在()()0,0f 处的切线与x 轴平行.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设()()21222xg x e m x x n =+---，若x R ∀∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，求2nm -的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为34π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为32cos ρθρ-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B 、，求PA PB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()2224f x x x =++-. （1） 求不等式()8f x >的解集；（2） 若存在x R ∈，使不等式()23f x m ≤-成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DDCBA 6-10: CABCD 11、12：AB二、填空题13.13 14. 1110- 15. []2,0- 16.-10200 三、解答题17.（1）∵2cos 3b C a c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理得：2sin cos sin sin 3B C A C π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴()12sin cos sin sin 2B C C B C C ⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭，cos 1B B -=， ∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形，∴,663B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66B ππ-=即3B π=；（2）∵3b B π==，∴由正弦定理有：2sin sin sin a c b A C B===， ∴由正弦定理有：2sin sin sin a c bA C B===， ∴2sin ,2sin ,4sin sin a A c C a c A C ===， ∵3B π=，∴23C A π=-，∴214sin sin 4sin sin 32a c A A A A A π⎫⎛⎫=-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2cos2sin21cos22sin216A A AA AAπ=+=+-⎛⎫=-=⎪⎝⎭∵ABC∆为锐角三角形，∴20,,0,232A C Aπππ⎛⎫⎛⎫∈=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴,62Aππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52,666Aπππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴(]2,3a c ∈.18.（1）当04x≤≤时，2y x=；当48x<≤时，()244448y x x=⨯+⨯-=-，当8x>时，()244488840y x x=⨯+⨯+⨯-=-.所以y与x之间的函数解析式为：2,0448,48840,8x xy x xx x≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知，当16y=时，6x=，则()60.60P x≤=，结合频率分布直方图可知：0.120.30.6220.050.4bb a++=⎧⎨++=⎩，∴0.075,0.1a b==；（3）由题意可知：Y的可能取值为1，3，，5，7，9，11.则()()()()()()10.1,30.2,50.3,70.2,90.15,110.05 P Y P Y P Y P Y P Y P Y ============，所以P的分布列：10.130.250.370.290.15110.05 4.5EY=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19.（1）如图，取AB中点G，连接CG FG、，因为F为AE中点，所以//FG BE且12FG CD =，2BE CD =，所以//FG CD 且FG CD =，所以四边形CDFG 为平行四边形，所以//DF CG .CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴//DF 平面ABC .（2）又因为ABC ∆为正三角形，所以CG AB ⊥， 又因为面ABC ⊥面BCDE ，面ABC面BCDE BC =.,BE BC BE ⊥⊂面BCDE ，所以BE ⊥面ABC ，BE CG ⊥.又因为BE AB B =，所以CG ⊥面ABE ，所以DF ⊥面ABE . （3）取BC 中点O ，再连接,AO OD .易证AO ⊥面BCDE ，所以ADO ∠为直线AD 与平面BCDE所成的角，即tan ADO ∠=OC t =，可求得1t =. 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()0,0,0,0,1,0O B -，()()0,1,0,2,1,0C D ，()(14,1,0,,2,2E A F ⎛-- ⎝⎭， 所以()()1332,,,0,2,0,2,0,0,0,22BF BC DC DF ⎛⎫⎛===-=- ⎪⎝⎭⎝⎭， 设平面BCF 的法向量为()123,,n n n n =，则2123201202n n n =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令1n 230,4nn ==-，所以()3,0,4n =-，设面DCF 的法向量为()123,,m m m m =，则123203022m m m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21m =，得3m =10m =，所以(m =，所以()43cos ,19m n n m m n-===，因为二面角B CF D --为钝角，其余弦值为251-. 20.（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，依椭圆的定义可得：2a====∴a =2c =，∴22b =，∴椭圆的标准方程为：22162x y +=. （2）设直线l 的方程为2x ky =+，代入椭圆方程c 化简得：()223420k y ky ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122242,33k y y y y k k+=-=-++， OAB的面积121212SOF y y y y =-=-==，令)1t t =≥，则22S t =≤=+，当且仅当t =即1k =±时取等号. 此时，直线l 的方程为2x y =±+，圆心O到l 的距离为d =弦长为4DE ==.21.（1）()()2xf x x e x a '=+--，由已知得()020f a '=-=，得2a =，则()()()21x f x x e '=+-.令()0f x '>，解得0x >或2x <-，故函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,+∞.（2）不等式()()f x g x ≥，可化为2xe mx n ≥-，记()2xh x e mx n =-+，()2x h x e m '=-，当0m ≤时，()0h x '>恒成立，则()h x 在R 上递增，没有最小值，故不成立； 当0m >时，令()0h x '=，解得ln 2x m =，当(),ln 2x m ∈-∞时，()0h x '<；当()ln 2,x m ∈+∞时，()0h x '>，当ln 2x m =时，函数()h x 取得最小值()ln2ln22ln20m h m e m m n =-+≥，即22ln 2m m m n -≥-，则2ln 22n m m m m -≥-， 令()()2ln20F m m m m m =->，()1ln 2F m m '=-，令()0F m '=，则2em =，当0,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F m >；当,2e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F m <，故当2e m =时，()F m 取得最大值22e eF ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以22e n m ≥-，即2n m -的最大值为2e . 22.（1）∵32cos ρθρ-=，∴232cos ρρθ-=，∴2232x y x +-=，∴曲线C 的直角坐标方程为：()2214x y -+=，∵直线l 过点()1,1P ，且倾斜角为34π， ∴直线l 的参数方程为：31cos 431sin4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（2）设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、， 将直线l 与曲线C的方程得：230t -=， ∴123t t =，∴12123PA PB t t t t ===. 23.（1）①1428x x <-⎧⎨-+>⎩，解得：32x <-；②1268x -≤<⎧⎨>⎩无解；③2428x x ≥⎧⎨->⎩解得：52x >； ∴原不等式的解集为35|22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）∵()2224f x x x =++-， ∴()()22246f x x x ≥+--=， ∴x R ∃∈，使()23f x m ≤-成立，∴()min 623f x m =≤-，解得：32m ≤-或92m ≥， ∴实数m 的取值范围为：32m ≤-或92m ≥.。

第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………湖南省永州市2018-2019高三上学期理数第二次模拟考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 （ ）A .B .C .D .2. 已知集合 ，，则 （ ） A . B .C .D .3. 我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（ ） A . 134石 B . 169石 C . 338石 D . 454石4. 设等比数列 的公比为 ，则下列结论正确的是（ ） A . 数列是公比为 的等比数列 B . 数列是公比为 的等比数列C . 数列 是公比为 的等比数列D . 数列 是公比为 的等比数列5. “远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教育，掌握学生对禁毒宣传资料的了解程度，随机抽取30名学生参加禁毒知识测试，得分情况如图所示，若所有得分的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ，则（ ）答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D .6. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A . 向右平移 个单位B . 向右平移 个单位C . 向左平移 个单位D . 向左平移 个单位7. 若等差数列的前 项和 ，且 ， ，则 （ ）A . -16B . -18C . -20D . -228. 在平行四边形中，点分别为的中点，则（ ）A .B .C .D .9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）。